复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]由f(u)和g(x) 由 复合函数 和 的单调性共同决定。 的单调性共同决定。它们之 间有如下关系： 间有如下关系： f(u) g(x) f[g(x)]
法 则 同 增 异 减
三个函数y=f(u),u=g(x),y=f[g(x)]中，若有两个函数 中 三个函数 单调性相同，则第三个函数为增函数； 单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函 数单调性相反，则第三个函数为减函数。 数单调性相反，则第三个函数为减函数。
f(0)=f(x)+f(-x), ∴ f(-x)=-f(x)
在R上任取两数x1 ,x 2且x1 <x 2则f(x 2 ) − f(x1 ) =f(x 2 )+f(-x1 )=f(x 2 -x1 ) Q x1 <x 2 ∴ x 2 -x1 >0
又因为x>0时，f(x)<0, ∴ f(x 2 -x1 )<0
复习准备
1、函数单调性的定义是什么？ 、函数单调性的定义是什么？ 对于给定区间I上的函数 对于给定区间 上的函数f(x)，若对于 上的函数 ，若对于I 上的任意两个值x 上的任意两个值 1,x2，当x1<x2时，都有 f(x1)<(>)f(x2),则称 则称f(x)是I上的增（减）函数， 上的增（ 函数， 则称 是 上的增 区间I称为 称为f(x)的增（减）区间。 的增（ 区间。 区间 称为 的增
注意： 注意：求单调区 －0 的 减 间 （ 4 ， 间时， 间时，一定要先 ∴ f (2− x) 单 区 是 － ） 看定义域。 看定义域。
P103(4,6)
题型2.解不等式 题型 解不等式
例3：已知：f(x)是定 转 为 等 组 义在[－1,1]上的增函数，可 化 不 式 且f(x－1)<f(x2－1), −1≤ x −1≤ 1 求x的取值范围。 2 注： 在利用函数的 单调性解不等式的 单调性解不等式的 时候， 时候，一定要注意 定义域的限制。 定义域的限制。 保证实施的是等价 转化
(2) Q f(x)在R上是减函数， f(x)在［－3，］上也是减函数 ∴ 3 ∴ f(x) min =f(3),f(x) max =f(-3)
∴ f(-3)=-f(3)=2
2 f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3 × (- )= − 2 3
∴函数f(x)在［－3，］上最大值为2，最小值为－2. 3
复习准备
2、证明函数单调性的步骤是什么？ 、证明函数单调性的步骤是什么？ 证明函数单调性应该按下列步骤进行： 证明函数单调性应该按下列步骤进行： 第一步： 第一步：取值 第二步： 第二步：作差变形 第三步：定号 第三步： 第四步： 第四步：判断下结论
复习准备
3、现在已经学过的判断函数单调性有些什 、 么方法？ 么方法？ 另:
解 依 意 f (x −1) < f (x2 −1) ： 题 ，
易错点
−1≤ x −1≤ 1 x −1< x2 −1 0≤ x ≤ 2 2 ∴ ∴ 0 ≤ x ≤ 2 1< x ≤ x < 0或 >1 x
练习P106(6)
2
例4：已知f(x)在其定 Q 解： f ( xy ) = f ( x ) + f ( y ) 义域R＋上为增函数， ∴ f ( 4) = f ( 2) + f ( 2) = 2 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y). ∴ f ( 8) = f ( 4) + f ( 2) = 3 解不等式 f(x)+f(x－2) ≤3 又f ( x ) + f ( x − 2) = f ( x 2 − 2 x ) 解此类题型关 键在于充分利用题 键在于充分利用题 目所给的条件， 目所给的条件，本 题就抓住这点想办 法构造出f(8)=3,这 法构造出 这 样就能用单调性解 不等式了。 不等式了。
即 2) −f(x1)<0,f(x1)>f(x2) f(x
由函数单调性定义知，f(x)是R上的减函数
f(x)对 R,总 练习：已知函数f(x)对任意x,y ∈ R,总有f(x+y)=f(x)+f(y), 2 x>0时 且当x>0时,f(x)<0,f(1)=3 (1)求 :f(x)是 (1)求证:f(x)是R上的减函数; (2)求f(x)在[-3,3]上 (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
Q f ( x )为R 上的增函数
由题意有 f ( x 2 − 2 x ) ≤ f (8)
＋
x>0 ， 4 ∴ x − 2 > 0 解得x ∈ (2，] x2 − 2x ≤ 8
P106(8)
f(x)对 R,总 练习：已知函数f(x)对任意x,y ∈ R,总有f(x+y)=f(x)+f(y), 2 x>0时 且当x>0时,f(x)<0,f(1)=3 (1)求 :f(x)是 (1)求证:f(x)是R上的减函数; (2)求f(x)在[-3,3]上 (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 证明：（ ）令x=y=0可得f(0)=0,令x=-y可得 1
求函数 y = x + 4x + 3的单调区间。 的单调区间。
2
注意： 注意： 在原函数定义域内讨论函数的单调性
例2：设y=f(x) 的单调增区间 是(2,6)，求函 数y=f(2－x)的 单调区间。
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解 y=f(2-x)是 y=f(u)和 ： 由 u=2-x 复 而 合 成 由 知 2<u<6 ∴2<2-x<6 已 得 ∴x∈ －， （ 40 ） Qy=f(u)在 2， 上 增 数 （ 6） 是 函 ， u = 2− x在 ∈(−4,0)上 减 数 x 是 函 ， 由 合 数 调 可 ， 复 函 单 性 知 （ 40 ） 是 函 。 y=f (2− x)在 －， 上 减 数
题型1.求单调区间 题型 求单调区间
解：x + 2x - 3 ≥ 0 ⇒ x ≤ -3，或x ≥ 1
2
例 1 、 求 函 数 y = x + 2x-3的 单 调 区 间 。
2
原函数的定义域为（－ ∴ 原函数的定义域为（－ ∞ ，－3 U 1，＋ ∞ ） ］［
令u = x + 2x - 3 , 则y = u
复合函数的单调性
复合函数： 复合函数： 令 则 u=g(x) y=f(u)
y=f[g(x)]
内函数 外函数 原函数 以x为自变量 为自变量 以u为自变量 为自变量 以x为自变量 为自变量
y=f[g(x)]
复合函数单调性定理： 复合函数单调性定理：
①当内外函数在各自定义域内同增同减时，原函数增 当内外函数在各自定义域内同增同减时， ②当内外函数在各自定义域内一增一减时，原函数减 当内外函数在各自定义域内一增一减时，
2
Q y = u 在［ ，＋∞）为增函数， 0 为增函数， 而u = x 2 + 2x - 3在（－ ∞，－3 为减函数 ］ 1 在［ ，＋∞）上为增函数
∴函数y = x 2 + 2x-3的 单 调 递 增 区 间 为 ［1 ， ＋ ∞ ） ， 单 调 递 减 区 间 为 （ － ∞ ， －3 ］
练习： 练习：
正比例函数： 正比例函数：y=kx 反比例函数： 反比例函数：y=k/x
x, cx + d y= , ax + b a y = x+ , x b y = ax + ( a > 0 , b > 0 ). x y=
(k≠0) (k≠0)
一次函数ｙ＝ ＋ 一次函数ｙ＝kx＋b (k≠0) ｙ＝ 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 二次函数
P105(3)