数学九年级上册 二次函数单元培优测试卷
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数学九年级上册二次函数单元培优测试卷
一、初三数学二次函数易错题压轴题(难)
1.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A,B两点,其中A(3,0),B(﹣1,0),与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,直线y=kx+b1经过点A,C,连接CD.(1)求抛物线和直线AC的解析式:
(2)若抛物线上存在一点P,使△ACP的面积是△ACD面积的2倍,求点P的坐标;(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1,且A1好落在抛物线上?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)2
y x2x3
=-++;3
y x
=-+;(2)(﹣1,0)或(4,﹣5);(3)存在;(1,2)和(1,﹣3)
【解析】
【分析】
(1)将点A,B坐标代入抛物线解析式中,求出b,c得出抛物线的解析式,进而求出点C 的坐标,再将点A,C坐标代入直线AC的解析式中,即可得出结论;
(2)利用抛物线的对称性得出BD=AD,进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等,即可得出结论;
(3)分点Q在x轴上方和在x轴下方,构造全等三角形即可得出结论.
【详解】
解:(1)把A(3,0),B(﹣1,0)代入y=﹣x2+bc+c中,得
930
10
b c
b c
-++=
⎧
⎨
--+=
⎩
,
∴
2
3
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3,
当x=0时,y=3,
∴点C的坐标是(0,3),
把A(3,0)和C(0,3)代入y=kx+b1中,得1
1
30
3
k b
b
+=
⎧
⎨
=
⎩
,
∴
1
1
3
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
∴直线AC的解析式为y=﹣x+3;
(2)如图,连接BC,
∵点D是抛物线与x轴的交点,
∴AD=BD,
∴S△ABC=2S△ACD,
∵S△ACP=2S△ACD,
∴S△ACP=S△ABC,此时,点P与点B重合,
即:P(﹣1,0),
过B点作PB∥AC交抛物线于点P,则直线BP的解析式为y=﹣x﹣1①,∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3②,
联立①②解得,
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
或
4
5
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
,
∴P(4,﹣5),
∴即点P的坐标为(﹣1,0)或(4,﹣5);
(3)如图,
①当点Q在x轴上方时,设AC与对称轴交点为Q',由(1)知,直线AC的解析式为y=﹣x+3,
当x=1时,y=2,
∴Q'坐标为(1,2),
∵Q'D=AD=BD=2,
∴∠Q'AB=∠Q'BA=45°,
∴∠AQ'B=90°,
∴点Q'为所求,
②当点Q在x轴下方时,设点Q(1,m),
过点A1'作A1'E⊥DQ于E,
∴∠A1'EQ=∠QDA=90°,
∴∠DAQ+∠AQD=90°,
由旋转知,AQ=A1'Q,∠AQA1'=90°,
∴∠AQD+∠A1'QE=90°,
∴∠DAQ=∠A1'QE,
∴△ADQ≌△QEA1'(AAS),
∴AD =QE =2,DQ =A 1'E =﹣m ,
∴点A 1'的坐标为(﹣m +1,m ﹣2),
代入y =﹣x 2+2x +3中,
解得,m =﹣3或m =2(舍),
∴Q 的坐标为(1,﹣3),
∴点Q 的坐标为(1,2)和(1,﹣3).
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合题,涉及解析式的求解,与三角形面积有关的问题,三角形“k ”字型全等,解题的关键是利用数形结合的思想,设点坐标并结合几何图形的性质列式求解.
2.如图1,抛物线2:C y x =经过变换可得到抛物线()1111:C y a x x b =-,1C 与x 轴的正
半轴交于点1A ,且其对称轴分别交抛物线C 、1C 于点1B 、1D ,此时四边形111D OB A 恰为正方形;按上述类似方法,如图2,抛物线()1111:C y a x x b =-经过变换可得到抛物线()2222:C y a x x b =-,2C 与x 轴的正半轴交于点2A ,且对称轴分别交抛物线1C 、2C 于点2B 、2D ,此时四边形222OB A D 也恰为正方形;按上述类似方法,如图3,可得到抛物线()3333:C y a x x b =-与正方形333OB A D ,请探究以下问题:
(1)填空:1a = ,1b = ;
(2)求出2C 与3C 的解析式;
(3)按上述类似方法,可得到抛物线():n n n n C y a x x b =-与正方形n n n OB A D (1n ≥). ①请用含n 的代数式直接表示出n C 的解析式;
②当x 取任意不为0的实数时,试比较2018y 与2019y 的函数值的大小关系,并说明理由.