高中联赛排列组合的解法
高中数学 排列组合的常见题型及其解法解题思路大全
排列组合的常见题型及其解法排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。
复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。
一. 特殊元素（位置）用优先法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有A 41种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有A 55种站法，故站法共有：A A 4155⋅＝480（种）解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有A 52种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有A 44种，故站法共有：A A 5244480⋅=（种）二. 相邻问题用捆绑法对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。
例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A 66种，然后女生内部再进行排列，有A 33种，所以排法共有：A A 66334320⋅=（种）。
三. 相离问题用插空法元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。
例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？解：先将其余4人排成一排，有A 44种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有A 53种，所以排法共有：A A 44531440⋅=（种）四. 定序问题用除法对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略(完整版)
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略江西省永丰中学陈保进排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，学生不容易掌握。
下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。
1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列例1：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一排，如果A ,B 必须相邻，则不同的排法种数为_____解析：把A ,B 捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有22A 种情况,再将整体和另外三人排序，有44A 种情况，所以答案为22A ×44A =48注意：小集团问题也可以用捆绑法变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为720333522=⨯⨯A A A 2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元素的空位或两端例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____解析：先将其它4人全排列，共44A 种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共35A 种情况，所以答案为44A ×35A =14403.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法例3：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一列，如果A 必须在B 前面，则不同的排法种数有_____解析：先将5人全排列，共55A 种情况，考虑A ,B 的顺序有22A 种，符合题意的只有一种，所以答案为602255=A A 4.特殊元素优先考虑例4：8名男生排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种排法解析：①甲在最右边时，其他的可全排，有77A 种不同排法②甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有16A 种，再排乙，有16A 种排法，其余人全排列，共有77A ＋16A ×16A ×66A ＝30960种不同排法5.特殊位置优先考虑例5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种解析：翻译工作是特殊位置，先选择一人参加翻译工作，14C 种情况，再从其他5人中选择5人参加导游、导购、保洁工作，有35A 种情况，答案为14C ×35A =2406.分组、分配问题：先分组后分配，如果是整体平均分组或部分平均分组，最后计算组数时要除以n n A (n 为均分的组数)，避免重复计数例6：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1，2，3分成三组，不是平均分组，有332516C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故共有3606033=⨯A 种情况A BC DE变式1：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中有两人各得1本，一人得4本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1,1,4分成三组，为部分平均分组，有1522441516=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式2：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，每人得2本，则有_______种不同的分法解析：第一步把书按数量2,2,2分成三组，为整体平均分组，有1533222426=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式3：某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有_____种解析：①按照人数2，2，1分成3组；②按照人数3，1，1分成3组答案为15033221112353322112325=⨯+⨯A A C C C A A C C C 7.正难则反，考虑反面：例7：从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为解析：493739=-C C 此法适用于至多、至少、有、没有这类问题8.分类法（含多个限制条件的排列组合问题、多元问题）例8：甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A ，B ，C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为解析：分2种情况,①乙去A 社区，再将丙丁二人安排到B ，C 社区，有22A 种情况,②乙不去A 社区，则乙必须去C 社区，若丙丁都去B 社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B 社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2＝4种情况，所以答案为2＋1＋4＝7变式1：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个解析：元素多，取出的情况多种，个位数字可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个数，合计为300个变式2：在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种解析：只需考虑三张奖券的归属情况，①有三人各得一张奖券，情况数为34A ；②一人获两张奖券一人获一张奖券,情况数为362423=A C ，故答案为609.