浙江省金华市高二上学期期末数学试卷(理科)
浙江省金华市十校2022-2023学年高二上学期期末调研考试数学试题 Word版含解析
浙江省金华十校2018-2019学年第一学期期末调研考试高二数学试题一，选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1.在空间直角坐标系中,点与点（）A. 有关平面对称B. 有关平面对称C. 有关平面对称D. 有关轴对称【结果】C【思路】【思路】利用“有关哪个对称,哪个坐标就相同”,得出正确选项.【详解】两个点和,两个坐标相同,坐标相反,故有关平面对称,故选C.【点睛】本小题主要考查空间点对称关系,考查理解和记忆能力,属于基础题.2.圆与圆地位置关系是（）A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离【结果】A【思路】【思路】计算两个圆地圆心距以及,比较大小后得出正确选项.【详解】两个圆地圆心分别为,圆心距,两个圆半径均为,故,所以两个圆相交.故选A.【点睛】本小题主要考查圆与圆地位置关系,考查圆地圆心和半径以及圆心距地计算,属于基础题.3.“”是“”地（）A. 充分不必要款件B. 必要不充分款件C. 充要款件D. 既不充分也不必要款件【结果】B【思路】【思路】将两个款件相互推导,依据能否推导地情况选出正确选项.【详解】当“”时,如,,故不能推出“” .当“”时,必然有“”.故“”是“”地必要不充分款件.【点睛】本小题主要考查充分，必要款件地判断,考查含有绝对值地不等式,属于基础题.4.给定①②两个命题：①为“若,则”地逆否命题。
②为“若,则”地否命题,则以下判断正确地是（）A. ①为真命题,②为真命题B. ①为假命题,②为假命题C. ①为真命题,②为假命题D. ①为假命题,②为真命题【结果】C【思路】【思路】判断①原命题地真假性,得出其逆否命题地真假性.写出②地否命题,并判断真假性.由此得出正确选项.【详解】对于①原命题显然为真命题,故其逆否命题也为真命题.对②其否命题是“若,则”,由于时,,故否命题是假命题.所以①为真命题,②为假命题,故选C.【点睛】本小题主要考查四种命题及其相互关系,考查命题真假性地判断,属于基础题.5.设是两款异面直线,下面命题中正确地是（）A. 存在与都垂直地直线,存在与都平行地平面B. 存在与都垂直地直线,不存在与都平行地平面C. 不存在与都垂直地直线,存在与都平行地平面D. 不存在与都垂直地直线,不存在与都平行地平面【结果】A【思路】【思路】画出一个正方体,依据正方体地结构特征,结合线，面平行和垂直地定理,判断出正确选项.【详解】画出一个正方体如下图所示,分别是地中点.由图可知,,平面,平面.由此判断A选项正确,本题选A.【点睛】本小题主要考查空间异面直线地位置关系,考查线面平行等知识,属于基础题.6.已知,则（）A. B. C. D.【结果】D【思路】【思路】先求得函数地导数,然后令求出正确选项.【详解】依题意有,故,所以选D.【点睛】本小题主要考查基本初等函数地导数,考查复合函数地导数计算,考查函数除法地导数计算,属于中档题.7.如图,在空间四边形中,,,,,则异面直线与所成角地大小是（）A. B. C. D.【结果】B【思路】【思路】通过计算出地数量积,然后利用夹角公式计算出与所成角地余弦值,进而得出所成角地大小.【详解】依题意可知,.设直线与所成角为,则,故.所以本小题选B.【点睛】本小题主要考查利用空间向量地数量积,计算空间两款异面直线所成角地大小,考查化归与转化地数学思想方式,考查数形结合地数学思想方式,属于中档题.要求两款异面直线所成地角,可以通过向量地方式,通过向量地夹角公式先计算出夹角地余弦值,再由此得出所成角地大小.8.经过坐标原点地直线与曲线相切于点.若,则A. B. C. D.【结果】D【思路】【思路】先求得函数在上地表达式,利用导数求得切线地斜率,写出切线方程,利用切线方程过原点求出切点地坐标满足地等式,由此得出正确选项.【详解】当时,故,.所以切点为,切线地斜率为,由点斜式得,将原点坐标代入得,即,故选D.【点睛】本小题主要考查经过某点地曲线切线方程地求解方式,考查含有绝对值地函数地思路式,考查利用导数求曲线地切线方程,考查同角三角函数地基本关系式,属于中档题.本题地关键点有两个：一个是函数在上地表达式,另一个是设出切点,求出切线方程后,将原点坐标代入化简.9.已知椭圆地右焦点是,为坐标原点,若椭圆上存在一点,使是等腰直角三角形,则椭圆地离心率不可能为（）A. B. C. D.【结果】C【思路】【思路】分别依据为直角时,椭圆地离心率,由此得出正确地选项.【详解】当时,代入椭圆方程并化简得,解得.当时,,,故.当时,,即,,,解得.综上所述,C选项不可能,故选C.【点睛】本小题主要考查等腰直角三角形地性质,考查椭圆离心率地求解方式,属于中档题.10.在正方体中,分别为线段，上地动点,设直线与平面，平面所成角分别是,则（）A. B.C. D.【结果】B【思路】【思路】在图中分别作出直线与平面，平面所成地角,依据边长判断出,求出地表达式,并依据表达式求得地最小值,也即是地最大值.【详解】设正方体边长为.过作,而,故平面,故.同理过作,得到.由于,故,所以,即.而,当得到最小值时,得到最小值为,即得到最大值为.故选B.【点睛】本小题主要考查直线和平面所成地角,考查三角函数最值地判断与求解,属于中档题.二，填空题（每题4分,满分20分,将结果填在答题纸上）11.已知直线：,若地倾斜角为,则实数_______。
高二数学上学期期末考试试题
高二数学上学期期末考试试题浙江省金华市2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题试卷满分100分，考试时间 80分钟注意事项：1．答题前请在相应答题卷上填写好自己的姓名、班级、座位号等信息2．答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上的相应区域内，答案写在本试卷上无效. 3. 本试卷4页，答题卷2页，共6页,共25题祝同学们年好运！第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知全集U={1，2，3，4}，若A={1，3}，则CuA= （ ▲ ）A.{1，2}B.{1，4}C.{2，3}D.{2，4}2. 已知数列1，a ，5是等差数列，则实数a 的值为（ ▲ ）A .2B .3C .4D .53.计算lg 4+lg 25=（ ▲ ）A .2B .3C .4D .104.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a=3，A=60°，B=45°，则b 的长为 （ ▲ ）A.22B.1C.2D.25. 已知角α的终边经过点(3,4)P ，则sin α=（ ▲ ）A.35B.34C.45D.436. 函数2()log (1)f x x =-的定义域为（ ▲ ）A.(,1)-∞-B.(,1)-∞C.(0,1)D.(1,)+∞7.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的方程为2y x =+，则一点O 到直线l 的距离是（ ▲ ）A.12B.22C.2D.28.已知圆221:1C x y+=，圆222:(3)(4)9C x y-+-=，则圆1C与圆2C的位置关系是（▲）A.内含B.外离C.相交D.相切9.设关于x的不等式(ax－1)(x+1)<0(a∈R)的解集为{x|－1<x<1}，则a的值是（▲）A.－2B.－1C.0D.110．不等式组⎩⎨⎧≤+->+-263yxyx，表示的平面区域（阴影部分）是（▲）11.函数xxf2sin21)(2-=是（▲）A.偶函数且最小正周期为2πB.奇函数且最小正周期为2πC.偶函数且最小正周期为πD.奇函数且最小正周期为π12.设向量(2,2),b(4,),c(,),,.a x y x y x y R=-==∈r rr若ba⊥rr，则|c|r的最小值是（▲）A.255 B.455 C. 2 D. 513.函数f(x)=x·1n|x|的图像可能是（▲）14.在△ABC 中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC 的长为 （ ▲ ）A.19B.13C.3D.715. 已知直线2x +y +2+λ(2−y )=0与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为S (λ) 当λ∈(1，+∞)时，S (λ)的最小值是（ ▲ ） A .12 B .10 C .8 D .616.设椭圆：22221(0)y x a b a b+=>>的焦点为F 1，F 2，若椭圆上存在点P ，使△P F 1F 2是以F 1P 为底边的等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ▲ ）A. 1(0,)2B. 1(0,)3C. 1(,1)2D.1(,1)317.正实数x ，y 满足x+y=1，则yx y 11++的最小值是（ ▲ ） A.3+2 B.2+22 C.5 D.21118.已知平面向量,a b r r 满足3a =r ，12()b e e R λλ=+∈r ur u u r ，其中12,e e u r u u r 为不共线的单位向量.若对符合上述条件的任意向量,a b r r恒有a b -r r ≥3，则12,e e u r u u r 夹角的最小值为（ ▲ ）A.6πB.3πC.23πD.56π第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分。
