高三数学一轮复习 数学归纳法 理 新人教B版
高考数学总复习 11-4 数学归纳法(理)但因为测试 新人教B版
高考数学总复习 11-4 数学归纳法(理)但因为测试 新人教B 版1.(2011·威海模拟)在用数学归纳法证明“2n >n 2对从n 0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n 0等于( )A ．1B ．3C ．5D ．7[答案] C[解析] n 的取值与2n，n 2的取值如下表：2．(2011·厦门月考、日照模拟)用数学归纳法证明：“(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n·1·3·…·(2n －1)”，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”左端需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1[答案] B[解析] n ＝k 时，左端为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )；n ＝k ＋1时，左端为[(k ＋1)＋1]·[(k ＋1)＋2]…[(k ＋1)＋(k ＋1)]＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )·(k ＋k ＋1)·(k ＋k ＋2)＝2(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)，故左端增加了2(2k ＋1)．3．若f (n )＝1＋12＋13＋14＋…＋16n －1(n ∈N ＋)，则f (1)为( )A ．1B.15C ．1＋12＋13＋14＋15D ．非以上答案[答案] C[解析] 注意f (n )的项的构成规律，各项分子都是1，分母是从1到6n －1的自然数，故f (1)＝1＋12＋13＋14＋15.4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得( )A ．n ＝6时该命题不成立B ．n ＝6时该命题成立C ．n ＝4时该命题不成立D ．n ＝4时该命题成立[答案] C[解析] ∵“若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则当n ＝k ＋1时，该命题也成立”，故若n ＝4时命题成立，则n ＝5时命题也应成立，现已知n ＝5时，命题不成立，故n ＝4时，命题也不成立．[点评] 可用逆否法判断． 5．观察下式：1＋3＝221＋3＋5＝32 1＋3＋5＋7＝42 1＋3＋5＋7＋9＝52……据此你可归纳猜想出的一般结论为( ) A ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N *) B ．1＋3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n 2(n ∈N *) C ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝(n ＋1)2(n ∈N *) D ．1＋3＋5＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)2(n ∈N *) [答案] D[解析] 观察可见第n 行左边有n ＋1个奇数，右边是(n ＋1)2，故选D.6．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去……则第n 个图共挖去小正方形( )A ．(8n－1)个 B ．(8n＋1)个 C.17(8n－1)个 D.17(8n＋1)个 [答案] C[解析] 第1个图挖去1个，第2个图挖去1＋8个，第3个图挖去1＋8＋82个……第n 个图挖去1＋8＋82＋…＋8n －1＝8n－17个．7．(2011·徐州模拟)用数学归纳法证明命题“当n 为正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”，第二步假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．[答案] n ＝2k ＋18．(2010·吉林市检测、浙江金华十校联考)观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……，则可以猜想：当n ≥2时，有__________________． [答案] 1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n(n ≥2)[解析] 观察式子左边都是自然数的平方的倒数求和，右边分母为左边的项数，分子为项数的2倍减1，故右边表达式为2n －1n.9．已知点列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a (a >0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…A n 是线段A n －2A n －1的中点，…，(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1，a 2，a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明． [解析] (1)当n ≥3时，x n ＝x n －1＋x n －22.(2)a 1＝x 2－x 1＝a ，a 2＝x 3－x 2＝x 2＋x 12－x 2＝－12(x 2－x 1)＝－12a ，a 3＝x 4－x 3＝x 3＋x 22－x 3＝－12(x 3－x 2)＝14a ，由此推测a n ＝(－12)n －1a (n ∈N *)．证法1：因为a 1＝a >0，且a n ＝x n ＋1－x n ＝x n ＋x n －12－x n ＝x n －1－x n 2＝－12(x n －x n －1)＝－12a n －1(n ≥2)，所以a n ＝(－12)n －1a .证法2：用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，a 1＝x 2－x 1＝a ＝(－12)0a ，公式成立．(2)假设当n ＝k 时，公式成立，即a k ＝(－12)k －1a 成立．那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋1＋x k 2－x k ＋1＝－12(x k ＋1－x k )＝－12a k ＝－12(－12)k －1a ＝(－12)(k ＋1)－1a ，公式仍成立，根据(1)和(2)可知，对任意n ∈N *，公式a n ＝(－12)n －1a 成立．10．已知正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N *均有a 2n ≤a n －a n ＋1成立． (1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1； (2)探究a n 与1n的大小，并证明你的结论．[解析] (1)由a 2n ≤a n －a n ＋1得a n ＋1≤a n －a 2n . ∵在数列{a n }中a n >0，∴a n ＋1>0， ∴a n －a 2n >0，∴0<a n <1，故数列{a n }中的任何一项都小于1. (2)解法1：由(1)知0<a n <1＝11，那么a 2≤a 1－a 21＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－122＋14≤14<12，由此猜想：a n <1n .