忽略轴向变形整体刚度矩阵形成例题
习题2-1试分别采用后处理法和先处理法列出图示梁的结构刚度矩阵...
习 题2-1 试分别采用后处理法和先处理法列出图示梁的结构刚度矩阵。
(a) (b)题2-1图2-2 试分别采用后处理法和先处理法列出图示桁架的结构刚度矩阵。
设各杆的EA =常数。
(a)(b)题2-2图2-3 试分别采用后处理法和先处理法分析图示桁架，并将内力标注在图上。
设各杆的EA =常数。
题2-3图 题2-4图2-4 试列出图示刚架的结构刚度方程。
设杆件的E 、A 、I 均相同，结点3有水平支座位移c ，弹簧刚度系数为k 。
2-5 试对图示结构的结点适当地编号，使它们的总刚度矩阵的带宽为最小。
试求出此时的半带宽。
(a)(b)(c) (d)题2-5图 llllll3mllF P 4xl ll43llll43l2-6 试采用先处理法列出图示刚架的结构刚度方程，并写出CG 杆杆端力的矩阵表达式。
设各杆的EI =题2-6图 题2-7图2-7 试采用矩阵位移法分析图示刚架，并作出刚架的内力图。
设在各杆件的E 、A 、I 分别为常数，A =1000I /l 2。
2-8 试采用先处理法列出图示刚架的结构刚度方程。
设各杆件的EI =常数，忽略杆件的轴向变形。
题2-8图2-9 试利用对称性用先处理法分析图示刚架并作出M 、F Q 图。
忽略杆件的轴向变形。
(a)(b)题2-9图2-10 试将图示刚架视为由上、下两个T 字形刚架所组成，试用子结构法列出边界刚度方程。
设各杆件的E 、A 、I 分别为常数。
2-11题2-11图题2-10图题2-12图2-12 试用矩阵力法计算图示桁架的内力和载向位移。
设E=2.0×1011Pa ；各杆件的横截面积为：A 1=A 4=7.5×10-4m 2，A 2=A 3=1.0×10-3m 2，A 7=6.4×10-4m 2，A 5=A 6=8.0×10-4m 2。
6m6m4m3m54lll 53 qACB E 、A 、I=常数6m6m 6m8kN ·m 6kN4kN ·m AB CDEI=常数3m4m4mC F4m4m 2m 2mll12m4m3m3m。
矩阵位移法例题
0
2 1 2
0
0
4 1 3
00 2 00 3
0
0
K③
41
3
0
0
0
00 3 000
5 集成总刚度矩阵
第8章矩阵位移法
4 2 2 2
0 1 8 4 0
K 2 2 4 2 4 1
21
2
4
12
2
0
2 1 4 1 4 1 3 0 2 8
1
2
3
6 形成荷载向量
P 60 190 62.5T
2 结点位移编号矩阵 3 各单元旳定位向量
0 0 0 C 0 0 1
0 0 2 0 0 0
2 3T
U1 0 0 0 0 0 1 U2 0 0 1 0 0 2 U3 0 0 2 0 0 0
-90 250
-250 187.5 -112.5
1
2
3
4
第8章矩阵位移法
4 各单元旳刚度矩阵
单元旳刚度矩阵与解法一相同
2 12i 2 BCx l2 Cy
12i (B l2 )CxC y
2 12i 2
BC Y
2 l
Cx
6i l Cy 6i l Cx
2 12i 2 BCx 2 C y
l 12i (B 2 )CxC y l
12i (B 2 )CxC y
l 2 12i 2 BCy 2 Cx
l
6i l Cy 6i l Cx
(e)
K
6i
4i
l Cy
6i l Cx
2i
2 12i 2 BCx 2 C y
l
12i (B 2 )CxC y
l
6i
习题课1 矩阵位移法(含答案作业)_518706462
4
5
6
7
8
k
i = 2,3 (1) 54
+ k
i = 2,3 (1) 55
(2) (3) (3) (3) k16 k15 k16 k14 0 (2) (3) (3) (3) k26 k25 k26 k24 0 (2) (3) (3) (3) k36 k34 k35 k36 0
+ k
+
(i ) 33
k
3EIa 2 a 3 + b3
A
3EIab a 3 + b3
B A
3EIab a 3 + b3
3EIb 2 a 3 + b3
B
3EIa a 3 + b3
e θA =1
−3EIa a 3 + b3
3EIb a 3 + b3
e θB =1
−3EIb a 3 + b3
[k ]
e
