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三角形“四心 ”向量形式的充要条件应用

知识点总结

1．O 是

ABC 的重心

OA

OB

OC

0 ;

若 O 是

S BOC S AOC

S AOB

1

S ABC

OA OB

OC

0 ;

ABC 的重心，则

3 故

uuur uuur uuur

uuur G 为 ABC

的重心

. PG 1

( PA PB PC )

3

2．O 是

ABC 的垂心

OA OB OB OC

OC OA ;

若 O 是

ABC (非直角三角形 )的垂心，则 S

BOC

：

S

：

S

tan A ： ：

AOC

AOB

tan B tan C

故 tan AOA

tan BOB

tan C OC 0

2

2

2

3．O 是

ABC 的外心

| OA | | OB | | OC | (或 OA

OB

OC

)

若 O 是

： ：

sin

：

：

ABC 的外心则 S

BOC

S

AOC

S

AOB

BOC sin AOC sin AOB sin2A : sin2B: sin2C

故 sin 2A OA

sin 2BOB

sin 2C OC

OA

( AB AC OB

BA

BC

OC

CA

CB

) 0

4． O 是内心

ABC

的充要条件是 ) (

)

(

| AB | AC

| BA | | BC |

| CA | | CB

|

引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记 AB , BC , CA 的单位向量为 e 1

, e 2

,e

3

，则刚才 O 是

ABC 内心的充要条件

可以写成

OA (e 1 e 3 ) OB (e 1

e 2 ) OC (e 2 e 3 )

， O 是

ABC 内心的充要条件也可以是

aOA

b OB cOC 0 。若 O 是

ABC 的内心，则 S BOC

：

S AOC ：

S AOB

a ：

b ： c

故

aOA

bOB

cOC

0或 sin A OA sin BOB sin COC 0 ;

uuur uuur uuur uuur uuur uuur r ABC 的内心 ;

A

| AB | PC | BC | PA |CA | PB 0 P 是

e 1

e 2

uuur uuur

向量 AB AC )( 0) 所在直线过

ABC 的内心 ( 是 BAC 的角平分线所在直

B

C

( uuur uuur

| AB | | AC |

线) ；

P

范 例

( 一)将平面向量与三角形内心结合考查

例 1．O 是平面上的一定点， A,B,C 是平面上不共线的三个点，

动点 P 满足

OP

OA

( AB

AC ) ， 0,则

AB

AC

P 点的轨迹一定通过

ABC 的（

）

（A ）外心（ B ）内心（ C ）重心（ D ）垂心

AB

uuur uuur uuur

又 OP OA AP ，则原

解析：因为

是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为 e 1和 e 2 ，

AB

式可化为

AP

(e 1 e 2 ) ，由菱形的基本性质知 AP 平分

BAC ，那么在 ABC 中， AP 平分

BAC ，则知选 B.

(二 )将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”

例 2． H 是△ ABC 所在平面内任一点， HA HB HB HC HC HA 点 H 是△ ABC 的垂心 .

由 HA HB HB HC HB ( HC HA ) 0 HB AC

0HB

AC ,

同理 HC AB ， HA BC .故 H 是△ ABC 的垂心 . （反之亦然（证略） ）

例 3.(湖南 )P 是△ ABC 所在平面上一点，若 PA PB

PB PC

PC PA ，则 P 是△ ABC 的（ D

）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

解析 :由 PA PB PB PC 得 PA PB

PB PC

0 .即 PB ( PA PC) 0,即PB CA

则 PB

CA,同理 PA BC, PC

AB 所以 P 为 ABC 的垂心 . 故选 D.

(三 )将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”

例 4．

G 是△ ABC 所在平面内一点， GA GB

GC =0 点 G 是△ ABC 的重心 .

证明 作图如右，图中 GB GC GE

连结 BE 和 CE ，则 CE=GB ， BE=GC BGCE 为平行四边形

D 是 BC 的中点， AD 为 BC 边上的中线 .

将 GB GC

GE 代入 GA GB GC =0，

得 GA

EG =0 GA GE

2GD ，故 G 是△ ABC 的重心 .（反之亦然（证略） ）

例 5． P 是△ ABC 所在平面内任一点 . G 是△ ABC 的重心

1

PG

(PA PB PC) .

证明

PG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG ) ( PA PB PC )

∵ G 是△ ABC 的重心 ∴ GA GB GC =0 AG BG CG =0，即 3PG PA PB

PC

由此可得 PG

1

( PA PB PC) .（反之亦然（证略） ）

3

例 6 若 O 为

uuur uuur uuur r

ABC 的（

ABC 内一点， OA OB OC 0 ，则 O 是

）

A ．内心

B ．外心

C ．垂心

D ．重心

uuur uuur uuur r uuur uuur

uuur

uuur uuur uuur 解析：由 OA OB OC 0得 OB OC

OA ，如图以 OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则 OB OC OD ，由

uuur

1 uuur

2 OE ，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选

D 。

平行四边形性质知

OE

2 OD ，

OA

(四 ) 将平面向量与三角形外心结合考查

uuur

uuur uuur