任意项级数(精)
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高数第九章数项级数-任意项资料
u1 (u2 u3 ) (u2m2 u2m1 ) (u2m u2m1 )
S2m1 即数列 {S2m-1 } 单调减少, 又因
un1 un 0,
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数学分析
S2m1 (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m3 u2m2 ) u2m1
(u1 u2 )
[sin(n 1)x sin(n 1 )x]
2
2
sin(n
1 )x
2
当
x (0,2 )
时,
x sin
0,
故得到
2
1
1
n
sin(n x)
cos kx
2
2 k1
2sin x
2
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所以级数 cosnx 的部分和数列当 x (0,2 ) 时 有界,由狄利克雷判别法推得级数 an cosnx 收敛. 同理可证级数 an sinnx 也是收敛的.
证明：由阿贝尔变换
同号
m
m1
S aibi | (ai ai1) || Bi | | amBm |
i1
i1
m1
S M | (ai ai1) | | am | M i 1
m
故 S aibi M ( a1 2 am ) i1
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三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
阿贝尔判别法
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第九章 级数
数项级数
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III 任意项级数
一、交错级数及其审敛法
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
n1
n1
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
高等数学 数项级数的敛散性判别法 课件
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定理4 定理 . 比值判别法
un+1 设 为正项级数, 且 lim = ρ, 则 n→∞ un (1) 当 ρ < 1 时, 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 或 ρ = ∞ 时, 级数发散 .
证: (1) 当ρ < 1时,
un+1 知存在 N ∈Z , 当n > N 时, < ρ + ε <1 un
un = 2 vn − un
n=1
n=1
∑ un , ∑2vn 收敛
n=1
∞
∞
n=1
∑un 也收敛
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∞
例7. 证明下列级数绝对收敛 : 2 ∞ ∞ sin nα nn (1) ∑ ; (2) ∑(−1) . n4 en n=1 n=1
sin nα 1 证: (1) Q ≤ 4,而 4 n n
S2n = u1 − (u2 − u3 ) − (u4 − u5 ) −L− (u2n−2 − u2n−1)
− u2n
是单调递增有界数列, 故 又
n→∞
lim S2n+1 = lim( S2n + u2n+1)
n→∞
故级数收敛于S, 且 S ≤ u1,
= ±(un+1 − un+2 +L)
∴ rn = un+1 − un+2 + L ≤ un+1
1) un ≥ un+1 ( n = 1, 2, L);
2)
∞
n→∞
lim un = 0,
n−1 则级数 ∑(−1) un收敛 , 且其和 S ≤ u1, 其余项满足 n=1
定理4 定理 . 比值判别法
un+1 设 为正项级数, 且 lim = ρ, 则 n→∞ un (1) 当 ρ < 1 时, 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 或 ρ = ∞ 时, 级数发散 .
证: (1) 当ρ < 1时,
un+1 知存在 N ∈Z , 当n > N 时, < ρ + ε <1 un
un = 2 vn − un
n=1
n=1
∑ un , ∑2vn 收敛
n=1
∞
∞
n=1
∑un 也收敛
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∞
例7. 证明下列级数绝对收敛 : 2 ∞ ∞ sin nα nn (1) ∑ ; (2) ∑(−1) . n4 en n=1 n=1
sin nα 1 证: (1) Q ≤ 4,而 4 n n
S2n = u1 − (u2 − u3 ) − (u4 − u5 ) −L− (u2n−2 − u2n−1)
− u2n
是单调递增有界数列, 故 又
n→∞
lim S2n+1 = lim( S2n + u2n+1)
n→∞
故级数收敛于S, 且 S ≤ u1,
= ±(un+1 − un+2 +L)
∴ rn = un+1 − un+2 + L ≤ un+1
1) un ≥ un+1 ( n = 1, 2, L);
2)
∞
n→∞
lim un = 0,
n−1 则级数 ∑(−1) un收敛 , 且其和 S ≤ u1, 其余项满足 n=1
级数
1 a n f ( x ) cos nxdx , ( n 0,1,2,) 其中 1 bn f ( x ) sin nxdx , ( n 1,2,)
称为傅里叶级数.
(3)
狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
设 f ( x ) 是以 2 为周期的周期函数.如果它满足 条件 :在一个周期内连续或只有有限个第一类间断 点,并且至多只有有限个极值点,则 f ( x ) 的傅里叶级 数收敛,并且
(5) 根值审敛法 ( 柯西判别法)
设
u
n 1
n
是正项级数,
如果lim n un ( 为数或 ) ,
n
则 1 时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.
3、交错级数及其审敛法
定义
正 、负项相间的级数称为交错级数.
n 1
( 1) n 1
v un ( un v n ),
则
v n 收敛(发散). n 1
(2)
比较审敛法的极限形式
un 设 un 与 v n 都是正项级数,如果lim l, n v n 1 n 1 n
则(1) 当0 l 时,二级数有相同的敛散性; (2) 当l 0 时，若
x R, R
(其中 cn a0 bn a1 bn1 an b0 ) 除法
(收敛域内 bn x n 0)
n 0
an x n 0
n
bn x
n 0
n
cn x n .
n 0
b.和函数的分析运算性质:
数项级数习题课完整版
如果lim n un = ρ ( ρ为数或 + ∞ ) ,
n→ ∞
时级数收敛; 时级数发散; 时失效. 则ρ < 1时级数收敛; ρ > 1时级数发散;ρ = 1时失效.
