系统建模理论与自适应控制

《系统建模理论与自适应控制》试卷

一、已知三阶线性离散系统的输入、输出数据，共有40个采样值，分别用最小二乘法（LS ）的一次完成算法和递推算法、广义最小二乘法（GLS ）进行参数估计，并阐述各种算法的辨识原理，给出各种算法的程序流程图及程序注释。

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 u (k ) 0.8251 0.0988 0.4628 -0.9168 2.2325 0.0777 2.3654 0.3476 1.1473 -1.9035 y (k ) 1.5333 -1.0680 1.0666 -0.5284 -0.5835 3.1471 -3.7185 6.2149 -6.3026 7.2705

k 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 u (k ) -0.9229 1.6400 -0.8410 0.7599 -0.4739 -0.1784 -1.7760 -1.6722 1.2959 -0.0591 y (k ) -9.0552 8.1735 -5.9004 3.9870 -2.2486 0.9525 -0.5325 -1.5227 0.4200 1.0786

k 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 u (k ) -1.0576 -1.0071 1.1342 -0.0740 0.6759 0.5221 0.9954 0.5271 -1.7656 0.4936 y (k ) -1.5579 0.6640 -1.4222 2.6444 -2.9572 3.6340 -3.1281 3.8334 -3.2542 1.1568

k 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 u (k ) 1.4810 0.9591 -3.1293 -0.3604 -0.4251 0.4185 -0.6728 -0.0027 2.1145 1.1157 y (k ) 0.0615 0.9120 -0.0692 -3.2731 3.7486 -4.3194 4.7230 -5.2781 5.1507 -2.7235

一、最小二乘法（LS ） 1、数学模型

设时不变SISO 动态过程的数学模型为

)()()()()(11k n k u z B k z z A +=-- （1.1.1）

其中，)(k u 为过程的输入量，)(k z 为过程的输出量，)(k n 是噪声，多项式)(1-z A 和

)(1-z B 为：

⎪⎩

⎪⎨⎧+++=++++=--------nb

n n n z b z b z b z B z a z a z a z A b a

a 221112

2111)(1)( 在本题中，a n =b n =3.即

⎩⎨⎧++=+++=--------3

3221113

322111)(1)(z b z b z b z B z a z a z a z A 将此模型写成最小二乘格式

)()()(k n k k z +=θh τ （1.1.2） 其中，

是过程的输出量；)(k τh 是可观测的数据向量；

是均值为零的随机

噪声。

式中⎩⎨⎧=---------=τ

τ

],,,,,[)]3(),2(),1(),3(),2(),1([)(321321b b b a a a k u k u k u k z k z k z k θh 对于L k ,2,1=，方程式（1.1.2）构成一个线性方程组，可以把它写成

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪

⎪

⎨⎧⎥

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡===)3()2()1()3()2()1(0)0()1(0)0()1(00)0(00)0()()2()1()](,),2(),1([)](,),2(),1([l u l u l u l z l z l z u u z z u z l l n n n n l z z z z l l l τττττ

h h h h （1.1.3） 利用数据序列

({k z 和)}({k h ，极小化准则函数

∑=-=L

k k k z J 1

2])()([)(θh θτ （1.1.4）

使min )(=θJ 的θ估计值记作θ

ˆ，称为参数θ的最小二乘估计值。通过极小化

（1.1.4）式来计算θ

ˆ的方法称作最小二乘法， 未知模型参数θ

最可能的值是在实际观测值与计算值之累次误差的平方和达到最小处所得到的，这种模型输出能最好地接近实际过程的输出。

2、辨识原理

考虑模型（1.1.2）式的辨识问题，其中(k z 和)(k h 都是可观测的数据，θ

是待估计参数，准则函数取（1.1.4）根据（1.1.3）的定义，准则函数)(θJ 可写成二次型的形式

)()()(θH z H z θl l l l J --=τθ （1.2.1） 显然上式中的θH l 代表模型的输出，或者说是过程的输出预报值。因此)(θJ 可以看作来衡量模型输出与实际过程输出的接近情况。极小化)(θJ ，求得参数θ

的估计值

l l l l z ττH H H θ1)(ˆ-= （1.2.2） 将使模型的输出最好的预报过程的输出。 3、程序流程图

图1 一次完成算法流程图

4、程序及辨识结果

程序： clc clear

% 给定系统输入输出数据

u=[ 0.8251 0.0988 0.4628 -0.9168 2.2325 0.0777 2.3654 0.3476 1.1473 -1.9035 ...

-0.9229 1.6400 -0.8410 0.7599 -0.4739 -0.1784 -1.7760 -1.6722 1.2959 -0.0591 ...

-1.0576 -1.0071 1.1342 -0.0740 0.6759 0.5221 0.9954 0.5271 -1.7656 0.4936 ...

1.4810 0.9591 -3.1293 -0.3604 -0.4251 0.4185 -0.6728 -0.0027

2.1145 1.1157 ];

开始

为输入信号赋初值

定义输出观测值的长度和系统的输出值

给样本矩阵L H 和L z 赋值

计算参数∧

θ

从∧

θ中分离并显示出被辨识参数123123,,,,,a a a b b b

结束