可重复的排列求幂法例9：把6名实习生分配到7个车间实习，每个车间人数不限，共有种不同方法解析：每名实习生有7种分配方法，答案为7×7×7×7×7×7×7=76种不同的分法10.多排问题单排法例10：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是解析：先排前排，36A 种情况，再排后排，33A 种情况，答案为720663336==⨯A A A如果没有条件限制，把元素排成几排和排成一排情况一样多变式1：8个人排成前后两排,每排4人,其中甲乙要排在前排,丙要排在后排,有种排法解析：先排甲乙和丙，还剩5个位置，让5个人做全排列，答案为5760551424=⨯⨯A A A 11.相同元素的分配问题隔板法（名额分配问题也可用隔板法）例11：将7个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子都不空，放法有种解析：可以在7个小球的6个空位中插入3块木板，每一种插法对应一种放法，故放法有3620C =种变式1：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有种放法解析：先向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有216120C =种放法12.选排问题先取后排例12：10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为解析：首先从后排的7人中抽2人，有27C 方法；再将这2人安排在前排，第一人有4种放法，第二人有5种放法，答案为2745420C ⨯⨯=变式1：摄像师要对已坐定一排照像的6位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有3人座位不调整，则不同的调整方案的种数为______解析：从6人中任选3人有36C 种情况，将这3人位置全部进行调整，有1112112C C C ⨯⨯=种情况，答案为36240C ⨯=13.部分合条件问题排除法例13：以正方体的顶点为顶点的四面体共有个解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以答案为481258C -=变式1：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种A、150种B、147种C、144种D、141种解析：从10个点中任取4个的组合数为410210C =，其中4点共面的分三类：①4点在同一侧面或底面的共4组,即46460C ⨯=种②每条棱上的三点和它的对棱的中点共面,这样的共6种③所有棱的6个中点中,4点构成平行四边形共面的有3种答案为210-(60+6+3)=14114.构造模型，等价转化例14：马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：此问题相当于一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法。
高中数学排列组合应用解题技巧
高中数学排列组合应用解题技巧在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和应用领域。
它不仅在数学中有着广泛的应用，也在现实生活中起到重要的作用。
本文将介绍一些高中数学排列组合应用解题技巧，帮助学生更好地理解和应用这一知识点。
一、排列问题排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列的问题。
在解决排列问题时，我们需要注意以下几个关键点。
1. 确定元素的个数：排列问题中，我们需要明确元素的个数。
例如，有5个人参加比赛，我们需要确定从中选取几个人进行排列。
2. 确定元素的顺序：排列问题中，元素的顺序是重要的。
例如，5个人参加比赛，我们需要确定他们的排列顺序。
3. 使用排列公式：在解决排列问题时，我们可以使用排列公式来计算可能的排列数。
排列公式为：A(n,m) = n!/(n-m)!，其中n表示元素的总数，m表示选取的元素个数。
例如，有5个人参加比赛，我们需要确定其中3个人的排列顺序。
根据排列公式，我们可以计算出A(5,3) = 5!/(5-3)! = 5!/2! = 60种可能的排列方式。
二、组合问题组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合的问题。
在解决组合问题时，我们需要注意以下几个关键点。
1. 确定元素的个数：组合问题中，我们需要明确元素的个数。
例如，有5个人参加比赛，我们需要确定从中选取几个人进行组合。
2. 不考虑元素的顺序：组合问题中，元素的顺序不重要。
例如，5个人参加比赛，我们只关心选取的人数，而不关心他们的排列顺序。
3. 使用组合公式：在解决组合问题时，我们可以使用组合公式来计算可能的组合数。
组合公式为：C(n,m) = n!/[(n-m)! * m!]，其中n表示元素的总数，m表示选取的元素个数。
例如，有5个人参加比赛，我们需要确定其中3个人进行组合。
根据组合公式，我们可以计算出C(5,3) = 5!/[(5-3)! * 3!] = 5!/2!*3! = 10种可能的组合方式。
三、应用举例下面通过一些具体的例子来说明排列组合在实际问题中的应用。
高中数学中的排列与组合解题技巧
高中数学中的排列与组合解题技巧在高中数学中，排列与组合是一个重要的概念和解题方法。
排列与组合涉及到数学中的计数和选择问题，掌握解题技巧对于理解和应用数学知识至关重要。
本文将介绍一些高中数学中排列与组合的解题技巧，帮助学生更好地理解和应用这一知识点。
一、排列的解题技巧排列是指从给定的元素中选取若干个元素按照一定顺序排列的结果。
在解决排列问题时，需要注意以下几个技巧：1. 使用排列的知识计算全排列：全排列是指将所有元素按照不同顺序排列的结果。
当需要计算给定元素全排列的数量时，可以使用排列的知识进行计算。
例如，在班级中选取任意3名同学参加演讲比赛，全排列的数量为P(全，3)。
2. 全排列中的重复元素处理：在计算全排列时，如果存在重复的元素，需要考虑重复元素的情况。
可以先计算全排列的总数，再除以重复元素的排列数量。
例如，在字母“MATH”中，字母“A”重复了2次，在计算全排列时，需要除以2!来消除重复的排列。
3. 限制条件下的排列计算：在一些题目中，可能会有某些元素需要满足一定的限制条件才能参与排列。
在解决这类问题时，需要先确定限制条件下可选的元素数量，再进行排列计算。
例如，从1-10中选取3个数字，要求所选数字之间的差值不小于2，可以先确定可选数字的范围，然后计算排列的数量。
二、组合的解题技巧组合是指从给定的元素中选取若干个元素无序地排列的结果。
在解决组合问题时，需要注意以下几个技巧：1. 使用组合的知识计算组合数量：组合的数量可以使用组合的公式进行计算。
例如，在10个人中选取3个人参加某项活动，可以使用组合的知识计算C(10, 3)。
2. 考虑组合的逆问题：在一些题目中，可能需要求解满足特定条件的组合数量。
此时可以考虑组合的逆问题，即求解不满足条件的组合数量，然后用总组合数量减去不满足条件的组合数量，得到满足条件的组合数量。
例如，在一组数字中，需要选出3个数字，使其和为15，可以先计算出不满足条件的组合数量，再用总组合数量减去不满足条件的组合数量。
高中排列组合计算公式
高中排列组合计算公式高中数学中的排列组合计算公式，那可是相当重要且有趣的一部分内容呢！先来说说排列。
排列就是从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 A(n, m) 。