3、交错级数及其审敛法
定义
∞
负项相间的级数称为交错级数. 正 、负项相间的级数称为交错级数.
∞
(−1)n−1un 或∑(−1)nun (其中 n > 0) u ∑
3n sin ∑
1 ∞
5n
π
5n
n [(−1 + 3] ) （） 6 ∑ n 6 1 解
∞ 6 n
n
n6[(−1)n + 3]n n6 4n * ≤ （） n n 6 6 ∞ ∞ n6 4n ∑vn = ∑ 6n n=1 n=1 (n +1 6 4n+1 6n ) vn+1 = lim ⋅ 6 n 4(n + 1)6 Qlim n→ ∞ 6n+1 n 4 = lim n→∞ v n→∞ n 6n6 6 4 1 = lim 1 + = 4 < 1 n→∞ 6 n 6 ∞ ∞ n6 4n ∴∑vn = ∑ n （* *） 6 n=1 n=1 (*) (**)
第十二章习题课
1、常数项级数
定义
∑u
n=1
∞
n
= u1 + u2 + u3 +L+ un +L
级数的部分和 sn = u1 + u2 +L+ un = 级数的收敛与发散
∑u
i =1
n
i
数 级数 敛 发散 ⇔lim sn存在 不 收 ( ) 常 项 ( 存在 . )
8.3任意项级数
sin n
sin n ∴ ∑ 2 为收敛级数, 且为绝对收敛 n =1 n + 1
∞
【微积分8-3-9】
例4
证明级数∑ (−1)
n =1
∞
n −1
n! 绝对收敛 n n
un +1 = lim 证明： Q lim n →∞ u n →∞ n
(−1) (n + 1)! n +1 (n + 1)
n
(−1) n ! n n
n =1
∞
【微积分8-3-3】
3、应用举例
例1
解：
(−1; p ≤ 1)的敛散性
1 1 Q un = p > = un +1 , (n = 1, 2,L) p n (n + 1)
1 lim un = lim p = 0, (0 < p ≤ 1) n →∞ n →∞ n
2 < 1即 − 3 < a < 1时, ∑
n =1 ∞
∴当
a +1
a +1
( a + 1) n 收敛, 从而∑ 绝对收敛 n n n2 n2 n =1
∞
n
【微积分8-3-11】
∞ a +1 a +1 (a + 1) n 当 > 1即a < −3或a > 1时, ∑ 发散, 且可推得 lim = ∞, n n n →∞ n2 2 n =1 n 2 n
n =1
∞
n =1
则可直接判定∑ un发散,因为正项级数发散必发散至无穷,因而有
∞
lim u n ≠ 0
n→∞
n =1
对于一般项级数的敛散性结论，必是绝对收敛、条件收敛 或发散三者中的一个。
【微积分】08-数项级数
【微积分】08-数项级数1. 级数1.1 级数的定义 现在从增量的⾓度重新讨论数列的极限，⽽这也是极限在许多实际问题中的呈现形式。
对于数列S_n，设a_n=S_n-S_{n-1}，则有S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n。
为讨论S_n的敛散性，定义式（1）的加式为级数，a_n称为级数的通项，S_n称为级数的部分和。
如果S_n收敛于有限值S，则称级数收敛于S（其实就是定义了级数的值），否则称级数发散（也就没有值）。
\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots\tag{1} 以级数形式表⽰极限其实很常见，⽐如我们熟悉的等⽐数列之和，它的部分和在q\ne 1时满⾜式（2）。
故级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}aq^{n-1}在q<1时收敛，⽽在a\ne 0,\,q\geqslant 1时发散。
这个级数也被称为⼏何级数，它的结论对后⾯讨论级数的收敛问题很有作⽤。
S_n=a+aq+aq^2+\cdots+aq^{n-1}=a\dfrac{1-q^n}{1-q}\tag{2} 直觉上的级数是⼀个⼩数集合的总和，但其实级数的值与通项的顺序也是有关的，后⾯我们将会给出反例。
对任何级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n，将其每⼀项的顺序打乱得到它的更序级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}a'_n，但要注意，这⾥的打乱还要求a_n必须对应到有限项a'_m，⽽不能出现在⽆穷之后。
有个基本问题是，级数的更序级数之间的敛散性关系如何？如果都收敛，它们的值相等吗？1.2 级数的性质 ⼀些特殊形式的级数，可以通过变形判定其敛散性，甚⾄得到级数的值。
但很多时候，我们只需要、也只能判定级数的敛散性，为此需要寻找有效的判定条件。
⼀种⽅法就是利⽤极限的判定条件，⽐如说利⽤判定极限的柯西准则，可知级数收敛的充要条件是：对任意的\varepsilon>0，只要n⾜够⼤，总有式（3）成⽴。
任意项级数
（2）一般说来，如果 ∑ | un |发散，我们不能断定 ∑ un
n =1 n =1 ∞ ∞
也发散。
但用比值 （或根值） 判别法， 判断级数 ∑ | un |发散，