下面用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N 时猜想正确． ①当n ＝2时，显然成立；②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N)时，有a k <1k ≤12成立．那么a k ＋1≤a k －a 2k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k －122＋14<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －122＋14＝1k －1k 2＝k －1k 2<k －1k 2－1＝1k ＋1，∴当n ＝k ＋1时，猜想也正确． 综上所述，对于一切n ∈N *，都有a n <1n.解法2：由a 2n ≤a n －a n ＋1， 得0<a k ＋1≤a k －a 2k ＝a k (1－a k )， ∵0<a k <1，∴1a k ＋1≥1a k 1－a k ＝1a k ＋11－a k，∴1a k ＋1－1a k ≥11－a k>1. 令k ＝1,2,3，…，n －1得： 1a 2－1a 1>1，1a 3－1a 2>1，…，1a n －1a n －1>1，∴1a n >1a 1＋n －1>n ，∴a n <1n.11.用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－an ＋21－a(a ≠1，n ∈N ＋)，在验证n ＝1成立时，左边的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] C[解析] 左边项的指数规律是从第2项起指数为正整数列，故n ＝1时，应为1＋a ＋a 2. 12．凸k 边形内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋________. [答案] π[解析] 将k ＋1边形A 1A 2…A k A k ＋1的顶点A 1与A k 连接，则原k ＋1边形分为k 边形A 1A 2…A k与三角形A 1A k A k ＋1，显见有f (k ＋1)＝f (k )＋π.13．(2010·南京调研)已知：(x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n(n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值． (2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n n ＋1n －13.[解析] (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243. (2)因为(x ＋1)n＝[2＋(x －1)]n，所以a 2＝C 2n ·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C 2n ＝n (n －1)(n ≥2)①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2， 右边＝22＋12－13＝2，左边＝右边，等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立， 即T k ＝k k ＋1k －13成立那么，当n ＝k ＋1时， 左边＝T k ＋b k ＋1＝k k ＋1k －13＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k k ＋1k －13＋k (k＋1)＝k (k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫k －13＋1＝k k ＋1k ＋23＝k ＋1[k ＋1＋1][k ＋1－1]3＝右边．故当n ＝k ＋1时，等式成立． 综上①②，当n ≥2时，T n ＝n n ＋1n －13.14．已知f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n(n 为正偶数)且{a n }为等差数列，f (1)＝n 2，f (－1)＝n ，试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12与3的大小，并证明你的结论． [解析] 由f (1)＝n 2，f (－1)＝n 得，a 1＝1，d ＝2.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －1)· ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n， 两边同乘以12得，12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋(2n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，两式相减得，12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －(2n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－(2n－1)12n ＋1.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3－2n ＋32n <3. 15．证明：当n ∈N *时，1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)．[证明] (1)当n ＝1时，由于ln2<ln e ＝1，故不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立． 则1＋12＋13＋…＋1k>ln(1＋k )．则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1>1k ＋1＋ln(k ＋1)．要证不等式成立，只需证明ln(k ＋2)<1k ＋1＋ln(k ＋1)成立． 要证明此不等式成立只需证明 1k ＋1>ln(k ＋2k ＋1)＝ln(1＋1k ＋1)． 下面构造函数f (x )＝ln(1＋x )－x (x >0)． ∵f ′(x )＝11＋x －1＝－x 1＋x<0，∴f (x )＝ln(1＋x )－x 在(0，＋∞)上是减函数， ∴f (x )<f (0)， 即ln(1＋x )<x . 令x ＝1k ＋1得ln(1＋1k ＋1)<11＋k. 即不等式ln(k ＋2)<1k ＋1＋ln(1＋k )成立， 所以1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1>ln(k ＋2)成立．由(1)、(2)可知对n ∈N *，不等式1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)成立．[点评] 利用数学归纳法证明涉及与指数式、对数式有关的不等式时，在由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，可以通过构造函数，利用函数的单调性得到需要证明的不等式，这是近年来函数、不等式、数学归纳法结合在一起综合考查的热点问题，要加深对此法的理解与应用．1．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，第四个图有37个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 幅图的蜂巢总数，则f (6)＝( )A ．