电工技术：叠加定理解题步骤PPT课件
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叠加原理PPT课件
14
-
小试牛刀
1、叠加原理只适用于_线_性_电路，而且叠加原理只能来 计算电路中的_电_压_和_电_流__，不能直接用于计算_电_功__率_。
2、如图所示电路中，已知E1 单独作用时，R1、R2、R3的
电流分别是-4A、2A、-2A， E2 单独作用时，R1、R2、R3的
电流分别是3A、2A、5A，则
1、叠加原理只适用于线性电路。
2、计算某一独立电源单独作用时，应将电路中其他 独立恒压 源视为短路，独立恒流源视为开路，所有独立电源的内阻保 持不变。
3、进行叠加时，注意各分量参考方向与总量的参考方向是否一 致，一致则叠加时取正，否则取负。
4、线性电路中，功率P不能用叠加原理计算，因为P=I2R、 P=U2/R不是线性关系
叠加原理
科目：电工基础 作课人：毛东建 部系：电气工程事业部
1
-
部分电路欧姆定律
（一）部分电路欧姆定律定律：
导体中的电流与导体两端的电压成正比，与 导体的电阻成反比。
即ΣI=0
2
-
（二）回路电压定律：
在任一回路中，各段电路电压降的代数和恒 等于零。
即ΣE= ΣIR或ΣE- ΣIR=0
3
-
戴维南定理
各支路电流I1=__-1_A,I2=__4_A
I3=__5_A.
15
-
归纳总结与作业
通过本课题学习，重点掌握以下内容： 1、叠加定理解题的一般步骤。 2、相关注意事项
作业：练习册第二题（包括1、2两道计算题）
16
-
17
-
注：独立源单独作用是指当某一独立源起作用 时，其他独立源都不起作用，即独立恒压源用 短路代替，独立恒流源用开路代替。
叠加定理
ux ？
is1
N
is 2
4-1 叠加定理 解：电路有两个独立源激励，依据电路的叠加 性，设 k1is1 k2is 2 u x 其中 k1，k2 为两个未知的比例系数。 利用已知的条件，可知：
10k1 14k2 100 k1 3 10k1 10k2 20 k2 5
Req 40KΩ //10KΩ 8KΩ
a
8k
用戴维南等效电路置换原 ab端以左的电路部分，如 uoc 图所示。得：
I 4k
12V b
18 I 1.5mA 48
4-3 戴维南定理和诺顿定理 二、诺顿定理
任何线性有源二端网络N，对其外特性而 言，都可以用一个电流源与电阻的并联支路 来代替。其中电流源电流值为有源二端网络 输出端的短路电流 isc ，并联电阻值为该有源 二端网络内所有独立源置零后对应的网络 N 0 在输出端求得的等效输入电阻 Req 。
4-3 戴维南定理和诺顿定理 一、戴维南定理 任何线性有源二端网络N，就其外特性 而言，可以用一个电压源与电阻的串联支 路等效置换，如图所示。
i
i a u b uoc
Req
a
u b
N
4-3 戴维南定理和诺顿定理 其中，电压源的电压值为 该有源二端网络N的开路 电压 uoc ，如图(a)所示； 串联电阻值等于有源二端 网络内部所有独立源不作 用时对应的网络 N 0在输 出端求得的等效输入电 阻 Req ，如图(b)所示。这 样的等效电路称为戴维南 等效电路。
' 1 ' 2
根据叠加定理，得 u3 u3 u3 6 25.6 19.6V
4-1 叠加定理 例4-2：如图所示的线性电阻网络N，当 is1 10A，is 2 14A时，x 100V u
电工学叠加原理 ppt课件
I1'
I
' 3
Us R1 R3
4.5 23
0.9 A
I
' 2
I
' 4
Us R2 R4
4.5 1 0.5
3A
I
'
I1'
I
' 2
(0.9
3)
3.9 A
电流源支路的端电压U′为：
U'
