深入浅出 大道至简

解 : (2)由题意M max{g(x)}, M g(1) | a b 1|, M g(2) | 2a b 4 |, M g( 3) | 3a b 9 |
22
4
4M g(1) g(2) 2g(3) | a b 1| | 2a b 4 | | 3a 2b 9 || a b 1 2a b 4 (3a 2b 9) | 1 .
就用最小二乘法思想:使得所给的误差平方和最小.
即:对于给定数据(x i , yi ) (i = 1, 2,, m ), 在某个函数类F(x )(一般为多项式函数或三角函数)找p0(x ) Î F(x )
å å m
m
使得
i=1
[p 0(x i )- y i
]2
=
min
p (x )Î F(x )
i=1
[p(x i )- y i
题:函数F (x ) =| cos2 x + 2 sin x cos x - sin2 x + A x + B | 在0 £ x £ 3 p 2
上的最大值M 与参数A, B 有关.问:A, B 取什么值时M 为最小?证明你
的结论.
(1983年的全国高中联赛二试)
证明:F(x) =| 2 sin(2x + p) + Ax + B | .若A = 0,B = 0，则F(x) =| 2 sin(2x + p) |,
2
2
2
\ N ³ 1 ,当a = - 1 ,b = 9 时等号成立,即m £ 1
4
24
4
题2:已知二次函数f (x) x2 ax b(a,b R)，设M (a,b)为g(x) | f (x) | 在[1,2]上的最大值.
(1)当a 1时, M (1,b)关于b的解析式.
(2)若对于任意a,b R, 恒有M (a,b) M (a0 ,b0 ),求满足条件的所有实数对(a0 , b0 ).
评注：数缺形来少直观，形缺数来难入微. 有了“形”的启发，我们的解答变得简洁而又严 谨，可以说一剑封喉，一步到位. 3. 其他做法.
I)记t = x Î [0, 2], g (t ) =| -at 2 + t - b |, 令N = max g (t ) tÎ [0,2] N ³ g (0) =| -b |, N ³ g (1) =| 1- a - b |, N ³ g (2) =| 2 - 4a - b |
max
a £x £b
|
p 0 (x
)-
f
(x
)
|=
min{ max a £x £b
|
p(x
)-
f
(x
)
|}
切比雪夫不愧是大家, 不但指出这样的多项式p0(x )是存在且是唯一的，而且指出了构造这种最佳一致
逼近多项式的方法.
最佳逼近多项式：
Hn 表示所有次数 £ n的实系数多项式的集合，C[a,b]表示[a,b]上的一切实连续函数的集合.
-
f
(x )至少在[a,b ]上n
+
2个点处交错的达到
max
a£x £b
|
pn
(x )
-
f
(x )
|
特别的:假设pn (x)是次数为n
³
1，首项系数为1的实多项式,那么: max -1£x £1
|
pn (x)
|³
1 2n-1
四、类似的题目，模式化的方法
题1.(2016学考选择最后一题)
设函数f (x ) =| ax + b - 2 |, 对于任意a > 0,b Î R, 存在x Î [1, 2]，使得f (x ) ³ m，求m 的范围.
]2
但是切比雪夫并没有单纯的依赖最小二乘法，他不是要取误差的平方和最小而是最大误差的绝对值最小。
切比雪夫最佳一致逼近原理的基本思想是这样的 : 对于给定区间 [a,b ]上的连续函数 f (x ), 在所有n 次
多项式构成的集合中找一个多项式p0(x ), 使它在 [a,b ]上对 f (x )的偏差相对其他n 次多项式而言是最佳的.即:
8
8
8
\M ³ 2
故当且仅当A = B = 0时取到M的最小值 2.
某种理念下做不等式的最高追求就是霸气的一行解答，一目了然，任何旁白都是多 余，纯粹的数学美感。如果你非要打破砂锅问到底，我可以告诉你我的想法： 由三角函数的图像，结合切比雪夫定理，容易得到 x 轴是所对应的直线，又由切比雪
夫定理可以确定唯一性.至于上述绝对值不等前的系数确定方法和之前一样.
