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人教版数学高二章末检测卷章末检测(二)

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高中数学 第二章 随机变量及其分布章末检测试卷 新人教A版选修23

高中数学 第二章 随机变量及其分布章末检测试卷 新人教A版选修23

第二章 随机变量及其分布章末检测试卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设由“0”“1”组成的三位数组中，若用A 表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B 表示“第一位数字为‘0’的事件”，则P (A |B )等于( ) A.25 B.34 C.12 D.18 考点 条件概率题点 直接利用公式求条件概率 答案 C解析 ∵P (B )＝1×2×22×2×2＝12，P (AB )＝1×1×22×2×2＝14，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝12. 2．10张奖券中只有3张有奖，若5个人购买，每人1张，则至少有1个人中奖的概率为( ) A.310 B.112 C.12 D.1112 考点 排列与组合的应用 题点 排列、组合在概率中的应用 答案 D解析 设事件A 为“无人中奖”，即P (A )＝C 57C 510＝112，则至少有1个人中奖的概率P ＝1－P (A )＝1－112＝1112.3．张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率是0.60，则预估做对第二道题的概率是( ) A ．0.80 B ．0.75 C ．0.60 D ．0.48 考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与互斥事件的综合应用 答案 B解析 设事件A i (i ＝1,2)表示“做对第i 道题”，A 1，A 2相互独立， 由已知得：P (A 1)＝0.8，P (A 1A 2)＝0.6，由P (A 1A 2)＝P (A 1)·P (A 2)＝0.8×P (A 2)＝0.6， 解得P (A 2)＝0.60.8＝0.75.4．设随机变量X 等可能地取值1,2,3，…，10.又设随机变量Y ＝2X －1，则P (Y <6)的值为( ) A ．0.3 B ．0.5 C ．0.1 D ．0.2 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 A解析 由Y ＝2X －1<6，得X <3.5，∴P (Y <6)＝P (X <3.5)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.3. 5．设随机变量X ～N (μ，σ2)且P (X <1)＝12，P (X >2)＝p ，则P (0<X <1)的值为( )A.12p B ．1－p C ．1－2pD.12－p 考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的均值或方差 答案 D解析 由正态曲线的对称性知P (X <1)＝12，故μ＝1，即正态曲线关于直线x ＝1对称，于是P (X <0)＝P (X >2)，所以P (0<X <1)＝P (X <1)－P (X <0)＝P (X <1)－P (X >2)＝12－p .6．已知离散型随机变量X 的分布列如下：则均值E (X )与方差D (X )分别为( ) A ．1.4,0.2 B ．0.44,1.4 C ．1.4,0.44D ．0.44,0.2考点 均值、方差的综合应用 题点 求随机变量的均值与方差 答案 C解析 由离散型随机变量的性质知a ＋4a ＋5a ＝1，∴a ＝0.1.∴P (X ＝0)＝0.1，P (X ＝1)＝0.4，P (X ＝2)＝0.5，∴均值E (X )＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4；方差D (X )＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.196＋0.064＋0.18＝0.44.7．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里各任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则下列概率中等于C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112的是( )A ．P (X ≤1)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率 答案 C解析 P (X ＝1)＝C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112.8．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为( )A.16B.13C.12D.635考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 答案 A解析 设事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”，则P (A )＝C 16C 27，P (AB )＝1C 27，故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝16. 9．设随机变量X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，则函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点的概率是( )A.56B.45C.2021D.3132 考点 二项分布的计算及应用 题点 利用二项分布求概率 答案 D解析 ∵函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点， ∴方程x 2＋4x ＋X ＝0存在实数根， ∴Δ＝16－4X ≥0，∴X ≤4，∵随机变量X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，∴P (X ≤4)＝1－P (X ＝5)＝1－125＝3132，故选D.10．一头猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为( )A ．0.93B ．1－(1－0.9)3C ．C 35×0.93×0.12D ．C 35×0.13×0.92考点 二项分布的计算及应用 题点 利用二项分布求概率 答案 C解析 5头猪中恰有3头被治愈的概率为C 35×0.93×0.12.11．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，为23，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是( )A.49B.1927C.1127D.4081考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与互斥事件的综合应用 答案 B解析 最后乙队获胜事件含3种情况：(1)第三局乙胜；(2)第三局甲胜，第四局乙胜；(3)第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最后乙队获胜的概率P ＝13＋23×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝1927，故选B.12．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的面上的数之积的均值是( ) A.19 B.29 C.13 .D.49 考点 常见的几种均值 题点 相互独立事件的均值 答案 D解析 将小正方体抛掷1次，向上的面上可能出现的数有0,1,2，概率分别为12，13，16，将这个小正方体抛掷2次，可以表示为下表：令ξ为小正方体抛掷2次后向上的面上的数之积，则积为0的概率P (ξ＝0)＝12×12＋12×13＋12×16＋12×13＋12×16＝34.积为1的概率P (ξ＝1)＝13×13＝19.积为2的概率P (ξ＝2)＝13×16＋13×16＝19.积为4的概率P (ξ＝4)＝16×16＝136，所以向上的面上的数之积的均值E (ξ)＝0×34＋1×19＋2×19＋4×136＝49.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知随机变量ξ～B (n ，p )，若E (ξ)＝4，η＝2ξ＋3，D (η)＝3.2，则P (ξ＝2)＝________.考点 二项分布的计算及应用 题点 利用二项分布的分布列求概率 答案32625解析 由已知np ＝4,4np (1－p )＝3.2，∴n ＝5，p ＝0.8，∴P (ξ＝2)＝C 25p 2(1－p )3＝32625.14．某处有水龙头5个，调查表示每个水龙头被打开的可能性均为110，则3个水龙头同时被打开的概率为________． 考点 独立重复试验的计算题点 用独立重复试验的概率公式求概率 答案 0.008 1解析 对5个水龙头的处理可视为做5次独立重复试验，每次试验有2种可能结果：打开或不打开，相应的概率为0.1或0.9，根据题意得3个水龙头同时被打开的概率为C 35×0.13×0.92＝0.008 1.15．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，向量a ＝(1,2)与向量b ＝(ξ，－1)的夹角为锐角的概率是12，则μ＝______.考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的均值或方差 答案 2解析 由向量a ＝(1,2)与向量b ＝(ξ，－1)的夹角是锐角，得a ·b >0，即ξ－2>0，解得ξ>2，则P (ξ>2)＝12.根据正态分布密度曲线的对称性，可知μ＝2.16．一射手对靶射击，直到第一次中靶或用光子弹为止．若他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗子弹，则射击结束后剩余子弹的数目X 的均值E (X )＝________. 考点 常见的几种均值 题点 相互独立事件的均值 答案 1.89解析 由题意知，X 的可能取值是0,1,2，对应的概率分别为P (X ＝2)＝0.9，P (X ＝1)＝0.1×0.9＝0.09，P (X ＝0)＝0.13＋0.12×0.9＝0.01， 由此可得均值E (X )＝2×0.9＋1×0.09＋0×0.01＝1.89. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分，100分，200分，答错得0分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响． (1)求这名同学得300分的概率； (2)求这名同学至少得300分的概率． 考点 互斥、对立、独立重复试验的综合应用 题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题解 记“这名同学答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.7，P (A 3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率P 1＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228. (2)这名同学至少得300分的概率P 2＝P 1＋P (A 1A 2A 3)＝0.228＋P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.18．(12分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间． (1)求ξ的分布列； (2)求ξ的均值．考点 均值与方差的综合应用题点 离散型随机变量的分布列及均值 解 (1)ξ的所有可能取值为1,3,4,6.P (ξ＝1)＝13， P (ξ＝3)＝13×12＝16， P (ξ＝4)＝13×12＝16，P (ξ＝6)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×12×1＝13，ξ的分布列为(2)E (ξ)＝1×13＋3×16＋4×16＋6×13＝72.19．(12分)从1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数． (1)求这3个数恰有1个偶数的概率；(2)记X 为3个数中两数相邻的组数，例如取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时X 的值为2，求随机变量X 的分布列及均值E (X )． 考点 均值与方差的综合应用 题点 离散型随机变量的分布列及均值解 (1)设Y 表示“任取的3个数中偶数的个数”， 则Y 服从N ＝9，M ＝4，n ＝3的超几何分布， ∴P (Y ＝1)＝C 14C 25C 39＝1021.(2)X 的取值为0,1,2，P (X ＝1)＝2×6＋6×5C 39＝12， P (X ＝2)＝7C 39＝112，P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝512.∴X 的分布列为∴E(X)＝0×512＋1×12＋2×112＝23.20．(12分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，据统计，随机变量ξ的分布列如下表：(1)求a的值和ξ的均值；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．考点互斥、对立、独立重复试验的概率问题题点互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题解(1)由分布列的性质得0.1＋0.3＋2a＋a＝1，解得a＝0.2，∴ξ的分布列为∴E(ξ)＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月均被投诉1次”．则由事件的独立性得P(A1)＝C12P(ξ＝2)P(ξ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，P(A2)＝[P(ξ＝1)]2＝0.32＝0.09.∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.21．(12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值．考点 均值与方差的应用题点 离散型随机变量的分布列及均值解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A . P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝610＝35.故X 的分布列为E (X )＝200×110＋300×310＋400×35＝350.22．(12分)某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A 类型试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有(n ＋m )道试题，其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题，以X 表示两次调题工作完成后，试题库中A 类型试题的数量． (1)求X ＝n ＋2的概率；(2)设m ＝n ，求X 的分布列和均值．解 以A i 表示第i 次调题调用到A 类型试题，i ＝1,2. (1)P (X ＝n ＋2)＝P (A 1A 2)＝nm ＋n ·n ＋1m ＋n ＋2＝n (n ＋1)(m ＋n )(m ＋n ＋2).(2)X 的可能取值为n ，n ＋1，n ＋2.P (X ＝n )＝P (A 1A 2)＝n n ＋n ·n n ＋n ＝14，P (X ＝n ＋1)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝nn ＋n ·n ＋1n ＋n ＋2＋n n ＋n ·n n ＋n ＝12，P (X ＝n ＋2)＝P (A 1A 2)＝n n ＋n ·n ＋1n ＋n ＋2＝14.从而X 的分布列为所以E (X )＝n ×14＋(n ＋1)×12＋(n ＋2)×14＝n ＋1.。

高中数学人教a版高二选修2-3章末综合测评2有答案

高中数学人教a版高二选修2-3章末综合测评2有答案

章末综合测评(二)随机变量及其分布(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法不正确的是()A．某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量B．正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0C．公式E(X)＝np可以用来计算离散型随机变量的均值D．从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布【解析】公式E(X)＝np并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算．故选C.【答案】 C2．(2016·吉安高二检测)若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球、5个红球，现从两袋内各任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于C18C15＋C14C16 C112C111的是()A．P(X＝0)B．P(X≤2) C．P(X＝1) D．P(X＝2)【解析】由已知易知P(X＝1)＝C18C15＋C14C16C112C111.【答案】 C3．(2016·长沙高二检测)若X的分布列为则E(X)＝()A.45 B.12C.25 D.15【解析】由15＋a＝1，得a＝45，所以E(X)＝0×15＋1×45＝45.【答案】 A4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是( )A ．0.16B ．0.24C ．0.96D ．0.04【解析】 三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.【答案】 C5．如果随机变量X ～N (4,1)，则P (X ≤2)等于( ) (注：P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4) A ．0.210 B ．0.022 8 C ．0.045 6 D ．0.021 5【解析】 P (X ≤2)＝(1－P (2<X ≤6))×12＝[1－P (4－2<X ≤4＋2)]×12＝(1－0.954 4)×12＝0.022 8.【答案】 B6．某同学通过计算机测试的概率为13，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为( )【导学号：97270056】A.49B.29C.427D.227【解析】 连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P ＝C 13×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－132＝49.【答案】 A7．校园内移栽4棵桂花树，已知每棵树成活的概率为45，那么成活棵数X 的方差是( ) A.165 B.6425 C.1625D.645【解析】 由题意知成活棵数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，45，所以成活棵数X 的方差为4×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45＝1625.故选C.【答案】 C8．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是()A.35 B.25C.110 D.59【解析】记“第一次摸到正品”为事件A，“第二次摸到正品”为事件B，则P(A)＝C16C19 C110C19＝3 5，P(AB)＝C16C15C110C19＝13.故P(B|A)＝P(AB)P(A)＝59.【答案】 D9．(2016·长沙高二检测)某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝1102πe－(x－80)2200，则下列命题中不正确的是()A．该市在这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为10【解析】利用正态密度函数的表达式知μ＝80，σ＝10.故A，D正确，利用正态曲线关于直线x＝80对称，知P(ξ>110)＝P(ξ<50)，即分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故C正确，故选 B.【答案】 B10．设随机变量ξ等可能地取1,2,3,4，…，10，又设随机变量η＝2ξ－1，则P(η<6)＝() A．0.3 B．0.5C．0.1 D．0.2【解析】因为P(ξ＝k)＝110，k＝1,2，…，10，又由η＝2ξ－1<6，得ξ<72，即ξ＝1,2,3，所以P(η<6)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝310＝0.3.【答案】 A11．甲、乙两个工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所示，则有结论( )A.B ．乙的产品质量比甲的产品质量好一些 C ．两人的产品质量一样好 D ．无法判断谁的产品质量好一些【解析】 ∵E (X 甲)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1， E (X 乙)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9. ∵E (X 甲)>E (X 乙)，∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些． 【答案】 B12．(2016·深圳高二检测)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5，其中A 的各位数中a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记ξ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时，ξ的数学期望为( )A.827B.113C.1681D.6581【解析】 记a 2，a 3，a 4，a 5位上出现1的次数为随机变量η，则η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23，E (η)＝4×23＝83.因为ξ＝1＋η， E (ξ)＝1＋E (η)＝113.故选B. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P (X ≤6)＝________.【解析】 P (X ≤6)＝P (X ＝4)＋P (X ＝6)＝C 44＋C 34C 13C 47＝1335.【答案】 133514．一只蚂蚁位于数轴x ＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为23，向左移动的概率为13，则3秒后，这只蚂蚁在x ＝1处的概率为________．【解析】 由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂蚁在x ＝1处的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫131＝49.【答案】 4915．(2016·福州检测)一个正方形被平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P (A |B )＝________.【解析】如图，n (Ω)＝9，n (A )＝3，n (B )＝4，所以n (AB )＝1， P (A |B )＝n (AB )n (B )＝14.【答案】 1416．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627.其中所有正确结论的序号是________. 【导学号：97270057】【解析】 ①恰有一个白球的概率P ＝C 12C 24C 36＝35，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23，其方差为6×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝43，故②正确；③设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}． 则P (A )＝23，P (AB )＝4×36×5＝25，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35，故③错； ④每次取到红球的概率P ＝23， 所以至少有一次取到红球的概率为 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝2627， 故④正确． 【答案】 ①②④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】 记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球； 事件B ：从1号箱中取出的是红球． P (B )＝42＋4＝23. P (B )＝1－P (B )＝13. (1)P (A |B )＝3＋18＋1＝49.(2)∵P (A |B )＝38＋1＝13， ∴P (A )＝P (A ∩B )＋P (A ∩B ) ＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B ) ＝49×23＋13×13＝1127.18．(本小题满分12分)在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N (90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)的考生大约有多少人？ 【解】 因为ξ～N (90,100)，所以μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954 4.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.682 6.一共有2 000名学生，所以考试成绩在(80,100)的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．19．(本小题满分12分)甲，乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X ，Y ，X 和Y 的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较.【解】 工人甲生产出次品数X 的数学期望和方差分别为E(X)＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，D(X)＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81.工人乙生产出次品数Y的数学期望和方差分别为E(Y)＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，D(Y)＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.由E(X)＝E(Y)知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)>D(Y)，可见乙的技术比较稳定．20．(本小题满分12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数)【解】(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为p＝C34＋C33C39＝584.(2)X的所有可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝C24C15＋C34C39＝1742，P(X＝2)＝C13C14C12＋C23C16＋C33C39＝4384，P(X＝3)＝C22C17C39＝112.故X的分布列为从而E(X)＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.21．(本小题满分12分)某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为12，14，14；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．(1)如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求ξ的分布列及E (ξ)；(2)要使10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．【解】 (1)依题意，ξ可能的取值为1,0，－1.ξ的分布列为E (ξ)＝12－14＝14.(2)设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的分布列为E (η)＝2α－2β＝4α－2. 依题意得4α－2≥14， 故916≤α≤1.22．(本小题满分12分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比．分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．【解】 (1)X 可能的取值为10,20,100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝⎛⎭⎪⎫1－121＝38，P (X ＝100)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1,2,3)，则 P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512. (3)X 的数学期望为EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54. 这表明，获得的分数X 的均值为负， 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．。

