1.1正弦定理(优质课比赛)
正弦定理百校联赛一等奖课件市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
即
abc
sin A sin B sin C
变式:
1 a b ; b c ; c a
sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2sin A : sin B : sin C a : b : c
(3) a b c sin A sin B sin C
abc
k(k 0)
sin A sin B sin C
或a k sin A，b k sin B，c k sin C （k 0）.
定理的应用 （1）已知两角和任一边，
求其它两边和一角
例 1：在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。，
a b, A B,且00 A 1800 A 600 或A 1200
(1)当A 600,C 1800 ( A B) 750
c bsin C 2 6 2 6 2
sin B 2 4
2
2 (2)当A 1200,C 1800 ( A B) 150
(2)已知两边和 其中一边的对 角,求其它边和 角.
5(
sin 30
6
2)
练习：已知两角和任一边，求其它两边和一角.
（1）在△ABC中，已知 A=30°，B=120°，b=12。
解三角形.
C 30 , a c 4 3
例2：在ABC中，a= 3,b 2, B 450,求A,C,c
解：
sin A a sin B b
3 2 2
2
3
2 （三角形中大边对大角）
例4 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且
sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
正弦定理 省一等奖课件
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
思考：
∠C的大小与它的对边AB的长度 之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角 ∠C的大小的增大而增大. A
A C B
C
B
复习引入
如图，固定△ABC的边CB及∠B， 使边AC绕着顶点C转动.
思考：
∠C的大小与它的对边AB的长度 之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角 ∠C的大小的增大而增大. A 能否用一个等式把 这种关系精确地表示出 C 来？ B
湖南省长沙市一中卫星远程学校
湖南省长沙市一中卫星远程学校
青 春 风 采
湖南省长沙市一中卫星远程学校
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩 --何旋 湖南省长沙市一中卫星远程学校
(2) c＝54cm，b＝39cm，C＝115 .
o
o
思考： 在△ABC中，
a b c k ( k 0 ), sin A sin B sin C
这个k与△ABC有什么关系？
课堂小结
1. 定理的表示形式：
a b c sin A sin B sin C abc k ( k 0) sin A sin B sin C
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
正弦定理全国比赛一等奖市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
bb
DC
sin
AC
sin
AC B
a 180o－a
C
D
sin sin(180 ) sin
两式相除得 BD AB DC AC
五、知识小结
一、正弦定理： a
b
c 2R
sin A sin B sin C
其中，R是△ABC的外接圆的半径
补充：三角形面积公式
1
1
1
SABC
bc sin A 2
ac sin B 2
ab
sin A sin B
作BE垂直于AC的延长线于E，则 B
BE c sin A a sin BCE
BCE
C
E C
a
b
cD
A
c sin A a sin( C) a sin C
a
c
a
b
c
sin A sin C
sin A sin B sinC
1、正弦定理：
在一种三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，
即: a
b
c
sin A sin B sinC
C
a
b
c
B
A
?思考:这个比值会是什么呢?
正弦定理证明办法四：
探究四
作外接圆O,
过B作直径BC/,连AC/,
BAC 90 , C C'
sin C sin C' c
c
c 2R 2R
sin C
A
同理 a 2R, b 2R
sin A sin B
a
b
c 2R
sin A sin B sin C
CD a sin B b sin A
高中数学北师大版必修5第二章《1.1正弦定理》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学北师大版必修5第二章《1.1正弦定理》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1、知识与技能：掌握正弦定理及其证明;能应用正弦定理解决一些简单三角形问题;
2、过程与方法：通过对特殊三角形边角间数量关系的研究,发现定理,学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律,感受猜想---证明的数学研究过程;
3、情感态度与价值观：体会数学知识间的普遍联系与辨证统一;通过自主探究,合作交流,亲身体验数学规律的发现,增强学习信心,激发学习兴趣。
2学情分析
本节授课对象为高二学生,学生们在初中已学过解直角三角形的相关知识,必修4中,又学习了三角函数和平面向量等知识,这是学习正弦定理的认知基础,又是突破定理证明障碍强有力的工具。
学生通过一年多的高中学习,基础知识掌握较好,也已具备一定的观察、分析、解决问题的能力,但对应用向量证明正弦定理有较大困难。
教学中教师要注意恰当引导,让学生直接参与分析问题,解决问题,体会向量知识的应用价值。
3重点难点
教学重点:正弦定理的发现、证明及简单应用。
教学难点:应用平面向量证明正弦定理
4教学过程
4.1新课讲授
教学活动
1【讲授】正弦定理证明及应用
1、情境1:张老师给学生布置了一项作业:在一条河流两岸各有一根电线杆,不过河如何得知电线杆间的距离?有一位学生给出如下方案:在河南岸另定一个点C,只要测一下B、C两点的距离和角B、角C的大小便可计算出电线杆A、B间的距离。
你知道如何计算吗?
