复合函数的单调性
复合函数的单调性
练习.求函数y 3x2x6的单调递减区间。
解：函数f (x)的定义域是 R。
令u
x2
x
6
x
1
2
13
, 则y
3u
2 2
y 3u 在定义域内是增函数。
又u
x
1 2
2
13 2
在
,
1 2
上是减函数，在
1 2
,上是增函数。
y
3x2
x6
在
,
1 2
上是减函数，在
1 2
,
上是增函数。
y
3x2
复合函数y=f[g(x)]单调性
3、对于复合函数y f [g(x)]的单调性，必须考虑y f (u)与 u g(x)的单调性，从而得出y f [g(x)]的单调性。
y f (u)
增函数
u g(x)
增函数
y f [g(x)] 法
增函数
则
增函数
减函数
减函数
同
减函数
增函数
减函数
增
减函数
减函数
又u x 22 1在2,3上是减函数。
y x2 4x 3在2,3上是减函数。
故函数y x2 4x 3的单调递减区间为2,3。
(问：函数y x2 4x 3的单调递增区间是什么？）
例4.求f (x) log x2 4x 3 的单调区间。 0.4 解： x2 4x 3 0 1 x 3,即定义域为1,3 令u x2 4x 3 x 22 1,
增函数
异
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数； 减
当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。
例1、求函数y x2 2x-3的单调区间。
复合函数的单调性解读
为此变形. 2 f ( x) x 1 x
1
2
x 1 x 2 当x 0且不断增大时 , x 1 x也随之增大,
所以 x 1 x反而减小 .
2
综合(1), (2)已知f ( x) x 1 x
2
在R内是减函数 .
练习3.证明函数f ( x) x 1 x在其定义域内
2
是减函数.
证明: ∵函数f (x)的定义域为R. 解法一：∴设x1,x2∈R且x1< x2则
f ( x1 ) f ( x2 ) x 1 x 1 ( x2 x1 )
2 2 2 1
x x
2 2 2 1
2 1 2 2
例3：设y=f(x)的单 增区间是(2,6)，求 函数y=f(2－x)的单 调区间。
解：令t ( x) 2 x, 则由已知得 f (t )在t （2， 6）上是增函数， 而t ( x) 2 x （2， 6） x （－4， 0） 又t ( x) 2 x在x (4,0)上 是单减的， 由复合函数单调性可知， f (2 x) f [t ( x)]在x （－4， 0） 上是单调递减的。 f (2 x )的单减区间是（－ 4， 0）
2 1 2 2
x1 x2 1 0, x2 x1 0, x 1 0, x 1 0
f ( x)在(1,1)上,当a 0时, 为减函数 . 当a 0时为增函数, 当a 0时为常数函数 .
复合函数单调性:1.利用已知函数单调性进行判断
例1：判断函数
( x 2) y 2 x 4x
练习：如果 f(x)=x2－(a－1)x+5 在区间（0.5，1） 上是增函数，那么 f(2)的取值范围是什 么？ 答案：[7,＋∞）
复合函数单调性课件
复合函数单调性与极值的关系
总结词
复合函数的单调性与极值之间存在密切关系。
详细描述
当一个复合函数在某区间内单调递增或递减时，该函数在该区间内可能存在极值点。极值点是函数值发生变化的点， 它们对于确定函数的整体性质具有重要意义。
举例
设 $f(x) = x^3$，这是一个关于 $x$ 的单调递增的复合函数。在 $x = 0$ 处，该函数取得极小值点；而 在 $x < 0$ 或 $x > 0$ 的区间内，该函数是单调递增的。
复合函数的表示方法
设$y = f(u)$，$u = g(x)$，则复合 函数为$y = f(g(x))$。
复合函数的性质
连续性
复合函数在定义域内连续，即若 $f(u)$和$g(x)$在各自的定义域
内连续，则复合函数$y = f(g(x))$在定义域内也连续。
可导性
若$f(u)$和$g(x)$在各自的定义域 内可导，则复合函数$y = f(g(x))$ 在定义域内也可导。
导数的几何意义
表示曲线在某点的切线斜率。
03
导数的应用
判断函数的单调性、求极值、求拐点等。
02
单调性的概念与性质
单调性的定义
定义
如果对于任意$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$（或$f(x_{1}) geq f(x_{2})$），则称函数$f(x)$在区间$I$上单调递增（或单调递减）。
举例
设 $f(x) = x^2$，$g(x) = frac{1}{x}$，$h(x) = log_2(x)$ ，考虑复合函数 $f(g(h(x))) = (log_2x)^2$。在 $x > 1$ 的区 间内，该复合函数是单调递增的 ，而在 $0 < x < 1$ 的区间内， 该复合函数是单调递减的。
复合函数单调性
复合函数单调性一般地，设函数)(x g =ω在区间M 上有意义，函数)(ωf y =在区间N 上有意义，且当M x ∈时，N ∈ω有以下四种情况：（1）若)(x g =ω在M 上是增函数，)(ωf y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数；（2）若)(x g =ω在M 上是增函数，)(ωf y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数；（3）若)(x g =ω在M 上是减函数，)(ωf y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数；（4）若)(x g =ω在M 上是减函数，)(ωf y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数。