=
a2 ab
ab b2
e
3EI a 3 + b3
{F }
u2
v2 θ 2 θ 3 ]
−M 0 ]
[0 M 0
0 0 2M 0
T
4
3
3
4
5
0
0
6
2 2 2 2 2 2 k12 k13 k14 k15 k16 k11
2 2 2 2 2 2 k22 k24 k25 k21 k23 k26 2 2 2 2 2 2 k32 k34 k35 k31 k33 k36 2 2 2 2 2 2 k42 k45 k44 k41 k46 k43
y
x
解： T 用位移法求解，未知量为 {∆} = [θ 2 v3 ] 。 1） 杆端弯矩表达式
结构力学第十二章习题解答
第12章 结构矩阵分析习题解答习题12-1 图示连续梁，不及轴向变形。
求引入支承条件后的结构刚度矩阵。
习题12-1图解： 单元刚度矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=i i i i i i i i k k k k k k k k 844842241111①22①21①12①11①22①22①12①11①k；⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=i i i i i i i i k k k k k k k k 2661242242222②22②21②12②11②33②32②23②22②k采用“直刚法”组集结构刚度矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=i i i i i i i k k k k k k k k k k k k k k k k 126062040480000②22②21②12②11①22①21①12①11②33②32②23②22①22①21①12①11K 引入支承条件后的结构刚度矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=i i i i 126620K习题12-2 用先处理法写出图示连续梁的整体刚度矩阵K 。
习题12-2图解： 单元刚度矩阵：[][]1①11①4i k==k；⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2222②22②21②12②11②4224i i i i k k k k k； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3333③33③32③23③22③4224i i i i k k k k k引入支承条件后的结构刚度矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=333322221③33③32③23③22②22②21②12②11①114202442024400i i i i i i i i i k k k k k k k k k K 习题12-3 图示刚架，不考虑轴向变形，仅以转角为未知量，求引入支承条件前的结构刚度矩阵K 。
习题12-3图解： 单元刚度矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=i i i i k k k k 8448①22①22①12①11①k；⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=i i i i k k k k 126612②33②32②23②22②k ； 引入支承条件前的结构刚度矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=i i i i i i i k k k k k k k k k k k k k k k k 126061240480000②22②21②12②11①22①21①12①11②33②32②23②22①22①21①12①11K 习题12-4 图示刚架，不考虑轴向变形，仅以转角为未知量，求引入支承条件前的结构刚度矩阵K 中的各主元素。
矩阵位移法
利用矩阵位移法求内力的步骤：
1. 编总码,单元码,确定局部坐标系和整体坐标系。
2.求 Keke T k e
