植物营养研究方法 第六章-3 方差分析
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观 处理 察 值 总和Ti. 平均
1
319 248 221 270
2
279 257 236 308
3
318 268 273 290
4
284 279 249 245
5
359 262 258 286
A1 A2 A3 A4
1159 1314 1237 1399
311.8 262.8 247.4 279.8
误差
总变异
多重比较：（multiple comparisons)
１、最小显著差数（LSD）法:
最小显著差数法(Least significant difference)简 称LSD法。它是在一定概率(1-α)保证下，确定 一个达到显著的最小差数尺度LSDα，用以检 验平均数间差数的显著性。凡平均数间差数大
第三节
方差分析(analysis of variance)
在对多个样本平均数进行比较时，如果仍用t
检验不仅检验过程繁琐，而且还会产生较大
的误差，提高犯错误的概率。
1923年英国统计学家R.A.Fisher提出了方差
分析的统计方法。方差分析方法是对多个样
本平均数一次进行显著性检验的方法。
方差分析的基本原理
2 2
n
k
SSe=
i
k
2 ( x x i .) ij j 1
n
SST = SSt+ SSe
自由度计算：
总自由度用dfT表示： dfT=nk-1
组间自由度用dft表示： dft=k-1
组内自由度用dfe表示： dfe=k(n-1) 总自由度=组间自由度+组内自由度
方差的计算：
多重比较结果的表示方法：
梯形表法： 具体方法：
1、先将处理按平均数从大到小排列。 2、再依次计算各较大平均数与最小的、次小的直至与 其相邻的平均数的差数。 3、最后，根据各差数是否大于LSD进行检验，如差数 ≤ LSD0.05，说明差异不显著；如差数＞ LSD0.05， 说明有显著差异，则在该差数上打 “﹡”；如差数 ＞ LSD0.01，说明有极显著差异，则在该差数上打两 个 “﹡﹡”。
xi-262.8
49.0﹡﹡ 17.0
xi-279.8
32.4﹡
15.4
32.0﹡
四种肥料玉米产量差异显著性（字母标记法）
差异显著性
肥料 A1 A4 A2 A3
平均数 311.8 279.8 262.8 247.4
=0.05 a b bc c
=0.01 A AB B B
２、最小显著极差（ LSR ）法：
N 1 2 3 4 5 6 7 Tot al 6 4 9 3 6 5 4 37
Mean 420.2967 417.7625 493.1811 475.0433 498.7000 306.8700 480.2925 446.0624
Std. Dev iation Std. Error 91. 29658 37. 27167 58. 51738 29. 25869 34. 50731 11. 50244 12. 21673 7. 05333 41. 19425 16. 81748 78. 30030 35. 01696 37. 98093 18. 99046 82. 82859 13. 61694
因素A A1 A2 ﹕ Ai ﹕ Aa 总和T.j 平均 x. j 因素 B
B1
B2
பைடு நூலகம்
… Bj
… … ﹕ … ﹕ … x1j x2j ﹕ xij ﹕ xaj T.j
…
… … ﹕ … ﹕ …
Bb
x1b x2b ﹕ xib ﹕ xab T.b
总和Ti. 平均 T1. T2. ﹕ Ti. ﹕ Ta. T
xi.
