第十章 超静定拱
结构力学教程——第10章 力法
系数和自由项 ➢ 梁、刚架：
ii
M i 2 ds
EI
Ai yi EI
ij
M i M j ds EI
Aj yi EI
iP
M i M P ds EI
➢ 桁架：
2
ii
Ni l EA
ij
Ni N jl EA
iP
Ni N Pl EA
知识点
10.3 超静定刚架和排架
1. 刚架
20kN/m
11
M12 EI
ds
FN21 EA
ds
y2
cos2
EI ds EA ds
1P
M1 M P EI
ds
M0y ds
EI
（4）求多余未知力，即水平推力FH
M0y
X1
FH
1P 11
y2 EI
EI ds
cos2
ds EA
ds
（5）内力计算
M M 0 FH y
FQ FQ0cos FHsin FN FQ0sin FHcos
1P 11X1 0
P
2P 0
P
0
a
11
2 2
1
1
1
P
a
N1
NP
(3)求系数
11
2
Ni l 2( EA
2)2 EA
2a 4 12 a EA
4a (1 EA
2)
1P
Ni N jl 1 Pa 2 EA EA
(
2 )( EA
2P)
2a 2Pa (1 EA
2)
(4)解方程
X1
1P
11
P 2
当结构框格数目为 f , 则 n=3f 。
朱明zhubob结构力学6-9超静定拱
11 22
X1 X2
1P 2P
0 0
弹性面积
33 X 3 3P 0
M 1 y y, FN1 cos ,
FQ1
sin
M 2 x, FN2 sin , FQ2 cos
M 3 1,
FN3 0,
FQ3 0
X1
t
y
h
y
ds
t0l
( y y)2 ds EI
cos2
EA
ds
X3
t
ds h
ds EI
0
⒉ 温度变化和支座位移作用下无铰拱的计算
任意截面处的内力：
M FN
(y X1
y) X1
cos
1
X
匀改变时，在弹性中心处只产生 水平未知力X1，升温时为压力，
X1
t0l
( y y)2 ds cos2 ds
EI
EA
降温时则为拉力。
it
Mi
t
h
ds
M1 y y
FN1 cos
FQ1 sin
FNi t0ds
M3 1
FN3 0
FQ3 0
M 1 ds EI
FN21 ds EA
K
y2 EI
ds
cos2
EA
ds
X1 基本结构
1P
M1 MP ds EI
第十章_超静定结构
第十章超静定结构一、内容提要1、理解超静定结构中的一些基本概念，即：静定与超静定、超静定次数、多余约束、超静定系统（结构）、基本静定系以及相当系统等。
2、熟练掌握用力法求解超静定结构。
3、掌握对称与反对称性质并能熟练应用这些性质求解超静定结构。
4、了解连续梁的概念以及三弯矩方程。
二、基本内容1、超静定系统中的一些基本概念超静定结构或系统：用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构或结构系统。
静定结构或系统：无多余联系的几何不变的承载结构系统，其全部约束反力与内力都可由静力平衡方程求出的机构或结构系统。
多余约束：在无多余联系的几何不变的静定系统上增加约束或联系。
外超静定：超静定结构的外部约束反力不能全由静力平衡方程求出的情况。
内超静定：超静定结构内部约束(或联系)形成的内力不能单由静力平衡方程求出的情况。
混合超静定结构：对于内、外超静定兼而有之的结构。
基本静定系：解除超静定结构的某些约束后得到静定结构，称为原超静定结构的基本静定系（简称为静定基）。
静定基的选择可根据方便来选取，同一问题可以有不同选择。
相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力的系统称为静不定问题的相当系统。
超静定次数：超静定结构的所有未知约束反力和内力的总数与结构所能提供的独立的静力平衡方程数之差。
2、力法与正则方程力法：以多余约束力为基本未知量，将变形或位移表示为未知力的函数，通过变形协调条件作为补充方程求来解未知约束力，这种方法称为力法，又叫柔度法。
应用力法求解超静定问题的步骤：1）根据问题，确定其是静定还是超静定问题，如为后者，则确定超静定次数。
2）确定哪些约束是多余约束，分析可供选择的基本静定系，并注意利用对称性，反对称性，选定合适的静定系统，在静定系上加上外力和多余约束力，形成相当系统。
