无界函数的广义积分
第五节 广义积分
1 1
例2. 计算广义积分
2
x2 sin x dx.
解:
2
1 x2
sin 1 dx x
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b1
sin
2
x
d
1 x
lim
b
cos
1 b x 2
lim
b
t
f (x) d x
t
t a
例1. 计算广义积分
解:
dx 1 x2
0
dx 1 x2
0
dx 1 x2
lim a
01 a 1 x2
dx lim b
b1 0 1 x2 dx
y
y
1 1 x2
lim a
基本问题： （1）将定积分的概念推广至积分区间 为无限区间； （2）考虑被积函数在积分区间上无界的情形。
一、无穷限的广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
A
dx 1 x2
其含义可理解为
A
lim
b
b 1
dx x2
lim b
lim
0
arcsin
x a
a
0
lim
0
arcsin
a
a
0
2
.
原式
arcsin x a
无穷限的广义积分
b
c
b
f ( x )dx
16
思考题
积分 ∫0
1
ln x dx 的瑕点是哪几点？ x −1
2010-1-4
广义积分(22)
17
思考题解答 积分 ∫0
1
ln x dx 可能的瑕点是 x = 0, x −1
x =1
ln x 1 = lim = 1, ∵ lim x →1 x x →1 x − 1
ln x ∵ lim =∞ x →0 x − 1
∴ x = 1 不是瑕点,
是瑕点,
∴ x=0
∴ ∫0
2010-1-4
1
ln x dx x −1
的瑕点是 x = 0.
广义积分(22) 18
2010-1-4 广义积分(22) 12
a −ε
1 例 6 证明广义积分 ∫0 q dx 当q < 1时收敛，当 x q ≥ 1时发散.
1
11 1 dx = ∫0 dx = [ln x ]1 = +∞ , 证 (1) q = 1, ∫0 q 0 x x ⎧+ ∞, q > 1 1− q 1 1 1 ⎡x ⎤ ⎪ ( 2) q ≠ 1, ∫ q dx = ⎢ ⎥ = ⎨ 1 ,q<1 0 x ⎣1 − q ⎦ 0 ⎪ ⎩1 − q 1 因此当q < 1时广义积分收敛，其值为 ； 1− q 当q ≥ 1时广义积分发散.
广义积分(22)
10
设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上除点 c (a < c < b ) 外连 续，而在点 c 的邻域内无界.如果两个广义积分
∫a f ( x )dx 和 ∫c
b
c
b
f ( x )dx 都收敛，则定义
无穷区间上的广义积分.
b
a
f
(
x
)dx
.
或 b f ( x)dx F ( x) b F (b) lim F (a) F(b) F(a)
a
a
xa
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散.
例1 计算广义积分
例题
41
41
1) 0
x dx , 2) 0 x2 dx
解 1） 因为 lim 1 , 所以 1 在x 0的右邻域无界.
x2
1 x
2
dx
1 3
2
1 x 1
1 x
1
dx
1 3
ln
x
1
ln
x
1 2
1 3
lim
b
ln
b1 b2
ln 4
1 3
ln 4.
例题
例6
证明广义积分
1
1 xp
dx
当
p
1时收敛，
当 p 1时发散.
证
(1)
p
1,1
1 xp
dx
1
1 x
dx
ln
x
1
,
(2)
p
1,
1
1 xp
dx
x1 p 1 p1
b
f ( x)dx
a
0 a
或
b f ( x)dx F ( x) b lim F ( x) F (a)
a
a xb
3）设 f ( x)在[a,b]上除点c (a c b)外连续，
lim
xc
f
(x)
.则
b
a
f
( x)dx
广义积分
3
3 3 2,
dx ( x 1) 3 dx
2 3
lim 1
0
2 3
3
2 3
0
( x 1)
3(1 3 2 ).
1 例 9 证明广义积分0 q dx 当q 1 时收敛，当 x q 1时发散.