n =1 ∞
则我们就能断定 ∑ un 也发散。
n=1
∞
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定理 3：比值判别法(达朗贝尔判别法)：
un+1 设 un 是任意项级数,且 lim = ρ ，则 n→ ∞ u n n =1 （1）ρ < 1时级数绝对收敛；
n =1 n =1 n =1
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∞
∞
n =1 ∞
n =1 ∞
n =1 ∞
sin n 例 3：判别级数 ∑ 的收敛性。 2 n =1 n
解
∞ sin n 1 1 Q 2 ≤ 2 , 而 ∑ 2 收敛 , n n n =1 n
∞
sin n ∴ ∑ 2 收敛 , n =1 n
说明: 本题的方法是常用的方法。
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( −1) | an | 例9： 设级数 ∑ a 收敛，讨论级数 ∑ n2 + λ n =1 n =1 的收敛性 (其中λ为常数 ，λ > 0)
n 2 n
∞
∞
解：
| an | 1 2 1 ≤ ( an + 2 ) 级数绝对收敛 2 n +λ n +λ 2
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an 例 8：若级数 ∑ an 收敛，则级数 ∑ 绝对收敛。 n =1 n =1 n
2
∞
∞
证:
an 1 1 1 2 | | = | an | ≤ ( 2 + an ) n n 2 n 1 因为 ∑ 2 和 n =1 n
n =1 n =1 ∞ ∞
也发散。
但用比值 （或根值） 判别法， 判断级数 ∑ | un |发散，
n =1 ∞
则我们就能断定 ∑ un 也发散。
n=1
∞
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定理 3：比值判别法(达朗贝尔判别法)：
un+1 设 un 是任意项级数,且 lim = ρ ，则 n→ ∞ u n n =1 （1）ρ < 1时级数绝对收敛；
n =1 n =1 n =1
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∞
∞
n =1 ∞
n =1 ∞
n =1 ∞
sin n 例 3：判别级数 ∑ 的收敛性。 2 n =1 n
解
∞ sin n 1 1 Q 2 ≤ 2 , 而 ∑ 2 收敛 , n n n =1 n
∞
sin n ∴ ∑ 2 收敛 , n =1 n
说明: 本题的方法是常用的方法。
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( −1) | an | 例9： 设级数 ∑ a 收敛，讨论级数 ∑ n2 + λ n =1 n =1 的收敛性 (其中λ为常数 ，λ > 0)
n 2 n
∞
∞
解：
| an | 1 2 1 ≤ ( an + 2 ) 级数绝对收敛 2 n +λ n +λ 2
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an 例 8：若级数 ∑ an 收敛，则级数 ∑ 绝对收敛。 n =1 n =1 n
2
∞
∞
证:
an 1 1 1 2 | | = | an | ≤ ( 2 + an ) n n 2 n 1 因为 ∑ 2 和 n =1 n
级数的基本概念(精)
(0) (n 0,1,2,) n!
• 马克劳林系数： an
(n)
• 例3
求f(x)=ex的马克劳林展开式。
• 结论 ：
x x e 1 x 2! n!
x
2
n
( x ).
• 类似可得：
x x x n sin x x (1) 3! 5! (2n 1)!
第八章
级数
• 第一节 幂级数 • 一 级数的基本概念 • 定义1 设给定数列u1,u2, ,un, ，则表 达式 u1+u2+ +un+ • 称为无穷级数（简称级数），记作
u
n 1
n
u1 u2 un
• 第n项（通项，一般项）：un • 常数项级数 u n （un：常数）
• 收敛点的全体称为幂级数的收敛域。
• 显然，x=0为幂级数（1）的收敛点，故 幂级数（1）的收敛域含有原点。
• 和函数： • •
S ( x) a0 a1x an x
n 收敛域） （x来自 例如，等比级数1 x x x
2 n
1 • 当 x 1 时，和函数为S ( x ) 1 x
• 即 S=u1+u2 + +un + S n 不存在，则称级数发散。 • 若 lim n
• 显然，发散的级数没有和。
• 例1
讨论等比级数（几何级数）
n n 1 aq a aq aq n 0
• 的敛散性，其中 a 0 ，q为级数的公比。
• 结论：当
n 1
• 函数项级数
u
n 1
• 马克劳林系数： an
(n)
• 例3
求f(x)=ex的马克劳林展开式。
• 结论 ：
x x e 1 x 2! n!
x
2
n
( x ).
• 类似可得：
x x x n sin x x (1) 3! 5! (2n 1)!
