2021年长春市中考数学模拟试卷(有答案)(word版)
2020-2021学年最新吉林省长春市中考模拟试卷数学卷及答案
中考模拟试卷数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.−2的绝对值等于()A. −12B. 12C. −2D. 22.研究表明，可燃冰是一种可替代石油的新型清洁能源，在我国某海域已探明的可燃冰储存量达150000000000立方米，其中数字150 000 000 000用科学记数法可表示为()A. 15×1010B. 0.15×1012C. 1.5×1011D. 1.5×10123.如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的左视图是()A.B.C.D.4.不等式组{32−12x≤0x+2>0的解集在数轴上表示正确的是()A.B.C.D.5.方程4x2−2x+14=0根的情况是()A. 有两个相等的实数根B. 只有一个实数根C. 没有实数根D. 有两个不相等的实数根6.如图AB//CD，点E是CD上一点，EF平分∠AED交AB于点F，若∠AEC=42∘，则∠AFE的度数为()A. 42∘B. 65∘C. 69∘D. 71∘7.如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为()A. 65 B. 85 C. √75 D. 2√358.如图，A，B两点在反比例函数y=k1x 的图象上，C，D两点在反比例函数y=k2x的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则k1−k2的值是()A. 6B. 4C. 3D. 2二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.计算：√2×√3=______．10.分解因式：x2y−y=______．11.如图，从边长为(a+3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的另一边长是______．12.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为______尺.13.如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD//BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB=5，则图中阴影部分扇形面积是______．14.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+5的图象与y轴交于点B，以点C为圆心的半圆)，则b的值为______．与抛物线y=−x2+bx+5相交于点A、B.若点C的坐标为(−1,72三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）15.先化简，再求值：(2a−3)(2a+3)−(a+1)(4a−2)，其中a=7．216.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的2，那么乙也共有钱48文.甲、乙两3人原来各有多少钱？四、解答题（本大题共8小题，共66.0分）17.甲、乙两个不透明的口袋中各装有3个小球，它们除所标数字不同外其余均相同.甲口袋中小球分别标有数字1，6，7，乙口袋中小球分别标有数字1，2，4.现从甲口袋中随机摸出1个小球，记下标号；再从乙口袋中随机摸出1个小球，记下标号.用树状图(或列表)的方法，求两次摸出小球的标号之积是偶数的概率．18.第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日～2022年02月20日在我国北京举行，全国人民掀起了雪上运动热潮.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34∘的斜坡，从A滑行至B.若这名滑雪运动员的高度下降了300米，求他沿斜坡滑行了多少米？(结果精确到0.1米)(参考数据：sin34∘=0.56，cos34∘=0.83，tan34∘=0.67)19.为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门).对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图.请结合图中所给信息解答下列问题：(1)本次调查的学生共有______人，在扇形统计图中，m的值是______．(2)分别求出参加调查的学生中选择绘画和书法的人数，并将条形统计图补充完整．(3)该校共有学生2000人，估计该校约有多少人选修乐器课程？20.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD.求证：四边形ADCE是矩形．21.某工厂安排甲、乙两个运输队各从仓库调运物资300吨，两队同时开始工作，甲运输队工作3天后因.甲、乙运故停止，2天后重新开始工作，由于工厂调离了部分工人，甲运输的工作效率降低到原来的12输队调运物资的数量y(吨)与甲工作时间x(天)的函数图象如图所示．(1)a=______；b=______．(2)求甲运输队重新开始工作后，甲运输队调运物资的数量y(吨)与工作时间x(天)的函数关系式；(3)直接写出乙运输队比甲运输队多运50吨物资时x的值．22.感知：如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC两边的中点，延长DE至点F，使EF=DE，连结FC.易知△ADE≌△CFE．探究：如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．应用：如图3，在△ABC中，∠B=60∘，AB=4，BC=6，DE是△ABC的中位线.过点D、E作DF//EG，分别交边BC于点F、G，过点A作MN//BC，分别与FD、GE的延长线交于点M、N，则四边形MFGN 周长C的取值范围是______．23.如图1，在▱ABCD中，AD=6cm，AB=8cm，∠DAB=120∘，射线AE平分∠DAB.动点P以1cm/s的速度沿AD向终点D运动，过点P作PQ⊥AD交AE于点Q，过点P作PM//AE，过点Q作QM//AD，交PM于点M.设点P的运动时间为t(s)，四边形APMQ与四边形ABCD重叠部分面积为S(cm2).(1)PQ=______.(用含t的代数式表示)(2)当点M落在CD上时，求t的值．(3)求S与t之间的函数关系式．(4)如图2，连结AM，交PQ于点G，连结AC、BD交于点H，直接写出t为何值时，GH与三角形ABD的一边平行或共线．24.定义：如图1，在平面直角坐标系中，点M是二次函数C1图象上一点，过点M作l⊥x轴，如果二次函数C2的图象与C1关于l成轴对称，则称C2是C1关于点M的伴随函数.如图2，在平面直角坐标系中，二次函数C1的函数表达式是y=−2x2+2，点M是二次函数C1图象上一点，且点M的横坐标为m，二次函数C2是C1关于点M的伴随函数．(1)若m=1，①求C2的函数表达式．②点P(a,b1)，Q(a+1,b2)在二次函数C2的图象上，若b1≥b2，a的取值范围为______．(2)过点M作MN//x轴，①如果MN=4，线段MN与C2的图象交于点P，且MP：PN=1：3，求m的值．②如图3，二次函数C2的图象在MN上方的部分记为G1，剩余的部分沿MN翻折得到G2，由G1和G2所组成的图象记为G.以A(1,0)、B(3,0)为顶点在x轴上方作正方形ABCD.直接写出正方形ABCD与G有三个公共点时m的取值范围．答案和解析【答案】1. D2. C3. A4. A5. A6. C7. B8. D9. √610. y(x +1)(x −1) 11. a +6 12. 57.513. 25π614. −1215. 解：(2a −3)(2a +3)−(a +1)(4a −2)=4a 2−9−4a 2−2a +2=−2a −7，当a =72时，原式=−2×72−7=−7−7=−14．16. 解：设甲原有x 文钱，乙原有y 文钱，由题意可得，{x +12y =4823x +y =48， 解得：{y =24x=36，答：甲原有36文钱，乙原有24文钱．17. 解：列表得：甲 乙1 6 7 1 1 6 72 2 12 14 442428∴P(两次摸出的小球标号之积是偶数)=79．18. 解：如图在Rt △ABC 中，AC =300米，∠ACB =90∘，∠ABC =34∘，则AB =AC ÷sin34∘=300÷0.56≈535.7m ． 答：他沿斜坡大约滑行了535.7米．19. 50；30%20. 证明：∵AE//BD ，DE//AB∴四边形ABDE 是平行四边形 ∴AB =DE ，AE =BD∵AB =AC ∴DE =AC∵点D 是BC 的中点 ∴BD =CD AD ⊥BC 所以AE =DC ，AE//DC ∴四边形ADCE 是平行四边形 ∵∠ADC =90∘∴平行四边形ADCE 是矩形21. 5；1122. 4√3+6≤C ≤4√7+623. √3t24. a≥32【解析】1. 解：根据绝对值的性质，|−2|=2．故选：D．根据绝对值的性质：一个负数的绝对值是它的相反数解答即可．本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，难度适中．2. 解：150000000000=1.5×1011，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3. 解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：A．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．4. 解：{32−12x≤0①x+2>0②∵解不等式①得：x≥3，解不等式②得：x>−2，∴不等式组的解集为x≥3，在数轴上表示为：，故选：A．先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出解集即可．本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．5. 解：∵△=(−2)2−4×4×14=4−4=0，∴有两个相等的实数根，故选：A．计算出判别式的值即可判断．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．6. 解：∵∠AEC=42∘，∴∠AED=180∘−∠AEC=138∘，∵EF平分∠AED，∴∠DEF=12∠AED=69∘，又∵AB//CD，∴∠AFE=∠DEF=69∘．故选：C．由平角求出∠AED的度数，由角平分线得出∠DEF的度数，再由平行线的性质即可求出∠AFE的度数．本题考查的是平行线的性质以及角平分线的定义.熟练掌握平行线的性质，求出∠DEF的度数是解决问题的关键．7. 解：连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=90∘．∵OC//AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC．∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，∴cos∠BOC=OBOC =25，∴cos∠A=cos∠BOC=25．又∵cos∠A=ADAB，AB=4，∴AD=85．故选：B．首先由切线的性质得出OB⊥BC，根据锐角三角函数的定义求出cos∠BOC的值；连接BD，由直径所对的圆周角是直角，得出∠ADB=90∘，又由平行线的性质知∠A=∠BOC，则cos∠A=cos∠BOC，在直角△ABD中，由余弦的定义求出AD的长．本题综合考查切线、平行线、圆周角的性质，锐角三角函数的定义等知识点的运用.此题是一个综合题，难度中等．8. 解：连接OA、OC、OD、OB，如图：由反比例函数的性质可知S△AOE=S△BOF=12|k1|=12k1，S△COE=S△DOF=1 2|k2|=−12k2，∵S△AOC=S△AOE+S△COE，∴12AC⋅OE=12×2OE=OE=12(k1−k2)…①，∵S△BOD=S△DOF+S△BOF，∴12BD⋅OF=12×(EF−OE)=12×(3−OE)=32−12OE=12(k1−k2)…②，由①②两式解得OE=1，则k1−k2=2．故选：D．由反比例函数的性质可知S△AOE=S△BOF=12k1，S△COE=S△DOF=−12k2，结合S△AOC=S△AOE+S△COE和S△BOD=S△DOF+S△BOF可求得k1−k2的值．本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型．9. 解：√2×√3=√6；故答案为：√6．根据二次根式的乘法法则进行计算即可．此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则√a⋅√b=√ab是本题的关键，是一道基础题．10. 解：x2y−y，=y(x2−1)，=y(x+1)(x−1)，故答案为：y(x+1)(x−1)．观察原式x2y−y，找到公因式y后，提出公因式后发现x2−1符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．11. 解：拼成的长方形的面积=(a+3)2−32，=(a+3+3)(a+3−3)，=a(a +6)，∵拼成的长方形一边长为a ， ∴另一边长是a +6． 故答案为：a +6．根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解． 本题考查了平方差公式的几何背景，表示出剩余部分的面积是解题的关键． 12. 解：如图，依题意有△ABF ∽△ADE ，∴AB ：AD =BF ：DE ， 即5：AD =0.4：5， 解得AD =62.5，∴BD =AD −AB =62.5−5=57.5(尺)． 故答案为57.5．根据题意可知△ABF ∽△ADE ，根据相似三角形的性质可求AD ，进一步得到井深． 本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是得到△ABF ∽△ADE ．13. 解：∵四边形AECD 是平行四边形，∴AE =CD ，∵AB =BE =CD =6， ∴AB =BE =AE ，∴△ABE 是等边三角形， ∴∠B =60∘， ∴S 扇形BAE =60π×52360=25π6．故答案为：25π6．证明△ABE 是等边三角形，∠B =60∘，根据扇形的面积公式计算即可．本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是本题的关键，扇形面积计算公式：设圆心角是n ∘，圆的半径为R 的扇形面积为S ，则S 扇形=nπR 2360或S 扇形=12lR(其中l 为扇形的弧长)．14. 解：当x =0时，y =5，则B(0,5)， 设A(m,n)，则{m+02=−1n+52=72， 解得：{n =2m=−2， 所以点A(−2,2)，将点A(−2,2)代入，得：−4−2b +5=2，解得：b =−12， 故答案为：−12．先根据解析式求得点B 的坐标，再由点C 是AB 中点，利用中点的坐标公式求得点A 的坐标，代入解析式即可求出b 的值．本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握中点坐标的计算公式求得点A 的坐标及抛物线上点的坐标符合函数解析式．15. 根据平方差公式和多项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查整式的混合运算−化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的计算方法．16. 根据甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱，那么乙也共有钱48文，可以列出方程组，从而可以解答本题．的23本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．17. 首先列表将所有等可能的结果全部列举出来，利用概率公式求解即可求出两次摸出小球的标号之积是偶数的概率..本题考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是通过列表或树形图能够将所有等可能的结果全部列举出来，难度不大．18. 如图，在Rt△ABC中，根据三角函数可得AB=AC÷sin34∘，可求他沿斜坡滑行了多少米．本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．19. 解：(1)本次调查的学生共有20÷40%=50(人)，m=15÷50=30%；故答案为：50；30%；(2)绘画的人数50×20%=10(人)，书法的人数50×10%=5(人)，如图所示：(3)估计该校选修乐器课程的人数为2000×30%=600人．(1)由舞蹈的人数除以占的百分比求出调查学生总数，确定出扇形统计图中m的值；(2)求出绘画与书法的学生数，补全条形统计图即可；(3)总人数乘以样本中选修乐器课程人数所占百分比可得．本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．20. 首先证明四边形ABDE是平行四边形，再证明四边形ADCE是平行四边形，由∠ADC=90∘，即可推出四边形ADCE是矩形．本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21. 解：(1)∵甲运输队工作3天后因故停止，2天后重新开始工作∴a=3+2=5∵甲运输的工作效率降低到原来的12∴原来3天调运150吨，现在需6天调运150吨．∴b=5+6=11(2)设函数关系式为y=kx+b，∵图象过(5,150)，(11,300)150=5k+b∴{300=11k+bk=25解得：{b=25∴解析式y=25x+25(3)由题意得：乙运输队调运物资的数量y(吨)与工作时间x(天)的函数关系式：y =37.5x①若乙运输队调运物资没有完成．∵乙运输队比甲运输队多运50吨物资∴37.5x −(25x +25)=50 ∴x =6当乙运输队运输完物资后，∵乙运输队比甲运输队多运50吨物资∴300−(25x +25)=50 ∴x =9∴x =6或9(1)根据题意可以求a ，b 的值．(2)设解析式为y =kx +b 且过(5,150)，(11,300)，用待定系数法可求解析式．(3)由乙运输队比甲运输队多运50吨物资，可得y 乙−y 甲=50，代入可得x 的值．本题考查一次函数的图象性质，本题关键是用待定系数法求一次函数解析式．22. 探究：证明：如图2，延长AD 至点M ，使MD =FD ，连接MC ，在△BDF 和△CDM 中，{BD =CD ∠BDF =∠CDM DF =DM ，∴△BDF ≌△CDM(SAS)．∴MC =BF ，∠M =∠BFM ．∵EA =EF ，∴∠EAF =∠EFA ，∵∠AFE =∠BFM ，∴∠M =∠MAC ，∴AC =MC ，∴BF =AC ；应用：解：如图2，∵MN//BC ，FM//GN ，∴四边形MFGN 是平行四边形，∴MF =NG ，MN =FG ，∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE =12BC =3，DE//BC ， ∴MN =FG =12BC =3， ∴四边形MFGN 周长=2(MF +FG)=2MF +6，∴MF ⊥BC 时，MF 最短，即：四边形MFGN 的周长最小，过点A 作AH ⊥BC 于H ，∴FM =AH在Rt △ABH 中，∠B =60∘，AB =4，∴AH =ABsinB =4×√32=2√3，BH =2，∴CH =4， ∴AC =2√7>AB∴四边形MFGN 的周长C 最小为2MF +6=2AH +6=4√3+6，四边形MFGN 的周长C 最大为2MF +6=2AC +6=4√7+6，(如图4)故答案为：4√3+6≤C ≤4√7+6．探究：先判断出△BDF ≌△CDM 进而得出MC =BF ，∠M =∠BFM.再判断出∠M =∠MAC 得出AC =MC 即可得出结论；应用：先判断出四边形MFGN是平行四边形，再判断出MN=FG=DE=4，进而判断出MF⊥BC时，四边形MFGN的周长最小和点G和C重合时最大，最后构造出直角三角形求出AH即可得出结论．此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，平行四边形的判定和性质，平行线间的距离，解探究关键是△BDF≌△CDM，解应用的关键是判断出MF⊥BC时，四边形MFGN的周长最小和点G和C重合时最大．23. 解：(1)如图1中，∵∠DAB=120∘，AE平分∠DAB，∴∠DAQ=60∘，∵PQ⊥AD，∴∠APQ=90∘，∴tan60∘=PQ，AP∴PQ=√3t.故答案为√3t.(2)如图2中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，∴∠D=180∘−∠DAB=60∘，∵PM//AE，MQ//AD，∴∠DPM=∠DAQ=60∘，四边形APMQ是平行四边形，∴△DPM是等边三角形，PM=AQ=2PA=2t，∴DP=PM，∴6−t=2t，∴t=2．(3)①当0<t≤2时，如图1中，重叠部分是平行四边形APMQ，S=AP⋅PQ=√3t2．②如图3中，当2<t≤3时，重叠部分五边形APSTQ，S =√3t 2−√34(3t −6)2=−5√34t 2+9√3t −9√3．③如图4中，当3<t ≤6时，重叠部分是四边形PSTA ．S =S △DAT −S △DSP =√34×62−√34⋅(6−t)2=−√34t 2+3√3t. 综上所述，S ={ √3t 2(0<t ≤2)−5√34t 2+9√3t −9√3(2<t ≤3)−√34t 2+3√3t (3<t ≤6)．(4)如图5中，当GH//AB 时，∵AG =GM ，∴点M 在线段CD 上，此时t =2s ．如图6中，当GH 与BD 重合时，作BT ⊥DA 交DA 的延长线于T ．在Rt△ABT中，∵AB=8，∠BAT=60∘，∴AT=12AB=4，BT=4√3，∵PG//BT，∴PGBT =DPDT，∴√32t4√3=6−t10，解得t=83s.如图7中，当GH//AD时，易证B、C、Q共线，可得△ABQ是等边三角形，AB=AQ=BQ=8，∴AQ=2t=8，∴t=4s，综上所述，t=2s或83s或4s时，GH与三角形ABD的一边平行或共线．(1)在Rt△APQ中，解直角三角形即可；(2)只要证明△DPM是等边三角形，构建方程即可解决问题；(3)分三种情形：①当0<t≤2时，如图1中，重叠部分是平行四边形APMQ，S=AP⋅PQ=√3t2.②如图3中，当2<t≤3时，重叠部分五边形APSTQ；③如图4中，当3<t≤6时，重叠部分是四边形PSTA.分别求解即可；(4)分三种情形讨论求解即可解决问题；本题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、平行四边形的判定和性质、多边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．24. 解：(1)①当m=1时，抛物线C2与抛物线C1关于直线x=1对称∴抛物线C2的顶点时(2,2)∴抛物线C 2的解析式为y =−2(x −2)2+2=−2x 2+8x −6②∵点P(a,b 1)，Q(a +1,b 2)在二次函数C 2的图象上∴b 2−b 1=−2(a +1)2+8(a +1)−6−(−2a 2+8a −6)=−4a +6当b 1≥b 2时−4a +6≤0 ∴a ≥32 故答案为：a ≥32(2)①∵MN//x 轴，MP ：PN =1：3∴MP =1 当m >0时，2m =1m =12当m <0时，−2m =1 m =−12 ②分析图象可知：当m =12时，可知C1和G 的对称轴关于直线x =12对称，C 2的顶点恰在AD 上，此时G 与正方形恰由2个交点．当m =1时，直线MN 与x 轴重合，G 与正方形恰由三个顶点．当m =2时，G 过点B(3,0)且G 对称轴左侧部分与正方形有两个交点当m =2或12<m ≤1时，G 与正方形ABCD 有三个公共点．(1)根据对称性可求得C 2解析式，将P(a,b 1)，Q(a +1,b 2)代入解析式用求差法得到a 的范围；(2)通过分类讨论探究m 的变化对于图象G 位置的变化．本题为二次函数综合题，考查了二次函数图象性质和轴对称图形性质.解答关键是研究动点到达临界点时图形的变化，从而得到临界值．。
吉林省长春市2021年数学中考模拟试卷(I)卷
吉林省长春市2021年数学中考模拟试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）若a＞b，则下列各式变形正确的是（）A . a-2＜b-2B . -2a＜-2bC . |a|＞|b|D . a2＞b22. （2分）已知a-3b=5，则2（a-3b）2+3b-a-15的值是（）A . 25B . 30C . 35D . 403. （2分） (2017七下·扬州月考) 设，则a、b的大小关系是（）A . a=bB . a＞bC . a＜bD . 以上三种都不对4. （2分） (2017八下·武进期中) 若分式的值为0，则x的值为（）A . ±2B . 2C . ﹣2D . 45. （2分） 2008年5月12日，四川汶川发生了特大地震．震后，国内外纷纷向灾区捐物捐款，截至5月26日12时，捐款达308.76亿元．把308.76亿元用科学记数法表示为（）A . 元B . 元C . 元D . 元6. （2分） (2016九下·津南期中) 如图，这是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是（）A .B .C .D .7. （2分）y=-图象上有两点A（x1 ， y1）和B（x2 ， y2），若y1＜y2＜0，则x1与x2的关系是（）A . 0＜x1＜x2B . 0＞x1＞x2C . x1＜x2＜0D . x1＞x2＞08. （2分）在平面直角坐标系中，将点M（1，2）向左平移2个长度单位后得到点N，则点N的坐标是（）A . （－1，2）B . （3，2）C . （1，4）D . （1，0）9. （2分）如图，把一个长方形的纸片对折两次（折痕互相垂直），然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角a的度数应为（）A . 15°或30°B . 30°或45°C . 45°或60°D . 30°或60°10. （2分）(2018·博野模拟) 在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是．如果再往盒中放进6颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是，则原来盒中有白色棋子（）A . 8颗B . 6颗C . 4颗D . 2颗11. （2分） (2017·锡山模拟) 下列命题中，假命题是（）A . 经过两点有且只有一条直线B . 平行四边形的对角线相等C . 两腰相等的梯形叫做等腰梯形D . 圆的切线垂直于经过切点的半径12. （2分） (2015七上·福田期末) 如图，已知O为直线AB上一点，OC平分∠BOD，∠AOE=2∠DOE，∠COE=α，则∠AOE的度数为（）A . 2α﹣60°B . 360°﹣4αC . αD . 180°﹣2α二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）设x为满足x2002+20022001=x2001+20022002的整数，则x=________．14. （2分）如果正n边形的中心角是40°，那么n=________ ．15. （1分） (2019九上·南阳月考) 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝7，点E是AD边上的一点，连接BE，将BE绕点E顺时针旋转90°至B′E，连接B′D，当△B′ED是直角三角形时，线段AE的长为________.16. （1分）观察下列数组，探寻规律并填空：﹣3，1，5，9，13，…________（第8个），…，则第n个项为________．三、解答题 (共6题；共56分)17. （10分）(2018·青岛)（1）解不等式组：（2）化简：（﹣2）• ．18. （10分）某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划插播长度为15秒和30秒的两种广告．15秒广告每播1次收费0.8万元，30秒广告每播1次收费1.5万元．若要求每种广告播放不少于2次．问：（1）两种广告的播放次数有几种安排方式？（2）电视台选择哪种方式播放收益较大？19. （4分）已知一组数据共100个，在频数分布表中，某一小组的频数为4，则这一小组的频率为________．20. （2分）(2018·广东模拟) 如图，在东西方向的海岸线MN上有A、B两艘船，均收到已触礁搁浅的船P 的求救信号，已知船P在船A的北偏东方向，船P在船B的北偏西方向，AP的距离为30海里参考数据：．（1）求船P到海岸线MN的距离 ( 精确到 0.1 海里 ) ；（2）若船A、船B分别以20海里/消失、15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处。
