不变量比例问题

分数应用题中比的应用

分数应用题中比的应用一、抓不变量【例1】有一些球，其中红球占1/3，当再放入8个红球后，红球占总球数的5/14，问现在共有多少球？解：其他球的数量没有改变。

增加8个红球后，红球与其他球数量之比是5∶（14－5）＝5∶9。

在没有球增加时，红球与其他球数量之比是1∶（3－1）＝1∶2＝4.5∶9。

因此8个红球是5－4.5＝0.5（份）。

现在总球数是本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变。

把1∶2写成4.5∶9，就是充分利用这一特点。

本题也可以列出如下方程求解：（x＋8）∶2x＝5∶9。

【例2】甲、乙两同学的分数比是5∶4，如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5∶7。

甲、乙原来各得多少分？解一：甲、乙两人的分数之和没有变化。

原来要分成5＋4＝9份，变化后要分成5＋7＝12份。

如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键。

9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算，5∶4＝（5×4）∶（4×4）＝20∶16.5∶7＝（5×3）∶（7×3）＝15∶21。

甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20－15＝5份。

因此原来甲得22.5÷5×20＝90（分），乙得 22.5÷5×16＝72（分）。

我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程。

解二：设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x。

根据得分变化，可列出比例式。

（5x－22.5）∶（4x＋22.5）＝5∶7 即 5（4x＋22.5）＝7（5x－22.5），15x＝12×22.5，x＝18。

甲原先得分18×5＝90（分），乙得18×4＝72（分）。

【例3】张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元。

问每家各收入多少元？解一：我们采用“假设”方法求解。

第7课时用比例解决问题(2)——2025学年六年级下册数学人教版

义务教育人教版六年级下册
第4单元比例 3.比例的应用第 7Hale Waihona Puke 课时用比例解决问题（2）
复习导入
判断下面各题中的两个量成什么比例关系。（1）路程一定，速度和时间成（反）比例关系。
（2）总价一定，单价和数量成（反）比例关系。
（3）运货的总量一定，汽车的载质量和运的次数成（反）比例关系。
探究新知
2x＝4×1.5
x＝
4×1.5 2
x＝3
答：如果他只买单价是2元的，可以买3支。
课堂总结
通过这节课的学习，你有什么收获?
500÷25＝20（天答：原来）5天的用电量现在可以用20天
平均每天照明用电
原来 100千瓦时
现在
25千瓦时
用电天数 5天？天
方法二：用比例的知识解决问题。（总的用电量）一定，（用电时间）与单位时
间内的（用电量）成（反）比例关系。也就是说，（每天的用电量）与（用电天数）的（乘积）相等。
现在30天的用电量原来只够用几天？
解：设现在30天的用电
平均每天照明用电
原来 100千瓦时
天数？天
量原来只够用x天。
100x＝25×30
x＝
25×30 100
现在 25千瓦时 30天
x＝7.5
答：现在30天的用电
量原来只够用7.5天。
巩固运用
（教材P60 做一做T1）
1.小明买4支圆珠笔用了6元。小刚想买3支同样的圆珠笔，要用多少钱？
解：设小刚想买3支同样的圆珠笔，要用x元。
6 4
＝
x 3
4x＝18
x＝4.5
答：小刚想买3支同样的圆珠笔，要用4.5元。

小学奥数教程：比例应用题(二)全国通用(含答案)

1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：一、比和比例的性质性质1：若a : b =c ：d ，则(a + c )：(b + d )= a ：b =c ：d ；性质2：若a : b =c ：d ，则(a - c )：(b - d )= a ：b =c ：d ；性质3：若a : b =c ：d ，则(a +x c )：(b +x d )=a ：b =c ：d ；(x 为常数)性质4：若a : b =c ：d ，则a ×d = b ×c ；(即外项积等于内项积)正比例：如果a ÷b =k (k 为常数)，则称a 、b 成正比；反比例：如果a ×b =k (k 为常数)，则称a 、b 成反比．二、主要比例转化实例①x a y b = ⇒ y b x a =； x y a b =； a b x y =； ② x a y b = ⇒ mx a my b =； x ma y mb=(其中0m ≠)； ③ x a y b = ⇒ x a x y a b =++； x y a b x a--=； x y a b x y a b ++=-- ；④ x a y b =，y c z d= ⇒ x ac z bd =；::::x y z ac bc bd =； ⑤ x 的c a 等于y 的d b ，则x 是y 的ad bc ，y 是x 的bc ad．三、按比例分配与和差关系 ⑴按比例分配例如：将x 个物体按照:a b 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x 的比分别为():a a b +和():b a b +，所以甲分配到ax a b +个，乙分配到bx a b+个. ⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题例如：两个类别A 、B ，元素的数量比为:a b (这里a b >)，数量差为x ，那么A 的元素数量为ax a b -，B 的元素数量为bx a b-，所以解题的关键是求出()a b -与a 或b 的比值．知识点拨教学目标比例应用题（二）四、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l ”。