53B ．73C ．91D ．97[答案] B[解析] f (1)＝1×6－6＋1；f (2)＝2×6－6＋f (1)； f (3)＝3×6－6＋f (2)； f (4)＝4×6－6＋f (3)；… f (n )＝n ×6－6＋f (n －1)．以上各式相加得f (n )＝(1＋2＋3＋…＋n )×6－6n ＋1＝3n 2－3n ＋1，∴f (6)＝3×62－3×6＋1＝73.2．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 因为凸n 边形的边数最少为3，故验证的第一个值n 0＝3.3．(2010·辽宁沈阳质检)用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10 [答案] B[解析] 等式左端＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1，将选项中的值代入验证可知n 的最小值为8.4．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立 C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )>k 2成立 D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立 [答案] D[解析] 对于A ，f (3)≥9，加上题设可推出当k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立，故A 错误． 对于B ，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B 错误． 对于C ，没有奠基部分，即没有f (8)≥82，故C 错误．对于D ，f (4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D. 5．(2011·济南模拟)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22时，当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.k ＋14＋k ＋122D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2[答案] D6．(2011·湖南理，22)已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x ＋x . (1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数，并说明理由；(2)设数列{a n }(n ∈N *)满足a 1＝a (a >0)，f (a n ＋1)＝g (a n )，证明：存在常数M ，使得对于任意的n ∈N *，都有a n ≤M .[解析] (1)由h (x )＝x 3－x －x 知，x ∈[0，＋∞)，而h (0)＝0，且h (1)＝－1<0，h (2)＝6－2>0，则x ＝0为h (x )的一个零点，且h (x )在(1,2)内有零点．因此h (x )至少有两个零点．解法1：h ′(x )＝3x 2－1－12x － 12 ，记φ(x )＝3x 2－1－12x － 12 ，则φ′(x )＝6x ＋14x － 32.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．又因为φ(1)>0，φ(33)<0，则φ(x )在(33，1)内有零点，所以φ(x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点．记此零点为x 1，则当x ∈(0，x 1)时，φ(x )<φ(x 1)＝0；当x ∈(x 1，＋∞)时，φ(x )>φ(x 1)＝0.所以当x ∈(0，x 1)时，h (x )单调递减，而h (0)＝0，则h (x )在(0，x 1]内无零点；当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )单调递增，则h (x )在(x 1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h (x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．解法2：由h (x )＝x (x 2－1－x － 12)，记φ(x )＝x 2－1－x－ 12，则φ′(x )＝2x ＋12x － 32.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，从而φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)内也至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．(2)记h (x )的正零点为x 0，即x 30＝x 0＋x 0. ①当a <x 0时，由a 1＝a ，即a 1<x 0.而a 32＝a 1＋a 1<x 0＋x 0＝x 30，因此a 2<x 0，由此猜测：a n <x 0，下面用数学归纳法证明． a ．当n ＝1时，a 1<x 0显然成立．b．假设当n＝k(k≥1)时，a k<x0成立，则当n＝k＋1时，由a3k＋1＝a k＋a k<x0＋x0＝x30知，a k＋1<x0.因此，当n＝k＋1时，a k＋1<x0成立．故对任意的n∈N*，a n<x0成立．②当a≥x0时，由(1)知，h(x)在(x0，＋∞)上单调递增，则h(a)≥h(x0)＝0，即a3≥a ＋a，从而a32＝a1＋a1＝a＋a≤a3，即a2≤a.由此猜测：a n≤a，下面用数学归纳法证明．a．当n＝1时，a1≤a显然成立．b．假设当n＝k(k≥2)时，a k≤a成立，则当n＝k＋1时，由a3k＋1＝a k＋a k≤a＋a≤a3知，a k＋1≤a.因此，当n＝k＋1时，a k＋1≤a成立．故对任意的n∈N*，a n≤a成立．综上所述，存在常数M＝max{x0，a}，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M.。
5.5+数学归纳法-新教材高中数学选择性必修第三册 (人教B版)
课
作
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探 究
由(1)(2)可知，对一切 n∈N*，原等式均成立．
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探
用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题，关键在于“先看 提
新
素
知 项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少 养
合 作
与 n 的取值是否有关，由 n＝k 到 n＝k＋1 时，等式两边会增加多少
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＝13(k＋1)[4(k＋1)2－1]，
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即当 n＝k＋1 时，等式成立．
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由(1)(2)知，对一切 n∈N*等式成立.