浙江省金华市2023-2024学年高二上学期期末数学试题含答案
金华2023学年高二第一学期期末考试数学试卷（答案在最后）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.空间直角坐标系中，点B 是点()345A ，，在坐标平面Oxy 内的射影，则OB =（）A.5B.25C.D.【答案】A 【解析】【分析】求出B 点坐标，然后直接用距离公式计算即可.【详解】由点B 是点()345A ，，在坐标平面Oxy 内的射影可得()340B ，，，则5OB == .故选：A.2.椭圆C ：221169x y +=的左焦点为F ，椭圆上的点1P 与2P 关于坐标原点对称，则12||||PF P F +的值是（）A.3B.4C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】令椭圆C 的右焦点F '，由已知条件可得四边形12PFP F '为平行四边形，再利用椭圆定义计算作答.【详解】令椭圆C 的右焦点F '，依题意，线段12PP 与FF '互相平分，于是得四边形12PFPF '为平行四边形，因此21||||P F PF '=，而椭圆C ：221169x y +=的长半轴长4a =，所以1211||||||||28PF P F PF PF a '+=+==.故选：D3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若313S a =，则63a a =（）A.8- B.8C.1或8- D.1-或8【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的前n 项和公式及等比数列通项公式即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则因为313S a =，所以12313a a a a ++=，即220q q +-=，解得1q =或2q =-，所以3631a q a==或8-.故选：C.4.攒（cuán ）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为6，顶角为2π3的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（）A.B.C. D.6π【答案】B 【解析】【分析】由轴截面三角形，根据已知可得圆锥底面半径和母线长，然后可解.【详解】轴截面如图，其中6AB =，23ACB π∠=，所以,36CAB AO π∠==，所以3cos6AO AC π===，所以圆锥的侧面积3S rl ππ==⨯=.故选：B5.已知圆C ：222x y +=，点(,3)A m m -，则点A 到圆C 上点的最小距离为（）A.1B.2C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】写出圆C 的圆心和半径，求出AC 距离的最小值，再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法即可求解.【详解】由圆C ：222x y +=，得圆()0,0C ，半径r，所以AC ===≥所以点A 到圆C上点的最小距离为32222=.故选：C.6.直线12y xt =+与曲线y =相切，且与圆()2220x y r r +=>相切，则r =（）A.15B.C.3D.3【答案】B 【解析】【分析】先由直线与曲线y =求出t ，再由直线与圆相切即可求出r【详解】设直线12yx t=+在曲线y=上的切点为(0x ，则()012f x '==，解得01x =，故切点坐标为()1,1，将()1,1代入直线12y x t =+中，解得12t =，所以直线方程为1122y x =+，即210x y -+=，又210x y -+=与圆()2220x y r r +=>相切，则55r ==，故选：B7.在数列{}n a 中，11n n na na a +=+，若46n a =，11a =，则n 的值为（）A.9B.10C.11D.12【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得1n n n a a +-=，利用累加法可得(1)12n n n a -=+，结合46n a =即可求出n 的值.【详解】由11n n na na a +=+，得1n n n a a +-=，所以21321121(2)n n a a a a a a n n --=-=-=-≥ ，，,，所以112(1)n a a n -=+++- ，又11a =，所以(1)1(2)2n n n a n -=+≥，又11a =满足，所以(1)12n n n a -=+由46n a =，解得10n =.故选：B8.已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，点A 是C 的左顶点，O 为坐标原点，以2OF 为直径的圆交C 的一条渐近线于O 、P 两点，以OP 为直径的圆与x 轴交于,O M 两点，且PO 平分APM ∠，则双曲线C 的离心率为（）A.B.2C.D.3【答案】B 【解析】【分析】由直径所对圆周角是直角，结合双曲线的几何性质和角平分线定义可解.【详解】由圆的性质可知，2F P OP ⊥，OM PM ⊥，所以2F P b =，OP a =因为OA a =，所以PAO APO∠=∠又因为PO 平分APM ∠，所以2APM PAO ∠=∠，由90APM PAO ∠+∠=︒，得30PAO ∠=︒，所以260POM PAO ∠=∠=︒，即tan 60ba=︒=所以2e ==故选：B二、多项题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9.已知点M 椭圆22:4936C x y +=上一点，椭圆C 的焦点是12,F F ，则下列说法中正确的是（）A.椭圆C 的长轴长是9B.椭圆C 焦距是C.存在M 使得1290F MF ∠=D.三角形12MF F 的面积的最大值是【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆的几何性质逐个判断即可.【详解】22224936194x y x y +=⇒+=，所以229,43,2,a b a b c ==⇒===，对于A ：因为3a =，所以长轴为26a =，A 错误；对于B ：因为c =，所以焦距为2c =B 正确；对于C ：当M 取到上顶点时此时12F MF ∠取到最大值，此时123MF MF a ===，122F F c ==所以(22212331cos 02339F MF +-∠==-<⨯⨯，所以此时12F MF ∠为钝角，所以存在M 使得1290F MF ∠= ，C 正确；对于D ：当M 取到上顶点时此时三角形12MF F 的面积取到最大值，此时122S c b =⨯⨯=D 正确，故选：BCD10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <，613S S =，则（）A.数列{}n a 是递减数列B.100a =C.9S 是n S 中最小项D.216S S <【答案】BC 【解析】【分析】根据等差数列的性质和前n 项求和公式可得19a d =-、0d >，结合通项公式和前n 项求和公式计算，依次判断选项即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由613S S =，得1165131261322a d a d ⨯⨯+=+，解得19a d =-，因为10a <，所以0d >.A ：由0d >，得等差数列{}n a 为递增数列，故A 错误；B ：1019990a a a d d =+=-+=，故B 正确；C ：221(1)9(19)2222n n n n n dS na d nd d d n n -=+=-+-=-，因为00d n >>，，由二次函数的性质可知当9n =或10n =时，n S 取到最小值，即9S 为n S 中最小项，故C 正确；D ：2122(9)17S a d d d d =+=⨯-+=-，161161516242S a d d ⨯=+=-，由0d >，得216S S >，故D 错误.故选：B C11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点．则下列结论正确的是（）A.直线1DB 与平面AEF 垂直B.直线1A G 与平面AEF 平行C.三棱锥D AEF -的体积为23D.点D 到平面AEF 的距离为43【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出相关各点坐标，求出平面AEF 的法向量，利用向量的数量积的计算，可判断A,B ；根据等体积法可求得三棱锥D AEF -的体积，可判断C ；利用空间距离的向量计算公式，可判断D .