第六单元比中的“不变量问题”专项练习(解析版)北师大版

【答案】75千克
【分析】设原来两桶汽油一共有x千克，汽油从甲桶倒向乙桶，总质量没变，汽油总质量÷原来总份数×原来甲桶对应份数－汽油总质量÷现在总份数×现在甲桶对应份数＝5千克，据此列出方程解答即可。
【详解】解：设原来两桶汽油一共有x千克。
x÷（3＋2）×3－x÷（8＋7）×8＝5
x÷5×3－ x÷15×8＝5
2023-2024学年六年级数学上册典型例题系列
第六单元：比中的“不变量问题”专项练习
1．“双减”课后服务活动中，数学文化研究小组有42人，其中男、女生人数的比是6∶1。后来又加入一些女生，这时男、女生数的比为4∶3。这个小组增加了多少名女生？
【答案】21人
【分析】根据题意可知，男生人数不变，有42× ＝36（名），女生有42－36＝6（名），后来女生人数占男生人数的，根据分数乘法的意义，用36× 即可求出变化后的女生人数，再减去原来的女生人数即可。
7∶5＝（7×5）∶（5×5）＝35∶25
13÷（48－35）
＝13÷13＝1Βιβλιοθήκη 克）甲：1×48＝48（克）
乙：1×12＝12（克）
答：甲液原来有48克、乙药液原来有12克。
【点睛】本题考查按比分配，解答本题的关键是掌握按比分配解决问题的方法。
14．一个书架上层和下层的本数比4∶5，如果把上层拿120本到下层，这样下层刚好是上层的2倍，这个书架原来上层有多少本？
【详解】解：设两个场馆共有名观众。
答：两个场馆共有60名观众。
【点睛】本题考查比例的实际应用，找出题目中人数变化和比的变化的关系是解题的关键。
3．一杯糖水，糖和水的质量比是1∶10。若再放2克糖，糖和水的质量比则是1∶8。杯中糖水里原有糖和水各多少克？

苏科版五(下)奥数教案第15讲~比例中的不变量

五（下）奥数第15讲~比例中的不变量例1、幸福村有一间很大的幸福包子店，店内有许多男职工和女职工，去年男职工和女职工的人数比为1:3，今年又招来了20名男职工，导致现在男职工和女职工的人数比为3:5，那么现在包子店一共有多少名男职工？练1、超人小学去年男同学和女同学的人数比为3:2，今年又转来了250名男同学，使得女同学和男同学的人数比为变为1:2，那么今年超人小学一共有多少名学生？知识点二：“和不变”举例：甲、乙俩人玩游戏，谁输了就要给对方1枚硬币，刚开始两人的硬币数量比为2:3，玩了几轮后，甲从乙那赢了18枚硬币，现在两人硬币的数量比为5:3，你能求出甲、乙两人原有多少枚硬币吗？总结：当题目中的两个量都发生了变化之后，我们只要观察题目中满足“给来给去”这一条件，即可利用和不变来找出不变量，然后再统一不变量，求出一份量，根据统一后的份数进行解题。

板书总结：和不变（给来给去和不变）①分别写出前后两次的份数和；①统一份数和，求出一份量；①根据统一后的份数算出所求量【小试牛刀】乐乐看故事书，开始时已看的页数与未看的页数之比为2:7，乐乐又看了8页作业之后，已看页数与未看页数之比为2:1，请问：这本故事书一共有多少页？例2、甲、乙两箱苹果的重量比是5:4，如果从甲箱取出20千克苹果放入乙箱后，甲、乙两箱苹果的重量之比变为6:5，请问这两箱苹果的总重量是多少千克？练2、甲、乙两个盒子里士力架的数量之比是4:1，如果从甲盒中取出14块放入乙盒后，甲、乙两盒士力架的数量之比变为5:3。