计算公式是 A(n, m) = n! / (n - m)! 。
这里的“!”表示阶乘，比如说 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
给大家举个例子，假设咱们班有 10 个同学，要选 3 个同学去参加比赛，那一共有多少种选法呢？这就是一个简单的排列问题。
按照公式来算，A(10, 3) = 10! / (10 - 3)! = 10 × 9 × 8 = 720 种。
组合呢，组合是从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作C(n, m) 。
计算公式是 C(n, m) = n! / [m! × (n - m)!] 。
就说学校要从 10 个社团中选出 3 个社团参加校际交流活动，这时候就该用组合来计算，C(10, 3) = 10! / [3! × (10 - 3)!] = 120 种。
记得我之前监考的时候，发现有个同学在做排列组合的题目时，抓耳挠腮，苦思冥想。
我在旁边看着都替他着急，不过最后他还是算出来了，那股子认真劲儿真是让人欣慰。
在实际生活中，排列组合的应用那可太广泛了。
比如说抽奖，从一堆号码中抽出几个中奖号码，这就是组合。
而如果要考虑号码的顺序，那就是排列。
再比如安排座位，一排有 8 个座位，要安排 5 个人坐下，这又得考虑排列。
还有分东西，把10 个苹果分给3 个小朋友，每个小朋友至少一个，这也是组合问题。
总之，排列组合的计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多练习，多思考，就一定能掌握好。
就像咱们解决生活中的其他难题一样，只要用心，没有什么是做不到的。
大家在学习排列组合的时候，一定要多做练习题，熟悉各种题型，这样才能在考试中应对自如。
高中数学排列组合解题技巧
高中数学排列组合解题技巧在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和考点。
它涉及到对一组对象进行有序或无序地选择和排列的问题，常常出现在数学竞赛和高考中。
掌握排列组合的解题技巧对于提高数学成绩至关重要。
本文将介绍一些常见的排列组合题型，并提供解题技巧和例题分析，帮助高中学生和家长更好地掌握这一知识点。
一、排列问题排列问题是指从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择一部分或全部对象的问题。
常见的排列问题有全排列、循环排列和有条件的排列等。
1. 全排列全排列是指从n个不同的元素中，按照一定的顺序选取m个元素进行排列的问题。
全排列的计算公式为P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n!表示n的阶乘。
例题1：从1、2、3、4中任选3个数字，共有多少种排列方式？解析：根据全排列的计算公式，P(4, 3) = 4! / (4-3)! = 4! / 1! = 4 × 3 × 2 = 24。
因此，共有24种排列方式。
2. 循环排列循环排列是指将n个不同的元素排成一个环状，不计顺序的排列问题。
循环排列的计算公式为C(n) = (n-1)!，其中n!表示n的阶乘。
例题2：将1、2、3、4排成一个环状，共有多少种循环排列方式？解析：根据循环排列的计算公式，C(4) = (4-1)! = 3! = 3 × 2 = 6。
因此，共有6种循环排列方式。
二、组合问题组合问题是指从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择一部分对象的问题。
与排列不同的是，组合不考虑对象的顺序，只关注对象的选择。
常见的组合问题有选择问题和有条件的组合等。
1. 选择问题选择问题是指从n个不同的元素中，按照一定的顺序选取m个元素的问题。
选择问题的计算公式为C(n, m) = n! / (m! × (n-m)!)。
例题3：从1、2、3、4中任选3个数字，共有多少种选择方式？解析：根据选择问题的计算公式，C(4, 3) = 4! / (3! × (4-3)!) = 4! / (3! × 1!) = 4。
高中数学排列组合解题方法
高中数学排列组合解题方法高中数学排列组合解题方法近年来，排列组合题在高考试题中占据较大比例，或单独命题，或与概率内容相结合，由于排列组合题抽象性较强，解题思路灵活，方法多样，切入点多，学生在解题过程中往往容易出现思维遗漏、或重复的错误。
因此，在高中数学排列组合教学过程中，教师要加强解题训练，引导学生熟练掌握和灵活运用解题技巧，使问题迎刃而解。
下面是小编为大家带来的高中数学排列组合解题方法，欢迎阅读。
1.相离问题插空法相离问题插空法主要用来解决2个或若干个不相邻元素的排列组合问题，是解决排列组合问题的常见方法之一。
它是指先把无位置要求，无条件限制的元素排列好，然后对有位置要求，受条件限制的元素进行整理，再将受条件限制的元素插入到已排列好的无条件限制元素的间隙或两端中。
例1 在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？解析：该题若直接进行解答较为麻烦，此时可以借助相离问题插空法，可以使问题迎刃而解。
先将原来的6个节目排列好，这时中间和两端有7个空位，然后用一个节目去插7个空位，有A种方法;接着再用另一个节目去插8个空位，有A种方法;将最后一个节目插入到9个空位中，有A种方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法AAA=504种。
例2 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？解析：先排好8辆车有A种方法，要求空位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个，将空位置插入其中有C种方法。
故共有AC种方法。
2.相邻问题捆绑法相邻问题捆绑法作为排列组合题最为常见的解法之一，就是在解决对于某几个元素相邻问题时，将相邻元素作为整体加以考虑，视为一个“大”元素参与排序，然后再单独对大元素内部各元素间的排列顺序进行一一分析排列。
例3 有6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有多少种？解析：由于甲、乙两人必须要排在一起，故可将甲、乙两人捆绑起来作为一个整体进行考虑，即将两人视为一人，再与其他四人进行全排列，则有A种排法，甲、乙两人之间有A种排法。
排列组合问题的求解方法与策略
《排列组合问题的求解方法与策略》一. 排列组合问题的求解方法1. 含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例1：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .2.直接法. （一.合理分类与准确分步法） 解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
例2 、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有 （ ）A ．120种B ．96种C ．78种D ．72种例 3、 4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？例4、如图：在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同植物可供选择，则有 种栽种方案？（2001年全国高中数学联赛）例5、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。
则不同的染色方案共有 种。
（二、元素分析与位置分析法）对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。
例6、 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。
A ． 24个 B 。
30个 C 。