注意：内层函数)(x g =ω的值域是外层函数)(ωf y =的定义域的子集。
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。
即我们所说的“同增异减”规律。
求y=122)21(--x x 的单调区间.解 ： 设y=u)21(.由u ∈R,u=x 2－2x －1,解得原复合函数的定义域为x ∈R.因为y=u)21(在定义域R 内为减函数,二次函数u=x 2－2x －1的单调性与复合函数的单调性相反.易知,u=x 2－2x －1=(x －1)2－2在x ≤1时单调减，由x ∈R, (复合函数定义域)x ≤1， (u 减)解得x ≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间. y=x17.0;((－∞，0)，(0，+∞)均为单调增区间.)y=232x -;(－∞，0)为单调增区间，(0，+∞)为单调减区间) y=3)31(+x ,((－∞，+∞)为单调减区间.)y=227x x -；((－∞，1)为单调增区间，(1，+∞)为单调减区间.)指数运算和指数函数1.根式的性质（1）当n 为奇数时，有a a n n = （2）当n 为偶数时，有⎩⎨⎧<-≥==)0(,)0(,a a a a a a n n （3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零2.幂的有关概念(1)正整数指数幂：)(.............*∈⋅⋅=N n a a a a a n n(2)零指数幂)0(10≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1*∈≠=-N p a a ap p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a a n m n m且(5)负分数指数幂 n mn ma a 1=-)1,,,0(>*∈>n N n m a 且(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义3.有理指数幂的运算性质(1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=⋅+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>=(3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r ∈>>⋅=4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数。
复合函数单调性
u
u ( x 1) 1 在 0,1 递减，在 1,3 递增
2
故函数递增区间为 0,1 ，递减区间为 1,3
思：函数值域呢？
• 例2 已知函数 y a 2a 1(0 a 1)
2x x
在区间
1,1
上的最大值是14，试求a值。
• 解：设 u a x (0 a 1) ，内层函数 u a x
复合函数单调性
• 函数单调性等价定义：定义在区间D上的函 数 y f ( x) 对于任意 x1, x2 D ，当
x1 x2 时都有 ( x1 x2 )( y1 y2 ) 0 ，则函
数 y f ( x) 在D上是增函数。
思：若都有
呢？ 减函数
• 复合函数 y f (x) 由外层函数 y f (u )
1 1 a 1 a 解得 a1 ， 2 （不合，舍），故 5 3 3
2
1
需要注意的是内外层区间的对应不能弄错。
2
0
故复合函数单调递增
( 减)
。 注：以上只考虑内外层都单调情形，若有u1=u2,则区间要 细分。
• 结论：复合函数单调性----同增异减
• 例1：求函数 调区间。
1 x2 2 x 2 y( ) (0≤x≤3)的单 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 • 解：外层函数 y 在R上递减，内层函数 2
在R上递减，外层函数 y u2 2u 1 (u 1)2 2 当 1
1 au x 1 时， a
，而区间
1 a, a
在外
层函数对称轴的右边，则外层函数递增。
• 所以复合函数在 1,1上单调递减，函数在
复合函数单调性的判断方法
【解】 （1）定义域： 0，
（4）外函数 y 2u 2 2u 1在
（2）此函数是由下列函数复合所得
y 2u 2 2u 1，（ u x） log 1 x
2
（3）内函数 （ u x） log 1 x 在
2
1 1 u ， 单调递减， u ， 单调递增 2 2 2 1 ， （5）原函数在 u ， x 2 2
增减相异复合减
贰
判断
HI
贰
举例
【例 1】求函数 y log 1 x 2 4 x 3 的单调区间
2
贰
举例
【例 1】求函数 y log 1 x 2 4 x 3 的单调区间
2
【解】 （1）定义域： ， 1 3，
（2）还原复合函数的复合过程：
x 2， 单调递增
（4） y log 1 u 在 u 0, 上单调递减
2
此函数是由下列函数复合所得
y log 1 u，（ u x） x 4x 3
2 2
（5） y log 1 x 2 4 x 3 在
2
u x） x 4x 3 在 （3）内函数 （
2
1 单调递增， 3， 单调递减 ，
复合函数 单调性的判断方法
复合函数单调性的判断方法
1
1
2
定义
2
判断
一
定义
HI
设 y f (u ) 定义域为Ａ， u g ( x) 的值域为Ｂ 若B A 则 y 关于 x 的函数 y f [ g ( x)] 叫做 函数 f 与 g 的复合函数， u 叫中间变量