人教版高中数学必修二第二章单元测试(二)- Word版含答案

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2018-2019学年必修二第二章训练卷点、直线、平面之间的位置关系（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．下列推理错误的是（ ） A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l ⊂α B ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝AB C ．l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉α D ．A ∈l ，l ⊂α⇒A ∈α2．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线AB ，A 1D 1所成的角等于（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，当BD ∥平面EFGH 时，下面结论正确的是（ ） A ．E ，F ，G ，H 一定是各边的中点 B ．G ，H 一定是CD ，DA 的中点C ．BE ∶EA ＝BF ∶FC ，且DH ∶HA ＝DG ∶GCD ．AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC4．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m ＋n 等于（ ）A ．8B ．9C ．10D ．115．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于（ ）A ．ACB ．BDC ．A 1DD ．A 1D 16．如图所示，将等腰直角△ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，此时∠B ′AC ＝60°，那么这个二面角大小是（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°7．如图所示，直线P A 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面P AC 的距离等于线段BC 的长，其中正确的是（ ） A ．①②B ．①②③C ．①D ．②③8．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．CC 1与B 1E 是异面直线B ．AC ⊥平面ABB 1A 1 C ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ） A ．AB ∥mB ．AC ⊥mC ．AB ∥βD ．AC ⊥β10．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为（ ） A ．512πB ．3π C ．4π D ．6π 11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ．以下结论中，错误的是（ ） A ．点H 是△A 1BD 的垂心 B ．AH ⊥平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成的角为45°12．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ）A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．下列四个命题：①若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α；②若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ；③若a ∥α，则a 平行于α内所有的直线；④若a ∥α，a ∥b ，b ⊄α，则b ∥α．其中正确命题的序号是________．14．如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面四边形A 1B 1C 1D 1满足条件_______时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)15．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则 ①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于PAB △的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)16．如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面ABCD ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为AB 、A 1D 1的中点，判断MN 与平面A 1BC 1的位置关系，为什么？18．(12分)如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，AC ＝9，BC ＝12，AB ＝15，AA 1＝12，点D 是AB 的中点． （1）求证：AC ⊥B 1C ； （2）求证：AC 1∥平面CDB 1．19．(12分)如图，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BCA ＝90°，点D 、E 分别在棱PB 、PC 上，且DE ∥BC ． （1）求证：BC ⊥平面P AC ．（2）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角？并说明理由．20．(12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C ． （1）证明：B 1C ⊥AB ；（2）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱111ABC A B C -的高．21．(12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．（1）求证：P A∥面BDE；（2）求证：平面P AC⊥平面BDE；（3）若二面角E BD C--为30°，求四棱锥P ABCD-的体积．22．(12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E ABC-的体积．2018-2019学年必修二第二章训练卷点、直线、平面之间的位置关系（二）答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．【答案】C【解析】若直线l∩α＝A，显然有l⊄α，A∈l，但A∈α．故选C．2．【答案】D【解析】由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD ＝90°．故选D．3．【答案】D【解析】由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC．故选D．4．【答案】A【解析】如图，取CD的中点H，连接EH，HF．在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EFH平行，其余4个平面与EFH相交，即n＝4．又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8．故选A．5．【答案】B【解析】易证BD⊥面CC1E，则BD⊥CE．故选B．6．【答案】A 【解析】连接B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，则B′D＝DC＝a，B C AC'==，所以∠B′DC＝90°．故选A．7．【答案】B【解析】对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥P A，∵P A⊂平面P AC，∴OM∥平面P AC；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离．故①②③都正确．8．【答案】C【解析】由已知AC＝AB，E为BC中点，故AE⊥BC，又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，故C正确．故选C．9．【答案】D【解析】∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l．∵AB∥l，∴AB∥m．故A一定正确．∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m．故B一定正确．∵A∈α，AB∥l，l⊂α，∴B∈α．∴AB⊄β，l⊂β．∴AB∥β．故C也正确．∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．故D不一定成立．故选D．10．【答案】B【解析】如图所示，作PO⊥平面ABC，则O为△ABC的中心，连接AP，AO．1sin 602ABC S =︒=11194ABC A B C ABC V S OP OP -∴=⨯==，OP ∴=213OA ==，∴tan OP OAP OA ∠=，又02OAP π<∠<，∴3OAP π∠=．故选B ．11．【答案】D【解析】因为AH ⊥平面A 1BD ，BD ⊂平面A 1BD ，所以BD ⊥AH ． 又BD ⊥AA 1，且AH ∩AA 1＝A ．所以BD ⊥平面AA 1H ．又A 1H ⊂平面AA 1H ．所以A 1H ⊥BD ，同理可证BH ⊥A 1D ，所以点H 是△A 1BD 的垂心，故A 正确． 因为平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，所以AH ⊥平面CB 1D 1，B 正确．易证AC 1⊥平面A 1BD ．因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC 1和AH 重合．故C 正确．因为AA 1∥BB 1，所以∠A 1AH 为直线AH 和BB 1所成的角． 因为∠AA 1H ≠45°，所以∠A 1AH ≠45°，故D 错误．故选D ． 12．【答案】B【解析】A 错误．理由如下：过A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，连接CE ，若直线AC 与直线BD 垂直，则可得BD ⊥平面ACE ，于是BD ⊥CE ，而由矩形ABCD 边长的关系可知BD 与CE 并不垂直．所以直线AC 与直线BD 不垂直．B 正确．理由：翻折到点A 在平面BCD 内的射影恰好在直线BC 上时，平面ABC ⊥平面BCD ，此时由CD ⊥BC 可证CD ⊥平面ABC ，于是有AB ⊥CD ．故B 正确． C 错误．理由如下：若直线AD 与直线BC 垂直，则由BC ⊥CD 可知BC ⊥平面ACD ，于是BC ⊥AC ，但是AB <BC ，在△ABC 中∠ACB 不可能是直角．故直线AD 与直线BC 不垂直．由以上分析显然D 错误．故选B ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．【答案】④【解析】①中b 可能在α内；②a 与b 可能异面或者垂直；③a 可能与α内的直线异面或垂直．14．【答案】B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)【解析】由直四棱柱可知CC 1⊥面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1，要使B 1D 1⊥A 1C ，只要B 1D 1⊥平面A 1CC 1，所以只要B 1D 1⊥A 1C 1，还可以填写四边形A 1B 1C 1D 1是菱形，正方形等条件． 15．【答案】①③【解析】由条件可得AB ⊥平面P AD ，∴AB ⊥PD ，故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD ，由PB ⊥BC ，得PB ⊥平面ABCD ，从而P A ∥PB ， 这是不可能的，故②错；1·2PCD S CD PD =△，1·2PAB S AB PA =△，由AB ＝CD ，PD >P A 知③正确；由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ，∴EF ∥AB ， 故AE 与BF 共面，④错． 16．【答案】a >6【解析】由题意知：P A ⊥DE ，又PE ⊥DE ，P A ∩PE ＝P ，∴DE ⊥面P AE ，∴DE ⊥AE ．易证△ABE ∽△ECD ．设BE ＝x ，则A B B EC E C D=，即33xa x =-．∴290x ax +=-， 由0∆>，解得a >6．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】平行，见解析．【解析】直线MN ∥平面A 1BC 1．证明如下：∵M ∉平面A 1BC 1，N ∉平面A 1BC 1．∴MN ∉平面A 1BC 1． 如图，取A 1C 1的中点O 1，连接NO 1、BO 1．∵11112N D O C ∥，1112M D B C ∥，∴1NO MB ∥．∴四边形NO 1BM 为平行四边形．∴MN ∥BO 1．又∵BO 1⊂平面A 1BC 1，∴MN ∥平面A 1BC 1． 18．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）∵C 1C ⊥平面ABC ，∴C 1C ⊥AC ．∵AC ＝9，BC ＝12，AB ＝15，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ．又BC ∩C 1C ＝C ，∴AC ⊥平面BCC 1B 1，而B 1C ⊂平面BCC 1B 1，∴AC ⊥B 1C ． （2）连接BC 1交B 1C 于O 点，连接OD ．如图，∵O ，D 分别为BC 1，AB 的中点，∴OD ∥AC 1．又OD ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1．∴AC 1∥平面CDB 1． 19．【答案】（1）见解析；（2）存在，见解析．【解析】（1）证明∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥BC ．又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC ． 又∵AC ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ．（2）∵DE ∥BC ，又由(1)知，BC ⊥平面P AC ，∴DE ⊥平面P AC ． 又∵AE ⊂平面P AC ，PE ⊂平面P AC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ． ∴∠AEP 为二面角A DE P --的平面角． ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ，∴∠P AC ＝90°．∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ．这时∠AEP ＝90°， 故存在点E ，使得二面角A DE P --为直二面角．20．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）证明 连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点．因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1．又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ，故B 1C ⊥平面ABO ． 由于AB ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AB ．（2）解 在平面BB 1C 1C 内作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD ． 在平面AOD 内作OH ⊥AD ，垂足为H ．由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，故BC ⊥平面AOD ，所以OH ⊥BC ． 又OH ⊥AD ，所以OH ⊥平面ABC ．因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形．又BC ＝1，可得OD =．由于AC ⊥AB 1，所以11122OA B C ==．由OH ·AD ＝OD ·OA，且AD =OH ．又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC， 故三棱柱111ABC A B C -． 21．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3P ABCD V -=． 【解析】（1）证明 连接OE ，如图所示．∵O 、E 分别为AC 、PC 的中点，∴OE ∥P A ． ∵OE ⊂面BDE ，P A ⊄面BDE ，∴P A ∥面BDE ． （2）证明 ∵PO ⊥面ABCD ，∴PO ⊥BD ．在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥面P AC ． 又∵BD ⊂面BDE ，∴面P AC ⊥面BDE ．（3）解 取OC 中点F ，连接EF ．∵E 为PC 中点， ∴EF 为POC △的中位线，∴EF ∥PO ．又∵PO ⊥面ABCD ，∴EF ⊥面ABCD ，∴EF ⊥BD ． ∵OF ⊥BD ，OF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥面EFO ，∴OE ⊥BD ． ∴∠EOF 为二面角E BD C --的平面角，∴∠EOF ＝30°．在Rt △OEF中，1124OF OC AC ===，∴·tan 30EF OF =︒，∴2OP EF ==．∴2313P ABCD V a -=⨯． 22．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）V =． 【解析】（1）证明在三棱柱111ABC A B C -中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB ． 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1， 又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1． （2）证明 取AB 的中点G ，连接EG ，FG ．因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且12FG AC =． 因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1， 所以四边形FGEC 1为平行四边形．所以C 1F ∥EG ．又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE ．（3）解 因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC，所以AB == 所以三棱锥E －ABC的体积1111·12332ABC V S AA ==⨯⨯=△．。

高中数学 第二章 随机变量及其分布章末复习课练习(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题

高中数学 第二章 随机变量及其分布章末复习课练习(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题

章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别．“互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是说一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．2．对独立重复试验要准确理解．(1)独立重复试验的条件：第一，每次试验是在同样条件下进行；第二，任何一次试验中某事件发生的概率相等；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．(2)独立重复试验概率公式的特点：关于P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，它是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中n是重复试验次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数，弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．3．(1)准确理解事件和随机变量取值的意义，对实际问题中事件之间的关系要清楚．(2)认真审题，找准关键字句，提高解题能力．如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等．(3)常见事件的表示．已知两个事件A、B，则A，B中至少有一个发生为A∪B；都发生为A·B；都不发生为—A ·—B ；恰有一个发生为(—A ·B)∪(A·—B )；至多有一个发生为(—A ·—B )∪(—A ·B)∪(A·—B )．4．对于条件概率，一定要区分P(AB)与P(B|A)．5．(1)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E (ξ)的值可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值．它们都由ξ的分布列唯一确定．(2)D (ξ)表示随机变量ξ对E (ξ)的平均偏离程度．D (ξ) 越大表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散；反之D (ξ)越小，ξ的取值越集中．(3)D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)，在记忆和使用此结论时，请注意D (aξ＋b )≠aD (ξ)＋b ，D (aξ＋b )≠aD (ξ)．6．对于正态分布，要特别注意N (μ，σ2)由μ和σ唯一确定，解决正态分布问题要牢记其概率密度曲线的对称轴为x ＝μ.专题一 条件概率的求法条件概率是高考的一个热点，常以选择题或填空题的形式出现，也可能是大题中的一个部分，难度中等．[例1] 坛子里放着7个大小、形状相同的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．解：设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A ，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B ，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB .(1)从7个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的事件数为n (Ω)＝A 27＝42， 根据分步乘法计数原理，n (A )＝A 14×A 16＝24. 于是P (A )＝n （A ）n （Ω）＝2442＝47.(2)因为n (AB )＝A 24＝12， 所以P (AB )＝n （AB ）n （Ω）＝1242＝27.(3)法一 由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝27÷47＝12. 法二 因为n (AB )＝12，n (A )＝24， 所以P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝1224＝12.归纳升华解决概率问题的步骤．第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验、条件概率，然后把所给问题归结为某一种．第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式．第三步，利用条件概率公式求解：(1)条件概率定义：P (B |A )＝P （AB ）P （A ）.(2)针对古典概型，缩减基本事件总数P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.[变式训练] 已知100件产品中有4件次品，无放回地从中抽取2次每次抽取1件，求下列事件的概率：(1)第一次取到次品，第二次取到正品； (2)两次都取到正品．解：设A ＝{第一次取到次品}，B ＝{第二次取到正品}．(1)因为100件产品中有4件次品，即有正品96件，所以第一次取到次品的概率为P (A )＝4100，第二次取到正品的概率为P (B |A )＝9699，所以第一次取到次品，第二次取到正品的概率为P (AB )＝P (A )P (B |A )＝4100×9699＝32825. (2)因为A ＝{第一次取到次品}，且P (A )＝1－P (A )＝96100， P (B |A )＝9599，所以P (AB )＝P (A )P (B |A )＝96100×9599＝152165. 专题2 独立事件的概率要正确区分互斥事件与相互独立事件，准确应用相关公式解题，互斥事件是不可能同时发生的事件，相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件没有影响．[例2] 某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P 1＝23，乙的命中率为P 2，在射击比赛活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．(1)若P 2＝12，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率．(2)计划在2018年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ，如果E (ξ)≥5，求P 2的取值X 围．解析：(1)因为P 1＝23，P 2＝12，根据“先进和谐组”的定义可得，该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，所以该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 12·12·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23·23⎝ ⎛⎭⎪⎫12·12＝13.(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率P ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·23·13[C 12·P 2·(1－P 2)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23·23()P 2·P 2＝89P 2－49P 22， 又ξ～B (12，P )，所以E (ξ)＝12P ， 由E (ξ)≥5知，⎝ ⎛⎭⎪⎫89P 2－49P 22·12≥5，解得34≤P 2≤1.[变式训练] 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率． (2)2人中恰有1人射中目标的概率． (3)2人中至少有1人射中目标的概率．解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，与B ， A 与B ，与为相互独立事件．(1)2人都射中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.9＝0.72.(2)“2人中恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A 发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B 发生)．根据题意，知事件A 与B 互斥，所求的概率为P ＝P (A )＋P (B )＝P (A )P ()＋P ()P (B )＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.(3)“2人中至少有1人射中目标”包括“2人都射中”和“2人中有1人射中”2种情况，其概率为P ＝P (AB )＋[P (A )＋P (B )]＝0.72＋0.26＝0.98.专题三 独立重复试验与二项分布二项分布是高考考查的重点，要准确理解、熟练运用其概率公式P n (k )＝C kn ·p k(1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n ，高考以解答题为主，有时也用选择题、填空题形式考查．[例3] 现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，X 同学从中任取3道题解答． (1)求X 同学所取的3道题至少有1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设X 同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示X 同学答对题的个数，求X 为1和3的概率．解：(1)设事件A ＝“ X 同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“X 同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (— A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (— A )＝56.(2)P (X ＝1)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎫251·15＋C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎫252·45＝28125； P (X ＝3)＝C 22⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫25·45＝36125. 归纳升华解决二项分布问题必须注意： (1)对于公式P n (k )＝C k n ·p k (1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n 必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n 次．[变式训练] 口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖．每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为()A.80243B.100243C.80729D.100729解析：每次摸球中奖的概率为C 14C 15C 29＝2036＝59，由于是有放回地摸球，故3次摸球相当于3次独立重复实验， 所以3次摸球恰有1次中奖的概率P ＝C 13×59×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－592＝80243.答案：A专题四 离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的均值和方差在实际问题中具有重要意义，也是高考的热点内容． [例4] (2016·某某卷)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13. 所以，事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以随机变量X 的分布列为：X 0 1 2 P415715415随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.归纳升华(1)求离散型随机变量的分布列有以下三个步骤：①明确随机变量X 取哪些值；②计算随机变量X 取每一个值时的概率；③将结果用表格形式列出．计算概率时要注意结合排列组合知识．(2)均值和方差的求解方法是：在分布列的基础上利用E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 求出均值，然后利用D (X )＝∑i ＝1n[x i －E (X )]2p i 求出方差．[变式训练] 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：0.3，0.7，0.9，求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差．(2)在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．解：(1)由已知条件有P (X ＜300)＝0.3，P (300≤X ＜700)＝P (X ＜700)－P (X ＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P (700≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜700)＝0.9－0.7＝0.2. P (X ≥900)＝1－P (X ＜900)＝1－0.9＝0.1.所以Y 的分布列为于是，E (Y )＝0×0.3D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P (X ≥300)＝1－P (X ＜300)＝0.7， 又P (300≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X ＜900|X ≥300)＝P （300≤X ＜900）P （X ≥300）＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.专题五 正态分布及简单应用高考主要以选择题、填空题形式考查正态曲线的形状特征与性质，抓住其对称轴是关键． [例5] 某市去年高考考生成绩服从正态分布N (500，502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．解：因为考生成绩X ～N (500，502)，所以μ＝500，σ＝50，所以P (550<X ≤600)＝12[P (500－2×50<X ≤500＋2×50)－P (500－50<X ≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.故考生成绩在550～600分的人数为25 000×0.135 9≈3 398(人)． 归纳升华正态分布概率的求法1．注意3σ原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率．2．注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．[变式训练] 某镇农民年收入服从μ＝5 000元，σ＝200元的正态分布．则该镇农民平均收入在5 000～5 200元的人数的百分比是________．解析：设X 表示此镇农民的平均收入，则X ～N (5 000，2002)． 由P (5 000－200＜X ≤5 000＋200)＝0.682 6. 得P (5 000＜X ≤5 200)＝0.682 62＝0.341 3.故此镇农民平均收入在5 000～5 200元的人数的百分比为34.13%. 答案：34.13% 专题六 方程思想方程思想是解决概率问题中的重要思想，在求离散型随机变量的分布列，求两个或三个事件的概率时常会用到方程思想．即根据题设条件列出相关未知数的方程(或方程组)求得结果．[例6] 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率． 解：记A ，B ，C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件． 由题设条件有⎩⎪⎨⎪⎧P （A — B ）＝14，P （B — C ）＝112，P （AC ）＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）[1－P （B ）]＝14， ①P （B ）[1－P （C ）]＝112，②P （A ）P （C ）＝29. ③由①③得P (B )＝1－98P (C )，代入②得27[P (C )]2－51P (C )＋22＝0.解得P (C )＝23或P (C )＝119(舍去)．将P (C )＝23分别代入②③可得P (A )＝13，P (B )＝14.故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.(2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件．则P (D )＝1－P (— D )＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56.归纳升华(1)在求离散型随机变量的分布列时，常利用分布列的性质：①p 1≥0，i ＝1，2，3，…，n ；②∑i ＝1np i ＝1，列出方程或不等式求出未知数．(2)在求两个或多个概率时，常根据不同类型的概率公式列出方程或方程组求出未知数． [变式训练] 若离散型随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 P9a 2－a3－8a求常数a 解：由离散型随机变量的性质得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－a ＋3－8a ＝1，0≤9a 2－a ≤1，0≤3－8a ≤1，解得a ＝23(舍去)或a ＝13.所以，随机变量的分布列为：ξ 0 1 P2313。