请问：这两盒士力架共有多少块？知识点三、差不变衔接：当题目中给我们两个量，其中一个量未发生变化时，利用一个量不变的方法即可解决，当题目中满足给来给去时，利用和不变即可解决，如果题目中的两个量同时增加，或同时减少时，又该怎么解决呢？不变量又是谁呢？看看下面的题目吧！举例：甲乙两支材质，粗细都相同的蜡烛，它们的长度比为5:3，蜡烛燃烧11小时后，它们的长度比变为7:2，请问短蜡烛还能烧多久？总结：做题时首先找出不变量，不变量通过“同增同减差不变”来找出，然后再将它们进行统一板书总结：差不变（同增同减差不变）①分别写出前后两次的份数差；①统一份数差，求出一份量；①根据统一后的份数算出所求量【小试牛刀】兔斯基的寒假作业有若干页，开始时写完的页数与未写完的页数之比为2:7，兔斯基很着急一气之下将写完和未写完的作业各撕下2页扔掉，结果写完的页数与未写完的页数之比变成了1:4，请问：原来兔斯基的寒假作业一共有多少页？例3、如下图，甲、乙两根木棒插在水池中，它们在水面上部分的长度之差是180厘米。

小学奥数：比例应用题（二）.专项练习及答案解析[汇编]

1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：一、比和比例的性质性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数)性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积)正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．二、主要比例转化实例①x ay by bx a；x ya b；a bx y；②x ay bmx amy b；x may mb(其中0m)；③x ay bx ax y a b；x y a bx a；x y a bx y a b；L④x ay b，y cz dx acz bd；::::x y z ac bc bd；⑤x的ca等于y的db，则x是y的adbc，y是x的bcad．三、按比例分配与和差关系⑴按比例分配例如：将x个物体按照:a b的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x的比分别为:a a b和:b a b，所以甲分配到axa b个，乙分配到bxa b个.⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题例如：两个类别A、B，元素的数量比为:a b(这里a b)，数量差为x，那么A的知识点拨教学目标比例应用题（二）元素数量为axa b，B的元素数量为bxa b，所以解题的关键是求出a b与a或b的比值．四、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。

小学六年级数学根据不变量确定单位1问题专项练习及详细答案解析(50题)

小学六年级数学根据不变量确定单位1问题专项练习及详细答案解析（50题）1、学校图书室对科技书和文艺书进行整理，其中科技书占，后来又买来了15本科技书，这样科技书占总数的，问原来科技书有多少本？2、工厂原有职工128人，男工人数占总数的，后来又调入男职工若干人，调入后男工人数占总人数的，这时工厂共有职工多少人？3、某小学男、女生人数之比是16：13，后来有几位女生转学到这所学校，男、女生人数之比变成为6：5，这时全体学生共有880人，问转学来的女生有多少人？4、职工技术学校原有科技书、文艺书630本，其中科技书占20%，后来又买进一些科技书，这时科技书占总数的30%，又买来科技书多少本？5、一条路，已修的米数相当于未修米数的，后来又修了500米，这时已修的米数和未修的米数的比是3：2，这条路全长多少米？6、学校兴趣小组中，科技组与绘画组人数比是3：2，后来科技组又增加了40人，这时绘画组人数是科技组人数的50%，绘画组有多少人？7、某班一次体标测验，不合格人数与合格人数的比是1:9，后来补测，2人由不合格改为合格，这时体标合格率是94%，这个班有学生多少人？8、张庄小学六年级学生中女生占，后来又转来了15名女生，这样女生占六年级总人数的，六年级原来有多少名学生？9、光明小学原来体育达标人数与没有达标的人数比是3：5，后来又有60名同学达标，这时达标人数是没达标的，光明小学共有学生多少人？10、学校计算机小组中女生占37.5%，后来又有4名女生参加，这时女生占小组总人数的．计算机小组现在共有多少人？11、（福州）甲、乙两个仓库库存化肥的质量比是12：11，后来乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少．乙仓库原来存化肥多少吨？12、（2010•武昌区）合唱团里男、女生人数比是3：5，后来调来8名男生，这时男、女生人数比是7：10，合唱团原有女生多少人？13、（2011•武汉）甲乙两人原有的钱数之比是5：4，后来甲用去了45元，乙又得到了45元，这时两人的钱数之比是5：7，两人原来一共有多少钱？14、（福州）甲、乙两个仓库库存化肥的质量比是12：11，后来乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少．乙仓库原来存化肥多少吨？15、六（1）班在一次劳动中，原计划把全班同学平均分成甲、乙两组．后来，根据需要从甲组调了4个人到乙组，结果乙组人数占全班的60%．六（1）班有多少人？16、有甲、乙两堆煤，其中甲堆是乙堆的，后来从乙堆运39吨到甲堆后，甲堆是乙堆的．原来这两堆各有多少吨？17、某校六年级课外数学兴趣小组中，女生人数占；后来又吸收了4个女同学参加，这时，女生人数与小组人数的比是4 : 9。