40个 D 。
60个例7、 马路上有8只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？ （三.列举法）例8、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有 。
高中数学解题技巧之排列组合问题求解
高中数学解题技巧之排列组合问题求解在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和解题方法。
排列组合问题在考试中经常出现，因此学会解决这类问题是非常重要的。
本文将介绍一些高中数学中排列组合问题的解题技巧，并通过具体的例子来说明这些技巧的应用。
一、排列问题的解题技巧排列是指从一组元素中选取若干个元素按一定顺序排列的方式。
在解决排列问题时，我们需要关注以下几个方面：1. 确定排列的元素个数：在题目中，通常会给出元素的个数，我们需要根据题目要求确定排列的元素个数。
例如，有5个人站成一排，问有多少种不同的站法？在这个问题中，元素的个数为5。
2. 确定排列的顺序：排列问题中的元素是按照一定的顺序排列的，我们需要确定排列的顺序。
例如，从5个人中选出3个人排成一排，问有多少种不同的排法？在这个问题中，我们需要确定排列的顺序。
3. 使用排列的公式：在解决排列问题时，我们可以使用排列的公式来计算不同排列的数量。
排列的公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!其中，n表示元素的个数，m表示排列的元素个数，n!表示n的阶乘。
例如，从5个人中选出3个人排成一排，可以使用排列的公式计算排列的数量：P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60。
二、组合问题的解题技巧组合是指从一组元素中选取若干个元素不考虑顺序的方式。
在解决组合问题时，我们需要关注以下几个方面：1. 确定组合的元素个数：在题目中，通常会给出元素的个数，我们需要根据题目要求确定组合的元素个数。
例如，从5个人中选出3个人，问有多少种不同的选法？在这个问题中，元素的个数为5。
2. 不考虑组合的顺序：组合问题中的元素是不考虑顺序的，我们不需要确定组合的顺序。
例如，从5个人中选出3个人，不考虑顺序，可以使用组合的公式计算组合的数量：C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10。
3. 使用组合的公式：在解决组合问题时，我们可以使用组合的公式来计算不同组合的数量。
排列组合常见21种解题方法
排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。
在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。
1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。
2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。
4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。
5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。
6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。
7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。
8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。
9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。
10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。
11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。
12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。
13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。
14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。
15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。
16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。
17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。
18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。
19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。
高中数学排列与组合的计算方法详解
高中数学排列与组合的计算方法详解在高中数学中，排列与组合是一个重要的概念和计算方法。
它们在各个领域都有广泛的应用，包括概率统计、数学推理等。
掌握排列与组合的计算方法，对于解决各类数学问题至关重要。
本文将详细介绍排列与组合的计算方法，并通过具体的题目举例，帮助读者理解和掌握这些方法。
一、排列的计算方法排列是从给定的元素中选取若干个进行排列，按照一定的顺序进行排列的方式。
在排列中，元素的顺序是重要的，不同的顺序将得到不同的排列结果。
排列的计算方法可以通过以下公式表示：P(n, m) = n! / (n-m)!其中，P(n, m)表示从n个元素中选取m个进行排列的方法数，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
举个例子来说明排列的计算方法。
假设有5个人参加一场比赛，要确定他们的名次。
这个问题可以看作是从5个人中选取5个进行排列的问题。
根据排列的计算方法，可以得到：P(5, 5) = 5! / (5-5)! = 5! / 0! = 5! = 120因此，参赛者的名次有120种不同的排列方式。
二、组合的计算方法组合是从给定的元素中选取若干个进行组合，不考虑元素的顺序。
在组合中，元素的顺序不重要，相同的元素组合得到的结果是相同的。
组合的计算方法可以通过以下公式表示：C(n, m) = n! / (m! × (n-m)!)其中，C(n, m)表示从n个元素中选取m个进行组合的方法数。
继续以上面的例子来说明组合的计算方法。
假设有5个人参加一场比赛，要确定其中3个人获得奖项。
这个问题可以看作是从5个人中选取3个进行组合的问题。
根据组合的计算方法，可以得到：C(5, 3) = 5! / (3! × (5-3)!) = 5! / (3! × 2!) = 10因此，获奖的组合方式有10种。
高中数学排列与组合的解题技巧
高中数学排列与组合的解题技巧在高中数学中，排列与组合是一个重要的概念和题型。
它们不仅在数学考试中常常出现，而且在实际生活中也有广泛的应用。
掌握排列与组合的解题技巧，不仅可以帮助我们在考试中取得好成绩，还可以在解决实际问题时提供有效的思路和方法。
一、排列问题排列是指从给定的元素中选出若干个进行排列，其顺序是重要的。
在排列问题中，我们常常需要考虑以下几个方面的技巧。
1.1 有关位置的排列对于有关位置的排列问题，我们可以利用“填空法”来解决。
例如，某班有10名同学，要从中选出3名同学参加篮球比赛，问有多少种不同的排列方式？解题思路：我们可以用三个空格表示三个位置，然后从10名同学中选择一个填入第一个空格，再从剩下的9名同学中选择一个填入第二个空格，最后从剩下的8名同学中选择一个填入第三个空格。
根据乘法原理，可以得到答案为10×9×8=720种不同的排列方式。
1.2 有关重复元素的排列在有些排列问题中，给定的元素中可能存在重复的元素。