3.求 P PDPE PE e PE e TT PE e F P e
4.求
5.求
e
ee
e
F k FP
q
B
l
12
ql3 7ql3
/12EI / 24EI
l2
2EI
l
6EI
l2 4EI
l
e
k
4EI
l
2EI l
2EI
l
4EI l
§9-3 整体坐标系下的单刚 k e
θx y
x θ y
F x1 e cos
F y1 sin
M1
0
F x2 0
F y2 M 2
0 0
s in cos
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
3.对于连续梁，可不用坐标转换， 另外大多数情况可只采取2×2矩阵, 当有滑动支座时可采取相应的2×2矩阵。
§9-6 等效结点荷载 P
K FP 0
FP P
结点荷载与结点约束力成负号关系
K P
PD
直接结点荷载
PE
非结点荷载引起的 等效结点荷载
P PD PE
PD
可直接写出
2ql 2
D （0，0，0）
2.忽略轴向变形时
（0，0，0）
B
l
（1，0，2）
A
（3，0，4）
C
l
1.考虑轴向变形时
（0，0，0）
B
l
（0，0，1）
A
（0，0，2）
C
l
结构力学(专科)——武汉理工大学
一、单选( 每题参考分值2.5分 )1、图1体系的几何组成为（）。
图1A. 无多余约束几何不变体系B. 有多余约束几何不变体系C. 瞬变体系D. 常变体系正确答案是：【B】2、图2结构当桁架高度增加时，杆I的内力（）。
图2A. 增大B. 减小C. 不变D. 不确定正确答案是：【C】3、当杆件刚度系数SAB=3i时，杆的B端为（）。
A. 自由端B. 固定端C. 铰支承D. 定向支承正确答案是：【C】4、图3结构超静定次数为（）。
图3A. 6次B. 7次C. 8次D. 9次正确答案是：【C】5、图1体系的多余约束的个数为（）。
图1A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个正确答案是：【B】6、拱轴线为合理拱轴线，其横截面上内力为零的是（）。
A. 弯矩B. 扭矩C. 轴力D. 支座反力正确答案是：【A】7、图2梁受到三角形荷载作用，A端竖向支座反力的大小为（）。
图2A. ql/2B. ql/3C. ql/4D. ql/6正确答案是：【A】8、在力法方程中（）。
A.B.C.D. 前三种答案都有可能正确答案是：【D】9、拱的突出持点是竖向荷载下有（）。
A. 轴力B. 弯矩C. 竖向力D. 水平推力正确答案是：【D】10、力法典型方程的物理意义是（）。
A. 结构的平衡条件B. 结点的平衡条件C. 结构的变形协调条件D. 结构的平衡条件及变形协调条件正确答案是：【C】11、绘制任一量值的影响线时，假定荷载是（）。
A. 一个方向不变的单位荷载B. 移动荷载C. 动力荷载D. 可动荷载正确答案是：【A】12、力矩分配法计算得出的结果（）。
A. 一定是近似解B. 不是精确解C. 是精确解D. 可能为近似解，也可能是精确解正确答案是：【D】13、图3桁架零杆的个数为（）。
图3A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个正确答案是：【D】14、图3a结构，EI=常数，取图3b为力法基本体系，则中的和分别等于（）。
图3A. Δ，Δ/4B. -Δ，Δ/4C. Δ，-Δ/4D. -Δ，-Δ/4正确答案是：【D】15、叠加原理用于求解静定结构时，需要满足的条件是（）。
矩阵位移法例题复习题
第十二章 矩阵位移法【例12-1】 图 a 所示 连 续 梁 ，EI=常数，只 考 虑 杆 件 的 弯 曲 变 形 。
分别用位移法和矩阵位移法计算。
图12-1解：（1）位移法解∙基本未知量和基本结构的确定用位移法解的基本结构如图c 所示。
这里我们将结点1处的转角也作为基本未知数，这样本题仅一种基本单元，即两端固定梁。