比例应用题二

1、原计划的和是；现在的和是； 2、填空：统一后的比是：
一班：二班：三班原计划：：：现在：：：
例 2 阿呆和阿瓜两人玩牌，谁输了就要给对方一张积分卡.一开始两人的积分卡数量比为 2：3，玩了几轮后，阿呆从阿瓜那赢了18 张，两人的积分卡数量比就变为了 5： 3.那么阿呆和阿瓜原来各有多少张积分卡？
练 3 甲、乙、丙三人一起种植一批树，分配任务时，甲、乙、丙三人种植棵数之比为 1：1：2，实际种植过程中，甲、乙、丙三人种植棵数之比为 4：3：5，其中一人比原计划少种了 52 棵，那么甲实际种了多少棵？
三、比例应用题——差不变探索真相
1.男生 33 人，女生 22 人，男、女生分别派 4 人去做调查。男生人数女生人数人数和人数差现在原来思考：哪个量不变？总结：
4/9
2. 有两根绳子分别长60米、40米，剪去同样长的一段，剩下的绳子长度比为5：3，那么每根剪去多少米？思考：（1）有没有不变量呢？若有，是什么？
（2）两根绳子的长度差是多少份，应该统一为多少？（3）每根剪去多少米？
笔记区
牛刀小试
练习 1 小高和萱萱的存款数之比为 9：7，两人都捐款 300 元，剩下的钱数之比为 3：2。（1）原来小高和萱萱的存款差是份；现在小高和萱萱的存款差是份；（2）填空：统一后的比是：
10.亮亮读一本书，已读的和未读的页数比是 1：5，如果再读 30 页，已读的和未读的页数比为 3：5，那么这本书共有多少页？.
8/9
课堂落实
1.隔壁班的男、女生人数比为 6：5，后来转走了 5 名男生，班上的男、女生人数比变成了 1：1，那么班里共有女生多少名？
2.姐姐和妹妹微信钱包里的钱数比为 4：3，后来妹妹给姐姐发了两元红包后，姐姐和妹妹的钱数比变为 25：17，那么原来姐姐有多少元钱.

人教版六年级数学下册第四单元比例的应用—— 用比例解决问题(两课时)

答：元元的身高是1.4m，此时迎客松的影长是36m。
3.(1)某农场收割小麦，前3天收割了84公顷，照这样计算，要收割224公顷的小麦需多少天？ (2)某农场收割水稻224公顷，前3天收割了84公顷，照这样计算，剩下的水稻还需要多少天收割完？
(1)解：设要收割224公顷的小麦需x天。
84∶3=224∶x
100x＝25×30
x＝ 25×30 100
x＝7.5
答：现在30天的用电量原来只够用7.5天。
用正、反比例知识解决问题的解题步骤：
①根据不变量，判断题中哪两种相关联的量成正比例或反比例关系。
②找出两组相对应的数，并设出未知数，列出比例方程。
③解比例。 ④检验并写出答语。
1．小明买4支圆珠笔用了6元。小刚想买3支同样的圆珠笔，要用多少钱？
天数 5天？天
100×5÷25 ＝500÷25 ＝20(天)
答：原来5天的用电量现在可以用20天。
方法二
先求出每天用电量的倍数关系，再求现在的
用电天数。
原来现在
平均每天照明用电 100千瓦时 25千瓦时
天数 5天？天
100÷25×5 ＝4×5
＝20（天）
答：原来5天的用电量现在可以用20天。
么发现？
解：设原来5天的用电量现在可以用x天。
100×5÷25 ＝500÷25 ＝20(天)
25x = 100×5 x = 100×5 25
x = 20
现在30天的用电量原来只够用多少天？
解：设现在30天的用电量原来只够用x天。
原来现在
平均每天照明用电 100千瓦时 25千瓦时
天数？天 30天
＝50（元）
40 ＝ x

