时间序列及其模型
时间序列常用模型
F11 F29 S2 9T2 6 27 33
同理，由此类推，第12,13时期都可恶意预测
F12 F210 S2 10T2 6 10 3 36 F13 F211 S2 11T2 6 11 3 39
• 自相关
• 定义：一个要素的时间序列，其后期与前期要素 的取值之间的相关性。
自相关系数和偏相关系数。通过这两个相关系数序列
的值就可以确定p 和q 的值。
自相关系数
n
(xi x )( yi y)
rxy =
i 1 n
n
(xi x )2 ( yi y)2
i 1
i 1
偏自相关系数
rj
1 Q Qj
n
Q [ yi (a b1x1i b2x2i bmxmi )]2 i1
• 通过比较④，⑤，⑥不难发现，自回归模型和滑 动平均模型都与但是指数平滑模型相似。其实AR ，MA就是无穷自回归模型，无穷滑动平均模型， 简称为，AR(), MA() 同样一个道理，ARMA 模型，也可以表示相似方程⑦。
Yt 1Yt1 12Yt2 13Yt3 1qYtq
e t 1et1 12et2 1pet p
2.自回归滑动平均法（ARIMA）
• 2.1一般的AR模型（自回归）
Yt 1Yt1 1Yt2 pYt p et ①
其中 Yt 是因变量。Yt1,Yt2,,Y tp 是自变量，显然它 们是同一变量的值，但是在不同的时刻1。, 2 , , p
表示自回归系数。最后e，t 是误差或残差项，表
辨别出一个实验性的模型
第一阶段
估计这个模型的参数 p,q,,
诊断这个模型是否满足要求
第二阶段
用这个模型预测
第三阶段
时间序列分析入门
xt t t1 2t2 3t3
均值为零？ 是否平稳？ 方差为有限常数？
自协方差与t无关？
AR(1)平稳旳条件
xt t t1 2t2 3t3
• 均值
E(t ) 0 E(xt ) 0
成立
• 方差
Var( xt
)
2
(1
2
4
6
)
(1)t充分大时Var(
xt
)
1
2
2
自协方差函数
1
r0
1
2
(1 11)(1 1 12
1 )
2
r2 E[xt2 (1xt1 t 1t1)] 1r1
rk 1rk1 (k 2)
ARMA(1,1)旳自有关函数
k
(1 11 1 12
)(1 1 211
)
1 k 1
k 1 k2
ARMA(p,q)旳自有关函数与AR(p)一样，具有拖尾性
③ 滞后算子形式
xt 1xt1 2xt2 p xtp t 1t1 2t2 qtq
p (B)xt q (B)t
xt
1 p
(
B)
q
(
B)
t
t
1 q
(
B)
p
(
B)
xt
性质总结
模型
• 自有关 • 函数 • 偏自有
关函数
• 平稳旳 条件
• 可逆旳 条件
AR(p) 拖尾
MA(q) 截尾
ARMA(p,q) 拖尾
① 自回归模型旳定义
• 描述序列{xt}某一时刻t和前p个时刻序列 值之间旳相互关系 xt 1xt1 2 xt2 p xt p t 随机序列{εt}是白噪声且和前时刻序列xk （k<t ）不有关，称为p阶自回归模型， 记为AR(p)
时间序列分析简介与模型
时间序列分析简介与模型时间序列分析是一种统计分析方法，用于研究时间序列数据的发展趋势、周期性和随机性。
时间序列数据是按照时间顺序排列的一系列观测值，如股票市场的每日收盘价、气温的每月平均值等。
时间序列分析可以帮助我们理解数据的变化规律，预测未来的趋势，并支持决策和规划。
在时间序列分析中，一般将数据分为三个主要成分：趋势、季节性和随机扰动。
趋势是序列长期的增长或下降趋势，季节性是周期性的波动，随机扰动是非系统性的噪声。
为了进行时间序列分析，我们需要选择适当的模型。
常见的时间序列模型包括平滑模型、自回归移动平均模型（ARMA）、季节性自回归移动平均模型（SARMA）、季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）和指数平滑模型等。
平滑模型适用于没有趋势和季节性的数据。
其中，移动平均法是一种常用的平滑方法，它通过计算观测值的移动平均值来估计趋势。
指数平滑法是一种适应性的平滑方法，根据最新的观测值赋予较大的权重，较旧的观测值则被较小的权重所影响。
自回归移动平均模型(ARMA)是一种常用的线性模型，它将序列的当前值与它的滞后值和滞后误差联系起来，以预测序列的未来值。
ARMA模型的参数包括自回归阶数(p)和移动平均阶数(q)，通过拟合模型可以估计这些参数。
季节性自回归移动平均模型（SARMA）是一种在季节性数据上拓展了ARMA模型的模型。
它引入了季节性序列和季节性滞后误差，以更准确地预测季节性数据的未来值。
季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）是ARIMA模型在季节性数据上的扩展。
ARIMA模型是一种广义的线性模型，包括自回归、差分和移动平均三个部分。
ARIMA模型的参数包括自回归阶数(p)、差分阶数(d)和移动平均阶数(q)。
SARIMA模型加入了季节性差分和季节性滞后误差，以更好地拟合季节性数据。
