6.1.平方根经典例题与习题
6.1平方根
学习目标：
1. 掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别.
2. 能够用符号正确地表示一个非负数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系. 知识点：
()()
()()()()双重非负性． 注：的算术平方根是 ；的算术平方根，即的正平方根叫做 正数 负数没有平方根．
０的平方根是０；，它们互为相反数； 正数的平方根有两个 平方根的性质：
运算 开平方与平方互为逆开平方的平方根的运算，叫做 求一个非负数， 符号表示：的平方根就叫做那么 即：如果）的平方根（或二次方根那么这个数就叫做平方等于 定义：如果一个数的;0,0.
00.5321.43 (20)
0,0, .12≥≥≥≥±=≥=a a a a a a a a a x a x a a x a a 知识应用类型：
题型一 求一个非负数的平方根 【例1】求下列各数的平方根
()()()()()2-0310012100122
+??
? ??a ５
３２４ ； ； ()()() 即：和的平方根是 ，， 即：和的平方根是 ，，１
答案 101
1001.10
1
-10110011001101-1001101210
10010-1010010010-100102
2
2
2±
=±∴=?
?? ??=??? ??±=±∴==
()()()
的平方根是
即：的平方根是 ， 的算术平方根是 2253232-3232-32-32-32-324000
03222
22
22
2
2+±+±
=??
?
??±±
???
??∴??
? ??=??? ???
?
? ??=??? ??∴=a a
题型二 求字母的取值范围
()().32;112得取值范围没有意义，求若
的取值范围有意义，求２若】
【例x x x x --
解析 根据平方根的意义，负数没有平方根可知12-x 是非负数；3-x 是负数.
()()
.303 3 2
.21
012 12 1 ≤∴≤-∴-≥∴≥-∴-x x x x x x ， 没有意义， ， 有意义，答案
题型三 化简求值
()()()()()
】求下列各式的值
【例29-481
49364.0-222513±
()()()()()()的算术平方根 表示
的平方根表示
负的平方根 表示
的算术平方根 表示解析
2
2
9-9-481
498149364.064.0-22252251±
()2
31313 103,0106-26-2.06-26-2 .
3 16-2 4=+--=---=---∴≤->-∴≥≥∴≥--- ３， 有意义，答案 式的范围，从而化简代数，求出有意义，可知由解析有意义，化简已知 】【例x x x x x x x x x x x x x x x x x 题型四 利用开平方解方程
()()()()()
】解方程：
【例04
492336122;2515222=--=-=x x x
()()()()()()2
3
-21127
-2727
49449
04
49-25-276-126123612361225
25251.
2
22
===-=-±
=-±=-=-=-===-=-±=-=-±=±===x x x x x x x x x x x x x x x x a x 或 ２或２ ２ ４
２平方得： 开２项得：
移２３
或 或 平方得： 开
平方得： 开答案
的形式，然后开平方将方程化成解析２２
学以致用：
一、选择题
1.下列各数能进行开平方运算的是（ ）
()2. 12. 2. 36-.A 23
+--a D C b a B
求下列各数有平方根是.2（ ）
π
-+3. .
56-. 1-.A 2
ａD y x C B
数有下列命题中，正确的个.3（ ）
()()()()().
4-4 ; 03 1-1-.2 11.12没有算术平方根它本身，这个数只能是一个数的算术平方根是；的算术平方根是；的算术平方根是 个个个个4. 3. 2. 1.A D C B
平方根是则下一个自然数的算术根是一个自然数的算术平方,.4x （ ）
1 1 1 1 x A 2++++x D x C x B
()的算术平方根是2
3-.5（ ）
9 3 3 - A3±±D C B
的算术平方根是那么的算术平方根是x x ,16.6（ ）
4 2 2 4A ± D C B
的平方根是144.7（ ）
12 12- 12 12A ±±D C B 可以取的最小整为有意义，则如果x x 53.8-（ ）
1 2 3 0A D C B 下列说法不正确的是.9（ ）
2
3
2 2- 2A 的指数是为负数正数的两个平方根的积是关于原点对称个平方根的两个点，总在数轴上表示正数的两和表示两个数：D C B ±
二、判断题
()()
()()()()()()()()
的算术平方根是 一定没有平方根； 正数； 方根都存在，并且都是任何数的平方的算术平 无理数没有平方根； .115;4241-3212±=-b b x 三、填空题
，那么另一个平方根是的一个平方根是若4.1x . 一个正数平方根的和是.2 . 的商是一个正数的两个平方根.3 .
