波函数及其统计解释.ppt
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2.1波函数的统计解释
2
粒子在t时刻，出现在点（ x, y, z )处的单位体积几率， 即几率密度为： w( x, y, z , t ) C ( x, y, z , t ) C （ x , y , z , t ) d 1 C 1
2 2
( x, y, zt )
2
令 ( x, y, z , t） C （x, y, z , t ), 在t时刻，在（x, y, z )点附近的体元 d内找到粒子的几率为 : dW ( x, y, z , t ) ( x, y, z , t ) d 几率密度是： w( x, y, z , t ) ( x, y, z , t )
（下一页）
1926年，德国物理学家玻恩（Born , 1882--1972) 提出了德布罗意波的统计解释，认为波函数体现了发
现粒子的概率（几率），这是每个粒子在它所处环境
中所具有的性质。
（下一页）
由此 ， * 代表单位体积内发现一个粒子的 几率，因而称几率密度。 这就是德布罗意波函数的 物理意义。 玻恩提出的波函数与经典的波函数的意义完全不同的。 经典的波函数意味着有某种实在的物理量的空间 分布做周期性的变化，是可测量的。 玻恩提出的波函数一般是不可测量的。可测 量的 ，一般是 。它的含义是几率。
2 2 2
所以，归一化为： （x, y, z, t）d 1
对几率分布来说，重要的是相对几率分布。故
和 C描述的相对几率分布是完全相同的。
经典波的波幅如增加一倍，则相应的波动能量
将为原来的四倍，代表了不同的波动状态。
（下一页）
用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 (1)入射强电子流 (2)入射弱电子流 • 概率波的干涉结果 波函数统计诠释涉及对世界本质的认 识争论至今未息。
粒子在t时刻，出现在点（ x, y, z )处的单位体积几率， 即几率密度为： w( x, y, z , t ) C ( x, y, z , t ) C （ x , y , z , t ) d 1 C 1
2 2
( x, y, zt )
2
令 ( x, y, z , t） C （x, y, z , t ), 在t时刻，在（x, y, z )点附近的体元 d内找到粒子的几率为 : dW ( x, y, z , t ) ( x, y, z , t ) d 几率密度是： w( x, y, z , t ) ( x, y, z , t )
（下一页）
1926年，德国物理学家玻恩（Born , 1882--1972) 提出了德布罗意波的统计解释，认为波函数体现了发
现粒子的概率（几率），这是每个粒子在它所处环境
中所具有的性质。
（下一页）
由此 ， * 代表单位体积内发现一个粒子的 几率，因而称几率密度。 这就是德布罗意波函数的 物理意义。 玻恩提出的波函数与经典的波函数的意义完全不同的。 经典的波函数意味着有某种实在的物理量的空间 分布做周期性的变化，是可测量的。 玻恩提出的波函数一般是不可测量的。可测 量的 ，一般是 。它的含义是几率。
2 2 2
所以，归一化为： （x, y, z, t）d 1
对几率分布来说，重要的是相对几率分布。故
和 C描述的相对几率分布是完全相同的。
经典波的波幅如增加一倍，则相应的波动能量
将为原来的四倍，代表了不同的波动状态。
（下一页）
用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 (1)入射强电子流 (2)入射弱电子流 • 概率波的干涉结果 波函数统计诠释涉及对世界本质的认 识争论至今未息。
量子力学讲义chapter2波函数的统计解释培训讲学
➢Motivation: 物理上: • 势场在平衡位置附近展开 U(x)~k(x-x0)^2 • 任何连续谐振子体系无穷多个谐振子集合 • 辐射场简谐波的叠加 • 原子核表面振动,理想固体(无穷个振子) • 真正可以严格求解的物理势(不是间断势) • 描述全同粒子体系产生,湮灭算符
2020/7/31
• 将势场曲线正题右移a,波函数和能级怎么变?
2020/7/31
2020/7/31
2020/7/31
2020/7/31
2020/7/31
2020/7/31
一维方势阱偶宇称能谱图
2020/7/31
2020/7/31
一维方势阱奇宇称能谱图
2020/7/31
2020/7/31
具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(1)
nxNne1 22x2Hnx
Nnቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1/22n
1/2 n!
2020/7/31
2020/7/31
2020/7/31
§2.5 一维谐振子
产生湮灭算符
2020/7/31
2020/7/31
2020/7/31
§2.5 一维谐振子
➢思考题: • 半壁振子(两种情况)(图)(暂缺)
2020/7/31
§2.5 一维谐振子
2020/7/31
§2.1 波函数的统计解释
➢粒子性 颗粒性(V) 轨道(X)
➢波动性 物理量周期分布(V and X) 将”粒子分布”视为物理量 叠加性->干涉,衍射(V)
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• 将势场曲线正题右移a,波函数和能级怎么变?