图说复合函数的单调性
图谈复合函数的单调性1．复合函数的概念如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即)(u f y =，)(x g u =，那么y 关于x 的函数)]([x g f y =叫做函数)(u f y =和)(x g u =的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x ，函数值为y 。
)(x g u =叫内层函数，)(u f y =叫外层函数。
例如：函数x x y 22)31(-=是由x x u 22-=， u y )31(=复合而成立。
函数)43lg(2x x y -+=是由243x x t -+=，t y lg =复合而成立。
2．复合函数单调性的判断方法定理：设函数)(x g u =在区间M 上有意义，函数)(u f y =在区间N 上有意义，且当M x ∈时，N u ∈，有以下四种情况：（1）若)(x g u =在M 上是增函数，)(u f y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数； 例如：x y 212=是由x u 21=与u y 2=复合而成的函数，这两个函数都是增函数，而x x y )2(221==显然是增函数；（2）若)(x g u =在M 上是减函数，)(u f y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数。
例如：x y -=)21(是由u=-x 与u y )21(=复合而成的函数，这两个函数都是减函数，而xx y 2)21(==-显然是增函数；（3）若)(x g u =在M 上是增函数，)(u f y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数； 例如：x y -=2是由u=-x 与u y 2=复合而成的函数，u=-x 是减函数，uy 2=是增函数，而x x y )21(2==-显然是减函数； （4）若)(x g u =在M 上是减函数，)(u f y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数；例如：x y 21)21(=是由x u 21=与u y )21(=复合而成的函数，x u 21=是增函数，u y )21(=是减函数，而x x y )21()21(21==显然是减函数； 判断口诀：同增异减3.例题学习例1. 求函数222)(-+=x x x f 的单调区间.解：函数的定义域是R ，设22-+=x x t 则t y 2=，内层函数是22-+=x x t ，外层函数是ty 2=如左图，内层函数22-+=x x t 的单调增区间：),21[+∞-，单调减区间：]21,(--∞ 由于外层函数t y 2=为增函数，所以复合函数的增区间为：),21[+∞-，复合函数的减区间为： ]21,(--∞，从右图也可以看到上述单调性及单调区间。
复合函数的单调性与赋值法证明函数的单调性
一、复合函数 y f 的单调性 g x 将复合函数分解成 y f u , u g x
u g x
增 增 减 减
y f u 增 减 增 减
y f g x
增 减 减 增
复合函数单调性归纳为“同增异减”
（1）求 f
1
（2）证明： f x 在定义域内是增函数
练习2.函数f x 对任意实数a，b都 有 f a b f a f b 明： f x 是R上的增函数
例.求函数 y x 2 x 1 的单调 区间
2
练习：求 y x 2 x 8 的 单调区间
2
二、抽象函数单调性
例1.已知 y f x 在定义域 1,1 2 上是减函数，且f 1 a f a 1 求a的取值范围
练习：已知 y f x 在定义 域 0, 是增函数，且 2 f a f 2a 3 ，求a的取值 范围
例2: 已知定义在R上的函数 f ( x) 满足：对任 意 a, b R，都有 f (a b) f (a) f (b)，且当 x 0 时，f ( x) 0 ，试确定函数的单调性.
练习1：已知函数 f x 的定义域是 0, ， 当x>1时， f x 0，且 f xy f x f y
专题3复合函数的单调性
二、复合函数y=f[g(x)]单调性
对于复合函数y f [g(x)]的单调性，必须考虑y f (u)与 u g(x)的单调性，从而得出y f [g(x)]的单调性.
y f (u)
u g(x)
y f [g(x)] 法
增函数
增函数
增函数
则
增函数
减函数
减函数
同
减函数
增函数
减函数
增
减函数
减函数
例3.求函数y
1 2
x2 4x3
的单调递减
小结
判断函数的单调性有哪些方法 1、定义法
2、图象法
3、利用已知函数的单调性，通过 一些简单结论、性质作出判断.
4、利用复合函数单调性的规则进行 判断.
一、复合函数y=f(x)+g(x) 与y=f(x)-g(x)单调性:
结论1：若f(x)与g(x)在R上是增函数， 则 函数y=f(x)+g(x)也是增函数.
结论2：若f(x)与g(x)在R上是减函数，则 函数y=f(x)+g(x)也是减函数.
结论3：若f(x) 在R上是增函数， g(x)在R上是减 函数，则函数y=f(x) －g(x)也是增函数.
增函数
异
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数； 减
当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数.
题型1.求单调区间
例2.求函数y x2 2x 3的单调区间.