∙位移法基本方程的建立⎪⎭⎪⎬⎫=+θ+θ+θ=+θ+θ+θ=+θ+θ+θ000333323213123232221211313212111P P P R K K K R K K K R K K K 将上式写成矩阵形式⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧θθθ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000321321333231232221131211P P P R R R K K K K K K K K K∙系数项和自由项 计算（须绘出单位弯矩图和荷载弯矩图）由图d ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得 EI K 411=，l EI K 221=，031=K由图e ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得l EI K 212=，l EI l EI l EI K 84422=+=，l EI K 232=由图f ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得 013=K ，l EI K 223=，l EI EI EI K 84433=+=由图g ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得81Pl R p -=，2Pl R P -=，03=P R将系数项和自由项代入位移法基本方程，得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧θθθ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0000118820282024321Pl l EI ∙解方程，得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧θθθ14114162321EI Pl ∙由叠加法绘弯矩图，如图h 所示。
（2）矩阵位移法解∙对单元和结点编号（图a ） 本题只考虑弯曲变形的影响，故连续梁每个结点只有一个角位移未知数。
结构力学教学课后作业答疑 矩阵位移法 弹性稳定
0
（5）各跨杆端弯矩依次为：（单位kN.m）
MM12((11))
4i 2i
2i 35 / 6i 30 0
4i
10
/
3i
30
55 (i
EI
/
l,
j
1, 2,3)
MM12((22
) )
4i 2i
2i 4i
9.1(a)
EI=常数，不考 虑轴向变形
解：（1）按图示结点与杆元的整体编码，各杆的固端弯矩依次为： （单位kN.m）
M F ,(1)
a2bFp
b2aFp
22 6 20
62 2 20
30
1
l2
l2
82
82
M F ,(1) 2
a2bFp l2
b2aFp l2
22
6 82
20
62
2 82
20
30
M F ,(2) 1
ql 2 12
10 82
12
160 3
M F ,(2) 2
ql 2 12
10 82 12
160 3
M F ,(3) 1
M F ,(3) 2
0
结构的等效 结点荷载
✓杆端力方向 ✓节点力和杆 端力区别
（2）各杆的单元刚度矩阵
k
( j)
4i 2i
2i 4i
(i
EI
0.096 0 7.5
0.128
0.096
0.128
40
157.5
0
10 7.5 10
1/3 0
(3)
F
第九章 矩阵位移法例题
Cy
=
3 5
⎡ 192
[k](4) =
EA
⎢ ⎢
144
3000 ⎢−192
⎢⎣− 144
144 108 − 144 − 108
− 192 − 144 192 144
− 144⎤
− 108⎥⎥
144 ⎥
108
⎥ ⎦
贡献刚度矩阵
⎡192 144 0 0⎤
[K ](4) = EA ⎢⎢144 108 0 0⎥⎥
⎪⎪ ⎨ ⎪
40 0
⎪⎪ ⎬
=
⎪⎪ ⎨
⎪⎪
0 0
⎪⎪ ⎬ ⎪
⎢0 − 3 − 6 0 3 − 6⎥ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 60 ⎪ ⎪ 22.74 ⎪
⎢ ⎢⎣0 6
8
0
−6
⎥ 16 ⎥⎦
⎪⎪⎩ 12.033 ⎪⎪⎭
⎪⎪⎩− 40⎪⎪⎭ ⎪⎪⎩−10.98⎪⎪⎭
{ } 单元（2）{δ }(2) = δ (2) = 1 {− 50.081 0 12.033 − 50.081 0 11.382}T EI
结点 4 荷载
荷载贡献
{P}= {0 0 0 20}T
总荷载向量