时间序列分析的核心目标是对未来趋势进行预测。
通过拟合适当的时间序列模型，我们可以估计模型的参数，并使用已知的数据来预测未来时间点的值。
常见时间序列算法模型
常见时间序列算法模型
1. AR模型（自回归模型）：AR模型是一种基本的时间序列模型，它假设当前时刻的观测值与过去时刻的观测值之间存在线性关系。
AR模型根据过去的一系列观测值来预测未来的观测值。
2. MA模型（滑动平均模型）：MA模型也是一种基本的时间序列模型，它假设当前时刻的观测值与过去时刻的误差项之间存在线性关系。
MA模型根据过去的一系列误差项来预测未来的观测值。
3. ARMA模型（自回归滑动平均模型）：ARMA模型结合了AR模型和MA模型的特点，它假设当前时刻的观测值既与过去时刻的观测值有关，又与过去时刻的误差项有关。
ARMA 模型根据过去的观测值和误差项来预测未来的观测值。
4. ARIMA模型（自回归积分滑动平均模型）：ARIMA模型是对ARMA模型的扩展，它引入了差分操作，用来对非平稳时间序列进行平稳化处理。
ARIMA模型根据差分后的时间序列的观测值和误差项来预测未来的观测值。
5. SARIMA模型（季节性自回归积分滑动平均模型）：SARIMA模型是对ARIMA模型的扩展，用于处理具有季节性的时间序列。
SARIMA模型基于季节性差分后的观测值和误差项来预测未来的观测值。
6. LSTM模型（长短期记忆网络）：LSTM模型是一种递归神经网络模型，它通过学习时间序列中的长期依赖关系来进行预测。
LSTM模型能够捕捉到时间序列中的复杂模式，适用于处理非线性和非稳定的时间序列。
以上是几种常见的时间序列算法模型，可以根据具体问题选择合适的模型进行建模和预测。
时间序列分析与ARIMA模型
时间序列分析与ARIMA模型时间序列分析是一种研究时间上连续测量所构成的数据的方法。
它可以用来分析数据中的趋势、周期性和随机性，并预测未来的走势。
ARIMA（自回归滑动平均模型）是时间序列分析中常用的模型之一。
本文将介绍时间序列分析的基本概念以及ARIMA模型的原理和应用。
一、时间序列分析的基本概念时间序列是按照时间顺序排列的一组连续观测数据。
在时间序列分析中，我们常常关注序列中的趋势（trend）、季节性（seasonality）和周期性（cycle）等特征。
趋势是指长期上升或下降的走势；季节性是指数据在相同周期内波动的规律性；周期性是指超过一年的时间内出现的规律性波动。
二、ARIMA模型的原理ARIMA模型是由自回归（AR）和滑动平均（MA）模型组成的。
AR模型用过去的观测值来预测未来的值，滑动平均模型则用过去的噪声来预测未来的值。
ARIMA模型是将这两种模型结合起来，对时间序列进行建模和预测。
ARIMA模型包括三个主要部分：自回归阶数（p）、差分阶数（d）和滑动平均阶数（q）。
p表示模型中的自回归项数目，d表示需要进行的差分次数，q表示模型中的滑动平均项数目。
通过对时间序列的观测值进行差分，ARIMA模型可以将非平稳的序列转化为平稳的序列。
然后，可以通过对平稳序列的自回归和滑动平均建模，预测未来的值。
三、ARIMA模型的应用ARIMA模型在实际应用中被广泛使用。
它可以用于经济学、金融学、气象学等领域中的时间序列预测和分析。
以股票市场为例，投资者可以利用ARIMA模型对历史股价进行分析，预测未来股价的走势。
在气象学中，ARIMA模型可以用于预测未来的天气情况。
除了ARIMA模型，时间序列分析还包括其他模型，如季节性分解、移动平均、指数平滑等。
这些模型都有各自的优点和应用领域。
在实际应用中，根据不同的数据特点和研究目的，选择合适的模型进行分析和预测是十分重要的。
总结时间序列分析和ARIMA模型是研究时间数据的重要方法。
时间序列的加法模型和乘法模型
时间序列的加法模型和乘法模型时间序列分析，是个听起来挺学术但其实挺接地气的东西。
你可别看它名字长，实际上，它就是帮我们看懂时间变化的数据，简简单单，像个天气预报一样，告诉我们未来的变化趋势。
今天呢，我就来跟你聊聊时间序列的加法模型和乘法模型，让你一听就懂，绝对不枯燥。
1. 时间序列模型概述1.1 什么是时间序列？时间序列，其实就是把时间当作横轴，把数据当作纵轴，画出来的图。
比如你每天记的天气温度，或者每个月的收入，这些数据依时间的不同而有所变化，咱们就叫它时间序列。
就像咱们的生活一样，变化多端、起伏不定。
1.2 为什么要用时间序列模型？那咱们用时间序列模型干嘛呢？简单说，就是为了预测未来。
你今天的气温、明天的股市、下个月的销售额，咱们都可以用这些模型来推测一下，这样你就不会像瞎子摸象，心里有个谱儿。
就像古人讲的“未雨绸缪”，早做准备总是好的。
2. 加法模型与乘法模型2.1 加法模型是什么？加法模型呢，简单来说，就是把时间序列分解成几个部分：趋势、季节性、和随机波动。
就像做菜时，先把所有的原料准备好，接着按步骤往锅里放。
这些部分加起来，就得出了最后的数据。
举个例子，你每天的销售额可以分为基本的趋势、季节性波动（比如节假日），还有一些偶发的随机情况（比如突发的促销活动）。
这些因素加在一起，就形成了你日常的销售数据。