小结：考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定 义域，在定义域范围内求函数的单调性.
练习1.求函数y x2 4x 3的单调递减区间。
专题3.复合函数单调性
一、复习： 1.对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自 变量x1,x2的值,
复合函数单调性
复习：
减函数：若对于定义域内某个区间上的任意两个自变量
的值x1，x2，当x1<x2时，都有f（ x1 ）>f （ x2 ），则就说f（x）在这个区间上是减函 数。
单调性与单调区间：
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或者减函数， 则说函数y=f(x)在这一区间上具有严格的单调性， 这一个区间叫做函数y=f(x)的单调区间
规律如下：
y=f(u) 增↑ u=g(x) 增↑ 减↓ y=f[g(x)] 增↑ 减 ↓
减↓ 增↑ 减↓ 减↓ 增↑
注：
1、复合函数y=f[g(x)]的单调区 间必须是其定义域的子集 2、对于复合函数y=f[g(x)]的单 调性是由函数y=f(u)及u=g(x)的 单调性确定的且规律是“同增， 异减”
复习：
判断函数在某个区间上的单调性的 步骤：
1、任取区间上的两个自变量x1，x2，
且x1<x2； 2、计算f(x1)-f(x2)至最简； 3、判断f(x1)-f(x2)的符号； 4、下结论：若差<0，则为增函数， 若差>0，则为减函数。
复合函数的单调性：
已知函数y=f(u)和u=g(x)，u=g(x)在区间 （a，b）上具有单调性，当x∈（a，b）时 u ∈（m，n）且 y=f(u) 在（m，n） 上也 具有单调性，则复合函数y=f[g(x)]在区间 （a，b）上具有单调性，
例1: 已知函数f(x)在R上是增函数， g(x)在[a,b]上是减函数， 求证：f[g(x)]在[a,b]上是减函数.
证明：设x1,x2∈[a,b],且x1<x2，
∵g(x)在[a,b]上单调递减， ∴g(x1) >g(x2), 又f(x)在R上递增， 而g(x1)∈R，g(x2)∈R， ∴f[g(x1)]>f[g(x2)], ∴f[g(x)]在[a,b]上是减函数.
复合函数的单调性
x 2 4 x 3
的单调递减区间为1, 2。
小结：考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定义域，在定义域范 围内求函数的单调性。
例4.求f ( x) log
0.4
x 2 4 x 3的单调区间。
解： x2 4 x 3 0
1 x 3
1 1 2 令u x 4 x 3, 则y , y 在定义域内是减函数。 2 2
又u x 2 4 x 3 x 2 1在1, 2 上是增函数，
2
u
在 2，3 上是减函数。
即x 2 x 6 0
3 x 2，即函数的定义域为 3,2
令t 6 x x 2 , 则y log2 t
y log2 t在定义域内是增函数，
1 13 1 又t x 在 3, 上是增函数。 2 2 2
y
k (k 0) x
y
y
k k 0 x
O
x
图象的函数解析式是： y
k k 0。此函数是反比例函数 。 x 当k 0时，函数在 ,0上是减函数，在0,上也是减函数；
当k 0时，函数在 ,0上是增函数，在0,上也是增函数。
y
y ax2 bx c(a 0)
1 x 3,即定义域为1,3
令u x 2 4 x 3 x 2 1,
2
故单调递增区间为1,2 ， 单调递减区间为 2,3
0 0 .4 1
f ( x) log
0.4
y log0.4 t是减区间。
x
2
复合函数的单调性 ppt课件
(5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是 增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为 减函数。
2020/12/2
5
•复合函数的单调性
若u=g(x) 增函数 减函数 增函数 减函数
y=f(u) 增函数 减函数 减函数 增函数 则y=f[g(x)] 增函数 增函数 减函数 减函数
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增
函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是
减函数。 “同增异减”
2020/12/2
以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.
u=x2－4x+3=(x－2)2－1,
x＞3或x＜1，(复合函数定义域)
x＞2 (u增)
解得x＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
2020/12/2
8
例2 求下列复合函数的单调区间： y=log(2x－x2)
解: 设 y=logu,u=2x－x2.由u＞0,u=2x－x2
因为u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)>g(x2), 记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2，且u1,u2 (c,d).因为 函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)<f(u2), 即y=f[g(x1)]< y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b) 上是增函数。
4
•复合函数的单调性
引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b) 上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间 (c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在 区间(a,b)上是增函数。
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,
专题复合函数单调性
y=log0.3t
(0,+ ∞)
t= x2 -4x+3
(- ∞,1) (3, + ∞ )
y log0.3(x2 4x 3) (- ∞,1) (3, + ∞)
∴函数y=log 0.3 (x2-4x+3 ) 在（–∞，１)上递增, 在（３，+∞ ）上递减．
课堂思考题
1若函数y=loga(2–ax)在[0,1] 上是减函数,求a的取值范围
y ( 1 )|x| 2
R
y 2x2 2x3 R
(0,+∞)
R
(1,+∞) [1,+∞)
R (-∞,0] 减，[0,+∞)增
(0,1] [0,+∞减) ，(-∞,0] 增 [4, ,+∞) (-∞,1] 减 [1,+∞)增
总结 y a f (x)的单调区间？
(1)当a 1时，y at是单调增的， f (x)的增区间就是原函数的增区间； f (x)的减区间就是原函数的减区间。
一.函数单调性的定义：
一般地，设函数 f (x)的定义域为 A,区间I A.
