高中联赛排列组合的解法

数学竞赛中的排列组合问题

江苏省梁丰高级中学 (215600) 张伟新

排列组合问题主要依据分类计数原理和分步计数原理，其本身应用的知识并不多，但 由于题目灵活多样，在各级各类考试中经常出现，在数学竞赛活动中尤其突出。其解题方法 也多种多样，归纳起来，我们一般可用下面的方法来解决。

一、列举法：

例1、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的 偶数，不同的取法有 。 （1998年全国高中数学联赛） 解：从10个数中取出3个数，使其和为偶数，则这三个数都为偶数或一个偶数二个 奇数。当三个数都为偶数时，有35C 种取法；当有一个偶数二个奇数时，有15C 25C 种取法。 题意要使其和为不小于10。我们把和为小于10的偶数列举出来，有如下9种不同取法： （0，1，3），（0，1，5），（0，1，7），（0，3，5），（0，2，4），（0，2，6），（1，2，3）， （1，2，5），（1，3，4）。因此，符合题设要求的取法有35C +15C 25C －9=51种。

例2、设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶 点之一。若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也 停止跳动。那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种。

（1997年全国高中数学联赛）

解：如图：青蛙不能经过跳1次、2次或4次到达D 点。 故青蛙的跳法只有下列两种：

（1）青蛙跳3次到达D 点，有ABCD ，AFED 两

种跳法。

（2）青蛙一共跳5次后停止，那么，前3次的跳法一定

不到达D ，只能到达B 或F ，则共有AFEF ，AFAF ，ABAF ，ABCB ，

ABAB ，AFAB 这6种跳法。随后的两次跳法各有四种，比如由F

出发的有：FEF ，FED ，FAF ，FAB 共4种。因此这5次跳法共有 6⨯4=24种不同跳法。

∴一共有2+24=26种不同跳法。

二、分类讨论：

在排列组合问题中，利用分类讨论来解决问题最为常见。如何分类、分几类成为解题的关键。下面举例说明。

例3、如图：在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同植物可供选择，则有 种栽种方案？

（2001年全国高中数学联赛）

解：由题意，要求同一块中种同一种植物，相邻的 两块种不同的植物。则可先考虑A 、C 、E ．因此作如下分类： （1）若A 、C 、E 种同一种植物，此时共

有4⨯3⨯3⨯3=108种方法。 （2）若A 、C 、E 种二种植物，此时共

有3⨯4⨯3⨯3⨯2⨯2=432种方法。

A B C D E F F E D

C B A

（3）若A 、C 、E 种三种植物，此时共有3

4A ⨯2⨯2⨯2=192种方法。 所以共计有108+432+192=732种方法。

例4、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一 种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方案共有 种。 （注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、 下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相 同。） （1996年全国高中数学联赛）

解：本题情况较为复杂，我们对用了多少种颜色进行分类讨论。

（1）若只用三种颜色，从六种不同颜色中选用3种颜色有36C 种选法。由于每两个具有公共棱的面染成不同的颜色，则正方体的相对面均为同色，由正方体的对称性知这样的染色 方案只有一种。因此共有36C =20种不同的染色方案。

（2）若只用四种颜色，从六种不同颜色中选用4种颜色有46C 种选法。则仅有一个相对面 不同色，共有24C 种不同的涂法。因此共有46C ⨯24C =90种不同的染色方案。

（3）若只用五种颜色，从六种不同颜色中选用5种颜色有56C 种选法。则仅有一个相对面同 色，不妨定为上、下底面，其有15C 种涂法。再涂侧面，有3种涂法。因此共有56C ⨯15C ⨯3=90 种不同的染色方案。

（4）用六种不同颜色来涂色。则六个面的颜色均不相同，假想颜色已经涂好，我们可以通 过适当的翻转，使上底面均为同一种颜色（例如红色），再考虑下底面，则一定有5种不同的颜色。对下底面是同一种颜色的（例如蓝色），再用余下的四种颜色来涂侧面，有!33

!4=种涂法。因此共有5⨯3！=30种不同的染色方案。

∴一共有20+90+90+30=230种不同的染色方案。

三、构造不定方程：

先介绍一个引理：

引理：求证：不定方程n x x x x m =+---++321（),2,2n m n m ≤≥≥的正整数

解有11--m n C 组。

证明：本题可用“挡板法”求解，由于11≥x ，12≥x ，---，1≥m x ，把n 分成n 个1， 这n 个1共有n ―1个空挡。插入m ―1块"挡板"，把n 个1分成m 个部分。则每一种情况对 应不定方程的一组解，所以原不定方程共有11--m n C 组解。

推论：不定方程n x x x x m =+---++321（),2N n m ∈≥的非负整数解有1

1--+m m n C 组。

证明：把方程n x x x x m =+---++321化为 m n x x x x m +=++---++++++)1()1()1()1(321，令111y x =+，

221y x =+，331y x =+，----，m m y x =+1，即求m n y y y m +=+-++21 的正整数解的组数，由引理可得共有11--+m m n C 组解。

在一些排列组合问题中，除了用其他的解法外，我们还可以用不定方程的正整数解的组 数来确定排列组合数的多少。

例5、已知两个实数集合{}10021,,,a a a A ---=与{}5021,,,b b b B ---=。若从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原像，且)()()(10021a f a f a f ≤---≤≤，则这

样的映射共有 （ ）

（A ）50100C （B ）4899C （C ）49100C （D ）4999C

（2002年全国高中数学联赛） 解：不妨设5021b b b <---<<，又因为B 中每个元素都有原像，设1b 原像的集合为1A ， 其元素个数为1x ；2b 原像的集合为2A ，其元素个数为2x ；--------50b 原像的集合为50A ， 其元素个数为50x 。 则1005021=+---++x x x （*），则问题转化为求不定方程（*） 的正整数解的组数，共有4999C 组解，故选（D ）。

例6、8个女孩和25个男孩围成一圈，任意两个女孩之间至少站两个男孩，那么，共有多 少种不同的排列方法。（只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的）

（1990年全国高中数学联赛） 解：先排女孩，这是一个圆排列问题，易知共有!78

!8=种不同的排列。8个女孩的圆排列 共留出8个空挡。再排男孩，设这8个空挡中的男孩数分别为1x ，2x ，3x ，------8x ， 25821=+---++x x x ，由于任意两个女孩之间至少站两个男孩，即求不定方程 在21≥x ，22≥x ，23≥x ，-----，28≥x 下的正整数解的组数，所以不定方程可化 为17)1()1()1(821=-+---+-+-x x x ，令111y x =-，