2.2 乘法模型又是什么？乘法模型呢，是把这些因素当成乘数来计算。
它跟加法模型的区别就在于，季节性因素不是加在总数上，而是乘上去的。
就好像你买了个折扣商品，不是直接加了折扣，而是用折扣乘以原价来算。
举个例子，假如你有一个产品的基本销量是100个，每逢节假日销量可能会翻倍，那么节假日对销量的影响就是乘法的效果。
通过这种方式，乘法模型能更好地捕捉数据的波动性，适合那些变化更剧烈的情况。
3. 实际应用3.1 加法模型的应用加法模型比较适合数据变化幅度不大的情况。
比如说，某个小商店的日常营业额，受节假日影响相对平稳，它的变化可以用加法模型来预测。
时间序列模型及其应用分析
时间序列模型及其应用分析时间序列是一系列时间上连续的数据点所组成的序列，其中每个数据点都表示了某一特定时刻的某个特征。
这些数据点可以是均匀间隔的，也可以是不均匀间隔的。
时间序列模型是对时间序列数据进行分析和预测的一种方法，它可以用来预测未来的趋势、季节性以及周期性变化等。
时间序列模型应用广泛，包括经济学、金融学、气象学、生态学、医学等领域。
时间序列分析的三个方面时间序列模型的分析过程可以分为三个方面：描述性分析、模型建立和模型预测。
描述性分析是对时间序列数据进行探索性的分析，以了解数据的整体特征。
常用的描述性统计学方法有均值、方差、标准差、自相关和偏自相关函数等。
作为对比，我们还可以对比不同时间序列数据之间的相关性、差异性等指标。
模型建立则是对时间序列进行拟合，以找出可以描述时间序列数据模式的数学模型。
时间序列数据的核心特征是时间的序列性质，因此模型的选择需要充分考虑到时间因素。
常用的时间序列模型包括AR、MA、ARMA、ARIMA和季节性模型等。
这些模型可以用自回归、移动平均、季节性变量等手段描述时间序列中可能出现的趋势和周期性变化。
预测也是时间序列模型分析的重要一环，它可以帮助我们预测未来的趋势和变化。
预测分析通常需要对历史数据进行处理、建立模型、进行模型检验和预测。
预测结果应当与实际值进行比较，以评估预测模型的准确性和可靠性。
常规时间序列分析方法：ARMA模型ARMA模型是一个经典时间序列预测模型。
ARMA模型的基本思想是把时间序列变成可以预测的序列，根据历史数据样本建立恰当的模型，预测未来数据的值。
ARMA模型由自回归过程（AR）和移动平均过程（MA）组成，AR过程考虑的是某一时刻的过去的信息对当前时刻的影响，MA过程关注的是随机变量的移动平均值对当前随机变量的影响。
ARMA模型的具体表现形式是：$$ Y_t = \alpha_1 Y_{t-1} + \alpha_2 Y_{t-2} + ... +\alpha_p Y_{t-p} + \epsilon_t + \beta_1 \epsilon_{t-1} + \beta_2 \epsilon_{t-2}+ ... +\beta_q \epsilon_{t-q} $$其中，Yt表示时间序列的实际值，α1到αp表示历史数据对当前时刻的影响，εt到εt-q表示误差项，β1到βq表示误差项对当前时刻的影响。
统计学原理第5章：时间序列分析
a a
n 118729 129034 132616 132410 124000 5
127357.8
②时点序列
若是连续时点序列： 计算方法与时期序列一样； 若是间断时点序列： 则必须先假设两个条件，分别是 假设上期期末水平等于本期期初水平； 假设现象在间隔期内数量变化是均匀的。 间隔期相等的时点序列 采用一般首尾折半法计算。 例如：数列 a i , i 0,1,2, n 有 n 1 个数据，计算 期内的平均水平 a n a n 1 a 0 a1 a1 a 2
（3）联系
环比发展速度的乘积等于相应的定基发展速度，
n n i 0 i 1 i 1
相邻两期的定基发展速度之商等于后期的环比发展速度
i i 1 i 0 0 i 1
（二）增减速度
1、定义：增长量与基期水平之比 2、反映内容：现象的增长程度 3、公式：增长速度
0.55
二、时间序列的速度分析指标
（一）发展速度 （二）增长速度 （三）平均发展水平
（四）平均增长速度
（一）发展速度
1、定义：现象两个不同发展水平的比值 2、反映内容：反映社会经济现象发展变化快慢相对程度 3、公式：v 报告期水平 100%
基期水平
（1）定基发展速度
是时间数列中报告期期发展水平与固定基期发展水平对比所 得到的相对数，说明某种社会经济现象在较长时期内总的发 展方向和速度，故亦称为总速度。 （2）环比发展速度 是时间数列中报告期发展水平与前期发展水平之比，说明某 种社会经济现象的逐期发展方向和速度。
c
a
b
均为时期或时点数列，一个时期数列一个时点数列，注意平均的时间长度 ，比如计算季度的月平均数，时点数据需要四个月的数据，而时期数据则 只需要三个月的数据。
时间序列分析模型
时间序列分析模型时间序列分析是一种广泛应用于统计学和经济学领域的建模方法，用于研究随时间变化的数据。
它的目的是揭示和预测数据中隐含的模式和关系，以便更好地理解和解释现象，并做出相应的决策。