1增函数：如果对于区间I内的任意两个值x1, x2,
当x1 x2时，都有f (x1) f (x2 ),那么就说y f (x) 在区间I上是单调增函数。
2减函数：如果对于区间I内某个的任意两个值x1, x2,
解： 函数的定义域为 R
∵ y = log 2 t 在 ( 0 , +∞ ) 上是增函数 又 t = 4+x 2 (x∈R )的单调递增区间为 〔0, +∞),
单调递减区间为 (-∞,0〕
故此函数的单调递增区间为〔0, +∞), 单调递减区间为 (-∞,0〕
复合函数的单调性的研究
复合函数的单调性的研究摘要：函数单调性是函数的核心内容之一，也是高考中重点考查的知识，又多以考查复合函数的单调性居多. 复合函数的单调性的复合规律为：若函数y=f(u)与u=g(x)的增减性相同(相反)，则y=f[g(x)]是增(减)函数，可概括为“同增异减”.[1]为了帮助考生对复合函数的单调性进一步有一个全面的认识，本文结合例题，对复合函数的单调区间的求法及单调性的应用加以归纳总结，进行全面的研究.关键词：复合函数、函数单调性、定义域、单调递增、单调递减正文部分一、引言：什么是复合函数.对于函数y=f(u) u∈B与u=g(x) x∈A，如果x∈A时u=g(x)的值域C与函数y=f(u)的定义域B的交集非空，即C∩B≠φ，那么就说y=f(u) u∈B 与u=g(x) x∈A可以复合，称函数y=f(g(x))叫做y=f(u) u∈B与u=g(x) x∈A的复合函数，其中y=f(u)叫做外函数，u=g(x)叫做内函数.比如， (x∈R)的复合函数是u＝－X2 ∵u=－x2≤0与u≥0的交集为{0}，∴二者可以复合，但定义域发生了变化，复合后的函数的定义域既不是u≥0，也不是x∈R，而是x=0.也就是说复合函数的定义域既受外函数的制约也受内函数的制约（主要受外函数的制约）.由定义知道就不能复合成f(g(x)).二．复合函数单调性的判断总体步骤：复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：(1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x).其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数;(2) 确定函数的定义域；(3) 分别确定分解成的两个函数的单调性；(4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为增函数；(5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为减函数.复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”.[2]三．详细分析3.1观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么?第一组:第二组:显然第一组函数，函数值y随x的增大而增大；第二组组函数，函数值y随x的增大而减小.这正是两组函的主要区别.当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小.虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一个函数却具有一种共同的性质.。
补充：复合函数的单调性
在［ 1， ＋） 上 为 增 函 数
函数y
x 2 2x-3的单调递增区间为［1，＋），
单调递减区间为（－，－3 ］
例2.求函数 y x 2 4 x 3的单调递减区间。
解： x 2 4 x 3 0，即x 2 4 x 3 0，
1,3。 1 x 3，即函数的定义域为
令u x2 4x 3，故y u，
y u是定义域内是的单调递 增函数。
又u x 2 1在 2,3 上是减函数。
2
y x 2 4 x 3在 2,3 上是减函数。
故函数y x 2 4 x 3的单调递减区间为 2,3。
y
y
k k 0 x
O
x
图象的函数解析式是： y
k k 0。此函数是反比例函数 。 x 0,上也是减函数； 当k 0时，函数在 ,0上是减函数，在
0,上也是增函数。 当k 0时，函数在 ,0上是增函数，在
y
y ax2 bx c(a 0)
y a (0 a 1)
x
y
y a x (a 1)
O
x
图象的解析式是： y a x (a 0且a 0)。此函数是指数函数。 当a 1时，函数在 , 上是增函数； 当0 a 1时，函数在 , 上是减函数。
y
y loga x(a 1)
y
y kx b(k 0)
O
x
图象的函数解析式是 : y kx b(k 0)， 此函数是一次函数， 当k 0时，此函数为增函数，函数的单调递增区间为 , ， 当k 0时，此函数为减函数，函数的单调递减区间为 , 。
复合函数的单调性
复合函数的单调性
复合函数的单调性也可以叫做函数的增减性。
当函数f（x）的