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用数学归纳法证明不等式
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【例 2】
证明：不等式
1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
提 素 养
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[证明]
究
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难
(1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝2×3×1＋1 1＝1，不等式成
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高中数学(人教B版)选择性必修三：数学归纳法【精品课件】
[基础自测]
1．一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三 角形，第 n 层和第 n＋1 层花盆总数分别是 f(n)和 f(n＋1)，则 f(n) 与 f(n＋1)的关系为( )
A．f(n＋1)－f(n)＝n＋1 B．f(n＋1)－f(n)＝n C．f(n＋1)－f(n)＝2n D．f(n＋1)－f(n)＝1
ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1. 由归纳假设，得上式中的两项均能被 a2＋a＋1 整除，故 n ＝k＋1 时命题成立． 由(1)(2)知，对 n∈N＋，命题成立．
故 f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2. ∴当 n＝k＋1 时，结论正确． 由(1)(2)可知，上述结论对一切 n≥2 均成立．
题型五 数学归纳法证明不等式 例 5 已知 Sn＝1＋12＋13＋…＋1n(n>1，n∈N＋)，求证：S2n>1 ＋n2(n≥2，n∈N＋)．
状元随笔 对于多项式 A，B，如果 A＝BC，C 也是多项
式，那么 A 能被 B 整除．若 A，B 都能被 C 整除，则 A＋B，A －B 也能被 C 整除．
方法归纳
利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数 因式积的形式．这就往往要涉及到“添项”“减项”与“因式分 解”等变形技巧，凑出 n＝k 时的情形，从而利用归纳假设使问 题得证．
状元随笔 注意左端特征，共有 n＋2 项，首项为 1，最后 一项为 an＋1.
方法归纳
1．验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的 初始值不一定为 1.
2020届高考数学(人教B版)一轮复习数学归纳法(理)学案
数学归纳法【学习目标】1．理解数学归纳法的原理及适用范围．掌握数学归纳法证题的思路和特点。
2．能够利用数学归纳法证明与正整数有关的命题。
【要点梳理】知识点一、数学归纳法的原理1.数学归纳法定义:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法要点诠释：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k ∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.2.数学归纳法的原理：数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法。
它的证明共分两步：①证明了第一步，就获得了递推的基础。
但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；②证明了第二步，就获得了递推的依据。
但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论。
其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）。
3.数学归纳法的功能和适用范围1.数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎（直接验证和演绎推理相结合）过程.2. 数学归纳法一般被用于证明某些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。
但是，并不能简单地说所有与正整数n有关的数学命题都可使用数学归纳法证明。
知识点二、运用数学归纳法的步骤与技巧1 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确2．用数学归纳法证题的注意事项（1）弄错起始n0．n0不一定恒为1，也可能n0=2或3（即起点问题）．（2）对项数估算错误．特别是当寻找n=k与n=k+1的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）．（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）．（4）关键步骤含糊不清．“假设n=k时结论成立，利用此假设证明n=k+1时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）．3.用数学归纳法证题的关键：运用数学归纳法由n=k到n=k+l的证明是证明的难点，突破难点的关键是掌握由n=k到n=k+1的推证方法．在运用归纳假设时，应分析由n=k到n=k+1的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从n=k+1时分离出n=k时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利过渡．知识点三、用数学归纳法证题的类型：1.用数学归纳法证明与正整数n有关的恒等式；对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．2.用数学归纳法证明与正整数n有关的整除性问题；用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。
高考理科第一轮复习课件(6.7数学归纳法)
1.用数学归纳法证明2n≥n2(n≥4,n∈N+)第一步应验证n等
于(
(A)1
)
(B)2 (C)3 (D)4
【解析】选D.由n≥4,n∈N+可知,应验证n=4时不等式成立.