时间序列分析模型可以分为统计模型和机器学习模型两类。
一、统计模型1.平稳时间序列模型：平稳时间序列是指在统计学意义上均值和方差都是稳定的序列。
常用的平稳时间序列模型包括：自回归移动平均模型（ARMA）、自回归整合移动平均模型（ARIMA）和季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）等。
-自回归移动平均模型（ARMA）是根据时间序列数据的自相关和移动平均性质建立的模型。
它将序列的当前值作为过去值的线性组合来预测未来值。
ARMA(p,q)模型中，p表示自回归项的阶数，q表示移动平均项的阶数。
-自回归整合移动平均模型（ARIMA）在ARMA模型基础上引入差分操作，用于处理非平稳时间序列。
ARIMA(p,d,q)模型中，d表示差分的次数。
-季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）是ARIMA模型的扩展，在存在季节性变化的时间序列数据中应用。
SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型中，s表示季节周期。
2.非平稳时间序列模型：非平稳时间序列是指均值和/或方差随时间变化的序列。
常用的非平稳时间序列模型包括：趋势模型、季节性调整模型、自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）等。
- 趋势模型用于描述数据中的趋势变化，例如线性趋势模型（y = ax + b）和指数趋势模型（y = ab^x）等。
-季节性调整模型用于调整季节性变化对数据的影响，常见的方法有季节指数调整和X-12-ARIMA方法。
-自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）在非平稳时间序列中引入差分操作进行模型建立。
二、机器学习模型机器学习模型在时间序列分析中发挥了重要作用，主要应用于非线性和高维数据的建模和预测。
时间序列的7种预测模型适用条件
时间序列的7种预测模型适用条件时间序列分析是一种重要的预测方法，它可以用来分析时间序列数据的趋势、季节性、周期性等特征，并预测未来的值。
时间序列的预测模型有许多种，不同的模型适用于不同的情况。
接下来，本文将介绍时间序列的7种预测模型适用条件。
1. 移动平均模型移动平均模型是最简单的时间序列预测模型，它适用于平稳的时间序列。
平稳时间序列是指在时间上的均值和方差都不会发生明显的变化。
在使用移动平均模型时，需要选取合适的平滑因子，通常选择3、5、7等奇数个周期进行平滑。
2. 简单指数平滑模型简单指数平滑模型是一种基于加权移动平均的方法，通过对历史数据进行指数加权平均，预测未来数据的变化趋势。
该模型适用于趋势比较平稳的时间序列，且最好不要出现季节性变化。
3. Holt-Winters 模型Holt-Winters 模型既考虑了时间序列的趋势，又考虑了季节性因素。
该模型适用于具有季节性变化的时间序列，可以通过调整相应的平滑系数和季节系数，获得更准确的预测结果。
4. 季节性自回归移动平均模型 SARIMASARIMA 模型是一种拓展的自回归移动平均模型，可以用于处理具有明显季节变化的时间序列。
该模型适用于具有季节性变化和趋势变化的时间序列，可以通过选择合适的 p、d 和 q 参数以及 P、D 和 Q 参数，拟合不同的模型结构进行预测。
5. 自回归积分滑动平均模型 ARIMAARIMA 模型是一种用于处理时间序列数据的常用模型，可以进行平稳性检验、自相关性和部分自相关性分析等。
该模型适用于没有季节性变化、存在趋势变化的时间序列。
6. 神经网络模型神经网络模型是另一种常用的时间序列预测方法，它可以利用网络的非线性映射能力对时间序列进行建模和预测。
该模型适用于复杂的时间序列，但需要大量的数据进行训练，同时参数设置比较复杂。
7. 非参数回归模型非参数回归模型是一种不依赖于某种特定的函数形式的回归方法。
它适用于数据量较小或者数据分布较为杂乱，无法使用传统的回归模型进行拟合的情况。
时间序列分析：方法与应用(第二版)传统时间序列分析模型
型。
例1.1
9
例1.1
Y
3,000 2,500 2,000 1,500 1,000
500 0 1955 1960 1965 1970 1975 1980
社会商品零售总额时序图 10
例1.2
Y
9,000 8,000 7,000 6,000 5,000 4,000 3,000 2,000 1,000
10,000
9,000
8,000
7,000
6,000
5,000
4,000 1995
1996
1997
1998
1999
2000
Y
YY
37
为评价模型的预测效果，也可以象例1.12一样， 预留部分数据作为试测数据，评价模型的适用性。
38
fi 为季节指数
T为季节周期的长度，4或12
26
2. 适用条件：
既有季节变动，又有趋势变动 且波动幅度不断变化的时间序列
至少需要5年分月或分季的数据
3. 应用
例1.12 我国工业总产值序列