自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f（x）也随着增
大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。
当x一直增大的时候，函数值也一直增大，这就叫单调递增；
当x一直增大的时候，函数值一直减小，就是单调递减。
其具体含义为：
内外函数的单调性相同（同），则复合函数为增函数（增）；
内外函数的单调性相反（异），则复合函数为减函数（减）。
关键：因为外函数的定义域是内函数的值域，所以判断外函数的单调性时，判断的是外函数在内函数的值域上的单调性。
函数的定义域：对于函数f（x）x是自变量，它代表着函数图象上每一点的横坐标，所有横坐标的数值构成的集合就是函数的定义域。
函数的值域：函数f（x）代表函数图象上每一个点的纵坐标的
数值，因此函数图像上所有点的纵坐标构的集合就是函数的值域。
复合函数的单调性、定义域与值域
复合函数的单调性设单调函数)(xfy=为外层函数，)(xgy=为内层函数(1) 若)(xfy=增，)(xgy=增，则))((xgfy=增.(2) 若)(xfy=增，)(xgy=减，则))((xgfy=减.(3) 若)(xfy=减，)(xgy=减，则))((xgfy=增.(4) 若)(xfy=减，)(xgy=增，则))((xgfy=减.结论：同曾异减例1. 求函数222)(-+=xxxf的单调区间.外层函数：ty2=内层函数：22-+=xxt内层函数的单调增区间：],21[+∞-∈x内层函数的单调减区间：]21,[--∞∈x由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：],21[+∞-∈x复合函数的减区间为：]21,[--∞∈x在本例题的讲解的开始就求出内层函数的单调区间，因为在复合函数的单调性的问题中很多基础薄弱的同学在此处会出现思维混乱，并且这样可以避免接下来涉及到定义域而学生又容易忽略的情况.例2.求函数)2(log)(22-+=xxxf的单调区间.解题过程：外层函数：ty2log=内层函数：22-+=xxt22>-+=xxt由图知：内层函数的单调增区间：[∈x内层函数的单调减区间：]2,[--∞∈x由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：],1[+∞∈x复合函数的减区间为：]2,[--∞∈x例3.求函数xy cos=的单调区间解题过程：外层函数：ty=内层函数：xt cos=cos≥=xt由图知：内层函数的单调增区间：]2,22[πππkkx+-∈内层函数的单调减区间：]22,2[πππkkx+∈由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：]2,22[πππkkx+-∈复合函数的减区间为：]22,2[πππkkx+∈复合函数的定义域函数的概念：设是,A B非空数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么就称:f A B→为集合A到集合B的函数，记作：(),y f x x A=∈。
复合函数单调性
因此令 u 2 x
1 得 x 1 （外函数的单调增区间无法放大，但内函数的相应值域可以变小啊） 2
∴函数 y 4 x 2 x 1 的单调增区间是 (1, ) 【例 2】函数 y (log 2 x) 2 2 log 2 x 3 的单调增区间是_________ 解析：函数的定义域为 (0, ) ，设 u log 2 x ，则 y u 2 2u 3 内函数 u log 2 x 在 (0, ) 上单调增，相应值域为 R 外函数 y u 2 2u 3 在 (1, ) 上单调增（和例题 1 出现同样问题了） 令 u log 2 x 1 得 x 2 ∴函数 y (log 2 x) 2 2 log x 3 的单调增区间是 (2, )
【例 6】设 a 0 且 a 1 ，函数 f ( x) log a
1 x 在 (1, ) 上单调递减，则 f ( x) ( 1 x A．在 ( , 1) 上单调递减，在 (1, 1) 上单调递增 B．在 ( , 1) 上单调递增，在 (1, 1) 上单调递减 C．在 ( , 1) 上单调递增，在 (1, 1) 上单调递增 D．在 ( , 1) 上单调递减，在 (1, 1) 上单调递减
外函数 y 2 sin u 在 [2k
, 2 k
【例 4】已知函数 y log a (2 ax ) 在区间 [0, 1] 上是减函数，则实数 a 的取值范围( A． (0, 1) B． (1, 2) C． (0, 2) D． [2, )
)