2.若 f n 1 1 1
1 则f(1)为( n N ， 2 3 5n 1 1 A 1 B 4 1 1 1 1 C 1 D 1 4 2 3 4 【解析】选D. f 1 1 1 1 1 . 2 3 4
(3n 2＋ ＋ 11n 10)
对一切n∈N+都成立．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，由上面可知等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1,k∈N+)时等式成立，
即 122＋232＋＋k k＋ 2 ＝ k k 1 3k 2＋ ＋ ， 1 11k 10
12
则当n＝k+1时，
2k 1 2k 2 k 1
=(k+1)(k+2)„(k+k)·2(2k+1), 所以多乘了2(2k+1).
5．在数列{an}中，a1＝ 1 且Sn=n(2n-1)an，通过求a2，a3，
3
a4，猜想an的表达式，其结果是. 【解析】由 a1＝1 且Sn=n(2n-1)an得， 2＝ 1 ，a 3＝ 1 ，a 4＝ 1 ， a
)
3．用数学归纳法证明：＋ 1 1＋ ＋ 1
2 3
1 n (n∈N+且n>1) n 2 1
时，在第二步证明从 n＝k 到 n＝k＋1 成立时，左边增加 的项数是( (A)2k ) (B)2k-1 (C)2k-1 (D)2k+1
高三数学第一轮复习：4-5 第一章 不等式的基本性质(理)人教实验B版 知识精讲
高三数学第一轮复习：4－5 第一章 不等式的基本性质（理）人教实验B 版【本讲教育信息】一. 教学内容：4－5 / 第一章 / 不等式的基本性质、基本不等式；不等式的解法二. 教学目的：1、巩固不等式的基本性质、拓展基本不等式相关知识；2、掌握一元一次不等式、一元二次不等式及绝对值不等式的解法三. 教学重点、难点基本不等式的知识拓展；绝对值不等式的解法四. 知识分析【不等式的基本性质】1、不等式的基本性质：对于任意的实数a ，b ，有000a b a b a b a b a b a b ->⇔>⎧⎪-=⇔=⎨⎪-<⇔<⎩，这三条基本性质是差值比较法的理论依据．2、不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面． 【单向性】（1）c a c b ,b a >⇒>>（2）d b c a d c ,b a +>+⇒>> （3）bc ac 0c ,b a >⇒>> （4）bc ac 0c ,b a <⇒<>（5）bd ac 0d c ,0b a >⇒>>>>（6）n n b a R n ,0b a >⇒∈>>+ 【双向性】（1）000a b a b a b a b a b a b ->⇔>⎧⎪-=⇔=⎨⎪-<⇔<⎩（2）a b b a >⇔<（3）a b a c b c >⇔+>+单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础（当然也可用于证明不等式），由于单向性（3）、（4）的逆命题都成立，所以它们也可用于解不等式，在应用单向性（6）解无理不等式和形如nx a >的高次不等式时，若n 为偶数时要注意讨论． 3、要注意不等式性质成立的条件．例如，在应用“11,0a b ab a b>>⇒<”这一性质时，有些同学要么是弱化了条件，得11a b a b>⇒<，要么是强化了条件，而得110a b a b>>⇒<【基本不等式】定理1 设R b ,a ∈，则ab 2b a 22≥+，当且仅当b a =时，等号成立。
《数学归纳法》新课程高中数学高三一轮复习课件
②假设 n＝k 时，原结论成立 即：1＋12＋13＋…＋2k－1 1>2k成立． 当 n＝k＋1 时， 左边＝1＋12＋…＋2k－1 1＋21k＋…＋2k＋11－1>2k＋ 21k＋2k＋1 1＋…＋2k＋11－1>2k＋2k＋11－1＋2k＋11－1＋…＋ 2k＋11－1＝2k＋2k＋21k－1>2k＋12＝k＋2 1
高考总复习 ·数学 ·B版（文）
(2)b1＝lg12＝c1；b2＝lg(12＋18)＝lg58， c2＝lg68，b2<c2； b3＝lg4792，c3＝lg1102＝lg6702，∴b3<c3. 猜测：bn≤cn.