3）比较相当系统与原系统，在多余约束处，确定变形协调条件，并列写正则方程（对有n个多余约束的结构）011212111=∆++⋅⋅⋅++F Rn n R R F F F δδδ022222121=∆++⋅⋅⋅++F Rn n R R F F F δδδ.02211=∆++⋅⋅⋅++nF Rn nn R n R n F F F δδδ其中F Ri 表示n 个多余约束力，δij 表示F Rj ＝1引起i 处沿F Ri 方向的位移，∆iF 表示结构所有已知载荷产生的在i 处沿F Ri 方向的位移。
10(力学与结构)两铰拱
6）两铰拱的计算和受力特点 a.从力法计算：不能用图乘法，积分。考虑轴力。 b.从受力特点：与三铰拱基本相同，H通过力法计算。
（2）带拉杆的两铰拱
X1
1）基本体系 2 2）力法基本方程
（1）不带拉杆的两铰拱 1）两铰拱的基本体系
X1
ϕ
2）力法基本方程
δ 11 X 1 + ∆1P = 0
3）计算系数和自由项（略去剪力影响）
M N δ 11 = ∫ ds + ∫ ds EI EA M 1M P ∆1 P = ∫ ds EI M1 = −y
2 1 2 1
N 1 = − cos ϕ
M P =M 0
1 l 4f δ 11 = [ 2 x(l − x)]2 dx EI ∫0 l 16 f 2 l 2 2 8 f 2l 3 4 = (l x − 2lx + x )dx = 4 ∫0 EIl 15 EI
AD段（0 ＜ x ≤ l/4） DC段（l/4 ＜ x ≤l/2 ）
∆1 P 1 =− EI
y 0
∆1 c
δ 11
3EIθ = 2 l
3EIθ l
M图
M = M X1
基本结构取如图所示，力法方程如何？
δ11 X1 +∆1 c =θ
1 1 l 2 δ 11 = ×1× l × ×1 = EI 2 3EI 1 3 θ 3EIθ ∆1 c = 0 X1 = = δ 11 l
力法计算支座移动时超静定结构内力的特点： (1)力法方程的等号右边可以不为零； (2)自由项是由支座移动在基本结构中产生的位移； (3)内力全部由多于未知力产生; (4)内力与杆件EI成正比。
静定拱专题
拉杆 提高净空 拉杆来代替支座承受水平推力
结构力学电子教案
第四章
静定拱
第4页
拱顶 拱轴线 拱高 f 起拱线
拱趾
跨度 l
f l
高跨比
结构力学电子教案
第四章
静定拱
第5页
结构力学电子教案
第四章
静定拱
第6页
位于河北赵县，又名安济桥，由石工李春主持设计建造，完成 于公元605年左右。 该桥为空腹敞肩式坦拱桥，桥长64.4m，净跨37.02m，桥宽 9m，净矢高7.23m，桥面纵坡6.5%。 拱由28圈拱石平行砌筑，每圈有拱石43块；为加强拱石间的结 合，拱石各面均凿有相当细密的斜纹。另外，还在拱石之间设置X 形锚铁和铁锚杆。 在拱圈两肩各设两个跨度不等的腹拱，既减轻了桥身自重，又 节省了材料，还便于排洪。 该桥构思巧妙，造型美观，施工精度高，工艺精致，历1300多 年而无恙，举世闻名，不愧为桥梁文物宝库中的精品。 赵州桥被列为“全国重点文物保护单位”。在90年代初，赵州桥 被美国土木工程师学会选为“国际历史土木工程里程碑”。
结构力学电子教案
第四章
静定拱
第10页
结构力学电子教案
第四章
静定拱
第7页
世界上最古老的铸铁拱桥（英国科尔布鲁克代尔桥)
结构力学电子教案
பைடு நூலகம்
第四章
静定拱
第8页
万县长江大桥：世界上跨度最大的混凝土拱桥
结构力学电子教案
第四章
静定拱
第9页
灞陵桥是一座古典纯木结构伸臂曲拱型廊桥, 号称“渭水长虹” “渭水第一桥” 主跨：40 米 建成时间：1368
第四章
静定拱
第2页
拱常用的形式
第十章超静定拱
ds
3
落地式拱
带拉杆的拱作为屋盖结构
如果E1A1→∞，则H*→H，因而两者的受力状态基本相同。 如果E1A1→0，则H*→0，这时，带拉杆的三E1铰A1 拱实际上是一 简支曲梁，对拱肋的受力是很不利的。
由此可见，为了减少拱肋的弯矩，改善拱的受力状态，应适
当的加大拉杆的刚度。
MP=M 0
＝
MP=M 0 00
VA=（1-K）
VB=K
0 x M0=Vax=(1-K)x
≤x≤l
M0=K（l-x）
0.1810.195l/f 0.139
d1P
H
==--
= 5l
3E1fElI2IK014-l 2fKx1l+-Kx-1K-2 K1 - K 1 + K - K 2
K
xdx
+0.l04l726f
xl - xKl - xdx
8f
H.I.L.