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一维方势阱偶宇称能谱图
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一维方势阱奇宇称能谱图
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具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(1)
nxNne1 22x2Hnx
Nnቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1/22n
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§2.5 一维谐振子
产生湮灭算符
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§2.5 一维谐振子
➢思考题: • 半壁振子(两种情况)(图)(暂缺)
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§2.5 一维谐振子
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§2.1 波函数的统计解释
➢粒子性 颗粒性(V) 轨道(X)
➢波动性 物理量周期分布(V and X) 将”粒子分布”视为物理量 叠加性->干涉,衍射(V)
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§1.6 波函数的统计解释 量子力学课件
|Ψ (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说，
|Ψ (r)|2 Δx Δy Δz 表示在 r 点处，体积元Δx Δy Δz 中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅 绝对 值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，
据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运 动的一 种统计规律性，波函数Ψ (r)有时也称为几率幅。 这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释，它是量子 力学的基本原理。
称为几率密度。
在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为： W(t) = ∫V dW = ∫Vω( r, t ) dτ= C∫V |Ψ (r,t)|2 dτ
（2） 平方可积
由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：
C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1, 从而得常数 C 之值为：
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒子也 不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波， 但是我们也可 以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统 一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。
经典概念中 粒子意味着
经典概念中 波意味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定
单位换算：
1ev～12.000K(温度表能量) ~2.410 14HZ（频率表能量）
~8.00c0m1（波长）
附录 量子力学的建立及相关科学家传略础之一，是研究微观粒 子运动规律的科学，使人们对物质世界的认识从宏观层次跨进 了微观层次。自1900年普朗克提出量子假设以来，量子力学便 以前所未有的速度发展起来，紧接着是1905年爱因斯坦提出光 量子假说，直接推动了量子力学的产生与发展。而玻尔运用量 子理论和核式结构模型解决了氢原子光谱之谜。之后德布罗意 的物质波理论使经典物理学的卫道士们大吃一惊。海森堡的矩 阵力学、“不确定原理”和薛定谔的波动力学成了量子力学独 当一面的基础。而数学高手狄拉克在此基础上进一步实现了量 子力学的统一，建立了著名的“狄拉克方程”。泡利的“不相 容原理”又给量子力学抹上了灿烂的一笔。
|Ψ (r)|2 Δx Δy Δz 表示在 r 点处，体积元Δx Δy Δz 中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅 绝对 值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，
据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运 动的一 种统计规律性，波函数Ψ (r)有时也称为几率幅。 这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释，它是量子 力学的基本原理。
称为几率密度。
在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为： W(t) = ∫V dW = ∫Vω( r, t ) dτ= C∫V |Ψ (r,t)|2 dτ
（2） 平方可积
由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：
C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1, 从而得常数 C 之值为：
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒子也 不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波， 但是我们也可 以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统 一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。
经典概念中 粒子意味着
经典概念中 波意味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定
单位换算：
1ev～12.000K(温度表能量) ~2.410 14HZ（频率表能量）
~8.00c0m1（波长）
附录 量子力学的建立及相关科学家传略础之一，是研究微观粒 子运动规律的科学，使人们对物质世界的认识从宏观层次跨进 了微观层次。自1900年普朗克提出量子假设以来，量子力学便 以前所未有的速度发展起来，紧接着是1905年爱因斯坦提出光 量子假说，直接推动了量子力学的产生与发展。而玻尔运用量 子理论和核式结构模型解决了氢原子光谱之谜。之后德布罗意 的物质波理论使经典物理学的卫道士们大吃一惊。海森堡的矩 阵力学、“不确定原理”和薛定谔的波动力学成了量子力学独 当一面的基础。而数学高手狄拉克在此基础上进一步实现了量 子力学的统一，建立了著名的“狄拉克方程”。泡利的“不相 容原理”又给量子力学抹上了灿烂的一笔。
第二章波函数和薛定谔方程(量子力学周世勋)PPT课件
第二章 波函数与薛定谔方程
The wave function and Schrödinger Equation
1
学习内容
➢ 2.1 波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation
➢ 2.2 态叠加原理
The principle of su续4）
（2）粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构， 是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现 出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大 小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭 加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间， 这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组 成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义 的，与实验事实相矛盾。
经典概念 中粒子意
味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概 念中波 意味着
1.实在的物理量的空间分布作周期性的 变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。 7
§2.1 波函数的统计解释（续6）
▲ 玻恩的解释： 我们再看一下电子的衍射实验
P
P
12
§2.1 波函数的统计解释（续10）
3．波函数的归一化
令
(r,t)C (r,t)
相对t 几时率刻是，：在空C间(r任1,t意) 两2 点r 1 (和r1,rt2)处2找到粒子的 C(r2,t) (r2,t)
波函数
2.通过对实验的分析,理解态叠加原理。
3.掌握微观粒子运动的动力学方程
波函
数随时间演化的规律
The wave function and Schrödinger Equation
1
学习内容
➢ 2.1 波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation
➢ 2.2 态叠加原理
The principle of su续4）
（2）粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构， 是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现 出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大 小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭 加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间， 这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组 成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义 的，与实验事实相矛盾。
经典概念 中粒子意
味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概 念中波 意味着
1.实在的物理量的空间分布作周期性的 变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。 7
§2.1 波函数的统计解释（续6）
▲ 玻恩的解释： 我们再看一下电子的衍射实验
P
P
12
§2.1 波函数的统计解释（续10）
3．波函数的归一化
令
(r,t)C (r,t)
相对t 几时率刻是，：在空C间(r任1,t意) 两2 点r 1 (和r1,rt2)处2找到粒子的 C(r2,t) (r2,t)
波函数
2.通过对实验的分析,理解态叠加原理。
3.掌握微观粒子运动的动力学方程
波函
数随时间演化的规律
15-7波函数 玻恩统计解释
为了区别于经典波动，将上式写成：
( x, t ) 0e
i 2 (t x )
i (Et px)
0e
ψ0 e
第十五章
量子物理
1
物理学
第五版
15-7波函数 波函数物理意义
பைடு நூலகம்
玻恩统计解释
物质波与光波的对比
（波动观点） （微粒观点）
光波振幅平方大 光强大 光子在该处出现 的概率大
物理学
第五版
15-7波函数
玻恩统计解释
一、波函数（描写物质波的函数） 自由粒子的波函数 由波动理论，沿x轴传播的平面波波动方程：
y( x, t ) A cos 2 (t x )
y( x , t ) Ae
i 2 (t x )
只取实部
i 2 ( Et px ) h
2 2 势场中的一维运动粒子 E p i 2 2m x t
第十五章 量子物理
6
粒子在该处出现的 （微粒观点） 概率大 在空间某点波函数的平方和粒子在该点出现的 概率成正比. —玻恩统计解释.