R4
I
' 4
R3
I
' 3
(0.5 3
3 0.9)
1.2V
ppt课件
例3：求下图所示电路中的电流I1、I2和I3
ppt课件
1
求下图所示电路中的电流I1、I2和I3
R1
R3
＋ I1
Us1 －
I2 Im1
R2
＋ Us2
－
I3 Im2
＋ Us3
－
图2.18
ppt课件
2
2.10 网 孔 法
采用网孔电流为电路的变量来列写方 程。
设想在每个网孔中, 都有一个电流沿网孔 边界环流, 这样一个在网孔内环行的假想电 流, 叫做网孔电流。
1
1
1
I ＋
I′ ＋
Us －
R2
＝ Us
Is
－
R2
＋
I″
R2
Is
R1
R1
R1
0
0
0
(a)
(b)
(c)
ppt课件
电工技术：叠加定理解题步骤
4 6 U1 4 9.6V 46
4 I1 4 1.6 A 46
Us'= -10 I1'+U1’= -10 I1'+4I1'
= -101+41= -6V
一、叠加定理的应用
(3)求代数和
Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V
二、齐次定理
' I 4 kI 4 2.42 A
由于电路结构比较繁琐，并且电压
还要变化，计算会比较麻烦。我们 可以利用齐次定理来解决。 递推法
二、齐次定理
• 递推法
' 设I 4 1A ' U BD 22V ' I3 1.1A ' I2 2.1A ' U AD 26.2V ' I1 1.31A
若给定电压为120V，这相 当于电压增加到原来的 3.63倍 (k 120 3.63)
U U ' U '' 2V
一、叠加定理的应用
I1 6
例2：如图电路，求电压Us。
解： (1)画出分电路图 10V电压源单独作用：
+ 10V –
+10 I1– +一、叠加定理的应用
(2)对各分电路进行求解
U' U 'S 10I 1 10 I1 1A 64
内容：在线性电路中，当所有激励都增大或缩小k倍（k为实常数）时，其
响应（支路电流或电压）也将同样增大或缩小k倍。 意义： 反映线性电路的齐次性（比例性） 注意： 1）激励是指独立电源； 2）只有所有激励同时增大或缩小k倍时才有意义。
叠加定理PPT课件
用叠加定理求电流I;
求电阻R 4 上消耗的功率。10-2（a）所示:R 34 =R 3 ∥R 4 =10∥10=5Ω，I′= 3 + 4 ·
1
2 + 34 + 1
1
5
· =2×5+5+5×3=0.5A。
当 单独作用时，如图2-10-2（b）所示:R 12 =R 1 +R 2 =10Ω，R=R 12 ∥R 4 =10∥10=5Ω，
在使用叠加定理分析计算电路应注意以下几点：
叠加定理只能用于计算线性电路（即电路中的元件均为线性元件）的支路电流或电压（不能
直接进行功率的叠加计算）；
电压源不作用时应视为短路，电流源不作用时应视为开路；
叠加时要注意电流或电压的参考方向，正确选取各分量的正负号。
知识点精讲
如图2-10-1所示电路， =30V， =3A，R 1 =R 2 =5Ω，R 3 =R 4 =10Ω。
直流电路
考纲解读
一、最新考纲要求
1.理解叠加定理的内容；
2.掌握叠加定理的应用。
二、考点解读
必考点：叠加定理的内容及应用。
重难点：叠加定理的内容、应用与计算。
知识清单
叠加定理表述为：
当线性电路中有几个电源共同作用时，各支路的电流（或电压）等于各个电源分别单独作用
时在该支路产生的电流（或电压）的代数和（叠加）。
如图2-10-5所示电路， 1 =10V， 2 =15V，当开关S置于位置1时，毫安表的读数I 1 =40mA;当
开关S置于位置2时，毫安表的读数I 2 =-60mA。若把开关S置于位置3，则毫安表的读数为多少?