由M=M0-Hy 作MC.I.L.
先作MC0.I.L 再将H.I.L.×f
0M.25CI.L.
0.195 l 0.195l
7
y
§10-2 对称无铰拱的计算
P1
P2
P1 C C1
P2
X1 X2
X1
Oo O1 X2
例题10-3 等截面圆弧无铰拱求内力。
q=10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q=10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
y x
A
f=2.5m
D
A
X1
X1
x
X2
X2
R Φ0
R Φ0
R
φR
04-课件：7.7 超静定拱
三、有拉杆两铰拱的计算
EI、EA
A
E1 A1
l
B
原结构
A
X1
B
基本体系
解：①确定基本未知量、选择基 本结构及基本体系
51.7kN
22
M 0 X1 X 2 (R a) 2.76kN.m
M A M B X1 X 2 (a Rcos0 ) 6.98kN.m
三铰拱的水平推力
H
M0 C f
ql 2 8f
10·10 2 8·2.5
50kN
H
H H
51.7 50 50
3
%
F N1 F N 2ds EA
建立坐标系ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱoy：
M1 1 M2 y
d
x’
F N1 0 F S1 0
FN2 cos FS2 sin
12
21
y ds EI
建立坐标系x’oy’：
y
y
d
12
y d EI
ds
y EI
ds
d
1 EI
ds
F1 C C1
F2
O O1
F1
F2
X2
X2
X1
马蹄形隧洞衬砌
隧道顶拱
二、无拉杆两铰拱的计算
EI、EA
A
原结构 B
EI、EA
A
基本体系
X1 B
解：①确定基本未知量、选择基 本结构及基本体系
②列力法程 11 X1 1P 0
静定结构和超静定结构
第十章静定结构和超静定结构课题：第一节结构的计算简图[教学目标]一、知识目标：1、理解结构计算简图的作用和意义。
2、掌握结构计算简图基本的简化方法。
二、能力目标：通过对结构计算简图的讲解，提高学生分析问题的能力。
三、素质目标：培养学生善于区分事物的主要矛盾和次要矛盾[教学重点]1、支座的简化和节点的简化。
2、计算简图的概念和要求。
[难点分析]计算简图简化的原理。
[学生分析]学生由于缺乏实际工程知识，不太理解计算简图的作用以及这种分析方法。
[辅助教学手段]理论联系实际、分析、讨论的方法[课时安排]1课时[教学内容]一、导入新课何谓结构？结构的举例。
通过启发学生联系工程实例，理解结构的概念。
二、新课讲解1．结构的计算简图2．结构的计算简图应满足的要求（1）基本上反映结构的实际工作性能（2）计算简便3．实际结构的计算简图的简化（1）支座的简化三种形式；简支梁、阳台、柱的实例。
（2）节点的简化铰节点和刚节点的特点及其应用（3）构件的简化实际上是力学中杆件的简化（4）荷载的简化集中荷载和均布荷载三、讨论1 牛腿柱的计算简图2 雨蓬的计算简图四、小结在结构设计中，选定了结构的计算简图后，在按简图计算的同时，还必须采取相应的措施，以保证实际结构的受力和变形特点与计算简图相符。
五、作业思考题：1课题：第二节平面结构的几何组成分析[教学目标]一、知识目标：1、理解几何组成分析的作用和意义。
2、了解结构从几何组成的观点的分类。
3、了解结构几何组成分析的规则和方法。
4、了解静定结构和超静定结构的概念。
5、会对简单结构进行几何组成分析。
二、能力目标：通过对结构几何组成分析的讲解，提高学生分析问题的能力。
三、质目标：培养学生善于区分事物的主要矛盾和次要矛盾[教学重点]1、几何组成分析的意义和结果。
2、几何组成分析的方法。
[难点分析]结构几何组成分析的概念和方法都比较抽象，尤其是方法，学生学习起来比较困难。
讲解时，淡化理论，结合例题讲解。
建筑力学,第十章静定结构的位移计算,武汉理工
W
k
k
FPk=1
k
位移状态
力状态
结构位移计算
W 内力虚功： (i ) l FN du l M d Fdv l FQ Q d
du、d、dv
ds
k
FN、M 、FQ
ds FPk=1 k
k
位移状态
力状态
结构位移计算
外力虚功：
W FPK K F R1c1 F R 2c2 F R3c3 K F R c
q
A
ql2/2
ω
l
B
（1）绘制MP图。
