2018微专题五 平面向量题的求解策略 (共20张PPT)

) (C)重心 (D)垂心
AB AC ⊥ CB . 思路点拨:论证λ AB cos B AC cos C
AB AC ·( AB - AC ) 解析: AB cos B AC cos C
AB
2
=
AB cos B
-
AC
2
AC cos C
根据正弦定理,上式的分子为 2R(sin Ccos C-sin Bcos B+sin Ccos Acos Bsin Bcos Acos C)
1 1 = 2R sin 2C sin 2B cos Asin C B 2 2
=2R{
1 1 sin[(B+C)-(B-C)]- sin[(B+C)+(B-C)]+cos Asin(C-B)} 2 2
3 2 0 1
2
2
+1= 2 +1.
答案: 2 1
点击进入
阶段检测试题ຫໍສະໝຸດ 解析:设 a,b 夹角为θ,a·b= 2 ×3cos θ=3, 得 cos θ=
π 2 ,因为 0≤θ≤π,所以θ= . 4 2
建立如图所示的平面直角坐标系,a=(1,1),b=(3,0), 设 c=(x,y),
则 c-2a=(x-2,y-2) ,2b-3c=(6-3x,-3y). 因为(c-2a)·(2b-3c)=0, 所以(x-2)(6-3x)+(y-2)(-3y)=0,整理得 x2+y2-4x-2y+4=0,即(x-2)2+(y-1)2=1,即 向量 c 的终点在以(2,1)为圆心、1 为半径的圆上,根据向量减法的几何意义,可知 |b-c|的最大值为
z 的几何意义是直线系 z=2x+ 3 y 在 y 轴上的截距,结合图形可 3




知,在点 C 处目标函数取得最大值,最大值为 2×3+ 3 × 3 =9.
答案: 1 17
2 9
反思归纳
向量坐标化后,所有的问题均可以通过计算求解,这种方法对
难度较大的平面向量试题非常有用.
策略四
以证明平面图形中的直线与直线垂直、也可以根据两向量垂直求未知的参 数值等.
策略五
用好向量运算的几何意义
【例 5】 导学号 49612143 已知向量 a,b,c 满足|a|= 2 ,|b|=a·b=3,若 (c-2a)·(2b-3c)=0,则|b-c|的最大值是 .
思路点拨: 根据已知条件,在特定的坐标系中把向量a,b固定,只使得 向量c运动,得出c的坐标满足的方程,得出其几何意义,再利用向量减 法的几何意义得出结果.
思路点拨: 根据平面图形的特点,建立平面直角坐标系,把向量坐标化 后,建立求解目标函数的关系式,然后求其最值. 解析: (1)建立如图所示的平面直角坐标系,则D(2,0). 设B(0,b),b>0,则C(1,b).
因为∠ACD=90°,所以 AC · DC =0,即(1,b)·(-1,b)=0, 解得 b=1, 所以 B(0,1),C(1,1). 设 P(x,y), DP = DC (0≤λ≤1),则(x-2,y)=λ(-1,1),得 x=2-λ,y=λ, 即 P(2-λ,λ). | PA + 3 PB |=|(λ-2,-λ)+3(λ-2,1-λ)| =|(4λ-8,3-4λ)| =
思路点拨: 过点 P 作 BC 平行线,交 AB,AC 于点 M,N,利用共线向量定理,使用
AM , AN 表示 AP ,再利用共线向量定理使用 a,b 表示 AM , AN ,得出λ,μ
满足的条件,再根据基本不等式求最值.
解析:过点 P 作 BC 平行线,交 AB,AC 于点 M,N,设 NP = t NM ,则有
思路点拨:根据共线向量定理、向量的线性运算法则,用 a,b 表示 AF .
解析:如图,E 为 OD 中点, 则 BE = 3DE , 因为 AB∥CD,则 AB = 3DF ,
1 1 BD + AC = 3 AF - 3 OD OA , 2 2
OB - OA = 3 AF - 3 AD ,-