==x x ，那么若9.4 ;==x x ，那么若92 ; 本身，那么这个数是一个数的平方根等于它.5 .
四、解答题
的值与求已知y x y x x ,511.1+=-+-
()
()()()1413322-1.22
++--x x x x x x
意义？
为何值时，下面各式有
没有意义？
为何值时，当12
1
.3+x x
.,-532.4求这个数和是一个正数的平方根分别a a -
().,031,.52
的值求满足若n m n m n m +=++-
参考答案
一、选择题
1.下列各数能进行开平方运算的是（ D ）
()2. 12. 2. 36-.A 23
+--a D C b a B
求下列各数有平方根是.2（ C ）
π
-+3. . 56-. 1-.A 2 D y x C B a
数有下列命题中，正确的个.3（ B ）
()()()()().
4-4 ; 03 1-1-.2 11.12
没有算术平方根它本身，这个数只能是一个数的算术平方根是；的算术平方根是；的算术平方根是 个个个个4. 3. 2. 1.A D C B
平方根是则下一个自然数的算术根是一个自然数的算术平方,.4x （ C ）
1 1 1 1 x A 2++++x D x C x B
()的算术平方根是2
3-.5（ A ）
9 3 3 - A3±±D C B 的算术平方根是那么的算术平方根是x x ,16.6（ B ）
4 2 2 4A ± D C B
的平方根是144.7（ D ）
12 12- 12 12A ±±D C B 可以取的最小整为有意义，则如果x x 53.8-（ C ）
1 2 3 0A D C B 下列说法不正确的是.9（ D ）
2
3
2 2- 2A 的指数是为负数正数的两个平方根的积是关于原点对称个平方根的两个点，总在数轴上表示正数的两和表示两个数：D C B ±
二、判断题()F T ，错误的是正确是
()()
()()()()()()()()
的算术平方根是 一定没有平方根； 正数； 方根都存在，并且都是任何数的平方的算术平 无理数没有平方根； F .115F ;424T 1-3F 2F 12±=-b b x 三、填空题
，那么另一个平方根是的一个平方根是若4.1x -4 .
一个正数平方根的和是.2 0 .
的商是一个正数的两个平方根.3 -1 .
=x x ，那么若9.4 3± ;=x x ，那么若92 3± ;
本身，那么这个数是一个数的平方根等于它.5 0 .
四、解答题
的值与求已知y x y x x ,511.1+=-+-
5
1505110101511-==-==+==??
?≥-≥-+=-+-y x y y x x x x y x x ， 所以 时， 当 解得： 可知解：由
()
()()()1413322-1.22
++--x x x x x x
意义？
为何值时，下面各式有
()()
即 必须使有意义 要使
即 必须使有意义 要使解：
2
3
03232200--1≥
≥--≤≥x x x x x x
()()
属于全体实数 即１ 即００
使 必须０
０ 必须使有意义要使有意义
要使 x x x x x x x x ≤≤≥+???≥≥-++-11141322没有意义？
为何值时，当12
1
.3+x x 2
12
1
121
-≥≥++x x x 即 必须使没有意义解：要使
.,-532.4求这个数和是一个正数的平方根分别a a -
()()()()[]49
3-2-2322
,0-532,-5322
2
=?=-∴-=∴=+-∴-a a a a a a 这个数为 和是一个正数的平方根分别解：
().,031,.52
的值求满足若n m n m n m +=++-
()()()()2
3131030103010
3010
312
2
2
-=-+=+∴-==∴=+=-∴=+=-∴≥+≥-=++-n m n m n m n m n m n m ， ， ， ， 又解：