一、变异因素的划分：
方差分析是在划分变异因素的基础上，再计算
各个变异因素的方差，从而进行方差比的一种 统计检验方法。 变异因素的划分必须根据试验目的、设计方法 和资料性质而定。
１、单向分组资料：
观 处理 A1 A2 ﹕ Ai ﹕ Ak 总和T.j 平均 x. j 1 2 察 j x1j x2j ﹕ xij ﹕ xkj T.j 值
字母标记法：
就是对没有显著差异的平均数标以相同字母，对有显著差异 的标以不同字母。 具体方法：首先是将欲比较的平均数按大小次序排列。然后 在最大的平均数上标上字母a(=0.05)或A(=0.01)；将该平 均数与以下平均数逐个相比，凡差异不显著者都标以字母a 或A，直至相差显著的平均数则标以字母b或B；再以标有b或 B的平均数为标准，与其上方比它大的平均数逐个相比，凡 相差不显著者一律标以字母b或B；再以标有b或B的最大平均 数为标准，与其下方未标记字母的平均数相比，凡相差不显 著者继续标以字母b或B，直至与之相差显著的平均数则标以 字母c或C，再与上面的平均数比较。如此重复进行，直至最 小的平均数有了标记字母并与上面的平均数比较后为止。
Sx
Sx
对前面例题进行q检验：
四种肥料玉米产量LSR值（q检验） P q0.05 q0.01 LSR0.05 LSR0.01 2 3.00 4.13 31.02 42.70 3 3.65 4.78 37.74 49.43 4 4.05 5.19 41.88 53.66
四种肥料玉米产量差异显著性（q法）
差异显著性
肥料 A1 A4 A2 A3
平均数 311.8 279.8 262.8 247.4
=0.05 a b b b
=0.01 A AB B B
（２）、q检验法：
q检验法也称为Student-Newman-Keuls(SNK)检验，是 以统计量q的概率分布为基础的。
Sx Sx
Sx Sx
Minimum 243.62 330.08 448.01 467.99 450.81 239.00 450.81 239.00
Max imum 489.15 450.81 562.38 489.15 562.38 411.85 530.40 562.38
３、据v1 、v2查F表得到Fα值，用F与Fα
比较， 如果：F≤ Fα则接受HO
F> Fα则否定HO
单向分组资料方差分析表
变异来源 自由度 平方和 组间变异
方差 s2t
F值 s2t/s2e
F
k-1
SSt
组内变异
k(n-1)
nk-1
SSe
SST
s2e
总变异
例：某地进行玉米氮肥品种比较试验，氮肥品种分别为尿素、 硫铵、碳铵、硝铵。重复5次，完全随机排列。玉米产 量见下表，试进行方差分析。
dfe
Sx
式中qα是根据dfe和k查q表得到的。
对前面例题进行固定极差检验：
根据dfe和k查q表得到 q0.05（4 ，16 ）=4.05, q0.01（4 ，16 ）=5.19 。
计算出相应的固定极差FR=q × Sx 即： FR0.05=4.05×10.34=41.88 FR0.01=5.09×10.34=53.66
对上例题的各组平均值作新复极差检验：
四种肥料玉米产量LSR值（SSR检验） P 2 3 4
SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01
3.00 4.13 31.02 42.70
3.14 4.31 32. 47 44.57
3.24 4.42 33.50 45.70
四种肥料玉米产量差异显著性（SSR法）
(1)、新复极差法(SSR)法：
SSR（Shortest significant ranges）法是1955年D.B.Duncan提出 的，它是依平均数秩次距(M或p)的不同而采用不同的显著临 界值。这些显著临界值称最小显著极差，记做LSRα
LSRα＝
Sx SSR
Sx Sx
式中SSRα是根据dfe和M（或p）查SSR表得到的。M（或p） 是两个相比较的平均数的极差所包含的平均数的个数．
一些实例
Excel-每2组数据进行 SPSS-任意组数据
Descriptives AP 95% C onf idenc e I nterv al f or Mean Lower Bound Upper Bound 324.4868 516.1066 324.6483 510.8767 466.6564 519.7058 444.6953 505.3914 455.4693 541.9307 209.6473 404.0927 419.8564 540.7286 418.4460 473.6789
平方和计算：
SST = ( xij x)
2 i j 1 i
k
n
k
2 k T 2 xij nk j 1 i n
2 x ij C j 1
n
SSt=
i
k
1 k 2 ( xi. x) n ( xi. x) Ti C n i 1 j 1 i 1
…
… … ﹕ … ﹕ …
…
n
总和Ti. 平均 T1. T2. ﹕ Ti. ﹕ Tk. T
xi.