1
11 1 1 证 (1) q 1, 0 q dx 0 dx ln x 0 , x x , q 1 1 q 1 1 1 x ( 2) q 1, q dx 1 0 x ,q1 1 q 0 1 q 1 因此当q 1 时广义积分收敛，其值为 ； 1 q 当q 1 时广义积分发散. 1
a x a
b
(2)f (x)在x b 无界, f ( x)dx F( x) |b F( x ) F(a ) a lim
a xb
b
( 3) f(x)在x c(a c b)无界,
a f ( x )dx a f ( x )dx c
xc
b
c
b
f ( x )dx
a
a
当 f ( x)dx, g( x)dx都收敛时
a
a
[f(x) g(x)]dx
a
f ( x)dx g( X)dx
a
0 dx dx dx 解 0 1 x 2 2 2 1 x 1 x b 1 0 1 lim dx lim a dx 2 b 0 1 x a 1 x 2
解 : sin xdx sin xdx sin xdx
sin xdx cos x |0 lim cos x 1不存在 0
广义积分的收敛判别法
ln x x
2019/4/26
b
1 4
1 4
x 0
x ln x x
3 4
1 4
1 x
3 4
据比较判别法2, 所给积分绝对收敛 .
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三、 函数
1. 定义
函数 : ( s ) x ( s 0 ) x ed
5
a t
lim x ) d x x ) d x f( f(
a
t
f( x ) d x 收敛 . 极限存在 , 即广义积分 a
若
a
f (x )d x发散 , 因为 t a时有
0 x ) d x ( x ) d x f( g
a a t t
3 2
2 的收敛性
.
x
1 1 1 1 2
根据极限判别法 1 , 该积分收敛 .
例3. 判别广义积分
解:
x d x 的收敛性 . 2 1 1 x 3 2 2 1 x x lim lim x2 1 2 2 x1 x x 1 x
根据极限判别法 1 , 该积分发散 .
0 , A a , 使 对 A , A A 都 有 0 0
|
A A
f (x)d x|.
证：利用无穷限广义积分收敛的定义以及 极限存在的Cauchy准则即得。
2019/4/26
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3
柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857）， 十九世纪前半世纪的法国数学家。1789年8月21日生 于巴黎。在大学毕业 后当土木工程师，因数学上的成
广义积分
二、无界函数的广义积分
【例7】
二、无界函数的广义积分
【例8】
下列算式是否正确？
二、无界函数的广义积分
二、无界函数的广义积分
二、无界函数的广义积分
思考
(1)本节学习了几种不同类型的广义积分？它与定积分有何 区别与联系？
(2)为什么要学习广义积分？什么情况下要用广义积分？
谢谢聆听
广义积分
一、无穷区间的广义积分
定义1
设f(x)在区间［a,+∞)内连续，任取b>a，若极限 limb→+∞ 存在，则称此极限为f(x)在区间［a,+∞)上的广义积 分，记作∫+∞af(x ，即
(5-7) 此时称广义积分∫+∞af(x 存在或收敛；否则称广义积分 ∫+∞af(x 没有意义或发散． 类似地，可定义f(x)在区间(－∞,b］上的广义积分
一、无穷区间的广义积分
注意分
【例3】
这个广义积分的几何意义是：当a→－∞，b→+∞时，虽然 图5-8中阴影部分向左、右无限延伸，但其面积却有极限值π．
图 5-8
二、无界函数的广义积分
定义3
此时称广义积分
存在或收敛；否则称广义积分
没有意义或发散．这种广义积分又称为瑕积分，a为瑕点．
类似地，可定义f(x)在区间［a,b)上的广义积分
二、无界函数的广义积分
定义4
否则，称其没有意义或发散．
二、无界函数的广义积分
【例4】
二、无界函数的广义积分
图 5-9
二、无界函数的广义积分
【例5】
注意
该题的结论一般要记住，可作为定理使用．
二、无界函数的广义积分
【例6】
10.2无界函数的反常积分
(
0
1
3
)
0
1
dx ( x 1)
2 3
lim 0
0
1
dx ( x 1)
2 3
3
3 3 2,
1
3
dx ( x 1)
3
2 3
lim 1
0
3
dx ( x 1)
3
2 3
0
dx ( x 1)
2 3
3(1
2 ).
10.2 无界函数的反常积分
一、无界函数的反常积分 二、无界函数敛散性判别法 三、反常积分的主值
一、无界函数的广义积分
定义: 设函数 f (x)在区间(a, b]上连续, 而在点 a 的 右邻域内无界, 取 > 0.如果极限
0 a
b
lim
b
f ( x)dx
存在,
则称此极限为函数 f (x)在(a, b]上的广义积分.
.
故原广义积分发散.