8N ³| 2 - 4a - b | +4 | 1- a - b | +3 | -b |³| 2 - 4a - b - 4(1- a - b )- 3b |= 2
\ N ³ 1 ,当a = 1 ,b = 1 时等号成立.
4
24
评注:换元成二次形式，还是熟悉的配方，还是熟悉的味道.
II)记t = x Î [0, 2], g (t ) =| -at 2 + t - b |, 令N = max g (t )
(2)解答:由题意k £ min {max{g(x)}},设N = max {g(x)}
aÎR,bÎR x Î[-1,1]
x Î[-1,1]
N
³
g(-1) =| c - 1 - 1 1+b
|, N
³ g(1) =| c
+1+
1 1-b
|, N
³
g(1 + b) =| b
+c
+2|.
2N
³| c
-1-
2
2
22
M
1 8
，当a0
3, b0
17 . 8
五、变式拓展，万剑归宗
(杭州二模压轴题)
设函数f
(x
)
=
x
+
x
1 -
b
+ c(b
<
-1, c
Î
R
).函数g (x
)
=|
f
(x
)
|
在区间[-1,1]上的最大值为M .
(1)b = -2，求M 的值
(2)若M ³ k 对任意的b,c 恒成立, 求k 的最大值.
的切比雪夫逼近问题.
关于函数的近似有两个互相交叉的课题.一方面, 对于一条曲线给出若干纵坐标, 求一个简单的表达
式，使它在所给点有这些纵坐标。另一方面，想要所求的表达式与所给的数据偏差最小.可以通过以下
方式把这两方面结合起来：用一个n次多项式p(x ) = a n x n + a n-1x n-1 + + a 1x + a 0代表一条曲线，它 含有n + 1个常数，若已给n + 1个观测数据，我们用拉格朗日插值公式,但已给的数据多于n + 1个,我们
1 1+b
- (b
+c
+
2) |,2N
³| c
+1+
1 1-b
- (b
+c
+
2)
|
2N
³
max{|
3
+b
+
1 1+b
|,|
-1
-b
+
1
1 -b
|}
³
2(
2 - 1)
最后一个不等式：
i)b £ - 2,
|
3
+b
+
1 1+b
|=
-(1
+ b)
+
1 -(1+b)
-2
³
-(1 -
2) + 1 -(1 -
- 2 = 2( 2)
2 - 1)
ii) - 2 < b < -1,
|
-1 -b
+
1
1 -b
|=
1-b
+
wk.baidu.com
1 1-b
-
2
>
1
+
2 + 1 - 2 = 2( 1+ 2
2 - 1)
\ N ³ 2 - 1，当b = - 2,c = -1时等号成立
评注：该题第二小问还是切比雪夫多项式在一次多项式的逼近问题，该题相当于限定了最佳
逼近一次多项式最高次前的系数为 1，由几何意义可知 b 2 ,从而由模式化解题方法得到上 述解答，细节处理上难点在于最后一个不等式的分析. 更多的例子：
深入浅出 大道至简
——从 2015 年浙江省学考压轴题谈起
一．试题呈现，立意分析
余姚中学 徐银杰
立意分析：该题以绝对值函数为载体，试题背景深刻，体现了浙江命题的一贯风格. 二．解法分析，形数相依 我们主要讨论第（III）问的解答. 1.先给出参考答案：
评注：参考答案是结合函数图像分类讨论，这是处理二次函数问题的通法. 优点是目标明确， 思路清晰，缺点是繁琐、耗时，也无法揭示问题的本质. 2. 下面我们给出本质的做法. 1）形——大胆猜想
aÎR,bÎR x Î[1,4]
x Î[1,4]
\ N ³ f (1) =| a + b - 2 |,N ³ f (2) =| 2a + b - 1 |, N ³ f (4) =| 4a + b - 1 | 2
\ 6N ³ 2 | a + b - 2 | + | 4a + b - 1 | +3 | 2a + b - 1 |³| 2(a + b - 2) + 4a + b - 1 - 3(2a + b - 1) |= 3
升华----高次逼近的例子
题1.(2001,国家集训队最后一题)
记F = max{| x 3 - ax 2 - bx - c |}，当a,b,c取遍所有实数时，求F的最小值. 1£ x £ 3
分析:等价于求解这个问题设f (x ) = x 3 + px 2 + qx + r，求 min max {| f (x ) |} p ,q ,r Î R x Î [-1,1] 由切比雪夫多项式f (x ) = x 3 - 3 x 4
x
解答:由题意m £ inf {m ax {f (x )}}, 设N = m ax {f (x )}
a >0,bÎ R x Î[1,2]
x Î[1,2]
\ N ³ f (1) =| a + b - 2 |, N ³ f (2) =| 2a + b - 1 |
\ 2N ³| a + b - 2 | + | 2a + b - 1 |³| a + 1 |
根据绝对值的几何意义，我们不妨将| x ax b | 看做是两个函数 x 与 ax b 图像的距离，问
题转化为，求抛物线 y x 上的点到直线 y ax b 的距离的最大值的最小值. 结合图像，我 们不难发现，这条直线如图（1）所示.