x11 x12 x21 x22 ﹕ ﹕ xi1 xi2 ﹕ ﹕ xk1 xk2 T.1 T.2
… x1n … x2n ﹕ ﹕ … xin ﹕ ﹕ … xkn
…
…
T.n
总变异包括：组间变异和 组内变异
２、双向分组资料：
差异显著性
肥料 A1 A4 A2 A3
平均数 311.8 279.8 262.8 247.4
=0.05 a b b b
=0.01 A AB AB B
３、Tukey固定极差（Fixed range）法:
该法是J.W.Tukey在1952年提出的一种多重比较方 法。简称T法，又叫固定极差的q检验法。它是在k 个平均数的所有可能比较中，都以一个固定极差 （FRα）为检验尺度。
用平均数差数与FR进行比较，结果见下表。
四种肥料玉米产量差异显著性（T法）
差异显著性
肥料 A1 A4 A2 A3
平均数 311.8 279.8 262.8 247.4
=0.05 a ab b b
=0.01 A AB AB B
多重比较方法的选择：
不同方法检验的尺度不同：当 k=2 时，LSD法、 SSR法和q法的显著尺度是相同的。当k≥3时， LSD法、SSR法和q法的显著尺度是不相同的， LSD法最低， SSR法次之，q检验法最高。 实际工作中，对于精度要求高的试验应用q检 验法，一般试验用SSR法，试验中各个处理平 均数皆与对照相比的试验结果可用LSD法。
x11 x12 x21 x22 ﹕ ﹕ xi1 xi2 ﹕ ﹕ xa1 xa2 T.1 T.2
…
…
总变异包括：A因素、B因素、试验误差
平方和与自由度的分解
以单向分组资料为例：设有k个独立样本，每
个样本有n个观察值。 总变异包括：组间变异和组内变异。 总变异平方和用SST表示 组间变异平方和用SSt表示 组内变异平方和用SSe表示
于LSDα，即为α水平上显著；反之，在α水平
上不显著。
1、最小显著差数（LSD）法,就是t检验法。
上例题资料中平均数差数的标准误为：
四种肥料玉米产量差异显著性（梯形法）
平均数 （xi） 311.8 279.8 262.8 247.4 差异显著性
肥料 A1 A2 A3 A4
xi-247.4
64.4﹡﹡
划线法：
练习：字母标记法，LSD0.05=3.77
处理
NPK PK P NP NK K N O
平均数
68.3 62.8 61.4 60.6 58.6 56.8 54.8 53.1
差异显著性 （=0.05）
综上所述，方差分析的基本步骤： １、提出假设Ho
2、平方和与自由度的计算
３、进行F、t检验 ４、多重比较 ５、结论
2 S t=
sst dft
ss e S2e= dfe
F分布与F检验：
方差分析是对多个样本平均数一次进行
显著性检验的方法。检验的指标是F值，
方差分析简称F测定。 F值又叫方差比或
变量比例，方差分析也叫变量分析。
F检验步骤：
１、提出假设HO：1=µ 2=----μk=μ
２、计算统计量F: F= S21 / S22
总和T.j 平均
5509 275.45
解：1、提出假设H0：1= 2=…4= 2、平方和与自由度的计算：
3、F检验：
变异来源 肥料品种 df
3 16 19
SS
11435.35 8551.6 19986.95
S2
3811.783 534.475
F
7.132
F0.05 F0.01
3.24 5.29
1
319 248 221 270
2
279 257 236 308
3
318 268 273 290
4
284 279 249 245
5
359 262 258 286
A1 A2 A3 A4
1159 1314 1237 1399
311.8 262.8 247.4 279.8
误差
总变异
多重比较：（multiple comparisons)
１、最小显著差数（LSD）法:
最小显著差数法(Least significant difference)简 称LSD法。它是在一定概率(1-α)保证下，确定 一个达到显著的最小差数尺度LSDα，用以检 验平均数间差数的显著性。凡平均数间差数大
第三节
方差分析(analysis of variance)
在对多个样本平均数进行比较时，如果仍用t
检验不仅检验过程繁琐，而且还会产生较大
的误差，提高犯错误的概率。
1923年英国统计学家R.A.Fisher提出了方差
分析的统计方法。方差分析方法是对多个样
本平均数一次进行显著性检验的方法。
方差分析的基本原理
2 2
n
k
SSe=
i
k
2 ( x x i .) ij j 1
n
SST = SSt+ SSe
自由度计算：
总自由度用dfT表示： dfT=nk-1
组间自由度用dft表示： dft=k-1
组内自由度用dfe表示： dfe=k(n-1) 总自由度=组间自由度+组内自由度
方差的计算：
多重比较结果的表示方法：
梯形表法： 具体方法：
1、先将处理按平均数从大到小排列。 2、再依次计算各较大平均数与最小的、次小的直至与 其相邻的平均数的差数。 3、最后，根据各差数是否大于LSD进行检验，如差数 ≤ LSD0.05，说明差异不显著；如差数＞ LSD0.05， 说明有显著差异，则在该差数上打 “﹡”；如差数 ＞ LSD0.01，说明有极显著差异，则在该差数上打两 个 “﹡﹡”。
xi-262.8
49.0﹡﹡ 17.0
xi-279.8
32.4﹡
15.4
32.0﹡
四种肥料玉米产量差异显著性（字母标记法）
差异显著性
肥料 A1 A4 A2 A3
平均数 311.8 279.8 262.8 247.4
=0.05 a b bc c
=0.01 A AB B B
２、最小显著极差（ LSR ）法：
N 1 2 3 4 5 6 7 Tot al 6 4 9 3 6 5 4 37
Mean 420.2967 417.7625 493.1811 475.0433 498.7000 306.8700 480.2925 446.0624
Std. Dev iation Std. Error 91. 29658 37. 27167 58. 51738 29. 25869 34. 50731 11. 50244 12. 21673 7. 05333 41. 19425 16. 81748 78. 30030 35. 01696 37. 98093 18. 99046 82. 82859 13. 61694
因素A A1 A2 ﹕ Ai ﹕ Aa 总和T.j 平均 x. j 因素 B
B1
B2
பைடு நூலகம்
… Bj
… … ﹕ … ﹕ … x1j x2j ﹕ xij ﹕ xaj T.j
…
… … ﹕ … ﹕ …
Bb
x1b x2b ﹕ xib ﹕ xab T.b
总和Ti. 平均 T1. T2. ﹕ Ti. ﹕ Ta. T
xi.