（ 2）建立相应的虚拟 状态,绘制 M图 。
MP图
（ 3）图乘求位移。
1 2 ql
2
l
yC
2
3 4
l
l
FP=1
yC
2
M
B
1 EI
4
1 3
ql 2
l
3 4
ql
8 EI
图乘法
例 求图示简支梁A端截面的转角 A 及跨中竖向位移 CV 。
MM EI
P
ds
F
N
F NP
ds
EA
结构位移计算
荷载法计算结构位移的步骤：
(1) 在拟求位移方向虚设的相应的单位荷载。 (2) 求两种状态下的内力。 (3) 代入各种结构的位移计算公式计算。
结构位移计算
例 求图示桁架(各杆EA相同)C点竖向位移。
FP 1
2 2 2 2
l
F
图乘法
KP
MM P EI
ds
第十章拱坝分解
保证坝体承载能力还是存在的。根据国内外拱坝 结构模型试验研究表明，拱坝的超载能力可以 达到设计荷载的5~11倍。
在抗震性能上，由于拱坝是整体性的空间结 构，坝体比较轻韧，弹性较好，只要基岩稳定， 拱坝抗震能力是比较好的。意大利的柯尔费诺拱 坝，高40m，曾遭受破坏性地震，附近市镇的建 筑大都被毁，这个坝却没有裂缝和伤损。我国河 北省邢台地区峡沟水库的浆砌石拱坝，高78m， 在满库情况下曾经受1966年3月的强烈地震，震 后检查坝体，并未发现任何裂缝和损坏。
对于底部狭窄的V形河谷，为了不致降低拱的效 应，宜将各层拱圈的外半径从上到下逐步减小， 使各层拱圈的中心角基本上保持一致。但要使中 心角完全保持一致很难实现，所以在实标工程中 广泛采用上下拱圈的外半径和中心角都不相等的 “变半径、变中心角”式的拱坝坝型。
三、拱坝的泄水方式
拱坝的泄水方式主要有：自由跌流式、鼻坎 挑流式、坝身泄水孔等方式 。
§10-2 拱坝的布置
拱坝布置的任务是结合坝址地形、地质、水 文和施工条件选择坝型，拟定坝体基本尺寸，作 为坝体应力公析的依据。然后反复修改以求得安 全可靠、经济合理的设计方案。
一、拱坝的几何尺寸
现取单位高度的等截面圆拱来说明坝体几何
尺寸的特点。在沿外弧均布的压力p的作用下，设
拱圈厚度为T，外弧拱半径为Ru，拱形中心角为 2φA。假定拱圈两端与河岸的支承条件为滚动支 座，拱圈内部只存在沿拱轴线方向的均轴y为
拱圈的对称轴，沿y轴方向按力的平衡条件可列出
下列平衡方程：
2N sinA
A 0
pRu
cosd
即
N pRu
如坝体的容许应力为 [σ] ，按强度条件 N/A≤[σ]，可得出所需要的拱圈厚度T为：
弹性中心法求解超静定拱
弹性中心法求解超静定拱范坤杰（哈尔滨工业大学（威海）土木工程系，山东 威海 264200）摘 要：对弹性中心法进行了简述与介绍，并详细分析了其简化的原理以及一般运用计算的过程。
关键词：弹性中心法，超静定拱，力法，内力求算，简化过程拱结构在工程中的应用极为泛，桥梁工程方面，有闻名遐迩的赵州石拱桥；建筑工程方面，诸如比萨大教堂，圣彼得大教堂等著名建筑也都在不同程度上采用了拱结构。
时至今日，双曲拱桥，落地式拱顶结构，带拉杆式的拱式屋架等现代拱式结构已被大量运用于土木工程之中。
超静定拱绝大部分是无铰拱或是两铰拱。
两铰拱是一次超静定结构，求解时通常只需解除一水平约束，用力法一般步骤进行计算即可，只是由于拱是曲杆，在计算位移11δ，1P ∆时不能使用图乘法，必须进行积分，从而增大了计算量。
而无铰拱却是三次超静定结构，若采用普通的力法解题方案，解除三个约束，列出三元一次方程组进行求解，则计算量过于繁杂，正确性很难保证。
为此，力学专家们对无铰拱的计算进行了两部分简化，一是利用结构对称性的简化，二是利用刚臂的简化，最终形成了一种相对更简便清晰的方法——弹性中心法。
弹性中心法是力法的一种简化计算方法，它适用于对称无铰拱，对称封闭刚架和封闭环形结构的计算。
其基本思路：对以上适用的三种结构，首先选用对称的基本结构，同时将荷载分解成对称和反对称两组，并建立相应的求解多余未知力的力法联立方程；通过增加刚臂并调整刚臂的长度，使力法方程中的副系数等于0，从而将求解联立方程的问题转化为求解若干个独立方程的问题。
1 简化过程1．1利用结构对称性无铰拱为对称结构，在拱顶将其截开，如图1所示，以拱顶处弯矩1X 、轴力2X 和剪力3X 为多余未知力。
由于1X 与2X 为对称未知力，3X 为反对称未知力，则31δ=13δ=0，23δ=32δ=0。
由此消掉4个位移量，实现了方程组（a ）到方程组（b ）的转换。
