导数公式

u x 的复合函数.
由复合函数求导法则有
y
' x
yu'
u
' x
sin u' x '
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cosu cosx .
题型一：导数公式及导数运算法则的应用
例2:求下列函数的导数:
(1) y x3 2x 3
(2)
y
1 x
2 x2
;
(3)
y
x 1 x2
;
(4) y tan x;
(5) y (2x2 3) 1 x2 ;
＝18x2－8x＋9. 解：(2)法二：∵y＝(2x2＋3)·(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，
∴y′＝18x2－8x＋9.
解：(3)法一：y′＝(xx－＋11)′ ＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1 ＝x＋2 12.
解：(3)法二：∵y＝xx－ ＋11＝x＋x＋1－1 2 ＝1－x＋2 1， ∴y′＝ ＝－ (1－2′x＋2x1＋)′ 1x＋＝－1(2－2xx＋＋211′)′＝x＋2 12.
4.已知 2x=3y=6z, 求 x, y, z 之间的关系.
解: 令 2x=3y=6z=k, 则 x=log2k, y=log3k, z=log6k, 当 k=1 时, x=y=z=0;
当 k1 时, 由对数换底公式得:
logk2=
1 x
,
logk3=
1 y
,
logk6=
1 z
,
∵ logk6=logk2+logk3, ∴
(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；
(3)y＝xx－ ＋11；
(4)y＝x·tan x.
解：(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′ ＝5x4－9x2－10x.
解：(2)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3
1 z
=
1 x
+
1 y
.
∴ x, y, z 之间的关系为 x=y=z=0 或
1 z
=
1 x
+
1 y
.
例4 求下列函数的导数
1 y 2x 32 ; 2 y e0.05x1 ;
3 y sinx 其中 ,均为常数 .
解 1函数y 2x 32可以看作函数y u3和
u 2x 3的复合函数. 由复合函数求导法则有
答案: (1) y 3x2 2;
(2)
y
1 x2
4 x3
;
(3)
y
1 x2 (1 x2 )2
;
(4)
y
1 cos2
x
;
(5) y 6x3 x ; 1 x2
(6) y
1 x4
;
(7) y x x;
(6)
y
4 x5
;
(7) y 3 x; 2
练习： 求下列函数的导数：
(1)y＝x5－3x3－5x2＋6；
yx'
yu'
u
' x
u2
' 2x 3'
4u 8x 12.
2函数 y e0.05x1 可以看作函数 y eu 和u
0.05x 1的复合函数.由复合函数求导法则有
y
' x
yu'
u
' x
eu ' 0.05x 1 '
0.05eu 0.05e0.05x1.
3函数y sinx 可以看作函数y sin u和
解：(4)y′＝(x·tan x)′＝(xcsoisnxx)′
＝xsin
x′cos
x－xsin cos2x
xcos
x′
＝sin
x＋xcos xcos cos2x
x＋xsin2x
＝sin
xcos x＋x cos2x .