对于这类问题，我们需要注意重复元素的处理。
例如，某班有5名同学，其中2名同学是双胞胎，要从中选出3名同学参加篮球比赛，问有多少种不同的排列方式？解题思路：我们可以用三个空格表示三个位置，然后从5名同学中选择一个填入第一个空格，再从剩下的4名同学中选择一个填入第二个空格，最后从剩下的3名同学中选择一个填入第三个空格。
根据乘法原理，可以得到答案为5×4×3=60种不同的排列方式。
但是由于双胞胎两名同学是相同的，所以要将重复的排列方式去掉。
即答案为60/2=30种不同的排列方式。
二、组合问题组合是指从给定的元素中选出若干个进行组合，其顺序不重要。
在组合问题中，我们常常需要考虑以下几个方面的技巧。
2.1 有关位置的组合对于有关位置的组合问题，我们可以利用“填空法”来解决。
例如，某班有10名同学，要从中选出3名同学组成一个小组，问有多少种不同的组合方式？解题思路：我们可以用三个空格表示三个位置，然后从10名同学中选择一个填入第一个空格，再从剩下的9名同学中选择一个填入第二个空格，最后从剩下的8名同学中选择一个填入第三个空格。
高中数学排列组合解题技巧
高中数学排列组合解题技巧在高中数学的学习中，排列组合是一种基础的数学概念，其应用范围广泛，尤其在数学竞赛中经常会涉及到。
对于初学者来说，掌握排列组合解题技巧是十分重要的，以下是我总结的一些技巧，希望能够帮助到大家。
一、排列组合的基本概念排列组合是指从若干元素中选择若干元素形成集合的方法。
其中，排列与组合的区别主要在于是否考虑元素的先后次序。
排列：从n个不同元素中取出m个元素按照一定的顺序排列，称为n 个不同元素中取m个元素的排列，通常表示为A（n，m）。
组合：从n个不同元素中取出m个元素，不考虑顺序的组合方式称为n个不同元素中取m个元素的组合，通常表示为C（n，m）。
二、排列组合的计算方法1. 排列的计算方法对于一个排列问题，我们可以采用以下的公式进行计算：A（n，m）= n! / (n - m)!这个公式的意思是，在n个元素中选择m个元素，有n!种不同的排列方式，但是对于每m个元素组成的排列，其内部元素顺序有m!种不同的排列方式，因此最终的排列结果就是n! / (n - m)!。
2. 组合的计算方法对于一个组合问题，我们可以采用以下的公式进行计算：C（n，m）= A（n，m）/ m! = n! / (m! * (n - m)!)这个公式的意思是，在n个元素中选择m个元素，有A（n，m）种不同的排列方式，但是由于我们不考虑元素的顺序，因此我们需要将这些排列方式除以m!（即m个元素内部可以互相交换的排列方式）。
最终的组合结果就是A（n，m）/ m! = n! / (m! * (n - m)!).三、排列组合问题的应用在解决排列组合的问题时，需要灵活掌握一些技巧，以下是一些常见的应用技巧。
1. 交换变量的位置对于一个排列问题，如果要求的是任意两个元素的不同排列方式数量，我们可以将两个元素的位置互换，得到不同的排列方式，因此需要将所有的不同排列数量乘以2。
2. 选择子集对于一个组合问题，如果需要求出n个元素中取m个元素的所有组合方式，我们可以先选择第一个元素，再从剩下的n-1个元素中选择m-1个元素，从而得到选择第一个元素的组合方式。
高中数学排列组合计算技巧
高中数学排列组合计算技巧在高中数学中，排列组合是一个重要的概念，它涉及到很多实际问题的计算。
掌握排列组合的计算技巧对于解题非常有帮助。
本文将介绍一些常见的排列组合计算技巧，并通过具体的题目来说明其考点和解题方法。
一、排列计算技巧排列是指从一组元素中取出若干个元素按照一定的顺序进行排列的方式。
在排列计算中，有两种常见的情况：全排列和部分排列。
1. 全排列全排列是指从一组元素中取出所有的元素按照一定的顺序进行排列的方式。
在全排列中，元素的顺序非常重要，每个元素都会占据一个位置。
例如，有4个元素A、B、C、D，要求从中取出3个元素进行全排列。
根据排列的定义，第一个位置可以有4种选择，第二个位置可以有3种选择，第三个位置可以有2种选择，因此总的全排列数为4×3×2=24。
在解决全排列问题时，可以使用乘法原理来计算。
即每个位置的选择数相乘即可得到总的全排列数。
2. 部分排列部分排列是指从一组元素中取出一部分元素按照一定的顺序进行排列的方式。
在部分排列中，元素的顺序同样重要，但不是每个元素都会占据一个位置。
例如，有4个元素A、B、C、D，要求从中取出2个元素进行部分排列。
根据排列的定义，第一个位置可以有4种选择，第二个位置可以有3种选择，因此总的部分排列数为4×3=12。
在解决部分排列问题时，可以使用乘法原理来计算。
即每个位置的选择数相乘即可得到总的部分排列数。
二、组合计算技巧组合是指从一组元素中取出若干个元素进行组合的方式。
在组合计算中，元素的顺序不重要，只关注元素的选择。
1. 组合的计算公式在组合计算中，有一个重要的公式可以用来计算组合数。
组合数表示从n个元素中取出r个元素进行组合的方式的总数，记作C(n, r)。
组合数的计算公式为：C(n, r) = n! / (r! × (n-r)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
高中排列组合方法大全(破解所有高考竞赛题)
排列与组合的八大典型错误、24种解题技巧和三大模型总论：一、知识点归纳二、常见题型分析三、排列组合解题备忘录1．分类讨论的思想2.等价转化的思想3.容斥原理与计数4.模型构造思想四、排列组合中的8大典型错误1．没有理解两个基本原理出错2.判断不出是排列还是组合出错3.重复计算出错4.遗漏计算出错5.忽视题设条件出错6.未考虑特殊情况出错7．题意的理解偏差出错87.解题策略的选择不当出错五、排列组合24种解题技巧1．排序问题相邻问题捆绑法相离问题插空排定序问题缩倍法（插空法）定位问题优先法多排问题单排法圆排问题单排法可重复的排列求幂法全错位排列问题公式法2．分组分配问题平均分堆问题去除重复法（平均分配问题）相同物品分配的隔板法全员分配问题分组法有序分配问题逐分法3．排列组合中的解题技巧至多至少间接法染色问题合并单元格法交叉问题容斥原理法构造递推数列法六．排列组合中的基本模型分组模型（分堆模型）错排模型染色问题一．知识点归纳1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的．．．顺序．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号mn A 表示3．排列数公式：(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）4 !n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=．5．排列数的另一个计算公式：mn A ()!n m -6 一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合7．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 8．组合数公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C mn -=,,(n m N m n ≤∈*且组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=n C ；10．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +-m nC02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=;012nn nn n C CC ++=11.“16字方针”是解决排列组合问题的基本规律，即：12.“２1个技巧”是迅速解决排列组合的捷径 二．