AP = t AM +(1-t) AN (0≤t≤1),
设 AM = m AB ,则有 AN = m AC (0≤m≤1), 所以 AP =t m AB +(1-t) m AC ,所以 AP =2tma+3(1-t)mb,
2tm, 所以 3 1 t m,
所以λ≥0,μ≥0,3λ+2μ=6m≤6, 由 3λ+2μ≥ 2 6 得 2 6 ≤6,所以λμ≤
3 3 ,λμ的最大值为 . 2 2
答案: 3 2
反思归纳 (1)A,B,C 三点共线时,一定存在实数λ,使得 AB = BC 或 AB = AC
等;(2)A,B,C 三点共线的充要条件是对不在直线 AB 上的任意一点 O,存在实数 t 使 得 OC = tOA + 1 t OB 或 OC = OA + OB ,λ+μ=1.
+
AC AB AC cos C
-
AB AC AB cos B
.
在△ABC 中,记角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则上式即为
c b c cos A b cos A c cos C b cos B c cos A cos B b cos A cos C + = . cos B cos C cos C cos B cos B cos C
AB AC
BC 边上的高线所在的向量共线.
AB AC ,所以点 P 在△ABC 的 BC 边上的高线上,所以 因为 OP = OA + AB cos B AC cos C
点 P 的轨迹经过△ABC 的垂心.故选 D.
反思归纳
两非零向量垂直的充要条件是其数量积为零,利用该结论可
1 1 1 1 3 AF = BD + AC +3× BD +3× AC , 2 2 2 2
3 AF = 2 AC + BD ,则 AF =
2 1 AC + BD , 3 3
2 1 即 AF = a + b .故选 B. 3 3
反思归纳
平面向量基本定理表明,同一平面内的任一向量都可表示为其
他两个不共线向量的线性组合,即选择了两个不共线向量e1和e2,平面内的 任何一向量a都可以用向量e1,e2表示为a=λ1e1+λ2e2,并且这种表示是唯一 的,即若λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,则必有λ1=μ1,λ2=μ2.这样,平面向量基 本定理不仅把几何问题转化为只含有λ1,λ2的代数运算,而且为利用待定 系数法解题提供了理论基础.
用好两向量垂直的条件
【例 4】 导学号 49612142 设 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的
AC AB ,λ∈[0,+∞),则点 P 三点,动点 P 满足 OP = OA + AB cos B AC cos C
的轨迹经过△ABC 的( (A)外心 (B)内心
策略三
用好向量的坐标表示
. .
【例 3】 (1)(2016·河南豫南九校高三下一联)已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC, ∠ACD=90°,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则| PA + 3 PB |的最小值是 点,若 N 为该菱形内任意一点(含边界),则 AM · AN 的最大值为 (2)(2016·湖南益阳 4 月调研)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=60°,M 为 CD 的中
策略二
用好平面向量基本定理
)
【例 2】 在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线 与 CD 交于点 F.若 AC =a, BD =b,则 AF 等于(
1 1 (A) a + b 4 2 1 1 (C) a + b 2 4 2 1 (B) a + b 3 3 1 2 (D) a + b 3 3
高考微专题五
平面向量题的求解策略
平面向量既具备几何意义、也具备类似数的运算,在解题中既可以按照 几何的思路处理、也可以通过运算解决问题,解平面向量的题目有一些 策略,用好这些策略可以顺利地解决问题.
策略一
用好共线向量定理及其推论
【例 1】 导学号 49612141 在△ABC 中, AB =2a, AC =3b,设 P 为△ABC 内部及其边 界上任意一点,若 AP =λa+μb,则λμ的最大值为 .
=2R[-cos(B+C)sin(B-C)+cos Asin(C-B)]=2R[-cos Asin(C-B)+cos Asin(C-B)]=0.
AB AC AB AC ·( AB - AC )=0,所以 ⊥ CB . 所以 AB cos B AC cos C AB cos B AC cos C AB AC 与△ABC 的 又向量 + 经过点 A,所以向量λ AB cos B AC cos C AB cos B AC cos C
4 8 3 4
2
2
= 32 2 88 73 ,0≤λ≤1, 根据二次函数性质,上式当λ=1 时取最小值,故其最小值为 32 88 73 = 17 .
(2)建立如图所示的平面直角坐标系,则 B(2,0),C 3, 3 ,D 1, 3 ,M 2, 3 ,设 N(x,y),则 AM · AN = 2 x 3 y ,其中(x,y)所在的区域即为菱形及其内部的区域. 设 z= 2 x 3 y ,则