2021年吉林省长春市中考数学一模试卷(含答案解析)
2021年吉林省长春市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.一个数的相反数是8，那么这个数是()A. 8B. −8C. −(−8)D. |−8|2.已知光速为300000千米/秒，光经过t秒(1≤t≤10)传播的距离用科学记数法表示为a×10n千米，则n可能为()A. 5B. 6C. 5或6D. 5或6或73.如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的从上面看到的形状图，图中所示的数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体从左面看到的形状图是()A. B. C. D.4.从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0有实数解的概率为()A. 14B. 13C. 12D. 235.如图，某数学活动小组在吉林广播电视塔周边做数学测算活动、在C处测得最高点A的仰角为α，在D处测得最高点A的仰角为β，点C，B，D在同一条水平直线上，且吉林广播电视塔的高度AB为ℎ(m)，则CD之间的距离为()A. ℎ⋅(tanα+tanβ)mB. ℎtanα+tanβmC. ℎtanα⋅tanβm D. ℎ⋅(tanα+tanβ)tanα⋅tanβm6.下列命题中，正确的是()①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．A. ①②③B. ③④⑤C. ①②⑤D. ②④⑤7.已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则这个等腰三角形的周长为()A. 12B. 12或15C. 15D. 98.已知点P(−2,3)是反比例函数y=k图象上的一点，则下列各点中，也在该函数图象上的是()xA. (2,−3)B. (3,2)C. (−2,−3)D. (2,3)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.因式分解：2x−4=______．10.已知关于x的不等式组{2x+3>03x−a≤0有且只有四个整数解，则a的取值范围为______11.如图，AD//BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠ADE的度数为______．12.农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚．如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是．13.已知如图：△ABC中，∠C=90°，BC=AC，以AC为直径的圆交AB于D，若AD=8cm，则阴影部分的面积为______．14.一个大正方形中有2个小正方形，若它们的面积分别为S1，S2，则S1______ S2(填“=”或“>”或“<“)．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.(1)计算：−14−|1−0.5|÷3×[2−(−3)2](2)化简：(3x2−xy−2y2)−2[x2+(xy−2y)2]16.(9分)如图是从一副扑克牌中取出的两组牌，一组牌分别是黑桃1、2、3、4，另一组牌方块1、2、3、4，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，(1)摸出的两张牌的牌面数字之和等于５的概率是多少？(2)摸出的牌面数字和大于4的概率是多少？17. 某校组织七年级学生从学校出发，到距学校9km的教育基地开展社会实践活动，一部分学生骑自行车先出发，半小时后，其他学生乘公共汽车出发，结果两批学生同时到达目的地．已知公共汽车的行驶速度是自行车骑行速度的3倍，求自行车的骑行速度和公共汽车的行驶速度分别是多少？18. 如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E；过点B作BF⊥ED，交ED的延长线于点F．(1)求证：△DFB≌△DEA；(2)某数学兴趣小组解答(1)后发现，在图中只需将△AED剪下来拼到△BFD处，就可得到一个与△ABC等面积的矩形EFBC继续讨论后又发现，任意三角形也可以剪拼成一个等面积的矩形，请你在图②中画出一种剪拼示意图，并简要说明作法(不需要证明)19. 某小学开展寒假争星活动，学生可以从“自理星”、“读书星”、“健康星”、“孝敬星”等中选一个项目参加争星竞选，根据该校一年级某班学生的“争星”报名情况，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题：(1)参加调查的学生共有______人；(2)将条形统计图补充完整；(3)请计算扇形统计图中“读书星”对应的扇形圆心角度数；(4)根据调查结果，试估计该小学全校3600名学生中争当“健康星”的学生人数．20. 如图，四边形ABCD是平行四边形，把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△A′BD．(1)利用尺规作出△A′BD.(要求保留作图痕迹，不写作法)；(2)设DA′与BC交于点E，求证：△BA′E≌△DCE．21. 甲、乙分别骑自行车和摩托车从长沙出发前往30km外的湘潭，途中乙因修车耽误些时间，然后继续赶路.如图，线段OA和折线OBCD分别反映了两人所行路程y(km)和时间x(min)的函数关系．(1)甲骑自行车的速度是______ km/min；(2)两人第二次相遇时，离长沙______ km；(3)求线段CD所在直线的函数的解析式．22. 如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，ABCD的顶点A的坐标为(−2,0)，点D的坐标为(0,)，点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G.(1)求∠DCB的度数；(2)当点F的坐标为(−4,0)时，求点G的坐标；(3)连接OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF′，记直线EF′与射线DC的交点为H．①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE；②若△EHG的面积为，请直接写出点F的坐标．23. 在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF、EG始终与矩形AB、BC两边相交，AB=2，FG=8，(1)如图1，当EF、EG分别过点B、C时，求∠EBC的大小；(2)在(1)的条件下，如图2，将△FFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动．若EF、EG分别与AB、BC相交于点M、N，①在△EFG旋转过程中，四边形BMEN的面积是否发生变化？若不变，求四边形BMEN的面积；若要变，请说明理由．②如图3，设点O为FG的中点，连结OB、OE，若∠F=30°，当OB的长度最小时，求tan∠EBG的值．x+4的对称轴是直线x=3，且与x轴交于A、B两点(点B在点24. 如图，已知抛物线y=ax2+32A的右侧)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)以BC为边作正方形CBDE，求对角线BE所在直线的解析式；(3)点P是抛物线上一点，若∠APB=45°，求出点P的坐标．【答案与解析】1.答案：B解析：解：−8的相反数是8，故选：B．根据相反数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数定义．2.答案：C解析：解：当t=1时，光传播的距离为1×300000=300000=3×105(千米)，则n=5；当t=10时，光传播的距离为10×300000=3000000=3×106(千米)，则n=6.因为1≤t≤10，所以n可能为5或6，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.答案：A解析：解：观察图形可知，这个几何体从左面看到的形状图是．故选：A．由俯视图易得此组合几何体有3层，三列，3行．找从左面看所得到的图形，应看俯视图有几行，每行上的小正方体最多有几个．本题考查了由三视图判断几何体，三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．4.答案：C解析：解：画树状图得：由树形图可知：一共有16种等可能的结果，其中使ac≤4的有8种结果，∴关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0有实数解的概率为12，故选：C．首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与使ac≤4的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5.答案：D解析：解：在直角△ABC中，BC=ABtanα=ℎtanα，在直角△ABC中，BD=ABtanβ=ℎtanβ，则CD=BD+BC=ℎtanα+ℎtanβ=ℎ⋅(tanα+tanβ)tanα⋅tanβm即CD之间的距离为ℎ⋅(tanα+tanβ)tanα⋅tanβm，故选：D．通过解直角△ABC和直角△ABC分别求得BC、BD的长度，根据CD=BD+BC即可求得CD的长度．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题．解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．6.答案：B解析：试题分析：根据圆周角定理及确定圆的条件对各个命题进行分析，从而得到答案．①、圆周角的特征：一是顶点在圆上，二是两边都和圆相交，故错误；②、必须是同弧或等弧所对的圆周角和圆心角，故错误；③、圆周角定理，故正确；④、符合确定圆的条件，故正确；⑤、符合圆周角定理，故正确；所以正确的是③④⑤．故选B．7.答案：C解析：解：①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；②当3为腰时，其它两边为3和6，∵3+3=6∴不能构成三角形，故舍去．∴这个等腰三角形的周长为15．故选：C．因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．8.答案：A解析：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．图象过点(−2,3)求出k的值，再根据k=xy的特点进行解答即可．先根据反比例函数y=kx解：∵反比例函数y=k图象过点(−2,3)，x∴3=k，即k=−6，−2A、∵2×(−3)=−6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确．B、∵3×2=6≠−6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；C、∵−2×(−3)=6≠−6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；D、∵2×3=6≠−6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；故选：A．9.答案：2(x−2)解析：解：2x−4=2(x−2)．故答案为：2(x−2)．提取公因式2即可．本题考查了因式分解．解题的关键是掌握用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 10.答案：6≤a <9解析：解：解不等式组{2x +3>03x −a ≤0得：−1.5<x ≤a 3， ∵关于x 的不等式组{2x +3>03x −a ≤0有且只有四个整数解， ∴2≤a3<3，解得：6≤a <9，故答案为：6≤a <9．先求出不等式组的解集，根据已知得出不等式组2≤a 3<3，求出解集即可．本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能得出关于a 的不等式组是解此题的关键． 11.答案：60°解析：解：∵AD//BC ，∴∠ADB =∠DBC ，∵DB 平分∠ADE ，∴∠ADB =∠ADE ，∵∠B =30°，∴∠ADB =∠BDE =30°，则∠ADE 的度数为：60°．故答案为：60°．直接利用平行线的性质以及角平分线的性质得出∠ADB =∠BDE ，进而得出答案．此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠ADB 的度数是解题关键．12.答案：64πm 2解析：由图可知，需要的塑料膜的面积应该是以大棚长为长，以半圆形截面的弧长为宽的矩形的面积，半圆形截面弧长为：2π，进而得出塑料膜的面积．13.答案：32cm 2解析：解：连接CD ，∵△ABC 中，∠C =90°，BC =AC ，∴∠DAC=45°，∵以AC为直径的圆交AB于点D，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB，∴CD=AD=BD，∵AD=8cm，∴图中阴影部分的面积为：S△BDC=12BD⋅CD=12×8×8=32(cm2).故答案为：32cm2．连接CD，构建直径所对的圆周角，利用等腰直角三角形的性质得出图中阴影部分的面积为△BCD的面积，即可得出答案．此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及圆周角定理的推论等知识，连接CD是解决问题的关键．14.答案：>解析：解：如图，设大正方形的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC=√2BC，BC=CE=√2CD，∴AC=2CD，CD=x3，∴S2的边长为√23x，S2的面积为29x2，S1的边长为x2，S1的面积为14x2，∴S1>S2．故答案为：>．设大正方形的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知AC、BC的长，进而可求得S2的边长，由面积的求法可得答案．本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．15.答案：解：(1)原式=−1−|1−0.5|÷3×(2−9)=−1−12÷3×(−7)=−1−12×13×(−7)=−1+7 6=16；(2)原式=3x2−xy−2y2−2(x2+x2y2−4xy2+4y2)=3x2−xy−2y2−2x2−2x2y2+8xy2−8y2=x2−xy−10y2−2x2y2+8xy2．解析：(1)直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；(2)直接利用整式的混合运算法则化简进而得出答案．此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．16.答案：(1)；(2)．解析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．解：(1)可以用下表列举所有可能得到的牌面数字之和：由上表可知，共有16种情况，每种情况发生的可能性相同，而两张牌的牌面数字之和等于5的情况共出现4次，因此牌面数字之和等于5的概率为：(2)．17.答案：解：设自行车的速度为xkm/ℎ，则公共汽车的速度为3xkm/ℎ，根据题意得：9x −93x=12，解得：x=12，经检验，x=12是原分式方程的解，∴3x=36．答：自行车的速度是12km/ℎ，公共汽车的速度是36km/ℎ．解析：设自行车的速度为xkm/ℎ，则公共汽车的速度为3xkm/ℎ，根据时间=路程÷速度结合乘公共汽车比骑自行车少用半小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．18.答案：(1)证明：∵DE⊥AC，BF⊥ED，D是AB的中点，∴∠AED=∠BFD=90°，AD=BD，∵∠ADE=∠BDF，∴△DFB≌△DEA(AAS)；(2)如图②，分别过AC、BC的中点M、N作AB的垂线，垂足分别为O、P，再过点C作AB的平行线，与OM、PN的延长线交于点E、F，则△AMO≌△CME，△BNP≌△CNF，∴△ABC的面积与矩形OPFE的面积相等．解析：(1)利用全等三角形的判定AAS即可证明△DFB≌△DEA；(2)分别过AC、BC的中点M、N作AB的垂线，垂足分别为O、P，再过点C作AB的平行线，与OM、PN的延长线交于点E、F，则△ABC的面积与矩形OPFE的面积相等．本题考查了全等三角形的判定与性质及剪拼作图，解题关键是灵活运用全等三角形的判定与性质．19.答案：(1)50;(2)“自理星”的人数为50×30%=15人，补全图形如下：=72°；(3)扇形统计图中“读书星”对应的扇形圆心角度数为360°×1050(4)3600×12=864，50答：该小学全校3600名学生中争当“健康星”的学生人数为864人．解析：解：(1)参加调查的学生共有8÷16%=50人，故答案为：50；(2)见答案；(3)见答案；(4)见答案．本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．20.答案：(1)解：如图，△A′BD为所求；(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠A=∠C，∵△ABD沿对角线BD翻折180°得到△A′BD，∴BA=BA′，∴BA′=CD，在△BA′E和△DCE中{∠BEA′=∠DEC ∠A′=∠C BA′=DC，∴△BA′E≌△DCE ．解析：(1)分别以B 、D 为圆心，BA 和DA 为半径画弧交于点A′，则△A′BD 满足条件；(2)先根据平行四边形的性质得到AB =CD ，∠A =∠C ，则利用折叠性质得到BA =BA′，所以BA′=CD ，然后根据“AAS ”可证明△BA′E≌△DCE ．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定． 21.答案：14 20解析：解：(1)由图可得，甲骑自行车的速度是：30÷120=14千米/分钟，故答案为：14；(2)两人第二次相遇时距离长沙：14×80=20千米，故答案为：20；(3)设线段CD 的表达式为y =kx +b(k ≠0)，∵线段CD 经过点C(50,10)和(80,20)，∴{50k +b =1080k +b =20， 解得，{k =13b =−203， ∴y =13x −203，当y =30时，x =110，∴线段CD 所在直线的函数的解析式为y =13x −203(50≤x ≤110)．(1)根据函数图象中的数据可以求得甲骑自行车的速度；(2)根据(1)中的答案和函数图象中的数据可以求得两人第二次相遇时距离长沙的距离；(3)根据(2)中的答案和一次函数的性质可以求得线段CD 所在直线的函数的解析式．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．22.答案：解：(1)在Rt△AOD中，∵tan∠DAO==，∴∠DAB=60°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DCB=∠DAB=60°.(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD//AB，∴∠DGE=∠AFE．又∵∠DEG=∠AEF，DE=AE，∴△DEG≌AEF，∴DG=AF．∵AF=OF−OA=4−2=2，∴点G的坐标为(2,).(3)①∵CD//AB.∴∠DGE=∠OFF．∵△OEF经轴对称变换后得到△OEF′，∴∠OFE=∠OF′E，∴∠DGE=∠OF′E．在Rt△AOD中，∵E是AD的中点，∴OE=AD=AE．又∵∠EAO=60°.∴∠EOA=60°，∠AEO=60°．又∵∠EOF′=∠EOA=60°，∴∠EOF′=∠OEA，∴AD//OF′，∴∠OF′E=∠DEH，∴∠DEH=∠DGE．又∵∠HDE=∠EDG.∴△DHE∽△DEG．②点F的坐标是F1(−+1，0)，F2(−−5，0)．对于此小题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求．过点E作EM⊥直线CD于点M，∵CD//AB，∴∠EDM=∠DAB=60°，∴EM=DE·sin60°=2×=．∵S△EGH=·GH·ME=·CH·=3，∴GH=6．∵△DHE∽△DEG，∴即DE2=DG·DH．当点H在点G的右侧时，设DG=x，DH=x+6，∴4=x(x+6)，解得：x 1=−3+，x 2=−3−(舍)．∵△DEG≌△AEF，∴AF=DG=−3+．∵OF=AO+AF=−3++2=−1，∴点F的坐标为(−+1，0)．当点H在点G的左侧时，设DG=x，DH=x−6，∴4=x(x−6)，解得：x 1=3+，x 2=3−(舍)．∵△DEG≌△AEF.∴AF=DG=3+．∵OF=AO+AF=3++2=+5，∴点F的坐标为(−−5，0)．综上可知，点F的坐标有两个，分别是F1(−+1，0)，F 2(−−5，0)．解析：略23.答案：解：(1)如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵AE=DE，∴△AEB≌△DEC(SAS)，∴EB=EC，∵∠BEC=90°，∴∠EBC=45°．(2)①结论：四边形BMEN的面积不变．理由：由(1)可知：∠EBM=∠ECN=45°，∵∠MEN=∠BEC=90°，∴∠BEM=∠CEN，∵EB=EC，∴△MEB≌△NEC(ASA)，∴S△MEB=S△ENC，∴S四边形EMBN =S△EBC=12×4×2=4．②如图当E，B，O共线时，OB的值最小，作GH⊥OE于H．∵OF=OG，∠FEG=90°，∴OE=OF=OG=4，∵∠F=30°，∴∠EGF=60°，∴△EOG是等边三角形，∵GH⊥OE，∴GH=2√3，OH=EH=2，∵BE=2√2，∴OB=4−2√2，∴BH=2−(4−2√2)=2√2−2，∴tan∠EBG=HGBH =√32√2−2=√6+√3．解析：本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．(1)证明△AEB≌△DEC(SAS)，可得EB=EC，根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．(2)①四边形BMEN的面积不变．证明△MEB≌△NEC(ASA)，推出S△MEB=S△ENC，可得S四边形EMBN= S△EBC．②如图当E，B，O共线时，OB的值最小，作GH⊥OE于H，想办法求出BH，GH即可解决问题．24.答案：解：(1)∵抛物线的对称轴是直线x=3∴−322a=3，解得：a=−14∴抛物线的解析式为y=−14x2+32x+4(2)当y=−14x2+32x+4=0时，解得：x1=−2，x2=8∴A(−2,0)，B(8,0)∴AB=10，OB=8当x =0时，y =−14x 2+32x +4=4∴C(0,4)，OC =4①如图1，若点E 在第一象限，过点E 作EF ⊥y 轴于点F∴∠CFE =∠BOC =90°∵四边形CBDE 是正方形∴∠BCE =90°，BC =CE∴∠BCO +∠OBC =∠BCO +∠FCE =90°∴∠OBC =∠FCE在△FCE 与△OBC 中{∠CFE =∠BOC ∠FCE =∠OBC CE =BC∴△FCE≌△OBC(AAS)∴FC =OB =8，EF =OC =4∴OF =OC +FC =12∴E(4,12)设直线BE 解析式为：y =kx +b∴{8k +b =04k +b =12 解得：{k =−3b =24∴直线BE 解析式为y =−3x +24②如图2，若点E 在第三象限，过点E 作EF ⊥y 轴于点F同理可证：△FCE≌△OBC(AAS)∴FC =OB =8，EF =OC =4∴OF =FC −OC =8−4=4∴E(−4,−4)设直线BE 解析式为：y =k′x +b′∴{8k′+b′=0−4k′+b′=−4 解得：{k′=13b′=−83∴直线BE 解析式为y =13x −83综上所述，直线BE 解析式为y =−3x +24 或y =13x −83(3)以AB为斜边作等腰Rt△AGB，则AG=BG，∠AGB=90°以点G为圆心、AG长为半径画圆，则点P在优弧AB上时总有∠APB=45°．如图3，若点G在第一象限，⊙G与抛物线交点只有A、B，即没有满足条件的点P使∠APB=45°如图4，若点G在第四象限，过点G作GM⊥x轴于点M∴AM=BM=GM=12AB=5，∴G(3,−5)设P(p,−14p2+32p+4)∵PG=AG=√22AB=5√2∴PG2=50可得方程：(p−3)2+(−14p2+32p+4+5)2=50解得：p1=−4，p2=10，p3=−2(即点A，舍去)，p4=8(即点B，舍去)∴−14p2+32p+4=−6∴点P坐标为(−4,−6)或(10,−6)解析：(1)利用对称轴公式列式即求出a的值，进而得抛物线解析式．(2)由于边DE所在位置不同，故需对点E所在位置分类讨论．过点E作y轴垂线，根据∠BCE=90°构造三垂直全等模型，即求得点E坐标，进而求直线BE解析式．(3)由点P运动过程中∠APB=45°联想到圆周上的圆周角，只要构造出∠APB为圆周角，其所对圆心角等于90°即可．故以AB为斜边作等腰直角三角形ABG.若G在第一象限，则圆与抛物线无除A、B 外的交点，故点G需在第四象限．求出点G坐标，设P坐标，以PG的长等于半径5√2为等量关系列方程，即求得p的值进而得点P坐标．本题考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，求一次函数解析式，圆周角定理，两点间距离公式．解题关键是：第(2)题由正方形构造全等；第(3)题由P为动点而∠APB 为定值联想到圆周角定理．。