基本题型讲解例1 分别求出符合下列要求的不同排法的种数（1）6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人； （2）6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；（3）从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，甲不跑第一棒， 乙不跑第四棒；（4）6人排成一排，甲、乙必须相邻； （5）6人排成一排，甲、乙不相邻；（6）6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、 乙、丙可以不相邻）解：（1）分排坐法与直排坐法一一对应，故排法种数为72066=A（2）甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有14A 种选法，然后其他5人选，有55A 种选法，故排法种数为4805514=A A（3）有两棒受限制，以第一棒的人选来分类： ①乙跑第一棒，其余棒次则不受限制，排法数为35A ；②乙不跑第一棒，则跑第一棒的人有14A 种选法，第四棒除了乙和第一棒选定的人外，也有14A 种选法，其余两棒次不受限制，故有221414A A A 种排法，由分类计数原理，共有25224141435=+A A A A 种排法（4）将甲乙“捆绑”成“一个元”与其他4人一起作全排列共有2405522=A A 种排法（5）甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的4人的左、右及之间的空挡插位，共有2544A A （或用6人的排列数减去问题（2）后排列数为48024066=-A ）（6）三人的顺序定，实质是从6个位置中选出三个位置，然后排按规定的顺序放置这三人，其余3人在3个位置上全排列，故有排法1203336=A C 种点评：排队问题是一类典型的排列问题，常见的附加条件是定位与限位、相邻与不相邻 例2 假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各多少种？ （1）没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品解：（1）没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法，共有64446024597=C 种（2）恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有44232023397=C C 种（3）至少有2件次品的抽法，按次品件数来分有二类：第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有32973C C 种第二类从97件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有23973C C 种按分类计数原理有4469763329723397=+C C C C 种点评：此题是只选“元”而不排“序”的典型的组合问题，附加的条件是从不同种类的元素中抽取，应当注意：如果第（3）题采用先从3件次品抽取2件（以保证至少有2件是次品），再从余下的98件产品中任意抽取3件的抽法，那么所得结果是46628839823=C C 种，其结论是错误的，错在“重复”：假设3件次品是A 、B 、C ，第一步先抽A 、B 第二步再抽C 和其余2件正品，与第一步先抽A 、C （或B 、C ），第二步再抽B （或A ）和其余2件正品是同一种抽法，但在算式39823C C 中算作3种不同抽法例3 求证：①m n m n m n A mA A =+---111 ；②12112++-+=++m n m n m n m n C C C C证明：①利用排列数公式左()()()()1!1!1!!n m n n m n m -⋅-=+--- ()()()()1!1!!n m n m n n m --+⋅-==-()==-mn A m n n !!右另一种证法：（利用排列的定义理解）从n 个元素中取m 个元素排列可以分成两类： ①第一类不含某特殊元素a 的排列有mn A 1-第二类含元素a 的排列则先从()1-n 个元素中取出()1-m 个元素排列有11--m n A 种，然后将a 插入，共有m个空档，故有11--⋅m n A m 种，因此mn m n m n A A m A =⋅+---111②利用组合数公式 左()()()()()!!2!11!1!1!m n m n m n m n m n m n -++--+--+=()()()()()()()[]11211!1!1!+-+++++--⋅+-+m n m m m m n m n m n m n ＝()()()()()()()==+-++=+++-+=++12!1!1!212!1!1!m n C m n m n n n m n m n 右另法：利用公式111---+=m n m n m n C C C 推得左()()==+=+++=+++++-+1211111m n n n m n m n m n m n m n C C C C C C C 右点评：证明排列、组合恒等式通常利用排列数、组合数公式及组合数基本性质例4 已知f 是集合{}d c b a A ,,,=到集合{}2,1,0=B 的映射 （1）不同的映射f 有多少个？（2）若要求()()()()4=+++d f c f b f a f 则不同的映射f 有多少个？ 分析：（1）确定一个映射f ，需要确定d c b a ,,,的像（2）d c b a ,,,的象元之和为4，则加数可能出现多种情况，即4有多种分析方案，各方案独立且并列需要分类计算解：（1）A 中每个元都可选0,1,2三者之一为像，由分步计数原理，共有433333=⋅⋅⋅个不同映射（2）根据d c b a ,,,对应的像为2的个数来分类，可分为三类：第一类：没有元素的像为2，其和又为4，必然其像均为1，这样的映射只有一个；第二类：一个元素的像是2，其余三个元素的像必为0,1,1，这样的映射有121314=P C 个；第三类：二个元素的像是2，另两个元素的像必为0，这样的映射有624=C 个由分类计数原理共有1+12+6=19（个）点评：问题（1）可套用投信模型：n 封不同的信投入m 个不同的信箱，有nm 种方法；问题（2）的关键结合映射概念恰当确定分类标准，做到不重、不漏 例5 四面体的顶点和各棱的中点共10个点（1）设一个顶点为A ，从其他9点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有多少种？（2）在这10点中取4个不共面的点，不同的取法有多少种？ 解：（1）如图，含顶点A 的四面体的三个面上，除点A 外都有5个点，从中取出3点必与点A 共面，共有353C 种取法含顶点A 的棱有三条，每条棱上有3个点，它们与所对棱的中点共面，共有3种取法根据分类计数原理和点A 共面三点取法共有333335=+C 种（2）取出的4点不共面比取出的4点共面的情形要复杂，故采用间接法：先不加限制任取4点（410C 种取法）减去4点共面的取法 取出的4点共面有三类：第一类：从四面体的同一个面上的6点取出4点共面，有464C 种取法 第二类：每条棱上的3个点与所对棱的中点共面，有6种取法 第三类：从6条棱的中点取4个点共面，有3种取法根据分类计数原理4点共面取法共有6936446=++C故取4个点不共面的不同取法有()14136446410=++-C C （种）点评：由点构成直线、平面、几何体等图形是一类典型的组合问题，附加的条件是点共线与不共线，点共面与不共面，线共面与不共面等 三、排列组合解题备忘录 ：⑴ｍ个不同的元素必须相邻，有mm P⑵ｍ个不同元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个位置有 mn P 种不同的“插入”方法⑶ｍ个相同的元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个位置，有mn C 种不同的“插入”⑷若干个不同的元素“等分”为 ｍ个组,要将选取出每一个组的组合数的乘积除以mm P四．排列组合问题中的数学思想方法 （一）．分类讨论的思想：许多“数数”问题往往情境复杂，层次多，视角广，这就需要我们在分析问题时，选择恰当的切入点，从不同的侧面，把原问题变成几个小问题，分而治之，各种击破。