（a ）111122133121122223323113223333+++=0+++=0+++=0P P P X X X X X X X X X δδδδδδδδδ∆∆∆（b ）111122121122223333++=0++=0+=0P P P X X X X X δδδδδ∆∆∆图1：1．2利用刚臂为使方程组进一步简化，考虑消掉12δ，21δ这两个位移量。
超静定结构内力计算不错讲义.pptx
超静定结构的力法计算的基本思想是利用静定的基本体系来计算多余未知力， 基本体系的内力、变形与原来超静定结构完全相同。因此，在求解超静定结构的位移
时，仍可以借助于基本体系，把已求出的多余力当作主动力来看待，采用前面的静定
结构求位移的方法即可以求出基本体系的位移，该位移也就是原来超静定结构中相应
X1
3EI l2
(
a) l
(3) 求内力。原超静定结构内力与基本体系相同，而支座移动在基本体系(静定结
构)中不引起内力，所以最后弯矩为：
M＝ M i X i
i
第15页/共52页
力法
原结构的弯矩图如图6.13(e)所示。 由此可以看出，计算超静定结构由于支座移动引起的内力时，其力法方程右端 项应等于原结构相应处的位移，而自由项为基本结构由于支座移动产生的与多余未知 力相应的位移。该两项可直接由基本结构中变形关系求出。结构的最后内力全部由多
力法
下面结合具体例子说明力法的运用。 【例6.2】 用力法计算如图6.10(a)所示的刚架，各杆的EI 相等且为常数，绘制内力图。
图6.10 超静定刚架
解 (1) 由几何组成分析知，该结构是二次超静定结构，去掉处的两个多余约束， 得到基本结构，如图6.10(b)所示。
第10页/共52页
力法
(2) 由已知点的位移条件，列出力法的典型方程：
第5页/共52页
力法
△1 ＝0 ，
△2＝0
图6.9 力法解二次超静定刚架
第6页/共52页
力法
设各单位未知力X1=1、X2=1 和荷载分别作用于基本结构上，A点沿X1 方向的位 移分别为δ11、 δ12、 △1P ；沿X2 方向的位移分别为δ21、 δ22、 △2P (如图6.9(c)、(d)、 (e))所示。根据叠加原理，上述位移条件可表示为：
6-4a：静定拱
可见合理拱轴为抛物线方程。
注：
1．拱的合理轴线是与荷载一一对应的，即：不同 的荷载对应有不同的合理拱轴。 2．在矢高不确定的情况下，一个荷载对应的合理 拱轴不是一条，而是一组。 3．若用压力线作为三铰拱轴线，则任一截面弯矩 都为零，故压力线为合理拱轴。 4．在工程实际中，同一结构往往受到各种荷载作 用，因此根据某一固定荷载确定的合理拱轴并不 能保证在各种荷载作用下均处于无弯矩状态。在 设计中，通常是以主要荷载作用下的合理拱轴作 为拱的轴线。
例3-2 求三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴。 q C FH A FVA l /2 q A f B FH l /2 FVB
M0 = qx(l − x)/ 2
x 代梁
ql / 2
解：
M0 y= FH 1 M = qx (l − x ) 2 0 M C 1 1 2 ql 2 FH = = × ql = f f 8 8f 8f 1 4f y = 2 × qx (l − x ) = 2 x (l − x ) ql 2 l
§ 4-3 三铰拱的合理拱轴
1、三铰拱的合理轴线 在固定荷载作用下使拱处于无弯距状态的轴线。 在固定荷载作用下使拱处于无弯距状态的轴线。 求解公式：在竖向荷载作用下， 求解公式：在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线使拱 的各截面处于无弯距状态，即由（ 第一式， 的各截面处于无弯距状态，即由（4-2）第一式，得：
斜拱的反力计算
A
P1
C
P2
B
F
f h
/ R
F
/ AV
/ R
F
= F
0 BV
0 AV
F
/ R
/ BV
= F
0 C
F = M
/h
超静定结构的计算—超静定结构基础知识(建筑力学)
超静定次数的判断
1.超静定次数的概念 指多余约束的个数。
2.超静定次数的判断方法 （1）方法
去多余约束，使超静定结构变为静定结构，总共去掉多余约束的数目即为超静定次数。 （2）去多余约束的方式
①切断一根链杆，相当于去掉一个约束； ②拆除一个单铰，相当于去掉两个约束； ③截断一根连续杆件，相当于去掉三个约束； ④将连续变为单铰，相当于去掉一个约束。
超静定结构的概念