第十五章 量子物理
2
物质波的 强度大
波函数振幅的平方大 （波动观点） | |2= *
物理学
第五版
15-7波函数
玻恩统计解释
物质波与经典波的本质区别
物质波是复函数，本身无具体的物理意义，
玻恩统计解释
一维自由粒子薛定谔方程 自由粒子波函数:
( x , t ) 0e
i ( Et px )
2 p2 2 2 x
非相对论粒子:
i E t
p2 E 2m
量子力学课件-波函数的统计解释
微观粒子的波-粒二象性如何理解? 微观粒子的波-粒二象性如何理解? 1.所谓的“粒子性” 是指粒子有一 1.所谓的“粒子性”, 是指粒子有一 所谓的 定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2.所谓的“波动性 是指粒子能发 2.所谓的“波动性”, 是指粒子能发 所谓的 生干涉、衍射现象；更深刻地说， 生干涉、衍射现象；更深刻地说， 波动性是微观粒子运动的统计规律 波动性是微观粒子运动的统计规律 的表现形式
nπ (x − a) A sin ψ 1( x) = 2a 0 nπ (x + a) A sin ψ 2 ( x) = 2a 0
请 问 ： I 、 波 函 数 ψ 1 ( x ) 和 ψ 2 ( x )是 否 等 价 ？ II 、 对 ψ 1 ( x ) 取 n = ± 2 两 种 情 况 ， 得 到 的 两 个 波函数是否等价？
ψ 1 = e i2x /h , ψ 4 = −e i2x/h ,
ψ 2 = e −i2 x /h , ψ 5 = 3e − i ( 2 x + π h ) / h ,
ψ 3 = e i3x /h , ψ 6 = ( 4 + 2 i )e i 2 / h .
(2)
已知下列两个波函数： | x |≤ a | x |> a | x |≤ a | x |> a n = 1, 2, 3, L n = 1, 2, 3, L
1, 1.∫∞ C|Ψ(r,t)|2 dτ= 1, 归一化条件或平方可积条件. 此式称为波函数的归一化条件或平方可积条件 此式称为波函数的归一化条件或平方可积条件. |Ψ(r， dτ,（ 归一化常数， C=1/∫∞ |Ψ(r，t)|2 dτ,（C）1/2归一化常数， Ψ(r,t)叫归一化波函数。 （C）1/2 Ψ(r,t)叫归一化波函数。 2.ω( r, t ) = C |Ψ (r,t)|2 为几率密度。
波函数的统计解释
01
02
03
概率幅
波函数描述了一个量子系 统在特定状态下的概率幅， 即系统处于某个状态的可 能性。
概率分布
通过平方模长计算，可以 得到系统处于某个状态的 概率分布，即波函数的模 长的平方。
叠加态
当一个量子系统同时处于 多个状态时，波函数描述 了系统在各个状态下的概 率分布。
波函数的期望值和方差
期望值
通过波函数，可以描述量子纠缠现 象，以及量子纠缠在信息传递和处 理中的应用。
量子密钥分发
波函数可以用于实现量子密钥分发， 提高通信安全性。
05 结论
对波函数统计解释的理解
波函数是描述微观粒子状态的函 数，它包含了粒子的所有信息。
波函数的统计解释认为，在多次 测量中，波函数的描述是有效的， 但在单次测量中，无法确定粒子
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
通过将波函数与可观测量 算符进行内积运算，可以 得到该可观测量在量子系 统中的期望值。
方差
方差描述了量子系统可观 测量的不确定性，即测量 结果偏离期望值的程度。
测量误差
由于量子系统的波动性， 测量误差与方差有关，方 差越大，测量误差越大。
波函数的测量问题
测量过程
测量不确定性
当对一个量子系统进行测量时，系统 会与测量仪器发生相互作用，导致波 函数发生塌缩。
量子纠缠是量子力学中的一种现象，指两个或多个粒子之间存在一种特殊的关联 ，使得它们的状态是相互依赖的。
波函数可以用来描述纠缠态，即多个粒子之间的关联状态。例如，两个自旋处于 纠缠态的粒子，一个粒子的自旋状态改变，另一个粒子的自旋状态也会立即改变 。
04 波函数的统计解释的应用
在原子和分子物理中的应用
第一章1.2波函数的统计解释
( )
∫V
则可令，
C =
∞
ϕ x , t dτ = C
( )
2
2
1 ψ x, t = ϕ x, t 得 C
1
( )
2
( )
∫V
∞
ϕ x , t dτ
( )
（1.2.4 ）
[例1.2.1] 已知电子的波函数为ψ x = N e a，试求： 例
-R
0
()
（1） 归一化常数N； （2） 在球壳 R → R + dR 内找到电子的概率ω (R )dR；
1.2 波函数的统计解释
本节首先引入自由粒子的波函数， 随后通过对电子双缝衍射实验的讨 论提出波函数的统计解释，最后提 出波函数的归一化条件。
1.2 波函数的统计解释
“初等量子论”步入 “量子力学”的开端。 两种介 绍形式 波函数的 统计解释 读者观 念的转化
前人探索和创新的历程， 以及他们提出这些基本假 设的想法和方式是怎样的。
;
（3）电子的位置径向概率密度于何处取最大值。
解 （1）由波函数归一化条件及
∫ xe
n 0
∞ 2 −∞
∞
− ax
dx =
n!aຫໍສະໝຸດ n +1( a > 0)，可得
2R
1 = ∫ ψ ( x ) dτ = N 4π ∫
2
∞
0
e a R dR = N
2
0
−
2
4π
(2 a )
0
2!