意图:引出概念“解三角形”,激发学生学习欲望。
正弦定理(优质课比赛)
《正弦定理》第一课时尊敬的各位专家、评委、老师们：大家好！我是第号参赛选手，我今天说课的课题是：正弦定理（选自人教A版新课程标准实验教材必修5第一章第一节第一课时）这里我将从教学背景分析、教法学法分析两大块先谈谈我对本节课的教学认识，再以“教什么，怎么教，为什么这样教”的思路，来说明我的教学过程与设计，最后是教学评价。
首先是教学背景分析我分三小点来说明：一、教学背景分析1、教材分析随着解三角形在实际测量和物理中的广泛应用，正弦定理作为解三角形最有力的工具之一，有着很高的学习价值，从知识上讲它又是函数知识与平面三角形知识的的交汇，是任意三角形边角关系准确量化的表示，通过本节课对定理的探索，无论在知识上，还是思想方法上对后续的学习都有重要的意义，因此我认为，本节课的重点是定理的发现与证明，及定理的简单运用。
2、学情分析正弦定理是在学生已经学习三角形知识，解直角三角形、向量知识，三角函数等知识后对任意三角形边角关系的探索，学生有了一定的知识基础，但学生对知识的构建、论证能力还不强，探究过程中在思维上难免会受限，另外学生的合作交流意识、知识的运用能力还有待加强。
因此我认为本节课的难点是定理的发现、证明及已知两边和一边对角时的解三角形。
根据上述教材、学情的分析，我制定如下教学目标：3、教学目标（1）知识与技能引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；简单运用正弦定理解三角形。
(2)过程与方法通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的证明和运用，培养学生独立解决问题的能力、体会分类讨论和数形结合的思想方法.（3）情感态度价值观通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探索精神和创新意识，体会数学的应用价值。
为了使学生能够达到本节课设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析。
（首先是教法分析）二、教法学法分析1、教法分析根据教材的内容和编排的特点，本讲我将以“教师为主导，以学生为主体”，'采用“师生互动"为基础的“启发——探究式课堂教学模式”，用层层深入的话题将学生引入对定理的发现证明运用过程中，使教师始终站在学生思维和兴趣的最近发展区上，有效的组织教学。
正弦定理说课比赛获奖课件公开课一等奖课件省赛课获奖课件
练习1：在 △ABC中，已知下列条件，解 三角形。 （ 1） A 45，C 30 ，c 10cm， （ 2） a 20，b 11，B 30
【合作与探究】：人站在岸边樟树B处与对岸发电 厂A处的距离|AB|是多少？能求出吗？如何求？ （备用工具：测角仪和皮尺）
B处 C处
A处
在B处附近选点C，并用 测角仪测出B、C的大小， 用皮尺量出BC距离为a A 180o (B C灵山) 江 | AB | a si？
②该定理使用时最少需要懂得什么 样的条件？
作业1.课本第10页习题1.1A组1、2题。
作业2. 在△ABC中， a b c k(k 0)
sin A sin B sin C
这个k与三角形ABC的外接圆半径R 有什么关系？
名塔-龙洲塔
第一章 解三角形 任意三角形中 边角关系的知识
正弦定理 1.1.1 正弦定理 名水-灵山江 横不山上中塔学顶黄而建知金塔高， 但是河而知河宽？ 名山-六春湖
共同研究：用几何画板研究 三角形中的边角关系
探究：尚有其它办法证明正弦 定理吗？
例1．在 △ABC中,已知 A 32.0 , B 81.8， a 42.9 cm，解三角形。 例2．在 △ABC中，已知 a 20cm， b 28cm， A 40，解三角形。
1.1正弦定理说课(优质课)
情感态度与价值观:面向全体学生，创造 平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的 交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极 性，激发学生学习的兴趣。
方法与策略：如在证明正弦定理在非直角 三角形中也成立让学生分组进行讨论，互相交 流。
难点Βιβλιοθήκη 已知两边及其中一边的 对角解三角形有三种情形。
突破难点的办法：设置例2与两个练习题， 从问题中总结。
1．激发学生思维，从自身熟悉的特例（直角三角 形）入手进行研究，发现正弦定理。
2．那结论对任意三角形都适用吗？用几何画板演 示对一般三角形进行验证。得出猜想：在三角形中， 角与所对的边满足关系
a b c sin A sin B sin C
1．强调将猜想转化为定理，需要严格的理论 证明。 2．鼓励学生通过作高转化为熟悉的直角三角 形进行证明。 3．用投影仪展示学生的证明过程，并让学生 讲讲自己的思路过程。 4. 预留课后思考题：还有其他的什么方法可 以证明正弦定理？ 这就突破了这节课的难点.