{P}= {−10 −13.33 13.33 10}T
解结构方程，求出位移向量
{∆} = 1 {− 50.081 −19.350 12.033 11.382}T
EI 求单元内力
{ } 单元（1）{δ }(1) = δ (1) = 1 {− 50.081 0 −19.350 − 50.081 0 12.033}T EI
⎢ ⎢⎣0 6
⎥ 8 0 − 6 16 ⎥⎦
⎪⎪⎩11.382⎪⎪⎭ ⎪⎪⎩ 10 ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎩ 2.60 ⎪⎪⎭
结构力学BⅡ 04铰接点的处理及忽略轴向变形影响
Kij 的速算步骤：
16
1、如果第 j 个位移和第 i 个位移分量间没有直 接的单元连接（即非相关结点位移），则 Kij＝0 ;
2、如果第 j 个位移和第 i 个位移分量间是相关
结点位移，则从结构中取出与Δj 相关联的单
元部分;
3、令所取出部分结构仅产生Δj=1的位移，汇相
应内力图；
4、利用形常数和隔离体平衡条件求与单位位移 相应的附加约束上的总反力，其值即为Kij
例题 求结构相应编码的结构刚度矩阵元素 17
K44，K4,13，K66，K6,15;
7(10,11,12) 8(13,14,15)
4(1,2,3) 5(4,5,6) 6(7,8,9)
y
1(0,0,0) 2(0,0,0) 3(0,0,0)
6EI l2 EA l ⊕
6EI l2
EA l
\
6EI l2
x
110010003000 30−030 0 5500 50 300 30132010200 0 30 3××11004×4 104
00 0−3−01−02300−0300 00 030102300−0300
−300−30030 0 505050300 30−0300110001000
1
2
300 +12 0 +0
0 －330
4 -300
5 0
6 0
7
0 +0 12+300 30 +0 0
-12 30
104 × 0 －30 30 +0
K = -300 0
0
-12
100 +100 0
-30
50
0
300+12 0 +0 0
全国自考结构力学(二)历年真题带答案
全国2009年7月自考结构力学（二）试题课程代码：02439一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．对称结构在反对称荷载作用下，内力图中为正对称的是( ) A ．弯矩图 B ．剪力图C ．轴力图D ．弯矩图、剪力图和轴力图2．图示桁架中零杆(不含零支座杆)的根数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．图(a)和图(b)为简支梁的两种单位力状态，由位移互等定理可得（ ） A ．2112δ=δ B ．2211δ=δ C ．2221δ=δ D ．1211δ=δ4．图示超静定结构的超静定次数为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．15．图示结构各杆长均为l ，EI=常数，欲使结点A 产生单位转角，则在结点A 施加力偶矩M=（ ）A ．6l EIB ．7l EIC ．8lEID ．9lEI 6．以下关于影响线的说法不正确的一项为( )A ．影响线指的是单位力在结构上移动时所引起的结构的某一内力(或反力)变化规律的 图形B ．利用影响线可以求结构在固定荷载作用下某个截面的内力C ．利用影响线可以求结构某个截面内力的最不利荷载位置D ．影响线的横坐标是截面位置，纵坐标为此截面位置处的截面内力值 7．单元刚度矩阵中第3列元素表示( ) A ．3∆=1时，在各个位移方向上产生的力 B ．3∆=1时，在某个位移方向上产生的力C ．在各个位移方向上发生单位位移时，在3∆方向上产生的力D ．在某个位移方向上发生单位位移时，在3∆方向上产生的力 8．不计杆的分布质量，图示体系的动力自由度为 A ．1 B ．2 C ．3D ．49．为提高单自由度体系的自振频率可采取的措施有( ) A ．减小外荷载 B ．增大体系的刚度 C ．增大阻尼D ．增大质量10．AB 梁为矩形截面梁，截面高为h ，上侧温度升高10℃，下侧温度下降2℃，B 点的竖向位移(以向下为正)为( ) A ．3h l 2αB ．-3h l 2αC ．6hl 2αD ．-6hl 2α二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。