3
= N π a0
2 3
由此的归一化常数
N =
(π )
3 a0
-1 2
（2）在球壳 R → R + dR内找到电子的概率为
22-2 波函数及统计解释
玻恩 (M． Born ， 1882 － 1970) 在这个观念的启 发下，马上将其推广到 Ψ 函数上： |Ψ|2 必须是电子 （或其它粒子）的几率密度” 。
第22章 量子力学
22-2 波函数及统计解释
（r,t）的物理意义：
波函数的模的平方（波的强度）代表时刻 t、在 空间r点处，单位体积元中微观粒子出现的概率。
( x, t ) 0e
第22章 量子力学
22-2 波函数及统计解释
或由关系
E ,
可将波函数改写为
p k
( x, t ) 0e
i ( Et px )
——0为待定常数
若粒子为三维自由运动，波函数可表示为
(r , t ) 0 e
i
( pr E t)
•
第22章 量子力学
22-2 波函数及统计解释
波函数应满足的条件
统计诠释对波函数提出的要求
1 有限:
根据波函数的统计诠释，要求在空间任何有 限体积元中找到粒子的概率为有限值*
第22章 量子力学
22-2 波函数及统计解释
2
归一化条件
粒子出现在dV 体积内的几率为：
(r , t )dV (r , t ) dV
粒子在空间各点的概率总和应为 l
* (r , t ) (r , t )dV 1
2
(x,t)
x
—( 全空间)
第22章 量子力学
22-2 波函数及统计解释
3
单值
从而保证概率密度——|ψ(r)|2在任意时刻t 都是 确定的单值
4 连续
波函数满足的微分方程为二阶的（见后），要 求波函数的一阶导数连续，波函数本身必须连续。 总之，波函数应满足的条件： 单值、有限、连续和归一
波函数及其统计解释
5
动量分布概率（1）
设子设有平出 动 面pr现 量波 px在的ixip点波的y函pjr概y数j附z率k为近p如，zk的何则为概表(|粒r率示)(子r。？) 的|2eip动|r /量(x,，y, z那) |2么表粒示子粒具
任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开
(r )
1
(2)3
2
( p)eipr / d 3 p
*
(
p)
p
(
p)d
3
p
p
*
(r )
pˆ
(r )d
3r
,
pˆ
力学量用算符表示
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3r
20
三、力学量用算符表示(5)
力学量 A 的平均值为
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3r
其 问中 题，：Aˆ坐为标力r学的量平A均的值算符r 。
*
(r )r
(r )d
该如何理解波函数的物理意义？为此，人们
提出了波函数的统计诠释来作为对波函数物
理意义的一种理解。
4
量子力学的基本假定之一
基本假定Ⅰ：波函数假定 微观粒子的状态可以被一个波函数完全 描述，从这个波函数可以得出体系的所 有性质。波函数一般满足连续性、有限 性和单值性三个条件。 说明：波函数一般是粒子坐标和时间的 复函数，波函数的模方代表粒子空间分 布的概率密度。
量子力学
波函数及其统计解释 粒子的动量分布 不确定度关系——进一步讨论
1
简短回顾
1、自由粒子的波函数 既然粒子具有波动性，那么就应该用一
个反映波动的函数来加以描述。 由平面波公式 Asin(kxt)
动量分布概率（1）
设子设有平出 动 面pr现 量波 px在的ixip点波的y函pjr概y数j附z率k为近p如，zk的何则为概表(|粒r率示)(子r。？) 的|2eip动|r /量(x,，y, z那) |2么表粒示子粒具
任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开
(r )
1
(2)3
2
( p)eipr / d 3 p
*
(
p)
p
(
p)d
3
p
p
*
(r )
pˆ
(r )d
3r
,
pˆ
力学量用算符表示
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3r
20
三、力学量用算符表示(5)
力学量 A 的平均值为
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3r
其 问中 题，：Aˆ坐为标力r学的量平A均的值算符r 。
*
(r )r
(r )d
该如何理解波函数的物理意义？为此，人们
提出了波函数的统计诠释来作为对波函数物
理意义的一种理解。
4
量子力学的基本假定之一
基本假定Ⅰ：波函数假定 微观粒子的状态可以被一个波函数完全 描述，从这个波函数可以得出体系的所 有性质。波函数一般满足连续性、有限 性和单值性三个条件。 说明：波函数一般是粒子坐标和时间的 复函数，波函数的模方代表粒子空间分 布的概率密度。
量子力学
波函数及其统计解释 粒子的动量分布 不确定度关系——进一步讨论
1
简短回顾
1、自由粒子的波函数 既然粒子具有波动性，那么就应该用一
个反映波动的函数来加以描述。 由平面波公式 Asin(kxt)
12-6波函数及其统计解释
电磁波
E(x,t)
E0
cos
2π
(t
x
)
H
( x, t )
H
0
cos 2π
(t
x
)
经典波为实函数
i 2π( t x )
y(x, t) Re[ Ae
]
第十二章 量子物理
12-6 波函数及其统计解释
2）自由粒子平面波函数
自由粒子能量 E 和动量
p
是确定的，其德布罗
意频率和波长均不变 ，可认为它是一平面单色波 .
某一时刻出现在某点附近在体积元 dV 中的粒子
的概率为
Ψ 2 dV ΨΨ*dV
某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为
归一化条件
2
Ψ dV 1
第十二章 量子物理
波函数
i2π( t x )
(x,t) 0e
微观粒子的波粒二象性
E
h
h
p
i 2π (Et px)
Ψ (x,t) 0e h
第十二章 量子物理
12-6 波函数及其统计解释 二、波函数的统计解释 德布罗意波又称为概率波.