第八章
级数
• 第一节 幂级数 • 一 级数的基本概念 • 定义1 设给定数列u1,u2, ,un, ，则表 达式 u1+u2+ +un+ • 称为无穷级数（简称级数），记作
u
n 1
n
u1 u2 un
• 第n项（通项，一般项）：un • 常数项级数 u n （un：常数）
• 收敛点的全体称为幂级数的收敛域。
• 显然，x=0为幂级数（1）的收敛点，故 幂级数（1）的收敛域含有原点。
• 和函数： • •
S ( x) a0 a1x an x
n 收敛域） （x来自 例如，等比级数1 x x x
2 n
1 • 当 x 1 时，和函数为S ( x ) 1 x
• 即 S=u1+u2 + +un + S n 不存在，则称级数发散。 • 若 lim n
• 显然，发散的级数没有和。
• 例1
讨论等比级数（几何级数）
n n 1 aq a aq aq n 0
• 的敛散性，其中 a 0 ，q为级数的公比。
• 结论：当
n 1
• 函数项级数
u
n 1
大学数学易考知识点级数的收敛性和求和
大学数学易考知识点级数的收敛性和求和在大学数学中，级数是一个重要的概念，涉及到级数的收敛性和求和运算。
理解和掌握级数的收敛性以及求和的方法对于数学学科的学习和应用具有重要意义。
本文将介绍级数的概念，讨论级数的收敛性判定方法，并介绍几种常见的求和方法。
一、级数的概念级数是由一列数的和构成的数列，通常以∑表示。
级数的一般形式可以表示为：∑(n=1 to ∞) an = a1 + a2 + a3 + ...其中，an表示级数的通项，n表示求和的下标，∑表示求和符号。
根据不同的通项an，级数可以分为不同的类型。
二、级数的收敛性判定方法1. 正项级数收敛性判定法正项级数是指级数的通项an都是非负数，即an ≥ 0。
对于正项级数，我们可以使用以下方法进行收敛性判定：(1) 比较判别法：将待确定的级数与一个已知的收敛级数或发散级数进行比较。
(2) 比值判别法：计算级数的通项an+1与an的比值的极限值，根据极限值的大小来判断级数的收敛性。
(3) 根值判别法：计算级数的通项an的n次方根与1的比值的极限值，根据极限值的大小来判断级数的收敛性。
2. 任意项级数的收敛性判定法对于任意项级数，我们需要使用更加复杂的方法进行收敛性判定：(1) 莱布尼兹判别法：用于交错级数的判定，即级数的通项an交替出现正负号。
(2) 绝对收敛和条件收敛：如果一个级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛；反之，如果一个级数收敛但它的绝对值级数发散，则称此级数为条件收敛。
三、级数的求和方法1. 部分和求和对于级数∑(n=1 to ∞) an，我们可以通过计算部分和Sn = a1 + a2 + ... + an来求得级数的近似值。
2. 等比级数求和等比级数是指级数的通项满足an+1 = r * an，其中r为常数。
对于等比级数∑(n=0 to ∞) ar^n，可以通过以下公式求和：S = a / (1 - r)其中，S为级数的和。
3. 幂级数求和幂级数是指级数的通项可以表示为an = cr^n，其中c为常数，r为变量。
13-2_数项级数的收敛判别法
练习1 判别级数
1 的敛散性 (a>0为常数)
n1 n2 a 2
1
解：因为 lim n
n2 a2 1
1
(即=1为常数)
n
1
又
是调和级数，它是发散的
n1 n
1
故原级数 n1 n2 a 2
发散.
E-mail: xuxin@
练习2 判别级数 ( 1 cos x )
n1
n
1
n 3n
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
E-mail: xuxin@
例6
判定级数
ln(1
1 )的敛散性.
n1
n2
解：Q
lim
n
ln(1 1
1 n2
)
1,级数
n1
1 n2
收敛,
n2
由定理(2)知级数
n1
ln(1
1 n2
)收敛.
E-mail: xuxin@
n1
E-mail: xuxin@
推论2 设un为正项级数,如果存在p 1, n1
使得un
1 np
(n
1, 2,),则级数
n1
un收敛;
如果un
1 n
(n
1, 2,),
则级数发散.
例4 判断下列级数的敛散性
1
(1)
n1 (2n 1) 2n
n 1
(2) n1 n2 1
n1
E-mail: xuxin@
例 1 考察级数
1
n1 1 2n
1
1
2
1
1 22
L
1
1 2
n
L
的收敛性.
任意项级数敛散性的判别
由 条 件 ( 1 ) 可 知 , u2k1u2k,所以{S2m}单调不减；
另一方面, S 2 m u 1 (u 2 u 3 ) (u 4 u 5 ) (u 2 m 2 u 2 m 1 ) u 2 m
u 1 , 即 {S 2m } 有 上 界 ,
故 {S2m } 收敛,记 mlimS2m S ,显然有 Su1 .
解
因为 si nn
n2
1 n2
,而
n1
1 n2
收敛,
故原级数绝对收敛.
例2
判定
(1)n
n1
1 3n
(11)n2 n
是绝对收敛、条件
收敛还是发散.
解
n
un
1(11)n 3n
1 n3 e
1
，
绝对收敛.
5
定义：正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un (其中 un0)
n1
定理(莱布尼兹判别法) 如果交错级数满足条件
判 2. 当 n ,un 0,则级数 ; 发散
别 3. 按基本性质;
4.充要条件
法 5.比较法
4.绝对收敛 5.交错级数
6.比值法 7.根值法
(莱布尼兹定理)
16
思考题
设 正 项 级 数un收 敛 ,能 否 推 得un 2 收 敛 ?
n1
n1
反 之 是 否 成 立 ? 若 是 任 意 项 级 数 呢 ?
（ 1 ） u n u n 1 , 即 { u n } 单 调 减 少 ；
（ 2）ln im un0,
称莱布尼茨 型级数
则 交 错 级 数 (1)n1un收 敛 ,且 其 和 Su1.
n1
6
证 S 2 m ( u 1 u 2 ) ( u 3 u 4 ) ( u 2 m 1 u 2 m ) ,
另一方面, S 2 m u 1 (u 2 u 3 ) (u 4 u 5 ) (u 2 m 2 u 2 m 1 ) u 2 m
u 1 , 即 {S 2m } 有 上 界 ,
故 {S2m } 收敛,记 mlimS2m S ,显然有 Su1 .