图（1） 2）数——小心求证 根据“形”的分析猜测，我们自然得到以下解答.
4
4
记M = max F(x) 则M ³ F(p)，M ³ F(9p), M ³ F(5p).即：
0£x £3p
8
8
8
2
4M ³ F(p) + F(9p) + 2F(5p) =|
8
8
8
2 + pA+B |+| 8
2 + 9p A + B | +2 | 8
2
+
5p 8
A
+
B
|
评
析
:
在
³| 2 + p A + B + 2 + 9p A + B - 2(- 2 + 5p A + B ) |= 4 2
tÎ [0,2]
N
³ g (0) =| b |, N
³ g (1) =| 1- a - b |, N
³ g (2) =| 2 - 4a - b |, N
³
g (21a
)
=|
1 4a
-
b
|
评
析
:
你
觉
8N ³ ( 2g (1) + g (2)) + 2g ( 1 ) + 3g (0)
2a
³| 2a
-b
|+|
a ,bÎ R xÎ[1,2]
x Î [1, 2 ]
\ N ³ f (1) =| a +b - 2 |, N ³ f (2) =| 2a +b - 1 | ，N ³ f ( 2) =| 2a +b - 2 |
\ 2N ³ (2- 2) | a +b - 2 | +( 2 - 1) | 2a +b - 1 | + | 2a +b - 2 |³| 3- 2 2 |
1 2a
- 2b
| +3 | b
|³| 2a
+
1 2a
|³
2
\N
³
1 4
,
当a
=
1 2
,b
=
1 4
时等号成立.
得对称轴重要，我给你对称轴，还想要什么，你说，我做。
三．挖掘本质，背景分析
浙江省的命题人喜欢出有高等数学背景的题目作为压轴题，可以说是菲利克斯·克莱因所倡
导的“高观点下的初等数学”的积极践行者。事实上，这道学考压轴题的背景就是大名鼎鼎
\ N ³ ( 2 - 1)2 ,即m £ ( 2 - 1)2
2
2
为了系数更好看点也可做以下改编：
(2016学考数学选择最后一题改编)
设函数f (x) =| ax + b - 2 |, 对于任意a Î R,b Î R, 存在x Î [1, 4]，使得f (x) ³ m，求m 的范围. x
解答:由题意m £ min {max{f (x)}}, 设N = max{f (x)}
\ N ³ | a + 1 | > 1 ,即m £ 1
2
2
4
题1.1(2016学考选择最后一题改编)
设函数f (x ) =| ax +b - 2 |, 对于任意a,b Î R, 存在x Î [1, 2]，使得f (x ) ³ m，求m 的范围.
x
解答:由题意m £ inf {max {f (x )}}, 设N = max {f (x )}
若pn (x) Î
Hn , f (x)
Î C[a,b],s.t
max
a£x £b
|
pn (x) -
f (x) |=
inf
pn ÎHn
max
a£x £b
|
pn (x) -
f (x) |,
则p n
(x
)为f
(x
)的最佳逼近多项式.
切比雪夫定理:
pn
(x )为f
(x )的最佳逼近多项式的充要条件
:
pn
(x )