2021年吉林省长春市中考数学网上阅卷模拟试卷(6月份)(附答案详解)
2021年吉林省长春市中考数学网上阅卷模拟试卷（6月份）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.某公司抽检盒装牛奶的容量，超过标准容量的部分记为正数，不足的部分记为负数．从容量的角度看，以下四盒牛奶容量最接近标准的是()A. B. C. D.2.中国邮政于2021年1月1日发行《<中华人民共和国民法典>施行》纪念邮票一套1枚，邮票面值为1.20元，计划发行数量为800万套，发行总面值为9600000元.9600000这个数用科学记数法表示为()A. 9.6×106B. 0.96×107C. 96×105D. 9.6×1053.计算m⋅m2的结果，正确的是()A. m4B. m3C. m2D. m4.如图是一个粉笔盒的表面展开图，若字母A表示粉笔盒的上盖，B表示侧面，则底面在表面展开图中的位置是()A. ①B. ②C. ③D. ④5.如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为()A. 1B. 2C. 3D. 46.如图1，一个容量为500cm3的杯子中装有200cm3的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图2.设每颗玻璃球的体积为x cm3，根据题意可列不等式为()A. 200+4x<500B. 200+4x≤500C. 200+4x>500D. 200+4x≥5007.如图，在锐角三角形ABC中，BC>BA，按以下步骤作图：①以点B为圆心，BA长为半径作圆弧，交AD长为AC于点D；②分别以点A、D为圆心，大于12半径作圆弧，计两弧交于点E；③作射线BE，交AC于点P.若∠A=60°，则∠ABP的大小为()A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°(x>8.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x与函数y=kx(x>0)的0)的图象交于点A，直线y=x−1与函数y=kx图象交于点B，与x轴交于点C.若点B的横坐标是点A的横坐标的2倍，则k的值为()A. 23B. 2C. 1D. 49二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.分解因式：x2−4=______．10.写出一个比√3大且比√11小的整数______．11.命题“对顶角相等”的逆命题是______ 命题(填“真”或“假”)．12.如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连结OA、OB.若OA=5，AB=6，则tan∠AOB=______．13.如图，ABC是一个直角三角形纸片，∠ABC=90°，∠A=30°，BC=1，点D、E分别为边AB、AC的中点．将纸片沿DE剪开，用剪开后的两部分纸片拼成一个不重叠无缝隙的矩形BDFC，则矩形BDFC的周长为______．14.二次函数y=(x−ℎ)2+k(ℎ、k均为常数)的图象经过P1(−3,y1)、P2(−1,y2)、P3(1,y3)三点．若y2<y1<y3，则ℎ的取值范围是______．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）)−1．15.计算：(−1)2+(3−π)0−|−2|+(1316.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数208010020040080010001500“射中九环以上”的频数1549711372645346661001“射中九环以上”的频率0.7500.6130.7100.6850.6600.6680.6660.667(1)根据上表估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约为______.(结果保留两位小数)(2)小明想了解该运动员连续两次射击都“射中九环以上”的概率，他将这个问题进行了简化，制作了三张不透明卡片，其中两张卡片的正面写有“中”，第三张卡片的正面写有“未中”，卡片除正面文字不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录文字后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图(或列表)的方法，求两次抽取的卡片上都写有“中”的概率．17.端午节是中华民族的传统佳节，人们素有吃粽子的习俗．某超市在节前准备购进A、B两种品牌的粽子进行销售，据了解，用6000元购买A品牌粽子的数量比用4800元购买B品牌粽子的数量多80袋，且每袋B品牌粽子的价格是每袋A品牌粽子价格的1.2倍，求每袋A品牌粽子的价格．18.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=AD，∠BAD的平分线交BC于点E，连结DE．(1)求证：四边形ABED是菱形．(2)连结BD.若CE=2BE，AE=4，BD=6，则△CDE的面积是______．19.图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．(1)在图①中的线段AB上找一点D，连结CD，使∠BCD=∠BDC．(2)在图②中的线段AC上找一点E，连结BE，使∠ABE=∠BAE．(3)在图③中的线段AC上找一点F，连结BF，使∠CBF=∠CFB．20.某蔬菜批发商用每千克2元的价格购进100箱黄瓜，每箱黄瓜净重10千克．考虑到黄瓜有损耗，该批发商计划采用抽样调查的方式来估计这批黄瓜的损耗情况，设计了如下两种抽样方案：方案一：从这100箱黄瓜中就近打开10箱逐箱检查；方案二：在这100箱黄瓜中随机抽取10箱逐箱检查．[方案选择]从统计意义的角度考虑，你认为批发商设计的两种抽样方案中，比较合理的是______.(填“方案一”或“方案二”)[分析数据]该批发商用合理的方式抽取了10箱黄瓜进行逐箱检查，并将损耗量记录如下：抽取的10箱黄瓜的损耗量统计表箱子编号12345678910总计每箱黄瓜的损耗量(千克)0.880.781.10.821.20.7910.810.750.728.85请根据数据，估计这100箱黄瓜的损耗量是多少千克？[做出决定]如果损耗的黄瓜不再销售，在不考虑其它费用的情况下，若批发商把这批黄瓜全部售完，预期获利不低于700元，通过计算说明该批发商应该把这批黄瓜的售价至少定为每千克多少元？(结果保留整数)21.世界上大部分国家都使用摄氏温度(℃)，但仍有一些国家和地区使用华氏温度(℉).两种计量之间有如下对应：摄氏温度x(℃)010********华氏温度y(℉)32506886104122(1)在平面直角坐标系中描出相应的点．(2)观察这些点发现，这些点是否在一条直线上，如果在一条直线上，求这条直线所对应的函数表达式．(3)求华氏0度时所对应的摄氏温度．(4)华氏温度的值与所对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？如果有；请求出此时的摄氏温度；如果没有，请说明理由．22.[问题原型]如图①，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以AC为直径作⊙O.求证：点B、D在⊙O上．请完成上面问题的证明，写出完整的证明过程．[发现结论]矩形的四个顶点都在以该矩形对角线的交点为圆心，对角线的长为直径的圆上．[结论应用]如图②，已知线段AB=2，以线段AB为对角线构造矩形ACBD.求矩形ACBD面积的最大值．[拓展延伸]如图③，在正方形ABCD中，AB=2，点E、F分别为边AB、CD的中点，以线段EF为对角线构造矩形EGFH，矩形EGFH的边与正方形ABCD的对角线AC交于M、N两点，当MN的长最大时，矩形EGFH的面积为______．23.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，AB=4.动点P从点C出发，沿CA以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作CA的垂线交射线CB于点M，当点M不和点B重合时，作点M关于AB的对称点N.设点P的运动时间为t秒(t>0)．(1)BC=______；(2)求MN的长．(用含t的代数式表示)(3)取PC的中点Q．①连结MQ、PN，当点M在边BC上，且MQ//PN时，求MN的长．②连结NQ，当∠CNQ=∠A时，直接写出t的值．24.在平面直角坐标系中，点A(0,4)，点B(2m,4)(m为常数，且m>0)，将点A绕线段AB中点顺时针旋转90°得到点C.经过A、B、C三点的抛物线记为G．(1)当m=2时，求抛物线G所对应的函数表达式．(2)用含m的式子分别表示点C的坐标和抛物线G所对应的函数表达式．(直接写出即可)(3)当抛物线G在直线x=−2和x=2之间的部分(包括边界点)的最高点与最低点的纵坐标之差为8时，直接写出m的取值范围．(4)连结AC，点R在线段AC上，过点R作x轴的平行线与抛物线G交于P、Q两点，连结AP、AQ.当点R将线段PQ分成1：3两部分，且△APQ的面积为2时，求m的值．3答案和解析1.【答案】C【解析】解：A.+0.8的绝对值是0.8；B.−1.2的绝对值是1.2；C.−0.5的绝对值是0.5；D.+1的绝对值是1．∵0.5<0.8<1<1.2，∴C选项的绝对值最小．故选：C．实际克数最接近标准克数的是绝对值最小的那个数．本题主要考查正负数的绝对值的大小比较．解决本题的关键是求出各项的绝对值．2.【答案】A【解析】解：9600000这个数用科学记数法表示为9.6×106．故选：A．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】B【解析】解：根据同底数幂的乘法，得m⋅m2=m3．故选：B．根据同底数幂的乘法法则解决此题．本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．4.【答案】C【解析】解：根据题意可得，若字母A表示粉笔盒的上盖，B表示侧面，则底面在表面展开图中的位置是③．故选：C．应用几何体的展开图及应用展开图还原几何体的方法进行求解j即可得出答案．本题主要考查了几何体的展开图，熟练应用几何体的展开图及应用展开图还原几何体的方法进行求解是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：过五边形的一个顶点作对角线，有5−3=2条对角线，所以至少要钉上2根木条．故选：B．三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，作出图形更形象直观．6.【答案】A【解析】解：水的体积为200cm3，四颗相同的玻璃球的体积为4xcm3，根据题意得到：200+4x<500．故选：A．水的体积+4个玻璃球的体积<500cm3．本题考查的是由实际问题抽象出一元一次不等式，解此类题目的关键是读懂图意．7.【答案】C【解析】解：由作法得BP⊥AC，∴∠BPA=90°，∵∠A=60°，∴∠ABP=90°−∠A=30°．故选：C．利用基本作图可判断BP⊥AC，然后利用直角三角形的两锐角互余可计算出∠ABP的度数．本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．8.【答案】D【解析】解：设点A横坐标为a，则点B横坐标为2a，∵点A在直线y=x上，点B在直线y=x−1上，∴点A(a,a)，点B(2a,2a−1)．将(a,a)代入y=kx 中得a=ka，∴k=a2，将(2a,2a−1)代入y=kx 中得2a−1=k2a，∴k=2a(2a−1)，∴a2=2a(2a−1)，解得a=0(舍)或a=23，∴k=a2=49．故选：D．设点A横坐标为a，则点B横坐标为2a，用含a代数式表示k，然后解方程求解．本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题关键是掌握待定系数法求函数式解析式，掌握函数与方程的关系．9.【答案】(x+2)(x−2)【解析】解：x2−4=(x+2)(x−2)．故答案为：(x+2)(x−2)．直接利用平方差公式进行因式分解即可．本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．【解析】解：∵1<√3<2，3<√11<4，∴写出一个比√3大且比√11小的整数可以是2或3．故答案为：2(答案不唯一)．根据无理数的估算进行分析求解．本题考查无理数的估算，理解算术平方根的概念对√3和√11正确进行估算是解题关键．11.【答案】假【解析】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．故答案为假．先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．12.【答案】65【解析】解：∵AB是⊙O的切线，∴OA⊥AB，∵OA=5，AB=6，∴tan∠AOB=ABOA =65，故选：65．根据切线的性质得到OA⊥AB，根据三角函数，可得答案．本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．13.【答案】2+√3【解析】解：在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，∴AB=√3BC=√3，∵AD=DB，∵四边形BDFC是矩形，∴BC=DF=1，CF=DB=√32，∴矩形BFCD的周长为2+√3，故答案为：2+√3．解直角三角形求出AB，再求出矩形的长，宽即可解决问题．本题考查图形的拼剪，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出矩形的长，宽．14.【答案】−2<ℎ<−1【解析】解：∵y2<y1<y3，∴点P1离对称轴的距离比点P2离对称轴的距离远，点P3离对称轴的距离比点P1离对称轴的距离远，∴{−3−12<ℎ−3+12>ℎ，解得：−2<ℎ<−1．故答案为：−2<ℎ<−1．先由y2<y1<y3判断得到点P1离对称轴的距离比点P2离对称轴的距离远，点P3离对称轴的距离比点P1离对称轴的距离远，然后得到ℎ与横坐标之间的关系，从而求出ℎ点的取值范围．本题考查了二次函数的对称性和增减性，解题的关键是通过已知条件得到三点距离对称轴的远近情况．15.【答案】解：原式=1+1−2+3=3．【解析】利用零指数幂，绝对值，负整数指数幂和有理数的乘方化简运算即可．本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，零指数幂和负整数指数幂，有理数的乘方，正确使用上述法则是解题的关键．16.【答案】0.67【解析】解：(1)∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.67附近，∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约为0.67．故答案为：0.67；(2)根据题意列表如下：共有9种等可能的情况数，其中两次抽取的卡片上都写有“中”的有4种，则两次抽取的卡片上都写有“中”的概率是49．(1)根据大量的试验结果稳定在0.67左右即可得出结论；(2)根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】解：设每袋A品牌粽子的价格为x元，则每袋B品牌粽子的价格为1.2x元，依题意得：6000x −48001.2x=80，解得：x=25．经检验，x=25是原方程的解，且符合题意．答：每袋A品牌粽子的价格为25元．【解析】设每袋A品牌粽子的价格为x元，则每袋B品牌粽子的价格为1.2x元，利用数量=总价÷单价，结合用6000元购买A品牌粽子的数量比用4800元购买B品牌粽子的数量多80袋，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出每袋A品牌粽子的价格．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．18.【答案】12【解析】证明：(1)∵AD//BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE．∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∵AB=AD，∴AD=BE，∵AD//BC，即AD//BE，∴四边形ABED是平行四边形，又∵AB=AD，∴▱ABED是菱形；(2)如图，连接BD，∵四边形ABED是菱形，∴AE⊥BD，AO=OE=2，∴S△BDE=12×BD×OE=12×6×2=6，∵CE=2BE，∴△CDE的面积=2S△BDE=12，故答案为12．(1)由角平分线的性质和平行线的性质可得∠BAE=∠AEB，可得AB=BE=AD，且AD//BC，可得结论；(2)由菱形的性质可得AE⊥BD，AO=OE=2，可求S△BDE=6，即可求解．本题考查了菱形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键．19.【答案】解：(1)如图1中，点D即为所．(2)如图2中，点E即为所求．【解析】(1)在边长上取一点D，使得BC=BD=3，连接CD．(2)线段AB的垂直平分线与AC的交点E即为所求．(3)取格点M，N，连接MN交AC于点F，使得CF=3，连接BF即可．本题考查作图−应用与设计作图，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】方案二【解析】解：批发商设计的两种抽样方案中，比较合理的是方案二；故答案为：方案二；8.85×100=88.5(千克)，10答：估计这100箱黄瓜的损耗量约是88.5千克．设这批黄瓜的售价定为x元．根据题意得：x(1000−88.5)−2x1000≥700，，解得x≥54001823因为x取整数，所以x取3．答：这批黄瓜的售价至少定为每千克3元．根据抽样调查时选取的样本必须具有代表性即可求解；计算出抽取的10箱黄瓜的平均损耗率即可；设这批黄瓜的售价定为x元，根据利润=售价−进价列出方程求解即可得出答案．此题是一道利用统计知识解答实际问题的重点考题，主要考查利用统计图表处理数据的能力和利用样本估计总体的思想．从统计表中获取有用信息是解题的关键．21.【答案】解：(1)如图，(2)这些点在一条直线上．设这条直线所对应的的函数表达式为y =kx +b(k ≠0)．将(0,32)、(10,50)代入，得{32=b 50=10k +b ，解得{k =1.8b =32， ∴这条直线所对应的函数表达式为：y =1.8x +32；(3)令y =0，得1.8x +32=0.解得x =−1609， ∴华氏0度时所对应的摄氏温度为−1609；(4)有相等的可能，令x =1.8x +32.解得x =−40，所以华氏温度的值与所对应的摄氏温度的值相等时，摄氏温度为−40°C ．【解析】(1)根据表中数据描点即可；(2)利用待定系数法求解即可；(3)令y =0，求出x 的值即可；(4)x =1.8x +32，解方程即可．本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，由函数求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是解题的关键．22.【答案】2【解析】解：[问题原型]∵AC为⊙O的直径，∴OA为⊙O的半径，令OA=r，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，∴OB=OD=OA=r，∴点B、D在⊙O上；[结论应用]如图②，连接CD交AB于点O，过点D作DE⊥AB于点E，∴DE≤OD，由[发现结论]可知，点D在以AB为直径的圆上，即OD=OA=12AB=1，∴当DE=OD=1及AB⊥CD时，矩形ACBD的面积最大，∴矩形ACBD的面积最大值为2×1×12×2=2；[拓展延伸]如图，连接GH，设AC与EF的交点为O，∵四边形ABCD是正方形，AB=2，∴∠BAD=∠ADC=90°，AE//DF，∵点E、F分别为边AB、CD的中点，∴AE=EB=CF=FD=1，EF=2，∴四边形AEFD为矩形，由[结论应用]可知，EF=2时，矩形EGFH的面积最大为12EF2=2，∴EF⊥GH，EO=OF=OH=OG=12EF=1，∴四边形AEOH是正方形，∴AE=AH=12AB=1，在Rt△AEH中，EH=√AE2+AH2=√12+12=√2，∴S正方形EGFH=EH2=2，故答案为：2．[问题原型]令⊙O的半径OA=r，根据矩形的性质得到AC=BD，OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，进而得出OB=OD=OA=r，即可得解；[结论应用]连接CD交AB于点O，过点D作DE⊥AB于点E，由[发现结论]可知，点D在以AB为直径的圆上，即OD=OA=12AB=1，当DE=OD=1即AB⊥CD时，矩形ACBD 的面积最大，据此求解即可；[拓展延伸]由[结论应用]的结论可知四边形EGFH为正方形，证明四边形AEOH是正方形，进而求得面积．此题是圆的综合题，考查了圆的性质、矩形的性质、正方形的性质及矩形面积等知识，熟练掌握圆的性质、矩形的性质、正方形的性质并作出合理的辅助线是解题的关键．23.【答案】3【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，AB=4，∴BC=√AC2−AB2=√52−42=3．故答案为：3．(2)当0<t<35时，MN=2(3−5t)=6−10t．当35<t≤53时，MN=2(5t−3)=10t−6．(3)①当MQ//PN时，CMMN =CQPQ，∵CQ=PQ，∴CM=MN，解得t=25，此时MN=6−10×25=2．②如图1中，当NQ⊥AC时，∠CNQ=∠A，此时CN=MN．在Rt△CPM中，CP=3t，∵△CPM∽△CBA，∴CPCB =PMAB=CMAC，∴3t3=PM4=CM5，∴PM=4t，AM=5t，∵M，N关于点B对称，∴BM=BN=5t−3，∴CN=5t−2(5t−3)，∴5t−2(5t−3)=2(5t−3)，∴t=45，如图2中，当∠CNA=∠A时，过点Q作QH⊥BC于H．第21页，共23页 ∴CH =35CQ =910t ，QH =45CQ =65t ，∵BN =BM =5t −3，∴CN =5t −3−3=5t −6，∴NH =CN +CH =5t −6+910t =5910t −6， ∵tan∠CNA =HQ NH =34， ∴65t 5910t−6=34，∴t =6043，经检验t =6043是分式方程的解，综上所述，满足条件的t 的值为45或6043．(1)利用勾股定理求解即可．(2)分两种情形：当0<t <35时，当35<t ≤53时，分别求解．(3)证明CM =MN ，由此构建方程，可得结论．(4)分两种情形：如图1中，当NQ ⊥AC 时，∠CNQ =∠A ，此时CN =MN ，由此构建方程，即可解决问题．.如图2中，当∠CNA =∠A 时，过点Q 作QH ⊥BC 于H.根据tan∠CNA =HQ NH =34，构建方程，可得结论． 本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．24.【答案】解：(1)由题意可知，点C 为抛物线G 的顶点，当m =2时，C(2,6)，设G 所对应的函数的表达式为y =a(x −2)2+6(a ≠0)，将点A(0,4)代入y =a(x −2)2+6得4=4a +6，解得a =−12．∴y =−12(x −2)2+6．(2)∵抛物线对称轴为直线x =0+2m 2=m ，∴点C 坐标为(m,m +4)，设抛物线解析式为y =a(x −m)2+m +4，把(0,4)代入y=a(x−m)2+m+4得4=am2+m+4，解得a=−1m，∴y =−1m(x−m)2+m+4．(3)①0<m≤2时，在直线x=−2和x=2之间的部分的抛物线最高点为顶点(m,m+4)，最低点为直线x=−2与抛物线交点(−2,−4m)，m+4−(−4m)=8时，解得m=2．②当m>2时，图象最高点为直线x=2与抛物线交点(2,−4m+8)，最低点为直线x=−2与抛物线交点(−2,−4m)，−4m +8−(−4m)=8，∴m>2符合题意，∴m≥2．(4)作CD⊥PQ于点D，∵点R将线段PQ分成1：3两部分，∴PQ=4PR=2PD，∴PR=RD，∴CD=RD，∴PQ=4CD，设CD=t，则PQ=4t，∴点Q的坐标为(m+2t,m+4−t)，∴=−1m(m+2t−m)2+m+4=m+4−t．第22页，共23页第23页，共23页 解得t =14m.∴点Q 坐标为(32m,34m +4)，PQ =m ，∵△APQ 的面积为23，∴12m(34m +4−4)=23， 解得m =43或m =−43(舍)．∴m =43．【解析】(1)利用旋转的性质，求出点C ，利用顶点式，将点C 代入式中求解即可；(2)根据旋转的性质可知，点C 的横坐标为A 、B 的中点，纵坐标在原来的基础上加上m ，再利用顶点求出解析式即可；(3)分两种情况来讨论，第一类，当函数的对称轴x >2时；第二类，当函数的对称轴x <2 时来讨论，分别求出m 的取值，再和在一起；(4)当R 将线段PQ 分成1：3两部分，可得出线段之间的关系，引进含m 的坐标，根据△APQ 的面积建立m 的等式，求解即可．本题考查函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式，通过数形结合的方法求解．。
吉林省长春市2021年中考模拟数学试卷(含答案)
（2）当 为何值时， 为直角三角形？请说明理由.
24．(本题12分)如图，已知二次函数y＝ax2+ x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）请直接写出二次函数的表达式；
【解析】(1) ① =(9+10+9+6+9) =8.6，②观察五项素质考评得分表可知乙班的众数是8，③观察五项素质考评得分表可知甲班的中位数是10；
(2)甲班，理由为：三个班的平均数相同，甲班的众数与中位数都高于乙班与丙班；
(3)根据题意,得：丙班的平均数为9× +10× +9× +6× +9× =8.9
2．A
【解析】 ，
故选：A．
3．D
【解析】解：将这杯水斜着放可得到A选项的形状，
将水杯倒着放可得到B选项的形状，
将水杯正着放可得到C选项的形状，
不能得到三角形的形状，
故选D．
4．B
【解析】∵点P（ ， ）在第四象限，
∴ ，
∴ 的取值范围是 ．
故选：B．
5．B
【解析】如图，
∵AB的坡度为1：2，
∴ ，即 ，
13．(本题3分)如图，等边三角形 内接于 ，点 是 上两点，且 ，若 ，则图中阴影部分的面积为_____．
14．(本题3分)抛物线 可以由抛物线 向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到，则mn值为______．
三、解答题(本大题共10小题,共78分)
15．(本题6分)已知 ， 是方程 的两根且 ，
17．(本题6分)某校八年级为庆祝中华人民共和国建党100周年，准备举行唱红歌、颂经典活动.八年级（2）班积极准备，需购买文件夹若干，某文具店有甲、乙两种文件夹.
