数量模型与算法基础初步Ch7影子价格和对偶问题r2

煤炭的影子价格y2 * 32 7
即再增加1吨煤炭，利润增加32/7万元
设备台时的影子价格y3 *
6 7
即再增加1个台时，利润增加6/7万元
(P)求max z 10x1 18x2
5x1 2x2 170 钢材
s.t
2xx1153xx22
100 150
煤炭 设备台时
x1, x2 0
原问题最优解 X*=(50/7，200/7) 对偶问题最优解 Y*=(0，3/7,6/7)
max z=2x1+3x2-5x3+x4 s.t. 4x1+x2-3x3+2x4 ≥5
3x1-2x2 +7x4 ≤4 -2x1+3x2+4x3+x4=6
x1 ≤ 0, x2,x3 ≥0 , x4 无符号限制
min w=5y1+4y2+6y3 s.t. 4y1+3y2-2y3 ≤ 2
y1-2y2+3y3 ≥ 3 -3y1 +4y3 ≥ -5 2y1+7y2+y3 = 1
b2 = c • ③把原始问题约束不等式的右端常数作为对偶问题的目标函数系数。
c2 = b • ④把原始问题的系数矩阵转置后作为对偶问题的系数矩阵。A2=A’ • ⑤根据原始问题的约束不等式情况，确定对偶变量的符号约束。 • ⑥根据原始问题决策变量的符号约束，确定对偶问题约束不等式的符
号方向。
影子价格
w = 14
对称型对偶线性规划
• 对称对偶线性规划 具有对称形式的线性规划的特点是： • ①全部约束条件均为不等式，对极大化问题为≤，对极小化问题为≥。 • ②全部变量均为非负。 • 列出对称对偶线性规划的步骤是： • ①规定非负的对偶变量，变量数等于原始问题的约束方程数。 • ②把原始问题的目标函数系数作为对偶问题约束不等式的右端常数。 • ③把原始问题约束不等式的右端常数作为对偶问题的目标函数系数。 • ④把原始问题的系数矩阵转置后作为对偶问题的系数矩阵。 • ⑤把原始问题约束条件中的不等号反向作为对偶问题约束条件的不等
对偶问题的最优解
最优值Z*=4100/7
Y*=(0，32/7,6/7)
(P)求max z 10x1 18x2
5x1 2x2 170
s.t
2xx1153xx22
100 150
钢材 煤炭 设备台时
x1, x2 0
对偶问题最优解 Y*=(0，32/7,6/7)
钢材的影子价格y1* 0，
即再增加1吨钢材，利润不会增加
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
x1 , x2 , xn 0
资源
A1 A2
Am
单位 利润
B1
B2
Bn
资源 限制
a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2
am1 am2 amn bm
c1 c2 cn
决策依据： 比较第i种资源增加一个单位，其余资源不增加 时利润的增加值
只能造成积压，不会给工厂增加效益。
y1* 0
*影子价格的大小客观地反映了资源 在系统内部的稀缺程度
解：例设X：1，已X2，知X某3表家示书具桌、公餐司桌、生椅产子的书桌、餐桌、椅子 生产三数种量，产品。Z生表产示这总些收家入具需要木材和和两
求 ma种x Z熟练60工x1 人30：x2漆 2工0x和3 木工。各种家具的资
3*x1 + 1*x3 <=15
2*x1+2*x2
<=50
x1,x2,x3 >=0
对偶问题
• 则原问题的对偶问题为
Min w=70*y1+80*y2+15*y3+50*y4 s.t
2*y1+4*y2+3*y3+2*y4 >=8
1*y1+1*y2 + 1*y4 >=10
3*y1+2*y2+1*y3
>=2
• [y w] = linprog(c2,A2,b2,[], [],lb,[]); •y •w
木材的影子价格y1 0 ，即增加1英寸的木材，总收入不增加 漆工的影子价格y2 10，即增加1小时的漆工，总收入增加10元
木工的影子价格y3 10，即增加1小时的木工，总收入增加10元 餐桌的影子价格y4 0 ，即增加1个餐桌的需求，总收入不增加
号。 • ⑥将原始问题目标函数取极大化改成对偶问题目标函数取极小化。