【答案】应用叠加定理。
开关置于位置1时，相当于 单独作用，I 1 =40mA，如图2-10-6所示。
求电阻R 4 上消耗的功率。10-2（a）所示:R 34 =R 3 ∥R 4 =10∥10=5Ω，I′= 3 + 4 ·
1
2 + 34 + 1
1
5
· =2×5+5+5×3=0.5A。
当 单独作用时，如图2-10-2（b）所示:R 12 =R 1 +R 2 =10Ω，R=R 12 ∥R 4 =10∥10=5Ω，
在使用叠加定理分析计算电路应注意以下几点：
叠加定理只能用于计算线性电路（即电路中的元件均为线性元件）的支路电流或电压（不能
直接进行功率的叠加计算）；
电压源不作用时应视为短路，电流源不作用时应视为开路；
叠加时要注意电流或电压的参考方向，正确选取各分量的正负号。
知识点精讲
如图2-10-1所示电路， =30V， =3A，R 1 =R 2 =5Ω，R 3 =R 4 =10Ω。
直流电路
考纲解读
一、最新考纲要求
1.理解叠加定理的内容；
2.掌握叠加定理的应用。
二、考点解读
必考点：叠加定理的内容及应用。
重难点：叠加定理的内容、应用与计算。
知识清单
叠加定理表述为：
当线性电路中有几个电源共同作用时，各支路的电流（或电压）等于各个电源分别单独作用
时在该支路产生的电流（或电压）的代数和（叠加）。
如图2-10-5所示电路， 1 =10V， 2 =15V，当开关S置于位置1时，毫安表的读数I 1 =40mA;当
开关S置于位置2时，毫安表的读数I 2 =-60mA。若把开关S置于位置3，则毫安表的读数为多少?
【答案】应用叠加定理。
开关置于位置1时，相当于 单独作用，I 1 =40mA，如图2-10-6所示。
叠加原理.ppt
+
++
I2'
U–S
E –
R1
R3 US'
–
R2
I2
+
R1
R3 IS U–S
(a)
(b) E单独作用
(c) IS单独作用
解：由图(c)
I
2
U
S
R3
RI22
R3
R2
5 IS 5 5
0.5 5
1 0.5A
2.5V
I2
I
2
I
2
1
0.5
0.5A
US
U
S
U
S
5
2.5
7.5V
B
根据叠加原理，I2 = I2´ + I2
解： I2´= I2"=
？1A ？–1A
I2 = I2´ + I2 =
0A
【例题讲解】 I= ? 用叠加原理求：
10 4A
10
10
-
I
20V
+
“恒流源失效” 即令其开路。
解：
10
原电路=
10 10
I´
+
10 10
I"
4A
I'=2A
I"= -1A
I = I'+ I"= 1A
【 重点与难点 】
叠加定理中对不工作电源的处理： 电流源不工作，相当于开路 电压源不工作，相当于短路
例1：电路如图，已知 E =10V、IS=1A ，R1=10 R2= R3= 5 ，试用叠加原理求流过 R2的电流 I2 和理想电流源 IS 两端的电压 US。
叠加定理课件
I x Iy
I″
2Ω 2Ω
4V 2I x
叠加： I I I 3 6 3A
4V电压源发出的功率： P 43 12W
谢谢观看！ 2020
解：用叠加原理求电流 I 。
3V电源单独作用：
Ix 2Ω
I 2Ω
4V
Ix I y
I′
3V
2Ix
2Ω 2Ω
I x 3 A Iy 2Ix 3 A
3V
2I x
2
22
I Ix Iy 3A
Chapter 2
4V电源单独作用：
Ix 4 2A 2
Iy 2Ix 4 4A 2
I Ix Iy 6A
Chapter 2 2.5 叠加原理
一.叠加原理
线性电路：由独立无源元件、独立源、线性受控源组 成的电路。
叠加原理反映了线性电路中响应与激励的关系。
例如单个激励：
i
i us R1 R2
u1
R2 R1 R2
us
+
us
线性关系： u1 us i us
-
+
R1 u1
+
R2 u2
-
Chapter 2
又例如两个激励： 电源等效变换得下图。
R1
+
us
-
i
is
R2
us + R1
i
s
R1
R2 i
i
R1 R1 R2
us R1
is
us R1 R2
R1 R1 R2
is
i i
即： i k1us k2is
k1、k2为常数
Chapter 2
对n个独立电源的线性电路，响应：
中职电子电工对口升学《电工基础》重难点ppt课件第二节 叠加定理
恒压源 的电路。已知
试求
和 的值。
课堂全程导学
训练4:如图3-2-10所示电路，试用叠加定理计算:(设三个分图中的 一致)
(1)画出15 V电压源单独作用时的分图，并求 (2)画出6V电压源单独作用时的分图，并求 (3)画出2A电流源单独作用时的分图，并求 (4)求图3 -2-10中的电流l。
【答案】训练1：1.5训练2：（1）2A （2）-1A （3）3A 训练3：10Ω 15V 15V 训练4：
参数未知，此时测得电阻R的电流I=
1 A，试用叠加定理计算:
(1)当电流源 单独作用时电阻R上的电流 (要求画出等效电路)
(2)当
共同作用时(去除Is)电阻R上的电流I"。
(3)若要使电阻R上的电流I为零，应调整 至何值?