吉林省长春市2021年中考数学试卷真题(word版,含答案解析)
吉林省长春市2021年中考数学试卷一、单选题（共8题；共16分）1.−(−2) 的值为（ ）A. −2B. 2C. −12 D. 12 【答案】 B【考点】相反数及有理数的相反数【解析】【解答】解：化简多重负号，就看负号的个数，此时有两个符号，偶数个则为正， 故答案为：B ．【分析】根据负号的个数判断即可作答。
2.据报道，我省今年前4个月货物贸易进出口总值为52860 000 000元人民币，比去年同期增长28.2%．其中52860000 000这个数用科学记数法表示为（ ）A. 0.5286×1011B. 5.286×1010C. 52.86×109D. 5286×107 【答案】 B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数 【解析】【解答】解：52860000000= 5.286×1010 ， 故答案为：B ．【分析】 将一个数表示成 a ×10的n 次幂的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，这种记数方法叫科学记数法。
根据科学记数法的定义计算求解即可。
3.如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（ ）A. 圆锥B. 长方体C. 球D. 圆柱 【答案】 D【考点】由三视图判断几何体【解析】【解答】解：主视图和俯视图为矩形，则该几何体为柱体，根据左视图为圆，可知该几何体为：圆柱A 、B 、C 选项不符合题意，D 符合题意． 故答案为：D ．【分析】根据所给的三视图判断几何体即可。
4.关于x 的一元二次方程 x 2−6x +m =0 有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】 A【考点】一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有两个不相等的实数根，∴Δ=(−6)2−4×1×m>0，解得：m＜9，m的值可能是：8．故答案为：A.【分析】利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。
长春市中考数学模拟试卷九含答案解析
2021年吉林省长春市中考数学模拟试卷〔九〕一、选择题〔共 8小题，每题3分，总分值24分〕1．﹣的相反数是〔〕A． B．﹣C．2 D．﹣22．以下图形中，是正方体外表展开图的是〔〕A． B．C．D．3．2021年1﹣3月，全国网上商品零售额6310亿元，将6310用科学记数法表示应为〔〕A．×103B．×102C．×104D．×1044．不等式组的解集为〔〕A．x≤2B．x＞﹣1 C．﹣1＜x≤2D．﹣1≤x≤25．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1上一点A关于x轴的对称点为B〔2，m〕，那么m的值为〔〕A．﹣1 B．1 C．2 D．36．如图，在⊙O中，直径 AB=5，弦BC=3，假设点P为弧BC上任意一点，那么AP的长不可能为〔〕A．3 B．4 C．4.5 D．57．如图，在菱形ABCD中，E为边CD上一点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F，假设CE=1，DE=2，那么CF长为〔〕第1页〔共27页〕A ．1B ．1.5C ．2D ．8．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ABC 的直角顶点 A 的坐标为〔2，0〕，顶 点B 的坐标为〔0，1〕，顶点C 在第一象限，假设函数 y= 〔x ＞0〕的图象经过点 C ，那么k的值为〔 〕A ．2B ．3C ．4D ．6二、填空题〔共6小题，每题 3分，总分值18分〕9．计算：=______10．假设关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+k ﹣2=0有两个相等的实数根，那么 k 的值为______．11．如图，直线a 与直线b 被直线c 所截，b ⊥c ，垂足为点A ，∠1=70°，假设使直线b 与直线a 平行，那么可将直线b 绕着点A 顺时针至少旋转______度．12．如图，在△ ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8．以点A 为圆心，AC 长为半径作圆弧交 边AB 于点D ，那么BD 的长为______．13．如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，假设∠ B=130°，那么∠AOC 的大小为______．第2页〔共27页〕14y=a x1〕2﹣2〔x≤0，a为常数〕的顶点A．如图，在平面直角坐标系中，过抛物线〔+作AB⊥x轴于点B，过抛物线y=﹣a〔x﹣1〕2+2〔x≥0，a为常数〕的顶点C作CD⊥x轴于点D，连结AD、BC．那么四边形ABCD的面积为______．三、解答题〔共10小题，总分值78分〕15．先将代数式因式分解，再求值：2x〔a﹣2〕﹣y〔2﹣a〕，其中，，y=﹣2．16．在一个不透明的袋子里装有四只标号分别为1，2，3，4的乒乓球，这些乒乓球除所标数字不同其余均相同．先从袋子里随机摸出一个乒乓球〔不放回〕，再从袋子里随机摸出一个乒乓球，请用画树状图〔或列表〕的方法，求两次摸出乒乓球的标号是连续整数的概率．17．甲、乙两地之间的公路长120千米，一辆汽车从甲地匀速驶往乙地，比原方案晚出发24分钟，该车实际行驶的速度是原方案行驶的速度的倍，结果按原方案时间到达乙地，求该车实际行驶速度．18．如图，在?ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．19．如图，把两幅完全相同的长方形图片粘贴在一矩形宣传板EFGH上，除D点外，其他顶点均在矩形EFGH的边上．AB=50cm，BC=40cm，∠BAE=55°，求EF的长．参考数据：sin55°，cos55°，tan55°．20．为了解大学生参加公益活动的情况，几位同学设计了调查问卷，对几所大学的学生进行了随机调查，问卷如下：第3页〔共27页〕根据调查结果绘制出如下两幅不完整的统计图．请答复以下问题：〔1〕此次被调查的学生人数为______人，扇形统计图中m的值为______．〔2〕请补全条形统计图．〔3〕据统计，该市某大学有学生15000人，请估计这所大学2021﹣2021学年度第一学期参加过至少两次公益活动的人数．21．小明与小英同时从人们广场出发，沿同一路线骑自行车匀速前往净月潭公园，小明骑行分钟后因事耽误一会儿，事后继续按原速骑行到达目的地．在小明和小英骑行过程中，二人骑行的路程y〔千米〕与小英的骑行时间x〔分〕之间的函数图象如下图．〔1〕求小明比小英早到目的地的时间．〔2〕求图象中线段BC所对应的函数表达式．〔3〕直接写出在小明和小英所骑行的路程相差不超过1千米时x的取值范围．22．问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格〔每个小正方形的边长为1〕，再在网格中画出格点△ABC〔即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处〕，如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．〔1〕请你将△ABC的面积直接填写在横线上______；思维拓展：〔2〕我们把上述求△A BC面积的方法叫做构图法．假设△ABC三边的长分别为、、〔a＞0〕，请利用图②的正方形网格〔每个小正方形的边长为a〕画出相应的△ABC，并求出它的面积；第4页〔共27页〕探索创新：〔3〕假设△ABC 三边的长分别为、 、 〔m ＞0，n ＞0，且m ≠n 〕，试运用构图法求出这三角形的面积．23．如图，在△ABC 中，AB=7，BC=4 ，∠B=45°，动点P 、Q 同时出发，点P 沿A ﹣C﹣B 运动，在边AC 的速度为每秒 1个单位长度，在边CB 的速度为每秒个单位长度；点Q 沿B ﹣A ﹣B 以每秒2个单位长度的速度运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，在运动过程中，过点 P 作AB 的垂线与AB 交于点D ，以PD 为边向由作正方形PDEF ；过点Q 作AB 的垂线l ．设正方形PDEF 与△ABC 重叠局部图形的面积为y 〔平方单位〕，运动时间为t 〔秒〕．〔1 〕当点P 运动点C 时，PD 的长度为______．〔2 〕求点D 在直线l 上时t 的值． 〔3〕求y 与t 之间的函数关系式．〔4 〕在运动过程中，是否存在某一时刻t 使得在直线上任取一点H ，均有HD=HE ？假设存在，请直接写出t 的值；假设不存在，请说明理由．24．原型：如图①，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，C 是在直线l 上的一点，AD ⊥l ，BE ⊥l ，垂足分别为D 、E ．易证△ACD ∽△CBE ．〔不需证明〕应用：点A 、B 在抛物线 y=x 2上，且OA ⊥OB ，连结AB 与y 轴交于点C ，点C 的坐标为 0，d 〕．过点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为M 、N ，点M 、N 的坐标分别为〔m ，0〕、 n ，0〕．1〕当OA=OB 时，如图②，m=______，d=______；当OA ≠OB ，如图③，m=时，d=______．〔2〕假设将抛物线“y=x 2〞换成“y=2x 2〞，其他条件不变，当 OA=OB 时，d=______；当OA ≠OB ，m=1时，d=______．探究：假设将抛物线 “y=x 2〞换成“y=ax 2〔a ＞0〕〞，其他条件不变，解答以下问题： 〔1〕完成以下表格．第5页〔共27页〕a1 2 3d 1 ______ ______〔2〕猜想d 与a 的关系，并证明其结论．拓展：如图④，点A 、B 在抛物线 y=ax 2〔a ＞0〕上，且OA ⊥OB ，连结AB 与y 轴关于点 C ，AB 的延长线与 x 轴交于点 D ．AE ⊥x 轴，垂足为 E ，当AE= 时，△AOE 与△CDO 的面积之比为______．第6页〔共27页〕2021年吉林省长春市中考数学模拟试卷〔九〕参考答案与试题解析一、选择题〔共8小题，每题3分，总分值24分〕1．﹣的相反数是〔〕A．B．﹣C．2D．﹣2【考点】相反数．【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫相反数即可求解．【解答】解：根据概念得：﹣的相反数是．应选A．2．以下图形中，是正方体外表展开图的是〔〕A．B．C．D．【考点】几何体的展开图．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的外表展开图的特点解题．【解答】解：根据正方体展开图的特点，、能折成正方体，正确；B、折起来出现重叠，不是正方体的外表展开图，故错误；C、D、都是“2﹣4〞结构，出现重叠现象，不能折成正方体，即不是正方体的外表展开图，故错误；应选：A．3．2021年1﹣3月，全国网上商品零售额6310亿元，将6310用科学记数法表示应为〔〕A．×103B．×102C．×104D．×104【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1a10，n为整数．确定n的×≤||＜值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将6310用科学记数法表示为×103．应选A．第7页〔共27页〕4．不等式组的解集为〔〕A．x≤2B．x＞﹣1C．﹣1＜x≤2D．﹣1≤x≤2【考点】解一元一次不等式组．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共局部就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得：x＞﹣1，解②得：x≤2，那么不等式组的解集是：﹣1＜x≤2．应选：C．5y=x1上一点A关于x轴的对称点为B2，m〕，．如图，在平面直角坐标系中，直线﹣+〔那么m的值为〔〕A．﹣1B．1C．2D．3【考点】一次函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点可得A〔2，﹣m〕，然后再把A点坐标代入y=﹣x+1可得m的值．【解答】解：∵点B〔2，m〕，∴点B关于x轴的对称点A〔2，﹣m〕，∵A在直线y=﹣x+1上，∴﹣m=21=1﹣+﹣，m=1．应选：B．6．如图，在⊙O中，直径AB=5，弦BC=3，假设点P为弧BC上任意一点，那么AP的长不可能为〔〕A．3B．4C．4.5 D．5【考点】圆周角定理．【分析】连结AC，如图，先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再利用勾股定理计算出AC=4，然后利用点P为弧BC上任意一点得到AP≥AC，于是利用AP的范围可对各选项进行判断．第8页〔共27页〕【解答】解：连结AC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，AC===4，∵点P为弧BC上任意一点，∴≥，∴AP≥AC，即AP≥4．应选A．7．如图，在菱形ABCD中，E为边CD上一点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F，假设CE=1，DE=2，那么CF长为〔〕A．1B．1.5 C．2D．【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．【分析】根据菱形的性质得到AD=CD=CE+DE=3，AD∥BC，推出△ADE∽△CFE，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论．【解答】解：在菱形ABCD中，∵AD=CD=CE+DE=3，AD∥BC，∴△ADE∽△CFE，∴，∴，，应选B．8．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形A BC的直角顶点A的坐标为〔2，0〕，顶点B的坐标为〔0，1〕，顶点C在第一象限，假设函数y=〔x＞0〕的图象经过点C，那么k 的值为〔〕第9页〔共27页〕A．2B．3C．4D．6【考点】反比例函数的性质．【分析】作CD⊥x轴，构造△AOB≌△CDA，得到DC=OA=2，AD=BO=1，求出C的坐标，把C点坐标代入y=〔x＞0〕即可求出k的值．【解答】解：∵点A的坐标为〔2，0〕，顶点B的坐标为〔0，1〕，OA=2，OB=1，作CD⊥x轴与D，∴∠BAO+∠CAD=90°，∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠CAD=∠ABO，在△AOB和△CDA中，，∴△AOB≌△CDA，DC=OA=2，AD=BO=1，DO=OA+AD=1+2=3；C点坐标为〔3，2〕，把〔3，2〕代入y=〔x＞0〕得，k=6．应选D．二、填空题〔共6小题，每题3分，总分值18分〕9．计算：=【考点】二次根式的乘除法．【分析】根据二次根式的乘法法那么计算．【解答】解：原式==．故答案为：．第10页〔共27页〕10．假设关于x的一元二次方程24x k﹣2=0有两个相等的实数根，那么k的值为6．x﹣+【考点】根的判别式．【分析】根据方程有两个相等的实数根得到△=b 2﹣4ac=0，求出k的值即可．【解答】解：∵一元二次方程x24x k﹣2=0有两个相等的实数根，﹣+∴△=b 2﹣4ac=〔﹣4〕2﹣4×1×〔k﹣2〕=0，16﹣4k+8=0，k=6．故答案为6．11．如图，直线a与直线b被直线c所截，b⊥c，垂足为点 A，∠1=70°，假设使直线b与直线a平行，那么可将直线b绕着点A顺时针至少旋转20度．【考点】平行线的判定；旋转的性质．【分析】先根据b⊥c得出∠2的度数，再由平行线的判定定理即可得出结论．【解答】解：∵b⊥c，∴∠2=90°．∵∠1=70°，a∥b，∴直线b绕着点A顺时针旋转的度数=90°﹣70°=20°．故答案为：20．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．以点A为圆心，AC长为半径作圆弧交边AB于点D，那么BD的长为4．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】首先利用勾股定理可以算出AB的长，再根据题意可得到AD=AC，根据BD=AB﹣AD即可算出答案．【解答】解：∵AC=6，BC=8，∴AB==10，第11页〔共27页〕∵以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交 AB 于点D ， ∴AD=AC ， AD=6， BD=AB ﹣AD=10﹣6=4． 故答案为：4． 13．如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，假设∠ B=130°，那么∠AOC 的大小为 100°．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理． 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ D 的度数，根据圆周角定理计算即可． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠B+∠D=180°， ∴∠D=180°﹣130°=50°，由圆周角定理得，∠ AOC=2∠D=100°，故答案为：100 °．14．如图，在平面直角坐标系中，过抛物线 y=a 〔x+1〕2﹣2〔x ≤0，a 为常数〕的顶点 A作 AB ⊥ x 轴于点 B ，过抛物线 y= ax 1 2 2x0a 为常数〕的顶点 C 作 CD ⊥ x 轴 ﹣〔 ﹣〕 +〔≥， 于点D ，连结AD 、BC ．那么四边形 ABCD 的面积为4．【考点】二次函数的性质． 【分析】根据题意知道两个抛物线关于原点对称，从而判断四边形 ABCD 的形状为平行四 边形，然后根据抛物线的顶点坐标确定 CD 和BD 的长，利用平行四边形的面积计算方法确 定面积即可． 【解答】解：∵抛物线y=a 〔x+1〕2﹣2〔x ≤0，a 为常数〕与抛物线y=﹣a 〔x ﹣1〕2+2〔x ≥0，a 为常数〕关于原点对称，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵抛物线y=a 〔x+1〕2﹣2〔x ≤0，a 为常数〕的顶点坐标为〔﹣1，﹣2〕，抛物线y=﹣a 〔x1 2 2 x0 a 为常数〕的顶点坐标为〔 12 〕，﹣ 〕 + 〔≥， ，∴ B D=2，CD=2，第12页〔共27页〕∴S四边形ABCD=BD×CD=2×2=4，故答案为：4．三、解答题〔共10小题，总分值78分〕15．先将代数式因式分解，再求值：2x〔a﹣2〕﹣y〔2﹣a〕，其中，，y=﹣2．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】原式变形后，提取公因式化为积的形式，将a，x以及y代入计算即可求出值．【解答】解：原式=2x〔a﹣2〕+y〔a﹣2〕=〔a﹣2〕〔2x+y〕，当，，y=﹣2时，原式=〔﹣2〕×〔3﹣2〕=﹣．16．在一个不透明的袋子里装有四只标号分别为1，2，3，4的乒乓球，这些乒乓球除所标数字不同其余均相同．先从袋子里随机摸出一个乒乓球〔不放回〕，再从袋子里随机摸出一个乒乓球，请用画树状图〔或列表〕的方法，求两次摸出乒乓球的标号是连续整数的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出乒乓球的标号是连续整数的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出乒乓球的标号是连续整数的有6种情况，∴两次摸出乒乓球的标号是连续整数的概率为：=．17．甲、乙两地之间的公路长120千米，一辆汽车从甲地匀速驶往乙地，比原方案晚出发24分钟，该车实际行驶的速度是原方案行驶的速度的倍，结果按原方案时间到达乙地，求该车实际行驶速度．【考点】分式方程的应用．【分析】设该车原方案行驶的速度为x千米/时，那么实际行驶的速度为千米/时，根据“一辆汽车从甲地匀速驶往乙地，比原方案晚出发24分钟，该车实际行驶的速度是原方案行驶的速度的倍，结果按原方案时间到达乙地〞列出方程，求解即可．【解答】解：设该车原方案行驶的速度为x千米/时，那么实际行驶的速度为千米/时，根据题意，得﹣=，解得：x=60，经检验，x=60是原方程的解，且x=60时，1.25x=75，符合题意．答：该车实际行驶的速度为75千米/时．18．如图，在?ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．第13页〔共27页〕【考点】平行四边形的性质；菱形的判定；平行线分线段成比例．【分析】根据平行四边形性质推出AD∥BC，根据平行线分线段成比例定理求出OE=OF，推出平行四边形AFCE，根据菱形的判定推出即可．【解答】解：四边形AFCE是菱形，理由是：∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，∴=，∵AO=OC，∴OE=OF，∴四边形AFCE是平行四边形，EF⊥AC，∴平行四边形AFCE是菱形．19．如图，把两幅完全相同的长方形图片粘贴在一矩形宣传板EFGH上，除D点外，其他顶点均在矩形EFGH的边上．AB=50cm，BC=40cm，∠BAE=55°，求EF的长．参考数据：sin55°，cos55°，tan55°．【考点】解直角三角形．【分析】根据图形可以知道EF=EB+BF，分别在直角三角形 ABE和BCF中，利用三角函数计算求出BE和BF的长，这样就能求出EF的长．【解答】解：在直角三角形ABE中，AB=50cm，∠BAE=55°，BE=AB?sin∠BAE=50?sin55°=50×0.82=41．∵ABCD是矩形，∴∠CBF=∠BAE=55°，∴在直角三角形BCF中，BC=40cm，∠CBF=55°，BF=BC?cos∠CBF=40?cos55°=40×．EF=BE+BF=41．所以EF的长为．20．为了解大学生参加公益活动的情况，几位同学设计了调查问卷，对几所大学的学生进行了随机调查，问卷如下：第14页〔共27页〕根据调查结果绘制出如下两幅不完整的统计图．请答复以下问题：〔1〕此次被调查的学生人数为200人，扇形统计图中m的值为13．〔2〕请补全条形统计图．〔3〕据统计，该市某大学有学生15000人，请估计这所大学2021﹣2021学年度第一学期参加过至少两次公益活动的人数．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】〔1〕根据B的人数和所占的百分比即可求出总人数，再用D的人数除以总人数即可求出m的值；2〕用总人数减去A、B、D的人数求出C的人数，从而补全统计图；3〕用该市的总人数乘以这所大学2021﹣2021学年度第一学期参加过至少两次公益活动的人数所占的百分比即可．【解答】解：〔1〕∵B组人数为74人，在扇形统计图中占37%，∴此次被调查的学生人数为：74÷37%=200〔人〕，∵D组人数为26人，=13%，那么扇形统计图中m的值为：13；故答案为：200，13；〔2〕C的人数是：200﹣10﹣74﹣26=90〔人〕，补图如下：第15页〔共27页〕〔3〕∵该市某大学有学生15000人，∴15000×=8700〔人〕，答：这所大学2021﹣2021学年度第一学期参加过至少两次公益活动的大约有8700人．21．小明与小英同时从人们广场出发，沿同一路线骑自行车匀速前往净月潭公园，小明骑行分钟后因事耽误一会儿，事后继续按原速骑行到达目的地．在小明和小英骑行过程中，二人骑行的路程y〔千米〕与小英的骑行时间x〔分〕之间的函数图象如下图．〔1〕求小明比小英早到目的地的时间．〔2〕求图象中线段BC所对应的函数表达式．〔3〕直接写出在小明和小英所骑行的路程相差不超过1千米时x的取值范围．【考点】一次函数的应用．【分析】〔1〕根据图形可得小英60分钟行驶了10千米，可以求得小英用的速度，从而可以求得小英用的时间，进而求得小明比小英早到目的地的时间；〔2〕由图可知，点B和点C的坐标，从而可以求得线段BC所对应的函数表达式；〔3〕根据题意和图形可以分别求得小明和小英的速度，以及各段他们对应的函数解析式，从而可以求得各段小明和小英所骑行的路程相差不超过1千米时x的取值范围．．【解答】解：〔1〕由图可知，小英60分钟行驶了10千米，那么小英到到目的地时用的时间为：分钟，∵90﹣80=10，故小明比小英早到目的地的时间是10分钟；2〕由图象可得，点B的坐标是〔40，5〕，点C的坐标是〔80，15〕，设过点B、C的函数解析式是y=kx+b，那么解得，即线段BC对应的函数解析式为：y=；〔3〕由图象可知，小明20分钟行驶5千米，那么小明的速度为：5÷千米/分，小英60分钟行驶了10千米，小英的速度为：10÷60=千米/分，当0≤x≤20时，0≤，得0≤x≤12；第16页〔共27页〕当20＜x≤40时，，得24≤x≤36；当40＜x≤80时，，解得，48≤x≤72；当80＜x≤90时，0≤15﹣≤1，得84≤x≤90；由上可得，当0≤x≤12，24≤x≤36，48≤x≤72，84≤x≤90时，小明和小英所骑行的路程相差不超过1千米．22．问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格〔每个小正方形的边长为1〕，再在网格中画出格点△ABC〔即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处〕，如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．〔1〕请你将△ABC的面积直接填写在横线上；思维拓展：〔2〕我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．假设△ABC三边的长分别为、、〔a＞0〕，请利用图②的正方形网格〔每个小正方形的边长为a〕画出相应的△ABC，并求出它的面积；探索创新：〔3〕假设△ABC三边的长分别为、、〔m＞0，n＞0，且m≠n〕，试运用构图法求出这三角形的面积．【考点】作图—代数计算作图．【分析】〔1〕△ABC的面积=3×3﹣1×2÷2﹣1×3÷2﹣2×3÷；〔2〕a是直角边长为a，2a的直角三角形的斜边；2a是直角边长为2a，2a的直角三角形的斜边；a是直角边长为a，4a的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；〔3〕结合〔1〕，〔2〕易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积．【解答】解：〔1〕；〔2〕如图：第17页〔共27页〕S△ABC=2a×4a﹣a×2a﹣×2a×2a﹣=3a2；〔3〕解：构造△ABC所示，S△ABC=3m×4n﹣﹣×3m×2n×2m×2n=5mn．23．如图，在△ABC中，AB=7，BC=4，∠B=45°，动点P、Q同时出发，点P沿A﹣C ﹣B运动，在边AC的速度为每秒1个单位长度，在边CB的速度为每秒个单位长度；点Q沿B﹣A﹣B以每秒2个单位长度的速度运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，在运动过程中，过点P作AB的垂线与AB交于点D，以PD为边向由作正方形PDEF；过点Q作AB的垂线l．设正方形PDEF与△ABC重叠局部图形的面积为y〔平方单位〕，运动时间为t〔秒〕．〔1〕当点P运动点C时，PD的长度为4．〔2〕求点D在直线l上时t的值．〔3〕求y与t之间的函数关系式．〔4〕在运动过程中，是否存在某一时刻t使得在直线上任取一点H，均有HD=HE？假设存在，请直接写出t的值；假设不存在，请说明理由．【考点】四边形综合题．第18页〔共27页〕【分析】〔1〕过点P作PD垂直AB，垂足为D，由题意可知，△PDB为等腰直角三角形，从而可求得PD的长；〔2〕先求得AD的长，然后依据勾股定理可求得AC的长，由锐角三角函数的定义AD=t，当点Q由A到B时．AQ=2〔t﹣〕，然后由AQ=AD列方程求解即可；如图2所示：当点Q由B到A时，AP=t，那么AD=t，BQ=2t，由AD+BQ=7列方程求解即可；〔3〕如图4所示：可分为正方形全部在△ABC的内部、正方形的一局部在△ABC内部、正方形的一半在△ABC的内部三种情况进行计算；〔4〕由线段垂直平分线的性质可知l为DE的垂直平分线，然后用含t的式子表示出AQ，BQ的长，最后列方程求解即可．【解答】解：〔1〕如图1所示：∴．∵PD⊥AB，∴∠PDB=90°．又∵∠DBP=45°．∴PD=BD=BC×=4×=4．故答案为：4．2〕如图1所示：∵AB=7，BD=4，∴AD=3．∴AC=5．sin∠A=，cos∠A=．如图2所示：当点P在AC上时，AP=t，那么PD= t，AD=t，BQ=2t．∵AD+BQ=7，t+2t=7．第19页〔共27页〕解得：t= ．如图3所示：当点Q 由A 到B 时．AD= t ，AQ=2〔t ﹣〕．根据题意得： t=2〔t ﹣〕． 解得t=5．综上所述，当 t= 或t=5时，点D 在直线l 上．〔3〕如图4所示：PD=t ，S=DP 2=〔t 〕2=t 2．当点F 恰好在BC 上时．EF=BB= t ．∵AD+DE+EB=7， t+t+t=7．解得：t= ．∴当0＜t ≤时，S= t 2．当＜t ≤5时，如图5所示．第20页〔共27页〕∵AQ= t ，DE=PD= t ，∴EB=7﹣ t ．∵∠GEB=90°，∠B=45°， EG=EB=7﹣t ．∴FG=FE ﹣GE=t ﹣7．∴ S=PD2﹣ FH FG= ﹣ t2+ t? ﹣． 当 5＜t ≤7 时，如图 6所示．∵AD=AC × + CP=3+〔t ﹣5〕=t ﹣2，DB=7﹣〔t ﹣2〕=9﹣t ．∴S= 〔9﹣t 〕2= t 2﹣9t+．综上所述，S 与t 的关系式为S= ．〔4〕如图7所示：当l 为DE 的垂直平分线时，直线l 上任意一点 H ，使的HD=HE ．第21页〔共27页〕AD=t ，DE=DP=t ，∴AQ= t+ t ． QB=2t ．∴t+2t=7． 解得：t= ． 如图8所示：∵由〔3〕可知AD=t ﹣2，PD=9﹣t ， AQ=t ﹣﹣t=2.5+t ．2.5+t=2t ﹣7．解得：t= ．综上所述，当 t=或t= 时，在直线 l 上存在点 H 使得HD=HE ．24．原型：如图①，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，C 是在直线l 上的一点，AD ⊥l ，BE ⊥l ，垂足分别为D 、E ．易证△ACD ∽△CBE ．〔不需证明〕应用：点A 、B 在抛物线 y=x 2上，且OA ⊥OB ，连结AB 与y 轴交于点C ，点C 的坐标为 0，d 〕．过点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为M 、N ，点M 、N 的坐标分别为〔m ，0〕、 n ，0〕．1〕当OA=OB 时，如图②，m=1，d=1；当OA ≠OB ，如图③，m=时，d=1．第22页〔共27页〕〔2〕假设将抛物线“y=x 2〞换成“y=2x 2〞，其他条件不变，当OA=OB 时，d=；当OA ≠OB ，m=1时，d= ．探究：假设将抛物线“y=x 2〞换成“y=ax 2〔a ＞0〕〞，其他条件不变，解答以下问题：〔1〕完成以下表格．a 1 2 3d12〔2〕猜想d 与a 的关系，并证明其结论． 拓展：如图④，点A 、B 在抛物线 y=ax 2〔a ＞0〕上，且OA ⊥OB ，连结AB 与y 轴关于点 C ，AB 的延长线与 x 轴交于点 D ．AE ⊥x 轴，垂足为 E ，当AE= 时，△AOE 与△CDO 的面积之比为 4：9 ．【考点】二次函数综合题．【分析】〔1〕如图 ②中，根据条件利用相似三角形的性质求出点B 坐标以及求出直线AB与y 轴的交点，点M 的坐标即可．〔2〕如图③中，由题意A 〔，〕，设B 〔k ，k 2〕由△AOM ∽△OBN ，得 ，求出点B 坐标，再求出直线AB 与y 轴的交点即可解决问题探究：〔1〕利用相似三角形性质求出点 B 坐标，再求出直线 AB 与y 轴的交点即可解决问题．〔2〕如图④中，结论：d=，由点A 〔m ，am 2〕，点B 〔n ，an 2〕的坐标，求出直线AB的解析式，再利用△AOM ∽△OBN 得 ，得出mn 与a 的关系即可解决问题．【解答】解：〔1〕如图②中，∵OA=OB ，∠AOB=90°， ∴A 、B 关于y 轴得出， ∴AB ∥MN ， ∴可以设点A 坐标〔x ，x 〕，x=x 2， ∵x ≠0， x=1，m=1，d=1． 如图③中，由题意A 〔 ，〕，设B 〔k ，k 2〕．第23页〔共27页〕∵△AOM ∽△OBN ，∴，∴，k=﹣，∴点 B坐标〔﹣， 〕，设直线 AB为 y=k ′x b 那么解得 ，+∴直线 AB为 y= ﹣1 ，+ ∴d=1．故答案为1，1，1．〔2〕假设将抛物线“y=x 2〞换成“y=2x 2〞，其他条件不变，当 OA=OB 时，如图 2，∵OA=OB ，∠AOB=90°，∴A 、B 关于y 轴得出， ∴AB ∥MN ， ∴可以设点 A 坐标〔x ，x 〕， x=2x 2， ∵x ≠0， x=，d=， 当OA ≠OB ，m=1时，如图3中，点A 〔1，2〕，设B 〔k ，2k 2〕．∵△AOM ∽△OBN ，∴，∴= ，k=﹣，∴点B 〔﹣，〕，∵直线AB 为y= x +．∴点C 坐标为〔0，〕，∴d= ．第24页〔共27页〕故答案为 ， ．探究〔1〕同理可以得到d=，d=2．故答案为 ，2．〔2〕结论：d= ．证明：∵M 〔m ，0〕，N 〔n ，0〕，点A 、B 都在抛物线上，∴点A 〔m ，am 2〕，点B 〔n ，an 2〕， 设直线AB 的解析式为 y=kx+b ，∴解得 ，又∵△AOM ∽△OBN ，∴，∴=，mn=﹣，b=﹣a 〔﹣〕=．〔2〕如图④中，∵AE=，=ax 2，x=±，OE=，∵OC=，OC ∥AE ，=，∴= ，∴DO=，∴S △AOE = ?OE?AE=? = ，S △DOC = ?DO?CO= ?= ，第25页〔共27页〕∴S△AOE：S△DOC=4：9．第26页〔共27页〕2021年9月20日第27页〔共27页〕。