27
1）时序变化分析 绘制时序曲线图
明显的线性增长趋势、季节波动，且波动幅度随趋 势的增加而变大。
Y
6,000
3. 应用
例1.13 我国社会商品零售总额的分析预测
33
1）时序变化分析 绘制时序曲线图
明显的线性增长趋势、季节波动，且波动幅度随趋势 的增加基本不变。
Y
10,000
9,000
8,000
7,000
6,000
5,000
4,000
1995
1996
时间序列分析中常用的模型
时间序列分析中常用的模型时间序列分析是一种重要的数据分析方法，用于研究随时间变化的数据。
在实际应用中，常常需要使用合适的模型来描述和预测时间序列数据。
本文将介绍时间序列分析中常用的几种模型，并对其原理和应用进行详细的讨论。
一、移动平均模型（MA模型）移动平均模型是时间序列分析中最简单的模型之一。
它基于时间序列在不同时刻的观测值之间存在一定的相关性，并假设当前的观测值是过去一段时间内的观测值的线性组合。
移动平均模型一般用“MA(q)”表示，其中q表示移动平均阶数，即过去q个观测值的影响。
二、自回归模型（AR模型）自回归模型是另一种常用的时间序列模型。
它假设当前的观测值与过去一段时间内的观测值之间存在线性关系，并通过自相关函数来描述观测值之间的相关性。
自回归模型一般用“AR(p)”表示，其中p表示自回归阶数，即过去p个观测值的影响。
三、自回归移动平均模型（ARMA模型）自回归移动平均模型是将移动平均模型和自回归模型相结合得到的一种模型。
它通过同时考虑观测值的移动平均部分和自回归部分来描述时间序列的相关性。
四、季节性模型在一些具有周期性波动的时间序列数据中，常常需要使用季节性模型进行分析。
季节性模型一般是在上述模型的基础上加入季节因素，以更准确地描述和预测数据的季节性变化。
五、自回归积分移动平均模型（ARIMA模型）自回归积分移动平均模型是时间序列分析中最常用的模型之一。
它通过引入差分运算来处理非平稳时间序列，并结合自回归模型和移动平均模型来描述残差项之间的相关性。
六、指数平滑模型指数平滑模型是一种常用的时间序列预测方法。
它假设未来的观测值与过去的观测值之间存在指数级的衰减关系，并通过平滑系数来反映不同观测值之间的权重。
七、ARCH模型和GARCH模型ARCH模型和GARCH模型是用于处理时间序列波动性的模型。
它们基于过去的方差序列来描述未来的波动性，并用于金融市场等领域的风险管理和波动率预测。
总结来说，时间序列分析中常用的模型包括移动平均模型、自回归模型、自回归移动平均模型、季节性模型、自回归积分移动平均模型、指数平滑模型、ARCH模型和GARCH模型等。
时间序列分析模型
时间序列分析模型时间序列分析模型是一种通过对时间序列数据进行建模和分析的方法，旨在揭示数据中的趋势、季节性、周期和不规则波动等特征，并进行预测和决策。
时间序列分析模型在经济、金融、市场、气象、医学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的时间序列分析模型。
1. 移动平均模型（MA）移动平均模型是时间序列分析中最简单的模型之一。
它基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是对随机误差的线性组合。
该模型表示为：y_t = c + e_t + θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，θ₁，θ₂，…，θ_q 是移动平均项的参数，q 是移动平均项的阶数。
2. 自回归模型（AR）自回归模型是基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是过去若干时间点的线性组合。
自回归模型表示为：y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_p 是自回归项的参数，p 是自回归项的阶数。
3. 自回归移动平均模型（ARMA）自回归移动平均模型将自回归模型和移动平均模型结合在一起，用于处理同时具有自相关和移动平均性质的时间序列数据。
自回归移动平均模型表示为：y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t +θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_p 是自回归项的参数，θ₁，θ₂，…，θ_q 是移动平均项的参数，p 是自回归项的阶数，q 是移动平均项的阶数。
4. 季节性自回归移动平均模型（SARIMA）季节性自回归移动平均模型是自回归移动平均模型的扩展，用于处理具有季节性和趋势变化的时间序列数据。
时间序列分析模型汇总
平滑法
平滑法是进行趋势分析和预测时常用的一 种方法。它是利用修匀技术，削弱短期随 机波动对序列的影响，使序列平滑化，从 而显示出长期趋势变化的规律