【详解】如图，以D 点为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z轴，建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(2,2,2),(2,0,0),(1,2,0),(0,2,1),(2,0,2),(2,2,1)D B A E F A G ,对于A,1(2,2,2),(1,2,0),(2,2,1)DB AE AF ==-=-,设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则20220n AE x y n AF x y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-++=⎩，可取(2,1,2)n =，而1(2,2,2)DB = ，与(2,1,2)n =不平行，故直线1DB 与平面AEF 不垂直，故A 错；对于B ，1(0,2,1)AG =- ,平面AEF 的法向量为(2,1,2)n =,()()10,2,12,1,20A G n ⋅=-⋅=,1A G 不在平面AEF 内,故直线1A G 与平面AEF 平行，故B 正确；对于C ，11122213323D AEF F DAE DAE V V S FC --==⨯=⨯⨯⨯⨯= ,故C 正确；对于D ，(2,0,0)DA = ,平面AEF 的法向量为(2,1,2)n =,,故点D 到平面AEF 的距离为||23||n DA d n ⋅===，故D 正确，故选：BCD12.已知抛物线2:4C y x =，点(2,0)M -，(2,0)P ，过点P 的直线l 交抛物线C 与,A B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，下列说法正确的有（）A.128y y =-B.AB的最小值为C.11AP BP +=D.AMP BMP∠=∠【答案】ABD 【解析】【分析】首先设直线l 的方程为2x my =+，与抛物线方程联立，消去x ，得2480y my --=，分别写出12y y +，12y y 式子，然后逐项验证，对于A 直接得出，对于B 利用弦长公式再结合二次函数求最值即可，对于C ，直接利用两点间的距离公式计算即可，对于D ，利用0AM BM k k +=即可验证.【详解】设直线l 的方程为2x my =+，则由224x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 整理，得2480y my --=，因为直线l 交抛物线C 与,A B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则所以124y y m +=，128y y =-，故A 正确.AB ===≥，m =0时等号成立，故B 正确.AP ==1，同理，可得BP y =2，则AP BP +=11===≠2，故C 不正确.()()()()AM BM y x y x y yk k x x x x ++++=+=++++1221121212212222()()()()()()()y my y my my y y y x x x x +++++==++++12211212121244242222.()()()m mx x -+⨯==++122844022,即AMP BMP ∠=∠，故D 正确.故选：ABD.【点睛】解决本题的关键就是设出直线l 的方程为2x my =+，这样很大程度减小了运算量，联立直线方程与抛物线，进而利用韦达定理写出交点纵坐标之间的关系，在逐项验证即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.直线20x y ++=的倾斜角的是______．【答案】3π4【解析】【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】因为直线20x y ++=的斜率1-，设直线20x y ++=的倾斜角为α，则tan 1α=-，因为[0,π)α∈，所以3π4α=，故答案为：3π4.14.已知函数()()sin 20f x x xf '=-，则π2f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭___________.【答案】3-【解析】【分析】先求函数()()sin 20f x x xf '=-的导数，利用赋值法求出(0)f '，即可得函数解析式，从而求得π2f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】由于()()2cos 20f x x f ''=-，所以(0)2cos0(0)f f =-''，解得(0)1f '=，所以()sin 2f x x x =-，则()2cos21f x x '=-，所以π32f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭.故答案为：3-15.九连环是我国古代流传至今的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环，移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，推广到m 连环，用n a 表示解下()n n m ≤个圆环所需的最少移动次数，若数列{}n a 满足：11a =，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下n （n 为偶数）个圆环所需的最少移动次数n a =___________.（用含n 的式子表示）【答案】121n --【解析】【分析】根据通项公式得到243n n a a -=+，构造出等比数列，进而求出121n n a -=-.【详解】因为n 为偶数，当4n ≥时，()12221222143n n n n a a a a ---=-=+-=+，即()2141n n a a -+=+，又2121211a a =-=-=，所以{}1n a +是以212a +=为首项，4为公比的等比数列，故1121242n n n a -+=⨯=，所以121n n a -=-，故答案为：121n --16.已知在平面直角坐标系xOy 中，(3,0),(3,0)A B -，动点P 满足2PA PB=，则P 点的轨迹Γ为圆_______，过点A 的直线交圆Γ于两点C ，D ，且AC CD = ，则CD =______.【答案】①.()22516x y -+=②.【解析】【分析】设(),P x y ，根据2PA PB =可得圆的方程，利用垂径定理可求CD =【详解】设(),P x y2=，整理得到221090x y x +-+=，即22(5)16x y -+=.因为AC CD = ，故C 为AD 的中点，过圆心()5,0作AD 的垂线，垂足为M ，则M 为CD的中点，则32AM CD ==解得CD =故答案为：22(5)16x y -+=，四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 中，11a =，且122(*)n n n a a n N +=+∈（1）求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出n a ；（2）数列{}n a 前n 项和为n S ，求n S ．【答案】（1）证明见解析，12n n a n -=⋅（2）()121n n S n =-+ 【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义可证2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，利用等差数列的通项公式可求n a .（2）利用错位相减法可求n S .【小问1详解】因为122(*)n n n a a n N +=+∈，111222n n n n a a ++∴-=∴2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列，11(1)2222n n a n n ∴=+-⨯=，12n n a n -∴=⋅.【小问2详解】0111·22·22n n S n -=+++⋅ ，2n S =()1112122n n n n -⋅++-⋅+⋅ ，12112222n n n S n -∴-=++++-⋅ ()121n n =-⋅-，()121n n S n ∴=-⋅+.18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11AB AC AA ===，AB AC ⊥，D 是棱BC 的中点，（1）求异面直线11,AB DC 所成角的余弦值；（2）求二面角11B AD C --的余弦值．【答案】（1）6（2）13【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系,求出相关各点的坐标,求出11,AB DC ,利用向量的夹角公式求得答案;(2)求出平面平面1B AD 和平面1ADC 的一个法向量,利用向量夹角公式求得答案.