一、变异因素的划分：
方差分析是在划分变异因素的基础上，再计算
各个变异因素的方差，从而进行方差比的一种 统计检验方法。 变异因素的划分必须根据试验目的、设计方法 和资料性质而定。
１、单向分组资料：
观 处理 A1 A2 ﹕ Ai ﹕ Ak 总和T.j 平均 x. j 1 2 察 j x1j x2j ﹕ xij ﹕ xkj T.j 值
字母标记法：
就是对没有显著差异的平均数标以相同字母，对有显著差异 的标以不同字母。 具体方法：首先是将欲比较的平均数按大小次序排列。然后 在最大的平均数上标上字母a(=0.05)或A(=0.01)；将该平 均数与以下平均数逐个相比，凡差异不显著者都标以字母a 或A，直至相差显著的平均数则标以字母b或B；再以标有b或 B的平均数为标准，与其上方比它大的平均数逐个相比，凡 相差不显著者一律标以字母b或B；再以标有b或B的最大平均 数为标准，与其下方未标记字母的平均数相比，凡相差不显 著者继续标以字母b或B，直至与之相差显著的平均数则标以 字母c或C，再与上面的平均数比较。如此重复进行，直至最 小的平均数有了标记字母并与上面的平均数比较后为止。
Sx
Sx
对前面例题进行q检验：
四种肥料玉米产量LSR值（q检验） P q0.05 q0.01 LSR0.05 LSR0.01 2 3.00 4.13 31.02 42.70 3 3.65 4.78 37.74 49.43 4 4.05 5.19 41.88 53.66
四种肥料玉米产量差异显著性（q法）
差异显著性
肥料 A1 A4 A2 A3
平均数 311.8 279.8 262.8 247.4
=0.05 a b b b
=0.01 A AB B B
（２）、q检验法：
q检验法也称为Student-Newman-Keuls(SNK)检验，是 以统计量q的概率分布为基础的。
Sx Sx
Sx Sx
Minimum 243.62 330.08 448.01 467.99 450.81 239.00 450.81 239.00
Max imum 489.15 450.81 562.38 489.15 562.38 411.85 530.40 562.38
３、据v1 、v2查F表得到Fα值，用F与Fα
比较， 如果：F≤ Fα则接受HO
F> Fα则否定HO
单向分组资料方差分析表
变异来源 自由度 平方和 组间变异
方差 s2t
F值 s2t/s2e
F
k-1
SSt
组内变异
k(n-1)
nk-1
SSe
SST
s2e
总变异
例：某地进行玉米氮肥品种比较试验，氮肥品种分别为尿素、 硫铵、碳铵、硝铵。重复5次，完全随机排列。玉米产 量见下表，试进行方差分析。
dfe
Sx
式中qα是根据dfe和k查q表得到的。
对前面例题进行固定极差检验：
根据dfe和k查q表得到 q0.05（4 ，16 ）=4.05, q0.01（4 ，16 ）=5.19 。
计算出相应的固定极差FR=q × Sx 即： FR0.05=4.05×10.34=41.88 FR0.01=5.09×10.34=53.66
对上例题的各组平均值作新复极差检验：
四种肥料玉米产量LSR值（SSR检验） P 2 3 4
SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01
3.00 4.13 31.02 42.70
3.14 4.31 32. 47 44.57
3.24 4.42 33.50 45.70
四种肥料玉米产量差异显著性（SSR法）
(1)、新复极差法(SSR)法：
SSR（Shortest significant ranges）法是1955年D.B.Duncan提出 的，它是依平均数秩次距(M或p)的不同而采用不同的显著临 界值。这些显著临界值称最小显著极差，记做LSRα
LSRα＝
Sx SSR
Sx Sx
式中SSRα是根据dfe和M（或p）查SSR表得到的。M（或p） 是两个相比较的平均数的极差所包含的平均数的个数．
一些实例
Excel-每2组数据进行 SPSS-任意组数据
Descriptives AP 95% C onf idenc e I nterv al f or Mean Lower Bound Upper Bound 324.4868 516.1066 324.6483 510.8767 466.6564 519.7058 444.6953 505.3914 455.4693 541.9307 209.6473 404.0927 419.8564 540.7286 418.4460 473.6789
平方和计算：
SST = ( xij x)
2 i j 1 i
k
n
k
2 k T 2 xij nk j 1 i n
2 x ij C j 1
n
SSt=
i
k
1 k 2 ( xi. x) n ( xi. x) Ti C n i 1 j 1 i 1
…
… … ﹕ … ﹕ …
…
n
总和Ti. 平均 T1. T2. ﹕ Ti. ﹕ Tk. T
xi.