矩阵位移法习题
EA 3 8 3
3 1
1 3 0 3 8 总刚度矩阵： K EA 3 8 0 3 0 1 8 8
位移向量：
v2 T
荷载向量：
P 15kN
20kN T
u2
1 3 3 0 8 8 u2 15kN 3 结构刚度方程： EA 20kN 3 0 1 v2 0 8 8
F
(e)
广西大学土木建筑工程学院
•
作业：已知单元和结点的离散如图，给定荷载作用 下各结点整体坐标下的位移：
u2 141006 / E, v2 37 / E, 2 18356 / E
u3 140988 / E, v3 763/ E, 3 32874 / E
20 20 2 (2) 370
0 4 6 EI 0 l 2 0 4 EI l
K (3)
0 0.04 0.12 0 0.12 105 0.48
EA 0 0 l 12 EI 6 EI 0 l3 l2 4 EI 0 6 EI l l2 0 0 4 0 0.04 0.12 105 0 0.12 0.48
单元①③ a=0° 单元②
EA 4 105 l
EI 0.12 105 l
3. 单元坐标表示的单 元刚度矩阵 先处理法
K
(1)
a=45° EA 2.8285 105 EI 0.0849 105 l l
EA l 0 0
0 12 EI l3 6 EI l2
K (1) K (1) 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 EA 0 3 0
9矩阵法_5
§9-6 忽略轴向变形时矩形 轴向变形 刚架的整体分析 单元定位向量 xT T0 1A 22{λ }1 = [1 {λ } = [120 2 1 0 3]3 C2 1 1 C1 1 4 03 D010 2 0 0 0]0 4 0 0 0]y{λ }3= [11 1 0 2 2 30 0B0 0T01 1 1 2 0 3 4 4 0 5 0 6 0 0 2 4 300 41 1 0 2 2 3 1 4 0 5 3 61 40 53 61 1 1 0 2 2 3 0 4 0 5 0 60 22 30 40 50 60 50 6k1k2k31 1 0 2 2 3 1 4 0 5 3 61 10 22 31 40 53 61 1 1 0 2 2 3 0 4 0 5 0 60 22 30 40 50 6 1 2 0 3 4 4 0 5 0 6 01 10 24 30 40 502 6k11 2k220 0 0 0k340 0 0 010 0 0 030 0 0 0[K]=3 4§9-7 桁架及组合结构的整体分析 一、桁架X1eX131u1e2u2X 2eY1X1 α⎡ EA ⎧ X1 ⎫ ⎢ l ⎨ ⎬ = ⎢ EA ⎩ X 2 ⎭ ⎢− ⎣ lEA ⎤ − l ⎥ ⎧u1 ⎫ EA ⎥ ⎨u2 ⎬ ⎥⎩ ⎭ l ⎦eye ⎡ ⎡ 1cos α− 1 0 ⎧ X1 ⎫ ⎢ ⎪ e ⎪ EA ⎢ ⎢ α sinα cos 0 0 Y1 = [⎪ ] ⎪ = EA ⎢ 0 2 k ⋅ ⎨ ⎬ l ⎢ − cos α l ⎢− 1 0 1 ⎪X 2 ⎪ ⎢⎢ ⎪ Y2 ⎪ ⎩ ⎭ ⎢− cosα sinα ⎣⎣ 0 0 02Y2⎧ X1 ⎫ ⎪Y ⎪ {F }e= ⎪ 1 ⎪ ⎨ ⎬ X2 ⎪X2 ⎪ xT e X2 e [ k] = [T ] ⎡k ⎤ [T ] ⎪ Y2 ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭x⎧ u1 ⎫ ⎪v ⎪ e ⎪ 1⎪ {Δ} = ⎨ ⎬ ⎪u2 ⎪ ⎪ v2 ⎪ ⎩ ⎭e− cos α − cosα sinα ⎤ 0 2 0 ⎥⎤ 0⎤ ⎧u1 ⎫ 2 ⎡ cos α sin α − sin α 0 ⎥ ⎥ ⎪ ⎢ −− cosα sinα 0⎥ ⎪ vsin α sin α cos α 0 ⎥ ⎪ 1 ⎪ [T ] = ⎢ ⎥ 2 ⎬ ⎨cosα sinα cosα sin ⎥ ⎥⎪ 0− u 2 ⎪ cos α sinα α ⎥ ⎢ 0 cos α 0 ⎥⎥ ⎥ ⎪ 0⎦ ⎪v2 sin2 α ⎢ cosα sin0 − sin α2 α α ⎦ 0 cos ⎥ ⎩− ⎭ α sin ⎣ ⎦2cosα sinα e例：试用后处理法计算图示桁架各杆内力，设各杆EA为常数。