波函数的统计意义:在空间某处波函数绝对值的二 次方 2与粒子在该处单位体积中出现的概率成正 比.
12-6 波函数及其统计解释
薛定谔（Erwin Schrodinger，1887~1961）奥 地利物理学家.
1926年建立了以薛定谔 方程为基础的波动力学,并建 立了量子力学的近似方法 .
第十二章 量子物理
12-6 波函数及其统计解释
一、自由粒子的波函数
1）经典的波与波函数
量子力学第二章波函数和薛定谔方程PPT课件
知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子 在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道， 波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系 的量子状态（简称状态或态） ②波函数一般用复函数表示。
③波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
10
3．波函数的归一化条件
令
(r,t)C (r,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 和1
对几率是：
处r 2 找到粒子的相
((rr1 2,,tt))2 2C C((rr1 2,,tt))2 2((rr1 2,,tt))2 2
r , t 和 r ,所t 描写状态的相对几率是相同的，
这里的 是常数C 。
11
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的 几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率具有相对 性，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不 取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数 后，所描写的粒子状态不变，即:
➢ 2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
➢ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
The current density of particles and conservation
laws
➢ 2.5 定态薛定谔方程
Time independent Schrödinger equation
8
设粒子状态由波函数 (r ,描t)述，波的强度是
(r,t)2*(r,t)(r,t)
按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中
某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的
平方成比例
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的几
③波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
10
3．波函数的归一化条件
令
(r,t)C (r,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 和1
对几率是：
处r 2 找到粒子的相
((rr1 2,,tt))2 2C C((rr1 2,,tt))2 2((rr1 2,,tt))2 2
r , t 和 r ,所t 描写状态的相对几率是相同的，
这里的 是常数C 。
11
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的 几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率具有相对 性，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不 取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数 后，所描写的粒子状态不变，即:
➢ 2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
➢ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
The current density of particles and conservation
laws
➢ 2.5 定态薛定谔方程
Time independent Schrödinger equation
8
设粒子状态由波函数 (r ,描t)述，波的强度是
(r,t)2*(r,t)(r,t)
按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中
某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的
平方成比例
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的几
波函数及其统计意义(ppt 51)
磁量子数
m = 0、±1、±2…… ±l 决定角动量方向。对应一l 可能有 2 l + 1 个不同取向。 例： l 2
6
L 2 (2 1) 6
m 0、 1、 2
LZ 0, ,2
例 设氢原子处于2p态，求氢原子的能量、角动量大小
及角动量的空间取向。
a基态能量22212mae????teinnne????tinexana??2?sin2??驻波讨论2考虑时间因子12?aa0xn1xaa??sin21?a0x22212mae???2nnw??1w2w124ee?xaa?2?sin22?n2n3xaa?3?sin23?3w139ee?n?22222mane???由还可以得到势阱中粒子的动量和波长ahnanmepnn?2??2???????naphnn2???说明势阱中粒子的每一个能量本征态正好对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波
1 e 氢原子中的电子…… V r 4 0 r
2
这时波函数 可以用分离变量法分离为 一个空间坐标的函数和一个时间函数的 乘积。