2021年长春市中考数学模拟试卷(有答案)(word版)
2021年吉林省长春市中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3.00分）﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣5 D．52．（3.00分）长春市奥林匹克公园即将于2018年年底建成，它的总投资额约为2500000000元，2500000000这个数用科学记数法表示为（）A．0.25×1010B．2.5×1010C．2.5×109D．25×1083．（3.00分）下列立体图形中，主视图是圆的是（）A．B．C．D．4．（3.00分）不等式3x﹣6≥0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（3.00分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）A．44°B．40°C．39°D．38°6．（3.00分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺7．（3.00分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（）A．800sinα米 B．800tanα米 C．米D．米8．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y 轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=（x＞0）的图象上，若AB=2，则k 的值为（）A．4 B．2C．2 D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3.00分）比较大小：3．（填“＞”、“=”或“＜”）10．（3.00分）计算：a2•a3= ．11．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）、（n，3），若直线y=2x与线段AB有公共点，则n的值可以为．（写出一个即可）12．（3.00分）如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为度．13．（3.00分）如图，在▱ABCD中，AD=7，AB=2，∠B=60°．E是边BC上任意一点，沿AE 剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为．14．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y 轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6.00分）先化简，再求值：+，其中x=﹣1．16．（6.00分）剪纸是中国传统的民间艺术，它画面精美，风格独特，深受大家喜爱，现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“金鱼”，另外一张卡片的正面图案为“蝴蝶”，卡片除正面剪纸图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率．（图案为“金鱼”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“蝴蝶”的卡片记为B）17．（6.00分）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM、ON的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：（1）所画的两个四边形均是轴对称图形．（2）所画的两个四边形不全等．18．（7.00分）学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元，店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润．（1）求每套课桌椅的成本；（2）求商店获得的利润．19．（7.00分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°．（1）求∠B的度数．（2）求的长．（结果保留π）20．（7.00分）某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：202119162718312921222520192235331917182918352215181831311922整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示：统计量平均数众数中位数数值23m21根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中众数m的值为；（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．21．（8.00分）某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出口．从某时刻开始，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥，当输出的水泥总量达到8立方米时，关闭输出口．储存罐内的水泥量y（立方米）与时间x（分）之间的部分函数图象如图所示．（1）求每分钟向储存罐内注入的水泥量．（2）当3≤x≤5.5时，求y与x之间的函数关系式．（3）储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是立方米，从打开输入口到关闭输出口共用的时间为分钟．22．（9.00分）在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE．【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．（1）求证：BE=FG．（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为．【应用】如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为．23．（10.00分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段DC的长；（2）当点Q与点C重合时，求t的值；（3）设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．24．（12.00分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；（2）求L与m之间的函数关系式；（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y≤9时，直接写出L的取值范围．2021年吉林省长春市中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3.00分）﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣5 D．5【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解答】解：||=，故选：B．【点评】本题主要考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，比较简单．2．（3.00分）长春市奥林匹克公园即将于2018年年底建成，它的总投资额约为2500000000元，2500000000这个数用科学记数法表示为（）A．0.25×1010B．2.5×1010C．2.5×109D．25×108【分析】利用科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：2500000000用科学记数法表示为2.5×109．故选：C．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3.00分）下列立体图形中，主视图是圆的是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，故A不符合题意；B、圆柱的柱视图是矩形，故 B错误；C、圆台的主视图是梯形，故C错误；D、球的主视图是圆，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．4．（3.00分）不等式3x﹣6≥0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：3x﹣6≥0，3x≥6，x≥2，在数轴上表示为，故选：B．【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能求出不等式的解集是解此题的关键．5．（3.00分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）A．44°B．40°C．39°D．38°【分析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再利用平行线的性质解答即可．【解答】解：∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCB=78°=39°，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB=39°，故选：C．【点评】此题考查三角形内角和问题，关键是根据三角形内角和、角平分线的定义和平行线的性质解答．6．（3.00分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【解答】解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴，解得x=45（尺）．故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．7．（3.00分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（）A．800sinα米 B．800tanα米 C．米D．米【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，∴tanα=，∴AB==．故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y 轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=（x＞0）的图象上，若AB=2，则k 的值为（）A．4 B．2C．2 D．【分析】作BD⊥AC于D，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC=AB=2，BD=AD=CD=，再利用AC⊥x轴得到C（，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值．【解答】解：作BD⊥AC于D，如图，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=AB=2，∴BD=AD=CD=，∵AC⊥x轴，∴C（，2），把C（，2）代入y=得k=×2=4．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了等腰直角三角形的性质．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3.00分）比较大小：＞3．（填“＞”、“=”或“＜”）【分析】先求出3=，再比较即可．【解答】解：∵32=9＜10，∴＞3，故答案为：＞．【点评】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法．10．（3.00分）计算：a2•a3= a5．【分析】根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．【解答】解：a2•a3=a2+3=a5．故答案为：a5．【点评】熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．11．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）、（n，3），若直线y=2x与线段AB有公共点，则n的值可以为 2 ．（写出一个即可）【分析】由直线y=2x与线段AB有公共点，可得出点B在直线上或在直线右下方，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围，在其内任取一数即可得出结论．【解答】解：∵直线y=2x与线段AB有公共点，∴2n≥3，∴n≥．故答案为：2．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于n的一元一次不等式是解题的关键．12．（3.00分）如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为37 度．【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74°，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．【解答】解：∵AB=AC，∠A=32°，∴∠ABC=∠ACB=74°，又∵BC=DC，∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．故答案为：37．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．13．（3.00分）如图，在▱ABCD中，AD=7，AB=2，∠B=60°．E是边BC上任意一点，沿AE 剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEF D周长的最小值为20 ．【分析】当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，利用直角三角形的性质解答即可．【解答】解：当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，∵AE⊥BC，AB=2，∠B=60°．∴AE=3，BE=，∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，∴EF=BC=AD=7，∴四边形AEFD周长的最小值为：14+6=20，故答案为：20【点评】此题考查平移的性质，关键是根据当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小进行分析．14．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y 轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为 3 ．【分析】解方程x2+mx=0得A（﹣m，0），再利用对称的性质得到点A的坐标为（﹣1，0），所以抛物线解析式为y=x2+x，再计算自变量为1的函数值得到A′（1，2），接着利用C点的纵坐标为2求出C点的横坐标，然后计算A′C的长．【解答】解：当y=0时，x2+mx=0，解得x1=0，x2=﹣m，则A（﹣m，0），∵点A关于点B的对称点为A′，点A′的横坐标为1，∴点A的坐标为（﹣1，0），∴抛物线解析式为y=x2+x，当x=1时，y=x2+x=2，则A′（1，2），当y=2时，x2+x=2，解得x1=﹣2，x2=1，则C（﹣2，1），∴A′C的长为1﹣（﹣2）=3．故答案为3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6.00分）先化简，再求值：+，其中x=﹣1．【分析】根据分式的加法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：+====x+1，当x=﹣1时，原式=﹣1+1=．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．16．（6.00分）剪纸是中国传统的民间艺术，它画面精美，风格独特，深受大家喜爱，现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“金鱼”，另外一张卡片的正面图案为“蝴蝶”，卡片除正面剪纸图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率．（图案为“金鱼”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“蝴蝶”的卡片记为B）【分析】列表得出所有等可能结果，然后根据概率公式列式计算即可得解【解答】解：列表如下：A 1A2BA 1（A1，A1）（A2，A1）（B，A1）A 2（A1，A2）（A2，A2）（B，A2）B（A1，B）（A2，B）（B，B）由表可知，共有9种等可能结果，其中抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的4种结果，所以抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率为．【点评】本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．（6.00分）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM、ON的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：（1）所画的两个四边形均是轴对称图形．（2）所画的两个四边形不全等．【分析】利用轴对称图形性质，以及全等四边形的定义判断即可．【解答】解：如图所示：【点评】此题考查了作图﹣轴对称变换，以及全等三角形的判定，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．18．（7.00分）学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元，店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润．（1）求每套课桌椅的成本；（2）求商店获得的利润．【分析】（1）设每套课桌椅的成本为x元，根据利润=销售收入﹣成本结合商店获得的利润不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）根据总利润=单套利润×销售数量，即可求出结论．【解答】解：（1）设每套课桌椅的成本为x元，根据题意得：60×100﹣60x=72×（100﹣3）﹣72x，解得：x=82．答：每套课桌椅的成本为82元．（2）60×（100﹣82）=1080（元）．答：商店获得的利润为1080元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据数量关系，列式计算．19．（7.00分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°．（1）求∠B的度数．（2）求的长．（结果保留π）【分析】（1）根据切线的性质求出∠A=90°，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据圆周角定理求出∠AOD，根据弧长公式求出即可．【解答】解：（1）∵AC切⊙O于点A，∠BAC=90°，∵∠C=40°，∴∠B=50°；（2）连接OD，∵∠B=50°，∴∠AOD=2∠B=100°，∴的长为=π．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弧长公式等知识点能熟练地运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．20．（7.00分）某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：202119162718312921222520192235331917182918352215181831311922整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示：统计量平均数众数中位数数值23m21根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中众数m的值为18 ；（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．【分析】（1）根据条形统计图中的数据可以得到m的值；（2）根据题意可知应选择中位数比较合适；（3）根据统计图中的数据可以计该部门生产能手的人数．【解答】解：（1）由图可得，众数m的值为18，故答案为：18；（2）由题意可得，如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适，故答案为：中位数；（3）300×=100（名），答：该部门生产能手有100名工人．【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体、加权平均数、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．（8.00分）某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出口．从某时刻开始，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥，当输出的水泥总量达到8立方米时，关闭输出口．储存罐内的水泥量y（立方米）与时间x（分）之间的部分函数图象如图所示．（1）求每分钟向储存罐内注入的水泥量．（2）当3≤x≤5.5时，求y与x之间的函数关系式．（3）储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是 1 立方米，从打开输入口到关闭输出口共用的时间为11 分钟．【分析】（1）体积变化量除以时间变化量求出注入速度；（2）根据题目数据利用待定系数法求解；（3）由（2）比例系数k=4即为两个口同时打开时水泥储存罐容量的增加速度，则输出速度为5﹣4=1，再根据总输出量为8求解即可．【解答】解：（1）每分钟向储存罐内注入的水泥量为15÷3=5分钟；（2）设y=kx+b（k≠0）把（3，15）（5.5，25）代入解得∴当3≤x≤5.5时，y与x之间的函数关系式为y=4x+3（3）由（2）可知，输入输出同时打开时，水泥储存罐的水泥增加速度为4立方米/分，则每分钟输出量为5﹣4=1立方米；只打开输出口前，水泥输出量为 5.5﹣3=2.5立方米，之后达到总量8立方米需需输出8﹣2.5=5.5立方米，用时5.5分钟∴从打开输入口到关闭输出口共用的时间为：5.5+5.5=11分钟故答案为：1，11【点评】本题为一次函数实际应用问题，考查了一次函数的图象性质以及在实际问题中比例系数k代表的意义．22．（9.00分）在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE．【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．（1）求证：BE=FG．（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为 2 ．【应用】如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为9 ．【分析】感知：利用同角的余角相等判断出∠BAF=∠CBE，即可得出结论；探究：（1）判断出PG=BC，同感知的方法判断出△PGF≌CBE，即可得出结论；（2）利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，应用：借助感知得出结论和直角三角形斜边的中线是斜边的一半即可得出结论．【解答】解：感知：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠BAF=∠CBE，在△ABF和△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（ASA）；探究：（1）如图②，过点G作GP⊥BC于P，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，∴四边形ABPG是矩形，∴PG=AB，∴PG=BC，同感知的方法得，∠PGF=∠CBE，在△PGF和△CBE中，，∴△PGF≌△CBE（ASA），∴BE=FG，（2）由（1）知，FG=BE，连接CM，∵∠BCE=90°，点M是BE的中点，∴BE=2CM=2，∴FG=2，故答案为：2．应用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6，∴ME=3，同探究（1）得，CG=BE=6，∵BE⊥CG，∴S=CG×ME=×6×3=9，四边形CEGM故答案为9．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出CG=BE是解本题的关键．23．（10.00分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段DC的长；（2）当点Q与点C重合时，求t的值；（3）设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．【分析】（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；（2）利用AD+DQ=AC，即可得出结论；（3）分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论；（4）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．【解答】解：（1）在Rt △ABC 中，∠A=30°，AB=4，∴AC=2，∵PD ⊥AC ，∴∠ADP=∠CDP=90°，在Rt △ADP 中，AP=2t ，∴DP=t ，AD=APcosA=2t ×=t ， ∴CD=AC ﹣AD=2﹣t （0＜t ＜2）；（2）在Rt △PDQ 中，∵∠DPC=60°，∴∠PQD=30°=∠A ，∴PA=PQ ，∵PD ⊥AC ，∴AD=DQ ，∵点Q 和点C 重合，∴AD+DQ=AC ，∴2×t=2，∴t=1；（3）当0＜t ≤1时，S=S △PDQ =DQ ×DP=×t ×t=t 2； 当1＜t ＜2时，如图2，CQ=AQ ﹣AC=2AD ﹣AC=2t ﹣2=2（t ﹣1），在Rt △CEQ 中，∠CQE=30°，∴CE=CQ •tan ∠CQE=2（t ﹣1）×=2（t ﹣1）， ∴S=S △PDQ ﹣S △ECQ =×t ×t ﹣×2（t ﹣1）×2（t ﹣1）=﹣t 2+4t ﹣2， ∴S=；（4）当PQ 的垂直平分线过AB 的中点F 时，如图3，∴∠PGF=90°，PG=PQ=AP=t，AF=AB=2，∵∠A=∠AQP=30°，∴∠FPG=60°，∴∠PFG=30°，∴PF=2PG=2t，∴AP+PF=2t+2t=2，∴t=；当PQ的垂直平分线过AC的中点M时，如图4，∴∠QMN=90°，AN=AC=，QM=PQ=AP=t，在Rt△NMQ中，NQ==t，∵AN+NQ=AQ，∴+t=2t，∴t=，当PQ的垂直平分线过BC的中点时，如图5，∴BF=BC=1，PE=PQ=t，∠H=30°，∵∠ABC=60°，∴∠BFH=30°=∠H，∴BH=BF=1，在Rt△PEH中，PH=2PE=2t，∴AH=AP+PH=AB+BH，∴2t+2t=5，∴t=，即：当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为秒或秒或秒．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．24．（12.00分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；（2）求L与m之间的函数关系式；（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y≤9时，直接写出L的取值范围．【分析】（1）求出点B坐标利用待定系数法即可解决问题；（2）利用对称轴公式，求出BE的长即可解决问题；（3）由G2与矩形ABCD恰好有两个公共点，推出抛物线G2的顶点M（﹣m，m2﹣1）在线段AE上，利用待定系数法即可解决问题；（4）分两种情形讨论求解即可；【解答】解：（1）由题意E（0，1），A（﹣1，1），B（1，1）把B（1，1）代入y=﹣x2+mx+1中，得到1=﹣+m+1，∴m=．（2）∵抛物线G1的对称轴x=﹣=m，∴AE=ED=2m，∵矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，∴AD=BC=4m，AB=CD=2，∴L=8m+4．（3）∵当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点，∴抛物线G2的顶点M（﹣m，m2﹣1）在线段AE上，∴m2﹣1=1，∴m=2或﹣2（舍弃），∴L=8×2+4=20．（4）①当最高点是抛物线G1的顶点N（m，m2+1）时，若m2+1=，解得m=1或﹣1（舍弃），若m2+1=9时，m=4或﹣4（舍弃），又∵m≤2，观察图象可知满足条件的m的值为1≤m≤2，②当（2，2m﹣1）是最高点时，，解得2≤m≤5，综上所述，1≤m≤5，∴12≤L≤44．【点评】本题考查二次函数综合题、矩形的性质、待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．。