解
因为 si nn
n2
1 n2
,而
n1
1 n2
收敛,
故原级数绝对收敛.
例2
判定
(1)n
n1
1 3n
(11)n2 n
是绝对收敛、条件
收敛还是发散.
解
n
un
1(11)n 3n
1 n3 e
1
，
绝对收敛.
5
定义：正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un (其中 un0)
n1
定理(莱布尼兹判别法) 如果交错级数满足条件
判 2. 当 n ,un 0,则级数 ; 发散
别 3. 按基本性质;
4.充要条件
法 5.比较法
4.绝对收敛 5.交错级数
6.比值法 7.根值法
(莱布尼兹定理)
16
思考题
设 正 项 级 数un收 敛 ,能 否 推 得un 2 收 敛 ?
n1
n1
反 之 是 否 成 立 ? 若 是 任 意 项 级 数 呢 ?
（ 1 ） u n u n 1 , 即 { u n } 单 调 减 少 ；
（ 2）ln im un0,
称莱布尼茨 型级数
则 交 错 级 数 (1)n1un收 敛 ,且 其 和 Su1.
n1
6
证 S 2 m ( u 1 u 2 ) ( u 3 u 4 ) ( u 2 m 1 u 2 m ) ,
交错级数与任意项级数
注(1) 积分判别法
正项级数
比值法
1
根值法
1
1
发散
收敛
比较法极限形式
比较法
a2 b2 2ab, a,b R
sin x x, x 0 ex 1 x, x 0
x ln(1 x) x, x 0 1 x
部分和数列有界
二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2,,
n1
n1
un 也收敛
n1
例3. 讨论级数 n1sinnn4 的敛散性.
解:
sin n
n4
1 n4
,
而
1 n1 n4
收敛
,
n1
sin n
n4
收敛
因此 sin n n1 n4
绝对收敛 .
例4. 讨论级数 n1(ns)n (s 0, 0) 的敛散性 .
1) 1 ; n1 n
2) 1 ; n1 n!
3)
n n110n
.
发散
收敛
收敛
三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
若
数 绝对收敛 ；
收敛 , 则称原级
若原级பைடு நூலகம்收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛 .
思考： 级数
绝对收敛 ，是级数
#2014022505
(1) 比值法：un1 与1的关系； u
n
(2) 差值法：u u 与0的关系；
n 1
n
(3) 利用导数： 由u 构造一可导函数f（x），
n
使f（n） u ，利用f （x）与0关系。 n
正项级数
比值法
1
根值法
1
1
发散
收敛
比较法极限形式
比较法
a2 b2 2ab, a,b R
sin x x, x 0 ex 1 x, x 0
x ln(1 x) x, x 0 1 x
部分和数列有界
二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2,,
n1
n1
un 也收敛
n1
例3. 讨论级数 n1sinnn4 的敛散性.
解:
sin n
n4
1 n4
,
而
1 n1 n4
收敛
,
n1
sin n
n4
收敛
因此 sin n n1 n4
绝对收敛 .
例4. 讨论级数 n1(ns)n (s 0, 0) 的敛散性 .
1) 1 ; n1 n
2) 1 ; n1 n!
3)
n n110n
.
发散
收敛
收敛
三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
若
数 绝对收敛 ；
收敛 , 则称原级
若原级பைடு நூலகம்收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛 .
思考： 级数
绝对收敛 ，是级数
#2014022505
(1) 比值法：un1 与1的关系； u
n
(2) 差值法：u u 与0的关系；
n 1
n
(3) 利用导数： 由u 构造一可导函数f（x），
n
使f（n） u ，利用f （x）与0关系。 n
9.3任意项级数及敛散性判别法
∞
∑u
∞ n =1
∞
n =1
n
条件收敛
定理： 绝对收敛， 定理：若任意项级数 ∑ u n 绝对收敛，则此级数一 n =1 定收敛. 定收敛 注：收敛级数未必绝对收敛. 收敛级数未必绝对收敛
推论： 发散， 也发散. 推论：若 ∑ u n 发散，则 ∑ un 也发散
n =1 n =1
∞
∞
例3：判别下列级数的敛散性，若收敛是条件收敛 ：判别下列级数的敛散性， 还是绝对收敛. 还是绝对收敛
n =1
的任意项级数，称为交错级数. 的任意项级数，称为交错级数 其中 un > 0, n = 1,2, L 交错级数 注：在后面的学习中，我们主要讨论 * 式的交错级数 在后面的学习中， （）
2、交错级数判别法 、 定理（莱布尼兹判别法）： 定理（莱布尼兹判别法）： 若交错级数 ∑ (−1) u n 满足： 满足：
n −1 1 ⑴ ∑ (−1) np n =1 ∞
sin(n sin(n!) ⑵∑ n2 n =1
∞
1 ln(1 + ) ∞ n n ⑶ ∑ (−1) n n =1
xn 的敛散性. 例4：讨论级数 ∑ s ( s > 0) 的敛散性 ： n =1 n
∞
三、利用级数的收敛性可求数列的极限
方法： 是一个数列， 满足： 方法：设 {u n } 是一个数列，若通项 u n 满足：
u n +1 lim = r < 1 或 lim n un = r < 1 n →∞ n →∞ u n
则级数
∑u
n =1
∞
n
绝对收敛， 绝对收敛，故 lim u n = 0
n →∞
xn =0 例5：证明对任意 x ∈ R ，有 lim ： n →∞ n!