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用数学归纳法证明如下：
[证明] (数学归纳法)
①验证 n＝1，n＝2 时 bn≤cn 成立． ②假设 n＝k 时，bk≤ck 成立． 即 lg(S11＋S12＋…＋S1k)≤lg4akk成立，等价于：S11＋S12 ＋…＋S1k≤4akk ≤＝1－21k. 则当 n＝k＋1 时，S11＋S12＋…＋S1k＋Sk1＋1≤1－21k＋ 2(k＋1 1)2，
高考总复习 ·数学 ·B版（文）
[解] (1)由 f(x)＝x－2 2x＋2，可求得 f－1(x) ＝x＋2 2x＋2，
由 Sn＝f－1(Sn－1)，Sn＝( Sn－1＋ 2)2， ∴ Sn－ Sn－1＝ 2， ∴{ Sn}为等差数列， S1＝ a1＝ 2， ∴Sn＝2·n2， ∴n≥2 时，an＝2(2n－1)，当 n＝1 时，2(2n －1)＝2， ∴an＝2(2n－1)(n∈N＋)．
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1．用数学归纳法证题的方法步骤： (1)验证当n＝n0(命题中最小的正整数)时命题
高中数学(理)一轮复习课件：第3章 第24讲 数学归纳法
3.用数学归纳法证明： 1 2 22 2n 1 2n 1(n N* ) 的过程如下： ①当n 1时，左边 211 1，右边 21 1 1，等 式成立；②假设n k时等式成立，即1 2 22 2k 1
1.用数学归纳法证明“1 x x x
2
n 1
1 xn2 ( x 1，n N* )”，验证n 1成立时， 1 x 2 1 x x 左边的项是 .
解析：当n=1时，左边式子是二次式，为 1+x+x2.
2.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k+1边形的内 p 角和f(k+1)=f(k)+_____ .
பைடு நூலகம்
=81×34k+2+25×52k+1
=25(34k+2+52k+1)+56×34k+2.
数学归纳法在证 明等式中的应用 【例1】是否存在常数a、b、c使得等式
n(n 1) (an2+bn+c)对 12
。1· 22+2· 32+…+n(n+1)2=
一切正整数n都成立？证明你的结论.
【解析】假设存在常数a、b、c使得等式对一切 正整数n都成立， 则对n 1, 2, 3等式都成立， a b c 24 a3 即 4a 2b c 44，解得 b 11. 9a 3b c 70 c 10
k
其中f x 是x的k－1次多项式．
2 则当n＝k＋1时，
高考数学一轮总复习 12.5 数学归纳法精品课件 理 新人
考纲要求
-2-
1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
梳理自测
-3-
1.数学归纳法是证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当 n 取 第一个值 n0(n0∈N*) 时命题成立.
(2)(归纳递推)假设 n=k(k≥k0,k∈N*)时命题成立,证明当 n=k+1 时
n2-n
项,当
n=2
时,f
(2)=12
+
1 3
D.f
(n)中共有
n2-n+1
项,当
n=2
时,f
(2)=12
+
1 3
+
1 4
D
-7-
关闭
答案
梳理自测
-8-
4.用数学归纳法证明:“1+12 + 13+… +2���1���-1<n(n>1)”,由 n=k(k>1)不等式成立,推 证 n=k+1 时,左边应增加的项的项数是 .
命题也成立. 2.应用数学归纳法时特别注意:
(1)数学归纳法证明的对象是与 正整数 有关的命题.
(2)在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不可.
梳理自测
-4-
想一想对于数学归纳法证明中的两个基本步骤,你是如何理解的?
答案:第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,第二步中,归纳 假设起着“已知条件”的作用,在第二步的证明中一定要运用它,否则 就不是数学归纳法.第二步的关键是“一凑假设,二凑结论”.
