初中数学竞赛教程

初中数学竞赛教程

七年级

第一讲 有理数（一）

一、【能力训练点】

1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

2、有理数的两种分类：

3、有理数的本质定义，能表成m n

（0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）；

② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数

个有理数。

5、绝对值的意义与性质：

① (0)

||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩

② 非负性 2

(||0,0)a a ≥≥

③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非

负数。ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】：

1． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ）

A.相反数

B.倒数

C.绝对值

D.平

方

2.已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝

对值是2，求2

2006

2007

()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。

3.如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ）

A.2a

B.

2a

- C.0

D.2b

4.有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,

a b b c c a

b c c a a b

------中有几个负数？

5.设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，b a

，b 的形式，求2006

2007

a

b +。

6.三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且

||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac

=

+++++则3

21

ax

bx cx +++的值是多少？

7.若,,a b c 为整数，且2007

2007||

||1

a b c a -+-=，试求||||||

c a a b b c -+-+-的值。

第二讲 有理数（二）

一、【能力训练点】：

1、绝对值的几何意义

① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。②

||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离。

2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。 二、【典型例题解析】：

1．若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++- 2．试化简|1||2|x x +--

3.若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。

4.已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++-求()f x 的最小值。

5．若|1|a b ++与2

(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。

6.如果0abc ≠，求||||||

a b c a b c

++

的值。

7.x 是什么样的有理数时 |(2)(4)||2||4|x x x x -+-=-+-等式成立？

第三讲 有理数（三）

一、【能力训练点】：

1、运算的分级与运算顺序；

2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。

3、巧算的一般性技巧： ① 凑整（凑0）； ② 巧用分配律 ③ 去、添括号法则； ④ 裂项法

4、综合运用有理数的知识解有关问题。 二、【典型例题解析】：

1．计算：237970.71 6.6 2.20.7 3.31173118

⨯-⨯-÷+⨯+÷

2．111111111

1

(1)()(1)23

1996234

199723

1997

---

-

⨯++++

-----

1111

()2341996

⨯+++

+

3．计算：22222222

21314112131411

n n S n ++++=+++

+----

4.比较123424816

2n

n

n S

=

+++++

与2的大小。

5.计算（1）1111142870130208++++ （2）22

2

1335

99101

++

+

⨯⨯⨯

第四讲 代数式（一）

一、【能力训练点】：

（1）列代数式； （2）代数式的意义； （3）代数式的求值（整体代入法） 二、【典型例题解析】： 1.求代数式的值：

（1）已知25a b a b -=+，求代数式2(2)3()

2a b a b a b a b -++

+-的值。

（2）已知2

25

x y ++的值是7，求代数式2

364

x y

++的值。

（3）已知113b a -=，求222a b ab

a b ab

---+的值。

（4）已知：当1x =时，代数式3

1Px qx ++的值为2007，求当1x =-时，代数式3

1Px qx ++的值。

（5）已知等式(27)(38)810A B x A B x -+-=+对一切x 都成立，求A 、B 的值。