以一维运动的情况为例，波函数可写成
( x ,t ) ( x ) f ( t )
一个是变量为t 的方程 其解为
df i Edt f
f e
dV dV
称为概率密度，表示在某一时刻在某点处
2
2
单位体积内粒子出现的概率。
波函数还须满足：
2
dv 1
归一化条件
及单值、连续、有限等标准化条件
二、 不确定关系
波动性使微观粒子没有确定的轨道，即坐标和 动量不能同时取确定值，存在一个不确定关系。 以电子的单缝衍射实验来说明不确定关系：
波函数及其统计解释资料课件
特点
柱面波函数具有恒定的振幅和相位，并且传播方向与波数 k垂直。
应用
柱面波函数在声学、电磁学和天文学等领域都有广泛的应 用。
04
波函数的物理意义
波函数的粒子性
粒子位置与波函数的关联
波函数可以被视为一个概率幅，描述了粒子在空间中的概率分布 。
粒子动量与波函数的关联
波函数的傅里叶变换描绘了粒子的动量分布。
相干性是波动性质的重要表现之 一，它可以产生明暗相间的条纹
，即干涉现象。
波函数的对称性
波函数的对称性是指波函数在空间上的 分布是否具有某种对称性。
常见的对称性包括：轴对称、面对称、 旋转对称等。
波函数的对称性与其波动性质密切相关 ，不同的对称性会导致不同的干涉现象
。
03
波函数的分类
平面波函数
定义
象。
波函数是一种复数函数，其模方 表示粒子在某个位置出现的概率
密度。
波函数的统计解释的重要性
波函数的统计解释是理解量子力学的基础之一，它提供了从概率角度描述粒子的方 法。
通过波函数的统计解释，我们可以计算出粒子在某个位置出现的概率，以及测量某 个物理量的期望值和方差等统计性质。
波函数的统计解释还与量子纠缠、量子计算等重要概念密切相关。
波函数与量子态的关系
描述量子态的函数
波函数是描述量子态的函 数，它可以表示出量子态 的叠加原理和相干性。
波函数的模平方
波函数的模平方可以表示 出某个物理量的概率分布 ，如位置、动量等。
测量问题
波函数与测量问题密切相 关，测量会导致波函数塌 缩，进而影响后续的测量 结果。
波函数与测量问题
测量导致波函数塌缩
06
结论与展望
柱面波函数具有恒定的振幅和相位，并且传播方向与波数 k垂直。
应用
柱面波函数在声学、电磁学和天文学等领域都有广泛的应 用。
04
波函数的物理意义
波函数的粒子性
粒子位置与波函数的关联
波函数可以被视为一个概率幅，描述了粒子在空间中的概率分布 。
粒子动量与波函数的关联
波函数的傅里叶变换描绘了粒子的动量分布。
相干性是波动性质的重要表现之 一，它可以产生明暗相间的条纹
，即干涉现象。
波函数的对称性
波函数的对称性是指波函数在空间上的 分布是否具有某种对称性。
常见的对称性包括：轴对称、面对称、 旋转对称等。
波函数的对称性与其波动性质密切相关 ，不同的对称性会导致不同的干涉现象
。
03
波函数的分类
平面波函数
定义
象。
波函数是一种复数函数，其模方 表示粒子在某个位置出现的概率
密度。
波函数的统计解释的重要性
波函数的统计解释是理解量子力学的基础之一，它提供了从概率角度描述粒子的方 法。
通过波函数的统计解释，我们可以计算出粒子在某个位置出现的概率，以及测量某 个物理量的期望值和方差等统计性质。
波函数的统计解释还与量子纠缠、量子计算等重要概念密切相关。
波函数与量子态的关系
描述量子态的函数
波函数是描述量子态的函 数，它可以表示出量子态 的叠加原理和相干性。
波函数的模平方
波函数的模平方可以表示 出某个物理量的概率分布 ，如位置、动量等。
测量问题
波函数与测量问题密切相 关，测量会导致波函数塌 缩，进而影响后续的测量 结果。
波函数与测量问题
测量导致波函数塌缩
06
结论与展望
《波函数与波动方程》课件
玻恩那里取得博士学位， 1924～1926年又和玻尔一 起工作 。
1932年海森堡获得诺贝尔 物理学奖。
举例
1. 设一维粒子具有确定的动量p0，即动量的 不确定度Δp＝0. 相应的波函数为平面波
p0 (x) eip0 x/
2
所以 p0 (x) 1 ，即粒子在空间各点的几率 都相同(不依赖于x)。即粒子的位置是完全 不确定，即 Δx＝∞ 。
P1 1 2
P2 2 2
P12 1 2 2 1 2 2 2 (12* 1*2 )
P1 P2 2 P1P cos
1 2
1,2 称为波函数（描述粒子波动性的函数 称为波函数），也就是说，接收器上某位置电子 数的多少，将由波函数的模的平方 2 来表征。
空间若有两个波，强度则应由波函数 1 2 的模的平方来描述。
2. 粒子是由波函数 (x,t) 来描述，但波函数并不能 告诉你，t0 时刻测量时，粒子在什么位置。粒子位 置可能在x1，可能在 x2, ，而在 x1 x1 dx 中发现 粒子的几率为 (x1,t0) 2 dx 。
也就是说， (x,t0) 2 在某 x 处越大，则在 时刻
测量发现粒子在该处的机会越多。（这表明，我
但是，这种描述是什么意思呢？它没有回答， 电子是一个个出现的问题；也没有回答，空间 电子稀疏时，但时间足够长后，干涉花纹照样 出现。
几率诠释—几率波
Max Born真正将量子粒子的微粒性和波 动性统一起来。
如电子用一波函数 (x)来描述，则
1. 从上面分析可以看到，在 x x dx 范围内， 接收到电子多少是与 P(x)dx (x) 2 d的x 大小有关；
们讲的是能预言到什么，但我们不能说出测量的
结果）。
我们如何来理解这一点呢？因如果对一个体 系去测量发现粒子可能就处于x1 ，只测得一个值。
1932年海森堡获得诺贝尔 物理学奖。
举例
1. 设一维粒子具有确定的动量p0，即动量的 不确定度Δp＝0. 相应的波函数为平面波
p0 (x) eip0 x/
2
所以 p0 (x) 1 ，即粒子在空间各点的几率 都相同(不依赖于x)。即粒子的位置是完全 不确定，即 Δx＝∞ 。
P1 1 2
P2 2 2
P12 1 2 2 1 2 2 2 (12* 1*2 )
P1 P2 2 P1P cos
1 2
1,2 称为波函数（描述粒子波动性的函数 称为波函数），也就是说，接收器上某位置电子 数的多少，将由波函数的模的平方 2 来表征。
空间若有两个波，强度则应由波函数 1 2 的模的平方来描述。
2. 粒子是由波函数 (x,t) 来描述，但波函数并不能 告诉你，t0 时刻测量时，粒子在什么位置。粒子位 置可能在x1，可能在 x2, ，而在 x1 x1 dx 中发现 粒子的几率为 (x1,t0) 2 dx 。
也就是说， (x,t0) 2 在某 x 处越大，则在 时刻