2020-2021学年吉林省长春市中考数学模拟试题及答案解析一
吉林省长春市最新中考数学模拟试卷（十二）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．比1小2的数是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0【分析】根据有理数的减法，即可解答．【解答】解：1﹣2=﹣1．故选：C．【点评】本题考查了有理数的减法，解决本题的关键是熟记有理数的减法法则．2．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，数0.0000025用科学记数法表示为（）A．25×10﹣7B．2.5×10﹣6C．0.25×10﹣5D．2.5×10﹣7【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000025=2.5×10﹣6，故选：B．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据不等式组解集的规律：大小小大中间找，确定不等式组的解集，再在数轴上表示即可．【解答】解：不等式组的解集是﹣3＜x≤1，在数轴上表示为：故选A．【点评】此题主要考查了用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．4．下列四个物体的俯视图与右边给出视图一致的是（）A．B．C．D．【分析】从上面看几何体，得到俯视图，即可做出判断．【解答】解：几何体的俯视图为，故选C【点评】此题考查了由三视图判断几何体，具有识别空间想象能力是解本题的关键．5．下列方程中，有两个相等的实数根的是（）A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x+5=0 C．x2﹣2x=0 D．x2﹣2x﹣1=0 【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．【解答】解：A、△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，有两个相等实数根；B、△=22﹣4×1×5=﹣16＜0，没有实数根；C、△=（﹣2）2﹣4×1×0＞0，有两个不相等实数根；D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，有两个不相等实数根．故选：A．【点评】此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．如图，AB∥CD，点E在直线CD上，EA平分∠CEB，若∠BED=40°，则∠A大小为（）A．80°B．70°C．50°D．40°【分析】根据邻补角性质可得∠BEC=180°﹣40°=140°，然后算出∠AEC的度数，再根据两直线平行，内错角相等可得答案．【解答】解：∵∠BED=40°，∴∠BEC=180°﹣40°=140°，∵EA是∠CEB的平分线，∴∠AEC=70°，∵AB∥CD，∴∠A=∠AEC=70°，故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．7．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切，D为切点，若∠BCD=120°，则∠APD的大小为（）A．45°B．40°C．35°D．30°【分析】连接OD，由圆内接四边形的性质易得∠DAB，可得△ADO为等边三角形，由切线的性质可得∠PDO=90°，易得∠ADP，利用外角的性质可得结果．【解答】解：连接DO，∵∠BCD=120°，∴∠DAB=180°﹣120°=60°，∴△ADO为等边三角形，∴∠ODA=60°，∵PD与⊙O相切，∴∠PDO=90°，∴∠ADP=90°﹣60°=30°，∴∠APD=∠ODA﹣∠ADP=60°﹣30°=30°．故选D．【点评】本题主要考查了切线的性质，作出恰当的辅助线（见切点，连圆心）是解答此题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A、B的坐标分别为（0，1）、（2，1），点C在边AB上（不与点B重合），设点C的横坐标为m，△BOC的面积为S，则下面能够反映S与m之间的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据函数图象可知OA=2，BC=2﹣m，从而可以表示出三角形BOC的面积，从而可以得到S与m之间的函数图象，且0≤m＜2．【解答】解：由题意可得，=2﹣m，所以，S随着m的增大而减小，当m=0时，取得最大值2，m的取值范围是0≤m＜2，故选C．【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，可以表示出三角形的面积关系式，利用数形结合的思想解答问题．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．计算：（3x）2= 9x2．【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘计算．【解答】解：（3x）2=32x2=9x2．故填9x2．【点评】本题考查积的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．10．某种水果的售价为每千克a元，用面值为50元的人民币购买了3千克这种水果，应找回（50﹣3a）元（用含a的代数式表示）．【分析】利用单价×质量=应付的钱；用50元减去应付的钱等于剩余的钱即为应找回的钱．【解答】解：∵购买这种售价是每千克a元的水果3千克需3a元，∴根据题意，应找回（50﹣3a）元．故答案为：（50﹣3a）．【点评】此题考查了列代数式，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出代数式．11．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上一点B在第一象限，函数y=的图象经过BC边上的点M，且MB=2MC，若矩形OABC 的面积为6，则k的值为 2 ．【分析】如图作MN⊥x轴垂足为N，求出矩形MNOC的面积即可．【解答】解：如图作MN⊥x轴垂足为N，∵S矩形ABCD=6，BM=2MC，∴S矩形MNOC=×6=2，∴k=S矩形MNOC=2．故答案为2．，【点评】本题考查反比例函数k的几何意义，求出矩形MNOC的面积是解题的关键，记住反比例函数的比例系数|k|=S矩形MNOC，属于中考常考题型．12．如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于π．【分析】图中阴影部分的面积=半圆的面积﹣圆心角是120°的扇形的面积，根据扇形面积的计算公式计算即可求解．【解答】解：图中阴影部分的面积=π×22﹣=2π﹣π=π．答：图中阴影部分的面积等于π．故答案为：π．【点评】本题考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．13．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，与BC边的交点为D，且DC=BC，DE∥AC，与AB边的交点为E，若DE=4，则BE的长为8 ．【分析】先证明∠EAD=∠EDA得到EA=ED=4，再利用平行线分线段成比例定理得到=，然后利用比例的性质可求出BE的长．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠EDA，∴∠EAD=∠EDA，∴EA=ED=4，∵DE∥AC，∴=，而DC=BC，∴BE=2AE=8．故答案为8．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了等腰三角形的性质．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax+（a＜0）的顶点为A，与y轴的交点为B，点B关于抛物线对称轴的对称点为D，四边形ABCD为菱形，若点C在x轴上，则a的值为﹣．【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出点A的坐标，再求出点B的坐标，然后根据菱形的轴对称性，点A的纵坐标等于点B的纵坐标的2倍列方程求解即可．【解答】解：∵y=ax2﹣2ax+=a（x﹣1）2﹣a+，∴顶点A的坐标为（1，﹣a+），令x=0，则y=，所以，点B的坐标为（0，），∵点B关于抛物线对称轴的对称点为D，四边形ABCD为菱形，∴﹣a+=2×，解得a=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了菱形的轴对称性，二次函数的性质，解题的关键在于确定出点A的纵坐标等于点B的纵坐标的2倍．三、解答题（共10小题，满分78分）15．先化简，再求值：，其中．【分析】分式的化简，要熟悉混合运算的顺序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，注意化简后，将，代入化简后的式子求出即可．【解答】解：=÷（+）=÷=×=，把，代入原式====．【点评】此题主要考查了分式混合运算，要注意分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算是解题关键．16．如图，有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其他均相同，将这3张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记下数字后放回；重新洗匀后再从中随机抽取一张，将抽取的第一张、第二张卡片上的数字分别作为十位数字和个位数字组成两位数，请用画树状图（或列表）的方法，求这个两位数能被3整除的概率．【分析】根据题意直接画出树状图，进而利用概率公式求出答案．【解答】解：如图所示：，故这个两位数能被3整除的概率为：．【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有的可能是解题关键．17．某超市2015年1月份的营业额为10000元，3月份的营业额为12100元，若该超市2015年前4个月营业额的月增长率相同，求该超市2015年4月份的营业额．【分析】设该超市2015年前4个月营业额的月增长率为x，根据3月份的销售额=1月份的销售额×（1+增长率）的平方，列出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，再根据4月份的销售额=3月份的销售额×（1+增长率）即可得出结论．【解答】解：设该超市2015年前4个月营业额的月增长率为x，由题意，得10000（1+x）2=12100，解得x=0.1，或x=﹣2.1（舍去），则12100×（1+10%）=13310（元）．答：该超市2015年4月份的营业额为13310元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据数量关系列出关于x的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．18．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以AB、BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC．求证：四边形ADCE是矩形．【分析】由等腰三角形的三线合一性质得出AD⊥BC，BD=CD，∠ADC=90°，由平行四边形的性质得出AE∥BD，AE=BD，得出AE∥CD，AE=CD，证出四边形ADCE是平行四边形，即可得出结论．【解答】证明：∵AB=AC，D为BC边的中点，∴AD⊥BC，BD=CD，∴∠ADC=90°，∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BD，AE=BD，∴AE∥CD，AE=CD，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．19．如图，某广场有一灯柱AB高7.5米，灯的顶端C离灯柱顶端A的距离CA为1.7米，且∠CAB=110°，求灯的顶端C距离地面的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin20°=0.34，cos20°=0.94，tan20°=0.36】【分析】过点C作地面的垂线，垂足为D，过点A作AE⊥CD于E，在RT△ACE中，利用sin∠CAE=，即可解决问题．【解答】解：如图，过点C作地面的垂线，垂足为D，过点A作AE⊥CD于E，∵∠EDB=∠ABD=∠AEB=90°，∴四边形ABDE是矩形，∴ED=AB=7.5，∵∠CAE=∠CAB﹣90°=110°﹣90°=20°，在RT△CAE中，∠AEC=90°，∠CAE=90°，∠CAE=20°，AC=1.7，∵sin∠CAE=，∴CE=AEsin∠CAE=1.7×0.34=0.578，∴CD=CE+ED=0.578+7.5=8.078≈8.1米．答：灯的顶端C距离地面的高度CD约为8.1米．【点评】本题考查解直角三角形的有关知识、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形以及矩形，学会转化的思想，把问题转化为直角三角形，特殊的四边形解决，属于中考常考题型．20．国家教育部规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”．某中学为了解学生体育活动情况，随机抽查了520名毕业班学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）这520名毕业生中每天在校锻炼时间超过1消失的人数是390 ．（2）请补全条形统计图．（3）2016年该中学所在城市的初中毕业生约为5.2万人，估计2016年该城市初中毕业生中因为没时间导致每天锻炼时间未超过1小时的人数．【分析】（1）将每天在校锻炼时间超过1小时所对应圆心角占周角的比例乘以总人数可得；（2）先求出锻炼时间未超过1小时的人数，再将未超过1小时人数减去“不喜欢”和“其他”的人数即可补全图形；（3）将样本中“没时间”的人数占调查人数的比例乘以总体中的人数可得．【解答】解：（1）这520名毕业生中每天在校锻炼时间超过1小时的人数是：×520=390（人）；（2）每天在校锻炼时间未超过1小时的人数是：520﹣390=130（人），则“没时间”的人数是：130﹣50﹣10=70（人），补全图形如下：（3）5.2×=0.7（万人），答：估计2016年该城市初中毕业生中因为没时间导致每天锻炼时间未超过1小时的人数约为0.7万人．故答案为：（1）390．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．（8分）（2016长春模拟）感知：如图①，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形ABCD内部的点F处，延长AF交CD于点G，连结FC，易证∠GCF=∠GFC．探究：将图①中的矩形ABCD改为平行四边形，其他条件不变，如图②，判断∠GCF=∠GFC是否仍然相等，并说明理由．应用：如图②，若AB=5，BC=6，则△ADG的周长为16 ．【分析】探究：由▱ABCD及折叠可得∠B+∠ECG=∠AFE+∠ECG=∠AFE+∠EFG=180°，即∠ECG=∠EFG，再根据EB=EF=EC得∠EFC=ECF，从而可得∠GCF=∠GFC；应用：由（1）中∠GCF=∠GFC得GF=GC，AF=AB，根据△ADG的周长AD+AF+GF+GD=AD+AB+GC+GD可得．【解答】解：探究：∠GCF=∠GFC，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠ECG=180°，又∵△AFE是由△ABE翻折得到，∴∠AFE=∠B，EF=BE，又∵∠AFE+∠EFG=180°，∴∠ECG=∠EFG，又∵点E是边BC的中点，∴EC=BE，∵EF=BE，∴EC=EF，∴∠ECF=∠EFC，∴∠ECG﹣∠ECF=∠EFG﹣∠EFC，∴∠GCF=∠GFC；应用：∵△AFE是由△ABE翻折得到，∴AF=AB=5，由（1）知∠GCF=∠GFC，∴GF=GC，∴△ADG的周长AD+AF+GF+GD=AD+AB+GC+GD=AD+AB+CD=6+5+5=16，故答案为：应用、16．【点评】该题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题，解题的关键是牢固掌握翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点．22．（10分）（2016长春模拟）小明家、学校与图书馆依次在一条直线上，小明、小亮两人同时分别从小明家和学校出发沿直线匀速步行到图书馆借阅图书，小明到达图书馆花了20分钟，小亮每分钟步行40米，小明离学校的距离y（米）与两人出发时间x（分）之间的函数图象如图所示．（1）小明每分钟步行60 米，a= 960 ，小明家离图书馆的距离为1200 米．（2）在图中画出小亮离学校的距离y（米）与x（分）之间的函数图象．（3）求小明和小亮在途中相遇时二人离图书馆的距离．【分析】（1）根据速度=路程÷时间可得出小明的速度，由此得出小明每分钟步行的路程；结合路程=速度×时间，可找出a的值；由小明家离图书馆的距离=小明家离学校的距离+学校离图书馆的距离，由此得出结论；（2）根据时间=路程÷速度，算出小亮到达图书馆的时间，由两点可画出小亮离学校的距离y（米）与x（分）之间的函数图象；（3）根据待定系数法求出小明从学校到图书馆这段路程对应的函数表达式以及小亮从学校到图书馆这段路程对应的函数表达式，由两关系式可得出交点坐标，由此可得出小明和小亮在途中相遇时二人离图书馆的距离．【解答】解：（1）240÷4=60（米），60×（20﹣4）=960（米），240+960=1200（米）．故答案为：60；960；1200．（2）960÷40=24（分钟）．画出图形如图所示．（3）设小明从学校到图书馆这段路程对应的函数表达式为y=kx+b（k≠0），∵图象经过点（4，0）、（20，960），∴，解得．∴函数表达式为y=60x﹣240（4≤x≤20）．又∵小亮每分钟步行40米，∴小亮从学校到图书馆这段路程对应的函数表达式为y=40x（0≤x≤24）．∴当二人相遇时，有60x﹣240=40x，解得x=12．∴960﹣40×12=480（米）．∴小明和小亮在途中相遇时二人离图书馆的距离为480米．【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及根据函数关系式画出图象，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系算出结论；（2）由函数关系式画出图象；（3）找出两函数关系式找出交点坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合函数图象找出函数关系式是关键．23．（10分）（2016长春模拟）如图①，在△ABC中，AB=7，tanA=，∠B=45°．点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动（不与点A、B重合），过点P作PQ⊥AB．交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设点P 的运动时间为t（秒），正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位）．（1）直接写出正方形PQMN的边PQ的长（用含t的代数式表示）．（2）当点M落在边BC上时，求t的值．（3）求S与t之间的函数关系式．（4）如图②，点P运动的同时，点H从点B出发，沿B﹣A﹣B的方向做一次往返运动，在B﹣A上的速度为每秒2个单位长度，在A﹣B上的速度为每秒4个单位长度，当点H停止运动时，点P也随之停止，连结MH．设MH将正方形PQMN分成的两部分图形面积分别为S1、S2（平方单位）（0＜S1＜S2），直接写出当S2≥3S1时t的取值范围．【分析】（1）分两种情况讨论：当点Q在线段AC上时，当点Q在线段BC上时．（2）根据AP+PN+NB=AB，列出关于t的方程即可解答；（3）当0＜t≤时，当＜t≤4，当4＜t＜7时；（4）或或．【解答】解：（1）当点Q在线段AC上时，PQ=tanAAP=t．当点Q在线段BC上时，PQ=7﹣t．（2）当点M落在边BC上时，如图③，由题意得：t+t t=7，解得：t=．∴当点M落在边BC上时，求t的值为．（3）当0＜t≤时，如图④，S==．当＜t≤4，如图⑤，=．当4＜t＜7时，如图⑥，．（4）或或．【点评】本题正方形的性质，属于四边形综合题，解决本题的关键是进行分类讨论思想．24．（12分）（2016长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的抛物线y=﹣x2+4mx （m＞0）与x轴的另一个交点为点A，过点P（1，m）作直线PB⊥x轴，交抛物线于点B，作点B关于抛物线对称轴的对称点C（点B、C不重合），连结BC，当点P、B不重合时，以BP、BC为边作矩形PBCQ，设矩形PBCQ的周长为l．（1）当m=1时，求点A的坐标．（2）当BC=时，求这条抛物线所对应的函数表达式．（3）当点P在点B下方时，求l与m之间的函数关系．（4）连结CP，以CP为直角边作等腰直角三角形PCM，直接写出点M落在坐标轴上时m的值．【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（2）根据BC的长，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值；（3）根据周长公式，可得答案；（4）利用直线PC的斜率求出直线PE的斜率，并求出直线PE的参数方程，讨论点E在x 轴与y轴的情况，并分别求出点E的参数坐标，根据PC=PE，利用两点间距离公式求解．此题也可用开锁法进行求解．【解答】解：（1）当m=1时，抛物线的解析式为y=﹣x2+4x．当y=0时，﹣x2+4x=0，解得x1=0，x2=4，即A点坐标为（4，0）；（2）当y=﹣x2+4mx中x=1时，y=4m﹣1，B（1，4m﹣1）．且抛物线的对称轴为x=﹣=2m．当点B在对称轴左侧时，即m＞时，BC=2（2m﹣1）=4m﹣2．当BC=时，4m﹣2=．m=，这条抛物线的解析式为y=﹣x2+x．当BC=时，2﹣4m=．m=，这条抛物线的解析式为y=﹣x2+x．（3）当点B在对称轴左侧，同时点P在点B的下方，即＜m＜时，l=2[2（1﹣2m）+（4m﹣1﹣m）]，l=﹣2m+2．（4）分三种情况：P在对称轴左侧，P（1，m），B（1，4m﹣1），C（4m﹣1，4m﹣1），BC=4m﹣2，BP=3m﹣1，①若∠CPQ=90°，PC=PQ，如图1，此时，△CBP≌△PFQ，∴CB=PF，即4m﹣2=m，解得m=，②若∠PCQ=90°，CP=CQ，如图2，此时，△QFP≌△CDQ，∴DF=CD，即4m﹣1=4m﹣1，方程无解；∴此种情况不成立．③如图3，B（1，4m﹣1），P（1，m），C（4m﹣1，4m﹣1），若∠CPQ=90°，PC=PQ，△CBP≌△QFC，BP=CF，即3m﹣1=4m﹣1，解得m=0（舍），④如图4，∠CQP=90°，CQ=CP，△CBP≌△PFQ，BP=QF，即4m﹣1﹣m=1，解得m=；⑤如图5，∠CQP=90°，CQ=CP，△CBP≌△PFQ，BC=PF，即2﹣4m=m，解得m=；综上所述：m=，m=．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系求点的坐标；利用BC得出关于m的方程是解题关键；要分类讨论，以防遗漏；利用全等三角形的性质得出关于m的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．。
吉林省长春市2021年中考数学一模试卷附答案
中考数学一模试卷一、单选题（共8题；共16分）1.下列实数中，是无理数的为（）A. 0B. -C.D. 3.142.2020年“五一”假日期间，某电商平台网络交易总金额接近15亿元．其中15亿用科学记数法表示为（）A. 1.5×109B. 15×109C. 1.5×108D. 15×1083.某个几何体的展开图如图所示，该几何体是（）A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 圆锥4.不等式3x+3≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.5.如图，△∽△，若，，，则的长是（）A. 2B. 3C. 4D. 56.如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为( )A. 45°B.C.D.7.如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（）A. B. C. D.8.《九章算术》是中国古代数学著作之一,书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问:每只雀、燕的重量各为多少?设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程组为( )A. B. C. D.二、填空题（共6题；共6分）9.计算：m·（m2）3＝________．10.若a﹣b＝，ab＝1，则a2b﹣ab2＝________．11.一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是________．12.如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5．则△BEC的周长是________．13.如图，平行四边形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2），AD//x轴，BC交y轴于点E，点E的纵坐标是﹣4，平行四边形ABCD的面积是24，反比例函数y＝的图象经过点B和D．则k＝________．14.如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，点P的坐标为________．三、解答题（共10题；共96分）15.先化简，再求值：（a﹣2b）2﹣（a﹣b）（a﹣3b），其中b＝．16.净月某校在抗疫期间组织志愿小组到附近敬老院为老人服务，准备从初三（1）班中的3名男生小亮、小明、小伟和2名女生小红、小丽中选取一名男生和一名女生．请用画树状图（或列表）的方法，求出恰好选中男生小明和女生小红的概率．17.某车间接到加工960个零件的任务，在加工完160个后，由于改进了技术，每天加工的零件数量是原来的5倍，整个加工过程共用了4天完成．求原来每天加工零件的数量．18.如图，BC为⊙O直径，点A是⊙O上任意一点（不与点B、C重合），以BC、AB为邻边的平行四边形ABCD的顶点D在⊙O外．（1）当AD与⊙O相切时，求∠B的大小．（2）若⊙O的半径为2，BC＝2AB，直接写出的长．19.如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，以AB为边画等腰△ABC，要求点C在格点上．（1）在图①、图②中画出两种不同形状的等腰三角形△ABC．（2）格点C的不同位置有________处．20.净月某中学为了抗疫宣传，在七八年级开展了“防疫知识”大赛．为了解参赛学生的成绩情况，从两个年级中各随机抽取10名学生的成绩，数据如下：七年级：88 94 90 94 84 94 99 94 99 100八年级：84 93 88 94 93 98 93 98 97 99整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：分析数据：补全下列表格中的统计量：得出结论：（1）a＝________，b＝________，c＝________．（2）由统计数据可知，________年级选手的成绩比较接近．（3）学校规定，成绩不低于90分的选手可以获奖，若该校七年级有200人参加比赛，请估计有多少人获奖．21.甲、乙两人在净月大街上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线OA﹣AB﹣BC﹣CD所示．（1）甲的速度为________米/分，乙的速度为________米/分．（2）求线段AB的表达式，并写出自变量x的取值范围．（3）求乙比甲早几分钟到达终点？22.（教材呈现）数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：（1）赵老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是________．（2）小明发现只利用直角三角板也可以作∠AOB的角平分线，方法如下：步骤一：利用三角板上的刻度，在OA、OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON．步骤二：分别过点M、N作OM、ON的垂线，交于点P．步骤三：作射线OP，则OP为∠AOB的平分线．①请写出小明作法的完整证明过程．②当tan∠AOB＝时，量得MN＝4cm，直接写出的面积．23.如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∠ABC＝60°．AE平分∠BAD交CD于点F．动点P从点A出发沿AD向点D以每秒1个单位长度的速度运动．过点P作PQ⊥AD，交射线AE于点Q，以AP、AQ为邻边作平行四边形APMQ，平行四边形APMQ与△ADF重叠部分面积为S．当点P与点D重合时停止运动，设P点运动时间为t秒．（t＞0）（1）用含t的代数式表示QF的长；（2）当点M落到CD边上时，求t的值；（3）求S与t之间的函数关系式；（4）连结对角线AM与PQ交于点G，对角线AC与BD交于点O（如图②）．直接写出当GO与△ABD的边平行时t的值．24.函数y＝（m为常数）（1）若点（﹣2，3）在函数y上，求m的值．（2）当点（m，﹣1）在函数y上时，求m的值．（3）若m＝1，当﹣1≤x≤2时，求函数值y的取值范围．（4）已知正方形ABCD的中心点为原点O，点A的坐标为（1，1），当函数y与正方形ABCD有3个交点时，直接写出实数m的取值范围．答案解析部分一、单选题1.【解析】【解答】解：A、0是有理数，故A错误；B、﹣是有理数，故B错误；C、是无理数，故C正确；D、3.14是有理数，故D错误；故选：C．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．2.【解析】【解答】解：15亿＝1500000000，用科学记数法表示为：．故答案为：A．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．3.【解析】【解答】三个长方形和两个等腰三角形折叠后，能围成的几何体是三棱柱，故答案为：C．【分析】观察展开图有三个长方形，可知是柱体，再根据有两个三角形即可确定答案.4.【解析】【解答】解：，，，在数轴上表示为：．故答案为：．【分析】首先解出不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可．5.【解析】【解答】解：∵△∽△∴∴解得：AB=4故答案为:C.【分析】根据相似三角形的性质，列出对应边的比，再根据已知条件即可快速作答.6.【解析】【解答】解：如图，作EF∥AB ，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴，，∵，∴，故答案为：B.【分析】由题意作EF∥AB，由平行公理的推论可得EF∥AB∥CD，再由平行线的性质可求解.7.【解析】【解答】连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°，同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，故∠CPD= ,故答案为：B.【分析】根据同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，可进行计算。
