(完整版)三角形四心与向量.docx
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三角形“四心 ”向量形式的充要条件应用
知识点总结
1.O 是
ABC 的重心
OA
OB
OC
0 ;
若 O 是
S BOC S AOC
S AOB
1
S ABC
OA OB
OC
0 ;
ABC 的重心,则
3 故
uuur uuur uuur
uuur G 为 ABC
的重心
. PG 1
( PA PB PC )
3
2.O 是
ABC 的垂心
OA OB OB OC
OC OA ;
若 O 是
ABC (非直角三角形 )的垂心,则 S
BOC
:
S
:
S
tan A : :
AOC
AOB
tan B tan C
故 tan AOA
tan BOB
tan C OC 0
2
2
2
3.O 是
ABC 的外心
| OA | | OB | | OC | (或 OA
OB
OC
)
若 O 是
: :
sin
:
:
ABC 的外心则 S
BOC
S
AOC
S
AOB
BOC sin AOC sin AOB sin2A : sin2B: sin2C
故 sin 2A OA
sin 2BOB
sin 2C OC
OA
( AB AC OB
BA
BC
OC
CA
CB
) 0
4. O 是内心
ABC
的充要条件是 ) (
)
(
| AB | AC
| BA | | BC |
| CA | | CB
|
引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记 AB , BC , CA 的单位向量为 e 1
, e 2
,e
3
,则刚才 O 是
ABC 内心的充要条件
可以写成
OA (e 1 e 3 ) OB (e 1
e 2 ) OC (e 2 e 3 )
, O 是
ABC 内心的充要条件也可以是
aOA
b OB cOC 0 。若 O 是
ABC 的内心,则 S BOC
:
S AOC :
S AOB
a :
b : c
故
aOA
bOB
cOC
0或 sin A OA sin BOB sin COC 0 ;
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r ABC 的内心 ;
A
| AB | PC | BC | PA |CA | PB 0 P 是
e 1
e 2
uuur uuur
向量 AB AC )( 0) 所在直线过
ABC 的内心 ( 是 BAC 的角平分线所在直
B
C
( uuur uuur
| AB | | AC |
线) ;
P
范 例
( 一)将平面向量与三角形内心结合考查
例 1.O 是平面上的一定点, A,B,C 是平面上不共线的三个点,
动点 P 满足
OP
OA
( AB
AC ) , 0,则
AB
AC
P 点的轨迹一定通过
ABC 的(
)
(A )外心( B )内心( C )重心( D )垂心
AB
uuur uuur uuur
又 OP OA AP ,则原
解析:因为
是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为 e 1和 e 2 ,
AB
式可化为
AP
(e 1 e 2 ) ,由菱形的基本性质知 AP 平分
BAC ,那么在 ABC 中, AP 平分
BAC ,则知选 B.
(二 )将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例 2. H 是△ ABC 所在平面内任一点, HA HB HB HC HC HA 点 H 是△ ABC 的垂心 .
由 HA HB HB HC HB ( HC HA ) 0 HB AC
0HB
AC ,
同理 HC AB , HA BC .故 H 是△ ABC 的垂心 . (反之亦然(证略) )
例 3.(湖南 )P 是△ ABC 所在平面上一点,若 PA PB
PB PC
PC PA ,则 P 是△ ABC 的( D
)
A .外心
B .内心
C .重心
D .垂心
解析 :由 PA PB PB PC 得 PA PB
PB PC
0 .即 PB ( PA PC) 0,即PB CA
则 PB
CA,同理 PA BC, PC
AB 所以 P 为 ABC 的垂心 . 故选 D.
(三 )将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例 4.
G 是△ ABC 所在平面内一点, GA GB
GC =0 点 G 是△ ABC 的重心 .
证明 作图如右,图中 GB GC GE
连结 BE 和 CE ,则 CE=GB , BE=GC BGCE 为平行四边形
D 是 BC 的中点, AD 为 BC 边上的中线 .
将 GB GC
GE 代入 GA GB GC =0,
得 GA
EG =0 GA GE
2GD ,故 G 是△ ABC 的重心 .(反之亦然(证略) )
例 5. P 是△ ABC 所在平面内任一点 . G 是△ ABC 的重心
1
PG
(PA PB PC) .
证明
PG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG ) ( PA PB PC )
∵ G 是△ ABC 的重心 ∴ GA GB GC =0 AG BG CG =0,即 3PG PA PB
PC
由此可得 PG
1
( PA PB PC) .(反之亦然(证略) )
3
例 6 若 O 为
uuur uuur uuur r
ABC 的(
ABC 内一点, OA OB OC 0 ,则 O 是
)
A .内心
B .外心
C .垂心
D .重心
uuur uuur uuur r uuur uuur
uuur
uuur uuur uuur 解析:由 OA OB OC 0得 OB OC
OA ,如图以 OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形,则 OB OC OD ,由
uuur
1 uuur
2 OE ,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选
D 。
平行四边形性质知
OE
2 OD ,
OA
(四 ) 将平面向量与三角形外心结合考查
uuur
uuur uuur