课堂全程导学
训练3:如图3-2-9所示，图(b)是图(a)电路除去恒压源
的电路，图(c)是图(a)电路除去
第三章 复杂直流电路
第二节 叠加定理
课前知识准备
【考纲要求】 1.熟练掌握叠加定理的内容及适用场合，并了解验证叠加定理的实验方法。 2.熟练运用叠加定理来分析和计算复杂直流电路。 【考点解读】
必考点：叠加定理的内容及其综合应用。 重难点：叠加定理的综合应用。
课前知识准备
【知识清单】 1.叠加定理的内容 由线性电阻和多个电源组成的线性电路中，任何一条支路的电压(电流)都等于各个电源
【分析】本题考查的是叠加定理。 【解答】18 V电压源单独作用时的分图如图3-2-4(a)所示，可得 独作用时的分图如图3-2-4(b)所示，可得 所以
6V电压源单
课堂全程导学
例题4：(2017年高考题)如图3-2-5所示电路，试用叠加定理计算: (1)当10 V电压源单独作用时的电流。 (2)当2.5 A电流源单独作用时的电流。 (3)若仅改变10 V电压源的电动势大小，使得电流I为零时的电压源电动势。
电工课件——叠加定理
R1
+
R3
_ E1
I3' R2
I1’ = 6 A I2’ = 3 A I3’ = 3 A
B
E1 单 独 作 用
已知：E1=24v， E2=12v， R1=R2=R3=4
I1 A
I2
R1
+
R3
_ E1
I3
R2 +
E2
_
求I1，I2，I3
I '' 1
A
I2''
B
原电路
R1 R3
I3''
R2 +
E2
_
I1 '' = - 1 A I2 '' = - 2 A I3 '' = 1 A
=
+
3. 解题时要标明各支路电流.电压的正方向。原电路中
各电压.电流的最后结果是各分电压.分电流的代数和。
4. 叠加原理只能用于电压或电流的计算，不 能用来求功率。如：
I3
R3
设： I3 I3' I3"
则： P3 I32R3 (I3' I3")2 R3
(I3')2 R3 (I3")2 R3
B E2 单 独 作 用
E1 单 独 作 用: E2 单 独 作 用:
I1’ = 6 A I2’ = 3 A I3’ = 3 A
I1 '' = I2 '' = I3 '' =
-1 A -2 A
1A
I1 I1' I1" I2 I2' I2"
所以得出： I1= 5 A
直流电路叠加定理PPT课件
+
—
—u
+
电压的参考方向
（a）u < 0 时
注：有时我们会用uAB 表示电压的参考方向,表示由A指向B
即A点电压高于B点电压
第9页/共57页
（4）电流、电压参考方向的关联性
如果电流的参考方向和电压的参考方向一致（指电流参考方向的流向从电压
- 参考方向的“+”端流向“ ”端），则称之为关联参考方向，反之，非关联参考
P 0
第21页/共57页
[例1.1]
+ Us
_
I1 4
R1 I2
18V
R2 3
I3 R3 6
解：总电阻为
R
R1
R2
/
/ R3
(4
3 6 ) 36
6
电流为
I1
US R
18V 6
3A
第22页/共57页
功率为
I2
R3 R2 R3
6 3A (3 6)
2A
I3
R2 R2 R3
3 3A (3 6)
1J 1W s
日1常kW生产 h和生10活0中0W，电36能0（0s或电3功.6）1也0常6 J用“度”作为量纲：1度=
1度电的概念
1000W的电炉加热1小时 100W的电灯照明10小时 40W的电灯照明25小时
第15页/共57页
1.1.2 电路基本元件及其伏安特性 （1）电阻元件及其伏安特性
方向。
i
i
+ u—
关联参考方向
+ u—
非关联参考方向
注：电流、电压的参考方向原则上任意选取，但一经选定，就不允许变 更。
第10页/共57页
叠加定理PPT精品课件
蝴蝶是从“毛毛虫”变过来的 。
家蚕的一生:
• 家蚕的卵
家蚕的一生:。
• 家蚕从卵中孵化出来
家蚕的一生:
• 家蚕的成长
家蚕的一生:
•
家蚕结茧 。
家蚕的一生:
• 茧里的蚕不吃不动化蛹
死的， 活的？
家蚕的一生:
经过大约12到15天
破茧而出。 。