过程与方法：引导学生通过观察，推导， 比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学 生的创新意识和观察与逻辑思维能力，将几何 问题转化为代数问题。 方法与策略：从自身熟悉的特例（直角 三角形）入手进行研究，发现正弦定理；并 用几何画板验证在任意三角形中都成立。给 学生进行分组证明正弦定理。
难点
正弦定理的探索及证明
例2. 在△ABC中,已知a=16cm,b=16 解三角形.
3
cm,A=30°,
练习：已知下列条件,解三角形. (1)在△ABC中,A=45°,a=2,b= 2 ,求B.
10 3 (2)在△ABC中,A=60°,a=4,b= ,求B. 3
第一：创设情景，大约用2分钟 第二：实践探究，形成概念，大约用18分钟 第三：应用概念，拓展反思，大约用25分钟
正弦定理赛课获奖课件市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
a=42.9cm，解三角形.
（一）思路：
B
（二）点评：
c
b
（三）规范答题：
A
a
C
解：∵A+B+C=1800 ∴C=1800-（A+B）
=1800-（32.00+81.80）=66.20
根据正弦定理，
b
a sin B sin A
42.9 sin 81.80 sin 32.00
80.1(cm)
（二）内角和：A+B+C=
（三） Rt△ABC中最基本三角函数：
a sin A b sin B
c
c
B
c a
C
b
A
二、提出问题：
三角形中的边与角的关系能够通过哪些式子 精确量化的表达？
探究一：在Rt△ABC中，结合三角函数，探究
边角关系？
A
a sin A b sin B
c
c
a b c
确到1cin A 20
3 sin 600 3
1
a
20
2
∵00<B<1800
∴B=300或B=1500
(对的解法)解：根据正弦定理，
sin B b sin A 20
3 sin 600 3
1
a
20
2
∵00<B<1800且a>b
∴B=300
……
问题：已知任意两角和一边，能否 求其它边和角?