例5. 讨论瑕积分
解:
1 0
1 dx ( p > 0)的收敛性 . p x被积函数 f在(0,1] 连续,x = 0 是瑕点.由于.
1 1 p 1 1 1 p (1 u ), p 1, (0 u 1), 0 x p dx ln u, p 1
例4 解
计算广义积分
2
1
2
dx 2 dx lim 1 0 x ln x x ln x
2
1
dx . x ln x
lim 1
0
lim ln(ln x )
0
0
无界函数的广义积分
§10.2 无界函数的广义积分一 无界函数广义积分的概念定义1 设()f x 在x b =的临近无界（我们称b 点为()f x 的奇点），但对于任意充分小的正数η，()f x 在[],a b η-上可积，即lim ()b af x dx ηη+-→⎰存在时，称这极限值I 为无界函数()f x 在[,]a b 上的广义积分。
记作()0lim ()bb aaf x dx f x dx ηη+-→=⎰⎰。
如果上述的极限不存在，就称()baf x dx ⎰发散。
类似可定义()baf x dx ⎰（a 为奇点）.如果()f x 在[,]a b 内部有一个奇点c ，a c b <<，当()caf x d x ⎰和()bcf x dx ⎰都收敛时，就称()baf x dx ⎰收敛，并且有()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰。
如果上式右边的任何一个积分发散，就称()f x dx +∞-∞⎰发散。
例1：讨论积分()1bpadx x a -⎰()0p >的收敛性。
例2：讨论积分1⎰的收敛性。
二 无界函数积分的性质性质1 定积分的一些性质包括分部积分法和换元积分法对无界函数的广义积分也成立。
柯西收敛原理()baf x d x ⎰（x a =是奇点）收敛的充分必要条件是：0ε∀>，0δ∃>，当0,'ηηδ<<时，总有 ()'a a f x d x ηηε++<⎰.定义2 若积分()baf x dx ⎰（x a =是奇点）收敛，就称()b af x dx ⎰绝对收敛。
收敛但不绝对收敛的积分成为条件收敛。
定理2 绝对收敛的广义积分必收敛。
但反之不然。
三 无界函数广义积分的收敛性判别法1. 柯西判别法设x a =是()f x 的奇点，如果()f x ()p cx a ≤-()0c >，1p <，那么 ()baf x dx ⎰绝对收敛. 如果()()0()pcf x c x a >>-，1p ≥，那么()baf x d x ⎰发散。
1广义积分的概念与计算
发散 .
无穷限的广义积分也称为第一类广义积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该广义积分发散 .
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5
引入记号
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a f (x) dx F(x)
0
x2
1 x2
dx
1 d(x 1x) 0 (x 1x)2 2
0 dt 2 t2
(2) 当一题同时含两类广义积分时, 应划分积分区间,
分别讨论每一区间上的广义积分.
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18
(3) 有时需考虑主值意义下的广义积分. 其定义为
v.p. f (x) dx lim
边梯形的面积 可记作
y
A
dx 1 x2
其含义可理解为
y
1 x2
A lim b
b 1
dx x2
lim b
1 x
b 1
A O1
b
x
lim 1 b
1 b
1
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3
定义1. 设 f (x)C[a, ), 取b a, 若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限广义积分, 记作
a
f (x) dx
a a
b
v.p.a f (x) dx
(c为瑕点, a c b)
lim
0
c
a
f (x)dx
b
c
f (x) dx
注意: 主值意义下广义积分存在不等于一般意义下广 义积分收敛 .
§2广义积分的收敛判别法
的收敛性 .
解:
由比较判别法 1 可知原积分收敛 . 思考题: 讨论广义积分 提示: 当 x≥1 时, 利用
的收敛性 .
可知原积分发散 .
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8
定理5. (极限判别法1)
满足
lim x p f (x) l
x
则有: 1) 当
2) 当
证: 1) 当p 1时, 根据极限定义, 对取定的
(1
1
x)2
1 (1 x2 )(1 k 2x2 )
x
则有: 1) 当
2) 当
例5.
判别广义积分
3
1
dx ln x
的敛散性
.
解: 此处 x 1为瑕点, 利用洛必达法则得
根据极限判别法2 , 所给积分发散 .
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16
1
例6. 判定椭圆积分
dx
(k 2 1) 的收
0 (1 x2 )(1 k 2 x2 )
敛性 .