任意项级数
∑
2
∞
( −1)
n+1
n3 收敛． n + 100
2
从而可知：
n =1
∑ (−1)
∞
n+1
n3 条件收敛． n + 100
( −1) n 例 5 判断级数 ∑ 是否收敛？如果收敛，是条件 收敛 n =1 n − ln n
∞
还是绝对收敛？ 解
∞ 1 1 1 Q > , ( n ≥ 2) 而 ∑ 发散 , n − ln n n n =1 n
其中括号内每一项均非 负，所以 { S 2 n } 单调上升； 又因 S 2 n = a1 − (a 2 − a 3 ) − (a4 − a5 ) − L − (a 2 n− 2 − a 2 n−1 ) − a 2 n ≤ a1，
lim S 2 n = S ≤ a1． 即 { S 2 n } 有界．从而 { S 2 n } 为收敛数列． 记 n →∞
1 1 ⎞ 1 1 ⎛ ~ 而 2 ⎜ 1 − cos ⎟~ n ⎠ 2n ln 2 (n + 1) 2( n + 1) ln 2 (n + 1) ln (n + 1) ⎝
∫1
+∞
1 1 1 = − = d x ln( x + 1) 1 ln 2 ( x + 1) ln 2 ( x + 1)
1 ∑ 2( n + 1) ln 2 (n + 1) 收敛 . n =1
n =1 ∞
∞
∑ [(an + | an |)− | an |] (c )， 即 ∑ an (c )．
n =1
定义3 当 ∑ | a n | 收敛时，称级数
第三节任意项级数及其审敛法
n =1
∞
n +1
2 发散 n!
n2
2、绝对收敛级数的性质 、 定理3 绝对收敛的级数不因改变项的位置而改变它的和。 定理 绝对收敛的级数不因改变项的位置而改变它的和。 （即绝对收敛级数具有可交换性） 即绝对收敛级数具有可交换性） 定理4 绝对收敛的两级数的柯西积也绝对收敛。 柯西积也绝对收敛 定理 绝对收敛的两级数的柯西积也绝对收敛。
作为和s的近似值，其误差 sn s ≤ un +1.
见教材P257） 证明 （见教材 ）
交错级数∑ ( 1)
n =1 ∞ n 1
un中un单调递减趋于0，则交错级数收敛。
1 例1 判别交错级数 ∑ ( 1) 的敛散性 n n =1
n
∞
解 因为交错级数满足如下条件
1 1 un = > = un +1 n n +1
n =1
∞
n +1
2 n!
n +1
n2
解
因为 ( 1)
2 2 = n! n!
n2
n2
而 lim
2
( n +1)2
n →∞
2
n2
( n + 1)! = lim
n!
2n 2 n 2 = +∞ n →∞ n + 1
n →∞
所以 lim un = +∞
n →∞
即 lim un ≠ 0
所以级数 ∑ ( 1)
lim un = 0
n →∞
1 所以交错级数∑ ( 1) 收敛. n n =1
n
∞
1 也收敛。 相似易判别交错级数 ∑ ( 1) 2 也收敛。 n n =1 引入绝对收敛与条件收敛
∞
n +1
2 发散 n!
n2
2、绝对收敛级数的性质 、 定理3 绝对收敛的级数不因改变项的位置而改变它的和。 定理 绝对收敛的级数不因改变项的位置而改变它的和。 （即绝对收敛级数具有可交换性） 即绝对收敛级数具有可交换性） 定理4 绝对收敛的两级数的柯西积也绝对收敛。 柯西积也绝对收敛 定理 绝对收敛的两级数的柯西积也绝对收敛。
作为和s的近似值，其误差 sn s ≤ un +1.
见教材P257） 证明 （见教材 ）
交错级数∑ ( 1)
n =1 ∞ n 1
un中un单调递减趋于0，则交错级数收敛。
1 例1 判别交错级数 ∑ ( 1) 的敛散性 n n =1
n
∞
解 因为交错级数满足如下条件
1 1 un = > = un +1 n n +1
n =1
∞
n +1
2 n!
n +1
n2
解
因为 ( 1)
2 2 = n! n!
n2
n2
而 lim
2
( n +1)2
n →∞
2
n2
( n + 1)! = lim
n!
2n 2 n 2 = +∞ n →∞ n + 1
n →∞
所以 lim un = +∞
n →∞
即 lim un ≠ 0
所以级数 ∑ ( 1)
lim un = 0
n →∞
1 所以交错级数∑ ( 1) 收敛. n n =1
n
∞
1 也收敛。 相似易判别交错级数 ∑ ( 1) 2 也收敛。 n n =1 引入绝对收敛与条件收敛
高数第九章数项级数-任意项
x 故函数 单调递减, un un1 , x 1 n 0. 又 lim un lim 原级数收敛. n n n 1
中央财经大学
数学分析
二、绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若
u
n 1
n
收敛,则
u
n 1
n
收敛.