C b
DA
普通性结论：把三角形的三个角A，B，C和三 条边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的 几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。
知识回想：应用正弦定理解 三角形需要几个元素？什么
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首先是教学背景分析我分三小点来说明：一、教学背景分析1、教材分析随着解三角形在实际测量和物理中的广泛使用，正弦定理作为解三角形最有力的工具之一，有着很高的学习价值，从知识上讲它又是函数知识和平面三角形知识的的交汇，是任意三角形边角关系准确量化的表示，通过本节课对定理的探索，无论在知识上，还是思想方法上对后续的学习都有重要的意义，因此我认为，本节课的重点是定理的发现和证明，及定理的简单运用。
2、学情分析正弦定理是在学生已经学习三角形知识，解直角三角形、向量知识，三角函数等知识后对任意三角形边角关系的探索，学生有了一定的知识基础，但学生对知识的构建、论证能力还不强，探究过程中在思维上难免会受限，另外学生的合作交流意识、知识的运用能力还有待加强。
因此我认为本节课的难点是定理的发现、证明及已知两边和一边对角时的解三角形。
根据上述教材、学情的分析，我制定如下教学目标：3、教学目标（1）知识和技能引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；简单运用正弦定理解三角形。
(2)过程和方法通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法和能力；通过对定理的证明和运用，培养学生独立解决问题的能力、体会分类讨论和数形结合的思想方法.（3）情感态度价值观通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探索精神和创新意识，体会数学的使用价值。
为了使学生能够达到本节课设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析。
（首先是教法分析）二、教法学法分析1、教法分析根据教材的内容和编排的特点，本讲我将以“教师为主导，以学生为主体”，'采用“师生互动"为基础的“启发——探究式课堂教学模式”，用层层深入的话题将学生引入对定理的发现证明运用过程中，使教师始终站在学生思维和兴趣的最近发展区上，有效的组织教学。
突破重点的手段：抓住学生情感的兴奋点，激发他们的探究兴趣；另外，抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师给以适当的提示和指导。
突破难点的方法：抓住学生的能力线，联系方法和技能使学生通过合作学习较易证明正弦定理，另外通过例题和练习来突破难点。
2、学法分析指导学生掌握“观察——猜想——实验——证明——运用”这一思维方法，采取个人思考、集体合作等解难释疑的尝试活动，将自己所学知识使用于对任意三角形边角关系的探究中。
让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
我的整个教学是由八个话题组成的话题链来驱动的，共分六个环节，分别是：创设情境，兴趣导入积极诱导，生成猜想师生互动 论证猜想定理解读，突出重点强化理解，简单使用课堂小结，深化认识下面我来的说明我的教学过程三．教学过程和设计（一）创设情境，兴趣导入话题一. 我们坐着羊皮筏子，看着潺潺流水，你知道家乡的河有多宽？羊皮筏从河这岸A 点漂到对岸的B 点有多远吗？你会测量吗?【设计意图】 “一个好的开头，就是成功的一半！”，如果一节课导入设计的精彩，那就意味着整节课也不会差。
把我们的学习任务用探讨漂距作为导入，这种来自学生身边的测量本身就是学生最感兴趣的。
而“兴趣又是最好的老师”话题二 老师用一个尺子和测角仪就能解决，你信吗？【设计意图】 老师极速的把问题简单化，又一次激发了学生的求知欲，及理性的思考，并通过引导就构造出来三角形的模型，并且发现有些问题在直角三角形中直接解决不了的，进而顺利的进入本章探索的主题——任意三角形边角关系。
且让学生感觉到数学来源于生活， 同时无意中也培养了学生的建模意识。
激发了探究的兴趣。
:此时顺势告诉学生本章章题：《解三角形》——已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程。
话题三 解三角形，需要用到许多三角形的知识，你对任意三角形的边和角的知识知道多少？能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角关系？学情预设:“大角对大边，大边对大角”即a ＞b ＞c ←→ A ＞B ＞C ，老师强调这属于定性的研究【设计意图】 从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。
（二）积极诱导，生成猜想话题四 从定量的角度考察三角形中边和对角的关系，猜想可能存在哪些关系？学情预设：此处，学生可能出现以下答案情形。
如：b c ==, sinA sinB sinC a b c ==tanA tanB tanC a b c ==,cosA cosB cosC a b c ==,A B C a······等等。
【设计意图】猜想也是一种数学能力，培养学生的发散思维。