北师大版六年级数学上册第六单元《比的应用题提高部分》(原卷版+解析)

北师大版六年级数学上册第六单元比的应用题提高部分（原卷版）本专题是第六单元比的应用题提高部分，该部分内容是在《比的应用题基础部分》的基础上进行总结和编辑的，建议在使用本专题前先讲解使用“基础部分”内容。

本专题主要分为按比例分配和寻找不变量两大类型题，考题多以应用题型为主，共分为十四个考点，全部是考试试卷出现过的类型考题，题目难度稍大，其中以和比问题考察最多，易错点较多，可着重进行讲解，欢迎使用。

【考点一】按比例分配：较简单的和比问题。

【方法点拨】先求出每份数，即和÷份数和=每份数，再分别求出各部分数量是多少。

【典型例题】学校新购买了一批桌椅。

一套桌椅的价钱是90元，其中椅子的价钱和桌子的价钱的比是7:11，桌子和椅子的价钱分别是多少元？【对应练习1】甲、乙两个数的和是300，甲、乙两数的比是5:7，甲乙两数分别是多少？【对应练习2】一种糖水，糖和水按照1:150配制的，要配制这样的糖水15100克，需要水多少克？【对应练习3】中国农历中的“夏至”是一年中白昼最长，黑夜最短的一天．这一天，北京的白昼时间与黑时间的比是5:3．白天和黑夜分别是多少小时？【对应练习4】若一个三角形三个内角度数的比是1:1:4，则这个三角形是一个什么三角形？【考点二】按比例分配：稍复杂的和比问题。

【方法点拨】和比问题，前提条件是已知和与比，因此，题目中没有和或比的时候，要先求出和与比。

【典型例题】某小学在“献爱心--为汶川地震区捐款”活动中，六年级五个班共捐款8000元，其中一班捐款1500元，二班比一班多捐款200元，三班捐款1600元，四班与五班捐款数之比是3:5．四班和五班各捐款多少元？【对应练习1】在一个直角三角形中，两个锐角度数比为5:4，其中较小的一个锐角是多少度？【对应练习2】胡伯伯家的菜地共800 平方米，准备用25种西红柿，剩下的按2:1的面积比种黄瓜和茄子。

三种蔬菜的面积分别是多少平方米？【对应练习3】李惠家8月份共缴纳水费、电费、煤气费140元，其中电费占整个费用的47，水费与煤气费的比是1:3，李惠家水费、电费、煤气费各付多少元？【对应练习4】已知A、B、C三个数的比是2:3:5，这三个数的平均数是90，这三个数分别是多少？【对应练习5】大小两瓶油共重2.7千克，大瓶油用去0.2千克后，剩下的油与小瓶的油的重量比是3:2，求大小瓶里原来分别装有多少千克油？【考点三】按比例分配：三个比的和比问题。

数学六年级下册-《用比例解决问题》能力提升用抓不变量法解决行程问题

六年级下册-打印版
用抓不变量法解决行程问题
例1 王明在100 m赛跑冲到终点时领先刘铭10 m，领先李亮15 m。

如果刘铭和李亮按原来的速度继续冲向终点，那么当刘铭到达终点时，李亮还差多少米到达终点？
分析参加赛跑的三人的速度一定，在相同的时间内，三人所跑路程的比也是一定的。

