寿险精算

3.2.2
生命表的内容（四）
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(10)简单平均余命①ex
1)(x)的简单平均余命，是指(x)的余命(不包括不满一年的 零数)K(x)的平均值，即(x)取整余命K(x)的平均值。 l l l 2)假定死亡者都在年初死亡，则 ex x 1 x 2 lx 3) ex E[ K ( x)] k Pr[K ( x) k ] k k px qx k k 1 px
3.2.1

生命表的含义
生命表的概念



生命表，是指在封闭条件下，对一定数量的人口自出生 （或者一定年龄）至全部死亡这段时间内的生存和死亡状 态，以统计数字记录的一种统计表，又称死亡表。 生命表中最重要的就是设计产生每个年龄的死亡率。 在设计生命表时，只注重考虑年龄和性别。

生命表的种类
（1）国民生命表 （2）经验生命表 保险公司使用的是经验生命表。
（2） （3）
s ( x) s ( x t ) t qx s ( x) s( x t ) t p x 1 t q x s ( x)
s( x t ) s( x t u ) q q q p p t u x t u x t x t x t u x s ( x)
E ( X ) xf ( x)dx
0

3.1.2

生存函数
s(x)=Pr(X＞x)=Pr{新生儿在x岁时仍存活},x≥0 ， s(x)=1-Pr(X≤x)=1-F(x) s(x)的基本性质：
①0≤s(x)≤1, s(0)=1，s(∞)=0； ②s(x)↓； ③s(x)一般是一个关于x的连续函数

运用死亡力表示生存函数、生存率和死亡率
s ( x) e
y dy
0

x
xt
t px e
y dy
x

e
x s ds
xs ds
0

0 t
t
fT (t )t px xt
t q x 1t p x 1 e

3.1.6
s(x)的解析表达式①
------关系和表达方式
F ( x)
f ( x)
F ( x)
F ( x)

x
0
f (s)ds 1 s( x) 1 e 0 s ds
x
f ( x)
1 f ( s)ds
0 x
s( x)
s ( x)
s( x ) s( x)
xe 0
s ds
x
s ( x ) 1 F ( x)
lx=l0· Pr(X＞x)=l0· s(x)= l0 e 0 。 (3)死亡数dx：(x)在一年内死亡的人数。
1)dx表示lx中在x～x+1岁之间死亡的人数。 1 2)dx=lx-lx+1，lx+1=lx-dx，lx=dx+lx+1。 l x dt
tx
l x l0 d t
3.2
生命表
3.2.1 3.2.2
3.1.1

分布函数
X：新生儿的未来寿命 (连续型r.v.) X的分布函数 F(x)=Pr(X≤x)=Pr{新生儿在x岁之前死亡}，x≥0 0≤F(x)≤1， F(0)=0， F(x)↑
X的概率密度函数 新生儿的平均寿命

f ( x) F ( x), x 0
n 1
3.1.6
在de
s(x)的解析表达式
Moivre 假设下
随着年龄的增长，x岁的人在1年内死亡的概
率也在增大。(qx↑) x岁的人在未来任何1年内死亡的概率是相同 的。 (k│qx与k无关) 人的平均寿命是极限年龄的一半。(E(X)=ω/2)
死亡年龄的概率论函数
------要求
分布函数 F(x)
当x＜0 当x≥0 F(x)＝0 F(x)≥0
概率密度函数 f(x)
f(x)＝0 f(x)≥0
生存函数 s(x)
s(x)=1 s(x)≥0
死亡力 μx
μ x=0 μ x≥0
lim
x
F ( ) 1


0
f ( x)dx 1
s () 0


0
x dx
死亡年龄的概率论函数
x s ( x) 1 ,0 x 100 100
f ( x) ce , t 0,
ct
x E[T ]; (2)Var(T). 其中常数c＞0。计算 (1) e 4.设μx＋t=t, t≥0, 计算 (1)tpxμx＋t ; (2) x . e
qx 1 qx 2 qx n1 qx
Pr(m T ( x) m n)
} (9) m n qx :m n qx Pr{(x)在x m岁和x m n岁之间死亡
l x m l x mn d x m d x m1 d x m n1 mn1 q t qx mn x lx lx t m l x m l x m n q m p x n q x m mn x lx q Pr(m T ( x) m n) Pr( T ( x) m n) Pr( T ( x) m) mn x m n qx m q x m p x m n p x
tu
qx t px u qxt
3.1.4

K(x)
取整余命K(x)的概念
K(x)：(x)的余命的整年数(离散型r.v.)， K(x)=[T(x)]， K(x)=k,当k≤T(x)＜k+1,k=0,1,2,„

K(x)的概率分布
Pr[K(x)=k]=Pr[k≤T(x)＜k+1] ,k=0,1,2,„ Pr[K(x)=k]=Pr[k＜T(x)≤k+1]
s( x) 1 x
1.de Moivre 假设（1729）
s( x t ) x t t t px t qx x s ( x) x 2.Gompertz 假设(1825)
3.Makeham 假设(1860) 4.Weibull 假设(1939)