话题五 我们已经学习了锐角三角函数，不妨在直角三角形中看看？教师点提，学生通过联系旧知很快写出在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,090=∠C ， 根据锐角的正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，sin 1c C c ==, 则sin sin sin a b c c A B C === ，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcA B C ==。
话题六 这一关系式在任意三角形中是否成立呢？【设计意图】 启发学生猜想。
奥苏伯尔认为，意义学习就是将符号所代表的新知识和学习者认知结构中已有的适当观念建立起非人为的和实质的联系。
在此环节上，我突破难点的方法是利用已学知识引导学生从熟悉的求直角三角形各角的正弦入手，鼓励、引导学生积极主动地思考，创造意义学习的条件。
这个特例作为切入点，从特殊到一般的思维方式。
也符合学生合的认知规律 可培养学生合情猜想 。
话题七 算算看，下列三角形的边和对角的正弦比相等吗？︒60︒30︒90︒45︒45︒90︒60︒60︒60c c a b B AA B C这儿我给了几个特殊的三角形，先让学生动手计算结果，然后教师用“几何画板”演示【设计意图】 简单的验证能引发全员的参和，并且通过验证猜想增强了信心，不断地使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性，另外，媒体的演示，直观的视觉思维增添了学习兴趣，增强了论证的信心（三）师生互动，论证猜想话题八 你会证明吗?证明是本节课又一个重点,教师可根据学生的实际情况，做适当的提示，如：直角三角形 已证锐角三角形 成立？钝角三角形 成立？如何证明？（1）可不可以采取转化的方法?给学生足够的时间，就锐角、钝角三角形先后，自主探究，合作交流，有进展的同学在投影仪上展示成果，并说明关键，给不会的同学给以启示，将课堂气氛推向高潮。
然后，指导学生写出在锐角三角形中严格的推理证明过程（在钝角三角形中的证明过程学生自主完成，交流订正），养成严谨治学的数学品质。
（2）你还想到别的证明方法了吗？教师提示：“前面我们学习了平面向量，能否运用向量的方法证明呢？”（当然有的小组还可能得到其他证明方法，我认为在本堂上不做更深的探究，可根据学生发言的情况做适当提示留做课后探究）（四）定理解读，突出重点通过上面的证明，告诉学生这就是正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即让学生口述定理内容，教师提示，学生总结 1.对称美 2.三个等式 3.两边对角知三求一 【设计意图】 享受成果，对正弦定理有一个属于自己的直观的认识（五）强化理解、简单使用1、小试牛刀（1）、.你会解决羊皮筏的飘距问题吗？（回应导入，尝试使用，了解解法即可）（2）、(教材例题1)⊿ABC 中，已知A=30º，B=75º，a=40cm ，解三角形(比较简单，由学生自己完成，属于两角一边，一解问题)（3）、（教材例题2）在⊿ABC 中a=20cm ，b=28cm,A=30º，解三角形。
（也由学生完成，属两边和其中一边对角，多解问题，是本节课的又一个难点，老师适时提醒即可）2.强化练习让全体同学限时完成教材4页练习第一题，找两位同学上黑板。
【设计意图】 有效的数学学习过程，不能单纯的模仿和记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此。
让学生在解题过程中亲身经历和实践体验。
（ 六）、课堂小结，深化认识1、课堂小结: 请同学们谈谈学习本课的收获和感受学情预设：生1：原来我只会解直角三角形，现在我会解一般三角形了。
师：通过本课学习，你发现自己更强大了。
生2：原来我以为正弦定理的证明，只有书上一种方法，今天我们还可用别的方法证明。
师：我们学习过两个重要数学工具，即三角函数和平面向量，正弦定理的证明 充分展示了它们的妙用。
生3：公式很美。
师：美在哪里？生3：体现了公式的对称美，和谐美······教师总结：在同学们的热烈讨论的基础上，用课件展示小结：1、在正弦定理的发现及其证明中，蕴涵了丰富的思想方法，既有由特殊到一般sin sin a b A B =sin sin b c B C =sin sin a c A C =b c ==, sinA sinB sinC a的归纳思想，又有严格的演绎推理。
在定理证明中我们从直观几何角度、向量运算角度探求了数学工具的多样性。
2、正弦定理反映了边和其对角正弦成正比的规律,据此，可以用角的正弦替代对边，具有美学价值3、利用正弦定理解决三类三角形问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角。
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。
（3）实现边和角的正弦的互化。
【设计意图】通常，课堂小结均由老师和盘托出，学生接受现成的结论。
本设计充分发挥学生思维参和的主动性和创造性，师生合作，让课堂小结成为点睛之笔。
2、布置作业（1）、必做题:课本P10习题1.1 1、2（2 ）选作题：用向量法证明定理。
（3）、研究类作业在△ABC中，kCcBbAa===sinsinsin，研究k的几何意义【设计意图】作业分为必做题、选做题和研究类作业，必做题对本节课学生知识水平的反馈，选做题是对本节课内容的补充，不同学生不同梯度的题，既尊重学生的个性差异，又有利于因材施教的教学原则的贯彻，课后研究作业，给学生探索空间指一方向，利于学生的发展。