2020年高中数学新人教版选修2-2测试卷推理与证明章末检测卷 Word版含解析

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章末检测卷（二）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2用的是( ) A ．归纳推理 B ．演绎推理 C ．类比推理 D ．特殊推理答案 A2．在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则有EF ∥BC ，这个问题的大前提为( ) A ．三角形的中位线平行于第三边 B ．三角形的中位线等于第三边的一半 C ．EF 为中位线 D ．EF ∥BC 答案 A解析 这个三段论的推理形式是：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF 为△ABC 的中位线；结论：EF ∥BC .3．对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式： 22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7 23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，n 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋n ＝( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 答案 B解析 ∵m 2＝1＋3＋5＋…＋11＝1＋112×6＝36，∴m ＝6.∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11， 43＝13＋15＋17＋19， ∴53＝21＋23＋25＋27＋29， ∵n 3的分解中最小的数是21， ∴n 3＝53，n ＝5，∴m ＋n ＝6＋5＝11.4．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是( )A ．假设2是有理数B ．假设3是有理数C ．假设2或3是有理数D ．假设2＋3是有理数 答案 D解析 应对结论进行否定，则2＋3不是无理数，即2＋3是有理数．5．用数学归纳法证明1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2nn ＋1时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是( ) A.2k (k ＋2)B.1k (k ＋1)C.1(k ＋1)(k ＋2)D.2(k ＋1)(k ＋2)答案 D解析 由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋(k ＋1)＝2(k ＋1)(k ＋2).故选D.6．已知f (x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为( )A.42x＋2B.2x ＋1C.1x ＋1D.22x ＋1答案 B解析 当x ＝1时，f (2)＝2f (1)f (1)＋2＝23＝22＋1，当x ＝2时，f (3)＝2f (2)f (2)＋2＝24＝23＋1；当x ＝3时，f (4)＝2f (3)f (3)＋2＝25＝24＋1，故可猜想f (x )＝2x ＋1，故选B. 7．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )且f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )不能等于( ) A ．f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1) B ．f (n (n ＋1)2)C ．n (n ＋1)D.n (n ＋1)2f (1)答案 C解析 f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， 令x ＝y ＝1，∴f (2)＝2f (1)，令x ＝1，y ＝2，f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1) ⋮f (n )＝nf (1)，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝(1＋2＋…＋n )f (1) ＝n (n ＋1)2f (1)．∴A、D 正确；又f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝f (1＋2＋…＋n ) ＝f (n (n ＋1)2)．∴B 也正确，故选C.8．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与“a ，b ，c 是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a ，b ，c 是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确． 9．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有( ) ①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱椎． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 答案 C解析 类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体． 10．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2 013等于( )A.12 B ．－1 C ．2 D ．3 答案 C解析 ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2， ∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *) ∴a 2 013＝a 3＋3×670＝a 3＝2.11．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，且f (x )在(2，＋∞)上为增函数．已知x 1＋x 2<4且(x 1－2)·(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能等于0D ．可正也可负答案 A解析 不妨设x 1－2<0，x 2－2>0， 则x 1<2，x 2>2，∴2<x 2<4－x 1，∴f (x 2)<f (4－x 1)，即－f (x 2)>－f (4－x 1)， 从而－f (x 2)>－f (4－x 1)＝f (x 1)，f (x 1)＋f (x 2)<0.12．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是( )A ．4n ＋2B ．4n －2C ．2n ＋4D ．3n ＋3答案 A解析 方法一 (归纳猜想法)观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个，因此第n 个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n 项”． 故第n 个图案中有白色地面砖的块数是4n ＋2. 方法二 (特殊值代入排除法)或由图可知，当n ＝1时，a 1＝6，可排除B 答案 当n ＝2时，a 2＝10，可排除C 、D 答案．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为____________． 答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2解析 通过观察可以得规律为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2. 14．观察下列等式： (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为______________．答案 (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)解析 由已知的三个等式左边的变化规律，得第n 个等式左边为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n 个等式右边为2n与n 个奇数之积，即2n×1×3×…×(2n －1)．15．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝AC BC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中(如图所示)，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．答案AE EB ＝S △ACDS △BCD解析 CE 平分∠ACB ，而面CDE 平分二面角A —CD —B . ∴AC BC 可类比成S △ACDS △BCD， 故结论为AE EB ＝S △ACDS △BCD.16．已知S k ＝1k＋2k＋3k＋…＋n k，当k ＝1,2,3，…时，观察下列等式：S 1＝12n 2＋12n ， S 2＝13n 3＋12n 2＋16n ， S 3＝14n 4＋12n 3＋14n 2，S 4＝15n 2＋12n 4＋13n 3－130n ， S 5＝An 6＋12n 5＋512n 4＋Bn 2，…可以推测，A －B ＝________. 答案 14解析 由S 1，S 2，S 3，S 4，S 5的特征，推测A ＝16.又各项的系数和为1，∴A ＋12＋512＋B ＝1，则B ＝－112.因此推测A －B ＝16＋112＝14.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)1，3，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由．解 假设1，3，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d ，则 1＝3－md,2＝3＋nd ，m ，n 为两个正整数，消去d 得m ＝(3＋1)n .∵m 为有理数，(3＋1)n 为无理数， ∴m ≠(3＋1)n . ∴假设不成立．即1，3，2不可能为同一等差数列中的三项． 18．(12分)设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，对任意实数a ，b 不等式都成立．19．(12分)已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数．求证三个方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b ＝0至少有一个方程有两个相异实根． 证明 反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b 2－4ac ≤0，Δ2＝4c 2－4ab ≤0，Δ3＝4a 2－4bc ≤0. 相加有a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＋c 2－2ac ＋a 2≤0， (a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≤0.①由题意a 、b 、c 互不相等，∴①式不能成立．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．20．(12分)设a ，b ，c 为一个三角形的三条边，s ＝12(a ＋b ＋c )，且s 2＝2ab ，试证：s <2a .证明 要证s <2a ，由于s 2＝2ab ，所以只需证s <s 2b，即证b <s .因为s ＝12(a ＋b ＋c )，所以只需证2b <a ＋b ＋c ，即证b <a ＋c .由于a ，b ，c 为一个三角形的三条边，所以上式成立．于是原命题成立． 21．(12分)数列{a n }满足a 1＝16，前n 项和S n ＝n (n ＋1)2a n .(1)写出a 2，a 3，a 4；(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明． 解 (1)令n ＝2，∵a 1＝16，∴S 2＝2×(2＋1)2a 2，即a 1＋a 2＝3a 2.∴a 2＝112.令n ＝3，得S 3＝3×(3＋1)2a 3，即a 1＋a 2＋a 3＝6a 3，∴a 3＝120.令n ＝4，得S 4＝4×(4＋1)2a 4，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10a 4，∴a 4＝130.(2)猜想a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)，下面用数学归纳法给出证明．①当n ＝1时，a 1＝16＝1(1＋1)(1＋2)，结论成立．②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝1(k ＋1)(k ＋2)，则当n ＝k ＋1时，S k ＝k (k ＋1)2a k ＝k (k ＋1)2·1(k ＋1)(k ＋2)＝k2(k ＋2)，S k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1， 即S k ＋a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1.∴k 2(k ＋2)＋a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1.∴a k ＋1＝k2(k ＋2)(k ＋1)(k ＋2)2－1＝kk (k ＋3)(k ＋2)＝1(k ＋2)(k ＋3).当n ＝k ＋1时结论成立．由①②可知，对一切n ∈N *都有a n ＝1(n ＋1)(n ＋2).22．(12分)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n，是否存在关于自然数n 的函数g (n )，使等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝g (n )·f (n )－1]对于n ≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．解 当n ＝2时，由f (1)＝g (2)·f (2)－1]， 得g (2)＝f (1)f (2)－1＝1(1＋12)－1＝2，当n ＝3时，由f (1)＋f (2)＝g (3)·f (3)－1]， 得g (3)＝f (1)＋f (2)f (3)－1＝1＋(1＋12)(1＋12＋13)－1＝3，猜想g (n )＝n (n ≥2)． 下面用数学归纳法证明：当n ≥2时，等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝nf (n )－1]恒成立． ①当n ＝2时，由上面计算可知，等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *且k ≥2)时，等式成立，即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝kf (k )－1](k ≥2)成立，那么当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝kf(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)f(k＋1)－1k＋1]－k＝(k＋1)f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时，等式也成立．由①②知，对一切n≥2的自然数n，等式都成立，故存在函数g(n)＝n，使等式成立．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!文库精品（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

2017-2018学年高二数学人教版(选修2-2)第二章 推理与证明 章末检测卷

2017-2018学年高二数学人教版(选修2-2)第二章 推理与证明 章末检测卷

第二章 推理与证明章末检测一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．用数学归纳法证明等式*()()(341233)()2n n n n +++++++=∈N ，验证1n =时，左边应取的项是A ．1B ．12+C ．123++D ．1234+++2．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等．在以上三段论的推理中 A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论错误31 A ．22)511()17(->- B ．22)511()17(+>+ C ．22)111()57(+>+D ．22)111()57(->-4．已知圆()x y r r 222+=>0的面积为πS r 2=⋅，由此推理椭圆()x y a b a b2222+=1>>0的面积最有可能是A ．πa 2⋅B ．πb 2⋅C ．πab ⋅D ．π()ab 253n n ++=n k =到1n k =+，不等式左边应加上A ．33312()()(1)k k k ++++++B ．31k +C ．3(1)k +D 6．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是 A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰有两个实根7．实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，0abc >，则111a b c++的值 A ．一定是正数 B ．一定是负数 C ．可能是0D ．正、负不确定8．观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，…，可归纳出式子为 A ．2221111123n n ++++< B ．222111112321n n ++++<+C ．22211121123n n n-++++<D ．222111212321n n n ++++<+ 9．对于数25，规定第1次操作为3325133+=，第2次操作为3313+3355+=，如此反复操作，则第2017次操作后得到的数是 A ．25 B ．250 C ．55D ．13310．（1）已知332p q +=，求证：2≤+q p ．用反证法证明时，可假设2≥+q p ；（2）若,a b ∈R ，1<+b a ，求证：方程02=++b ax x 的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11≥x ．以下结论正确的是 A ．（1）与（2）的假设都错误 B ．（1）的假设正确，（2）的假设错误 C ．（1）与（2）的假设都正确D ．（1）的假设错误，（2）的假设正确11．两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是A ．84，85B ．62，63C ．75，76D ．48，4912．从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为A ．2097B ．1553C ．1517D ．2111二、填空题：请将答案填在题中横线上．1314．在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高．观众,,A B C 做了一项预测：A 说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”．B 说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”．C 说：“我认为冠军不会是丙，而是甲”．比赛结果出来后，发现,,A B C 三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是________________．15．已知,,a b c 是ABC △的三边，若满足222a b c +=，即22()()1a b c c+=，则ABC △为直角三角形，类比此结论：若满足(,3)n n n a b c n n +=∈≥N 时，ABC △的形状为________________．（填“锐角三角形”“直角三角形”或“钝角三角形”）．16．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________________． 17．观察以下等式：11=，311=123+=，33129+= 1236++=，33312336++=123410+++=， 33331234100+++= 1234515++++=，3333312345225++++=……可以推测3333123n ++++=________________(用含有n 的式子表示，其中n 为自然数)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知命题：平面上一矩形ABCD 的对角线AC 与边AB 、AD 所成的角分别为α，β（如图），则1cos cos 22=+βα．用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明．19．（1）已知a ，b 都是正数，求证：552332a b a b a b +≥+；（2）已知0a >1()(2a a≥+-．20．设函数2()f x ax bx c =++且(1)2af =-，322.a c b >> （1）试用反证法证明：0a >； （2）证明：33.4b a -<<-21．观察下表：1， 2，3 4，5，6，78，9，10，11，12，13，14，15，……问：（1）此表第n 行的最后一个数是多少？ （2）此表第n 行的各个数之和是多少？ （3）2017是第几行的第几个数？22．已知2Q =x ，y 的二维平方平均数，22x y A +=称为x ，y的二维算术平均数，2G =为x ，y 的二维几何平均数，2211H x y=+称为x ，y 的二维调和平均数，其中x ，y 均为正数．（1）试判断2G 与2H 的大小，并证明你的猜想；（2）令22M A G =-，22N G H =-，试判断M 与N 的大小，并证明你的猜想；（3）令22M A G =-，22N G H =-，22P Q A =-，试判断M 、N 、P 三者之间的大小关系，并证明你的猜想．23．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且方程20n n x a x a --=有一根为*()1n S n -∈N ．（1）求1a ，2a 的值；（2）猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法进行证明．参考答案1．【答案】D【解析】等式左边的数是从1加到3n +，当1n =时，34n +=，故此时左边的数为从1加到4．故选D ．3．【答案】C【解析】由题为分析法进行证明不等式，两边平方需保证两边的数为非负数，合理的证明为22)111()57(+>+．故选C ．4．【答案】C【解析】把圆看作一种特殊的圆锥曲线，它的长半轴为r ，短半轴为r ，πS r 2=⋅，椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，则πS ab =⋅．故选C ． 5．【答案】A【解析】当n k =时，左边3123k =++++，当1n k =+时，左边为333312()312(1())k k k k ++++++++++，所以不等式左边应加上33312()()(1)k k k ++++++，故选A ．6．【答案】A【解析】因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根个数大于或等于1”，所以假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A ． 7．【答案】B【解析】∵0a b c ++=，∴a ，b ，c 必有正数和负数，或都为0，又0abc >，∴a ，b ，c 中必有两负一正，不妨设0a <，0b <，0c >，且||||a c <，∴11||||a c >，∴11a c ->，而10b<，所以1110a b c++<．故选B ． 8．【答案】C【解析】观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，…，可归纳出，分母就是求和的项数，分子就是2乘以项数减去1，则得到的表达式为22211121123n n n-++++<．故选C ．【解析】第1次操作为3325133+=，第2次操作为33313355++=，第3次操作为53+53=250，第4次操作为23+53+03=133，…，∴操作结果以3为周期，循环出现．∵2017=3×672+1，∴第2017次操作后得到的数与第1次操作后得到的数相同，∴第2017次操作后得到的数是133，故选D ． 10．【答案】D【解析】（1）的结论的否定应该是2>+q p ，故错；（2）的否定是方程的两根至少有一个大于或等于1，故（2）正确．故选D ． 11．【答案】A【解析】由已知图形中座位的排列顺序，可得被5除余1的数，和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有A 符合条件．故选A ．13．【答案】>21313=++的大小，要比较13+13+>> 14．【答案】甲【解析】由题知，B 、C 的预测截然相反，必一对一错，因为只有一个对，不论B 、C 谁对，A 必是一对一错，假设B 的预测是对的，则丙是冠军，那么A 说冠军也不会是乙也对，这与题目中“还有一人的两个判断一对一错”相矛盾，即假设不成立，所以B 的预测是错误的，则C 的预测是对的，所以甲是冠军． 15．【答案】锐角三角形【解析】易得c 最大，则C 角最大，【解析】若负主要责任的是甲，则甲乙丙都在说假话，只有丁说真话，符合题意．若负主要责任的是乙，则甲丙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丙，则乙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丁，则甲乙丙丁都在说假话，不合题意．故填甲．18．【答案】见解析．（答案不唯一，符合题意即可）【解析】命题：长方体D C B A ABCD ''''-中(如图)，对角线C A '与棱AB 、AD 、A A '所成的角分别为γβα,,，则1cos cos cos 222=++γβα． 证明：∵C A AB '=αcos ，C A AD '=βcos ，C A A A ''=γcos ， ∴1cos cos cos 222222222=''=''++=++C A C A C A A A AD AB γβα．19．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）552332a b a b a b +--523532a a b b a b =-+-233233()()a a b b a b =--- 2233()()a b a b =--222()()()a b a ab b a b =-+++．∵,a b 都是正数，∴220,0a b a ab b +>++>，2()0a b -≥，233255b a b a b a +≥+∴．（21()(2a a+-，只要证2222111()2(2)(2a a a a a a++--++≥，即证1022(2)(6a a --++-≥，即证12(2)8a a -+-≥，即证12a a+≥，因为0a >，所以12a a +=≥，1()(2a a≥+-． 20．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．（2）∵(1)2a b c a f ++==-，∴32c a b =--， ∴3232a c a b >=--，∴3a b >-． ∵22c b >，∴34a b ->． ∵0a >，∴334b a -<<-． 21．【答案】（1）21n -；（2）232322n n --⋅-；（3）第11行的第994个数．【解析】（1）因为第1n +行的第1个数是2n ，所以第n 行的最后一个数是21n -．（2）第n 行的各个数为12n -，121n -+，122n -+，…，21n -， (21n++- 故此表第n 行的各个数之和是232322n n --⋅-．（3）因为1021024=，1122048=，102420172048<<，所以2017在第11行，该行第1个数是1021024=，由2017 1 0241994-+=，知2017是第11行的第994个数．22．【答案】（1）22G H ≥；（2）M N ≥；（3）M P N ≥≥．（2）M N ≥．证明：欲证M N ≥，即证22x y xy x y++≥+由均值不等式可得22x y xy x y ++≥=+， 等号成立的条件是x y =，所以原命题成立．（2）M P N ≥≥． 首先证明M P ≥：欲证M P ≥，即证x y +≥即证222222x y x y xy xy +++≥+即证2()2x y +≥ 即证422()8()x y xy x y +≥+，即证4()0x y -≥， 上式显然成立，等号成立的条件是x y =，故M P ≥． 再证P N ≥：欲证P N ≥x y =时，上式显然成立，当x y ≠时，即证x y +≥ 而此式子在证明M P ≥已经成功证明，所以原命题成立．23．【答案】（1）112a =，216a =；（2）猜想：*()1n n S n n =∈+N ，证明见解析．（2）由题意知2()(110)n n n n S a S a ----=， 当2n ≥时，1n n n a S S -=-，代入上式整理得1210n n n S S S --+=，即112n n S S -=-． 由（1）得1112S a ==，212112263S a a =+=+=，由此猜想：*()1n n S n n =∈+N ． 下面用数学归纳法进行证明：①当1n =时，1111112S a ===+，1n n S n =+成立； ②假设*),1(n k k k =∈≥N 时结论成立，即1k k S k =+，则当1n k =+时，1111122(1)121k k k k S k S k k k +++====-+++-+， 即当1n k =+时1n n S n =+成立． 由①②可知1n n S n =+对任意的正整数n 都成立．。

