最新信息学奥林匹克竞赛辅导课件-归纳策略

1.递推关系的定义和求解方法
有一类试题，每相邻两项数之间的变化有一定的规律 性，我们可将这种规律归纳成如下简捷的递推关系式：
fn=g(fn-1)或者fn-1=g’(fn) 这样就在数的序列中，建立起后项和前项之间的关 系。然后从初始条件(或最终结果)入手，一步步地按递 推关系式递推，直至求出最终结果(或初始值)。很多程 序就是按这样的方法逐步求解的。如果对一个试题，我 们要是能找到后一项数与前一项数的关系并清楚其起始 条件（或最终结果），问题就比较容易解决，让计算机 一步步计算就是了。让高速的计算机从事这种重复运算， 可真正起到“物尽其用”的效果。
通常，归纳的过程分四个步骤：
(1) 细心的观察 (2) 丰富的联想 (3) 继续尝试 (4) 总结归纳出结论
归纳是一种抽象，即从特殊现象中找出一般关 系。但在归纳过程中不可能列举所有情况，因而最后 得出的结论还只是一种猜测（即归纳假设）。通过精 心观察而提出的归纳假设得不到证实或最后证明是错 的，也是常有的事。因此要尽可能对归纳假设加以严 格的证明，证明的方法通常使用数学归纳法。即便找 不到证明方法，也必须尽可能多地提出那些容易出错 和疏漏的边界情况加以验证，使归纳出的结论和解决 问题的途径经得起各种测试数据的检验。
一般分析思路：
if (求解初始条件f1)
//倒推
{ 由题意(或递推关系)确定最终结果fn;
求出倒推关系式fi-1=g’(fi);
for(i=n; i>=2;i--) fi-1=g’(fi);
//从最终结果fn进行倒推
顺推
{ 由题意(或递推关系)确定初始值f1(边界条件); 求出顺推关系式 fi=g(fi-1);
问题经过分析归纳后，一般产生 四种结果：
(1) 递推式 (2) 递归式 (3) 制定目标 (4) 贪心方案
当然，经过分析直接概括出高度抽象的数学公式 亦是一种归纳过程、一种解题的途径。但是怎样进行这 种归纳，这个问题太宽泛，与其说它是计算机算法的策 略，还不如说它是一种数学知识和数学能力，取决于解 题者本身的数学功底。我们已经在“对应策略”一节中， 对如何将试题与数学公式对应的问题作了一些讨论，这 里不再赘述。
2．递推关系的建立
递推关系中存在着三大基本问题： 如何建立递推关系， 已给出的递推关系有何性质， 以及如何求解递推关系。 其中核心问题是如何建立递推关系。
建立递推关系的关键在于寻找第n项与前面 （或后面）几项的关系式，以及初始项的值（或最 终结果值）。它不是一种抽象的概念，而是针对某 一具体题目或一类题目而言的。
下面，我们对五种典型的递推关系的建立作比 较深入具体的讨论。递推程序一般是将递推公式 “直译”成一重循环，模式性很强。
( 1 ) Fibonacci 数列
Fibonacci数列的代表问题是由意大利著名数学家 Fibonacci于1202年提出的“兔子繁殖问题”（又称 “Fibonacci问题”)：
递推分倒推法和顺推法两种形式：
顺推法就是由边界条件出发，通过递推关系式推 出后项值，再由后项值按递推关系式推出再后项值， 依次递推，直到从问题初始陈述向前推进到这个问题 的解为止。
倒推法就是在不知初始值的情况下，经推理而获 知问题的最终解或目标，再倒过来，推知它的初始条 件。因为这种问题的运算过程是一一映射的，故可分 析其倒推公式。然后再从最终解或目标出发，采用倒 推手段，一步步地倒推到这个问题的初始陈述。
一、递推法
瞬息变幻的世界，每一件事物都在随时间的流逝 发生着微妙的变化。而在这纷繁的变幻中，许多现象 的变化是有规律的，这种规律往往呈现出前因和后果 的关系。即某种现象的变化结果与紧靠它前面变化的 一个或一些结果紧密关联。所谓“三岁看老”，说的 就是这个道理。这一道理也正体现了递推的思想。递 推关系几乎在所有的数学分支中都有重要作用，在联 赛中更因其简捷高效而显示出独特的魅力。
有雌雄一对兔子，假定过两个月便可繁殖雌雄各一 的一对小兔子。问过n个月后共有多少对兔子？ 分析：设满X月共有兔子Fx对，其中当月新生的兔子数目 为Nx对。第x-1个月留下的兔子数设为Ox 对。则：
Fx=Nx+Ox 而Ox=Fx-1
Nx=Ox-1=Fx-2(即第x-2个月的所有兔子到第x个月都有 繁殖能力了)
信息学奥林匹克竞赛辅导课件归纳策略
归纳法要比搜索的方法（例如以后将讲解 的枚举法、回溯法等）更能反映问题的本质。 但是并不是所有实际问题都可以总结归纳出 一般规律，即便是可以，归纳也不是一件容 易的事情，尤其要归纳出一个数学模型更为 困难。而且归纳过程通常没有一定的规则可 供遵循。从本质上讲，归纳就是通过观察一 些简单而特殊的情况，最后总结出有用的结 论或解决问题的有效途径。
for(i=2; i<=n;i++) fi=g(fi-1); //从边界条件f1出发进行顺推 推出顺推结果fn; }
由此可见，递推算法的时间复杂度一般为W(n)。 我们之所以将递推法划入归纳策略，是因为初始条件 （或最终结果）除试题己明确给定外，都是通过对问 题的整理与化简而确定的，其递推式也是对实际问题 的分析与归纳而得到的，因此递推本质上属于归纳。
分析：设hn为n个盘子从a柱移到c柱所需移动的盘次。 显然，
( 2 ) Hanoi 塔问题
Hanoi塔由n个大小不同的圆盘和三根木柱a, b, c 组成。 开始时，这n个圆盘由大到小依次套在 a柱上，如图所 示。
要求把a柱上n个圆盘按下述规则移到c柱上： 1.一次只能移一个圆盘； 2.圆盘只能在三个柱上存放； 3.在移动过程中，不允许大盘压小盘。
问将这n个盘子从a柱移动到c柱上，总计需要移动多少 个盘次？
所以 Fx=Fx-1+Fx-2 边界条件： F0=0， F1=1 由上面的递推关系可依次得到：
F2=F1+F0=1,F3= F2+F1=2,F4=F3+F2=3 ，…, Fibonacci 数列常出现在比较简单的组合计数问题中，例
如【例9】极值问题、【例10】取石子问题、【例13】 蜜蜂爬行等问题都可以用这种方法来解决。