• 简单平均数法 :也称算术平均法。即把若干历史 时期的统计数值作为观察值，求出算术平均数作 为下期预测值。这种方法基于下列假设：“过去 这样，今后也将这样”，把近期和远期数据等同 化和平均化，因此只能适用于事物变化不大的趋 势预测。如果事物呈现某种上升或下降的趋势， 就不宜采用此法。 • 加权平均数法: 就是把各个时期的历史数据按近 期和远期影响程度进行加权，求出平均值，作为 下期预测值。
例如，取线性方程、一期滞后以及白噪声随 机扰动项（ n =n），模型将是一个1阶自回 归过程AR(1)： Yn=aYn-1+ n 这里， n特指一白噪声。
一般的p阶自回归过程AR(p)是 Yn=a1Yn-1+ a2Yn-2 + … + apYn-p + n
(*)
一般的p阶自回归过程AR(p)是 Yn=a1Yn-1+ a2Yn-2 + … + apYn-p + n
三、确定性时间序列分析与随机性时间序列分 析: 时间序列依据其特征，有以下几种表现形式， 并产生与之相适应的分析方法： （1）长期趋势变化 受某种基本因素的影响，数据依时间变化时 表现为一种确定倾向，它按某种规则稳步地 增长或下降。 使用的分析方法有：移动平均法、指数平滑法、 模型拟和法等；
（2）季节性周期变化 受季节更替等因素影响，序列依一固 定周期规则性的变化，又称商业循环。 采用的方法：季节指数； （3）循环变化 周期不固定的波动变化。
例:拟合澳大利亚政府1981——1990年 每季度的消费支出序列
时间序列的构成因素及组合模型
二 、时间序列的构成因素及组合模型
图9-3 包含四个构成要素的时间序列
二 、时间序列的构成因素及组合模型
1. 长期趋势
长期趋势也称趋势变动，是时间序列在较长时 期中所表现出来的总态势。长期趋势可能呈现为不 断增长的态势，也可能呈现为不断降低的趋势，还 可能呈现为不变的水平趋势。长期趋势是受某种长 期起根本性作用的因素影响的结果。例如，人口数 时间序列呈现长期递增趋势。图9-4 所示为某事物 长期增长的趋势。
二 、时间序列的构成因素及组合模型
图9-6 某事物循环变动的图形
二 、时间序列的构成因素及组合模型
4. 季节变动
不规则变动是指现象受众多偶然 因素的影响而出现的随机变动。它是时 间序列分离了长期趋势、季节变动、循 环变动以后的波动，无规则可循，如自 然灾害、战争及无法预料和无法解释的 随机性因素等所引起的变动。不规则变 动与时间无关。
图9-7 某事物不规则变动的图形
二 、时间序列的构成因素及组合模型
二、 时间序列构成因素的组合模型
形成时间序列变动的四类构成 因素，按照其对时间序列影响方式 的不同，可以设定为不同的组合模 型，其中最常用的是乘法模型和加 法模型。
二 、时间序列的构成因素及组合模型
时间序列组合模型中包含了四类构成要素，这是时间序 列的完备模式，但是并不是在每个时间序列中都存在这四类 构成要素，一般来说，长期趋势是经常存在的，季节变动和 循环变动则不一定存在；当季节变动或循环变动不存在时， 乘法模型中的S或C取值为1，加法模型中的S或C取值为零。
项目
时间序列的构成因素及组合模型
二 、时间序列的构成因素及组合模型
一、 时间序列的构成因素
客观事物的发展变化是多种因素影响的综合结果。在诸 多影响因素中，有的因素长期起作用，对事物的变化发挥着 决定性作用；有的因素只是短期起作用。在分析时间序列的 变动规律时，虽然不可能将每个影响因素区分开来，但是可 以按照对象变化影响的类型，将影响因素划分为若干种时间 序列的构成要素，然后对这几类构成要素分别进行分析，以 揭示时间序列的变化规律。影响时间序列的构成要素通常可 归纳为长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动。图9-3 所示为包含这四个构成要素的时间序列。
时间序列分析与的基本模型
时间序列分析与的基本模型时间序列分析是一种重要的统计学方法，用于预测和解释时间序列的行为。
它可以应用于各种领域，如经济学、金融学、气象学等。
本文将介绍时间序列分析的基本模型及其应用。
一、时间序列分析概述时间序列分析是指通过对时间序列数据进行建模和分析，来研究时间序列的特征、趋势和周期性等。
它可以帮助我们理解时间序列中的规律，并进行预测和决策。
二、基本模型1. 自回归模型（AR）自回归模型是一种线性模型，它假设当前观测值与过去的观测值之间存在关系。
自回归模型的一般形式为AR(p)，其中p表示过去p个观测值对当前观测值的影响程度。
AR模型可以用公式表示为：```X(t) = c + Σ(φ(i) * X(t-i)) + ε(t)```其中，X(t)表示当前观测值，φ(i)表示对应滞后期的系数，ε(t)表示误差项。
2. 移动平均模型（MA）移动平均模型是一种线性模型，它假设当前观测值与过去观测值的误差之间存在关系。
移动平均模型的一般形式为MA(q)，其中q表示过去q个观测误差对当前观测值的影响程度。
MA模型可以用公式表示为：```X(t) = μ + Σ(θ(i) * ε(t-i)) + ε(t)```其中，μ表示均值，θ(i)表示对应滞后期的系数，ε(t)表示误差项。
3. 自回归移动平均模型（ARMA）自回归移动平均模型是自回归模型和移动平均模型的结合。