解析：设 u 2 ax ，则 y log a u ，由复合函数的单调性知 a 1 内函数 u 2 ax 在 [0, 1] 上单调减，且相应值域为 [2 a, 2] 外函数 y log a u 在 u (0, ) 时单调增 (接下来要干吗呢？是不是要保证内函数在 [0, 1] 上的值域 [2 a, 2] 在外函数单调区间 (0, ) 内呢?) ∴ 2 a 0 ， a 2 ，故实数 a 的取值范围是 (1, 2) ，选 B 【例 5】已知函数 f ( x) log 1 ( x 2 2ax 3) ，若 f ( x) 在 ( , 1] 上单调增，则 a 的取值范围是_____；
高中数学-复合函数的单调性
高中数学-复合函数的单调性复合函数是中学数学的重要内容，也是高考的常考内容。
复合函数的单调性是一个难点，常常出错，容易失分。
下面对复合函数单调性进行总结，以便于掌握其规律。
⒈复合函数的判断形如f []()g x 的函数叫做复合函数，其中g(x)叫内函数，f(x)叫外函数。
可以用语言叙述为：在一个函数的自变量位置又出现另一个函数的函数叫复合函数。
它不同于函数的四则运算。
如：f(x)=11x -是复合函数，它是由y=1u 与u=x-1复合而成的；g(x)=1x+2x 不是复合函数，它是函数y=1x 及函数y=2x 之和。
在复合函数中内函数的值域应是外函数定义域的子集。
⒉复合函数单调性的判断法则判断复合函数的单调性应按“同增异减”的法则。
“同增异减”四个字表示四个不同的内容，“同”是指内函数与外函数单调性相同，包括都是增函数和都是减函数两种情况。
“增”是指复合函数是增函数。
“异”是指内函数与外函数单调性不同，包括都是内增外减和内减外增两种情况。
“减”是指复合函数是减函数。
下面以内函数为减函数，外函数为增函数为例证明“同增异减”的法则。
例1：设y= f []()g x ,已知f(u)在u ∈(c,d)内是增函数，u=g(x)在x ∈(a,b)内是减函数。
证明y= f []()g x 在x ∈(a,b)内是减函数。
分析：利用减函数的定义进行证明。
证明：设x 1<x 2，且x 1、x 2∈∈(a,b)。
∵u=g(x)在x ∈(a,b)内是减函数∴g(x 1)>g(x 2)又∵f(u)在u ∈(c,d)内是增函数，且g(x 1)、g(x 2)∈(c,d)∴f []1()g x >f []2()g x ，故y= f []()g x 在x ∈(a,b)内是减函数。
点评：类似可以证明其它三种情况。
⒊求复合函数单调区间的步骤⑴求复合函数的定义域。
⑵将复合函数分解为内函数和外函数。
⑶分别判断内函数和外函数的单调性。
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x, cx + d y= , ax + b a y = x+ , x b y = ax + ( a > 0 , b > 0 ). x y=
(k≠0) (k≠0)
一次函数ｙ＝ ＋ 一次函数ｙ＝kx＋b (k≠0) ｙ＝ 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 二次函数
复合函数的单调性
复合函数： 复合函数： 令 则 u=g(x) y=f(u)
y=f[g(x)]
内函数 外函数 原函数 以x为自变量 为自变量 以u为自变量 为自变量 以x为自变量 为自变量
y=f[g(x)]
复合函数单调性定理： 复合函数单调性定理：
①当内外函数在各自定义域内同增同减时，原函数增 当内外函数在各自定义域内同增同减时， ②当内外函数在各自定义域内一增一减时，原函数减 当内外函数在各自定义域内一增一减时，
P105(3)
(2) Q f(x)在R上是减函数， f(x)在［－3，］上也是减函数 ∴ 3 ∴ f(x) min =f(3),f(x) max =f(-3)
∴ f(-3)=-f(3)=2
2 f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3 × (- )= − 2 3
∴函数f(x)在［－3，］上最大值为2，最小值为－2. 3
f(0)=f(x)+f(-x), ∴ f(-x)=-f(x)
在R上任取两数x1 ,x 2且x1 <x 2则f(x 2 ) − f(x1 ) =f(x 2 )+f(-x1 )=f(x 2 -x1 ) Q x1 <x 2 ∴ x 2 -x1 >0
又因为x>0时，f(x)<0, ∴ f(x 2 -x1 )<0
Q f ( x )为R 上的增函数
由题意有 f ( x 2 − 2 x ) ≤ f (8)
＋
x>0 ， 4 ∴ x − 2 > 0 解得x ∈ (2，] x2 − 2x ≤ 8
P106(8)
f(x)对 R,总 练习：已知函数f(x)对任意x,y ∈ R,总有f(x+y)=f(x)+f(y), 2 x>0时 且当x>0时,f(x)<0,f(1)=3 (1)求 :f(x)是 (1)求证:f(x)是R上的减函数; (2)求f(x)在[-3,3]上 (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 证明：（ ）令x=y=0可得f(0)=0,令x=-y可得 1
