初中数学锐角三角函数的知识点

初中数学锐角三角函数的知识点

一、选择题

1．如图，AB 是垂直于水平面的建筑物．为测量AB 的高度，小红从建筑物底端B 点出发，沿水平方向行走了52米到达点C ，然后沿斜坡CD 前进，到达坡顶D 点处，DC BC =．在点D 处放置测角仪，测角仪支架DE 高度为0.8米，在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角AEF ∠为27︒（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内）．斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =，那么建筑物AB 的高度约为（ ）

（参考数据sin 270.45︒≈，cos270.89︒≈，tan 270.51︒≈）

A ．65.8米

B ．71.8米

C ．73.8米

D ．119.8米

【答案】B

【解析】

【分析】 过点E 作EM AB ⊥与点M ，根据斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =可设CD x =，则2.4 CG x =，利用勾股定理求出x 的值，进而可得出CG 与DG 的长，故可得出EG 的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM 是矩形，故可得出EM BG =，BM EG =，再由锐角三角函数的定义求出AM 的长，进而可得出结论．

【详解】

解：过点E 作EM AB ⊥与点M ，延长ED 交BC 于G ，

∵斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =，52BC CD ==米，

∴设DG x =，则 2.4 CG x =．

在Rt CDG ∆中，

∵222DG CG DC +=，即222

(2.4)52x x +=，解得20x =，

∴20DG =米，48CG =米，

∴200.820.8EG =+=米，5248100BG =+=米．

∵EM AB ⊥，AB BG ⊥，EG BG ⊥，

∴四边形EGBM 是矩形，

∴100EM BG ==米，20.8BM EG ==米．

在Rt AEM ∆中，

∵27AEM ︒∠=，

∴•tan 271000.5151AM EM ︒=≈⨯=米，

∴5120.871.8AB AM BM =+=+=米．

故选B ．

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

2．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°，A 、B 、C 都是格点，则tan ABC ∠=（ ）

A ．3

B ．36

C ．3

D ．3 【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用EC tan ABC BE

∠=

得出答案． 【详解】

解:连接DC ，交AB 于点E ． 由题意可得:∠AFC=30°, DC ⊥AF,

设EC=x,则EF=x 3x tan 30︒

, ∴BF AF 2EF 23x === EC 3tan ABC BE 923x 3x 33=

===+∠,

故选:A

【点睛】

此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF 的长是解题关键．

3．如图，在ABC ∆中，4AC =，60ABC ∠=︒，45C ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ）

A ．22

B ．223

C ．23

D ．322

【答案】C

【解析】

【分析】

在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD−DE 即可求出AE 的长度．

【详解】

∵AD ⊥BC

∴∠ADC=∠ADB=90︒

在Rt △ADC 中，AC=4，∠C=45︒

∴AD=CD=22在Rt △ADB 中，AD=22ABD=60︒

∴326． ∵BE 平分∠ABC ，

∴∠EBD=30°．

在Rt △EBD 中，BD=263

，∠EBD=30° ∴3223 ∴AE=AD −DE=22223=23 故选：C

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形．

4．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A 离河边的距离AB ，采取了如下措施：如图在江边D 处，测得信号塔A 的俯角为40︒，若55DE =米，DE CE ⊥，36CE =米，CE 平行于AB ，BC 的坡度为1:0.75i =，坡长140BC =米，则AB 的长为( )（精确到0.1米，参考数据：sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈）

A ．78.6米

B ．78.7米

C ．78.8米

D ．78.9米

【答案】C

【解析】

【分析】 如下图，先在Rt △CBF 中求得BF 、CF 的长，再利用Rt △ADG 求AG 的长，进而得到AB 的长度

【详解】

如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 延长线于点F ，延长DE 交AB 延长线于点G

∵BC 的坡度为1:0.75

∴设CF 为xm ，则BF 为0.75xm

∵BC=140m

∴在Rt △BCF 中，()2220.75140x x +=，解得：x=112

∴CF=112m ，BF=84m

∵DE ⊥CE ，CE ∥AB ，∴DG ⊥AB ，∴△ADG 是直角三角形

∵DE=55m ，CE=FG=36m

∴DG=167m ，BG=120m

设AB=ym

∵∠DAB=40°

∴tan40°=1670.84120

DG AG y ==+ 解得：y=78.8

故选：C