当王明到达终点时，刘铭和李亮所跑路程的比是；当刘铭到达终点时，刘铭和李亮所跑路程的比仍是。

解答解：设当刘铭到达终点时，李亮还差x米到达终点。

=
=
x=
答：当刘铭到达终点时，李亮还差m到达终点。

提示找出刘铭和李亮在相同时间内的路程比是解答此题的关键。

人教版六年级数学下册第四单元比例——用比例解决问题教案

教学笔记第5课时用比例解决问题（1）教学内容教科书P59例5,完成教科书P61~62“练习十一”中第3、4、6、7题。

教学目标1.能正确判断情境中的两种量是否成正比例关系，并能用正比例的意义解决实际问题。

2.在经历问题解决的过程中，培养学生分析问题和解决问题的能力，发展学生的思维能力。

3.学会从不同的角度思考问题，沟通“算术法”与“比例方法”的联系和区别，发展探究解决问题策略的能力。

教学重点掌握用正比例的意义解答基本应用题的方法与步骤。

教学难点利用正比例关系列出含有未知数的等式。

教学准备课件。

教学过程一、复习正比例的意义，激活经验1.复习成正比例的量。

师：谁能说一说生活中有哪些成正比例关系的量？【学情预设】预设1：速度一定，路程与时间成正比例关系。

预设2：单价一定，总价与数量成正比例关系。

预设3：工作效率一定，工作总量与工作时间成正比例关系。

……师：判断两种相关联的量是不是成正比例关系的关键是什么？【学情预设】两种相关联的量的比值一定，这两种量就成正比例关系。

【设计意图】通过描述生活中常见的成正比例关系的量，唤起学生对旧知识的回忆，巩固判断两个量成正比例关系的关键要素，同时为新知的学习作准备。

2.揭示课题。

师：生活中成正比例的量有很多，今天这节课我们来学习用正比例知识解决生活中的实际问题。

［板书课题：用比例解决问题（1）］二、提出问题，探索用正比例知识解决问题1.阅读与理解。

课件出示教科书P59例5。

师：你知道了什么？要解决什么问题？【学情预设】张阿姨家上个月用了8t水，水费是40元；李奶奶家用了10t水。

要求李奶奶家上个月的水费是多少钱。

师：你能解决这个问题吗？试一试。

学生独立思考，完成解答。

2.分析与解答。

(1)教师收集学生用算术法解决问题的方法进行汇报交流。

【学情预设】预设1：先算出每吨水的价钱，再算10t水的总价。

40÷8×10=5×10=50(元)预设2：先求出用水量的倍数关系，再求总价。

不变量问题公式

不变量问题公式一、题目。

1. 有一杯盐水，盐和水的比是1:10，再放入2克盐，新盐水重35克，求原来盐水中盐和水各多少克？- 解析：新盐水重35克，原来盐水重35 - 2 = 33克。

因为原来盐和水的比是1:10，设原来盐有x克，则水有10x克，x+10x = 33，11x = 33，解得x = 3克，那么水有10×3 = 30克。

2. 某工厂甲车间人数与乙车间人数比为3:2，从甲车间调10人到乙车间后，甲车间人数与乙车间人数比变为7:8。

求原来甲、乙车间各有多少人？- 解析：设原来甲车间有3x人，乙车间有2x人。

调动后甲车间有3x - 10人，乙车间有2x+10人，根据调动后比例可得(3x - 10):(2x + 10)=7:8，即8(3x -10)=7(2x + 10)，24x-80 = 14x + 70，24x-14x = 70 + 80，10x = 150，x = 15。

所以原来甲车间有3×15 = 45人，乙车间有2×15 = 30人。

3. 一个分数，分子与分母的和是45，如果分子加上3，分母不变，这个分数就等于1。

求原来的分数。

- 解析：设原来分子为x，分母为y，则x + y=45，(x + 3)/(y)=1即x+3 = y。

将y=x + 3代入x + y = 45中，得x+(x + 3)=45，2x+3 = 45，2x = 42，x = 21，则y = 21 + 3 = 24，原来的分数是(21)/(24)。

4. 甲、乙两包糖的重量比是4:1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为7:5。

求两包糖的总重量。

- 解析：设乙包糖原来重x克，则甲包糖原来重4x克。

(4x - 10):(x +10)=7:5，5(4x - 10)=7(x + 10)，20x-50 = 7x + 70，20x - 7x = 70+50，13x = 120，x=\frac{120}{13}\)。