【小问1详解】以1{,,}AB AC AA 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,则1111(0,0,0),(1,0,0),(1,0,1),(0,1,0),(,,0)(0,1,1)22A B B C D C ，,1111(1,0,1),(,,1)22AB DC ==- ,所以111111cos ,6AB DC AB DC AB DC <>== ，所以直线11AB DC ，所成角的余弦值为6；【小问2详解】设(,,)m x y z = 为平面1B AD 的一个法向量，111(,,0),(1,0,1)22AD AB == ,则⋅A =12+12=0 ·B 1 =+=0,∴+=0+=0，1,1,1(1,1,1)x y z m ==-=-∴=-- 令则，，同理111(,,0),(0,1,1)22AD AC == ,则11100,220·0x y n AD x y y z n AC y z ⎧+=⋅=+=⎧⎪∴⎨⎨+=⎩⎪=+=⎩,可取平面1ADC 的一个法向量为(1,1,1)n =- ，则1cos ,3m n m n m n<>== ,由图可知二面角11B AD C --为锐角，所以二面角11B AD C --的余弦值为13.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点21,2M ⎛ ⎪⎝⎭，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 的倾斜角为锐角，l 与圆2212x y +=相切，与椭圆C 交于A 、B 两点，且AOB 的面积为23，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=（2）1y x =±【解析】【分析】(1)将点M 、N 的坐标代入椭圆方程计算，求出a 、b 的值即可；(2)设l 的方程为：(0)y kx m k =+>，1122,,()()A x y B x y ，，根据直线与圆的位置关系可得2221m k =+，直线方程联立椭圆方程并消去y ，利用韦达定理表示出1212+、x x x x ，根据弦长公式求出AB ，进而列出关于k 的方程，解之即可.【小问1详解】椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，N ．则221112a ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a b ==，2212x C y ∴+=椭圆的方程为【小问2详解】设l 的方程为：(0)y kx m k =+>l 与圆2212x y +=相切22212m k =∴=+，设点1122,,()()A x y B x y ，2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩由，∴（1+22)2+4B +22−2=0，则Δ>01+2=−4B 1+2212=22−21+22，12223AOB S AB =⨯=，12AB x ∴==-，3，3=，2221m k =+又，425410k k ∴--=，21k =∴，0k > ，1k ∴=，故211m m =⇒=±，1l y x ∴=±的方程为20.如图，在四棱锥S−ABCD 中，底面ABCD 为矩形，4=AD ，AB =2，AC BD O = ，SO ⊥平面ABCD ，SO =13BF FC =uu u r uu u r ，E 是SA 的中点．（1）求直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值；（2）在直线SC 上是否存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD ？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）7（2）存在，M 与S 重合【解析】【分析】（1）分别取AB ，BC 中点M ，N ，易证,,SO OM ON 两两互相垂直，以{,,}OM ON OS 为正交基底，建立空间直角坐标系，先求得平面SCD 的一个法向量(,,)m x y z = ，再由cos ,m EF m EF m EF⋅<>=⋅ 求解；（2）假设存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD ，再求得平面MEF 的一个法向量(,,)n x y z = ，然后由0m n ⋅= 求解.【小问1详解】解：分别取AB ，BC 中点M ，N ，则OM ON ⊥，又SO ⊥平面ABCD ，则,,SO OM ON 两两互相垂直，以{,,}OM ON OS 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，1(2,1,0),(2,1,0)22A D ---则,),F(1,1,0)，所以3(0,,),(0,2,0),(2,1,22EF DC SC =-==- ，设平面SCD 的一个法向量为(,,)m x y z =，2020m SC x y m DC y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅==⎪⎩ 则，200x y y ⎧-+=⎪∴⎨=⎪⎩，22)x z m ==-∴=- 令则cos ,7m EF m EF m EF⋅<>==⋅ ，,m EF EF SCD <> 与与平面所成角互余，直线EF 与平面SBC所成角的正弦值为7.【小问2详解】假设存在点M ，使得平面MEF ⊥平面SCD，(2,1,(2,,)SM SC λλλλ==-=- 设，1(12,,)22EM ES SM λλ=+=--+ 则，设平面MEF 的一个法向量(,,)n x y z =，()30221312022n EF y z n EM x y z λλ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪⋅=--+++= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩则，令1y =，则111(,1,2121z x n λλλλ--==∴=++ ， 平面MEF ⊥平面SCD，22021m n λλ-∴⋅=-=+ ，0λ∴=，∴存在点,M MEF SCD ⊥使得平面平面，此时M 与S 重合.21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1342n n S n a -=-.（1）证明：数列{}1n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若()3(1)log 1nn n n b a a =+--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得22024n T >的最小正整数n .【答案】（1）证明见解析，131n n a -=+（2）4【解析】【分析】（1）利用n S 与n a 的关系式化简出132n n a a -=-，再构造成()1311n n a a -=--即可证明为等比数列同时求出通项公式；（2）化简可得()(1)1n n n b a n =+--，再通过分组求和可得2n T ，判断2n T 的单调性即可求出22024n T >的最小正整数n .【小问1详解】因为1342n n S n a -=-，所以322n n S a n =+-①当1n =时，1113122a S a ==+-，所以12a =；当2n ≥时，()113122n n S a n --=+--②①-②得133122n n n a a a -=-+，即132n n a a -=-，则()1311n n a a -=--，而110a -≠，所以数列{}1n a -构成以1为首项，3为公比的等比数列，则113n n a --=，所以131n n a -=+.【小问2详解】131n n a -=+，()()13(1)log 131(1)1n n n n n n b a a n -∴=+--=++--，{}n a 的前2n 项和22133122132n n n n --+=+-(){}(1)1nn --的前2n 项和()0123421n -+-+-+⋯+-()()()()01232221n n n⎡⎤=-++-++⋯+--+-=⎣⎦223132n n T n -∴=+2n T 单调递增且66313337320242T -=⨯+=<，883134329220242T -=⨯+=>所以使得22024n T >最小正整数n 为4.22.已知双曲线()2222:100x y a b a b Γ-=>>，过点P ，且Γ的渐近线方程为y =．（1）求Γ的方程；（2）如图，过原点O 作互相垂直的直线1l ，2l 分别交双曲线于A ，B 两点和C ，D 两点，A ，D 在x 轴同侧．