无界函数的广义积分

§10.2 无界函数的广义积分

一 无界函数广义积分的概念

定义1 设()f x 在x b =的临近无界（我们称b 点为()f x 的奇点），但对于任意充分小的正数η，()f x 在[],a b η-上可积，即

lim ()b a

f x dx η

η+-→⎰

存在时，称这极限值I 为无界函数()f x 在[,]a b 上的广义积分。记作

()0

lim ()b

b a

a

f x dx f x dx η

η+-→=⎰

⎰

。

如果上述的极限不存在，就称()b

a

f x dx ⎰发散。

类似可定义

()b

a

f x dx ⎰（a 为奇点）.

如果()f x 在[,]a b 内部有一个奇点c ，a c b <<，当()c

a

f x d x ⎰

和()b

c

f x dx ⎰都收敛时，

就称

()b

a

f x dx ⎰收敛，并且有

()()()b

c b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx =+⎰

⎰⎰。

如果上式右边的任何一个积分发散，就称()f x dx +∞

-∞

⎰

发散。

例1：讨论积分

()

1

b

p

a

dx x a -⎰()0p >的收敛性。

例2：讨论积分

1

⎰

的收敛性。

二 无界函数积分的性质

性质1 定积分的一些性质包括分部积分法和换元积分法对无界函数的广义积分也成立。 柯西收敛原理

()b

a

f x d x ⎰（

x a =是奇点）收敛的充分必要条件是：0ε∀>，0δ∃>，当0,'ηηδ<<时，总有 ()'

a a f x d x ηη

ε++<⎰

.

定义2 若积分

()b

a

f x dx ⎰（x a =是奇点）收敛，就称()b a

f x dx ⎰绝对收敛。收敛但不

绝对收敛的积分成为条件收敛。

定理2 绝对收敛的广义积分必收敛。但反之不然。

三 无界函数广义积分的收敛性判别法

1. 柯西判别法

设x a =是()f x 的奇点，如果()f x ()

p c

x a ≤

-()0c >，1p <，那么 ()b

a

f x dx ⎰

绝对收敛. 如果()()0()p

c

f x c x a >>-，1p ≥，那么

()

b

a

f x d x ⎰发散。

2. 柯西判别法的极限形式

如果 ()lim p

x x

f x l →+∞

=， 则

（1）当0l ≤<+∞时，1p >，那么积分

()a f x dx +∞

⎰绝对收敛； （2）当0l <≤+∞时，1p ≤，那么积分

()a

f x dx +∞

⎰

发散。

例3：求下列广义积分：

1

⎰

1-⎰

例4：讨论广义积分

1

0⎰的收敛性。

定义3 设()f x 在[],a b 内无界，c 是唯一的奇点, 如果

()()0

l i m

c b

a

c f x dx f x dx η

η

η-+→⎡⎤+⎢⎥⎣

⎦

⎰⎰

存在，我们就称此极限为广义积分

()b a

f x dx ⎰的柯西主值，记为

()()()0..lim b

c b

a

a c PV f x dx f x dx f x dx ηηη-+→⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦

⎰

⎰⎰.

同样，对于无穷限的广义积分，柯西主值为

()()..lim

A

A

A PV f x dx f x dx +∞

-∞

-→+∞=⎰

⎰

例5：设a c b <<，求

1

b

a

dx x c

-⎰

的主值. 例6 讨论反常积分⎰-1

121dx x

的收敛性.

解: 函数21x

在区间[-1, 1]上除x =0外连续, 且∞=→201lim x x .由于

+∞=--=-=-→--⎰1)1(lim ]1[100

1012x x dx x

x , 即反常积分⎰-0121dx x 发散, 所以反常积分⎰-1

121dx x

发散.

例7 讨论反常积分⎰-b

a q

a x dx )(的敛散性.

解: 当q =1时, +∞=-=-=-⎰⎰b a b a b

a q a x a

x dx a x dx )][ln()(.

当q >1时, +∞=--=--⎰b a q b

a q a x q

a x dx 1])(11[)(. 当q <1时,

q b a q b

a q a

b q a x q

a x dx ----=--=-⎰1 1)(11])(11[)(. 因此, 当q <1时, 此反常积分收敛, 其值为q a

b q ---1)(11; 当q ≥1时, 此反常积分发散.