小学比例应用题和答案

小学比例应用题和答案小学比例应用题和答案学生在学习比例这一单元时，需要掌握比例的基本性质：比例的内项积等于外项积。

下面是店铺为大家收集整理的小学比例应用题和答案，欢迎阅读。

小学比例应用题和答案篇1例题、一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶70千米，6小时到达，如果要4小时到达，每小时要行驶多少千米?【点拨】用比例知识解答，就要确定题中的两种量成什么比例，题中的不变量是甲乙两地的之间的路程一定，时间和速度成反比例，所以两次行驶的速度和时间的积相等，从而列出比例式进行解答【解答】设每小时要行驶X千米4x=70×6x=105【练习】1、一根圆柱，如果锯成5段，要8分钟，如果锯成10段，要多少小时?2、把一根长3米的圆柱木棒每50厘米锯成一段，共要10分钟，如果每60厘米锯成一段，共要多少分钟?例题、用边长4分米的方砖给教室铺地，要450块，如果改用边长6分米的方砖铺地，要多少块?【点拨】先弄清哪两个量成比例，成什么比例。

根据题意，房间的面积一定，则每块方砖的面积和方砖的块数成反比例。

【解答】设要X块4×450=6XX=200【练习】1、用同样的方砖给教室铺地，铺18平方米要用400块砖，如果铺36平方米，要多少块砖?2、同学们做广播操，每行站15人，站了12行，如果每行站18人，要站多少行?3、马东风电子车间要加工一批电子产品，计划每天加工50件，24天可以完成，实际每天比原计划多加工1/5，实际几天完成?4、一台织布机4小时织布32米，照这样计算，15小时织布多少米?5、修一条长6400米的公路，修了20天后，还剩下4800米，照这样计算，剩下的路要修多少天?小学比例应用题和答案篇21、工程队修一条水渠，原计划每天修360米，30天修完。

修10天后，每天多修40米，再修多少天就能完成任务?2、农场挖一条水渠，头5天挖了180米，照这样速度，又用了16天挖完这条水渠。

这条水渠全长多少米?3、40千克小麦能磨面粉32千克，照这样计算，7吨小麦能磨面粉多少千克?4、机床厂4天能生产小机床32台，照这样计算，要生产120台小机床需几天?5、测量小组把一米长的竹竿直立在地面上，测得它的影子长度是1.6米，同时测得电线杆的影子长度是4米，求电线杆高多少米?6、要测量一棵树的高度，量得树的影子长度是8.4米，同时用一根2米长的标杆直立在地面上，量得影子长度是1.2米，这棵树高是多少米?7、一辆汽车从甲地开往乙地，甲乙两地相距405千米，头4小时行驶了180千米，剩下的路程还要行多少小时?8、某印刷厂计划三月份印刷课本20000本，结果上旬就印刷7000本，照这样速度，三月份可以多印刷多少本?9、用5辆同样汽车运粮食一次能运22.5吨，照这样计算，要把36吨粮食一次运完，需要增加多少辆这样的汽车?10、服装厂生产制服，前3个月生产0.48万套，照这样计算，今年可以生产制服多少万套?11、农场用3辆拖拉机耕地，每天共耕225公顷，如果用5辆同样的拖拉机，每天共耕在多少公顷?12、一艘轮船，从甲地开往乙地，每小时行20千米，12小时到达，从乙地返回甲地时，每小时航行4千米，几小时可以到达?13、100千克黄豆可以榨油13千克，照这样计算，要榨豆油6.5吨，需黄豆多少吨?14、一个房间，用边长3分米的方砖铺地，需要432块，如果改用边长4分米的.方砖铺地，需要多少块?17.在一幅地图上，测得甲、乙两地的图上距离是12厘米，已知甲乙两地的实际距离是480千米。

小学数学六年级《比例中不变量》练习题5

比例中的不变量1.甲:乙=4:3，乙:丙=2:5。

那么，甲:乙:丙=::。

2.甲:乙=5:2，乙:丙=3:5。

那么，甲:乙:丙=::。

3.甲:乙=5:3，乙:丙=2:3。

那么，甲:乙:丙=::。

4.一些同学分别上英语、数学、语文。

其中上英语课的人数和上数学课的人数比为4:5，上数学课和上语文课的人数比为2:1，如果上英语课的人数比上语文课的人数多30，请问这些同学一共多少人？5.一些同学分别上英语、数学、语文。