高中数学人教A版必修二 章末综合测评2 Word版含答案

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点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．设a、b为两条直线α、β为两个平面则正确的命题是()【09960089】A．若a、b与α所成的角相等则a∥bB．若a∥αb∥βα∥β则a∥bC．若a⊂αb⊂βa∥b则α∥βD．若a⊥αb⊥βα⊥β则a⊥b【解析】A中a、b可以平行、相交或异面；B中a、b可以平行或异面；C中α、β可以平行或相交．【答案】 D2．(2016·山西山大附中高二检测)如图1在正方体ABCD-A1B1C1D1中E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点则异面直线EF与GH所成的角等于()图1A．45°B．60°C．90°D．120°【解析】如图连接A1B、BC1、A1C1则A1B＝BC1＝A1C1且EF∥A1B、GH∥BC1所以异面直线EF与GH所成的角等于60°【答案】 B3．设l为直线αβ是两个不同的平面．下列命题中正确的是() A．若l∥αl∥β则α∥βB．若l⊥αl⊥β则α∥βC．若l⊥αl∥β则α∥βD．若α⊥βl∥α则l⊥β【解析】选项A平行于同一条直线的两个平面也可能相交故选项A错误；选项B垂直于同一直线的两个平面互相平行选项B正确；选项C由条件应得α⊥β故选项C错误；选项D l与β的位置不确定故选项D错误．故选B【答案】 B7．(2015·洛阳高一检测)如图2△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形且∠BAC＝60°下列说法中错误的是()图2A．AD⊥平面BDCB．BD⊥平面ADCC．DC⊥平面ABDD．BC⊥平面ABD【解析】由题可知AD⊥BDAD⊥DC所以AD⊥平面BDC又△ABD与△ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形所以AB＝ACBD＝DC＝22AB又∠BAC＝60°所以△ABC为等边三角形故BC＝AB＝2BD所以∠BDC＝90°即BD⊥DC所以BD⊥平面ADC同理DC⊥平面ABD所以A、B、C项均正确．选D【答案】 D8．正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12底面对角线的长为26则侧面与底面所成的二面角为() A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】由棱锥体积公式可得底面边长为23高为3在底面正方形的任一边上取其中点连接棱锥的顶点及其在底面的射影根据二面角定义即可判定其平面角在直角三角形中因为tan θ＝3(设θ为所求平面角)所以二面角为60°选C【答案】 C9．将正方形ABCD沿BD折成直二面角M为CD的中点则∠AMD 的大小是()A．45°B．30°C．60°D．90°【解析】 如图设正方形边长为a 作AO ⊥BD 则AM ＝AO 2＋OM 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝32a又AD ＝aDM ＝a2∴AD 2＝DM 2＋AM 2∴∠AMD ＝90° 【答案】 D10．在矩形ABCD 中若AB ＝3BC ＝4P A ⊥平面AC 且P A ＝1则点P 到对角线BD 的距离为( )A 292B 135C 175D 1195【解析】 如图过点A 作AE ⊥BD 于点E 连接PE∵P A ⊥平面ABCDBD ⊂平面ABCD ∴P A ⊥BD ∴BD ⊥平面P AE ∴BD ⊥PE∵AE ＝AB ·AD BD ＝125P A ＝1 ∴PE ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝135 【答案】 B11．(2016·大连高一检测)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直体积为94底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )【09960090】A．75°B．60°C．45°D．30°【解析】如图所示P为正三角形A1B1C1的中心设O为△ABC的中心由题意知：PO⊥平面ABC连接OA则∠P AO即为P A与平面ABC 所成的角．在正三角形ABC中AB＝BC＝AC＝ 3则S＝34×(3)2＝334VABC-A1B1C1＝S×PO＝94∴PO＝ 3又AO＝33×3＝1∴tan ∠P AO＝POAO＝3∴∠P AO＝60°【答案】 B12．正方体ABCD-A1B1C1D1中过点A作平面A1BD的垂线垂足为点H以下结论中错误的是()A．点H是△A1BD的垂心B．AH⊥平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成的角为45°【解析】因为AH⊥平面A1BDBD⊂平面A1BD所以BD⊥AH又BD⊥AA1且AH∩AA1＝A所以BD⊥平面AA1H又A1H⊂平面AA1H所以A1H⊥BD同理可证BH⊥A1D所以点H是△A1BD的垂心A正确．因为平面A1BD∥平面CB1D1所以AH⊥平面CB1D1B正确．易证AC1⊥平面A1BD因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直所以AC1和AH重合．故C正确．因为AA1∥BB1所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角．因为∠AA1H≠45°所以∠A1AH≠45°故D错误．【答案】 D二、填空题(本大题共4小题每小题5分共20分将答案填在题中的横线上)13．设平面α∥平面βA、C∈αB、D∈β直线AB与CD交于点S 且点S位于平面αβ之间AS＝8BS＝6CS＝12则SD＝________【解析】由面面平行的性质得AC∥BD ASBS＝CSSD解得SD＝9【答案】914．如图3四棱锥S-ABCD中底面ABCD为平行四边形E是SA上一点当点E满足条件：________时SC∥平面EBD图3【解析】当E是SA的中点时连接EBEDAC设AC与BD的交点为O连接EO∵四边形ABCD是平行四边形∴点O是AC的中点．又E是SA的中点∴OE是△SAC的中位线．∴OE∥SC∵SC⊄平面EBDOE⊂平面EBD∴SC∥平面EBD【答案】E是SA的中点15．如图4所示在正方体ABCD-A1B1C1D1中MN分别是棱AA1和AB上的点若∠B1MN是直角则∠C1MN等于________．图4【解析】∵B1C1⊥平面A1ABB1MN⊂平面A1ABB1∴B1C1⊥MN又∠B1MN为直角∴B1M⊥MN而B1M∩B1C1＝B1∴MN ⊥平面MB 1C 1又MC 1⊂平面MB 1C 1 ∴MN ⊥MC 1∴∠C 1MN ＝90° 【答案】 90°16．已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是矩形P A ⊥底面ABCD 点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点则①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△P AB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号) 【解析】 由条件可得AB ⊥平面P AD ∴AB ⊥PD 故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD 由PB ⊥BC得PB ⊥平面ABCD 从而P A ∥PB 这是不可能的故②错；S △PCD ＝12CD ·PDS △P AB ＝12AB ·P A由AB ＝CDPD >P A 知③正确； 由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点 可得EF ∥CD 又AB ∥CD∴EF ∥AB 故AE 与BF 共面④错． 【答案】 ①③三、解答题(本大题共6小题共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图5所示已知△ABC 中∠ACB ＝90°SA ⊥平面ABCAD ⊥SC 求证：AD ⊥平面SBC图5【证明】∵∠ACB＝90°∴BC⊥AC又∵SA⊥平面ABC∴SA⊥BC∵SA∩AC＝A∴BC⊥平面SAC∴BC⊥AD又∵SC⊥ADSC∩BC＝C∴AD⊥平面SBC18．(本小题满分12分)如图6三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直AC＝9BC＝12AB＝15AA1＝12点D是AB的中点．图6(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1【证明】(1)∵C1C⊥平面ABC∴C1C⊥AC∵AC＝9BC＝12AB＝15∴AC2＋BC2＝AB2∴AC⊥BC又BC∩C1C＝C∴AC⊥平面BCC1B1而B1C⊂平面BCC1B1∴AC⊥B1C(2)连接BC1交B1C于O点连接OD如图∵OD分别为BC1AB的中点∴OD∥AC1又OD⊂平面CDB1AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1 19．(本小题满分12分)(2016·德州高一检测)某几何体的三视图如图7所示P是正方形ABCD对角线的交点G是PB的中点．(1)根据三视图画出该几何体的直观图；(2)在直观图中①证明：PD∥面AGC；②证明：面PBD⊥面AGC图7【解】(1)该几何体的直观图如图所示：(2)证明：①连接ACBD交于点O连接OG因为G为PB的中点O为BD 的中点所以OG ∥PD②连接PO 由三视图知PO ⊥平面ABCD 所以AO ⊥PO又AO ⊥BO 所以AO ⊥平面PBD因为AO ⊂平面AGC所以平面PBD ⊥平面AGC20．(本小题满分12分)(2016·济宁高一检测)如图8正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直EF ∥ACAB ＝2CE ＝EF ＝1图8(1)求证：AF ∥平面BDE ；(2)求证：CF ⊥平面BDE【09960091】【证明】 (1)如图设AC 与BD 交于点G因为EF ∥AG 且EF ＝1AG ＝12AC ＝1所以四边形AGEF 为平行四边形．所以AF ∥EG因为EG⊂平面BDEAF⊄平面BDE所以AF∥平面BDE(2)连接FG∵EF∥CGEF＝CG＝1∴四边形CEFG为平行四边形又∵CE＝EF＝1∴▱CEFG为菱形∴EG⊥CF在正方形ABCD中AC⊥BD∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直∴BD⊥平面CEFG∴BD⊥CF又∵EG∩BD＝G∴CF⊥平面BDE21．(本小题满分12分)(2015·山东高考)如图9三棱台DEF-ABC 中AB＝2DEGH分别为ACBC的中点．图9(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BCAB⊥BC求证：平面BCD⊥平面EGH【解】(1)证法一：连接DGCD设CD∩GF＝M连接MH在三棱台DEF-ABC中AB＝2DEG为AC的中点可得DF∥GCDF＝GC所以四边形DFCG为平行四边形则M为CD的中点．又H为BC的中点所以MH∥BD又MH⊂平面FGHBD⊄平面FGH所以BD∥平面FGH 证法二：在三棱台DEF-ABC中由BC＝2EFH为BC的中点可得BH∥EFBH＝EF所以四边形BHFE为平行四边形可得BE∥HF在△ABC中G为AC的中点H为BC的中点所以GH∥AB又GH∩HF＝H所以平面FGH∥平面ABED因为BD⊂平面ABED所以BD∥平面FGH(2)连接HE因为GH分别为ACBC的中点所以GH∥AB由AB⊥BC得GH⊥BC又H为BC的中点所以EF∥HCEF＝HC因此四边形EFCH是平行四边形．所以CF∥HE又CF⊥BC所以HE⊥BC又HEGH⊂平面EGHHE∩GH＝H所以BC⊥平面EGH又BC⊂平面BCD所以平面BCD⊥平面EGH22．(本小题满分12分)(2016·重庆高一检测)如图10所示ABCD是正方形O是正方形的中心PO⊥底面ABCD底面边长为aE是PC的中点．图10(1)求证：P A∥平面BDE；平面P AC⊥平面BDE；(2)若二面角E-BD-C为30°求四棱锥P-ABCD的体积．【解】(1)证明：连接OE如图所示．∵O、E分别为AC、PC的中点∴OE∥P A∵OE⊂平面BDEP A⊄平面BDE∴P A∥平面BDE∵PO⊥平面ABCD∴PO⊥BD在正方形ABCD中BD⊥AC又∵PO∩AC＝O∴BD⊥平面P AC又∵BD⊂平面BDE∴平面P AC⊥平面BDE(2)取OC中点F连接EF∵E为PC中点∴EF为△POC的中位线∴EF∥PO又∵PO⊥平面ABCD∴EF⊥平面ABCD∵OF ⊥BD ∴OE ⊥BD∴∠EOF 为二面角E -BD -C 的平面角 ∴∠EOF ＝30°在Rt △OEF 中OF ＝12OC ＝14AC ＝24a∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ∴OP ＝2EF ＝66a∴V P -ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3。

人教版-数学-高二-数学人教B版选修2-2章末测试 第二章推理与证明B

人教版-数学-高二-数学人教B版选修2-2章末测试 第二章推理与证明B

第二章测评B(高考体验卷)(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根2．(2013陕西西安高三检测)三段论：“①所有的中国人都坚强不屈；②玉树人是中国人；③玉树人一定坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是() A．①②B．①③C．②③D．②①3．(2012江西高考)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28 B．76 C．123 D．1994．(2013大连高三模拟)若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.证明过程如下：∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又∵a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一个“＝”不成立，∴将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)＞2(ab＋bc＋ac)，∴a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.此证法是()A．分析法B．综合法C．分析法与综合法并用D．反证法5．(2014浙江杭州高三质检)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等②各个面是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任何两条棱的夹角都相等A．①B．①②C．①②③D．③6．(2014山东潍坊高三模拟)当a ，b ，c ∈(0，＋∞)时，由a ＋b 2≥ab ，a ＋b ＋c 3≥3abc ，运用归纳推理，可猜测出的合理结论是( )A.a 1＋a 2＋…＋a n2≥a 1a 2…a n (a i ＞0，i ＝1,2，…，n )B.a 1＋a 2＋…＋a n 3≥3a 1a 2…a n (a i ＞0，i ＝1,2，…，n )C.a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (a i ∈R ，i ＝1,2，…，n )D.a 1＋a 2＋…＋a n n≥n a 1a 2…a n (a i ＞0，i ＝1,2，…，n )7．(2013陕西高考)设表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( ) A ．＝－B ．＝2C ．≤＋D ．≤－8．(2012长春调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S (x )＝a x －a －x ，C (x )＝a x ＋a －x ，其中a ＞0，且a ≠1，下面正确的运算公式是( )①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y ) ②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y ) ③2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )④2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y ) A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③9．(2012江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．9210．(2014山东日照高三质检)已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是( )A ．正四面体的内切球的半径是其高的12B ．正四面体的内切球的半径是其高的13C ．正四面体的内切球的半径是其高的14D ．正四面体的内切球的半径是其高的15二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11．(2014课标全国Ⅰ高考)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为__________． 12．(2014陕西高考)已知f (x )＝x1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2 014(x )的表达式为__________．13．(2014陕西高考)观察分析下表中的数据：14．(2014河南洛阳模拟)用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N ＋)成立，其初始值至少应取__________．15．(2013湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ， …………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝__________.三、解答题(本大题共4小题，共30分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题6分)(2014安徽高考)设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N ＋. (1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p ＞1＋px ；(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞1pc . 17．(本小题6分)(2014大纲全国高考)函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax x ＋a(a ＞1)．(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1)，证明：2n ＋2＜a n ≤3n ＋2. 18．(本小题8分)(2014北京大学自主招生试题)证明tan 3°是无理数．19．(本小题10分)(2014湖北高考)π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)求函数f (x )＝ln xx的单调区间；(2)求e 3,3e ，e π，πe,3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(3)将e 3,3e ，e π，πe,3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．参考答案1．解析：“至少有一个”的否定为“没有”． 答案：A 2．答案：A3．解析：利用归纳法：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4＝3＋1，a 4＋b 4＝4＋3＝7，a 5＋b 5＝7＋4＝11，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123.规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和． 答案：C 4．答案：B5．解析：由合情推理可知①②③全部正确． 答案：C6．解析：a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n (a i ＞0，i ＝1,2，…，n )是基本不等式的一般形式，这里等号当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时成立．结论的猜测没有定式，但合理的猜测是有目标的．答案：D7．解析：对于选项A ，取x ＝－1.1，则＝＝1，而－＝－＝－(－2)＝2，故不正确；对于选项B ，令x ＝1.5，则＝＝3,2＝2＝2，故不正确；对于选项C ，令x ＝－1.5，y ＝－2.5，则＝＝－4，＝－2，＝－3，＋＝－5，故不正确；对于选项D ，由题意可设x ＝＋β1,0≤β1＜1，y ＝＋β2,0≤β2＜1，则x －y ＝－＋β1－β2，由0≤β1＜1，－1＜－β2≤0，可得－1＜β1－β2＜1.若0≤β1－β2＜1，则＝xy ＝－；若－1＜β1－β2＜0，则0＜1＋β1－β2＜1，＝xy ＝xy ＝－－1＜－，故选项D 正确．答案：D8．解析：经验证易知①②错误，依题意，注意到2S (x ＋y )＝2(a x ＋y －a －x －y )，又S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝2(a x ＋y －a －x －y )，因此有2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；同理有2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )．综上所述，选B.答案：B9．解析：由已知条件得，|x |＋|y |＝n (n ∈N ＋)的不同整数解(x ，y )的个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为80，故选B.答案：B10．解析：设正四面体的每一个面的面积为S ，高为h ，内切球半径为r ，由等积法可得4·13·S ·r ＝13S ·h ，于是r ＝h 4，即内切球半径是高的14.答案：C11．解析：由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市，而甲说去过的城市比乙多，且没去过B 城市，因此甲一定去过A 城市和C 城市．又乙没去过C 城市，所以三人共同去过的城市必为A ，故乙去过的城市就是A.答案：A12．解析：依题意，f 1(x )＝f (x )＝x 1＋x ，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ＝x1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2x ＝x 1＋2x 1＋x 1＋2x ＝x1＋3x，…，由此可猜测f n (x )＝x 1＋nx ，故f 2 014(x )＝x 1＋2 014x. 答案：f 2 014(x )＝x1＋2 014x13．解析：因为5＋6－9＝2， 6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，故可猜想F ＋V －E ＝2. 答案：F ＋V －E ＝214．解析：可以验证，当n ＝1,2,3,4,5,6,7时不等式均不成立，当n ≥8时不等式成立，故初始值至少应取n ＝8.答案：815．解析：由题中数据可猜想：含n 2项的系数为首项是12，公差是12的等差数列，含n项的系数为首项是12，公差是－12的等差数列，因此N (n ，k )＝⎣⎡⎦⎤12＋k －312n 2＋⎣⎡⎦⎤12＋k －3⎝⎛⎭⎫－12n ＝k －22n 2＋4－k 2n .故N (10,24)＝11n 2－10n ＝11×102－10×10＝1 000. 答案：1 00016．(1)证明：用数学归纳法证明．①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2＞1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，不等式(1＋x )k ＞1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k ＞(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2＞1＋(k ＋1)x . 所以p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x ＞－1，x ≠0时，对一切整数p ＞1，不等式(1＋x )p ＞1＋px 均成立． (2)证法一：先用数学归纳法证明a n ＞1pc . ①当n ＝1时，由题设a 1＞1p c 知a n ＞1pc 成立． ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，不等式a k ＞1pc 成立． 由a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－pn 易知a n ＞0，n ∈N ＋.当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c p a －p k＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1. 由a k ＞1pc ＞0得－1＜－1p ＜1p ⎝⎛⎭⎫ca p k －1＜0. 由(1)中的结论得⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k p ＝⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1p ＞1＋p ·1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1＝c a p k . 因此a p k ＋1＞c ，即a k ＋1＞1pc .所以n ＝k ＋1时，不等式a n ＞1pc 也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n ＞1pc 均成立． 再由a n ＋1a n ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p n －1可得a n ＋1a n＜1，即a n ＋1＜a n .综上所述，a n ＞a n ＋1＞1pc ，n ∈N ＋.证法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥1p c ，则x p ≥c ，并且f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p ＝p －1p⎝⎛⎭⎫1－c x p ＞0，x ＞1p c . 由此可得，f (x )在hslx3y3h 1pc ，＋∞)上单调递增． 因而，当x ＞1pc 时，f (x )＞f (1pc )＝1pc . ①当n ＝1时，由a 1＞1pc ＞0，即a p 1＞c可知a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p 1＝a 1⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p 1－1＜a 1，并且a 2＝f (a 1)＞1pc ，从而a 1＞a 2＞1pc .故当n ＝1时，不等式a n ＞a n ＋1＞1pc 成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，不等式a k ＞a k ＋1＞1pc 成立，则当n ＝k ＋1时，f (a k )＞f (a k＋1)＞f (1p c )，即有a k ＋1＞a k ＋2＞1pc .所以n ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n ＞a n ＋1＞1pc 均成立． 17．(1)解：f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －a 2－2a ]x ＋1x ＋a2.①当1＜a ＜2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )＞0，f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数； 若x ∈(a 2－2a,0)，则f ′(x )＜0，f (x )在(a 2－2a,0)是减函数； 若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)是增函数．②当a ＝2时，f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，f (x )在(－1，＋∞)是增函数； ③当a ＞2时，若x ∈(－1,0)，则f ′(x )＞0，f (x )在(－1,0)是增函数； 若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )＜0，f (x )在(0，a 2－2a )是减函数； 若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )＞0，f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． (2)证明：由(1)知，当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)是增函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＞f (0)＝0，即ln(x ＋1)＞2xx ＋2(x ＞0)．又由(1)知，当a ＝3时，f (x )在e ，＋∞)． (2)因为e ＜3＜π，所以eln 3＜eln π，πln e ＜πln 3， 即ln 3e ＜ln πe ，ln e π＜ln 3π.于是根据函数y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增， 可得3e ＜πe ＜π3，e 3＜e π＜3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e 与e 3之中． 由e ＜3＜π及(1)的结论，得f (π)＜f (3)＜f (e)，即ln ππ＜ln 33＜ln ee .由ln ππ＜ln 33，得ln π3＜ln 3π，所以3π＞π3； 由ln 33＜ln ee，得ln 3e ＜ln e 3，所以3e ＜e 3. 综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e . (3)由(2)知，3e ＜πe ＜π3＜3π，3e ＜e 3. 又由(2)知，ln ππ＜ln e e ，得πe ＜e π，故只需比较e 3与πe 和e π与π3的大小． 由(1)知，当0＜x ＜e 时，f (x )＜f (e)＝1e ，即ln x x ＜1e. 在上式中，令x ＝e 2π，又e 2π＜e ，则ln e 2π＜eπ，从而2－ln π＜eπ，即得ln π＞2－eπ.①由①得，eln π＞e ⎝⎛⎭⎫2－e π＞2.7×⎝⎛⎭⎫2－2.723.1＞2.7×(2－0.88)＝3.024＞3， 即eln π＞3，亦即ln πe ＞ln e 3，所以e 3＜πe .又由①得，3ln π＞6－3e＞6－e＞π，π即3ln π＞π，所以eπ＜π3.综上可得，3e＜e3＜πe＜eπ＜π3＜3π，即6个数从小到大的顺序为3e，e3，πe，eπ，π3,3π.。