家蚕的一生:
1、请按蚕发育的顺序进行排列
__⑤__②__①__⑥__④__③__。想一想家蚕的
一生要经过_受__精__卵__、_幼__虫____、
②
___蛹____、和___成__虫___时期。
①
2、家蚕发育的过程中为什么要
蜕皮？经过几次蜕皮？
家蚕的外骨骼不能随身体的长大而长大，
③
要经历六次蜕皮。
④
3、家蚕是通过哪种生殖方式繁
殖后代的？_有__性__繁__殖_____。
4、在课本上填写家蚕幼虫、成
家蚕的发育经过卵、幼 虫、蛹、成虫四个时期， 成虫与幼虫在形态和生 活习性有显著不同。蝗 虫的发育经过卵、幼虫、 成虫三个时期，幼虫的 形态和生活习性与成虫 相似。
不完全变态发育
• 蝗虫的发育过程要经过卵、若虫，成虫三 个时期，像这样的 发育过程，称为不完全 变态发育。
三、小结 1、变态发育：在发育过程中，幼虫与成体的形
态和生活习性差异很大，这种发 育过程称为变态发育。
完全变态：发育经过卵、幼虫、蛹、成虫
2、昆虫的发育
不完全变态：发育经过卵、幼虫、成虫。
请判断下列两种昆虫的发育属于哪种类型，并说明理由。
3.7叠加定理
• 对于有唯一解的线性电路,任一该支路电压或电流,是各 独立源分别单独作用时在该支路形成的电压或电流的 代数和。
电路原理叠加定理2021推荐ppt
i3 (2)
i2 (3)
i3 (3)
+ G1
G2 +
+ G3
G1
G2
G3
+
u 一个独立电源单独作用，其余独立电源置零s2。 – 叠加定理反映出线性电路中各独立电源的独立性。
(2)对各分电路进行求解
us3 –
本节内容学习结束
是2个独立电源单独作用的代数和。
一个独立电源单独作用，其余独立电源置零。
us2单独作用 主要用于线性电路分析，有时可以简化计算。
电压或电流的一次函数)。 叠加定理适用范围及要点说明
本节内容学习结束
解: (1)画出分电路图
含受控源的线性电路亦可用叠加，但叠加只适用于
l叠加结果是代数和，要注意电压或电流的参考方向。
l 含受控源的线性电路亦可用叠加，但叠加只适用于 独立源，受控源应始终保留。
4. 叠加定理的主要用途
主要用于线性电路分析，有时可以简化计算。
3. 叠加定理适用范围及要点说明
l 叠加定理只适用于线性电路，不 适用于非线性电路。
l 一个独立电源单独作用，其余 独立电源置零。
电压源置零—短路 电流源置零—开路
1
i2
i3
G1
G2
+
is1
us2
–
G3
+= us3
–
1
i2 (1)
i3 (1)
G1
G2
G3
is1
三个电源共同作用
is1单独作用
1
1
i2 (2)
电路原理叠加定理
1. 叠加定理的内容
在线性电路中，任一支路的电压或电流等于该电 路中各个独立电源单独作用时在该支路所产生的电压 或电流的代数和。
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2）只有所有激励同时增大或缩小k倍时才有意义。
精选
二、齐次定理
例3：如图电路所示，求各支 路电流；如果将电源电压改 为80V，再求各支路电流
解：求本题有很多方法，如果利用已 知条件120V，当然也可以求，但是 由于电路结构比较繁琐，并且电压 还要变化，计算会比较麻烦。我们 可以利用齐次定理来解决。
递推法
精选
二、齐次定理
• 递推法
设I
' 4
1A
U
' BD
22V
I
' 3
1.1A
I
' 2
2.1A
U
' AD
26.2V
I1' 1.31A I ' 3.41A
U ' 33.02V
若给定电压为120V，这相
当于电压增加到原来的
3.63倍 (k 120 3.63) 33.02
I kI ' 12.38A
故，各支路电流也增加到原来的3.63倍，即：I1 I2
kI1'
kI
' 2
4.76A 7.62A
I3 kI3' 3.99 A
I4
kI
' 4
3.63A
精选
二、齐次定理
若给定电压变为80V，这相当于电压增
加到原来的2.42倍 (k 80 2.42) 33.02
I kI ' 8.25A