(好)高中数学排列组合问题常用的解题方法
(好)高中数学排列组合问题常用的解题方法高中数学排列组合问题常用的解题方法江苏省滨海县五汛中学 王玉娟排列组合是高中数学的重点和难点之一，是进一步学习概率的基础。
排列组合问题通常联系实际，生动有趣，并且能够锻炼同学们的逻辑推理能力和思维的缜密性，但题型多样，思路灵活，不易掌握。
实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用，现将高中阶段常用的排列问题和组合问题的解题方法归纳如下：一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．例1 五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有 种。
分析：把甲、乙视为一人，并且乙固定在甲的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种。
二、相离问题插空法元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．例2 七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是 。
分析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种。
三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．例3 A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一排，如果 B 必须站A 的右边(A 、B 可不相邻)，那么不同的排法种数有 。
分析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种。
四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．例4 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 。
分析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法。
高三数学排列组合20种解题方法汇总(含例题及解析,Word版)
排列组合解法解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法乙甲丁丙练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法C 14A 34C 13位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。
高中排列组合题型及解题方法
高中排列组合题型及解题方法高中排列组合题型及解题方法排列和组合是高中数学中比较重要的一部分，也是经常会被考到的题型。
排列组合题的解题方法也比较多样，下面我们就来详细讲解一下高中排列组合题型及解题方法。
一、排列排列是指从一定个数中取出一部分进行排序，其顺序不同，则排列也不同。
简单来说，就是“从n个不同元素中取出m个元素进行排列”的问题，排列的计算公式是P(n,m)=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)。
下面就来看一个具体的实例：在有10个人中挑选三个人排队，问有多少种排法？解题思路：从10个人中取出3人进行排列，共有P(10,3)种排列方法，即P(10,3)=10 * 9 * 8 = 720 种方案。
二、组合组合是指从一定个数中取出一部分，其顺序不同，则组合相同。
简单来说，就是“从n个不同元素中取出m个元素”的问题，组合的计算公式是C(n,m)=n!/m!(n-m)!。
下面就来看一个具体的实例：有8个人排成一行，现需从中选出5个人组成小组，请问有多少种组合方式？解题思路：从8个人中选出5人组成小组，共有C(8,5)种组合方法，即C(8,5)=8!/5!3!=56种方案。
三、排列组合计数法排列组合计数法是指通过组合、排列的计算，求解相关方案数的方法。
其中常见的方法有加法原理、乘法原理以及容斥原理。
1. 加法原理加法原理是指，在计算某个事件发生的总次数时，如果该事件可以被分解成m个互不相交的子事件，且每个子事件的发生次数分别为n1,n2,...,nm，则该事件发生的总次数为n1+n2+...+nm。
下面举例说明：一件工作分成两个阶段，第一阶段有4种做法，第二阶段有3种做法，则整个工作的做法有4+3=7种。
2. 乘法原理乘法原理是指，在计算某个事件发生的总次数时，如果该事件可以被分解成m个独立的子事件，且第一子事件有n1种发生方式，第二子事件有n2种发生方式，..., 第m个子事件有nm种发生方式，则该事件发生的总次数为n1*n2*...*nm。
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数学竞赛中的排列组合问题江苏省梁丰高级中学 (215600) 张伟新排列组合问题主要依据分类计数原理和分步计数原理，其本身应用的知识并不多，但 由于题目灵活多样，在各级各类考试中经常出现，在数学竞赛活动中尤其突出。
其解题方法 也多种多样，归纳起来，我们一般可用下面的方法来解决。
一、列举法：例1、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的 偶数，不同的取法有 。
（1998年全国高中数学联赛） 解：从10个数中取出3个数，使其和为偶数，则这三个数都为偶数或一个偶数二个 奇数。
当三个数都为偶数时，有35C 种取法；当有一个偶数二个奇数时，有15C 25C 种取法。
题意要使其和为不小于10。
我们把和为小于10的偶数列举出来，有如下9种不同取法： （0，1，3），（0，1，5），（0，1，7），（0，3，5），（0，2，4），（0，2，6），（1，2，3）， （1，2，5），（1，3，4）。
因此，符合题设要求的取法有35C +15C 25C －9=51种。
例2、设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶 点之一。
若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也 停止跳动。
那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种。
（1997年全国高中数学联赛）解：如图：青蛙不能经过跳1次、2次或4次到达D 点。
故青蛙的跳法只有下列两种：（1）青蛙跳3次到达D 点，有ABCD ，AFED 两种跳法。
（2）青蛙一共跳5次后停止，那么，前3次的跳法一定不到达D ，只能到达B 或F ，则共有AFEF ，AFAF ，ABAF ，ABCB ，ABAB ，AFAB 这6种跳法。
随后的两次跳法各有四种，比如由F出发的有：FEF ，FED ，FAF ，FAB 共4种。
因此这5次跳法共有 6⨯4=24种不同跳法。
∴一共有2+24=26种不同跳法。
二、分类讨论：在排列组合问题中，利用分类讨论来解决问题最为常见。
如何分类、分几类成为解题的关键。
下面举例说明。
例3、如图：在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同植物可供选择，则有 种栽种方案？（2001年全国高中数学联赛）解：由题意，要求同一块中种同一种植物，相邻的 两块种不同的植物。
则可先考虑A 、C 、E ．因此作如下分类： （1）若A 、C 、E 种同一种植物，此时共有4⨯3⨯3⨯3=108种方法。
（2）若A 、C 、E 种二种植物，此时共有3⨯4⨯3⨯3⨯2⨯2=432种方法。
A B C D E F F E DC B A（3）若A 、C 、E 种三种植物，此时共有34A ⨯2⨯2⨯2=192种方法。
所以共计有108+432+192=732种方法。
例4、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一 种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。