高中数学第二章推理与证明章末检测试卷新人教A版选修2-2(2021年整理)

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第二章推理与证明章末检测试卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程（）A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．以上答案都不对考点演绎推理的含义与方法题点演绎答案C解析根据演绎推理的定义知,推理过程是演绎推理．2．下面是一段“三段论"推理过程:若函数f(x）在(a,b）内可导且单调递增，则在(a，b）内,f′(x）>0恒成立．因为f（x)＝x3在(－1，1)内可导且单调递增，所以在（－1，1）内，f′（x)＝3x2〉0恒成立．以上推理中( ）A．大前提错误B．小前提错误C．结论正确D．推理形式错误考点“三段论”及其应用题点大前提错误导致结论错误答案A解析f（x）在(a，b）内可导且单调递增，则在（a，b)内，f′（x）≥0恒成立，故大前提错误，故选A。

3．设a,b,c都是非零实数,则关于a，bc，ac，－b四个数有以下说法：①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．以上说法中正确的个数为（)A．0 B．1C．2 D．3考点反证法及应用题点反证法的应用答案B解析可用反证法推出①②不正确，因此③正确．4．在等差数列｛a n}中，若a n<0，公差d〉0，则有a4·a6〉a3·a7，类比上述性质，在等比数列｛b n}中,若b n〉0，q>1,则下列有关b4，b5，b7，b8的不等关系正确的是（)A．b4＋b8>b5＋b7B．b5＋b7>b4＋b8C．b4＋b7〉b5＋b8D．b4＋b5〉b7＋b8考点类比推理的应用题点等差数列与等比数列之间的类比答案A5．已知错误!＋错误!＝2,错误!＋错误!＝2,错误!＋错误!＝2,错误!＋错误!＝2，…，依照以上各式的规律可得（)A.错误!＋错误!＝2B.错误!＋错误!＝2C。

2019年高中数学第二章圆锥曲线与方程章末检测新人教A版选修2-1

2019年高中数学第二章圆锥曲线与方程章末检测新人教A版选修2-1

章末检测(二) 圆锥曲线与方程时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．双曲线x 23－y 26＝1的右焦点到渐近线的距离是( )A. 3 B ． 6 C ．3D ．6解析：双曲线的焦点到渐近线的距离等于b ，即b ＝ 6. 答案：B2．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．4 B ．6 C ．7D ．8解析：由渐近线方程y ＝32x ，且b ＝3，得a ＝2，由双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝4，又|PF 1|＝3，∴|PF 2|＝7. 答案：C3．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点 D ．以上答案都不对解析：(x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.答案：C4．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6. 答案：A5．已知椭圆x2a 2＋y22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1D.x 26＋y 22＝1 解析：由题意知，椭圆焦点在x 轴上，且c ＝2， ∴a 2＝2＋4＝6，因此椭圆方程为x 26＋y 22＝1，故选D.答案：D6.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：由条件知|PM |＝|PF |，∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝k >|OF |， ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆． 答案：A7．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引其准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ， 且|PF |＝5，则△MPF 的面积为( ) A ．5 6 B.2534C ．20D ．10解析：由题意，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则|PF |＝|PM |＝y 204＋1＝5，所以y 0＝±4， 所以S △MPF ＝12|PM |·|y 0|＝10.答案：D8．椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0解析：依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)，即4x ＋6y －7＝0，选B.答案：B9．已知定点A (2,0)，它与抛物线y 2＝x 上的动点P 连线的中点M 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝2(x －1) B ．y 2＝4(x －1) C ．y 2＝x －1D ．y 2＝12(x －1)解析：设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋22y ＝y2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2y 0＝2y，由于y 20＝x 0，所以4y 2＝2x －2，即y 2＝12(x －1)．答案：D10．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1→·PF 2→的值等于( ) A ．0 B ．2C ．4D ．－2解析：易知当P ，Q 分别在椭圆短轴端点时， 四边形PF 1QF 2的面积最大．此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，P (0,1)， ∴PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)， ∴PF 1→·PF 2→＝－2. 答案：D11．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为( ) A ．2 B ．3 C.52D.32解析：由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依抛物线定义知当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时，为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2. 答案：A12．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，94B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：由题意：B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，∴k ＝b 2ac ＋a ＝a －c a ＝1－e ，∴13<1－e <12，∴12<e <23，故选C. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的两个焦点，若椭圆上一点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝4，则椭圆的离心率e ＝________.解析：由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝4，所以2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝1，所以e ＝c a ＝12.答案：1214．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点， 若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________． 解析：由双曲线的方程可知a ＝1，c ＝2， ∴||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， ∴|PF 1|2－2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4， ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝8， ∴2|PF 1||PF 2|＝4，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝8＋4＝12， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 答案：2 315．过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点(点A 在y 轴左侧)，则|AF ||FB |＝________.解析：由题意可得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2，与x 2＝2py 联立得A ，B 两点的横坐标为x A ＝－33p ，x B ＝3p ，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33p ，16p ，B ⎝⎛⎭⎪⎫3p ，32p ，所以|AF |＝23p ，|BF |＝2p ，所以|AF ||BF |＝13.答案：1316. 已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1， 则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |，∴|FA |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)． 答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)如果直线l 过定点M (1,2)且与抛物线y ＝2x 2有且只有一个公共点，求直线l 的方程．解析：①当直线l 的斜率不存在时，x ＝1与对称轴平行，有一个交点；②当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y －2＝k (x －1)，与y ＝2x 2联立，得2x 2－kx ＋k －2＝0， 由Δ＝k 2－8(k －2)＝0得k ＝4， 所以直线l 的方程为y ＝4x －2.综上，直线l 的方程为x ＝1或y ＝4x －2.18．(12分)已知双曲线的中心在原点，过右焦点F (2, 0)作斜率为 35的直线，交双曲线于M ，N 两点，且|MN |＝4，求双曲线方程．解析：设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由右焦点为F (2,0)知c ＝2，b 2＝4－a 2，则双曲线方程为x 2a 2－y 24－a 2＝1.直线MN 的方程为：y ＝35(x －2)，代入双曲线方程整理，得 (20－8a 2)x 2＋12a 2x ＋5a 4－32a 2＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12a 220－8a 2，x 1x 2＝5a 4－32a220－8a 2.∴|MN |＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫352×x 1＋x 22－4x 1x 2＝85× ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a 220－8a 22－4·5a 4－32a 220－8a 2＝4. 解得：a 2＝1，∴b 2＝4－1＝3. 故所求双曲线方程为：x 2－y 23＝1. 19．(12分)已知抛物线的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上，且过点P (2,2)，过F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．(1)求抛物线的方程；(2)设直线l 是抛物线的准线，求证：以AB 为直径的圆与准线l 相切． 解析：(1)设抛物线y 2＝2px (p >0)，将点(2,2)代入得p ＝1. ∴y 2＝2x 为所求抛物线的方程．(2)证明：设l AB 的方程为：x ＝ty ＋12，代入y 2＝2x 得：x 2－(1＋2t 2)x ＋14＝0，设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝1＋2t 22.∴点M 到准线l 的距离d ＝x 0＋12＝1＋2t 22＋12＝1＋t 2，又AB ＝x 1＋x 2＋p ＝1＋2t 2＋1＝2＋2t 2，∴d ＝12AB ，故以AB为直径的圆与准线l 相切．20．(12分)正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．解析：如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又|OA |＝|OB |，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0.因为x 1>0，x 2>0,2p >0，所以x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|，即点A ，B 关于x轴对称．由此得∠AOx ＝30°，所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立，解得y 1＝23p .所以|AB |＝2y 1＝43p .21．(13分)已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3. (1)求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解析：(1)依题意，可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点为F (a 2－1，0)．由题意，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点M ，N 的坐标分别为M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，弦MN 的中点为P (x P ，y P )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0.∵直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点， ∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0⇒m 2<3k 2＋1， ①∴x P ＝x M ＋x N2＝－3mk3k 2＋1， 从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk. 又|AM |＝|AN |， ∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1，②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2. 由②，得k 2＝2m －13>0，解得m >12.综上可得，m 的取值范围是12<m <2.点P⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 22．(13分)已知椭圆E 的方程为：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其右焦点为F 2(1,0)，上．(1)求椭圆E 的方程；(2)过椭圆E 的左顶点A 作两条互相垂直的直线分别与椭圆E 交于(不同于点A 的)两点M ，N .问：直线MN 是否一定经过x 轴上一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．解析：(1)∵椭圆E 的右焦点为F 2(1,0)，∴c ＝1，左焦点为F 1(－1,0)，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上． ∴2a ＝|PF 1|＋|PF 2| ＝＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝4. ∴a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 3. ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知A 点坐标为(－2,0)，设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋3x 2＋4y 2＝12⇒(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 2，12k 3＋4k 2， 同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2－83k 2＋4，－12k 3k 2＋4. 若6－8k 23＋4k 2＝6k 2－83k 2＋4，则得k 2＝1，即直线MN 的方程为x ＝－27，此时过x 轴上一点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，0.当k 2≠1时，假设直线MN 过x 轴上一定点Q ′(m,0)，则Q ′M →∥NQ ′→，又Q ′M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k2－m ，12k 3＋4k 2，NQ ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －6k 2－83k 2＋4，12k 3k 2＋4， 则由Q ′M →∥NQ ′→，解得m ＝－27.∴直线MN 过x 轴上一定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，0.。

高中数学 第2章 推理与证明章末达标测试 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题

高中数学 第2章 推理与证明章末达标测试 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题

第二章 推理与证明(限时120分钟；满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据偶函数定义可推得“函数f (x )＝x 2在R 上是偶函数”的推理过程是 A ．归纳推理 B ．类比推理 C ．演绎推理 D ．非以上答案解析 由偶函数定义，定义域关于原点对称的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数，∵f (x )＝x 2时，f (－x )＝f (x )，∴“f (x )＝x 2在R 上是偶函数”是利用演绎推理．答案C2．命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但大前提错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误 解析 大前提错误，小前提正确，故选C. 答案C3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点解析 正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．答案C4．用反证法证明：若a ≥b >0，则1a ＋2－a ≤1b＋2－b的假设为A.1a ＋2－a <1b ＋2－bB.1a ＋2－a≥1b ＋2－bC.1a＋2－a >1b＋2－bD.1a＋2－a≤1b＋2－b解析 易知“≤”的否定为“>”，故选C. 答案C5．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝A ．28B ．76C ．123D ．199解析 利用归纳法，a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4＝3＋1，a 4＋b 4＝4＋3＝7，a 5＋b5＝7＋4＝11，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．答案C6．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝（n ＋3）（n ＋4）2(n ∈N *)，验证n＝1时，左边应取的项是A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4解析n ＝1时，n ＋3＝4，∴左边＝1＋2＋3＋4. 答案D7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N ＋)，可归纳猜想出S n 的表达式为A.2n n ＋1B.3n －1n ＋1C.2n ＋1n ＋2D.2n n ＋2解析 由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2， ∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85.由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝85可以猜想S n ＝2n n ＋1.答案A8．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝A ．f (x )B ．－f (x )C．g(x) D．－g(x)解析观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)都是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)．答案D9．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值A．大于0 B．小于0C．不小于0 D．不大于0解析∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝0，又∵a2＋b2＋c2≥0，∴ab＋bc＋ca≤0.答案D10．若P＝a＋a＋5，Q＝a＋3＋a＋2(a≥0)，则P，Q的大小关系是A．P＞Q B．P＝QC．P＜Q D．由a的取值确定解析∵a(a＋5)＜(a＋3)(a＋2)，∴a（a＋5）＜（a＋3）（a＋2），∴2a＋5＋a（a＋5）＜2a＋5＋（a＋3）（a＋2），即(a＋a＋5)2＜(a＋3＋a＋2)2，即P2＜Q2，∴P＜Q成立．答案C11．(2019·)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A．①B．②C．①②D．①②③解析由x2＋y2＝1＋|x|y，当x＝0时，y＝±1；当y＝0时，x＝±1；当y＝1时，x＝0或x＝±1.故曲线C恰好经过6个整点：A(0，1)，B(0，－1)，C(1，0)，D(1，1)，E(－1，0)，F (－1，1)，所以①正确．由基本不等式，当y ＞0时，x 2＋y 2＝1＋|x |y ＝1＋|xy |≤1＋x 2＋y 22，所以x 2＋y 2≤2，所以x 2＋y 2≤2，故②正确．如图，由①知长方形CDFE 面积为2，三角形BCE 面积为1， 所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误． 答案C12．把数列{2n ＋1}依次按第一个括号一个数，第二个括号二个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…，循环分为(3)，(5，7)，(9，11，13)，(15，17，19，21)，(23)，(25，27)，(29，31，33)，(35，37，39，41)，(43)，…，则第104个括号内各数之和为A ．2 036B ．2 048C ．2 060D ．2 072解析 从第1个括号到第104个括号，总共有26个循环，每个循环共有1＋2＋3＋4＝10个数字，∴从第一个括号到第104个括号共有260个数字， 第104个括号内各数之和为：(2×257＋1)＋(2×258＋1)＋(2×259＋1)＋(2×260＋1)＝2 072. 答案D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图形中有________个小正方形．解析 第1个图中有3个小正方形，第2个有3＋3＝6个小正方形，第3个有6＋4＝10个小正方形，第4个图形有10＋5＝15个小正方形，第5个图形有15＋6＝21个正方形，第6个图形有21＋7＝28个正方形．答案 2814．观察分析下表中的数据：多面体 面积(F ) 顶点数(V )棱数(E ) 三棱柱 5 6 9 五棱锥6610解析 观察分析、归纳推理． 观察F ，V ，E 的变化得F ＋V －E ＝2. 答案F ＋V －E ＝215．若符号“*”表示某某数a 与b 的算术平均数的运算，即a *b ＝a ＋b2，则a ＋(b *c )用含有运算符号“*”和“＋”表示的另一种形式是________．解析a ＋(b *c )＝a ＋b ＋c 2＝2a ＋b ＋c 2＝（a ＋b ）＋（a ＋c ）2＝(a ＋b )*(a ＋c )．答案 (a ＋b )*(a ＋c )16．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______(填序号)． 解析 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b ＞1，但a ＜1，b ＜1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2＞2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab ＞1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b ＞2，则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a ≤1且b ≤1， 则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1. 答案 ③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)用反证法证明：已知a 与b 均为有理数，且a 与b 都是无理数，证明：a ＋b 是无理数．证明 假设a ＋b 为有理数， 则(a ＋b )(a －b )＝a －b ， 由a >0，b >0，得a ＋b >0. ∴a －b ＝a －ba ＋b.∵a ，b 为有理数且a ＋b 为有理数， ∴a －ba ＋b即a －b 为有理数． ∴(a ＋b )＋(a －b )，即2a 为有理数． 从而a 也就为有理数，这与已知a 为无理数矛盾， ∴a ＋b 一定为无理数．18．(12分)已知a ，b ，c 是不全相等的正数，且abc ＝1，求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b＋1c.证明 ∵a ，b ，c 是不全相等的正数，且abc ＝1， ∴a ＋b ＋c ＝1bc＋1ca＋1ab<1b ＋1c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c . 故a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.19．(12分)观察下表 1， 2，3， 4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15， …问：(1)此表第n 行的最后一个数是多少？ (2)此表第n 行的各个数之和是多少？解析 (1)由表知，每行的第一个数为偶数(第一行除外)，所以第n ＋1行的第一个数为2n，所以第n 行的最后一个数为2n－1.(2)由(1)知第n －1行的最后一个数为2n －1－1，第n 行的第一个数为2n －1，第n 行的最后一个数为2n－1.又由观察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等差数列求和公式得，S n ＝2n －1（2n －1＋2n－1）2＝22n －3＋22n －2－2n －2.20．(12分)试比较2n＋2与n 2的大小(n ∈N ＋)，并用数学归纳法证明你的结论． 解析 当n ＝1，n ＝2，n ＝3时都有2n ＋2＞n 2成立， 所以猜想2n ＋2＞n 2成立． 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1， 左边＞右边． 所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6， 右边＝22＝4，所以左边＞右边； 当n ＝3时，左边＝23＋2＝10， 右边＝32＝9， 所以左边＞右边．②假设n ＝k (k ≥3且k ∈N ＋)时，不等式成立， 即2k＋2＞k 2. 那么n ＝k ＋1时， 2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2＞2·k 2－2.又因2k 2－2－(k ＋1)2＝k 2－2k －3＝(k －3)(k ＋1)≥0， 所以2k ＋1＋2＞(k ＋1)2成立．根据①和②，原不等式对于任意n ∈N ＋都成立．21．(12分)如图，三棱台DEF －ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．(1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥BC ，AB ⊥BC ，求证：平面BCD ⊥平面EGH .证明 (1)证法一 如图，连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝O ，连接OH .在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点．又H为BC的中点，所以OH∥BD.又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.证法二在三棱台DEF－ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BE∥HF.又∵BE⊂平面EFG，HF⊄平面EFG，∴HF∥平面ABED.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.AB⊂平面EFG，GH⊄平面EFG，∴GH∥平面ABED.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.(2)如图，连接HE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB ⊥BC ，得GH ⊥BC . 又H 为BC 的中点， 所以EF ∥HC ，EF ＝HC ，因此四边形EFCH 是平行四边形．所以CF ∥HE . 又CF ⊥BC ，所以HE ⊥BC .又HE ，GH ⊂平面EGH ，HE ∩GH ＝H ， 所以BC ⊥平面EGH .又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面EGH .22．(12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n (n ＝1，2，…)．(1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n （不需证明）；(3)若存在不等于零的常数p ，使⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋p a n 是等比数列，求出公比q 的值． 解析 (1)证明 假设a n ＋1＝a n ，即2a n1＋a n ＝a n ，解得a n ＝0或1.从而a n ＝a n －1＝…＝a 1＝0或1， 与题设a 1>0，a 1≠1矛盾． ∴假设错误，故a n ＋1≠a n .(2)a 1＝12，a 2＝23，a 3＝45，a 4＝89，a 5＝1617，a n ＝2n －12n －1＋1.(3)∵a n ＋1＋p a n ＋1＝（2＋p ）a n ＋p 2a n ，又a n ＋1＋p a n ＋1＝a n ＋pa n·q ， ∴(2＋p －2q )a n ＋p (1－2q )＝0. ∵上式是关于变量a n 的恒等式，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋p －2q ＝0，p （1－2q ）＝0，∴q ＝12.。