其中上英语课的人数和上数学课的人数比为4:5，上数学课和上语文课的人数比为3:2，如果上英语课的人数比上语文课的人数多20，请问这些同学一共多少人？6.一些同学分别上英语、数学、语文。

其中上英语课的人数和上数学课的人数比为3:2，上数学课和上语文课的人数比为3:2，如果上英语课的人数比上语文课的人数多50，请问这些同学一共多少人？7.机器人工厂一月份与二月份生产机器人的个数比为4:5。

接着改进工艺，使得三月份生成的机器人个数与前两个月的总产量之比为4:3。

如果三月份比二月份多生产了70个机器人，那么这家工厂第一季度共生产了多少个机器人？8.机器人工厂一月份与二月份生产机器人的个数比为4:5。

接着改进工艺，使得三月份生成的机器人个数与前两个月的总产量之比为2:3。

如果三月份比二月份多生产了20个机器人，那么这家工厂第一季度共生产了多少个机器人？9.机器人工厂一月份与二月份生产机器人的个数比为5:4。

接着改进工艺，使得三月份生成的机器人个数与前两个月的总产量之比为2:3。

如果三月份比二月份多生产了20个机器人，那么这家工厂第一季度共生产了多少个机器人？10.植物园里菊花与月季花的盆数之比是3:4，兰花与郁金香的盆数之比是5:6，菊花与郁金香的盆数之比是4:5。

如果月季比兰花多56盆，那么菊花比郁金香少几盆？11.植物园里菊花与月季花的盆数之比是3:4，兰花与郁金香的盆数之比是3:2，菊花与郁金香的盆数之比是2:3。

不变量比例问题
1．有甲乙丙三个学校，甲校人数的1/2等于乙校人数的1/3，等于丙校人数的3/7，已知丙校比甲校多120人，求三校共有多少人？
2．图书馆新购进3种书，其中工具书有180本，科技书占总数的1/3，文艺书的本数是其它两种书本数的1/5。

购进的3种书共有多少本？
3．小李读一本书，已读和未读页数比是1：5，若再读30页，则已读和未读页数比是3：5，求这本书共多少页？
4．甲、乙两人原来的钱数比是7：3，现在甲拿出60元给乙，这时甲、乙两人的钱数比是2：3，求现在甲、乙两人各有多少元？
5．甲、乙、丙三人种树，甲种的棵数是乙丙和的1/2，乙种的棵数是甲丙和的1/3，已知丙种了260棵，求甲乙各种了多少棵？
6.靖宇小学五年级有甲乙两个班，若甲班抽10人到乙班，则两班人数相等，若乙班抽15人到甲班，则甲班的人数是乙班的3倍，甲乙两班原来各有几人？。

小学六年级数学奥数第21讲“不变量”解题

小学六年级数学奥数第21讲“不变量”解题一、知识要点一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。

抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。

二、精讲精练【例题1】将6143的分子与分母同时加上某数后得97，求所加的这个数。

解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的79，由此可求出新分数的分子和分母。

” 分母：（61-43）÷（1－79）＝81 分子：81×79＝63 81-61＝20或63-43＝20解法二：4361的分母比分子多18，79的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以将79的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。

79 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）约分后所得的79在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝6381所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。

练习1： 1、分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是25，那么减去的数是多少？2、分数113 的分子、分母同加上一个数后得35，那么同加的这个数是多少？3、将5879 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是23，那么减去的数是多少？【例题2】将一个分数的分母减去2得45 ，如果将它的分母加上1，则得23，求这个分数。

解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得45”可知，分母比分子的54 倍还多2。

由“分母加1得23 ”可知，分母比分子的32倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。

分子：（2+1）÷（32 －54）=12 分母：12×32-1＝17解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。

不变量比例问题

分数应用题中比的应用

第7课时 用比例解决问题(2)——2025学年六年级下册数学人教版

小学奥数教程：比例应用题(二)全国通用(含答案)

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小学奥数：比例应用题（二）.专项练习及答案解析[汇编]

小学六年级数学根据不变量确定单位1问题专项练习及详细答案解析(50题)

比例应用题二

人教版六年级数学下册第四单元比例的应用—— 用比例解决问题(两课时)

北师大版六年级数学上册第六单元《比的应用题提高部分》(原卷版+解析)

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人教版六年级数学下册第四单元比例——用比例解决问题教案

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