1 证明 令 vn ( un un ) ( n 1,2,), 2 且 vn un , v n收敛, 显然 vn 0,
(1)
n 1
n1
1 n 1 n
(1)
n 1
n1
1 ( 1) ln n n 2
n
中央财经大学
数学分析
( 1) n n 例 5 判别级数 的收敛性. n1 n 2
解
x (1 x ) 0 ( x 2) ( ) 2 x 1 2 x ( x 1)
中央财经大学
数学分析
三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
阿贝尔判别法
如果(1)级数 bn收敛； (2)数列{an }( n 1,2,)
n 1
为单调、有界的 , an K , 则 anbn收敛.
狄利克雷判别法
n 1
n 1
如果(1)级数 bn的部分和Bn有界, Bn K (n 1,2,)； (2)数列{an }单调趋于0, 则 anbn收敛.
m m m
lim S 2 m 1 lim S 2 m , 故数列 {Sn } 的极限存在， 所以 m m
所以交错级数 ( 1)
n 1
n 1
un 收敛．
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由条件(ⅰ)可知，s2n是单调增加的，再把s2n写成
s2n u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) ... (u2n2 u2n1 ) u2n
5
于是有s2n≤u1,根据单调有界数列必有极限的准则可知， s2n的极限存在，且极限值记为s，则有
lim s2 n s u1
n
由于s2n+1=s2n+u2n+1，由条件(ⅱ)可推得
lim s2 n 1 lim s2 n lim u2 n1 s
n n n
6
前2n项之和的极限为s，前2n+1项之和的极限也为s，故有
lim sn s u1
n
最后，不难看出余项rn可以写成
rn (un1 un 2 ...)
故由莱布尼兹定理知，所给级数收敛．
9
二、绝对收敛与条件收敛
前面讨论的正项级数、交错级数都是形式比较特殊 的级数，下面讨论更一般形式的级数的敛散性．
10
设有级数 un ，其中un(n=1,2…)为任意实数，这样的级 n 1 数称为任意项级数．取级数的各项绝对值组成一正项 级数
u
n 1
由莱布尼兹定理知，该级数收敛．
8
例8 讨论级数 ( 1)
n 1
n1
1 . 的敛散性 ( 2n 1)(2n 1)!
解 此级数为交错级数，因为
1 1 1 1 .... 3 3! 5 5! 7 7!
1 lim 0 n ( 2n 1)(2n 1)!
15
1 1 1 ( 2)因 为 3 3 ， 且lim 3 0， n n1 n n
(1)n1 故交错 级数 是收敛 的， 3 n n 1
1 发散， 但是绝对值级数 3 n n 1
故所给级数是条件收敛的．
16
三、小结
１、 交错级数.
２、绝对收敛与条件收敛
作业
17
或 ( 1)n un u1 u2 u3 ... ( 1)n1 un ...(2)
n 1
为交错级数 由于交错级数（2）的各项乘以-1后就变成级数（1） 的形式，且不改变其敛散性，因此，为不失一般性，我们 只需讨论级数（1）的敛散性． 3
定理1 (莱布尼兹定理) 如果交错级数(1)满足条件:
8.3 任意项级数
主要内容：
1.交错级数.
2.绝对收敛与条件收敛.
1
一、交错级数
上节讨论的级数是正项级数，即un≥0(n=1,2…)．这节所 讨论的级数不作这个限制，因而称为任意项级数．
2
定义1 设un >0(n=1,2…)．则称级数
n 1 n 1 ( 1 ) u u u u ... ( 1 ) un ...(1) n 1 2 3 n 1
(1)
n 1
n 1
1 是收敛的，但 n
1 n 1 n
却是发散的．
13
• 定义2 设
u
n 1
n
是任意项级数，如果级数
u
n 1
n
收敛，则称级数绝对收敛；如果级数 而
u
n 1
n
收敛， 条件收
u
n 1
n
发散，则称级数
u
n 1
n
敛．由定义3知，
(1)
n 1
n
u1 u2 ... un ...
11
定理2 如果级数
证 令
u
n 1
n
收敛，则级数
u
n 1
n
收敛
1 v n ( un un )(n 1,2,3...) 2
显然vn≥0，并且vn≤|un|，于是由比较审敛法知，
正项级数 vn收 敛 ， 从 而 2vn也 收 敛 ， 而
(1)un un1 (n 1,2,3,...);
( 2) lim un 0.
n
则级数(1)收敛，且其和s≤u1，其余项r的绝对值|r|≤un+1.
4
证
设s2n是交错级数(1)的前2n项之和，首先把s2n写成
s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) ... (u2n1 u2n )
n 1 n 1
而un=2vn-|un|,
所以正项级数 vn收 级数的敛散性的判定问题转化为正 项级数敛散性判定问题．然而，需要指出的是，如果 级数
u
n 1
n
收敛，它的绝对值级数
u
n 1
n
未必收
敛．例如，我们已经判别级数 它的绝对值级数
上式右端括号内是一个与级数(2)同一类型的交错级数，它 也满足定理的条件(ⅰ)、(ⅱ)，所以其和满足|rn|≤un+1.