解: 此处 x 1为瑕点, 由于
解:
lim x2 x x
1 1 x2
lim
x
根据极限判别法 1 , 该积分收敛 .
1 1
1 x2
1
3
例3. 判别广义积分
x2 1 1 x2
dx
的收敛性 .
解:
3
lim
x
x
1 2
1
x
2
x
2
lim x 1
x2 x
2
1
根据极限判别法 1 , 该积分发散 .
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1广义积分的概念与计算
2019/7/10
主讲人：陈志勇副教授
宁波大学教师教育学院
1
§1 广义积分的概念与计算
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
广义积分
一、无穷限的广义积分
二、无界函数的广义积分
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2
一、无穷限的广义积分
引例. 曲线
和直线 及 x 轴所围成的开口曲
当k为何值时，这广义积分发散？又当k为何值时， 这广义积分取得最小值？
提示：
d x
2 x (ln x)k
d(ln x) 2 (ln x)k
当k 1时,
I
(k)
2
x
dx (ln x)k
(k
1 1)(ln
2)k
1
令 f (k) (k 1)(ln 2)k1, 求其最大值 .
lim c1 f (x) dx lim b f (x) dx
10 a
2 0 c2
无界函数的积分又称作第二类广义积分, 无界点常称
为瑕点(奇点) .
说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类
间断点, 则本质上是常义积分, 而不是广义积分.
例如,
2019/7/10
2019/7/10
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14
例6. 证明广义积分
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
时发散 .
证: 当 q = 1 时,
ln
x
a
b a
当 q≠1 时
(x a)1q 1 q
高数 反常积分 知识点与例题精讲
例1
计算广义积分
2
1 x2
sin
1 x
dx.
解
2
1 x2
sin
1 x
dx
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b
2
sin
1 x
d
1 x
lim
b
cos
1b x 2
lim
b
cos
1 b
cos
2
1.
例2
计算广义积分
1
dx x
2
.
解法1:
dx 1 x2
0
dx 1 x2
dx 0 1 x2
lim a
0
a1
1 x2
dx
lim
b
b1 0 1 x2 dx
lim arctan
1 p
0
e
pt
d
t
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二、无界函数的广义积分
引例:曲线
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积 可记作
所围成的
其含义可理解为
A
lim
0
1
dx x
lim
0
2
1 x
lim 2(1 ) 2
0
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注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质否, 则会出现错误 .
5-4 反常积分
b
2
sin
1 x
d
1 x
lim
b
cos
1 x
b 2
blimcos
1 b
cos
2
1.
如果 F ( x)是 f ( x) 的原函数, 引入记号
F() lim F( x) ; F() lim F( x)
x
x
则这类积分有类似的基本积分公式 :
a f ( x)d x F ( x) a F() F(a)
第四节 广义积分
积分区间有限 常义积分
被积函数有界 推广
无穷区间上的广义积分 常义积分的极限
无界函数的广义积分
一、无穷区间上的广义积分
定义 1 设函数 f ( x)在区间[a,)上连续，取
b
a
，如果极限
lim
b
b
a
f
(
x
)dx
存在，则称此极
限为函数 f ( x) 在无穷区间[a,) 上的广义积
分，记作 a
f ( x)d x F(b) F(c ) F(c ) F(a) a
例5 计算广义积分 a dx 0 a2 x2
解 lim 1 , xa0 a2 x2
(a 0).
x a 为被积函数的无穷间断点.
a dx
t
lim
dx
0 a2 x2 ta 0 a2 x2
lim
t a
b p
p
e
ap
p
,
,
p0 p0
即当 p 0时收敛，当p 0 时发散.
二. 无界函数的广义积分
曲线 y 1 与x轴,y轴和直线 x 1所围成的
x
开口曲边梯形的面积 可记作
§2广义积分的收敛判别法
s
xs1 exd x
0
0
s (s)
注意到: (1) n N , 有
0
e
x
d
x
1
(n 1) n(n) n(n 1)(n 1)
n!(1)
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(2) 当s 0时, (s) .
Dirichlet是Gauss的学生和继承人。他毕生敬仰Gauss.他说Gauss的讲课是“一 生所听过的最好，最难忘的课。”1855年，Gauss逝世后，他作为Gauss的继承者被哥 丁根大学聘为教授，接替Gauss原任的职务，直到逝世。
a
0
1
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
因此无穷限广义积分的收敛判别法完全可平移到无界函数
的广义积分中来 .
