高中数学竞赛解题策略-几何分册第23章角元形式的梅涅劳斯定理

第章 角元形式的梅涅劳斯定理

第一角元形式的梅涅劳斯定理设、、分别是的三边、、所在直线（包括三边的延长线）

上的点，则、、共线的充要条件是

证明如图，由

，

及

，

．

这三式相乘，运用梅涅劳斯定理及其逆定理，知结论成立． 第二角元形式的梅涅劳斯定理设、、分别是的三边、、所在直线上的点，点不在三边所在直线上，则、、三点共线的充要条件是

．

证明如图．注意到

C '

A'

B

O

C

B

A 图23-2

（其中），

，

． 所以

．

而由梅涅劳斯定理及逆定理知、、共线．

故知结论成立． 注：在上述两定理中，若采用有向角（规定角的终边绕逆时针方向时角为正值，否则为负值）时，两条件式的右端均为，有向角记为． 下面给出运用如上定理处理问题的例子． 例如图，设的三边、、所在的直线

E E'D F'F

D

C

B A

图23-3

上的点、、共线，并且直线、、关于、、平分线的对称直线、、分别与、、所在直

线交于、、，则、、也共线． 证明对及截线应用第一角元形式的梅涅劳斯定理，有

．

由题设知

，

，

，

，

，

，

．

从而有，

即

．

由第一角元形式的梅涅劳斯定理知，、、三点共线．

例若三角形的三条外角平分线皆与对边所在直线相交，则三交点共线． 证明如图，

设的三条外角平分线分别与对边所在直线相交于、、，则

知

，

，，

，

，

．

故有