任意项级数(精)

由条件(ⅰ)可知，s2n是单调增加的，再把s2n写成
s2n u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) ... (u2n2 u2n1 ) u2n
5
于是有s2n≤u1,根据单调有界数列必有极限的准则可知， s2n的极限存在，且极限值记为s，则有
lim s2 n s u1
n
由于s2n+1=s2n+u2n+1，由条件(ⅱ)可推得
lim s2 n 1 lim s2 n lim u2 n1 s
n n n
6
前2n项之和的极限为s，前2n+1项之和的极限也为s，故有
lim sn s u1
n
最后，不难看出余项rn可以写成
rn (un1 un 2 ...)
故由莱布尼兹定理知，所给级数收敛．
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二、绝对收敛与条件收敛
前面讨论的正项级数、交错级数都是形式比较特殊 的级数，下面讨论更一般形式的级数的敛散性．
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设有级数 un ，其中un(n=1,2…)为任意实数，这样的级 n 1 数称为任意项级数．取级数的各项绝对值组成一正项 级数

u
n 1

由莱布尼兹定理知，该级数收敛．
8
例8 讨论级数 ( 1)
n 1

n1
1 . 的敛散性 ( 2n 1)(2n 1)!
解 此级数为交错级数，因为
1 1 1 1 .... 3 3! 5 5! 7 7!
1 lim 0 n ( 2n 1)(2n 1)!


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1 1 1 ( 2)因 为 3 3 ， 且lim 3 0， n n1 n n
(1)n1 故交错 级数 是收敛 的， 3 n n 1

1 发散， 但是绝对值级数 3 n n 1
故所给级数是条件收敛的．
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三、小结
１、 交错级数.
２、绝对收敛与条件收敛
作业
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或 ( 1)n un u1 u2 u3 ... ( 1)n1 un ...(2)
n 1

为交错级数 由于交错级数（2）的各项乘以-1后就变成级数（1） 的形式，且不改变其敛散性，因此，为不失一般性，我们 只需讨论级数（1）的敛散性． 3
定理1 (莱布尼兹定理) 如果交错级数(1)满足条件:
8.3 任意项级数
主要内容：
1.交错级数.
2.绝对收敛与条件收敛.
1
一、交错级数
上节讨论的级数是正项级数，即un≥0(n=1,2…)．这节所 讨论的级数不作这个限制，因而称为任意项级数．
2
定义1 设un >0(n=1,2…)．则称级数
n 1 n 1 ( 1 ) u u u u ... ( 1 ) un ...(1) n 1 2 3 n 1
(1)
n 1
n 1
1 是收敛的，但 n
1 n 1 n

却是发散的．
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• 定义2 设
u
n 1

n
是任意项级数，如果级数
u
n 1

n
收敛，则称级数绝对收敛；如果级数 而
u
n 1

n
收敛， 条件收
u
n 1

n
发散，则称级数
u
n 1

n
敛．由定义3知，
(1)
n 1
n
u1 u2 ... un ...
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定理2 如果级数
证 令
u
n 1

n
收敛，则级数
u
n 1

n
收敛
1 v n ( un un )(n 1,2,3...) 2
显然vn≥0，并且vn≤|un|，于是由比较审敛法知，
正项级数 vn收 敛 ， 从 而 2vn也 收 敛 ， 而
(1)un un1 (n 1,2,3,...);
( 2) lim un 0.
n
则级数(1)收敛，且其和s≤u1，其余项r的绝对值|r|≤un+1.
4
证
设s2n是交错级数(1)的前2n项之和，首先把s2n写成
s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) ... (u2n1 u2n )
n 1 n 1


而un=2vn-|un|,
所以正项级数 vn收 级数的敛散性的判定问题转化为正 项级数敛散性判定问题．然而，需要指出的是，如果 级数
u
n 1

n
收敛，它的绝对值级数

u
n 1

n
未必收
敛．例如，我们已经判别级数 它的绝对值级数
上式右端括号内是一个与级数(2)同一类型的交错级数，它 也满足定理的条件(ⅰ)、(ⅱ)，所以其和满足|rn|≤un+1.
7
1 1 1 例7 证明级数 1 ... 的收敛 2 3 4
解 由于
1 1 un un1 ( n 1,2,3...) n n1
1 limun lim 0 n n n

n 1
1 n
是条件收敛的．
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例3 判定下列级数是否收敛.如果收敛，是绝对收敛 还是条件收敛？
sinna (1) n (ln 3 ) n 1
解 (1) 因为

( 1)n1 ( 2) 3 n n 1

sinna 1 n (ln3) (ln3)n
1 1 而 是 公 比 为 1的 收 敛 级 数， n ln3 n 1 (ln3) sinna 从而所给级数绝对收敛 收敛， 故 n (ln 3 ) n 1