ARMA模型的一般形式为ARMA(p,q)，其中p表示自回归项数，q表示移动平均项数。
ARMA模型可以用公式表示为：```X(t) = c + Σ(φ(i) * X(t-i)) + Σ(θ(i) * ε(t-i)) + ε(t)```4. 自回归积分移动平均模型（ARIMA）自回归积分移动平均模型是自回归模型、差分和移动平均模型的结合。
ARIMA模型的一般形式为ARIMA(p,d,q)，其中p表示自回归项数，d表示差分次数，q表示移动平均项数。
ARIMA模型可以用公式表示为：```(1-B)^d * X(t) = c + Σ(φ(i) * X(t-i)) + Σ(θ(i) * ε(t-i)) + ε(t)```其中，B是滞后算子。
时间序列预测的相关模型
时间序列预测的相关模型
时间序列预测常用的模型包括：
1. 移动平均模型（MA）：一种基于过去误差的模型，假设当前预测值是过去一段时间内的误差的平均值。
2. 自回归模型（AR）：一种基于过去数值的模型，假设当前预测值与过去一段时间内的数值有关。
3. 自回归滑动平均模型（ARMA）：将AR和MA模型结合起来，综合考虑过去数值和误差，以提高预测的准确性。
4. 季节性自回归模型（SAR）：考虑时间序列数据的季节变化，以提高预测的精度。
5. 季节性自回归滑动平均模型（SARMA）：将SAR和ARMA模型结合起来，综合考虑季节性变化和误差，以提高预测的准确性。
6. 季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）：在SARMA模型的基础上，引入差分运算，以消除时间序列数据中的趋势和季节性变化。
7. 季节性指数平滑模型（SES）：一种简单的模型，根据历史数据的指数平均值来进行预测。
8. 灰色模型（GM）：一种基于少量样本数据进行预测的模型，适用于缺乏大量历史数据的情况。
以上是常用的时间序列预测模型，不同的数据类型和预测任务可以选择不同的模型进行预测。
时间序列分析模型汇总
时间序列分析模型汇总时间序列分析是一种广泛应用于各个领域的统计分析方法，它用来研究一组随时间而变化的数据。
时间序列数据通常具有趋势、季节性和随机性等特征，时间序列分析的目的是通过建立适当的模型来描述和预测这些特征。
本文将汇总一些常用的时间序列分析模型，包括AR、MA、ARIMA、GARCH和VAR等。
1.AR模型（自回归模型）:AR模型是根据过去的观测值来预测未来的观测值。
它假设未来的观测值与过去的一系列观测值有关，且与其他因素无关。
AR模型的一般形式为：Y_t=c+Σ(φ_i*Y_t-i)+ε_t，其中Y_t表示时间t的观测值，c 为常数，φ_i为系数，ε_t为误差项。
2.MA模型（移动平均模型）:MA模型是根据过去的误差项来预测未来的观测值。
它假设未来的观测值与过去的一系列误差项有关，且与其他因素无关。
MA模型的一般形式为：Y_t=μ+ε_t+Σ(θ_i*ε_t-i)，其中Y_t表示时间t的观测值，μ为平均值，θ_i为系数，ε_t为误差项。
3.ARIMA模型（自回归积分移动平均模型）:ARIMA模型是AR和MA模型的组合，它结合了时间序列数据的趋势和随机性特征。
ARIMA模型的一般形式为：Y_t=c+Σ(φ_i*Y_t-i)+Σ(θ_i*ε_t-i)+ε_t，其中Y_t表示时间t的观测值，c为常数，φ_i和θ_i为系数，ε_t为误差项。
4.GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）:GARCH模型用于建模并预测时间序列数据的波动性。
它假设波动性是由过去观测值的平方误差和波动性的自相关引起的。
GARCH模型的一般形式为：σ_t^2=ω+Σ(α_i*ε^2_t-i)+Σ(β_i*σ^2_t-i)，其中σ_t^2为时间t的波动性，ω为常数，α_i和β_i为系数，ε_t为误差项。
5.VAR模型（向量自回归模型）:VAR模型用于建模并预测多个时间序列变量之间的相互关系。
它假设多个变量之间存在相互依赖的关系，即一个变量的变动会对其他变量产生影响。
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若 Rx(m) 绝对可积：
Rx(m)
m
定义 Sx(w) Rx(m)e jmwT ：,T为采样间隔。此
式为
Rx(m)
m
的离散傅里叶变换
(
T
)
。
可设：
Rx(m) 1 Sx(w)e jmwT dw 2
若令T=1，
Sx(w) Rx(m)e jmw
Rx(m)
m
1
2
Sx(w)e
性质：
10 Rx(m) Rx(m),Cov(m) Cov(m)
Rxy(m) Rxy(m), Covxy (m) Covxy (m)
20
Rx(0) Rx(m)
30
limRx(m) Exi E x j mx2
m
40
Cov(m) Rx(m) mx2,Cov(0) x2
四、时间序列的各态历经性
时间均值
X (n) lim 1
N
X (n)
N 2N 1 nN
时间自相关函数：
1 N
R(m) lim