时等式成立,即
1-12
+
1 3
−
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• 2．数学归纳法
• 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤
进行：
• (1)归纳奠基：验证当n取第一个值n0时结论成立； • (2)归纳递推：假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论成
立．推出n＝k＋1时结论也成立． • 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有
自然数n(n≥n0)都成立，这种证明方法叫做数学归纳法．
行恰当的放缩，要注意既不能放缩的不到位，也不能放缩 过了头．
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• [例1] 用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－
1(n∈N*)的过程中，第二步假设当n＝k时等式成立，则当 n＝k＋1时应得到( )
• A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1 • B．1＋2＋＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1－1＋2k＋1 • C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1 • D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k
• 分析：从n＝k到n＝k＋1的过渡，左边增加了因式(2k＋ 1)(2k＋2)减少了因式k＋1，右边2k变成2k＋1增加了因式 (2k＋1)．
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• 证明：(1)当n＝1时，左边＝2＝右边，等式成立． • (2)假设n＝k(k∈N＋)时，等式成立， • 即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)， • 则当n＝k＋1时，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)
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• 重点难点 • 重点：数学归纳法． • 难点：①数学归纳法的证明思路．
• ②初始值n0的确定．
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• 知识归纳 • 1．归纳法 • 归纳法有不完全归纳法和完全归纳法，如果我们考察了某
类对象中的一部分，由这一部分具有某种特征而得出该类 对象中的全体都具有这种特征的结论，为不完全归纳．由 不完全归纳法得出的结论不一定都是正确的，其正确性还 需进一步证明；如果我们考察了某类对象中的每一个对象， 而得出该类对象的某种特征的结论为完全归纳，由完全归 纳法得出的结论一定是正确的，数学归纳法是一种完全归 纳法．
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• 解析：原等式左边是20＋21＋22＋…＋2n－1，从20到2n－1，
右边是2n－1，故当n＝k时，等式为20＋21＋…＋2k－1＝2k －1，当n＝k＋1时，等式为20＋21＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1
－1＝2k－1＋2k. • 答案：D
• 点评：用数学归纳法证明命题时，从n＝k到n＝k＋1的过
• 另外，归纳假设中要保证n从第一个数n0开始，即假设n＝ k(k≥n0)时结论成立，括号内限制条件改为k>n0就错了．
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• 添减项法和放缩法 • 1．用数学归纳法证明命题时，根据需要有时应添项或减
项，这是数学归纳法证题的常用技巧． • 2．在用数学归纳法证明不等式时，常根据题目的需要进
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• 误区警示 • 在应用数学归纳法的过程中：
• 第①步，验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题目
要求，有时可为2、3等．
• 第②步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，一定要用
到归纳假设，否则就不是数学归纳法． • 这两个步骤缺一不可，前一步是递推的基础，后一步是递
推的依据，缺了哪一步得出的结论也是错误的．
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• 点评：用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关 键在于“先看项”，弄清等式两边项的构成规律，等式的
两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关． • 当n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎
样的项．
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• 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝ 2n·1·3·5·…·(2n－1) (n∈N＋)．
渡是证题的关键环节，实际证明时，要据不同问题用不同 方法讨论，证明恒等式或不等式时，关键要抓住项数和项 的增减变化．证明整除性命题时，凑出归纳假设的形式是
关键；证明图形类问题时，要注意从n＝k到n＝k＋1，究
竟图形中发生了哪些变化等等．
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• 用数学归纳法证明命题“n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y 整除”时，假设n＝k(k为正奇数)时，命题为真，则进而
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• 3．归纳、猜想与证明 • 从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体现的共
同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想，然后从 理论上证明(或否定)这种猜想，这个过程叫做“归纳—猜 想—证明”．它是一个完整的思维过程，是人们从事科学 研究、认识发现规律的有效途径，也是用来培养创新思维 能力的有效办法，因此，它就成了高考命题的热点之一．
需证当________时命题为真( )
• A．n＝k＋1 • B．n＝k＋1(k为正奇数) • C．n＝k＋2(k为正奇数) • D．n＝2k－1(k为正奇数)
• 答案：C
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[例 2] n∈N*，求证：1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n ＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n.
分析：本题左边表达式为数列(－1)n＋11n的前 2n 项和．
＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·2(2k＋1) • ＝2k·2(2k＋1)＝2k＋1·[2(k＋1)－1]等式也成立． • 由(1)、(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立.
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[例 3] 用数学归纳法证明： 1＋212＋312＋…＋n12<2－1n (n≥2)． 解析：1°当 n＝2 时，1＋212＝54<2－12＝32，命题成立． 2°假设 n＝k(k∈N＋且 k≥2)时命题成立，即 1＋212＋312＋… ＋k12<2－1k
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证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1－12＝12，右边＝1＋1 1＝ 12.左边＝右边．
(2)假设 n＝k 时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋2k－1 1 －21k＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k，则当 n＝k＋1 时，
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1－12＋13－14＋2k－1 1－21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 2 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k＋1 1＋2k＋1 2. 即当 n＝k＋1 时，等式也成立． 综合(1)，(2)可知，对一切自然数 n，等式成立．