①求四边形ACBD 面积的取值范围；②设直线AD 与两渐近线分别交于M ，N 两点，是否存在直线AD 使M ，N 为线段AD 的三等分点，若存在，求出直线AD 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2213y x -=（2）①[)6+∞，；②不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意求得22,a b ，即可得解；（2）①易知直线1l ，2l 的斜率均存在且不为0，设11233442(,),(),(,),(,)A x y B x y C x y D x y '，1l 的方程为y kx =，则2l 的方程为1=-y x k ，联立2213y kx y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消元，则0∆>，利用韦达定理求得1212,x x x x +，再根据弦长公式可求得AB ，同理可求得2k 的范围及CD ，再根据12ACBD S AB CD =⋅整理即可得出答案；②设直线AD 的方程为y kx m =+，5566(,),(,)A x y D x y ，联立2213y tx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消元，根据0∆>求得,t m 的关系，利用韦达定理求得5656,x x x x +，再利用弦长公式求得AD ，易求得,M N 的坐标，即可求出MN ，再根据M ，N 为线段AD 的三等分点，可得3AD MN =，结合AB CD ⊥，可得两个等量关系，从而可得出结论.【小问1详解】解：由题意有b a =b =①，将点P 代入双曲线方程得22361a b -=②，联立①②解得2213a b ⎧=⎨=⎩，故Γ的方程为2213y x -=；【小问2详解】解：①，易知直线1l ，2l 的斜率均存在且不为0，设11233442(,),(),(,),(,)A x y B x y C x y D x y '，1l 的方程为y kx =，则2l 的方程为1=-y x k，联立2213y kx y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y 整理得()22330k x --=，直线1l 与双曲线Γ交于两点，故230k -≠且()21230k ∆=->，则23k <，则1212230,3x x x x k +==--，则AB ==，联立22113y x k y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消y 整理得()2223130k x k --=，直线2l 与双曲线Γ交于两点，故2310k -≠且()2212310k k ∆=->，解得213k >，则23434230,31k x x x x k +==--，则CD =，根据对称性可知四边形ACBD 为菱形，其面积12ACBD S AB CD =⋅====2133k << ，∴22116243k k ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，，∴(]222221616341(1)2k k k k =∈+++，，∴(]22216301(1)k k -∈+，，[)6ACBD S ∴∈+∞，；②，假设满足题意的直线AD 存在，易知直线AD 斜率存在，设直线AD 的方程为y tx m =+，5566(,),(,)A x y D x y ，联立2213y tx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()2223230t x tmx m ----=，则()230t -≠且()()222244330t m m t ∆=++->，解得23≠t 且223t m <+，由韦达定理有56225622333km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨--⎪=⎪-⎩，则AD ===，不妨设M 为直线AD 与渐近线y =的交点，联立y tx m y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，M ⎛⎫∴，同理可得N点的坐标为⎛⎫，则MN ==，因为M ，N 为线段AD 的三等分点，3AD MN =，=，整理得22830t m +-=，①AB CD ⊥ ，AO DO ∴⊥，则0AO DO ⋅=，即56560x x y y +=，()()56565656x x y y x x tx m tx m +=+++()()()222225656223211033m tm t x x tm x x m t tm m t t --=++++=++=--，整理得223230t m -+-=,②联立①②得2913t =-，无解，故没有满足条件的直线AD ．。
2023-2024学年浙江省金华市十校高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省金华市十校高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线：x ﹣2y +3＝0与直线：2x +ay ﹣2＝0互相平行，则a ＝（ ）A ．1B ．4C ．﹣4D ．﹣12．已知等差数列{a n }中，a 3+a 10＝9，则S 12＝（ ）A ．24B ．36C ．48D ．543．如果函数y ＝f （x ）在x ＝2处的导数为1，那么limΔx→0f(Δx+2)−f(2)Δx =（ ） A ．1 B ．12 C ．13 D ．144．过点P （﹣1，2）且与直线x +2y +3＝0垂直的直线方程是（ ）A ．x ﹣2y +5＝0B ．x +2y ﹣3＝0C ．2x ﹣y +4＝0D ．2x +y ＝05．圆C ：x 2+y 2﹣2x +4y ＝r 2﹣5（r ＞0）与圆D ：x 2+y 2＝6的位置关系不可能（ ）A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切 6．（多选）已知v →为直线l 的方向向量，n 1→，n 2→分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列说法中，正确的有（ ）A ．n 1→∥n 2→⇔α∥βB ．n 1→⊥n 2→⇔α⊥β C ．v →∥n 1→⇔l ∥α D ．v →⊥n 1→⇔l ⊥α 7．法国天文学家乔凡尼•多美尼卡•卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称为卡西尼卵形线（Cas sin iOval ）小张同学受到启发，提出类似疑问，若平面内动点与两定点所成向量的数量积为定值，则动点的轨迹是什么呢？设定点M 和N ，动点为H ，若MH →⋅NH →=2，则动点H 的轨迹为（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线 8．已知直线l ：y ＝kx +m （k ≠±1）与双曲线x 2﹣y 2＝1有唯一公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于A （x ，0），B （0，y ）两点，则当M 运动时，点P （x ，y ）到C(2√2，0)、D(3√2，1)两点距离之和的最小值为（ ）A ．√51−4B ．√51+4C ．√51−2D ．√3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．下列导数运算正确的（ ）A ．（e x ）'＝e xB ．(1x )′=1x 2C ．[ln(2x)]′=1xD ．（xe x ）'＝（x +1）e x10．已知等差数列{a n }的公差为﹣3，若a 7＞0，a 8＜0，则首项a 1的值可能是（ ）A ．18B ．19C ．20D ．2111．已知抛物线P ：x 2＝2py 的准线方程为y ＝﹣1，焦点为F ，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线上的两点，抛物线在A ，B 两点的切线交于点P ，则下列结论一定正确的（ ）A ．抛物线的方程为：x 2＝4yB ．|AF |＝y 1+1C ．当直线AB 过焦点时，三角形OAB 面积的最小值为1D ．若|AB|=√32(y 1+y 2+2)，则∠AFB 的最大值为23π 12．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，是一个八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，某玩具厂商制作一个这种形状棱长为6cm ，重量为360g 的实心玩具，则下列说法正确的是（ ）A ．将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为6√2cmB ．将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为4√2cmC ．将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为3√10cmD ．将玩具放至水中，其会飘浮在水面上三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线f(x)=12x 2+2x 在点（2，f （2））处的切线斜率为 ． 14．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数m ＝6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）．数列{a n }满足冰雹猜想，其递推关系为：a 1＝m （m 为正整数），a n+1={12a n ，当a n 为偶数时3a n +1，当a n 为奇数时．若a 4＝1，则m 所有可能的取值为 ．15．如图，在四面体ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE EB =AH HD =CF FB =CG GD =12，M 是EG 和FH 的交点，以{AB →，AC →，AD →}为基底表示AM →，则AM →= ．16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√53，F 为椭圆C 的一个焦点，若F 关于直线y ＝kx 的对称点恰好在椭圆C 上，则斜率k 的取值构成的集合为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2021-2022学年浙江省金华十校高二上学期期末联考数学试题(解析版)
