最新信息学奥林匹克竞赛辅导课件-归纳策略

分析：设hn为n个盘子从a柱移到c柱所需移动的盘次。 显然，
( 2 ) Hanoi 塔问题
Hanoi塔由n个大小不同的圆盘和三根木柱a, b, c 组成。 开始时，这n个圆盘由大到小依次套在 a柱上，如图所 示。
要求把a柱上n个圆盘按下述规则移到c柱上： 1.一次只能移一个圆盘； 2.圆盘只能在三个柱上存放； 3.在移动过程中，不允许大盘压小盘。
问将这n个盘子从a柱移动到c柱上，总计需要移动多少 个盘次？
所以 Fx=Fx-1+Fx-2 边界条件： F0=0， F1=1 由上面的递推关系可依次得到：
F2=F1+F0=1,F3= F2+F1=2,F4=F3+F2=3 ，…, Fibonacci 数列常出现在比较简单的组合计数问题中，例
如【例9】极值问题、【例10】取石子问题、【例13】 蜜蜂爬行等问题都可以用这种方法来解决。
2．递推关系的建立
递推关系中存在着三大基本问题： 如何建立递推关系， 已给出的递推关系有何性质， 以及如何求解递推关系。 其中核心问题是如何建立递推关系。
建立递推关系的关键在于寻找第n项与前面 （或后面）几项的关系式，以及初始项的值（或最 终结果值）。它不是一种抽象的概念，而是针对某 一具体题目或一类题目而言的。
信息学奥林匹克竞赛辅导课件归纳策略
归纳法要比搜索的方法（例如以后将讲解 的枚举法、回溯法等）更能反映问题的本质。 但是并不是所有实际问题都可以总结归纳出 一般规律，即便是可以，归纳也不是一件容 易的事情，尤其要归纳出一个数学模型更为 困难。而且归纳过程通常没有一定的规则可 供遵循。从本质上讲，归纳就是通过观察一 些简单而特殊的情况，最后总结出有用的结 论或解决问题的有效途径。
有雌雄一对兔子，假定过两个月便可繁殖雌雄各一 的一对小兔子。问过n个月后共有多少对兔子？ 分析：设满X月共有兔子Fx对，其中当月新生的兔子数目 为Nx对。第x-1个月留下的兔子数设为Ox 对。则：
Fx=Nx+Ox 而Ox=Fx-1
Nx=Ox-1=Fx-2(即第x-2个月的所有兔子到第x个月都有 繁殖能力了)
1.递推关系的定义和求解方法
有一类试题，每相邻两项数之间的变化有一定的规律 性，我们可将这种规律归纳成如下简捷的递推关系式：
fn=g(fn-1)或者fn-1=g’(fn) 这样就在数的序列中，建立起后项和前项之间的关 系。然后从初始条件(或最终结果)入手，一步步地按递 推关系式递推，直至求出最终结果(或初始值)。很多程 序就是按这样的方法逐步求解的。如果对一个试题，我 们要是能找到后一项数与前一项数的关系并清楚其起始 条件（或最终结果），问题就比较容易解决，让计算机 一步步计算就是了。让高速的计算机从事这种重复运算， 可真正起到“物尽其用”的效果。
for(i=2; i<=n;i++) fi=g(fi-1); //从边界条件f1出发进行顺推 推出顺推结果fn; }
由此可见，递推算法的时间复杂度一般为W(n)。 我们之所以将递推法划入归纳策略，是因为初始条件 （或最终结果）除试题己明确给定外，都是通过对问 题的整理与化简而确定的，其递推式也是对实际问题 的分析与归纳而得到的，因此递推本质上属于归纳。
一、递推法
瞬息变幻的世界，每一件事物都在随时间的流逝 发生着微妙的变化。而在这纷繁的变幻中，许多现象 的变化是有规律的，这种规律往往呈现出前因和后果 的关系。即某种现象的变化结果与紧靠它前面变化的 一个或一些结果紧密关联。所谓“三岁看老”，说的 就是这个道理。这一道理也正体现了递推的思想。递 推关系几乎在所有的数学分支中都有重要作用，在联 赛中更因其简捷高效而显示出独特的魅力。
下面，我们对五种典型的递推关系的建立作比 较深入具体的讨论。递推程序一般是将递推公式 “直译”成一重循环，模式性很强。
( 1 ) Fibonacci 数列
Fibonacci数列的代表问题是由意大利著名数学家 Fibonacci于1202年提出的“兔子繁殖问题”（又称 “Fibonacci问题”)：
一般分析思路：
if (求解初始条件f1)
//倒推
{ 由题意(或递推关系)确定最终结果fn;
求出倒推关系式fi-1=g’(fi);
for(i=n; i>=2;i--) fi-1=g’(fi);
//从最终结果fn进行倒推
推出倒推结果f1;
}
else
//顺推
{ 由题意(或递推关系)确定初始值f1(边界条件); 求出顺推关系式 fi=g(fi-1);
递推分倒推法和顺推法两种形式：
顺推法就是由边界条件出发，通过递推关系式推 出后项值，再由后项值按递推关系式推出再后项值， 依次递推，直到从问题初始陈述向前推进到这个问题 的解为止。
倒推法就是在不知初始值的情况下，经推理而获 知问题的最终解或目标，再倒过来，推知它的初始条 件。因为这种问题的运算过程是一一映射的，故可分 析其倒推公式。然后再从最终解或目标出发，采用倒 推手段，一步步地倒推到这个问题的初始陈述。
问题经过分析归纳后，一般产生 四种结果：
(1) 递推式 (2) 递归式 (3) 制定目标 (4) 贪心方案
当然，经过分析直接概括出高度抽象的数学公式 亦是一种归纳过程、一种解题的途径。但是怎样进行这 种归纳，这个问题太宽泛，与其说它是计算机算法的策 略，还不如说它是一种数学知识和数学能力，取决于解 题者本身的数学功底。我们已经在“对应策略”一节中， 对如何将试题与数学公式对应的问题作了一些讨论，这 里不再赘述。
通常，归纳的过程分四个步骤：
(1) 细心的观察 (2) 丰富的联想 (3) 继续尝试 (4) 总结归纳出结论
归纳是一种抽象，即从特殊现象中找出一般关 系。但在归纳过程中不可能列举所有情况，因而最后 得出的结论还只是一种猜测（即归纳假设）。通过精 心观察而提出的归纳假设得不到证实或最后证明是错 的，也是常有的事。因此要尽可能对归纳假设加以严 格的证明，证明的方法通常使用数学归纳法。即便找 不到证明方法，也必须尽可能多地提出那些容易出错 和疏漏的边界情况加以验证，使ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ纳出的结论和解决 问题的途径经得起各种测试数据的检验。