1.概念 ①具有多余约束的几何不变体系。 ②仅仅依靠平衡方程不能求出所有约束反力的结构。 2.特点
①计算自由度 W ＜ 0；
②仅仅依靠平衡方程，不能求出其所有未知反力； ③约束反力和内力，与结构位移有关。
常见超静定结构
超静定梁 超静定桁架 超静定组合结构
超静定刚架 超静定拱
超静定铰接排架
超静定次数的判断
3.注意事项 ①同一结构，超静定次数是确定的，但去约束的方式有多种；
②必须去掉所有多余约束，使体系成为几何不变体系，但也不能多去，使体系几何可变。 ③要确保去掉的是多余约束，不能去掉必要约束，不能将原超静定结构变为瞬变体系。
05-讲义：7.7 超静定拱
第七节超静定拱超静定拱结构是工程中应用很广泛的一种结构型式，广泛应用在桥梁、水利及建筑工程中。
在桥梁工程方面，常采用石拱桥和钢筋混凝土拱桥，比如历史上有著名的赵州石拱桥，近年来又有双曲拱桥被广泛应用，其外形在纵横两个方向均成弧形曲线，如图7-40(a)所示。
在建筑工程上，常采用带拉杆的拱式屋架，屋架中曲杆为钢筋混凝土构件，拉杆为角钢，吊杆是为了防止拉杆下垂而设的附件，如图7-40(b)所示。
超静定拱有两铰拱和无铰拱两种形式，其计算简图分别如图7-41(a)和图7-41(b)所示。
在屋盖结构中采用的两铰拱，通常在拱中设置具有一定刚度的拉杆，形成带拉杆的两铰拱，如图7-41(c)所示。
设置拉杆的目的，一方面是使砖墙或立柱不受推力，从而在砖墙或立柱中不产生弯矩；另一方面又使拱肋承受推力，从而减小了拱肋的弯矩。
工程中闭合环形结构（图7-41(d)）通常也可看作是无铰拱的一种特殊情形。
图7-40 拱式结构(a)双曲拱桥 (b)带拉杆的拱式屋架图7-41 两铰拱和无铰拱(a)两铰拱 (b)无铰拱 (c)带拉杆两铰拱 (d)闭合环形结构这节先讨论两铰拱的计算。
两铰拱包括不带拉杆的两铰拱和带拉杆的两铰拱，这里分开讨论。
一、不带拉杆两铰拱的计算如图7-42(a)所示两铰拱承受竖向荷载作用，已知拱肋抗拉压刚度EA、抗弯刚度EI。
两铰拱是一次超静定结构，下面采用力法计算。
图7-42 不带拉杆两铰拱的计算(a)不带拉杆两铰拱 (b)基本体系 (c)11X =单独作用 (d)原荷载单独作用（1）基本体系和力法方程力法计算时，将撤去支座B 处水平支杆得到的曲梁作为基本结构，基本体系如图7-42(b)所示。
基本未知量1X 为两铰拱支座B 处水平支反力。
根据基本结构在原荷载与1X 共同作用下，在支座B 处沿1X 方向的水平位移为零的变形条件，建立力法方程为：11110P X δ+∆= (7-16a)(2)计算系数和自由项这里要注意，拱是曲杆，系数11δ和自由项P 1∆的计算都不能采用图乘法，需积分计算。
《超静定总论》课件
超静定结构的内力计算是结构设计中的重要环节之一。通过合理的计算方法和计算程序，可以准确地计算出超静定结 构的内力分布情况，为结构设计提供可靠的依据。
内力优化
为了提高超静定结构的承载能力和稳定性，需要进行内力优化设计。通过合理的优化方法和优化程序， 可以有效地优化超静定结构的内力分布情况，提高其承载能力和稳定性。
03
变形控制
超静定结构的变形控制是结构设计中的重要环节之一。通过合理的结构
设计和技术措施，可以有效地控制超静定结构的变形量，以满足工程中
的要求。
内力特性
内力分布
超静定结构的内力分布比较复杂，因为其受力性能受到多个因素的影响。在结构设计时，应充分考虑超静定结构的内 力分布情况，以确定其承载能力和稳定性。
04
超静定结构的优化设计
优化目标
结构安全
确保超静定结构在各种工况下 的安全性，满足强度、刚度和
稳定性要求。
经济性
在满足安全性和功能需求的前 提下，降低结构成本，提高经 济效益。
美观性
优化结构形式和布局，使其符 合美学要求，提升建筑整体视 觉效果。
施工便利性
考虑施工的可操作性和便利性 ，降低施工难度和成本。
静不定次数
超静定结构的未知约束力 和未知位移的数量。
超静定的分类
按超静定次数分类
01
一次超静定、二次超静定、三次超静定等。
按结构形式分类
02
连续梁、刚架、拱等。
按载荷形式分类
03
固定载荷、可动载荷、分布载荷等。
超静定问题的求解方法
01
力法
通过解除多余约束，将超静定问 题转化为静定问题，再求解未知 力。
优化方法
数学模型建立
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EI d = M ds = 0 .027 R
3
10