故，各支路电流也增加到原来的2.42倍，即：
一、叠加定理的应用
I1 6 +10 I1–
例2：如图电路，求电压Us。 解： (1)画出分电路图
+ 10V
–
+
4
Us 4A
–
10V电压源单独作用：
4A电流源单独作用对各分电路进行求解
U
' S
10I1
U'
I1
10 64
1A
Us'= -10 I1'+U1’= -10 I1'+4I1'
I1 kI1' 3.17 A
I2
kI
' 2
5.08 A
I3
kI
' 3
2.66 A
I4
kI
' 4
2.42 A
精选
= -101+41= -6V
精选
I1
4
4
6
4
1.6
A
U1
46 46
4
9.6V
一、叠加定理的应用
(3)求代数和
Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V
精选
二、齐次定理
内容：在线性电路中，当所有激励都增大或缩小k倍（k为实常数）时，其 响应（支路电流或电压）也将同样增大或缩小k倍。 意义： 反映线性电路的齐次性（比例性） 注意： 1）激励是指独立电源；
叠加定理（2）
叠加定理解题步骤；齐次定理
一、叠加定理的应用
叠加定理应用
（三步走： 1分，2解，3求和）
例1：如图电路，求U 。 解： (1)画出分电路图
精选
一、叠加定理的应用
(2)对各分电路进行求解
U ' 1234V
9
U '' 6 336V
36
(3)求代数和
U U ' U '' 2V
精选
精选
二、齐次定理
例3：如图电路所示，求各支 路电流；如果将电源电压改 为80V，再求各支路电流
解：求本题有很多方法，如果利用已 知条件120V，当然也可以求，但是 由于电路结构比较繁琐，并且电压 还要变化，计算会比较麻烦。我们 可以利用齐次定理来解决。
递推法
精选
二、齐次定理
• 递推法
设I
' 4
1A
U
' BD
22V
I
' 3
1.1A
I
' 2
2.1A
U
' AD
26.2V
I1' 1.31A I ' 3.41A
U ' 33.02V
若给定电压为120V，这相
当于电压增加到原来的
3.63倍 (k 120 3.63) 33.02
I kI ' 12.38A
故，各支路电流也增加到原来的3.63倍，即：I1 I2
kI1'
kI
' 2
4.76A 7.62A
I3 kI3' 3.99 A
I4
kI
' 4
3.63A
精选
二、齐次定理
若给定电压变为80V，这相当于电压增
加到原来的2.42倍 (k 80 2.42) 33.02
I kI ' 8.25A
故，各支路电流也增加到原来的2.42倍，即：
一、叠加定理的应用
I1 6 +10 I1–
例2：如图电路，求电压Us。 解： (1)画出分电路图
+ 10V
–
+
4
Us 4A
–
10V电压源单独作用：
4A电流源单独作用对各分电路进行求解
U
' S
10I1
U'
I1
10 64
1A
Us'= -10 I1'+U1’= -10 I1'+4I1'
I1 kI1' 3.17 A
I2
kI
' 2
5.08 A
I3
kI
' 3
2.66 A
I4
kI
' 4
2.42 A
精选
= -101+41= -6V
精选
I1
4
4
6
4
1.6
A
U1
46 46
4
9.6V
一、叠加定理的应用
(3)求代数和
Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V
精选
二、齐次定理
内容：在线性电路中，当所有激励都增大或缩小k倍（k为实常数）时，其 响应（支路电流或电压）也将同样增大或缩小k倍。 意义： 反映线性电路的齐次性（比例性） 注意： 1）激励是指独立电源；
叠加定理（2）
叠加定理解题步骤；齐次定理
一、叠加定理的应用
叠加定理应用
（三步走： 1分，2解，3求和）
例1：如图电路，求U 。 解： (1)画出分电路图
精选
一、叠加定理的应用
(2)对各分电路进行求解
U ' 1234V
9
U '' 6 336V
36
(3)求代数和
U U ' U '' 2V
精选