7
1 1 1 例7 证明级数 1 ... 的收敛 2 3 4
解 由于
1 1 un un1 ( n 1,2,3...) n n1
1 limun lim 0 n n n
n 1
1 n
是条件收敛的．
14
例3 判定下列级数是否收敛.如果收敛，是绝对收敛 还是条件收敛？
sinna (1) n (ln 3 ) n 1
解 (1) 因为
( 1)n1 ( 2) 3 n n 1
sinna 1 n (ln3) (ln3)n
1 1 而 是 公 比 为 1的 收 敛 级 数， n ln3 n 1 (ln3) sinna 从而所给级数绝对收敛 收敛， 故 n (ln 3 ) n 1
s2n u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) ... (u2n2 u2n1 ) u2n
5
于是有s2n≤u1,根据单调有界数列必有极限的准则可知， s2n的极限存在，且极限值记为s，则有
lim s2 n s u1
n
由于s2n+1=s2n+u2n+1，由条件(ⅱ)可推得
lim s2 n 1 lim s2 n lim u2 n1 s
n n n
6
前2n项之和的极限为s，前2n+1项之和的极限也为s，故有
lim sn s u1
n
最后，不难看出余项rn可以写成
rn (un1 un 2 ...)
故由莱布尼兹定理知，所给级数收敛．
9
二、绝对收敛与条件收敛
前面讨论的正项级数、交错级数都是形式比较特殊 的级数，下面讨论更一般形式的级数的敛散性．
10
设有级数 un ，其中un(n=1,2…)为任意实数，这样的级 n 1 数称为任意项级数．取级数的各项绝对值组成一正项 级数
u
n 1
由莱布尼兹定理知，该级数收敛．
8
例8 讨论级数 ( 1)
n 1
n1
1 . 的敛散性 ( 2n 1)(2n 1)!
解 此级数为交错级数，因为
1 1 1 1 .... 3 3! 5 5! 7 7!
1 lim 0 n ( 2n 1)(2n 1)!
15
1 1 1 ( 2)因 为 3 3 ， 且lim 3 0， n n1 n n
(1)n1 故交错 级数 是收敛 的， 3 n n 1
1 发散， 但是绝对值级数 3 n n 1
故所给级数是条件收敛的．
16
三、小结
１、 交错级数.
２、绝对收敛与条件收敛
作业
17
或 ( 1)n un u1 u2 u3 ... ( 1)n1 un ...(2)
n 1
为交错级数 由于交错级数（2）的各项乘以-1后就变成级数（1） 的形式，且不改变其敛散性，因此，为不失一般性，我们 只需讨论级数（1）的敛散性． 3
定理1 (莱布尼兹定理) 如果交错级数(1)满足条件:
8.3 任意项级数
主要内容：
1.交错级数.
2.绝对收敛与条件收敛.
1
一、交错级数
上节讨论的级数是正项级数，即un≥0(n=1,2…)．这节所 讨论的级数不作这个限制，因而称为任意项级数．
2
定义1 设un >0(n=1,2…)．则称级数
n 1 n 1 ( 1 ) u u u u ... ( 1 ) un ...(1) n 1 2 3 n 1
(1)
n 1
n 1
1 是收敛的，但 n
1 n 1 n
却是发散的．
13
• 定义2 设
u
n 1
n
是任意项级数，如果级数
u
n 1
n
收敛，则称级数绝对收敛；如果级数 而
u
n 1
n
收敛， 条件收
u
n 1
n
发散，则称级数
u
n 1
n
敛．由定义3知，
(1)
n 1
n
u1 u2 ... un ...
11
定理2 如果级数
证 令
u
n 1
n
收敛，则级数
u
n 1
n
收敛
1 v n ( un un )(n 1,2,3...) 2
显然vn≥0，并且vn≤|un|，于是由比较审敛法知，
正项级数 vn收 敛 ， 从 而 2vn也 收 敛 ， 而
(1)un un1 (n 1,2,3,...);
( 2) lim un 0.
n
则级数(1)收敛，且其和s≤u1，其余项r的绝对值|r|≤un+1.
4
证
设s2n是交错级数(1)的前2n项之和，首先把s2n写成
s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) ... (u2n1 u2n )
n 1 n 1
而un=2vn-|un|,
所以正项级数 vn收 级数的敛散性的判定问题转化为正 项级数敛散性判定问题．然而，需要指出的是，如果 级数
u
n 1
n
收敛，它的绝对值级数
u
n 1
n
未必收
敛．例如，我们已经判别级数 它的绝对值级数
上式右端括号内是一个与级数(2)同一类型的交错级数，它 也满足定理的条件(ⅰ)、(ⅱ)，所以其和满足|rn|≤un+1.
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1 1 1 例7 证明级数 1 ... 的收敛 2 3 4
解 由于
1 1 un un1 ( n 1,2,3...) n n1
1 limun lim 0 n n n
n 1
1 n
是条件收敛的．
14
例3 判定下列级数是否收敛.如果收敛，是绝对收敛 还是条件收敛？
sinna (1) n (ln 3 ) n 1
解 (1) 因为
( 1)n1 ( 2) 3 n n 1
sinna 1 n (ln3) (ln3)n
1 1 而 是 公 比 为 1的 收 敛 级 数， n ln3 n 1 (ln3) sinna 从而所给级数绝对收敛 收敛， 故 n (ln 3 ) n 1