(绝密吉林专用)2021年吉林省长春市中考数学精品模拟试卷(后附答案详解)
2021年吉林省长春市中考数学精品模拟试卷（后附答案详解）（满分120分，答题时间120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列各数中，绝对值最小的数是（ ）A. 5-B.12C. 1-D.2．2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为（ ） A ．4×1012元B ．4×1010元C ．4×1011元D ．40×109元3．一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为（ ）A. B. C. D.4．不等式组的解集是（ ）A ．x ≥2B ．﹣1＜x ≤2C ．x ≤2D ．﹣1＜x ≤15. 如图，直线a ∥b ，直角三角形ABC 的顶点B 在直线a 上，∠C=90°，∠β=55°，则∠α的度数为（ ）A ． 15°B ． 25°C ． 35°D ． 55°6．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x 的方程240x x k -+=的两个根，则k 的值为（ ）A. 3B. 4C. 3或4D. 77．如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，若EF ＝5，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．20B ．30C ．40D ．508．如图，平行于x 轴的直线与函数y=（k 1＞0，x ＞0），y=（k 2＞0，x ＞0）的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若△ABC 的面积为4，则k 1﹣k 2的值为（ ）A ．8B ．﹣8C ．4D ．﹣4二、填空（6各小题，每小题3分，共18分） 9．已知a 为整数，且＜a ＜，则a 等于 ．10．已知a ＝7﹣3b ，则代数式a 2+6ab +9b 2的值为 ．11．将一次函数y ＝﹣2x +4的图象绕原点O 逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是 ． 12．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，利用尺规在BC ，BA 上分别截取BE ，BD ，使BE ＝BD ；分别以D ，E 为圆心、以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠CBA 内交于点F ；作射线BF 交AC 于点G ．若CG ＝1，P 为AB 上一动点，则GP 的最小值为________。
2020-2021学年最新吉林省长春市中考模拟试卷数学卷及答案
中考模拟试卷数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.−2的绝对值等于()A. −12B. 12C. −2D. 22.研究表明，可燃冰是一种可替代石油的新型清洁能源，在我国某海域已探明的可燃冰储存量达150000000000立方米，其中数字150 000 000 000用科学记数法可表示为()A. 15×1010B. 0.15×1012C. 1.5×1011D. 1.5×10123.如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的左视图是()A.B.C.D.4.不等式组{32−12x≤0x+2>0的解集在数轴上表示正确的是()A.B.C.D.5.方程4x2−2x+14=0根的情况是()A. 有两个相等的实数根B. 只有一个实数根C. 没有实数根D. 有两个不相等的实数根6.如图AB//CD，点E是CD上一点，EF平分∠AED交AB于点F，若∠AEC=42∘，则∠AFE的度数为()A. 42∘B. 65∘C. 69∘D. 71∘7.如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为()A. 65 B. 85 C. √75 D. 2√358.如图，A，B两点在反比例函数y=k1x 的图象上，C，D两点在反比例函数y=k2x的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则k1−k2的值是()A. 6B. 4C. 3D. 2二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.计算：√2×√3=______．10.分解因式：x2y−y=______．11.如图，从边长为(a+3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的另一边长是______．12.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为______尺.13.如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD//BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB=5，则图中阴影部分扇形面积是______．14.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+5的图象与y轴交于点B，以点C为圆心的半圆)，则b的值为______．与抛物线y=−x2+bx+5相交于点A、B.若点C的坐标为(−1,72三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）15.先化简，再求值：(2a−3)(2a+3)−(a+1)(4a−2)，其中a=7．216.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的2，那么乙也共有钱48文.甲、乙两3人原来各有多少钱？四、解答题（本大题共8小题，共66.0分）17.甲、乙两个不透明的口袋中各装有3个小球，它们除所标数字不同外其余均相同.甲口袋中小球分别标有数字1，6，7，乙口袋中小球分别标有数字1，2，4.现从甲口袋中随机摸出1个小球，记下标号；再从乙口袋中随机摸出1个小球，记下标号.用树状图(或列表)的方法，求两次摸出小球的标号之积是偶数的概率．18.第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日～2022年02月20日在我国北京举行，全国人民掀起了雪上运动热潮.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34∘的斜坡，从A滑行至B.若这名滑雪运动员的高度下降了300米，求他沿斜坡滑行了多少米？(结果精确到0.1米)(参考数据：sin34∘=0.56，cos34∘=0.83，tan34∘=0.67)19.为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门).对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图.请结合图中所给信息解答下列问题：(1)本次调查的学生共有______人，在扇形统计图中，m的值是______．(2)分别求出参加调查的学生中选择绘画和书法的人数，并将条形统计图补充完整．(3)该校共有学生2000人，估计该校约有多少人选修乐器课程？20.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD.求证：四边形ADCE是矩形．21.某工厂安排甲、乙两个运输队各从仓库调运物资300吨，两队同时开始工作，甲运输队工作3天后因.甲、乙运故停止，2天后重新开始工作，由于工厂调离了部分工人，甲运输的工作效率降低到原来的12输队调运物资的数量y(吨)与甲工作时间x(天)的函数图象如图所示．(1)a=______；b=______．(2)求甲运输队重新开始工作后，甲运输队调运物资的数量y(吨)与工作时间x(天)的函数关系式；(3)直接写出乙运输队比甲运输队多运50吨物资时x的值．22.感知：如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC两边的中点，延长DE至点F，使EF=DE，连结FC.易知△ADE≌△CFE．探究：如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．应用：如图3，在△ABC中，∠B=60∘，AB=4，BC=6，DE是△ABC的中位线.过点D、E作DF//EG，分别交边BC于点F、G，过点A作MN//BC，分别与FD、GE的延长线交于点M、N，则四边形MFGN 周长C的取值范围是______．23.如图1，在▱ABCD中，AD=6cm，AB=8cm，∠DAB=120∘，射线AE平分∠DAB.动点P以1cm/s的速度沿AD向终点D运动，过点P作PQ⊥AD交AE于点Q，过点P作PM//AE，过点Q作QM//AD，交PM于点M.设点P的运动时间为t(s)，四边形APMQ与四边形ABCD重叠部分面积为S(cm2).(1)PQ=______.(用含t的代数式表示)(2)当点M落在CD上时，求t的值．(3)求S与t之间的函数关系式．(4)如图2，连结AM，交PQ于点G，连结AC、BD交于点H，直接写出t为何值时，GH与三角形ABD的一边平行或共线．24.定义：如图1，在平面直角坐标系中，点M是二次函数C1图象上一点，过点M作l⊥x轴，如果二次函数C2的图象与C1关于l成轴对称，则称C2是C1关于点M的伴随函数.如图2，在平面直角坐标系中，二次函数C1的函数表达式是y=−2x2+2，点M是二次函数C1图象上一点，且点M的横坐标为m，二次函数C2是C1关于点M的伴随函数．(1)若m=1，①求C2的函数表达式．②点P(a,b1)，Q(a+1,b2)在二次函数C2的图象上，若b1≥b2，a的取值范围为______．(2)过点M作MN//x轴，①如果MN=4，线段MN与C2的图象交于点P，且MP：PN=1：3，求m的值．②如图3，二次函数C2的图象在MN上方的部分记为G1，剩余的部分沿MN翻折得到G2，由G1和G2所组成的图象记为G.以A(1,0)、B(3,0)为顶点在x轴上方作正方形ABCD.直接写出正方形ABCD与G有三个公共点时m的取值范围．答案和解析【答案】1. D2. C3. A4. A5. A6. C7. B8. D9. √610. y(x +1)(x −1) 11. a +6 12. 57.513. 25π614. −1215. 解：(2a −3)(2a +3)−(a +1)(4a −2)=4a 2−9−4a 2−2a +2=−2a −7，当a =72时，原式=−2×72−7=−7−7=−14．16. 解：设甲原有x 文钱，乙原有y 文钱，由题意可得，{x +12y =4823x +y =48， 解得：{y =24x=36，答：甲原有36文钱，乙原有24文钱．17. 解：列表得：甲 乙1 6 7 1 1 6 72 2 12 14 442428∴P(两次摸出的小球标号之积是偶数)=79．18. 解：如图在Rt △ABC 中，AC =300米，∠ACB =90∘，∠ABC =34∘，则AB =AC ÷sin34∘=300÷0.56≈535.7m ． 答：他沿斜坡大约滑行了535.7米．19. 50；30%20. 证明：∵AE//BD ，DE//AB∴四边形ABDE 是平行四边形 ∴AB =DE ，AE =BD∵AB =AC ∴DE =AC∵点D 是BC 的中点 ∴BD =CD AD ⊥BC 所以AE =DC ，AE//DC ∴四边形ADCE 是平行四边形 ∵∠ADC =90∘∴平行四边形ADCE 是矩形21. 5；1122. 4√3+6≤C ≤4√7+623. √3t24. a≥32【解析】1. 解：根据绝对值的性质，|−2|=2．故选：D．根据绝对值的性质：一个负数的绝对值是它的相反数解答即可．本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，难度适中．2. 解：150000000000=1.5×1011，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3. 解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：A．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．4. 解：{32−12x≤0①x+2>0②∵解不等式①得：x≥3，解不等式②得：x>−2，∴不等式组的解集为x≥3，在数轴上表示为：，故选：A．先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出解集即可．本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．5. 解：∵△=(−2)2−4×4×14=4−4=0，∴有两个相等的实数根，故选：A．计算出判别式的值即可判断．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．6. 解：∵∠AEC=42∘，∴∠AED=180∘−∠AEC=138∘，∵EF平分∠AED，∴∠DEF=12∠AED=69∘，又∵AB//CD，∴∠AFE=∠DEF=69∘．故选：C．由平角求出∠AED的度数，由角平分线得出∠DEF的度数，再由平行线的性质即可求出∠AFE的度数．本题考查的是平行线的性质以及角平分线的定义.熟练掌握平行线的性质，求出∠DEF的度数是解决问题的关键．7. 解：连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=90∘．∵OC//AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC．∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，∴cos∠BOC=OBOC =25，∴cos∠A=cos∠BOC=25．又∵cos∠A=ADAB，AB=4，∴AD=85．故选：B．首先由切线的性质得出OB⊥BC，根据锐角三角函数的定义求出cos∠BOC的值；连接BD，由直径所对的圆周角是直角，得出∠ADB=90∘，又由平行线的性质知∠A=∠BOC，则cos∠A=cos∠BOC，在直角△ABD中，由余弦的定义求出AD的长．本题综合考查切线、平行线、圆周角的性质，锐角三角函数的定义等知识点的运用.此题是一个综合题，难度中等．8. 解：连接OA、OC、OD、OB，如图：由反比例函数的性质可知S△AOE=S△BOF=12|k1|=12k1，S△COE=S△DOF=1 2|k2|=−12k2，∵S△AOC=S△AOE+S△COE，∴12AC⋅OE=12×2OE=OE=12(k1−k2)…①，∵S△BOD=S△DOF+S△BOF，∴12BD⋅OF=12×(EF−OE)=12×(3−OE)=32−12OE=12(k1−k2)…②，由①②两式解得OE=1，则k1−k2=2．故选：D．由反比例函数的性质可知S△AOE=S△BOF=12k1，S△COE=S△DOF=−12k2，结合S△AOC=S△AOE+S△COE和S△BOD=S△DOF+S△BOF可求得k1−k2的值．本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型．9. 解：√2×√3=√6；故答案为：√6．根据二次根式的乘法法则进行计算即可．此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则√a⋅√b=√ab是本题的关键，是一道基础题．10. 解：x2y−y，=y(x2−1)，=y(x+1)(x−1)，故答案为：y(x+1)(x−1)．观察原式x2y−y，找到公因式y后，提出公因式后发现x2−1符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．11. 解：拼成的长方形的面积=(a+3)2−32，=(a+3+3)(a+3−3)，=a(a +6)，∵拼成的长方形一边长为a ， ∴另一边长是a +6． 故答案为：a +6．根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解． 本题考查了平方差公式的几何背景，表示出剩余部分的面积是解题的关键． 12. 解：如图，依题意有△ABF ∽△ADE ，∴AB ：AD =BF ：DE ， 即5：AD =0.4：5， 解得AD =62.5，∴BD =AD −AB =62.5−5=57.5(尺)． 故答案为57.5．根据题意可知△ABF ∽△ADE ，根据相似三角形的性质可求AD ，进一步得到井深． 本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是得到△ABF ∽△ADE ．13. 解：∵四边形AECD 是平行四边形，∴AE =CD ，∵AB =BE =CD =6， ∴AB =BE =AE ，∴△ABE 是等边三角形， ∴∠B =60∘， ∴S 扇形BAE =60π×52360=25π6．故答案为：25π6．证明△ABE 是等边三角形，∠B =60∘，根据扇形的面积公式计算即可．本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是本题的关键，扇形面积计算公式：设圆心角是n ∘，圆的半径为R 的扇形面积为S ，则S 扇形=nπR 2360或S 扇形=12lR(其中l 为扇形的弧长)．14. 解：当x =0时，y =5，则B(0,5)， 设A(m,n)，则{m+02=−1n+52=72， 解得：{n =2m=−2， 所以点A(−2,2)，将点A(−2,2)代入，得：−4−2b +5=2，解得：b =−12， 故答案为：−12．先根据解析式求得点B 的坐标，再由点C 是AB 中点，利用中点的坐标公式求得点A 的坐标，代入解析式即可求出b 的值．本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握中点坐标的计算公式求得点A 的坐标及抛物线上点的坐标符合函数解析式．15. 根据平方差公式和多项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查整式的混合运算−化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的计算方法．16. 根据甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱，那么乙也共有钱48文，可以列出方程组，从而可以解答本题．的23本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．17. 首先列表将所有等可能的结果全部列举出来，利用概率公式求解即可求出两次摸出小球的标号之积是偶数的概率..本题考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是通过列表或树形图能够将所有等可能的结果全部列举出来，难度不大．18. 如图，在Rt△ABC中，根据三角函数可得AB=AC÷sin34∘，可求他沿斜坡滑行了多少米．本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．19. 解：(1)本次调查的学生共有20÷40%=50(人)，m=15÷50=30%；故答案为：50；30%；(2)绘画的人数50×20%=10(人)，书法的人数50×10%=5(人)，如图所示：(3)估计该校选修乐器课程的人数为2000×30%=600人．(1)由舞蹈的人数除以占的百分比求出调查学生总数，确定出扇形统计图中m的值；(2)求出绘画与书法的学生数，补全条形统计图即可；(3)总人数乘以样本中选修乐器课程人数所占百分比可得．本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．20. 首先证明四边形ABDE是平行四边形，再证明四边形ADCE是平行四边形，由∠ADC=90∘，即可推出四边形ADCE是矩形．本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21. 解：(1)∵甲运输队工作3天后因故停止，2天后重新开始工作∴a=3+2=5∵甲运输的工作效率降低到原来的12∴原来3天调运150吨，现在需6天调运150吨．∴b=5+6=11(2)设函数关系式为y=kx+b，∵图象过(5,150)，(11,300)150=5k+b∴{300=11k+bk=25解得：{b=25∴解析式y=25x+25(3)由题意得：乙运输队调运物资的数量y(吨)与工作时间x(天)的函数关系式：y =37.5x①若乙运输队调运物资没有完成．∵乙运输队比甲运输队多运50吨物资∴37.5x −(25x +25)=50 ∴x =6当乙运输队运输完物资后，∵乙运输队比甲运输队多运50吨物资∴300−(25x +25)=50 ∴x =9∴x =6或9(1)根据题意可以求a ，b 的值．(2)设解析式为y =kx +b 且过(5,150)，(11,300)，用待定系数法可求解析式．(3)由乙运输队比甲运输队多运50吨物资，可得y 乙−y 甲=50，代入可得x 的值．本题考查一次函数的图象性质，本题关键是用待定系数法求一次函数解析式．22. 探究：证明：如图2，延长AD 至点M ，使MD =FD ，连接MC ，在△BDF 和△CDM 中，{BD =CD ∠BDF =∠CDM DF =DM ，∴△BDF ≌△CDM(SAS)．∴MC =BF ，∠M =∠BFM ．∵EA =EF ，∴∠EAF =∠EFA ，∵∠AFE =∠BFM ，∴∠M =∠MAC ，∴AC =MC ，∴BF =AC ；应用：解：如图2，∵MN//BC ，FM//GN ，∴四边形MFGN 是平行四边形，∴MF =NG ，MN =FG ，∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE =12BC =3，DE//BC ， ∴MN =FG =12BC =3， ∴四边形MFGN 周长=2(MF +FG)=2MF +6，∴MF ⊥BC 时，MF 最短，即：四边形MFGN 的周长最小，过点A 作AH ⊥BC 于H ，∴FM =AH在Rt △ABH 中，∠B =60∘，AB =4，∴AH =ABsinB =4×√32=2√3，BH =2，∴CH =4， ∴AC =2√7>AB∴四边形MFGN 的周长C 最小为2MF +6=2AH +6=4√3+6，四边形MFGN 的周长C 最大为2MF +6=2AC +6=4√7+6，(如图4)故答案为：4√3+6≤C ≤4√7+6．探究：先判断出△BDF ≌△CDM 进而得出MC =BF ，∠M =∠BFM.再判断出∠M =∠MAC 得出AC =MC 即可得出结论；应用：先判断出四边形MFGN是平行四边形，再判断出MN=FG=DE=4，进而判断出MF⊥BC时，四边形MFGN的周长最小和点G和C重合时最大，最后构造出直角三角形求出AH即可得出结论．此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，平行四边形的判定和性质，平行线间的距离，解探究关键是△BDF≌△CDM，解应用的关键是判断出MF⊥BC时，四边形MFGN的周长最小和点G和C重合时最大．23. 解：(1)如图1中，∵∠DAB=120∘，AE平分∠DAB，∴∠DAQ=60∘，∵PQ⊥AD，∴∠APQ=90∘，∴tan60∘=PQ，AP∴PQ=√3t.故答案为√3t.(2)如图2中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，∴∠D=180∘−∠DAB=60∘，∵PM//AE，MQ//AD，∴∠DPM=∠DAQ=60∘，四边形APMQ是平行四边形，∴△DPM是等边三角形，PM=AQ=2PA=2t，∴DP=PM，∴6−t=2t，∴t=2．(3)①当0<t≤2时，如图1中，重叠部分是平行四边形APMQ，S=AP⋅PQ=√3t2．②如图3中，当2<t≤3时，重叠部分五边形APSTQ，S =√3t 2−√34(3t −6)2=−5√34t 2+9√3t −9√3．③如图4中，当3<t ≤6时，重叠部分是四边形PSTA ．S =S △DAT −S △DSP =√34×62−√34⋅(6−t)2=−√34t 2+3√3t. 综上所述，S ={ √3t 2(0<t ≤2)−5√34t 2+9√3t −9√3(2<t ≤3)−√34t 2+3√3t (3<t ≤6)．(4)如图5中，当GH//AB 时，∵AG =GM ，∴点M 在线段CD 上，此时t =2s ．如图6中，当GH 与BD 重合时，作BT ⊥DA 交DA 的延长线于T ．在Rt△ABT中，∵AB=8，∠BAT=60∘，∴AT=12AB=4，BT=4√3，∵PG//BT，∴PGBT =DPDT，∴√32t4√3=6−t10，解得t=83s.如图7中，当GH//AD时，易证B、C、Q共线，可得△ABQ是等边三角形，AB=AQ=BQ=8，∴AQ=2t=8，∴t=4s，综上所述，t=2s或83s或4s时，GH与三角形ABD的一边平行或共线．(1)在Rt△APQ中，解直角三角形即可；(2)只要证明△DPM是等边三角形，构建方程即可解决问题；(3)分三种情形：①当0<t≤2时，如图1中，重叠部分是平行四边形APMQ，S=AP⋅PQ=√3t2.②如图3中，当2<t≤3时，重叠部分五边形APSTQ；③如图4中，当3<t≤6时，重叠部分是四边形PSTA.分别求解即可；(4)分三种情形讨论求解即可解决问题；本题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、平行四边形的判定和性质、多边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．24. 解：(1)①当m=1时，抛物线C2与抛物线C1关于直线x=1对称∴抛物线C2的顶点时(2,2)∴抛物线C 2的解析式为y =−2(x −2)2+2=−2x 2+8x −6②∵点P(a,b 1)，Q(a +1,b 2)在二次函数C 2的图象上∴b 2−b 1=−2(a +1)2+8(a +1)−6−(−2a 2+8a −6)=−4a +6当b 1≥b 2时−4a +6≤0 ∴a ≥32 故答案为：a ≥32(2)①∵MN//x 轴，MP ：PN =1：3∴MP =1 当m >0时，2m =1m =12当m <0时，−2m =1 m =−12 ②分析图象可知：当m =12时，可知C1和G 的对称轴关于直线x =12对称，C 2的顶点恰在AD 上，此时G 与正方形恰由2个交点．当m =1时，直线MN 与x 轴重合，G 与正方形恰由三个顶点．当m =2时，G 过点B(3,0)且G 对称轴左侧部分与正方形有两个交点当m =2或12<m ≤1时，G 与正方形ABCD 有三个公共点．(1)根据对称性可求得C 2解析式，将P(a,b 1)，Q(a +1,b 2)代入解析式用求差法得到a 的范围；(2)通过分类讨论探究m 的变化对于图象G 位置的变化．本题为二次函数综合题，考查了二次函数图象性质和轴对称图形性质.解答关键是研究动点到达临界点时图形的变化，从而得到临界值．。
2020-2021学年吉林省长春市中考数学仿真模拟试题及答案解析
长春市初中毕业生学业考试数 学本试卷包括三道大题，共 24小题.共6页.全卷满分120分.考试时间为120分钟.考试结 束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1 .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条 形码区域内.2 .答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、题无效.、选择题（每小题 3分，共24分）, 1 ， … 1.—的绝对值等于4用科学记数法表示为5.如图，含30°角的直角三角尺DEF 放置在^ ABC 上，30°角的顶点D 在边AB 上，DE± AB.若 B为锐角，BC//DF,则 B 的大小为试题卷上答(A)14(B) 4. (C)14(D)4.2 .右图是由四个相同的小长方体组成的立体图形，这个立体图形的正视图是Eb(A)(B)(C) (D)3 .我国第一艘航空母舰辽宁航空舰的电力系统可提供14 000 000瓦的电力. 14 000 000这个数(A) 14 106. (B) 1.4 107 .(C) 1.4 108. (D) 0.14 108.4.不等式2x4的解集在数轴上表示为-2 0 2(A)(B) (C) (D)0 2(A)30°.(B)45°.(C)60°.(D)75：二、填空题（每小题 3分，共18分）9.计算：a 25a =11 .如图，MN 是。
