2017《代数学基础》

1.设()ij n n A a ⨯=,1112(,,,)nn f a a a A =迹,求d d f A

. 2.已知1101B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,在线性空间{}

221122()|0,ij ij V A a a a a R ⨯==+=∈上定义变换T : ()T T T A B A A B =- ()A V ∈.

(1)证明:T 是线性变换;

(2)判断T 是否为V 的可逆线性变换,说明理由.

3. 设欧氏空间[]3R x （实数域上次数小于3次的多项式的全体构成的集合）的内积为

()()()2

0(),()d f x g x f x g x x =⎰．

求内积在基21231,1,(1)x x ==-=-εεε下的度量矩阵. 4.设2615115126A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭

,

(1)求A 的Jordan 标准形J ；

(2)求A e -.

5.已知101011000A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

, (1)求A 的奇异值分解; (2) 求2A .

6.已知线性方程组

124123434

1211x x x x x x x x x ++=⎧⎪+++=⎨⎪+=⎩ 的系数矩阵为A

(1)求A 的满秩分解A BC =.

(2)由满秩分解计算A +.

(3)判断该方程组是否有解，如果有解，求出通解和极小范数解；若无解，求出全部最小二乘解和极小范数最小二乘解.

7.设,n n A B ⨯∈

()2n ≥，且,n n A O B O ==，但11,n n A O B O --≠≠,证明A 与B 相似.