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14
利用
b
a (
x
1 a)
q
dx
收敛 , 发散 ,
q 1 q 1
类似定理 4 与定理 5，有如下的收敛判别法.
当0 s 1时,
x s 1
ex
1 x1s
e1x
1 x1s
而1 s 1, 根据比较判别法2知I1 收敛.
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19
I2
xs1 exd x
1
2) 讨论 I2 .
( x s 1
ex )
lim
第四节 反常积分 无穷限广义积分 无界函数的广义积分
例 3 证明广义积分 当 p 1 时发散.
1 x
p
1
dx 当 p 1 时收敛，
证 (1) p 1,1
1 x
dx p
1
1 x
dx ln x 1 ,
, p 1 1 x ( 2) p 1, dx p 1 , p1 1 x 1 p 1 p1 1 因此当 p 1 时广义积分收敛，其值为 ； p1 当 p 1 时广义积分发散.
即当 p 0 时收敛，当 p 0 时发散.
二、无界函数的广义积分
定义 2 设函数 f ( x ) 在区间( a , b] 上连续，而在 点 a 的 右 邻 域 内 无 界 ． 取 0 ， 如 果 极 限
0 a
lim
b
f ( x )dx 存在，则称此极限为函数 f ( x )
2
sin
1 x
dx .
1 x
2
sin 2
b
1 x
dx 2 sin
1 1 d x x
b
lim
b
2
1 1 1 sin d lim cos b x2 x x
1 lim cos cos 1. b b 2
a
f ( x )dx .
a
f ( x )dx lim
a f ( x )dx b
b
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
类似地，设函数 f ( x ) 在区间( , b] 上连续，取
高数B 第六章 广义积分习题课
a
x 1 dx p x 1
1 p
p a
a 1 p 1 p ,
,
p 1;
p 1;
当p 1时，广义积分收敛； p 1时，广义积分发散 当 .
y
y
常 义 积 分
o
a
⑴
b
x
o
a
⑵
b
x
广 义 积 分
y
y
o
a
⑶
b
x
o
a
⑷
x
三、 函数
1 1 1 Q e x 1 s x 1 s , x e x 而 1 s 1, 根据比较审敛法 , I1 收敛. 2
x s 1
x s 1 ( 2) Q lim x 2 (e x x s 1 ) lim x 0, x x e
根据极限审敛法 , I 2 也收敛. 1
例6 计算 2
解
1 dx. 2 x x2
？
1 dx 2 2 x x2 1 1 1 b b lim 2 dx b 2 lim dx 3 b x 1 x 1 1 lim ln b 1 lim b 2 ln 4 ln b 3 b 1 Q lim ln b 1 不存在 2 dx发散. 2 b x x2
1 n n m n 1 lim ln x ln xdx 0 m 1 m 1 n I n 1 m 1 m 1
nn 1 n! n 1 In 2 I n 2 1 n 1 I 1 m 1 m 1
a
b
无界函数的广义积分
b
a f (x)dx 收敛，并定义
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
否则，就称广义积分ab f ( x)dx 发散.
a dx
例1 计算广义积分 0
a2 x2
解
lim 1 , xa0 a2 x2
(a 0).
x a 为被积函数的无穷间断点.
a dx lim a dx
3 dx
1
2
( x 1)3
lim 0
3 dx
1
2
( x 1)3
3 3 2,
3 dx
0
2
( x 1)3
3(1 3
2).
思考题
积分
1
0
ln x x1
dx
的瑕点是哪几点？
思考题解答
积分
1
0
ln x x1
dx
可能的瑕点是
x
0,
x1
lim ln x lim 1 1, x 1 不是瑕点, x1 x 1 x1 x
1
0
ln x dx 的瑕点是
x1
x
0.