则不同的染色方案共有 种。
（注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、 下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相 同。
） （1996年全国高中数学联赛）解：本题情况较为复杂，我们对用了多少种颜色进行分类讨论。
（1）若只用三种颜色，从六种不同颜色中选用3种颜色有36C 种选法。
由于每两个具有公共棱的面染成不同的颜色，则正方体的相对面均为同色，由正方体的对称性知这样的染色 方案只有一种。
因此共有36C =20种不同的染色方案。
（2）若只用四种颜色，从六种不同颜色中选用4种颜色有46C 种选法。
则仅有一个相对面 不同色，共有24C 种不同的涂法。
因此共有46C ⨯24C =90种不同的染色方案。
（3）若只用五种颜色，从六种不同颜色中选用5种颜色有56C 种选法。
则仅有一个相对面同 色，不妨定为上、下底面，其有15C 种涂法。
再涂侧面，有3种涂法。
因此共有56C ⨯15C ⨯3=90 种不同的染色方案。
（4）用六种不同颜色来涂色。
则六个面的颜色均不相同，假想颜色已经涂好，我们可以通 过适当的翻转，使上底面均为同一种颜色（例如红色），再考虑下底面，则一定有5种不同的颜色。
对下底面是同一种颜色的（例如蓝色），再用余下的四种颜色来涂侧面，有!33!4=种涂法。
因此共有5⨯3！=30种不同的染色方案。
∴一共有20+90+90+30=230种不同的染色方案。
三、构造不定方程：先介绍一个引理：引理：求证：不定方程n x x x x m =+---++321（),2,2n m n m ≤≥≥的正整数解有11--m n C 组。
证明：本题可用“挡板法”求解，由于11≥x ，12≥x ，---，1≥m x ，把n 分成n 个1， 这n 个1共有n ―1个空挡。
插入m ―1块"挡板"，把n 个1分成m 个部分。
则每一种情况对 应不定方程的一组解，所以原不定方程共有11--m n C 组解。
推论：不定方程n x x x x m =+---++321（),2N n m ∈≥的非负整数解有11--+m m n C 组。
证明：把方程n x x x x m =+---++321化为 m n x x x x m +=++---++++++)1()1()1()1(321，令111y x =+，221y x =+，331y x =+，----，m m y x =+1，即求m n y y y m +=+-++21 的正整数解的组数，由引理可得共有11--+m m n C 组解。
在一些排列组合问题中，除了用其他的解法外，我们还可以用不定方程的正整数解的组 数来确定排列组合数的多少。
例5、已知两个实数集合{}10021,,,a a a A ---=与{}5021,,,b b b B ---=。
若从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原像，且)()()(10021a f a f a f ≤---≤≤，则这样的映射共有 （ ）（A ）50100C （B ）4899C （C ）49100C （D ）4999C（2002年全国高中数学联赛） 解：不妨设5021b b b <---<<，又因为B 中每个元素都有原像，设1b 原像的集合为1A ， 其元素个数为1x ；2b 原像的集合为2A ，其元素个数为2x ；--------50b 原像的集合为50A ， 其元素个数为50x 。
则1005021=+---++x x x （*），则问题转化为求不定方程（*） 的正整数解的组数，共有4999C 组解，故选（D ）。
例6、8个女孩和25个男孩围成一圈，任意两个女孩之间至少站两个男孩，那么，共有多 少种不同的排列方法。
（只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的）（1990年全国高中数学联赛） 解：先排女孩，这是一个圆排列问题，易知共有!78!8=种不同的排列。
8个女孩的圆排列 共留出8个空挡。
再排男孩，设这8个空挡中的男孩数分别为1x ，2x ，3x ，------8x ， 25821=+---++x x x ，由于任意两个女孩之间至少站两个男孩，即求不定方程 在21≥x ，22≥x ，23≥x ，-----，28≥x 下的正整数解的组数，所以不定方程可化 为17)1()1()1(821=-+---+-+-x x x ，令111y x =-，221y x =-，331y x =-，-----，881y x =-， 即得17821=+---++y y y ，其 正整数解的组数是716C 。
再对男孩全排列，共有716C ⨯!25种排列。
所以共有716C ⨯!7⨯!25种不同的排列方式。
例7、如果从数1、2、3、---14中，按由小到大的顺序取出a 1、a 2、a 3使同时满足a 2―a 1≥3 与a 3―a 2≥3，那么所有符合上述要求的不同取法有 种。
（1989年全国高中数学联赛） 解：由11≥a ，312≥-a a ，323≥-a a ，0143≥-a ，令11x a =，212x a a =-，323x a a =-，4314x a =- ，则144321=+++x x x x ，问题即求 不定方程在11≥x ，32≥x ，33≥x ，04≥x 下的整数解的组数，又方程转化为 11)1()2()2(4321=++-+-+x x x x 。
令11y x =，222y x =-，332y x =-，441y x =+， 而114321=+++y y y y 的正整数解的组数是310C 。
所以符合条件的a 1、a 2、 a 3 的不同取法有310C =120种。
四、利用递推关系：在一些排列组合问题中，我们可以从简单问题入手，寻找规律，继而把问题一般化， 寻找更一般的关系式，即递推关系式，然后解决具体问题。
例8、有排成一行的n 个方格，用红、黄、蓝三色涂每个格子，每格涂一色，要求任何相邻的格不同色，且首尾两格也不同色，问有多少种涂法？（1991年江苏夏令营）解：设共有n a 种不同涂法。
易得1a =3，2a =6，3a =6。
且当4≥n 时，将n 个格子依 此编号后，则格1与格（1-n ）不相邻。
（1）若格（1-n ）涂色与格1不同，此时格n 只有一色可涂，且前1-n 格满足首尾两格 不同色，故有1-n a 种不同涂法。
（2）若格（1-n ）涂色与格1相同，此时格（2-n ）与格1涂色必然不同，否则格 （1-n ）与格（2-n ）相同，于是前2-n 格有2-n a 种不同涂法。
因为格n 与格1不同色，有两种涂法，故有22-n a 种不同涂法。
综上可得递推关系式：n a =1-n a +22-n a （4≥n ），并可得n n n a )1(22-+=（2≥n ）。
例9、一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多上跃三级。
从地面 上到最上一级，一共可以有 种不同的爬跃方式。
（中等数学2001.3奥林匹克训练题）解：易得1a =1，2a =2，3a =4，4a =7。
把问题一般化，设一共有n 级梯子，每次可爬 一级或上跃二级，最多上跃三级。
设共有n a 种不同的爬跃方式。
若第一次爬了一级，则有1-n a 种方式；若第一次上跃二级，则有2-n a 种方式；若第一次上跃三级，则有3-n a 种方式。
因 此n a =1-n a +2-n a +3-n a 。
易得818=a 。
即共有81种不同的爬跃方式。
江苏省梁丰高级中学 邮编：215600E —mail ：Zhangwx@练习题：1、 用红、黄、蓝三色给正方体表面染色，每面只染一种颜色，每色各染两个面，如果 经过适当翻转可使两个染色的正方体各对应面的颜色相同者视为一种染色方法，那么，不同的染色方法种数为 （ ）（A ）3种 （B ）5种 （C ）8种 （D ）12种（2003江苏省数学夏令营）（提示：三种颜色都涂相对两面，有1种方法；一种颜色涂相对两面，有3种方法；三种 颜色都不涂在相对面，有1种方法。