结构力学Ⅱ课件：结构刚度矩阵
2EllA
12 l
EI
3
6EI l2
12EI l3
6EI
l2
6EI l2
2EI
l
2142EI ll33
+
EA l
6EI l2
6lE20I
6lE2 I0
81E2IEI ll
6EI l2
2EI l
6EI l2
2EI
l
4EI
l
1 2 3 4 5 6 7 8
19
2（2,3, 4）
6EI l2
0
12EI l3
6EI l2
0
6EI l2
2EI l
0
6EI 4EI
l2
l
14
2（2,3, 4）
②
①
1（0, 0,1）
4（5, 6, 7) ④
③
（3 0,0,0）
（5 0,0,8）
EA
l
0
y
K(4) =
0
θx
0
0
12EI
l3
6EI l2
6EI l2
0
6EI l2
4EI
2
4EI l
+
8EI l
+
4EI l
6EI l2
3
6EI l2
12EI l3
4
9
例14：写出图示连续梁的整体刚度矩阵。
(0,1,0)
(0,0,2)
(0,0,3) (0,4,0)
定位向量
单元刚度矩阵：
1
12EI
K (1) =
l3 6EI
l 2
2 6EI 1 l2 4EI
l 2
§9-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析
1
0
3
0
0
0
单元②：（局部坐标与整体坐标一致） 梁：
1
52.5 0 0 52.5 0 0
0
0 0.58 3.74 0 0.58 3.74
2
0 3.74 27.8 0 3.74 13.9
1
52.5 0 0 52.5 0 0
0
0 0.58 3.74 0 0.58 3.74
§9-8 忽略轴向变形时刚架的整体分析
（只适合矩形刚架，带斜杆的刚架因几何复杂而困难）
1.忽略轴向变形的处理方法
（1）采用考虑轴向变形的自由单元刚度矩阵（6×6） （2）通过“结点位移编码”来实现忽略轴向变形（杆长不变）
2.举例说明 （1）编号,建立坐标 ●柱顶轴向位移0编号；
●水平梁两端轴向位移编号相同。
第9章 矩阵位移法
§9-1 §9-2 §9-3 §9-4 §9-5 §9-6 §9-7 ▲ §9-8 §9-9 概述 单元刚度矩阵（局部坐标系） 单元刚度矩阵（整体坐标系） 连续梁的整体刚度矩阵 刚架的整体刚度矩阵 结构整体结点荷载 计算步骤和算例 竖向杆件坐标变换的简化技巧 忽略轴向变形时刚架的整体分析 桁架及组合结构的整体分析
3
0
②
k
②
[k ]
②
1 3.74 0 13.9 2 －3 ×10 0 1 3.74 0 27.8 3
5)集合整体刚度矩阵
1
4.62
2
6.94 55.6 13.9
3
6.94 13.9 55.6
K
10－3 × 6.94
6.94
1 2 3
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X2
特殊单元 ：v1 若单元六个杆端位v移2 中有某一个或几个Y1已知为零，则该单元Y2称为
特殊单元，其刚度方程可以通过在一般单元刚度方程中消去相应的行和列得到，
即单元刚度方程不需要反映与已知结点位移相应的杆端力。
§13-3 整体座标系中的单元刚度方程、矩阵
F1
(e)
X1
u1
1
(
e)
F2
e
FP X P1
YP1
M P1
X P2
YP2
MP2 T
(2) 局部坐标系下的单元的的等效结点载荷为：
e
{P}
FP e
(3) 整体坐标下单元的等效结点荷载{P}
Pe T T Pe
(4) 结构的等效结点荷载{P}
注意： 1.局部坐标系下的量加一横杠。 2.与单元相关的向量右上角加圆圈数字表示单元号。 3.整体坐标系下的局部编码加圆括弧。 4.单元刚度矩阵用小k。整体刚度矩阵用大K。
6i
l
0 0 0
6i l 0
2
0*
0
4i
0
0 4 2i 2 2i
24i
0 3
l2
2 2i 4 2i
6i l
6i
l
6i l
12i
4i
6i l
1
4i
2
12i 3
k31 k32 k33 3