复合函数f[g(x)]由f(u)和g(x) 由 复合函数 和 的单调性共同决定。 的单调性共同决定。它们之 间有如下关系： 间有如下关系： f(u) g(x) f[g(x)]
法 则 同 增 异 减
三个函数y=f(u),u=g(x),y=f[g(x)]中，若有两个函数 中 三个函数 单调性相同，则第三个函数为增函数； 单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函 数单调性相反，则第三个函数为减函数。 数单调性相反，则第三个函数为减函数。
解 依 意 f (x −1) < f (x2 −1) ： 题 ，
易错点
−1≤ x −1≤ 1 x −1< x2 −1 0≤ x ≤ 2 2 ∴ ∴ 0 ≤ x ≤ 2 1< x ≤ x < 0或 >1 x
练习P106(6)
2
例4：已知f(x)在其定 Q 解： f ( xy ) = f ( x ) + f ( y ) 义域R＋上为增函数， ∴ f ( 4) = f ( 2) + f ( 2) = 2 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y). ∴ f ( 8) = f ( 4) + f ( 2) = 3 解不等式 f(x)+f(x－2) ≤3 又f ( x ) + f ( x − 2) = f ( x 2 − 2 x ) 解此类题型关 键在于充分利用题 键在于充分利用题 目所给的条件， 目所给的条件，本 题就抓住这点想办 法构造出f(8)=3,这 法构造出 这 样就能用单调性解 不等式了。 不等式了。
题型1.求单调区间 题型 求单调区间
解：x + 2x - 3 ≥ 0 ⇒ x ≤ -3，或x ≥ 1
2
例 1 、 求 函 数 y = x + 2x-3的 单 调 区 间 。
2
原函数的定义域为（－ ∴ 原函数的定义域为（－ ∞ ，－3 U 1，＋ ∞ ） ］［
令u = x + 2x - 3 , 则y = u
复习准备
2、证明函数单调性的步骤是什么？ 、证明函数单调性的步骤是什么？ 证明函数单调性应该按下列步骤进行： 证明函数单调性应该按下列步骤进行： 第一步： 第一步：取值 第二步： 第二步：作差变形 第三步：定号 第三步： 第四步： 第四步：判断下结论
复习准备
3、现在已经学过的判断函数单调性有些什 、 么方法？ 么方法？ 另:
注意： 注意：求单调区 －0 的 减 间 （ 4 ， 间时， 间时，一定要先 ∴ f (2− x) 单 区 是 － ） 看定义域。 看定义域。
P103(4,6)
题型2.解不等式 题型 解不等式
例3：已知：f(x)是定 转 为 等 组 义在[－1,1]上的增函数，可 化 不 式 且f(x－1)<f(x2－1), −1≤ x −1≤ 1 求x的取值范围。 2 注： 在利用函数的 单调性解不等式的 单调性解不等式的 时候， 时候，一定要注意 定义域的限制。 定义域的限制。 保证实施的是等价 转化
复习准备
1、函数单调性的定义是什么？ 、函数单调性的定义是什么？ 对于给定区间I上的函数 对于给定区间 上的函数f(x)，若对于 上的函数 ，若对于I 上的任意两个值x 上的任意两个值 1,x2，当x1<x2时，都有 f(x1)<(>)f(x2),则称 则称f(x)是I上的增（减）函数， 上的增（ 函数， 则称 是 上的增 区间I称为 称为f(x)的增（减）区间。 的增（ 区间。 区间 称为 的增
即 2) −f(x1)<0,f(x1)>f(x2) f(x
由R,总 练习：已知函数f(x)对任意x,y ∈ R,总有f(x+y)=f(x)+f(y), 2 x>0时 且当x>0时,f(x)<0,f(1)=3 (1)求 :f(x)是 (1)求证:f(x)是R上的减函数; (2)求f(x)在[-3,3]上 (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
2
Q y = u 在［ ，＋∞）为增函数， 0 为增函数， 而u = x 2 + 2x - 3在（－ ∞，－3 为减函数 ］ 1 在［ ，＋∞）上为增函数
∴函数y = x 2 + 2x-3的 单 调 递 增 区 间 为 ［1 ， ＋ ∞ ） ， 单 调 递 减 区 间 为 （ － ∞ ， －3 ］
练习： 练习：
求函数 y = x + 4x + 3的单调区间。 的单调区间。
2
注意： 注意： 在原函数定义域内讨论函数的单调性
例2：设y=f(x) 的单调增区间 是(2,6)，求函 数y=f(2－x)的 单调区间。
解 y=f(2-x)是 y=f(u)和 ： 由 u=2-x 复 而 合 成 由 知 2<u<6 ∴2<2-x<6 已 得 ∴x∈ －， （ 40 ） Qy=f(u)在 2， 上 增 数 （ 6） 是 函 ， u = 2− x在 ∈(−4,0)上 减 数 x 是 函 ， 由 合 数 调 可 ， 复 函 单 性 知 （ 40 ） 是 函 。 y=f (2− x)在 －， 上 减 数