高中数学人教a版高二选修2-2章末综合测评2 含解析

高中数学人教a版高二选修2-2章末综合测评2 含解析

高中数学人教a版高二选修2-2章末综合测评2 含解析章末综合测评(二)推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面四个推理不是合情推理的是()A．由圆的性质类比推出球的有关性质B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C 项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．【答案】 C2．下列几种推理是演绎推理的是()A．在数列{a n}中，a1＝1，a n＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n－1＋1a n－1(n≥2)，由此归纳出{a n}的通项公式B．某校高三共有12个班，其中(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班级的人数都超过50人C．由平面三角形的性质，推测出空间四面体的性质D．两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝π【解析】A，B为归纳推理，C为类比推理．【答案】 D3．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 【解析】 由归纳推理的特点知，选B. 【答案】 B4．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理( ) A ．完全正确 B ．推理形式不正确C ．不正确，两个“自然数”概念不一致D ．不正确，两个“整数”概念不一致【解析】 大前提“凡是自然数都是整数”正确．小前提“4是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确．【答案】 A5．用数学归纳法证明“5n －2n 能被3整除”的第二步中，当n ＝k ＋1时，为了使用假设，应将5k ＋1－2k ＋1变形为( )A ．(5k －2k )＋4×5k －2kB ．5(5k －2k )＋3×2kC ．(5－2)(5k －2k )D ．2(5k －2k )－3×5k【解析】 5k ＋1－2k ＋1＝5k ·5－2k ·2＝5k ·5－2k ·5＋2k ·5－2k ·2＝5(5k －2k )＋3·2k . 【答案】 B6．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n ＝________时等式成立．( )A ．k ＋1B ．k ＋2C ．2k ＋2D ．2(k ＋2)【解析】根据数学归纳法的步骤可知，n＝k(k≥2且k为偶数)的下一个偶数为n ＝k＋2，故选B.【答案】 B7．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199【解析】利用归纳法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．【答案】 C8．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a”最终的索因应是()A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0【解析】因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以3c<a＋b＋c<3a，即a>0，c<0.要证明b2－ac<3a，只需证明b2－ac<3a2，只需证明(－a－c)2－ac<3a2，只需证明2a2－ac－c2>0，只需证明2a＋c>0(a>0，c<0，则a－c>0)，只需证明a＋c＋(－b－c)>0，即证明a－b>0，这显然成立，故选A.【答案】 A9．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有() A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－nB．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－nC．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－nD．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b21－n【解析】令n＝10时，验证即知选B.【答案】 B10．将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a2 016－5＝()图1A．2 018×2 014 B．2 018×2 013C．1 010×2 012 D．1 011×2 013【解析】a n－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n＋2个．∴a n－5＝(n－1)(n＋6)2，∴a2 016－5＝2 015×2 0222＝2 013×1 011.【答案】 D11．在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图2中路线依次经过B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此规律一直运动下去，则a2 015＋a2 016＋a2 017＝()图2A．1 006 B．1 007C．1 008 D．1 009【解析】依题意a1＝1，a2＝1；a3＝－1，a4＝2；a5＝2，a6＝3；…，归纳可得a1＋a3＝1－1＝0，a5＋a7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a2 015＋a2 017＝0，a2＝1，a4＝2，a6＝3，…，进而可归纳得a2 016＝12×2 016＝1 008，a2 015＋a2 016＋a2 017＝1 008.故选C.【答案】 C 12．记集合T＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，M＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104| a i ∈T ，i ＝1，2，3，4，将M 中的元素按从大到小排列，则第2 016个数是( )A.710＋9102＋8103＋4104 B.510＋5102＋7103＋2104 C.510＋5102＋7103＋3104 D.710＋9102＋9103＋1104 【解析】 因为a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104＝1104(a 1×103＋a 2×102＋a 3×101＋a 4)，括号内表示的10进制数，其最大值为9 999，从大到小排列，第2 016个数为9 999－2 016＋1＝7 984，所以a 1＝7，a 2＝9，a 3＝8，a 4＝4. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为__________．【解析】 圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.【答案】 经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝114．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是________ .【解析】 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有n(n＋1)2个“整数对”，注意到10×(10＋1)2＜60＜11×(11＋1)2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．【答案】(5,7)15．当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N*时，你能得到的结论是__________．【解析】根据题意，由于当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a －b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N*时，左边第二个因式可知为a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n，那么对应的表达式为(a－b)·(a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n)＝a n＋1－b n＋1.【答案】(a－b)(a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n)＝a n＋1－b n＋116．如图3，如果一个凸多面体是n(n∈N*)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________，f(n)＝__________.(答案用数字或n的解析式表示)图3【解析】所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n＋n＋n(n－3)2＝n(n＋1)2.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f(4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f(n)＝n(n－2)＋n(n－3)2·(n－2)＝n(n－1)(n－2)2.【答案】n(n＋1)212n(n－1)(n－2)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：(1)如果a，b>0，则lg a＋b2≥lg a＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.【证明】(1)当a，b>0时，有a＋b2≥ab，∴lg a＋b2≥lg ab，∴lg a＋b2≥12lg ab＝lg a＋lg b2.(2)要证6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)观察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin 30°cos 60°＝3 4，sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝3 4，sin215°＋cos245°＋sin 15°cos 45°＝3 4.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．【解】猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝3 4.证明如下：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α2＋sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α ＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋14sin 2α＋32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34. 19．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解】 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0， ∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．20．(本小题满分12分)点P 为斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．【解】(1)因为PM⊥BB1，PN⊥BB1，又PM∩PN＝P，所以BB1⊥平面PMN，所以BB1⊥MN.又CC1∥BB1，所以CC1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cos α.其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角．证明如下：因为CC1⊥平面PMN，所以上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，因为PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cos∠MNP，所以PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于SBCC1B1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，所以S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cos α.21．(本小题满分12分)如图4，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5.求证：图4(1)直线P A∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.【证明】(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥P A.又因为P A⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC . 又DE ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面ABC .22．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a n n －a n (n ≥2)．(1)求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明；(2)设b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1， 求证：对任意的n ∈N *，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n 3. 【解】 (1)容易求得：a 3＝17，a 4＝110.故可以猜想a n ＝13n －2，n ∈N *. 下面利用数学归纳法加以证明： ①显然当n ＝1,2,3,4时，结论成立，②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N *)时，结论也成立，即 a k ＝13k －2.那么当n ＝k ＋1时，由题设与归纳假设可知： a k ＋1＝(k －1)a kk －a k＝(k －1)×13k －2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1＝k －1(3k ＋1)(k －1)＝13k＋1＝13(k＋1)－2.即当n＝k＋1时，结论也成立，综上，对任意n∈N*，a n＝13n－2成立．(2)b n＝a n·a n＋1 a n＋a n＋1＝13n－2·13n＋1 13n－2＋13n＋1＝13n＋1＋3n－2＝13(3n＋1－3n－2)，所以b1＋b2＋…＋b n＝13[(4－1)＋(7－4)＋(10－7)＋…＋(3n＋1－3n－2)]＝13(3n＋1－1)，所以只需要证明13(3n＋1－1)<n3⇔3n＋1<3n＋1⇔3n＋1<3n＋23n＋1⇔0<23n(显然成立)，所以对任意的n∈N*，都有b1＋b2＋…＋b n<n 3.第11页共11页。

人教版高中数学必修2圆与方程章末测验(含两套,附答案)

人教版高中数学必修2圆与方程章末测验(含两套,附答案)

人教版高中数学必修2圆与方程章末测验（含两套，附答案）第四章 圆与方程章末测验一一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线340x y b +-=与圆()()22111x y -+-=相切，则b 的值是（ ） A ．2-或12B ．2或12-C ．2或12D ．2-或12-2．点A (3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是（ ） A ．(－3,4，－10) B ．(－3,2，－4) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，12D ．(6，－5,11)3．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 间的距离为（ ） A ．4B ．2C ．85 D ．1254．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ） A ．4x －y －4＝0 B ．4x ＋y －4＝0 C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝05．直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是（ ）6．若圆C 1：(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则实数a ，b 应满足的关系式是（ ）A ．a 2－2a －2b －3＝0 B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0 C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝07．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x －1)2＋y 2＝2 C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x8．设直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x ＋1)2＋y 2＝25的直径分为两段，则这两段之比为（ ） A ．73或37B ．74或47C ．75或57D ．76或679．若x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是（ ） A ．5－5B ．5－ 5C ．30－10 5D ．无法确定10．过圆x 2＋y 2－4x ＝0外一点(m ，n )作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m 、n 满足的关系式是（ ） A ．(m －2)2＋n 2＝4 B ．(m ＋2)2＋n 2＝4 C ．(m －2)2＋n 2＝8D ．(m ＋2)2＋n 2＝811．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ） A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．x －y －2＝0D ．x －y ＋2＝012．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且只有一个公共点，则b 的取值范围是（ ） A ．|b |＝ 2 B ．－1<b <1或b ＝－ 2 C ．－1<b ≤1D ．－1<b ≤1或b ＝－ 2二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．点M (1,2，－3)关于原点的对称点是________．14．两圆x 2＋y 2＋4y ＝0，x 2＋y 2＋2(a －1)x ＋2y ＋a 2＝0在交点处的切线互相垂直，那么实数a 的值为________．15．已知P (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0内一点，则过点P 的最短弦所在直线方程是________，过点P 的最长弦所在直线方程是________．16．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．18．(12分)在三棱柱ABO－A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2．若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．19．(12分)已知A(3,5)，B(－1,3)，C(－3,1)为△ABC的三个顶点，O、M、N分别为边AB、BC、CA的中点，求△OMN的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径．20．(12分)已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9．（1）求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交．（2）m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值．21．(12分)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程．22．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0．（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程．（2）从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标.答 案1． C 2． A 3． A 4． A 5． B 6． B 7． B 8． A 9． C 10． C 11． D 12． D 13． (－1，－2，3) 14． －215． x ＋y －3＝0，x －y －3＝0 16． (x ＋2)2＋y 2＝2 17． ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94．18． E (0,2,1)为线段BB ′的中点．19． x 2＋y 2＋7x －15y ＋36＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，152，12130．20． （1）见解析；（2）m 为－52时，最小值为27．21． （1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8．22． （1）y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0；（2）⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35．第四章 圆与方程章末测验二一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．圆22240x y x y ++-=的圆心坐标为（ ） A ．()1,2-B ．()1,2-C ．()1,2D ．()1,2--2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0与圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是（ ） A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切3．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．设直线过点(a,0)，其斜率为－1，且与圆x 2＋y 2＝2相切，则a 的值为（ ） A ．± 2B ．±2C ．±2 2D ．±45．已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是（ ） A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－26．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为（ ） A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝07．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧， 则a 2＋b 2＝（ ） A ． 2B ．2C ．1D ．38．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为（ ）A ．－3或 3B ． 3C ．－2或 2D ． 29．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为（ ） A ．6B ．4C ．3D ．210．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ） A ．53B ．213C ．253D ．4311．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝012．若圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：x－y＋c＝0的距离为22，则c的取值范围是（）A．[－22，22] B．(－22，22)C．[－2,2] D．(－2,2)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知点A(1,2,3)，B(2，－1,4)，点P在y轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标是__________________.14．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A、B两点，则线段AB 的中垂线方程为__________________.15．过点A(1，2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝__________________.16．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________.三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分)求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心C在y轴上的圆的方程．18．(12分)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|＝3|NC1|，试求MN的长．19．(12分)已知过点A(－1,0)的动直线l与圆C：x2＋(y－3)2＝4相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.（1）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；（2）当|PQ|＝23时，求直线l的方程．20．(12分)某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300km处，以40km/h的速度向北偏西60°方向移动．据测定，距台风中心250 km的圆形区域内部都将受玻台风影响，请你推算该市受台风影响的持续时间．21．已知点(0,1)，(3＋22，0)，(3－22，0)在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．22．(12分)如下图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．答 案1． B 2． B 3． B 4． B 5． D 6． C 7． B 8． A 9． B 10． B 11． A 12． C 13． (0，－76，0)14． x ＋y －3＝0 15．2216． (x －1)2＋y 2＝2. 17． x 2＋(y －1)2＝10． 18．64a ． 19． （1）见证明；（2）x ＝－1或4x －3y ＋4＝0． （1）证明：因为l 与m 垂直，且k m ＝－13，所以k l ＝3，故直线l 的方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 因为圆心坐标为(0,3)满足直线l 方程， 所以当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ． 20． 见解析．【解析】以该市所在位置A 为原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向建立直角坐标系．开始时台风中心在B (300,0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向直线移动，其轨迹方程为y ＝－33(x －300)(x ≤300)．该市受台风影响时，台风中心在圆x 2＋y 2＝2502内，设直线与圆交于C ，D 两点，则|CA |＝|AD |＝250，所以台风中心到达C 时，开始受影响该市，中心移至点D 时，影响结束，作AH ⊥CD 于点H ，则|AH |＝100313＋1＝150，|CD |＋2|AC |2－|AH |2＝400，∴t ＝4004＝10(h)．即台风对该市的影响持续时间为10小时．21． （1）(x －3)2＋(y －1)2＝9；（2）－1． 22． （1）y ＝3或3x ＋4y －12＝0；（2）[0，125]．。

高二数学第二章推理与证明章末过关检测卷新人教A版选修2-2

高二数学第二章推理与证明章末过关检测卷新人教A版选修2-2

B．由 a1＝ 1， an＝ 3n－ 1，求出 S1， S2， S3，猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式
C．由圆
x2＋
y
2
＝
r
2
的面积
pr
2
，猜想出椭圆
x2 y2 a2＋ b2＝ 1 的面积
S＝ pab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
解析： 从 S1，S2，S3 猜想出数列的前 n 项和 Sn，是从特殊到一般的推理，所以 B 是归纳
A． ( k－ 1) 2＋2k2 B ． ( k＋ 1) 2＋ k2
C． ( k＋ 1) 2 D.
1 3( k＋ 1)[2(
k＋ 1) 2＋ 1]
解析： n＝ k 时，左边＝ 12＋ 22＋…＋ ( k－ 1) 2＋k2 ＋( k－ 1) 2…＋ 22＋ 12， n＝k＋ 1 时，左
边＝ 12＋ 22＋…＋ ( k－ 1) 2＋ k2＋ ( k＋ 1) 2 ＋k2＋ ( k－ 1) 2＋…＋ 22＋12，
A．把 a( b＋ c) 与 log a( x＋y) 类比，则有： log a( x＋ y) ＝log ax＋ log ay
B．把 a( b＋ c) 与 sin( x＋y) 类比，则有： sin( x＋ y) ＝ sin x＋ sin y
C．把 ( ab) n 与 ( a＋b) n 类比，则有：
(
x＋
3．下面四个推理不是合情推理的是 ( C)
A．由圆的性质类比推出球的有关性质
B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是
180°，归纳出所有三角形
的内角和都是 180°
C．某次考试张军的成绩是 100 分，由此推出全班同学的成绩都是 100 分