X (n)X (m)
N 2N 1 nN
如果平稳随机序列的集平均与集自相关函 数依概率1趋于平稳样本序列的时间平均与时 间自相关函数，则称平稳随机序列具有各态历 经性。
4.4 各态历经序列的功率谱
则称 x(tN )为广义平稳时间序列。
4.3 时间序列的数字特征
一、数字期望（均值）
实随机序列xn 的数学期望：
mx Ex(n) Exn
二、均方值与方差
• 均方值P(x) E xn2 表示随机序列xn
平均功率。
• 方差： x2 E (xn mx )2
的总
• 均值 mx ,方差 x2与 Px 均方值的关系
称为随机变量 xn 和xm 的联合概率分布函
数。
其联合概率密度函数为
p(xn ,
xm
)
2F(xn , xm xn xm
)
• N维概率分布函数和概率密度函数
F (x1, x2 , , xN ) px(t1 ) x1, x(t2 ) x2 , , x(tN ) xN
p(x1, x2 ,
xN
)
若xn 和yn 是平稳的：
Covxy (i, j) Covxy (m) Rxy(m) mxmy
• 若对所有的m有： Rxy(m) 0 ，则称 xn 与yn 互为正交
•
若有 Rxy(m) mxmy ，即 Covxy (m) 0 ，
则称 xn 与 yn 互不相交。
注：统计独立必不相关，但反之不一定成 立。
第四章 时间序列及其模型
4.1 时间序列
对平稳随机过程x(t)在 t t1,t2 , ,tn 各时 刻进行等间隔采样的一组随机变量，称为随 机序列，常称为时间序列，因为是等间隔的， 常记为： x(1), x(2), , 。x(n)
4.2时间序列的统计特性
• 一维分布函数和概率密度函数
F(xn ) px(tn ) xn
jmwdw
令m=0,有：
Rx(0) E x2 (n) P(x) 1
Sx(w)dw
2
可见 Sx(w)为随机序列 xn 的功率密度函
数。
4.6 时间序列模型
思路：用各种随机差分方程表示时间序列 信号的模型，一般一个平稳离散随机信号 可视为白噪音序列，通过某一离散时间线 性系统所产生的，即
N F(x1, x2 , , xN ) x1x2 xN
• 如果 p(x1, x2 , xN ) p(x1) p(x2 ) p(xN ),则称N
个随机变量 x1, x2 , xN 之间是统计独立的。
•
对时间序列 x(tN ) ，若 p(xn ) p(xnm )
且 p(xn , xm ) p(xi , x j ) ， 其中 m n j i ，
其中 ak (k 1,2, , p)为常数， a p 0
两边取Z变换：
Байду номын сангаас
X (Z) a1X (Z)Z 1 a2 X (Z)Z 2 ap X (Z)Z p W(Z)
对于平稳随机序列有
P(x)
2 x
mx 2
• 若随机序列 xn 满足平稳性，则 mx ， x2，
Px 与n无关。
即，对所有整数n和m，有：
mx Exn Exnm
x2 E (xn mx )2 E (xnm mx )2
Px E xn2
E
x2 nm
三、时间序列的相关性
1. 实随机序列xn 在时刻i和时刻j之间的自相
若 xn 平稳：
Cov(i, j) Cov(m) Rx(m) mx2
3. 实随机序列 xn 和 yn 的互相关函数
Rxy(i, j) E(xi x j )
若 xn 和 yn 是平稳的：
Rxy(i, j) Rxy(m),m j i
4. 互协方差函数：
Covxy (i, j) E (xi mi )( y j y j ) Rxy(i, j) mim j
AR（p）模型表示：x(n)是它的p个过去值和白噪
声 w(n)的线性组合。
“自回归”的意思：（该模型的）现在的输
出x(n)
w(n)
以随机误差 线性回归于它的p个
• 过A去R（值p。）模型传递函数
由（4-73）式设
x(n) a1x(n 1) a2 x(n 2) a p x(n p) w(n)
关函数 Rx(i, j) E(xi , x j )
若 xn 平稳：
Rx(i, j) E(xi , x j ) E(xi , xim ) Rx(m), m j i
2. 自协方差函数：
Cov(i, j) E (xi mi )( x j m j ) Rx(i, j) mim j
其中 x(tn )表示一随机变量，xn 表 x(tn ) 中的
一个可能取值， p• 表示概率
一维概率密度函数
p(xn )
F (xn ) xn
F (xn )
xn
p(xn
)dxn
• 二维联合概率分布函数和概率密度函数
设时间 tn 和 tm 的状态为和，则
F (xn , xm ) px(tn ) xn , x(tm ) xm
w
h(n)
（n）
白噪声 序列
系统
x（n） 平稳随机序列
一、 自回归模型（AR模型） 设 w(n)为具有零均值，方差为 n2的平稳白 噪声序列。若随机序列 x(n) 可表示为：
p
x(n) ak x(n k) w(n) k 1
（4-73）
则称上式为p阶自回归模型（autoregressive），简称AR模型，用AR（p）表示。