q 2 MP = x 2 EID1 P = M 1 M P ds = -0.224qR 3 EID 2 P = M 2 M P ds = -0.0223qR
4
X1 = X2 =-
D1 P
d
= 0.121qR 2 = 47.1kN .m
11
D2P
d
= 0.827 qR = 51.7 kN
22
H = X 2 = 51.7 kN M 0 = X 1 - X 2 ( R - a ) = 2.76kN .m M A = M B = X 1 + X 2 (a - R cosj 0 ) = 6.98kN .m
0 2 2 M ql 10 10 = C = = = 50kN H 三铰拱的水平推力 f 8 f 8 2.5
11 1 1p
P 1P 11
M 1M 2 kQ1Q2 N1 N 2 d 12 = ds + ds + ds EI GA EA X1=1引起： M 1 =1 N1 = 0 Q1 = 0 X2=1引起： M 2 = - y N2 = -cosj X3=1引起： M 2 = - x N2 = -sin j
0.139
l 0.1810.195 /f
H.I.L.
由M=M0-Hy 作MC.I.L. 先作MC0.I.L 再将H.I.L.×f
5l K 1 - K 1 + K - K 2 8f
0.195l
MCI.L. 0.25
7
0.195l
y
§10-2 对称无铰拱的计算
P1 P2
P1 C C1
X1
P2
截 内 叠 多 静
面 内 力 计 力图的形状特 加法绘制弯矩 跨 静 定 定 刚 架 内 力
算 征 图 梁 图
1
§10-1 两铰拱的计算方法
3m
16m
2
MP=M
0
X1
d 11 X 1 + D 1 p = 0
D1 p = M 1M P EI ds 2 2 M1 N1 ds + ds EI EA
3 ql 8
(0<x<0.5l)
1 ql 8
1 2l 3 1 2 D1 p = - y qlx- qx dx EI 0 8 2 1 l ql qfl3 - l y l - x dx = EI 2 8 30EI
D1 P
l 2
< x & 2 16
2
VA=（1-K）
0 x ≤x≤l
d 1P
H=
M0=Vax=(1-K)x
M0=K（l-x）
l4 f 1 fl 2 4 f 2 0.076 = x l x 1 K xdx + x l x K l x dx =1 K 1 + K K K 2 2 0 3 EI EI l l
MP=M 0
＝
≠
0
P
0
0
H*=1
X1=1
N1
M1
H=1
2 2 M N 1 1 d 11 = ds + ds EI EA D 1P = M 1 M P ds EI
H =-
D 1P
d 11
> H* = -
D* 1P
* d 11
2 2 l M N * 1 1 d 11 = ds + ds+ E1 A1 EI EA l * d 11 = d 11 + E1 A1 * M 1M P * D D1P = ds = D1P H * = - 1P * EI d 4
基本体系
X1
而
0 MC =0 H= f
6
例：等截面两铰拱，试求H、MC的影响线。 d1 p 4 f ξ=Kl y = 2 x l - x 解：由力法方程得 H = d 11 l C
y
H A 0.5l f x 0.5l B VB=K
l 1 4 f y2 8 f 2l d 11 = dx = x l - x dx = 2 0 H EI EI l 15EI M P ydx - 1 l 0 d 1P = - = yM dx 0 EI EI
f
A 0.5l
q↓↓↓↓↓↓↓
x x
x 0.5l
d 11 =
y dx EI
0
D1 p = - yM dx
0 2
B
∴
M0
ql 16 2 3 M0 = 8 qlx - 1 2 qx
0 2
1 l 4 f 8 f 2l d 11 = 2 x l - x dx = 0 EI l 15EI
ql 2 64
M0
2
M反对称
q/ 2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
＋
q/
＝
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑
ql 2 64
2
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑
q/
2
M对称=0