2021-2022学年浙江省金华十校高二上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知()1,2,3A -，则点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是（ ） A ．()1,2,3-- B ．()1,2,3---C ．()1,2,3--D ．()1,2,3--【答案】C【分析】根据对称性求得坐标即可.【详解】点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是()1,2,3--， 故选：C2．已知1,21,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数，*n N ∈，若121a =，则4a =（ ）A ．6B ．11C ．12D ．22【答案】C【分析】根据递推关系式计算即可求出结果.【详解】因为1,21,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数，*n N ∈，121a =，则21122a a =+=，23112aa ==，43112a a =+=，故选：C.3．已知ABC 的周长等于10，4BC =，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点A 的轨迹方程可以是（ ） A ．()221095x y y +=≠B ．()221094x y y +=≠C ．()22103620x y y +=≠D ．()22103616x y y +=≠【答案】A【分析】根据椭圆的定义进行求解即可. 【详解】因为ABC 的周长等于10，4BC =， 所以6AB AC BC +=>，因此点A 的轨迹是以,B C 为焦点的椭圆，且A 不在直线BC 上， 因此有22226,243,25a c a c b a c ==⇒==⇒=-=，所以顶点A 的轨迹方程可以是()221095x y y +=≠，故选：A4．在四棱锥A BCD -中，,M N 分别为,AB CD 的中点，则（ ） A ．111222MN AD AC AB =+- B ．111222MN AD AC AB =++ C ．111222MN AD AC AB =--+D ．111222MN AD AC AB =-+ 【答案】A【分析】结合空间几何体以及空间向量的线性运算即可求出结果.【详解】因为,M N 分别为,AB CD 的中点，则12AM AB =,12CN CD =,MN AM AC CN =-++111222AB AC AC AD =-+-+111222AB AC AD =-++,故选：A.5．已知{}n a 是等比数列，则（ ） A ．数列{}na 是等差数列B ．数列{}2n a 是等比数列C ．数列{}lg n a 是等差数列D ．数列{}2n a是等比数列【答案】B【分析】取0n a <，可判断AC 选项；利用等比数列的定义可判断B 选项；取2n n a =可判断D 选项.【详解】若0n a <n a 、lg n a 无意义，A 错C 错；设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q ≠，222112n n n n a a q a a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭（常数）， 故数列{}2n a 是等比数列，B 对；取2nn a =，则11222n n n n a a ++==，数列{}n a 为等比数列， 因为124a =，242216a ==，3822256a ==，且()3212222a a a ≠⋅，所以，数列{}2n a不是等比数列，D 错.故选：B.6．气象台A 正南方向400km 的一台风中心，正向北偏东30°方向移动，移动速度为50km /h ，距台风中心250km 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风影响持续时间大约是（ ） A ．3h B ．4hC ．5hD ．6h【答案】D【分析】利用余弦定理进行求解即可.【详解】如图所示：设台风中心为O ，30AOB ∠=︒，t 小时后到达点B 处，即50BO t =，当250AB ≤时，气象台所在地受到台风影响， 由余弦定理可知：22232cos3016000025002400502AB AO BO AO BO t t ︒=+-⋅⋅⋅+-⨯⋅⋅有：2223160000250024005025083390AB t t t t =+-⨯⋅≤⇒-+≤， 解得：433433t ≤≤，所以气象台所在地受到台风影响持续时间大约是433(433)6-=， 故选：D7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，且满足()11DE xDA yDC x y DD =++--，则DE 的最小值是（ ）A ．13B ．23C ．33D ．23【答案】C【分析】由空间向量的共面定理可得点1,,,E A C D 四点共面，从而将求DE 的最小值转化为求点D 到平面1ACD 的距离d ，再根据等体积法计算d .【详解】因为()11DE xDA yDC x y DD =++--，由空间向量的共面定理可知，点1,,,E A C D 四点共面，即点E 在平面1ACD 上，所以DE 的最小值为点D 到平面1ACD 的距离d ，由正方体棱长为1，可得1ACD △是边长为2的等边三角形，则()12132sin232ACD S π=⨯⨯=△，111122ACD S =⨯⨯=△，由等体积法得，11D ACD D ACD V V --=，所以131********d d ⨯⨯=⨯⨯⇒=，所以DE 的最小值为33. 故选：C【点睛】共面定理的应用：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任意一点P ，都存在唯一的有序实数组(),,x y z 使得OP xOA yOB zOC =++，说明：若1x y z ++=，则,,,P A B C 四点共面.8．已知,,A B C 三个观测点，A 在B 的正北方向，相距2040m ，C 在B 的正东方向，相距1360m .在某次爆炸点定位测试中，,A B 两个观测点同时听到爆炸声，C 观测点晚2s 听到，已知声速为340m/s ，则爆炸点与C 观测点的距离是（ ） A ．680m B ．1020mC ．1360mD ．1700m【答案】D【分析】根据题意作出示意图，然后结合余弦定理解三角形即可求出结果.【详解】设爆炸点为O ，由于,A B 两个观测点同时听到爆炸声，则点O 位于AB 的垂直平分线上，又C 在B 的正东方向且C 观测点晚2s 听到，则点O 位于AB 的左侧，2040m AB =，1360m BC =,3402680m OC OB -=⨯=，设m OB x =，则()2222213606801020cos cos sin 221360x x x OBC OBA OBA x +-+-⎛⎫∠=∠+=-∠== ⎪⋅⎝⎭π解得1020x =，则爆炸点与C 观测点的距离为10206801700m +=， 故选：D. 二、多选题9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，51a =，则（ ） A ．282a a += B ．371a a = C ．99S = D ．1010S =【答案】AC【分析】根据等差中项的性质可判断AB 选项；利用等差数列的求和公式可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，28522a a a +==，A 对； 对于B 选项，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()22237555224141a a a d a d a d d =-+=-=-≤，B 错；对于C 选项，()19959992a a S a +===，C 对； 对于D 选项，10910109S S a a =+=+，10S 的值无法确定，D 错. 故选：AC.10．