柯西收敛准质
定理(柯西准则) 瑕积分ab f ( x)dx （瑕点
为 a）收敛的充要条件是：任给 0 ，存在
0，只要u1, u2 (a,a )，总有
b
u1
f
( x)dx
b
u2
f
( x)dx
u2
u1
f
( x)dx
二、瑕积分的性质
性质 1 设函数f1 与f2 的瑕点同为 x a ， ,
为任意常数，若
b
a
f1
(
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§10.2 无界函数的广义积分
一 无界函数广义积分的概念
定义1 设()f x 在x b =的临近无界（我们称b 点为()f x 的奇点），但对于任意充分小的正数η，()f x 在[],a b η-上可积，即
lim ()b a
f x dx η
η+-→⎰
存在时，称这极限值I 为无界函数()f x 在[,]a b 上的广义积分。
记作
()0
lim ()b
b a
a
f x dx f x dx η
η+-→=⎰
⎰。
如果上述的极限不存在，就称()b
a
f x dx ⎰发散。
类似可定义
()b
a
f x dx ⎰（a 为奇点）.
如果()f x 在[,]a b 内部有一个奇点c ，a c b <<，当()c
a
f x d x ⎰
和()b
c
f x dx ⎰都收敛时，
就称
()b
a
f x dx ⎰收敛，并且有
()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+⎰
⎰⎰。
如果上式右边的任何一个积分发散，就称()f x dx +∞
-∞
⎰
发散。
例1：讨论积分
()
1
b
p
a
dx x a -⎰()0p >的收敛性。
例2：讨论积分
1
⎰
的收敛性。
二 无界函数积分的性质
性质1 定积分的一些性质包括分部积分法和换元积分法对无界函数的广义积分也成立。
柯西收敛原理
()b
a
f x d x ⎰（
x a =是奇点）收敛的充分必要条件是：0ε∀>，0δ∃>，当0,'ηηδ<<时，总有 ()'
a a f x d x ηη
ε++<⎰
.
定义2 若积分
()b
a
f x dx ⎰（x a =是奇点）收敛，就称()b a
f x dx ⎰绝对收敛。
收敛但不
绝对收敛的积分成为条件收敛。
定理2 绝对收敛的广义积分必收敛。
但反之不然。
三 无界函数广义积分的收敛性判别法
1. 柯西判别法
设x a =是()f x 的奇点，如果()f x ()
p c
x a ≤
-()0c >，1p <，那么 ()b
a
f x dx ⎰
绝对收敛. 如果()()0()p
c
f x c x a >>-，1p ≥，那么
()
b
a
f x d x ⎰发散。
2. 柯西判别法的极限形式
如果 ()lim p
x x
f x l →+∞
=， 则
（1）当0l ≤<+∞时，1p >，那么积分
()a f x dx +∞
⎰绝对收敛； （2）当0l <≤+∞时，1p ≤，那么积分
()a
f x dx +∞
⎰
发散。
例3：求下列广义积分：
1
⎰
1-⎰
例4：讨论广义积分
1
0⎰的收敛性。
定义3 设()f x 在[],a b 内无界，c 是唯一的奇点, 如果
()()0
l i m
c b
a
c f x dx f x dx η
η
η-+→⎡⎤+⎢⎥⎣
⎦
⎰⎰
存在，我们就称此极限为广义积分
()b a
f x dx ⎰的柯西主值，记为
()()()0..lim b
c b
a
a c PV f x dx f x dx f x dx ηηη-+→⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
⎰
⎰⎰.
同样，对于无穷限的广义积分，柯西主值为
()()..lim
A
A
A PV f x dx f x dx +∞
-∞
-→+∞=⎰
⎰
例5：设a c b <<，求
1
b
a
dx x c
-⎰
的主值. 例6 讨论反常积分⎰-1
121dx x
的收敛性.
解: 函数21x
在区间[-1, 1]上除x =0外连续, 且∞=→201lim x x .由于
+∞=--=-=-→--⎰1)1(lim ]1[100
1012x x dx x
x , 即反常积分⎰-0121dx x 发散, 所以反常积分⎰-1
121dx x
发散.
例7 讨论反常积分⎰-b
a q
a x dx )(的敛散性.
解: 当q =1时, +∞=-=-=-⎰⎰b a b a b
a q a x a
x dx a x dx )][ln()(.
当q >1时, +∞=--=--⎰b a q b
a q a x q
a x dx 1])(11[)(. 当q <1时,
q b a q b
a q a
b q a x q
a x dx ----=--=-⎰1 1)(11])(11[)(. 因此, 当q <1时, 此反常积分收敛, 其值为q a
b q ---1)(11; 当q ≥1时, 此反常积分发散.。