,0≤x＜
设 T(x)=K(x)+S，且S服从[0，1)上的均匀分布，则有
x E[T ( x)] E[ K ( x) S ] E[ K ( x)] E(S ) ex 0.5 e
第3章
课外练习题(一)
1.设 。计算 (1)μx； (2)F(x)； (3)f(x)； (4)Pr(10＜X ＜ 40). q 2.如果当20≤x≤25时，μx=0.001, 估计 2 2 . 20 3.设随机变量T的概率密度函数为
l x m n m px n px m 2) m n px lx
3.2.2
生命表的内容（三）
(8)nqx：nqx=Pr{(x)在n年内死亡}=Pr(T(x)≤n) nqx=1-npx=1-(lx+n/lx)=(lx-lx+n)/lx =(dx+ dx＋1+„+dx＋n-1)/lx
(11)完全平均余命 e x
k 0
k 0
k 0
1)(x)的完全平均余命，是指(x)的余命(包括不满一年的零 数)T(x)的平均值。 x E[T ( x)] tfT (t )dt t t px x t dt t px dt e 2)

0

0

0
完全平均余命和简单平均余命的相互关系:

tu
t
qx Pr{(x)在x t岁和x t u岁之间死亡 } Pr(t T ( x) t u)
qx t 1 qx Pr{(x)在x t岁和x t 1岁之间死亡 } Pr(t T ( x) t 1)
2.用生存函数表示死亡率和生存率
（1 ）
t 0
x 1
(4)极限年龄：生命的最高年龄。l=0, l-1=d-1 。
3.2.2
生命表的内容（二）
(5) 死亡率qx：qx=Pr{(x)在1年内死亡} 1) qx=Pr(T(x)≤1) 2) qx＝dx/lx=(lx-lx+1)/lx ， q-1=1 (6) 生存率px：px=Pr{(x)至少活到x+1岁} 1) px=Pr(T(x)＞1) 2) px=s(x+1)/s(x)=lx+1/lx=1-qx，p-1=0 3) px+qx=1 (7) npx：npx=Pr{(x)在n年后仍然生存}=Pr(T(x)＞n) 1) p l x n p p p p n x x x 1 x2 x n 1 lx
s( x k ) s( x k 1) s ( x)
k q x k p x q xk
3.1.5

死力(死亡力)
死亡力的概念 x 表示 (x) 的死亡力，是指当年龄 x连续变动时，在某年龄时 点上的瞬间死亡率，又称死亡密度①。
s( x) x s ( x)

新生儿在x1岁和x2岁之间死亡的概率： Pr(x1＜X≤x2)＝Pr(X≤x2)-Pr(X≤x1)
=F(x2)-F(x1)=s(x1)-s(x2)
3.1.3
T(x)
1.T(x)的概念 （1）余命T(x)及其概率分布 （2）死亡率和生存率 2.用生存函数表示死亡率和生存率
（1）余命T(x)及其概率分布
e 0
s ds
x
x
F ( x) 1 F ( x)
f ( x)


x
f ( s )ds
x
思考与讨论(3-1)

1.生存函数有哪些基本性质？ 2.分布函数F(x)和生存函数s(x)有什么关系？


3. px=0px？0px =？
4. xp0= F(x)？ 5.余命T(x)和取整余命K(x)有什么联系和区别？ 6.当k=0,1,2,…时，为什么 Pr[K(x)=k]=Pr[k≤T(x)k+1]=Pr[k＜T(x)≤k+1]？
(x):年龄为x岁的人（生命） r.v.T(x)=X-x:(x)的剩余寿命(未来生存的时间) (注):X=T(0), F(x)=Pr(T(0)≤x),s(x)=Pr(T(0)＞x) T的分布函数 FT(t)=Pr(T(x)≤t)=Pr{(x)在t年内死亡}, t≥0 =Pr(X≤x+t|X＞x)


F ( x t ) F ( x) s ( x) s ( x t ) FT (t ) 1 F ( x) s ( x) ( x t ) s ' T的概率密度函数 fT (t ) FT (t ) s ( x)
（2）死亡率和生存率
死亡率 tqx=Pr(T(x)≤t)=Pr{(x)在t年内死亡} 生存率 tpx=Pr(T(x)＞t)=Pr{(x)至少存活t年} (注)： ①tqx=Pr(T(x)≤t)=FT(t),是T(x)的分布函数, tpx=Pr(T(x)＞t)=1-FT(t)=1-tqx,是(x)的生存函数; ②xq0=Pr(T(0)≤x)=Pr(X≤x)=F(x), xp0=Pr(T(0)＞x)=Pr(X＞x)=s(x)； ③ qx=1qx=Pr(T(x)≤1)=Pr{(x)在1年内死亡}, px=1px=Pr(T(x)＞1)=Pr{(x)至少活到x+1岁} .
教育部、保监会推荐教材
保险精算
（第二版）
主编 主讲 李秀芳 傅安平 王静龙 曾卫
中国人民大学出版社
第3章
3.1 生命函数
3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6
生命表基础
分布函数F(x) 生存函数s(x) T(x) K(x) 死力 s(x)的解析表达式 生命表的含义 生命表的内容
1 x x
B x s ( x) exp[ (c 1)], B 0, c 1, x 0 ln c
B x s( x) exp[ Ax (c 1)], B 0, A B, c 1, x 0 ln c
kx s( x) exp( ), k 0, n 0, x 0 n 1
3.2.2
生命表的内容(一)
(1)年龄x。一般选择0岁为初始年龄，ω 表示最高年龄 （极限年龄）。 (2)生存数lx：从初始年龄到满x岁时尚生存的人数。
1)lx表示自出生到满x岁时尚生存人数的期望值。 2)lx是x的连续递减函数。 3)生命表基数(基期人口)l0:同时出生的一批人数。 x
s ds