测量发现粒子在该处的机会越多。（这表明，我
但是，这种描述是什么意思呢？它没有回答， 电子是一个个出现的问题；也没有回答，空间 电子稀疏时，但时间足够长后，干涉花纹照样 出现。
几率诠释—几率波
Max Born真正将量子粒子的微粒性和波 动性统一起来。
如电子用一波函数 (x)来描述，则
1. 从上面分析可以看到，在 x x dx 范围内， 接收到电子多少是与 P(x)dx (x) 2 d的x 大小有关；
们讲的是能预言到什么，但我们不能说出测量的
结果）。
我们如何来理解这一点呢？因如果对一个体 系去测量发现粒子可能就处于x1 ，只测得一个值。
22.6波函数及其统计解释
双缝 齐开时的声波为 ( A1 + A2 )e 声强为
iω t
I 12 = A1 + A2 = A1 + A2 + A A2 + A1 A
* 1
2
2
2
* 2
= I 1 + I 2 +干涉项 干涉项
再看物质波： 再看物质波： 电子的相干性 注意差别之处
干涉项
15
电子的状态用波函数Ψ 描述 •只开上缝时 电子有一定的概率通过上缝 只开上缝时 其状态用Ψ1 描述 •只开下缝时 电子有一定的概率通过下缝 只开下缝时 其状态用Ψ2描述
16
•双缝齐开时 双缝齐开时 电子可通过上 通过下 电子可通过上缝 也可通过下缝 通过上 各有一定的 一定的概率 通过上 下缝各有一定的概率 总概率幅
Ψ 12 = Ψ 1 + Ψ 2
2 2
∗ 1
总概率密度 P =| Ψ 12 | =| Ψ 1 + Ψ 2 | 12
2 2
= Ψ1 + Ψ 2 + Ψ1 +Ψ 2Ψ Ψ
少女？ 少女？ 老妇？ 老妇？
两种图像不会 同时出现在你 的视觉中。 的视觉中。
8
二、波函数和概率波
1. 波函数
经典波（平面单色波） 经典波（平面单色波）
ψ = ψ o cos 2π (νt − ) λ
x
v 物质波波函数写成 Ψ (r,t)
2.玻恩（M.Born）假设 玻恩（ 玻恩 ） 物质波不 物质波不代表实在物理量的波动 而是刻划粒子在空间概率分布的概率波 玻恩获得1954年诺贝尔物理学奖 年诺贝尔物理学奖 玻恩获得
22
三、自由粒子的波函数
所谓自由 即粒子不受任何形式力的作用
【实用】波函数及其统计解释PPT文档
概率波与经典波
德布罗意波（概率波）不同于 经典波（如机械波、电磁波）
经典波
德布罗意波
是振动状态的传播 不代表任何物理量的传播 能流密度分布取决于空间各点的波强的绝对值。
波函数是描述具有波粒二象性的微观客体的量子状态的函数，知道了某微观客体的波函数后，原则上可得到该微观客体的全部知识。
量子力学是描述微观粒子运动规律
取实部 一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程 沿 X方向匀 概率密度分布取决于空间各点波强的比例，并非取决于波强的绝对值。 的自由粒子的波函数为 因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大 C倍，不影响粒子的概率密度分布，即 和C 所描述德布罗意波的状态相同。 速直线运动 应用德布罗意公式 能流密度分布取决于空间各点的波强的绝对值。
量子力学初步
你身边的高考专家
波函数及其统计解释
引言
量子力学是描述微观粒子运动规律 的学科。它是现代物理学的理论支柱 之一，被广泛地应用于化学、生物学、 电子学及高新技术等许多领域。
本章主要介绍量子力学的基本概念及 原理，并通过几个具体事例的讨论来说 明量子力学处理问题的一般方法。
波函数
波函数是描述具有波粒二象性的微观客体的量子状态的函数，知道 了某微观客体的波函数后，原则上可得到该微观客体的全部知识。
和C 所描述德布罗意波的状态相同。
波德函布数 罗又意称波又概称率各概幅率点波的振幅同时增大 C倍， 故在 矢端的体积则元个处的能内流密度增大 C 它是现代物理学的倍理，论支变柱 为另一种能流密度
因此，将波函数在空间各点的 振幅同时增大 C倍，不影响粒子 的概率密度分布，即 和C 所
分布状态。
描述德布罗意波的状态相同。
符合
不符合
2.1波函数的统计解释详解
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
2.1 波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation
2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
★ 描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
P (r , t ) Ae
反例:i)自由粒子平 面波,占据整个空间 ii)色散 群速度: 相速度: apter 2 The wave function and Schrödinger Equation
The linear harmonic oscillator
2.8 势垒贯穿
The transmission of potential barrier
2
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
§2-1 波函数的统计解释
重点: 微粒的状态由波函数完全描写 难点: 波函数的意义和性质的理解
波粒二象性的正确解释
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
1）疏密波的观点（波由粒子组成） 如水波，声波，由物质的分子密度疏密变化而形 成的一种分布。 这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单 个电子衍射实验。 电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长， 底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性 并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象， 单个电子就具有波动性。
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x)
0
0a
k12
2mE 2
k22
2m(U0 2
E)
k12
2mE 2
三个区域的波函数分别为
Ⅰ区 Ψ1(x) A1eik1x B1eik1x