已知直线()()():1120l m x m y m m R ++--=∈和圆22:1O x y +=，则（ ） A ．直线l 经过定点()1,1 B ．直线l 与圆O 相切时1m =-C ．当0m =时直线l 被圆O 截得弦长等于1D ．当12m =时直线l 被圆O 【答案】AD【分析】对于A ，将直线方程转化为关于m 的方程形式，求得定点坐标；对于B ，根据直线与圆的位置关系求得参数值；对于CD ，根据参数值求得弦长； 【详解】对于A ，将直线变形为：(2)0x y m x y +-+-=，则200x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得1x y ==，即定点坐标为()1,1，故A 正确；对于B ，当直线l 与圆O 1=，解得1m =±，故B 错误；对于C ，当0m =时，直线:0l x y -=，圆O 被截得的弦长等于2，故C 错误； 对于D ，当12m =时，直线:320l x y --=，圆O 被截得的弦长等于=D 正确；故选：AD11．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,,F F M 为椭圆上一点，满足2MF 垂直于x 轴，且1MF 与以2OF 为直径的圆相切于点N （O 为坐标原点），则（ ） A ．123MF MF = B ．2MN MF =C ．12122MF MF F F +=D ．1212MF MF F -=【答案】ABD【分析】根据椭圆的定义、圆的切线性质，结合勾股定理逐一判断即可. 【详解】不妨设点M 在第一象限，以2OF 为直径的圆的圆心为P ，如图所示：当x c =时，由222221c y b y a b a +=⇒=（负值舍去），所以2(,)bM c a，因为圆P 的半径为2c，1MF 是圆P 的切线，显然2MF 是也是圆P 的切线，因此有2MF MN =，所以选项B 正确；在直角1NPF 中，1NF ===，由椭圆的定义可知：122MF MF a +=，显然选项C 不正确；由22121222b b MF MF a MN NF MN a a a a+=⇒++=⇒+=，22c a b c =⇒⇒==，所以222b MF a ==，12MF a =，123MF MF =，1212MF MF F -==，选项AD 正确，故选：ABD【点睛】关键点睛：利用椭圆的定义，结合圆的切线性质是解题的关键. 12．全班学生到工厂劳动实践，各自用4cm AB =，12cm BC CC ==的长方体1111ABCD A B C D -切割出四棱锥P FBED -模型.产品标准要求：,E F 分别为,AB CD 的中点，P 可以是线段11A B (不含端点)上的任意一点，有四位同学完成制作后，对自己所做的产品分别作了以下描述，你认为有可能符合标准的是( )A ．使直线PD 与平面PEB 所成角取到了最大值 B ．使直线PE 与平面PDF 所成角取到了最大值C ．使平面PDE 与平面PFB 的夹角取到了最大值D ．使平面PDF 与平面PEB 的夹角取到了最大值 【答案】BC【分析】建立空间直角坐标系，设P 点坐标，利用向量法求出各个选项所研究的角的正弦值或余弦值，根据点P 的坐标变化范围即可判断角的变化情况，判断角是否能取到最大值即可.【详解】则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,4,0B ，()0,4,0C ，()2,2,0E ，()0,2,0F ， 设()2,,2,04P t t <<，则()2,,2DP t =，()0,2,2EP t =-，()0,2,0DF =，()2,2,0DE =，()2,2,2FP t =-，()0,4,2BP t =-，取平面PEB 的一个法向量为()2,0,0m DA ==， 设平面PDF 的法向量为()111,,n x y z =， 则1110000y n DF x z n DP ⎧=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎩⎩，取()2,0,2n =-，设平面PDE 的法向量为()222,,p x y z =，则22222220000x ty z p DP x y p DE ⎧++=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎩⎩，取()2,2,2p t =--，设平面PFB 的法向量为()333,,q x y z =，则()()33333222004200x t y z q FP t y z q BP ⎧⎧+-+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎪⎪⎩⎩，取()2,2,4q t =--， A ：设直线PD 与平面PEB 所成角为α， 则224sin cos ,288DP m DP m DP m t t α⋅===⋅++，∵0＜t ＜4时，函数28y t =+单调递减，没有最大值，故A 描述不可能符合标准.B ：设直线PE 与平面PDF 所成角为β， 则222sin cos ,44(2)4(2)4EP n EP n EP nt t β⋅====⋅+⋅-+-+，0＜t ＜2时，函数y2＜t ＜4时，函数y减，∴当t ＝2时，即P 是11A B 中点的时候，sin β取最大值，此时夹角β最大，故B 描述可能符合标准.C ：设平面PDE 与平面PFB 的夹角为θ， 则2cos cos 8(p q p q pqθ⋅=⋅==⋅+下面研究函数2y t ∈(0，4)上的单调性：令t －3＝s ，22(3)t s r -==， 222616(3)77t t t s -+=-+=+，28(2)t +-＝()()2228[31]9(3)2392t t t s s +-+=+-+-=++， 28(4)t +-＝()()2228[31]9(3)2392t t t s s +--=+---=+-，则228(2)8(4)=t t ⎡⎤⎡⎤+-⋅+-⎣⎦⎣⎦()()229292s s s s+++-()()2222422941481732s s s s s =+-=++=++，∴2y=2===t ∈(0，4)，2(3)r t =-在()0,3t ∈递减，在()3,4t ∈递增，且[)0,9r ∈，又y =在[)0,9r ∈时递增， 故由复合函数单调性判断原理可知2y 在()0,3t ∈递减，在()3,4t ∈递增，则cos θ在t ＝3时取最小值，此时θ最大，即平面PDE 与平面PFB 的夹角取到了最大值，故C 描述可能符合标准. D ：设平面PDF 与平面PEB 的夹角为φ，则42cos cos ,2244m n m n m nϕ⋅====⋅⋅+，即45ϕ=为定值，故D 描述不可能符合标准. 故选：BC.【点睛】本题综合考察了线面角和面面角的向量求法.问题关键是选项C 的情况，需要合理换元，通过复合函数的单调性判断法则判断所得函数的单调性. 三、填空题13．已知正方形ABCD 的边长为2，对ABD 部分以BD 为轴进行翻折，A 翻折到A '，使二面角A BD C '--的平面角为直二面角，则A B CD '=___________. 【答案】-2【分析】根据CD BA →→=，则''A B CD A B BA →→→→⋅=⋅，根据条件求得向量夹角即可求得结果. 【详解】由题知，CD BA →→=，取BD 的中点O ，连接,'AO A O ，如图所示，则,'AO BD A O BD ⊥⊥，又二面角A BD C '--的平面角为直二面角， 则'90AOA ，又'2AO A O ==则'2AA =，'ABA △为等边三角形，从而2',3A B BA π→→<>=， 则2''22cos 23A B CD A B BA π→→→→⋅=⋅=⨯⨯=-， 故答案为：-214．若圆()222:0O x y r r +=>与圆22:4460A x y x y +--+=相交，则r 的取值范围是__________. 【答案】2,32【分析】根据圆心距小于两半径之和，大于两半径之差的绝对值列出不等式解出即可.【详解】圆()222:0O x y r r +=>的圆心为原点，半径为r ，圆22:4460A x y x y +--+=，即()()22222x y -+-=的圆心为()2,2，半径为2，由于两圆相交，故22r OA r -<<+，即2222r r -<<+， 解得232r <<，即r 的取值范围是()2,32，故答案为：()2,3215．达•芬奇认为：和音乐一样，数学和几何“包含了宇宙的一切”，从年轻时起，他就本能地把这些主题运用在作品中，布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体.若图3中每个正方体的边长为1，则点F 到直线QC 的距离是__________.【答案】2【分析】根据题意，求得△FQC 的三条边长，在三角形FQC 中求边QC 边上的高线即可.【详解】根据题意，延长,QN BA 交于点M ，连接,QF FC ，如下所示：在△QFC 中，容易知：()2222123QF QN NF =+=+同理()22156FC =+()2222253QC QM MC +=+=，满足222QF FC QC +=，设点F 到直线QC 的距离为d ，由等面积法可知：QF FC QC d ⨯=⨯，解得d ==F 到直线QC .16．