x11 x12 x21 x22 ﹕ ﹕ xi1 xi2 ﹕ ﹕ xk1 xk2 T.1 T.2
… x1n … x2n ﹕ ﹕ … xin ﹕ ﹕ … xkn
…
…
T.n
总变异包括：组间变异和 组内变异
２、双向分组资料：
差异显著性
肥料 A1 A4 A2 A3
平均数 311.8 279.8 262.8 247.4
=0.05 a b b b
=0.01 A AB AB B
３、Tukey固定极差（Fixed range）法:
该法是J.W.Tukey在1952年提出的一种多重比较方 法。简称T法，又叫固定极差的q检验法。它是在k 个平均数的所有可能比较中，都以一个固定极差 （FRα）为检验尺度。
用平均数差数与FR进行比较，结果见下表。
四种肥料玉米产量差异显著性（T法）
差异显著性
肥料 A1 A4 A2 A3
平均数 311.8 279.8 262.8 247.4
=0.05 a ab b b
=0.01 A AB AB B
多重比较方法的选择：
不同方法检验的尺度不同：当 k=2 时，LSD法、 SSR法和q法的显著尺度是相同的。当k≥3时， LSD法、SSR法和q法的显著尺度是不相同的， LSD法最低， SSR法次之，q检验法最高。 实际工作中，对于精度要求高的试验应用q检 验法，一般试验用SSR法，试验中各个处理平 均数皆与对照相比的试验结果可用LSD法。
x11 x12 x21 x22 ﹕ ﹕ xi1 xi2 ﹕ ﹕ xa1 xa2 T.1 T.2
…
…
总变异包括：A因素、B因素、试验误差
平方和与自由度的分解
以单向分组资料为例：设有k个独立样本，每
个样本有n个观察值。 总变异包括：组间变异和组内变异。 总变异平方和用SST表示 组间变异平方和用SSt表示 组内变异平方和用SSe表示
于LSDα，即为α水平上显著；反之，在α水平
上不显著。
1、最小显著差数（LSD）法,就是t检验法。
上例题资料中平均数差数的标准误为：
四种肥料玉米产量差异显著性（梯形法）
平均数 （xi） 311.8 279.8 262.8 247.4 差异显著性
肥料 A1 A2 A3 A4
xi-247.4
64.4﹡﹡
划线法：
练习：字母标记法，LSD0.05=3.77
处理
NPK PK P NP NK K N O
平均数
68.3 62.8 61.4 60.6 58.6 56.8 54.8 53.1
差异显著性 （=0.05）
综上所述，方差分析的基本步骤： １、提出假设Ho
2、平方和与自由度的计算
３、进行F、t检验 ４、多重比较 ５、结论
2 S t=
sst dft
ss e S2e= dfe
F分布与F检验：
方差分析是对多个样本平均数一次进行
显著性检验的方法。检验的指标是F值，
方差分析简称F测定。 F值又叫方差比或
变量比例，方差分析也叫变量分析。
F检验步骤：
１、提出假设HO：1=µ 2=----μk=μ
２、计算统计量F: F= S21 / S22
总和T.j 平均
5509 275.45
解：1、提出假设H0：1= 2=…4= 2、平方和与自由度的计算：
3、F检验：
变异来源 肥料品种 df
3 16 19
SS
11435.35 8551.6 19986.95
S2
3811.783 534.475
F
7.132
F0.05 F0.01
3.24 5.29