{F}=[K]{}----整体刚度方程
{F}----结构整体结点力向量。(结点位移引起的附加约束上的约束力) {}----结构整体结点位移向量。(位移法的基本未知量) [K]----结构整体刚度矩阵。(位移法基本方程中的系数)
§13-6 等效结点荷载
(1) 局部坐标系下的单元的固端反力或固端约束力向量为：
Y1
v1
2
F(e)
F3
F4
M
1
T
T
k
(e)
T
1
3
X
2
u2
4
(e)
F5
Y2
v2
5
F6
M 2
2
6
k (e)
T
T
k
(e)
T
F T F F T T F
T T T
cos sin 0 0
0 0
sin cos 0 0
)
v1e
2
1
3
(e)
0
u2
4
F5
Y2 0
12i l2
6i l
0
12i l2
6i
l
v2
5
F6
M 2
0
6i l
2i
0
6i l
4i
2
6
（1）单元杆端位移向量(列阵)
（2）单元杆端力向量(列阵)
1 1
2 2
1 M1
2 M2
u1
u2
X1
0
12i l2
0 6i l
EA 0 l
0 12i l2
0 6i l
l
x
3
e e 0
6i l 2i
u1
v1
1
0
u2
6i
l
v2
4i
2
单元1： 单元2： 单元3：(无负号)
10 2 1 0 3
01 3 0 0 0
l
x
01 2 0 0 0
1 0 2
1
0 1 3
0
解：1. 体系基本未知量分析
2. 单元刚度矩阵 [k ] [T]T [k ] [T]
2 2EI
3
2EA 3
11
21
整体坐标系下的单刚矩阵
EI 1
EA
EI 2
EA
单元1： 单元2： 单元3：(无负号)
3
4
01 3 0 0 0
l
01 2 0 0 0
y
0 1 3
0 0 0
0 1 2
0
e
0 0
T
0 0
01 0
0 0
0 0 cos sin 0
0
0 0 sin cos 0
0
00 0
0 1
§13-4 连续梁在整体坐标系中的整体刚度方程、矩阵
F1
4i1 2i1 0 1
k11 k21 k31 1
F2 = 2i1 4i1+4i2 2i2 2 = k21 k22 k23 2
F3
0 2i2 4i2 3
0
2i
2
1 0
0
6i
l
3 4i
v11
u1
1
v2
u2
2
X1 Y1 M1 X2
EA
l
0
0
EA l
0
12i l2 6i l
0
Y2 0
12i l2
M2
0
6i l
2
0 6i l 4i
0 6i
l 2i
10
EA 0 l
§13-2 局部座标系中的单元刚度方程、矩阵
F
(e)
F1
(
e)
F2
F3
F4
X
1
Y1
e
M1
X
2
EA
l
0
0
EA l
0
12i l2 6i l
0
0 6i l 4i
0
EA 0 l
0
12i l2
0 6i l
EA 0 l
0
6i l 2i
e
u1
1
(e
贡献矩阵用大K，右上角加圆圈数字表示单元号。 5.杆件的局部编码以局部坐标系正向确定始末结点，
并按整体坐标系的水平垂直转动方向依次编码。
{F}----在整体刚度方程中表示结点力。(附加约束力)
在单元刚度方程中表示杆端力。
例2 试求图示门式刚架的总体刚度矩阵。已知各杆件截面特征如图所示，且不
考虑轴向变形的影响。
Y1 X1 M1 Y2
EA
l
0
0
EA l
0
12i l2 6i l
0
0 X2 0
12i l2
0 M2
0
6i l
0 6i l 4i
0 6i
l 2i
EA 0 l
0
12i l2
0 6i l
EA 0 l
0
12i l2
0 6i l
e e 1 0 0
1 e 6i
l
0 1 2
0
e
Y1 X1 M1 Y2
EA l 0
0 EA
l
0
12i l2 6i l
0
0 6i l 4i
0
EA 0 l 12i 0 l2 0 6i l
EA 0 l
e e 0
6i l 2i
v11
u1
1
0
v2
0
0
0
X2
0
12i l2
6i l
0
12i l2
6i
l
u2
2 2EI
3
2EA 3
11
21
EI 1
EA
EI 2
EA
3
4
l
y
3
0
0
M 2
0
6i l
2i
0
6i l
4i
2
3. 集成总体刚度矩阵
12 3
12i
l2
[K
]
6i l
0
6i l
4i 0
01 12i
0
0
l2
0