U0 ⅠⅡ Ⅲ
Ⅱ区 Ψ2 (x) A2eik2x B2eik2x E
Ⅲ区 Ψ3(x) A3eik1x B3eik1x
B3 = 0
波函数在 x = 0 ，x = a 处连续
波函数的物理意义：
|Ψ(r,t) |2 —— t 时刻，粒子在空间 r 处
的单位体积中出现的概率，又称为概率密度
1. 时刻 t , 粒子在空间 r 处 dV 体积内出现的概率
dW
|
Ψ(r ,
t
)
|2
dV
Ψ(r ,
t
)Ψ*
(r ,
t
)dV
2. 归一化条件 (粒子在整个空间出现的概率为1)
|Ψ(r,t) |2dxdydz 1
0a
x = 0 处：
Ψ1(0) Ψ2(0)
dΨ1 dΨ2 dx x0 dx x0
x = a 处：
Ψ2 (a) Ψ3(a)
dΨ2 dΨ3 dx xa dx xa
得到4个方程，求出常数 A1 、B1 、 A2 、B2 和 A3 间关系，从
而得到反射系数 R | B1 |2 / | A1 |2和透射系数 T | A3 |2 / | A1 |2
t
定态薛定谔方程
粒子能量
描
述
2 x2
2 y2
2 z 2
Ψ(r)
2m 2
E
V
Ψ(r)
0
外 力 场
说明
的
势
(1)求解
E （粒子能量）
能
( r ) （定态波函数）
函
数
(2)势能函数 V 不随时间变化。
一维定态薛定谔方程（粒子在一维空间运动)
d
2Ψ( x) dx2
2m 2
E
V
Ψ
x
0
三. 一维无限深势阱中的粒子
(2)E < U0 , T≠0, 虽然粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍 可能穿过势垒进入 III 区 — 隧道效应
(3) 透射系数T 随势垒宽度a、粒子质量m 和能量差变化， 随着势垒的加宽、加高透射系数减小。
粒子类型 粒子能量 势垒高度 势垒宽度 透射系数
1eV
2eV 5×10-10m 0.024
电子
1eV
2eV 2×10-10m 0.51
质子
1eV
2eV 2×10-10m 3×10-38
五.一维谐振子
1.势能函数
U
(x)
1 2
kx2
1 2
m
2
x
2
m — 振子质量， — 固有频率，x — 位移
2.定态薛定谔方程
'
'
(
x)
2m 2
(
E
1 2
m
2
x2
)
(
x)
0
3.能量量子化
En (n 12)h
2m 2
(
E
e2
4 0r
)
0
1. 能量量子化
能量
En
1 n2
(8m02eh42 )
E1 n2
主量子数 n度ψnlm2（r,θ,）
r1 0.529 1010 m r2 4r1 r3 9r1
En
n2
h2 8ma2
n 2 E1
能量是量子化的
量子数为 n 的定态波函数为
Ψn x
An sin
nπ a
x
由归一化条件
|Ψn (x)
|2dx
1
可得 An a / 2
E3 32 E1
E2 22 E1
E1
x 0 概波率函分数布 a
波函数
Ψn (x)
2 sin nπ x aa
四.隧道效应（势垒贯穿）
说明
(n 0,1, 2, )
普朗克量子化假设 量子力学结果
En=nhv En=(n+1/2)hv
E0= 0 E0= hv/2
零点能
六.氢原子
(x22
2 y 2
2 z 2
)Ψ
2m 2
E
V
Ψ
0
V e2
4 0r
球坐标的定态薛定谔方程
1 r2
r
(r
2
r
)
r2
1
sin
(sin
)
1 2 r2 sin 2 2
§16.6 波函数 一维定态薛定谔方程
一. 波函数及其统计解释
微观粒子 具有波动性
1925年薛定谔
用物质波波函数描述 微观粒子状态
例如 自由粒子沿 x 轴正方向运动，由于其能量、动量为常量，
所以 v 、 不随时间变化，其物质波是单色平面波，波
函数为
Ψ( x, t )
i2π ( t x )
Ψ0e
Ψ0ei (Et px)
质量 m 的粒子在外力场中运动，势能函数 V ( r , t ) ，薛定
谔方程为
2 2m
2 x2
2 y2
z 2
V
(r,t)
(r,t)
i
(r,t)
t
粒子在稳定力场中运动，势能函数 V ( r ) 、能量 E 不随时
间变化，粒子处于定态，定态波函数写为
由上两式得
Ψ(r,
t
)
i Ψ(r )e
E
3. 波函数必须单值、有限、连续
概率密度在任一处都是唯一、有限的, 并在整个空间内连续
4. 单个粒子在哪一处出现是偶然事件；
大量粒子的分布有确定的统计规律。
出现概率小
电子数 N=71320000
电 子 双 缝 干 涉 图 样
出现概率大
二. 薛定谔方程 (1926年)
描述微观粒子在外力场中运动的微分方程 。
Ψx Asinkx Bcos kx
V(r)
(x)
Ψ(x) 0
Ψ(x) 0
波函数在 x = 0 处连续，有
Ψ0 Asin k 0 Bcos k 0 0
B0
因此 Ψx Asin kx
在 x = a 处连续，有
0
a
x
Ψa Asin ka 0
所以
k nπ
a
其中
k2
2mE 2
粒子能量
V(x)
势能函数
Ψ(x) 0
V (x) = 0 0 < x < a
V (x) = ∞ 0 < x 或 x > a 0
0 > x 或 x < a 区域
Ψ(x) 0
0 < x < a 区域，定态薛定谔方程为
Ψ(x) 0
a
x
d2Ψx
dx2
2mE 2
Ψ
x
0
令
k2
2mE 2
d
2Ψx
dx2
k
2Ψ
x
0
解为
势垒 Ⅰ区 U ( x ) = 0 x ≤ 0
Ⅱ区 U ( x ) = U0 0≤ x ≤ a
U0 ⅠⅡ Ⅲ
E
Ⅲ区 U ( x ) = 0
x≥a
定态薛定谔方程：
Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ区
d 2Ψ1 ( x) dx2
k12Ψ1 ( x)
0
d2Ψ2 ( dx2
x)
k22Ψ2
(x)
0
d 2Ψ3 ( dx2
x)
k12Ψ3 (
分别为
R
(k12
(k12 k22 )2 sin 2 (k2a) k22 )sin 2 (k2a) 4k12k22
Ⅰ
U0 Ⅱ
Ⅲ
T
(k12
4k12k22 k22 )sin 2 (k2a)
4k12k22
E
T R 1
0a
入射粒子一部分透射到达III 区，另一部分被势垒反射回I 区
讨论
(1)E > U0 , R≠0, 即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并非 全部透射进入 III 区,仍有一定概率被反射回 I 区。