人教版数学高二作业 章末检测

人教版数学高二作业 章末检测

章末检测一、选择题1．二项式(x ＋1)n (n ∈N *)的展开式中x 2的系数为15，则n 等于( )A ．7B ．6C ．5D ．4 答案 B解析 (x ＋1)n 的展开式中x 2的系数为C 2n ，由题意知C 2n ＝15，即n (n －1)2＝15，解得n ＝6或n ＝－5(舍去)．故选B.2．已知集合M ＝{1，－2,3}，N ＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、第二象限不同点的个数是( )A ．18B ．16C ．14D ．10 答案 C解析 第一象限不同点有N 1＝2×2＋2×2＝8(个)，第二象限不同点有N 2＝1×2＋2×2＝6(个)，故N ＝N 1＋N 2＝14(个)．3．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案的种数为( )A ．36B ．48C ．96D ．192答案 C解析 从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有C 24·C 34·C 34＝96(种)．4．现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不能相邻的排法有( )种．A ．A 36·A 55B ．A 88－A 66·A 33C ．A 35·A 33D ．A 88－A 46答案 B解析 要正确理解“甲、乙、丙3人不能相邻”的含义，不是“甲、乙、丙3人互不相邻”，而是“甲、乙、丙3人不能同时相邻，但允许其中有2人相邻”．在将8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙3人不相邻的方法数，即A 88－A 66·A 33，故选B.5．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．48种答案 C解析 丙、丁不能相邻着舰，则将剩余3机先排列，再将丙、丁进行“插空”．由于甲、乙“捆绑”视作一整体，剩余3机实际排列方法共2×2＝4种．有三个“空”供丙、丁选择，即A 23＝6种．由分步乘法计数原理，共有4×6＝24种着舰方法．6.设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( )A.－15x 4B.15x 4C.－20i x 4D.20i x 4答案 A解析 (x ＋i)6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r i r (r ＝0，1，2，…，6)，令r ＝2，得含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A.7．在(1－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n 中，若2a 2＋a n －5＝0，则自然数n 的值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 B解析 a 2＝C 2n ，a n －5＝(－1)n －5C n －5n ＝(－1)n －5C 5n ，∴2C 2n ＋(－1)n －5C 5n ＝0.120(－1)n －5(n －2)(n －3)(n －4)＝－1，∴(n －2)(n －3)(n －4)＝120且n －5为奇数，∴n ＝8.8．若二项式(2－x )n (n ∈N *)的展开式中所有项的系数绝对值之和是a ，所有项的二项式系数之和是b ，则b a ＋a b的最小值是( ) A ．2 B.136C.73D.156答案 B 解析 由题意知，(2－x )n 的展开式中所有项的系数绝对值之和即(2＋x )n 的所有项的系数和，令x ＝1，可得a ＝3n .又∵b ＝2n ，∴b a ＝(23)n ，a b ＝(32)n ，∴(b a )n ＋(a b )n ＝(23)n ＋(32)n .观察各选项，可知当n ＝1时，(23)n ＋(32)n 取得最小值136. 9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1x )6，x ＜0，－x ，x ≥0.则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( ) A ．－20 B ．20 C ．－15 D ．15答案 A解析 当x ＞0时，f [f (x )]＝(－x ＋1x )6＝(1x －x )6的展开式中，常数项为C 36(1x )3(－x )3＝－20.10.甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至多安排一人，其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班，则不同的安排方法有( )A.36种B.39种C.42种D.45种答案 B解析 当甲安排在10月2日值班时，则丙可以安排在1，3，4日中某一天，乙可以在剩余的3日中选一天，有C 13C 13＝9种排法，同理可得甲安排在10月3日，4日中的一天值班时，有C 13C 13＋C 13C 13＝18种排法；当甲安排在10月5日值班时，有A 24＝12种排法，所以不同的安排方法有9＋18＋12＝39种，故选B.二、填空题11．若(1－2x )2 015＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 015x 2 015(x ∈R )，则(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 015)＝________.答案 2 013解析 令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 015＝－1.所以(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 015)＝2 014－1＝2 013.12．设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻的两个顶点之一．若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动．那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共________种．答案 26解析 青蛙不能经过跳1次、2次或4次到达D 点，故青蛙的跳法只有下列两种． 第一种，青蛙跳3次到达D 点，有ABCD ，AFED ，共2种跳法．第二种，青蛙跳5次后停止，那么，前3次的跳法一定不能到达D ，只能到达B 或F ，则共有AFEF ，ABAF ，AF AF ，ABCB ，ABAB ，AF AB ，共6种跳法，而后2次跳法各有4种，例如，由点F 出发的有FEF ，FED ，F AF ，F AB ，共4种跳法，因此共有6×4＝24(种)跳法． 因此共有24＋2＝26(种)．13．(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式的常数项是________．答案 3解析 第一个因式取x 2，第二个因式取含1x 2的项得：1×C 45(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取常数项得：2×(－1)5＝－2，故展开式的常数项是5＋(－2)＝3.14．用红、黄、蓝3种颜色之一去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图所示)，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．答案 108解析 分三步进行涂色．第一步，给标号为1,5,9的小正方形涂色，有3种颜色可供选择．第二步，给标号为2,3,6的小正方形涂色：①若标号为3的小正方形的颜色与标号为1,5,9的小正方形的颜色相同，则标号为2,6的小正方形的颜色选择各有2种，根据分步乘法计数原理，其涂色方法有1×2×2＝4(种)；②若标号为3的小正方形的颜色与标号为1,5,9的小正方形的颜色不同，则标号为3的小正方形的颜色选择有2种，标号为2,6的小正方形的颜色选择各有1种，根据分步乘法计数原理，其涂色方法有2×1×1＝2(种)．综上所述，标号为2,3,6的小正方形涂色方法共有4＋2＝6(种)．第三步，给标号为4,7,8的小正方形涂色，其涂色方法与标号为2,3,6的小正方形的涂色方法相同，也有6种．故根据分步乘法计数原理，符合条件的所有涂法共有3×6×6＝108(种)．三、解答题15．已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n (m ，n ∈N )的展开式中一次项x 的系数为19.(1)求f (x )展开式中x 2的系数的最小值；(2)当x 2的系数取最小值时，求f (x )的展开式中x 7的系数．解 由已知条件，得C 1m ＋C 1n ＝19，即m ＋n ＝19.(1)x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝12[192＋(19－2n )22－19]，所以当n ＝9，m ＝10或n ＝10，m ＝9时，x 2的系数最小，最小值为81.(2)x 7的系数为C 710＋C 79＝156.16．设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100，求下列各式的值．(1)a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100；(3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99.解 (1)令x ＝0，得a 0＝2100.(2)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100＝(2－3)100，①所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100＝(2－3)100－2100.(3)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100.②由①②联立，得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002. 17．从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数．(1)A ，B 必须被选出；(2)至少有2名女生被选出；(3)让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．解(1)除选出A，B外，从其他10个人中再选3人，选法数为C310＝120.(2)按女生的选取情况分类：选2名女生、3名男生，选3名女生、2名男生，选4名女生、1名男生，选5名女生．所有选法数为C25C37＋C35C27＋C45C17＋C55＝596.(3)选出1名男生担任体育委员，再选出1名女生担任文娱委员，从剩下的10人中任选3人担任其他3种职务．根据分步乘法计数原理，所有选法数为C17·C15·A310＝25 200.18．用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数．(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；(2)在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．解(1)将所有的三位偶数分为两类：①若个位数为0，则共有A24＝12(种)；②若个位数为2或4，则共有2×3×3＝18(种)．所以共有30个符合题意的三位偶数．(2)将这些“凹数”分为三类：①若十位数字为0，则共有A24＝12(种)；②若十位数字为1，则共有A23＝6(种)；③若十位数字为2，则共有A22＝2(种)．所以共有20个符合题意的“凹数”．(3)将符合题意的五位数分为三类：①若两个奇数数字在一、三位置，则共有A22·A33＝12(种)；②若两个奇数数字在二、四位置，则共有A22·C12·A22＝8(种)；③若两个奇数数字在三、五位置，则共有A22·C12·A22＝8(种)．所以共有28个符合题意的五位数．。

高中数学 章末综合测评2(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题

高中数学 章末综合测评2(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题

章末综合测评(二)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设离散型随机变量X 的分布列为：则p 的值为( ) A.12B.14 C.13D.16C [由16＋13＋16＋p ＝1得p ＝13.故选C.]2．P (AB )＝110，P (A )＝13，则P (B |A )等于( )A.130B.310 C.15D.115B [P (B |A )＝P (AB )P (A )＝11013＝310，故选B.]3．已知随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则D (2X ＋1)等于( ) A ．6 B ．4 C ．3D ．9 A [∵X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，∴D (X )＝6×12×12＝32， ∴D (2X ＋1)＝4D (X )＝4×32＝6.故选A.]4．已知甲投球命中的概率是12，乙投球命中的概率是35.假设他们投球命中与否相互之间没有影响．如果甲、乙各投球1次，那么恰有1人投球命中的概率为( )A.16B.14 C.23D.12D [记“甲投球1次命中”为事件A ，“乙投球1次命中”为事件B .根据互斥事件的概率公式和相互独立事件的概率公式，得所求的概率为P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝12×⎝⎛⎭⎫1－35＋⎝⎛⎭⎫1－12×35＝12.] 5．在每次比赛中，如果运动员A 胜运动员B 的概率都是23，那么在五次比赛中，运动员A 恰有三次获胜的概率是( )A.40243B.80243C.110243D.20243B [运动员A 恰有三次获胜的概率P ＝C 35⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫1－232＝80243.故选B.]6．设X ～N ⎝⎛⎭⎫－2，14，则X 落在(－3.5，－0.5]内的概率是( ) A ．95.44% B ．99.73% C ．4.56%D ．0.26%B [由X ～N ⎝⎛⎭⎫－2，14知μ＝－2，σ＝12，P (－3.5＜X ≤－0.5)＝P (－2－3×0.5＜X ≤－2＋3×0.5)＝0.997 3.]7．已知10件产品中有3件是次品，任取2件，若X 表示取到次品的件数，则E (X )等于( )A.35B.815 C.1415D ．1A [由题意知，随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝915＝35.]8．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( )A.35B.25 C.110D.59D [记“第一次摸到正品”为事件A ，“第二次摸到正品”为事件B ，则P (A )＝C 16C 19C 110C 19＝35，P (AB )＝C 16C 15C 110C 19＝13.故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝59.]9．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的C [X ＝k 表示取出的螺丝钉恰有k 只为好的，则P (X ＝k )＝C k 7C 4－k 3C 410(k ＝1,2,3,4)．∴P (X ＝1)＝130，P (X ＝2)＝310，P (X ＝3)＝12，P (X ＝4)＝16，故310表示恰好有2个是好的．]10．已知甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，若目标被击中，则它是被甲击中的概率是( )A ．0.45B ．0.6C ．0.65D ．0.75D [令事件A ，B 分别表示甲、乙两人各射击一次击中目标，由题意可知P (A )＝0.6，P (B )＝0.5，令事件C 表示目标被击中，则C ＝A ∪B ，则P (C )＝1－P (A )P (B )＝1－0.4×0.5＝0.8， 所以P (A |C )＝P (AC )P (C )＝0.60.8＝0.75.]11．某地区高二女生的体重X (单位：kg)服从正态分布N (50,25)，若该地区有高二女生2 000人，则体重在50 kg ～65 kg 间的女生约有( )A ．683人B ．954人C ．997人D ．994人C [由题意知，μ＝50，σ＝5，∴P (50－3×5<X ≤50＋3×5)≈0.997 3. ∴P (50<X ≤65)＝12×0.997 3＝0.498 65，∴体重在50 kg ～65 kg 的女生大约有2 000×0.498 65≈997(人)．]12.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“－－”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.516B.1132C.2132D.1116A [由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为C 36＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P ＝2064＝516.故选A.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，随机变量η＝2ξ－1，则E (η)＝________. 73[ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，∴E (ξ)＝5×13＝53， ∴E (η)＝E (2ξ－1)＝2E (ξ)－1＝2×53－1＝73.]14．某灯泡厂生产大批灯泡，其次品率为1.5%，从中任意地陆续取出100个，则其中正品数X 的均值为________个，方差为________．98.5 1.477 5[由题意可知X ～B (100,98.5%)， ∴E (X )＝np ＝100×98.5%＝98.5，D (X )＝np (1－p )＝100×98.5%×1.5%＝1.477 5.]15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．0.18[记事件M 为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P (M )＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.]16．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627.其中所有正确结论的序号是________．①②④[①所求概率P ＝C 12C 24C 36＝2×620＝35，故①正确；②取到红球的次数X ～B ⎝⎛⎭⎫6，23，其方差为6×23×⎝⎛⎭⎫1－23＝43，故②正确；③设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}，则P (A )＝23，P (AB )＝4×36×5＝25，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35，故③错；④每次取到红球的概率P ＝23，所以至少有一次取到红球的概率为1－⎝⎛⎭⎫1－233＝2627，故④正确．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率．[解] 记“甲第i 次试跳成功”为事件A i ，“乙第i 次试跳成功”为事件B i ，依题意得P (A i )＝0.7，P (B i )＝0.6，且A i ，B i (i ＝1,2,3)相互独立．(1)“甲第三次试跳才成功”为事件A 1A 2A 3，且三次试跳相互独立，则P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.所以甲第三次试跳才成功的概率为0.063.(2)设“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C .法一：(直接法)因为C ＝A 1B 1＋A 1B 1＋A 1B 1，且A 1B 1，A 1B 1，A 1B 1彼此互斥， 所以P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＝0.7×0.4＋0.3×0.6＋0.7×0.6＝0.88.法二：(间接法)P (C )＝1－P (A 1)P (B 1)＝1－0.3×0.4＝0.88. 所以甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.18．(本小题满分12分)甲\乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X ，Y ，X 和Y 的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较．[解]工人甲生产出次品数X 的数学期望和方差分别为E (X )＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，D (X )＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81.工人乙生产出次品数Y 的数学期望和方差分别为 E (Y )＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，D (Y )＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.由E (X )＝E (Y )知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D (X )>D (Y )，可见乙的技术比较稳定．19．(本小题满分12分)某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任取3人参加学校的义务劳动．(1)设所选3人中女生人数为X ，求X 的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B )和P (B |A )． [解] (1)X 的所有可能取值为0,1,2. 依题意得P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15.∴X 的分布列为(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C ，则P (C )＝C 34C 36＝15，∴所求概率为P (C )＝1－P (C )＝1－15＝45.(3)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 14C 36C 25C 36＝410＝25.20．(本小题满分12分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．(1)求ξ的分布列； (2)求ξ的数学期望．[解](1)必须要走到1号门才能走出，ξ可能的取值为1,3,4,6. P (ξ＝1)＝13.P (ξ＝3)＝13×12＝16.P (ξ＝4)＝13×12＝16.P (ξ＝6)＝2×⎝⎛⎭⎫13×12×1＝13. ∴ξ的分布列为：ξ 1 3 4 6 P13 16 16 13(2)E (ξ)＝1×13＋3×16＋4×16＋6×13＝72(小时)．21．(本小题满分12分)进货商当天以每份1元的进价从报社购进某种报纸，以每份2元的价格售出．若当天卖不完，剩余报纸以每份0.5元的价格被报社回收．根据市场统计，得到这个月的日销售量X (单位：份)的频率分布直方图(如图所示)，将频率视为概率．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)若进货量为n (单位：份)，当n ≥X 时，求利润Y 的表达式； (3)若当天进货量n ＝400，求利润Y 的分布列和数学期望E (Y )．[解] (1)由题图可得，100a ＋0.002×100＋0.003×100＋0.003 5×100＝1，解得a ＝0.001 5.(2)因为n ≥X ，所以Y ＝(2－1)X －0.5(n －X )＝1.5X －0.5n .(3)销售量X 的所有可能取值为200,300,400,500，由第(2)问知对应的Y 分别为100,250,400. 由频率分布直方图可得 P (Y ＝100)＝P (X ＝200)＝0.20， P (Y ＝250)＝P (X ＝300)＝0.35， P (Y ＝400)＝P (X ≥400)＝0.45. 利润Y 的分布列为所以E (Y )＝0.20×100＋0.35×250＋0.45×400＝287.5.22．(本小题满分12分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．[解] (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意知，各局比赛结果相互独立， 故P (A 1)＝⎝⎛⎭⎫233＝827， P (A 2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23×23＝827，P (A 3)＝C 24⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－232×12＝427.所以甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意知，各局比赛结果相互独立， 所以P (A 4)＝C 24⎝⎛⎭⎫1－232⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－12＝427. 由题意知，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得 P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627.又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427，P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327，故X 的分布列为所以E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.。