的弦，正方形 OABC 的顶点B 、C 在MN 上，且点B 是CM 的中点.若正方形OABC 的边长为7,则MN 的长为12 .如图，以△ ABC 的顶点A 为圆心，以BC 长为半径作弧；再以顶点C 为圆心，以AB 长为半径作弧,6. 如图，△ (A) 46°.7. 如图,（A ）48. 如图,(A)（第一 6题）ABC 内接于。
O, /ABC=71o, / CAB=53就在AC 弧上，则/ ADB 的大小为(B) 53°.(C) 56°.(D) 71°ABD BDC 90 : CBD , AB=3, BD=2,贝U CD 的长为(C) 2.(D)3.在平面直角坐标系中， 点A 的坐标为（0,3） , △ OAB 沿x 轴向右平移后得到△ O' A'3点A 的对应点在直线y —x 上一点，则点4B 与其对应点B'间的距离为(B) 3. (C) 4. (D) 5 .10.吉林广播电视塔“五一”假期第一天接待游客 m 人，第二天接待游客 n 人，则这2天平均每天接待游客,人（用含m 、n 的代数式表示）（第11题）（第5题）（第8题）两弧交于点D;连结AD 、CD.若/B=65,则/ADC 的大小为13 .如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF 勺对称中心与原点。
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2021年吉林省长春市中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3.00分）﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣5 D．52．（3.00分）长春市奥林匹克公园即将于2018年年底建成，它的总投资额约为2500000000元，2500000000这个数用科学记数法表示为（）A．0.25×1010B．2.5×1010C．2.5×109D．25×1083．（3.00分）下列立体图形中，主视图是圆的是（）A．B．C．D．4．（3.00分）不等式3x﹣6≥0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（3.00分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）A．44°B．40°C．39°D．38°6．（3.00分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺7．（3.00分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（）A．800sinα米 B．800tanα米 C．米D．米8．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y 轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=（x＞0）的图象上，若AB=2，则k 的值为（）A．4 B．2C．2 D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3.00分）比较大小：3．（填“＞”、“=”或“＜”）10．（3.00分）计算：a2•a3= ．11．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）、（n，3），若直线y=2x与线段AB有公共点，则n的值可以为．（写出一个即可）12．（3.00分）如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为度．13．（3.00分）如图，在▱ABCD中，AD=7，AB=2，∠B=60°．E是边BC上任意一点，沿AE 剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为．14．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y 轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6.00分）先化简，再求值：+，其中x=﹣1．16．（6.00分）剪纸是中国传统的民间艺术，它画面精美，风格独特，深受大家喜爱，现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“金鱼”，另外一张卡片的正面图案为“蝴蝶”，卡片除正面剪纸图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率．（图案为“金鱼”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“蝴蝶”的卡片记为B）17．（6.00分）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM、ON的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：（1）所画的两个四边形均是轴对称图形．（2）所画的两个四边形不全等．18．（7.00分）学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元，店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润．（1）求每套课桌椅的成本；（2）求商店获得的利润．19．（7.00分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°．（1）求∠B的度数．（2）求的长．（结果保留π）20．（7.00分）某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：202119162718312921222520192235331917182918352215181831311922整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示：统计量平均数众数中位数数值23m21根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中众数m的值为；（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．21．（8.00分）某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出口．从某时刻开始，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥，当输出的水泥总量达到8立方米时，关闭输出口．储存罐内的水泥量y（立方米）与时间x（分）之间的部分函数图象如图所示．（1）求每分钟向储存罐内注入的水泥量．（2）当3≤x≤5.5时，求y与x之间的函数关系式．（3）储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是立方米，从打开输入口到关闭输出口共用的时间为分钟．22．（9.00分）在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE．【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．（1）求证：BE=FG．（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为．【应用】如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为．23．（10.00分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段DC的长；（2）当点Q与点C重合时，求t的值；（3）设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．24．（12.00分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；（2）求L与m之间的函数关系式；（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y≤9时，直接写出L的取值范围．2021年吉林省长春市中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3.00分）﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣5 D．5【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解答】解：||=，故选：B．【点评】本题主要考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，比较简单．2．（3.00分）长春市奥林匹克公园即将于2018年年底建成，它的总投资额约为2500000000元，2500000000这个数用科学记数法表示为（）A．0.25×1010B．2.5×1010C．2.5×109D．25×108【分析】利用科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：2500000000用科学记数法表示为2.5×109．故选：C．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3.00分）下列立体图形中，主视图是圆的是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，故A不符合题意；B、圆柱的柱视图是矩形，故 B错误；C、圆台的主视图是梯形，故C错误；D、球的主视图是圆，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．4．（3.00分）不等式3x﹣6≥0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：3x﹣6≥0，3x≥6，x≥2，在数轴上表示为，故选：B．【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能求出不等式的解集是解此题的关键．5．（3.00分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）A．44°B．40°C．39°D．38°【分析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再利用平行线的性质解答即可．【解答】解：∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCB=78°=39°，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB=39°，故选：C．【点评】此题考查三角形内角和问题，关键是根据三角形内角和、角平分线的定义和平行线的性质解答．6．（3.00分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【解答】解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴，解得x=45（尺）．故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．7．（3.00分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（）A．800sinα米 B．800tanα米 C．米D．米【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，∴tanα=，∴AB==．故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y 轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=（x＞0）的图象上，若AB=2，则k 的值为（）A．4 B．2C．2 D．【分析】作BD⊥AC于D，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC=AB=2，BD=AD=CD=，再利用AC⊥x轴得到C（，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值．【解答】解：作BD⊥AC于D，如图，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=AB=2，∴BD=AD=CD=，∵AC⊥x轴，∴C（，2），把C（，2）代入y=得k=×2=4．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了等腰直角三角形的性质．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3.00分）比较大小：＞3．（填“＞”、“=”或“＜”）【分析】先求出3=，再比较即可．【解答】解：∵32=9＜10，∴＞3，故答案为：＞．【点评】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法．10．（3.00分）计算：a2•a3= a5．【分析】根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．【解答】解：a2•a3=a2+3=a5．故答案为：a5．【点评】熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．11．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）、（n，3），若直线y=2x与线段AB有公共点，则n的值可以为 2 ．（写出一个即可）【分析】由直线y=2x与线段AB有公共点，可得出点B在直线上或在直线右下方，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围，在其内任取一数即可得出结论．【解答】解：∵直线y=2x与线段AB有公共点，∴2n≥3，∴n≥．故答案为：2．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于n的一元一次不等式是解题的关键．12．（3.00分）如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为37 度．【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74°，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．【解答】解：∵AB=AC，∠A=32°，∴∠ABC=∠ACB=74°，又∵BC=DC，∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．故答案为：37．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．13．（3.00分）如图，在▱ABCD中，AD=7，AB=2，∠B=60°．E是边BC上任意一点，沿AE 剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEF D周长的最小值为20 ．【分析】当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，利用直角三角形的性质解答即可．【解答】解：当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，∵AE⊥BC，AB=2，∠B=60°．∴AE=3，BE=，∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，∴EF=BC=AD=7，∴四边形AEFD周长的最小值为：14+6=20，故答案为：20【点评】此题考查平移的性质，关键是根据当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小进行分析．14．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y 轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为 3 ．【分析】解方程x2+mx=0得A（﹣m，0），再利用对称的性质得到点A的坐标为（﹣1，0），所以抛物线解析式为y=x2+x，再计算自变量为1的函数值得到A′（1，2），接着利用C点的纵坐标为2求出C点的横坐标，然后计算A′C的长．【解答】解：当y=0时，x2+mx=0，解得x1=0，x2=﹣m，则A（﹣m，0），∵点A关于点B的对称点为A′，点A′的横坐标为1，∴点A的坐标为（﹣1，0），∴抛物线解析式为y=x2+x，当x=1时，y=x2+x=2，则A′（1，2），当y=2时，x2+x=2，解得x1=﹣2，x2=1，则C（﹣2，1），∴A′C的长为1﹣（﹣2）=3．故答案为3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6.00分）先化简，再求值：+，其中x=﹣1．【分析】根据分式的加法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：+====x+1，当x=﹣1时，原式=﹣1+1=．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．16．（6.00分）剪纸是中国传统的民间艺术，它画面精美，风格独特，深受大家喜爱，现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“金鱼”，另外一张卡片的正面图案为“蝴蝶”，卡片除正面剪纸图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率．（图案为“金鱼”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“蝴蝶”的卡片记为B）【分析】列表得出所有等可能结果，然后根据概率公式列式计算即可得解【解答】解：列表如下：A 1A2BA 1（A1，A1）（A2，A1）（B，A1）A 2（A1，A2）（A2，A2）（B，A2）B（A1，B）（A2，B）（B，B）由表可知，共有9种等可能结果，其中抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的4种结果，所以抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率为．【点评】本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．（6.00分）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM、ON的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：（1）所画的两个四边形均是轴对称图形．（2）所画的两个四边形不全等．【分析】利用轴对称图形性质，以及全等四边形的定义判断即可．【解答】解：如图所示：【点评】此题考查了作图﹣轴对称变换，以及全等三角形的判定，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．18．（7.00分）学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元，店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润．（1）求每套课桌椅的成本；（2）求商店获得的利润．【分析】（1）设每套课桌椅的成本为x元，根据利润=销售收入﹣成本结合商店获得的利润不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）根据总利润=单套利润×销售数量，即可求出结论．【解答】解：（1）设每套课桌椅的成本为x元，根据题意得：60×100﹣60x=72×（100﹣3）﹣72x，解得：x=82．答：每套课桌椅的成本为82元．（2）60×（100﹣82）=1080（元）．答：商店获得的利润为1080元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据数量关系，列式计算．19．（7.00分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°．（1）求∠B的度数．（2）求的长．（结果保留π）【分析】（1）根据切线的性质求出∠A=90°，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据圆周角定理求出∠AOD，根据弧长公式求出即可．【解答】解：（1）∵AC切⊙O于点A，∠BAC=90°，∵∠C=40°，∴∠B=50°；（2）连接OD，∵∠B=50°，∴∠AOD=2∠B=100°，∴的长为=π．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弧长公式等知识点能熟练地运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．20．（7.00分）某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：202119162718312921222520192235331917182918352215181831311922整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示：统计量平均数众数中位数数值23m21根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中众数m的值为18 ；（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．【分析】（1）根据条形统计图中的数据可以得到m的值；（2）根据题意可知应选择中位数比较合适；（3）根据统计图中的数据可以计该部门生产能手的人数．【解答】解：（1）由图可得，众数m的值为18，故答案为：18；（2）由题意可得，如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适，故答案为：中位数；（3）300×=100（名），答：该部门生产能手有100名工人．【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体、加权平均数、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．（8.00分）某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出口．从某时刻开始，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥，当输出的水泥总量达到8立方米时，关闭输出口．储存罐内的水泥量y（立方米）与时间x（分）之间的部分函数图象如图所示．（1）求每分钟向储存罐内注入的水泥量．（2）当3≤x≤5.5时，求y与x之间的函数关系式．（3）储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是 1 立方米，从打开输入口到关闭输出口共用的时间为11 分钟．【分析】（1）体积变化量除以时间变化量求出注入速度；（2）根据题目数据利用待定系数法求解；（3）由（2）比例系数k=4即为两个口同时打开时水泥储存罐容量的增加速度，则输出速度为5﹣4=1，再根据总输出量为8求解即可．【解答】解：（1）每分钟向储存罐内注入的水泥量为15÷3=5分钟；（2）设y=kx+b（k≠0）把（3，15）（5.5，25）代入解得∴当3≤x≤5.5时，y与x之间的函数关系式为y=4x+3（3）由（2）可知，输入输出同时打开时，水泥储存罐的水泥增加速度为4立方米/分，则每分钟输出量为5﹣4=1立方米；只打开输出口前，水泥输出量为 5.5﹣3=2.5立方米，之后达到总量8立方米需需输出8﹣2.5=5.5立方米，用时5.5分钟∴从打开输入口到关闭输出口共用的时间为：5.5+5.5=11分钟故答案为：1，11【点评】本题为一次函数实际应用问题，考查了一次函数的图象性质以及在实际问题中比例系数k代表的意义．22．（9.00分）在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE．【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．（1）求证：BE=FG．（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为 2 ．【应用】如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为9 ．【分析】感知：利用同角的余角相等判断出∠BAF=∠CBE，即可得出结论；探究：（1）判断出PG=BC，同感知的方法判断出△PGF≌CBE，即可得出结论；（2）利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，应用：借助感知得出结论和直角三角形斜边的中线是斜边的一半即可得出结论．【解答】解：感知：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠BAF=∠CBE，在△ABF和△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（ASA）；探究：（1）如图②，过点G作GP⊥BC于P，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，∴四边形ABPG是矩形，∴PG=AB，∴PG=BC，同感知的方法得，∠PGF=∠CBE，在△PGF和△CBE中，，∴△PGF≌△CBE（ASA），∴BE=FG，（2）由（1）知，FG=BE，连接CM，∵∠BCE=90°，点M是BE的中点，∴BE=2CM=2，∴FG=2，故答案为：2．应用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6，∴ME=3，同探究（1）得，CG=BE=6，∵BE⊥CG，∴S=CG×ME=×6×3=9，四边形CEGM故答案为9．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出CG=BE是解本题的关键．23．（10.00分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段DC的长；（2）当点Q与点C重合时，求t的值；（3）设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．【分析】（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；（2）利用AD+DQ=AC，即可得出结论；（3）分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论；（4）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．【解答】解：（1）在Rt △ABC 中，∠A=30°，AB=4，∴AC=2，∵PD ⊥AC ，∴∠ADP=∠CDP=90°，在Rt △ADP 中，AP=2t ，∴DP=t ，AD=APcosA=2t ×=t ， ∴CD=AC ﹣AD=2﹣t （0＜t ＜2）；（2）在Rt △PDQ 中，∵∠DPC=60°，∴∠PQD=30°=∠A ，∴PA=PQ ，∵PD ⊥AC ，∴AD=DQ ，∵点Q 和点C 重合，∴AD+DQ=AC ，∴2×t=2，∴t=1；（3）当0＜t ≤1时，S=S △PDQ =DQ ×DP=×t ×t=t 2； 当1＜t ＜2时，如图2，CQ=AQ ﹣AC=2AD ﹣AC=2t ﹣2=2（t ﹣1），在Rt △CEQ 中，∠CQE=30°，∴CE=CQ •tan ∠CQE=2（t ﹣1）×=2（t ﹣1）， ∴S=S △PDQ ﹣S △ECQ =×t ×t ﹣×2（t ﹣1）×2（t ﹣1）=﹣t 2+4t ﹣2， ∴S=；（4）当PQ 的垂直平分线过AB 的中点F 时，如图3，∴∠PGF=90°，PG=PQ=AP=t，AF=AB=2，∵∠A=∠AQP=30°，∴∠FPG=60°，∴∠PFG=30°，∴PF=2PG=2t，∴AP+PF=2t+2t=2，∴t=；当PQ的垂直平分线过AC的中点M时，如图4，∴∠QMN=90°，AN=AC=，QM=PQ=AP=t，在Rt△NMQ中，NQ==t，∵AN+NQ=AQ，∴+t=2t，∴t=，当PQ的垂直平分线过BC的中点时，如图5，∴BF=BC=1，PE=PQ=t，∠H=30°，∵∠ABC=60°，∴∠BFH=30°=∠H，∴BH=BF=1，在Rt△PEH中，PH=2PE=2t，∴AH=AP+PH=AB+BH，∴2t+2t=5，∴t=，即：当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为秒或秒或秒．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．24．（12.00分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；（2）求L与m之间的函数关系式；（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y≤9时，直接写出L的取值范围．【分析】（1）求出点B坐标利用待定系数法即可解决问题；（2）利用对称轴公式，求出BE的长即可解决问题；（3）由G2与矩形ABCD恰好有两个公共点，推出抛物线G2的顶点M（﹣m，m2﹣1）在线段AE上，利用待定系数法即可解决问题；（4）分两种情形讨论求解即可；【解答】解：（1）由题意E（0，1），A（﹣1，1），B（1，1）把B（1，1）代入y=﹣x2+mx+1中，得到1=﹣+m+1，∴m=．（2）∵抛物线G1的对称轴x=﹣=m，∴AE=ED=2m，∵矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，∴AD=BC=4m，AB=CD=2，∴L=8m+4．（3）∵当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点，∴抛物线G2的顶点M（﹣m，m2﹣1）在线段AE上，∴m2﹣1=1，∴m=2或﹣2（舍弃），∴L=8×2+4=20．（4）①当最高点是抛物线G1的顶点N（m，m2+1）时，若m2+1=，解得m=1或﹣1（舍弃），若m2+1=9时，m=4或﹣4（舍弃），又∵m≤2，观察图象可知满足条件的m的值为1≤m≤2，②当（2，2m﹣1）是最高点时，，解得2≤m≤5，综上所述，1≤m≤5，∴12≤L≤44．【点评】本题考查二次函数综合题、矩形的性质、待定系数法、不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．。