非对称型对偶线性规划
• 非对称对偶线性规划 有时线性规划并不以对称方式出现，如约束条 件并不都是同向不等式，变量可以是非正的或没有符号约束。
• 列写非对称对偶线性规划可参照原始-对偶表（见表）按下列步骤进行： • ①规定对偶变量，变量个数等于原始问题约束不等式数。 • ②把原始问题的目标函数系数作为对偶问题约束不等式的右端常数。
• %b2=[-2;-3]; • b2=c;
• %A2=[-3 -2;-6 -1]; • A2=-A';
x=
4 2
z = 14 === y=
0.44444 0.33333
• lb2=[0;0];ub2=[]; • [y,w]=linprog(c2,A2,b2,[],[],lb2,ub2); y •w
资源的合理利用问题： 1、问题的提出
某 厂 计 划 在 下 一 个 生 产周 期 内 生 产B1，B2，，Bn种 产 品 ， 要 消 耗A1，A2，，Am种 资 源 ， 已 知 每 件 产 品所 消还费有现的投金资 资，源如何数 、 每 种 资 源 的 数 量 限 制 以 及 每件 产 品 可 获 得 的 利 润 如下 表 ， 问 如 何 安
影子价格是一种资源的虚拟价格 ≠资源的市场价格
3、影子价格在经济管理中的应用
影子价格能指示企业内部挖潜的方向
影子价格越大的资源，表明： 这种资源对目标增益的影响越大 这种资源对该企业 越稀缺、贵重
管理措施：重视对该种资源的管理 通过挖潜革新、降低消耗 或及时补充该种资源
影子价格为零的资源，表明： 这种资源对该企业来说相对富裕
• 影子价格：
– 用线性规则方法计算出来的反映资源最优使用效果 的价格。(不一定等于资源的市场价格）
– 当资源增加一个单位时，目标函数最大值的增量与 资源的增量的比值，就是目标函数对约束条件（即 资源）的一阶偏导数。
– 用线性规划解决如何在限资源b下使总产出为最大 z*=cx*时，其对偶解就是求出相应的资源使用极小 值 w*=y*b， y*值作为对资源的经济评价，表现为 影子价格。这种影子价格反映生产设备、自然资源、 劳动力的最优使用效果。
y1 ≤ 0, y2≥0 , y3无符号限制
Matlab解对偶问题
• c=[-2;-3];b=[24;10];A=[3 6;2 1];lb=[0;0];ub=[];
• [x z] = linprog(c,A,b,[],[],lb,ub); •x • z=-z • %duality, shadow prices • %c2=[24;10]; • c2=b;
x2 x1 , x2 , x3 0
5 餐桌约束
木材的影子价格y1 0 漆工的影子价格y2 10 木工的影子价格y3 10 餐桌的影子价格y4 0
最优解X* （2,0,8） 最优值Z* 280
对偶问题的最优解Y * 0,10,10,0
解对偶问题Matlab 程序见下页
clear all pkg load optim;
42x81xxx源需问,111x2需 求 如1,26x.xx5x求 是 何322x22如 无 安01x.053下限排.x53x表的生4382，，产508但，且木木漆餐公餐能材工工桌约约约约司桌使束束束束确最总信多收书能入桌卖最和出大椅？5个子，的
木材 漆工 木工 售价
书桌
8英寸木板 4小时 2小时 60元
餐桌
6英寸木板 2小时 1。5小时 30元
椅子
1英寸木板 1。5小时 0。5小时 20元
资源数
48英寸木板 20小时 8小时
求 max Z 60x1 30x2 20x3
8 x1 6 x2 x3 48 木材约束
4 x1 2 x2 1.5 x3 20 漆工约束
2 x1 1.5 x2 0.5x3 8 木工约束
影子价格和对偶问题
An Jin 201509wk.baidu.com
1
对偶问题:原问题
• 线性规划有一个有趣的特性,就是任何一个目 标求极大，约束为<=的问题都有一个与其匹配
的目标求极小，约束为>=的线性规划问题. 例；原问题为
Max z=8*x1+10*x2+2*x3
s.t.2*x1+1*x2+3*x3 <=70