人教版数学高二章末检测 章末检测

人教版数学高二章末检测 章末检测

章末检测一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＋C ＝2B ，a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( ) A. 2 B. 3 C.32 D ．2 答案 C解析 由A ＋C ＝2B ，解得B ＝π3. 由余弦定理得(3)2＝1＋c 2－2c cosπ3， 解得c ＝2或c ＝－1(舍去)．于是S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×2sin π3＝32. 2．在△ABC 中，下列关系式①a sin B ＝b sin A ；②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ；④b ＝c sin A ＋a sin C ，一定成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 C解析 由正弦定理知①正确，由余弦定理知③正确；②中由正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，显然成立；④中由正弦定理得sin B ＝2sin A sin C ，未必成立．3．在△ABC 中，若B ＝120°，则a 2＋ac ＋c 2－b 2的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．不确定答案 C解析 ∵B ＝120°，∴cos B ＝－12＝a 2＋c 2－b 22ac， ∴a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( )A.725 B ．－725C ．±725 D.2425答案 A解析 由b sin B ＝c sin C及8b ＝5c ，C ＝2B ，得5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725.5．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC 等于( ) A. 3 B.7C ．2 2 D.23答案 A解析 由AB →·BC →＝1可得2BC cos(180°－B )＝1，即2BC cos B ＝－1，又由余弦定理可得32＝BC 2＋22－2×2BC cos B ，把2BC cos B ＝－1代入，得9＝BC 2＋4＋2，解得BC ＝ 3.6．在△ABC 中，若tan A sin 2B ＝tan B sin 2A 成立，则△ABC 一定是() A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形答案 D解析 ∵tan A sin 2B ＝tan B sin 2A ，∴sin Acos A sin 2B ＝sin Bcos B ·sin 2A ，∴sin B cos B ＝sin A cos A ，即sin 2A ＝sin 2B .又∵A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2，即△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 7．在△ABC 中，A ＝π3，a ＝6，b ＝4，则满足条件的△ABC ( ) A ．不存在 B ．有一个C ．有两个D ．不确定答案 A解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B， ∴sin B ＝b sin A a ＝4·326＝2>1，∴B 不存在． 8．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点D 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点D 向北偏东30°前进100 m 到达点C ，在C 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m答案 A解析 如图，AB 为水柱，高度设为h ，D 在A 的正西方向，C 在D的北偏东30°方向．且CD ＝100 m ，∠ACB ＝30°，∠ADB ＝45°.在△ABD 中，AD ＝h ，在△ABC 中，AC ＝3h .在△ACD 中，∠ADC ＝60°，由余弦定理得cos 60°＝1002＋h 2－（3h ）22·100·h＝12， ∴h ＝50或－100(舍)．9．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[0，2]C ．(0，2]D ．(2，3)答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0＜π－3A ＜π2，0＜2A ＜π2⇒π6＜A ＜π4， 由正弦定理AC sin B ＝BC sin A得AC ＝2cos A . ∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4，∴AC ∈(2，3)． 10．设a ，b ，c 是△ABC 的三条边，对任意实数x ，f (x )＝b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2，有( )A ．f (x )＝0B ．f (x )>0C ．f (x )≤0D ．f (x )<0答案 B解析 ∵Δ＝(b 2＋c 2－a 2)2－4b 2c 2＝(b 2＋c 2－a 2)2－(2bc )2＝[(b ＋c )2－a 2]·[(b －c )2－a 2]＝(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )(b －c ＋a )(b －c －a )，b ＋c ＋a >0，b ＋c －a >0，b －c ＋a >0，b －c －a <0，∴Δ<0，又b 2>0，∴f (x )>0.二、填空题11．在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________． 答案 2解析 在△ABC 中，利用正弦定理得AC sin 45°＝BC sin 60°⇒AC sin 45°＝3sin 60°⇒AC ＝3·sin 45 °sin 60°＝ 2. 12．在△ABC 中，M 是线段BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，AB →·AC →＝________．答案 －16解析 方法一 AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →＋MC →)＝|AM →|2－|MB →|2＝9－5×5＝－16.方法二 特例法，假设△ABC 是以AB ，AC 为腰的等腰三角形，如图所示，AM ＝3，BC ＝10，则AB ＝AC ＝34，cos ∠BAC ＝34＋34－1002×34＝－817， AB →·AC →＝|AB |·|AC →|·cos ∠BAC ＝－16.13．在△ABC 中，已知cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________． 答案 145解析 在△ABC 中，∵cos A ＝35>0， 又∵A ∈(0，π)，∴sin A ＝45. ∵cos B ＝513>0，又∵B ∈(0，π)，∴sin B ＝1213. ∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665. 由正弦定理知b sin B ＝c sin C， ∴c ＝b sin C sin B ＝3×56651213＝145. 14．在△ABC 中，已知BC ＝3，AB ＝10，AB 边上的中线为7，则△ABC 的面积为________． 答案 1523 解析 如图，设△ABC 中AB 边上的中线为CD .则△BCD 中，BC ＝3，BD ＝5，CD ＝7，∴cos B ＝32＋52－722·3·5＝－12， 又∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝120°，∴sin B ＝32， ∴S △BCD ＝12BC ·BD ·sin B ＝12·3·5·32＝1543， ∴S △ABC ＝2S △BCD ＝1523. 15．在△ABC 中，A 满足3sin A ＋cos A ＝1，AB ＝2，BC ＝23，则△ABC 的面积为________．答案 3 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧3sin A ＋cos A ＝1，sin 2A ＋cos 2A ＝1，得⎩⎨⎧sin A ＝32，cos A ＝－12. ∴A ＝120°，由正弦定理得2sin C ＝23sin A， ∴sin C ＝12. ∴C ＝30°，∴B ＝30°，∴S ＝12AB ×BC ×sin B ＝12×2×23×sin 30°＝ 3. 三、解答题16．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .解 由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ，故3tan A cos C ＝2sin C ，因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，tan C ＝12， 所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )]＝－tan(A ＋C )＝tan A ＋tan C tan A tan C －1＝－1， 又因为B ∈(0°，180°)，所以B ＝135°.17.如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．解 设我艇追上走私船所需时间为t 小时，且我艇在C 处追上走私船，则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中，∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，AB ＝12，根据余弦定理得(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°，∴t ＝2小时(t ＝－34舍去)． 所以我艇追上走私船所需要的时间为2小时．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，并且sin 2A 2＝c －b 2c. (1)试判断△ABC 的形状并加以证明；(2)当c ＝1时，求△ABC 周长的最大值．解 (1)△ABC 为直角三角形．证明如下：方法一 由已知可得，1－cos A 2＝12－b 2c， 即cos A ＝b c. 又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b c. 化简得c 2＝a 2＋b 2，由此知△ABC 为直角三角形．方法二 由方法一知b ＝c cos A .由正弦定理得sin B ＝sin C cos A .由sin B ＝sin(A ＋C )，从而有sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ，即sin A cos C ＝0.因为sin A ≠0，所以cos C ＝0，C ∈(0，π)，即C ＝π2，故△ABC 为直角三角形． (2)由(1)知c 为Rt △ABC 的斜边．当c ＝1时，两直角边长分别为sin A ，cos A ，则△ABC 的周长l ＝1＋sin A ＋cos A ＝1＋2sin(A ＋π4)．而0<A <π2，当sin(A ＋π4)＝1， 即A ＝π4时，周长l 取得最大值为1＋ 2. 19．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若cos B ＝23，求cos C 的值． (1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以，A ＝2B .(2)解 由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，故cos A ＝－19，sin A ＝459， cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227. 20．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B 2·cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35. (1)求cos A 的值； (2)若a ＝42，b ＝5，求BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35， 得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35， 即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35， 则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35. (2)由cos A ＝－35，π2<A <π，得sin A ＝45.由正弦定理有a sin A ＝b sin B ，所以sin B ＝b sin A a ＝22. 由题意知a >b ，则A >B ，故B ＝π4. 根据余弦定理有(42)2＝52＋c 2－2×5×c ×(－35)， 解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．又∵cos B ＝cos π4＝22， 故BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22. 21．已知函数f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sinA )与向量n ＝(2，sinB )共线，求a ，b 的值．解 (1)∵f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1， ∴函数f (x )的最小值是－2，最小正周期是T ＝2π2＝π. (2)由题意得f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0， ∴sin(2C －π6)＝1， ∵0<C <π， ∴－π6<2C －π6<116π，∴2C －π6＝π2， ∴C ＝π3， ∵m ∥n ，∴12＝sin A sin B ，由正弦定理得a b ＝12，① 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即3＝a 2＋b 2－ab ，②由①②解得a ＝1，b ＝2.。

人教新课标版数学高二-课时作业 章末检测

人教新课标版数学高二-课时作业 章末检测

章末检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列说法中正确的是( )A ．相关关系是一种不确定的关系，回归分析是对相关关系的分析，因此没有实际意义B ．独立性检验对分类变量关系的研究没有100%的把握，所以独立性检验研究的结果在实际中也没有多大的实际意义C ．相关关系可以对变量的发展趋势进行预报，这种预报可能会是错误的D ．独立性检验如果得出的结论有99%的可信度，就意味着这个结论一定是正确的 2.根据一位母亲记录儿子3岁～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的回归直线方程y ^＝7.19x ＋73.93，用此方程预测儿子10岁的身高，有关叙述正确的是( ) A ．身高一定为145.83 cm B ．身高大于145.83 cm C ．身高小于145.83 cm D ．身高在145.83 cm 左右3．已知两个变量x 和y 之间具有线性相关性，甲、乙两个同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归的方法求得回归直线分别为l 1和l 2.已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均数都为s ，对变量y 的观测数据的平均数都是t ，则下列说法正确的是( )A ．l 1和l 2必有交点(s ，t )B ．l 1与l 2相交，但交点一定不是(s ，t )C ．l 1与l 2必定平行D ．l 1与l 2必定重合4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2算得统计量χ2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.则正确的结论是( )A ．有99%的把握认为“爱好该项运动和性别有关”B ．有99%的把握认为“爱好该项运动和性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”5．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是( ) A ．有99%的人认为该栏目优秀B ．有99%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系6．某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如下表：现已求得上表数据的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为( ) A ．84分钟 B ．94分钟 C ．102分钟 D ．112分钟7．某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出x (万元)与公司所获得利润y (万元)的统计资料如下表：则利润y 对科研费用支出x 的回归直线方程为( ) A.y ^＝2x ＋20B.y ^＝2x －20C.y ^＝20x ＋2D.y ^＝20x －28．已知x ，y 取值如表：画散点图分析可知，y 与x 线性相关，且求得回归直线方程为y ^＝x ＋1，则m 等于( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 9．独立性检验中，假设H 0：变量X 与变量Y 没有关系，则在H 0成立的情况下，P (χ2≥6.635)＝0.010表示的意义是( )A ．变量X 与变量Y 有关系的概率为1%B ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99.9%C ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99%D ．变量X 与变量Y 有关系的概率为99%10．根据某班学生数学、外语成绩得到的2×2列联表如下：那么统计量χ2约为( )A ．10.3B ．8C ．4.25D ．9.3 11．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 每增加一个单位，y 平均增加5个单位； ③回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过(x ，y )；④在一个2×2列联表中，由计算得χ2＝13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系． 其中错误的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．312．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的实验，测试结果见下表，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下推断实验效果与教学措施( )A.有关 B ．无关C ．关系不明确D ．以上都不正确二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．下列是关于出生男婴与女婴调查的列联表：那么A ＝________，B ＝________，C ＝________，D ＝________，E ＝__________.14．已知样本容量为11，计算得∑i ＝1nx i ＝510，∑i ＝1ny i ＝214，回归方程为y ^＝0.3x ＋a ^，则x ≈________，a ^≈__________.(精确到0.01)15．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，由表中数据得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝－2.现预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________．16.某部门通过随机调查89名工作人员的休闲方式是读书还是健身，得到的数据如下表：在犯错误的概率不超过________的前提下认为性别与休闲方式有关系．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知10只狗的血球体积x(单位：mm3)及红血球数y(单位：百万)的测量值如下：(1)画出散点图；(2)求出y对x的回归直线方程；(3)若血球体积为49 mm3，预测红血球数大约是多少？18．(12分)为了调查某大学学生在某天上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下的统计结果：表1：男生上网时间与频数分布表(2)完成下面的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”.19．(12分)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为27.请完成上面的2×2列联表，若按99%的可靠性要求，则能否认为“成绩与班级有关”？20．(12分)某校团对“学生性别与是否喜欢韩剧有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的16，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的23，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有多少人？21．(12分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求回归直线方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由回归直线方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的回归直线方程是可靠的，试问(2)中所得的回归直线方程是否可靠？22．(12分)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图：注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归直线方程(系数精确到0.01)，预测2018年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17,∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝ ∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t)2∑i ＝1n(y i －y )2，回归直线方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a ^＝y －b ^t .答案精析1．C 2．D 3．A 4．A 5．D 6．C 7．A 8．C解析 据题x ＝15(0＋1＋3＋5＋6)＝3，y ＝15(1＋m ＋3m ＋5.6＋7.4)＝14＋4m 5，故样本点中心为(3，14＋4m5)，代入回归直线方程，得14＋4m 5＝3＋1，解得m ＝32. 9．D 10．C 11．B 12．A[χ2＝100×(48×12－38×2)250×50×86×14≈8.306>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“实验效果与教学措施有关”．] 13．47 92 88 82 53 解析 ∵45＋E ＝98，∴E ＝53， ∵E ＋35＝C ，∴C ＝88， ∵98＋D ＝180，∴D ＝82， ∵A ＋35＝D ，∴A ＝47， ∵45＋A ＝B ，∴B ＝92. 14．46.36 5.55解析 由题意得x ＝111∑i ＝111x i ＝51011，y ＝111∑i ＝111y i ＝21411，因为y ＝0.3x ＋a ^，所以21411＝0.3×51011＋a ^，可得a ^≈5.55. 15．68解析 由题意可知x ＝14(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14(24＋34＋38＋64)＝40，b ^＝－2.又回归直线y ^＝－2x ＋a ^过点(10,40)，故a ^＝60. 所以当x ＝－4时，y ^＝－2×(－4)＋60＝68. 16．0.10解析 由列联表中的数据，得统计量 χ2＝89×(24×26－31×8)255×34×32×57≈3.689>2.706，因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与休闲方式有关系． 17．解 (1)散点图如图所示．(2)设回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，由表中数据代入公式，得b ^＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x2≈0.16，a ^＝y －b ^x ≈0.12.所以所求回归直线方程为y ^＝0.16x ＋0.12. (3)把x ＝49代入回归直线方程得y ^＝0.16×49＋0.12≈7.96，计算结果表明，当血球体积为49 mm 3时，红血球数大约为7.96百万．18．解 (1)设上网时间不少于60分钟的女生人数为x ，依题意有x 750＝30100，解得x ＝225，所以估计上网时间不少于60分钟的女生有225人． (2)填2×2列联表如下：由表中数据可得统计量 χ2＝200×(60×30－40×70)2100×100×130×70≈2.20<3.841，故没有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”． 19．解 填2×2列联表如下：由表中数据可得统计量 χ2＝210×(20×60－90×40)2110×100×60×150≈12.2>6.635，所以若按照99%的可靠性要求，则能够判断成绩与班级有关． 20．解 设男生人数为x ，依题意可得列联表如下：χ2>3.841， 由χ2＝3x 2×⎝⎛⎭⎫x 6×x 6－5x 6×x 32x ×x 2×x 2×x ＝38x >3.841，解得x >10.24，∵x 2，x6为整数，∴若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．21．解 (1)设事件A 表示“选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据”，则A 表示“选取的数据恰好是相邻2天的数据”．基本事件总数为10，事件A 包含的基本事件数为4. ∴P (A )＝410＝25， ∴P (A )＝1－P (A )＝35.(2)x ＝12，y ＝27，∑i ＝13x i y i ＝977，∑i ＝13x 2i ＝434，∴b ^＝∑i ＝13x i y i －3x y∑i ＝13x 2i －3x2＝977－3×12×27434－3×122＝2.5，a ^＝y －b ^x ＝27－2.5×12＝－3， ∴y ^＝2.5x －3.(3)由(2)知：当x ＝10时，y ^＝22，误差不超过2颗；当x ＝8时，y ^＝17，误差不超过2颗． 故所求得的回归直线方程是可靠的．22．解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据，得 t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28,∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，∑i ＝17 (t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝2.8928≈0.103.a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归直线方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2018年对应的t ＝11代入回归直线方程得y ^＝0.92＋0.10×11＝2.02. 所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量约为2.02亿吨．。

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章末检测(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．袋中有红、黄、蓝三色球各一个，每次从中任取一个，有放回地取三次，则颜色不全相同的概率为( ) A.89 B.78 C.59 D.582．张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率是0.60，则预估做对第二道题的概率是( ) A ．0.80 B ．0.75 C ．0.60D ．0.483．已知离散型随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n .若P (1≤X ≤3)＝15，则n 的值为( )A ．3B ．5C ．10D ．154．如果箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球．那么在第4次取球之后停止的概率为( )A.C 35·C 14C 45B ．C 14×(59)3×49 C ．(59)3×49D.35×145．李老师乘车到学校，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.5，则他上班途中遇到红灯次数的均值是( ) A ．0.4 B ．1.5 C ．0.43 D ．0.6 6．已知离散型随机变量X 的分布列如下：则其均值E (X )等于( ) A ．1 B ．0.6 C ．2＋3mD ．2.4 7．设随机变量ξ～N (2,4)，若P (ξ>a ＋2)＝P (ξ<2a －3)，则实数a 的值为( ) A ．1 B.53C ．5D ．98．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为45，乙及格的概率为35，丙及格的概率为710，三人各答一次，则三人中只有1人及格的概率为( ) A.320 B.42135C.47250D ．以上都不对9．设随机变量X 服从二项分布B (5，12)，则函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点的概率是( )A.56B.45C.2021D.313210．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f (x )＝1102π·2(80)200e x ，则下列命题中不正确的是( )A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学成绩的标准差为1011．若随机变量X 1～B (n,0.2)，X 2～B (6，p )，X 3～B (n ，p )，且E (X 1)＝2，D (X 2)＝32，则D (X 3)等于( )A ．2.5B ．1.5C ．0.5D ．3.512．口袋中有5个球，编号分别为1,2,3,4,5，从中任取3个球，以X 表示取出球的最大号码，则E (X )等于( )A ．4B ．5C ．4.5D ．4.75二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．袋中有4个红球3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P (X ≤6)＝________. 14．设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表：则E (X )＝________.15．设离散型随机变量X ～N (0,1)，则P (X ≤0)＝________；P (－2<X ≤2)＝________. 16．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________．(用数字作答) 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率；(2)求这名同学至少得300分的概率．18．(12分)为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，某校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．求：(1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的分布列和均值．19．(12分)从1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数．(1)求这3个数恰有1个偶数的概率；(2)记X为3个数中两数相邻的组数，例如取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时X的值为2，求随机变量X的分布列及均值E(X)．20.(12分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，据统计，随机变量ξ的分布列如下表：(1)求a的值和ξ的均值；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．21．(12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值．22．(12分)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.(1)求工期延误天数Y的均值与方差；(2)求在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率．答案精析1．A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.D 7.B 8．C 9.D 10.B 11.A 12.C 13.133514．1－2 15.12 0.954 4 16.62517．解 记“这名同学答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.7，P (A 3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率 P 1＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6 ＝0.228.(2)这名同学至少得300分的概率P 2＝P 1＋P (A 1A 2A 3)＝0.228＋P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.18．解 (1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A ，则P (A )＝A 22×A 44A 66＝115. 所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为115.(2)随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝0)＝A 22×A 55A 66＝13，P (X ＝1)＝4×A 22×A 44A 66＝415， P (X ＝2)＝A 24×A 22×A 33A 66＝15，P (X ＝3)＝A 34×A 22×A 22A 66＝215， P (X ＝4)＝A 44×A 22A 66＝115.随机变量X 的分布列为因此，E (X )＝0×13＋1×415＋2×15＋3×215＋4×115＝43.19．解 (1)设Y 表示“任取的3个数中偶数的个数”，则Y 服从N ＝9，M ＝4，n ＝3的超几何分布，∴P (Y ＝1)＝C 14C 25C 39＝1021.(2)X 的取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 37C 39＝512，P (X ＝1)＝2×6＋6×5C 39＝12，P (X ＝2)＝7C 39＝112. ∴X 的分布列为∴E (X )＝0×512＋1×12＋2×112＝23.20．解 (1)由分布列的性质得0.1＋0.3＋2a ＋a ＝1，解得a ＝0.2， ∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.(2)设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”；事件A 1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”；事件A 2表示“两个月均被投诉1次”． 则由事件的独立性得P (A 1)＝C 12P (ξ＝2)P (ξ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08， P (A 2)＝2＝0.32＝0.09.∴P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝0.08＋0.09＝0.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.21．解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A .P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200,300,400.P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310，P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝610＝35.故X 的分布列为E (X )＝200×110＋300×310＋400×35＝350.22．解 (1)由已知条件和概率的加法公式得P (X <300)＝0.3，P (300≤X <700)＝P (X <700)－P (X <300)＝0.7－0.3＝0.4，P (700≤X <900)＝P (X <900)－P (X <700)＝0.9－0.7＝0.2，P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－0.9＝0.1， 所以Y 的分布列为于是E (Y )＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式得P (X ≥300)＝1－P (X <300)＝0.7， 又P (300≤X <900)＝P (X <900)－P (X <300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X <900|X ≥300) ＝P (300≤X <900)P (X ≥300)＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300 mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.。

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