q/ 2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
对称荷载下，取三铰拱为基本体系， X1 其MP=0∴ MPΔ1P=0，X1=Δ1P/δ11=0， 而 M= M1 X 1 + M P = 0 在反对称荷载下，对称未知力X1=0 M反对称=M1X1+MP=MP = M0-Hy = M0
pR
X2
X1
X2
x
pR
M 22 ds N 22 ds y 2 ds cos 2 j d 22 = + = + ds EI EA EI EA X 1 = 0 X 2 = - D 2 P d 22 0
X2
X2
注意:1）如果在某一荷载作用下，三铰拱处于无弯矩状态，则在 同一荷载作用下，与三铰拱轴线形式相同的无铰拱的内力 在忽略轴向变形时也处于无弯矩状态；考虑轴向变形时产 生不大的弯矩，接近无弯矩状态。 2）将总的受力状态分解为：忽略轴向变形的无弯矩状态和 单有轴向 变形引起的附加内力状态。这种作法好处有三： pR 第一，计算得到简化； 第二，有助于了解拱的受力特点； X2 X2 X 1 第三，能够更好的保证计算精度。
X1
X2
Oo O1 X3
X2
x x’
P1
X1
X2
P2
X3
对称的基本体系
d d d d d d
y M 1 + d + D = X + D = 0 X X 0 11 1 12 2 1P D = ds d = ds ds EI EI EI = a + d + D = X + D = 0 δ = δ =0 → X 1 22 X 2 0 yM12 21 -aj y y ycos 21 2P 1 d = dsds D = - + ds d = ds = ds ds EI EI X3 + +D D3 P = =0 0 EI X EI EA 33 EI xM x y 1 O 点的物理含义： D = = ds =0 8 ds +d a = ds ds EI EI EI EI
H - H 51.7 - 50 = =3 % H 50
11
例10-4 求等截面圆形无铰拱在均匀水压力作用下的内力。
p
X1
D R Φ0 O Φ0 R X3 合理拱轴线 M=0 ， N= pR M QP=0 ， NP－ =－ pR P=0，Q=0 基本体系 pR X2 y
解：1）忽略轴向变形，取 M 1 =1 N 1 = 0 三铰拱为基本体系。 Δ1P=0 Δ2P=0 Δ3P=0 M 2 = -y N 2 = -cosj 无铰拱和三铰拱均 j pR N cos 2 NP 处于无弯矩状态 D1P = 0 D 2 P = ds = ds EA EA 2）考虑轴向变形，用弹 性中心法计算将精确的 ①不计轴向变形产生无弯矩状态 ②单由轴向变形产生的附加内力状态 内力状态分为： 12 以无弯矩状态作基本体系
H =-
d 11
ql 2 = 16 f
0 MC ql2 = = f 16 f
M=M0 －Hy
－Hy
ql 2 64
5
ql 2 64
M
例：图示拱，EI=常数，求其水平推力H。拱轴线方程为 4f y = 2 xl - x q↓↓↓↓↓↓↓ l y
f
＝
A 0.5l
q/ 2
x 0.5l
B
q/
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑↑
N1
M1
11
4f y = x l - x 上例，两铰拱与三铰拱的内力相等，这不是普遍性结论。 例：EI=常数，求H。拱轴线方程为 l2 如果在别的荷载作用下，或在计算位移时不忽略轴向变形的 解: 简化假定:只考虑弯曲变形;近似地取 q↓↓↓↓↓↓↓ 影响，两者内力不一定相等。但是，在一般荷载作用下，两 ds=dx,cosj=1(平拱,f/l<0.2)。 铰拱的推力与三铰拱的推力及内力通常是比较接近的。 y l 1 l 2 0
j
X1=1
y
M1 = -y x N 1 = - cos j 0 M y d 11 = D 1P = - ds EI 2 2 y cos j 求出 H后，内力的计算与三铰拱相同 d 11 = ds + ds 由于拱是曲杆 δ11Δ1P不能用图乘法 0 EI 基本体系是曲梁，计算Δ1P时一般只 M C EA 即： 三铰拱中： H = 0 考虑弯曲变形， = M M Hy f 计算δ11时，有时（在平拱中）还要 0 Q = Q cosj - H sinf D 1P D 1P 考虑轴向变形 两铰拱中： - =H =H N = -Q0 sinj - H cosj d d