4*x1+2*x2+2*x3 <=80
投资策略：哪种资源的影子价格大就投资那项？
第i种资源的影子价格yi 第i种资源bi增加一个单位时总收入的增加额
注意：总收入增加 总利润增加,总利润 总收入 总成本
投资策略： 不增加木板，不在餐桌的销路上投资（如广告等） 若市场上1小时的漆工工资<10元，可增加漆工 若市场上1小时的木工工资<10元，可增加木工
排 生 产 计 划 ， 才 能 充 分利 用 现 有 资 源 ， 使 获 得的 总 利 润 最 大 ？
解
：
设x
j
表
示
产
品B
的
j
产
量
（j 1,2,, n)
max z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t
a21 x1
a22 x2
把X*代入：
由y2 *
3 7
0,
y3*
6 7
0,
2xx11**53xx22**115000
现有资源中的煤炭和设备台时已经全部用完而没有剩余， 因此若增加这两种资源，必然会工厂带来新的效益。
若把现最有优资源方中案的带钢入材钢有材 剩约余束 ，因：此有若5x增1 *加这2x种2*资源6，750 170
2、影子价格的定义
影子价格：在一对对偶问题（P）和（D）中， （P）的第i个约束条件的右端常数bi 增加一个 单位时，所引起的目标函数最优值Z *的改变量
yi *称为第i个约束条件的影子价格.
yi * 对偶问题（D）的最优解Y *的第i个分量
Z * bi
边际价格
例：某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品，要消 耗钢材、煤炭、设备台时三种资源，已知每件产品所消费的资 源数、每种资源的数量限制以及每件产品可获得的利润如下表， 问如何安排生产计划，才能充分利用现有资源，使获得的总利 润最大？
管理措施： 向别的企业转让或以市场价出售
通过对企业内部的改造、挖潜和 增加对影子价格大于零的资源的 投入，使原有剩余资源得到充分利用
影子价格在企业经营决策中的作用 决策者：
将本企业资源的影子价格与 当时的市场价格进行比较
采用的决策：
若某种资源的影子价格>市场价格 ——买进 若某种资源的影子价格<市场价格 ——卖出
§1 对偶问题的提出 原问题与对偶问题的关系
原问题
对偶问题
目标函数 max 目标函数 min
约 m个 束≤ 条≥ 件=
m个
≥0
变
≤0
量
无符号限制
n个 变 ≥0
n个
约
≥
束
量 ≤0
≤
条
无符号限制
=
件
目标函数的系数 约束条件右端常数
约束条件右端常数 目标函数的系数
系数矩阵 A
系数矩阵 AT
e.g. 1 写出(P)问题 的(D)问题
c=[60 30 20]; c=-c'; A=[ 861 4 2 1.5 2 1.5 0.5 010 ] b=[ 48 20 8 5 ] lb=[0 0 0 ]’ [x z] = linprog(c,A,b,[], [],lb,[]); x z=-z
• %解对偶问题 • c2=b • b2=-(-c) • A2=-A' • lb=[ •0 •0 •0 •0 •]
解：设x1表示产品甲的产量 x2表示产品乙的产量
求max z 10 x1 18x2
5x1 2x2 170
s.t
2xx1153xx22
100 150
x1, x2 0
甲 乙 资源
资源 钢材
限制
5 2 170
煤炭
2 3 100
设备台时 1 5 150
单位利润 10 18 （万元）
最优解 X*=(50/7，200/7)
y1,y2,y3,y3>=0
y*b
A’*y >=c
• 可以看出：
– 1、若一个模型为目标求 极大 ，约束为 小于等于 的不等式,则它的对偶模型为目标求极小 ，约束为 极大的不等式 即 “MAX,〈=” 与“ MIN,〉=”相对应 2、从约束条件系数矩阵来看,一个模型中为A 另一 个为A的转置,一个模型是 m个约束n个变量 则他的 对偶模型为n个约束 m个变量 3、从数据b ，c 的位置看，两个规划模型中b和 c的 位置对换 即8、10、2 与 70、80、15、50 对换 4、两个规划模型中变量非负.