某人实施一项投资计划，从2021年起，每年1月1日，把上一年工资的10%投资某个项目.已知2020年他的工资是10万元，预计未来十年每年工资都会逐年增加1万元；若投资年收益是10%，一年结算一次，当年的投资收益自动转入下一年的投资本金，若2031年1月1日结束投资计划，则他可以一次性取出的所有投资以及收益应有__________万元.（参考数据：101.1 2.59≈，111.1 2.85≈，121.1 3.14≈） 【答案】24【分析】根据条件求得每一年投入在最终结算时的总收入，利用错位相减法求得总收入. 【详解】由题知，2021年的投入在结算时的收入为101010%(110%)⨯⨯+， 2022年的投入在结算时的收入为91110%(110%)⨯⨯+， ，2030年的投入在结算时的收入为11910%(110%)⨯⨯+， 则结算时的总投资及收益为： 10911010% 1.11110% 1.1++1910% 1.1S =⨯⨯+⨯⨯⨯⨯①，则111021.11010% 1.11110% 1.1++1910% 1.1S =⨯⨯+⨯⨯⨯⨯②，由①-②得，11109210.11010% 1.1110% 1.110% 1.110% 1.1+1910% 1.1S -=-⨯⨯-⨯⨯-⨯--⨯⨯⨯，则2111110921111.1 1.110 1.1 1.1 1.1 1.1-19 1.110 1.120.91 1.1S -=⨯++++⨯=⨯+--1120 1.112.120.920 2.853324=⨯--≈⨯-=，故答案为：24 四、解答题17．已知数列{}n a 满足()*111,3n n a a a n N +==∈，数列{}n b 为等差数列，35b =，前4项和416S =.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)求和：123n b b b b a a a a ++++.【答案】(1)13n n a -=，21n b n =-；(2)918n -.【分析】（1）根据等比数列的定义，结合等差数列的基本量，即可容易求得数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）根据（1）中所求，构造数列n n b c a =，证明其为等比数列，利用等比数列的前n 项和即可求得结果.【详解】(1)因为数列{}n a 满足()*111,3n n a a a n N +==∈，故可得数列{}n a 为等比数列，且公比3q =，则13n n a -=；数列{}n b 为等差数列，35b =，前4项和416S =，设其公差为d ， 故可得1125,4616b d b d +=+=，解得11,2b d ==，则21n b n =-；综上所述，13n n a -=，21n b n =-.(2)由（1）可知：13n n a -=，21n b n =-，故22139n n n n b c a --===， 又11999nn n n c c +-==，又11c =，则{}n c 是首项1，公比为9的等比数列； 则123n b b b b a a a a ++++1231991198n n n c c c c --=++++==-. 18．已知：圆P 是ABC 的外接圆，边BC 所在直线1l 的方程为4330x y --=，中线AD 所在直线2l 的方程为810x y --=，直线3:80l x y +-=与圆P 相切于点A . (1)求点A 和点D 的坐标； (2)求圆P 的方程.【答案】(1)A （1,7）, (0,1)D - (2)22(4)(2)50x y ++-=【分析】（1）1l 与2l 的的交点为点D , 3l 与2l 的的交点为点A ,联立解方程即可得出结果. （2）设圆P 的圆心P 为(),x y ，由31AP k k ⋅=-，11DP k k ⋅=-，计算求解即可得出P 点坐标，由r PA =求得半径，进而可得出圆的方程. 【详解】(1)由题可得：1l 与2l 的的交点为点D ,故由4330810x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得：01x y =⎧⎨=-⎩，故(0,1)D -3l 与2l 的的交点为点A ,81080x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得：17x y =⎧⎨=⎩，故A （1，7） (2)设圆P 的圆心P 为(),x y ，由3l 与圆P 相切于点A ，且3l 的斜率为31k =-,则31AP k k ⋅=-即7(1)11y x -⋅-=--， 即6y x =+，①又圆P 为ABC 的外接圆，则BC 为圆P 的弦， 又边BC 所在直线1l 的科率为143k =, 故根据垂径定理，有BC PD ⊥进而11DP k k ⋅=-，即4113y x+⋅=-②， 联立①②，解得：42x y =-⎧⎨=⎩，即(4,2)P -故r PA =P 的方程为：22(4)(2)50x y ++-=. 19．已知：0a b >>，椭圆22122:1x y C a b +=，双曲线22222:1y x C b a-=.(1)若1C 2C 的离心率； (2)当2,1a b ==时，过点()0,1A 的直线l 与1C 的另一个交点为P ，与2C 的另一个交点为Q ，若P 恰好是AQ 的中点，求直线l 的方程.【答案】(2)1y x =+或1y =+ 【分析】（1）有椭圆的离心率可以得到，,a b 的关系，在双曲线中方程是非标准的方程，注意套公式时容易出错.（2）联立方程分别解得P ,Q 两点的横坐标，利用中点坐标公式即可解得斜率值.【详解】(1)椭圆1C 21214c b e a a ==，在双曲线中因为222222,a b b a ==，222c e a ===.(2)当2,1a b ==时, 椭圆221:14x C y +=，双曲线222:14x C y -=.当过点()0,1A 的直线l 斜率不存在时，点P ,Q 恰好重合，坐标为(0,1)-，所以不符合条件；当斜率存在时，设直线方程为1y kx =+，1,122(),(,)P x y Q x y ，联立方程22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 ()224180k x kx -+=，利用韦达定理128041k x k +=-+，所以12841k x k =-+；同理联立方 程22114y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，韦达定理得228041k x k +=--，所以22841k x k =--由于P 是AQ 的中点，所以212A x x x +=,所以212x x =，即228824141k kk k -=--+，化简得233,42k k ==±，所以直线方程为312y x =+或312y x =-+. 20．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，PB ⊥平面ABCD ，3PDC ADC π∠=∠=，N 是CD 的中点.(1)若M 为线段PB 的中点，证明：MN ∥平面PAD ；(2)线段PB 上是否存在点M ，使得直线PA 与平面CMN 所成角的正弦值为77，若存在，求BM 的长，若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在点M ，且BM 15.【分析】（1）取AB 的中点为E ，连接,NE ME ，得到//,//ME AD NE PA ，结合面面平行的判定定理证得平面//MNE 平面PAD ，进而得到//MN 平面PAD ；（2）以B 为原点，,BA BP 所在的直线分别为y 轴、z 轴，以垂直平面PAB 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，设(0)BM b b =>，求得CMN 的法向量为n 和向量PA ，结合向量的夹角公式列出方程，求得b 的值，即可求解. 【详解】(1)证明：取AB 的中点为E ，连接,NE ME ，因为,,M N E 分别为,,CD PB AB 的中点，所以//,//ME AD NE PA ， 又因为,ME NE ⊂平面MNE ，且ME NE E ⋂=， 所以平面//MNE 平面PAD ，又由MN ⊂平面MNE ，所以//MN 平面PAD .(2)解：以B 为原点，,BA BP 所在的直线分别为y 轴、z 轴，以垂直平面PAB 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为底面ABCD 是边长为2的菱形，设PB a =， 在直角PBC 中，可得2224PC PB BC a =+=+， 在直角PBD △中，可得22212PD PB BD a =+=+， 在PCD 中，因为3PDC π∠=，所以2222cos PC PD CD PD CD PDC =+-⋅∠，即2222221(4)(12)221222a a a +=++-+⨯⨯，解得26a =， 设(0)BM b b =>，可得(0,0,),(3,2,0),(3,1,0),(0,0,26),(0,2,0)M b N C P A ， 则(0,2,26),(3,1,),(0,1,0)PA CM b CN =-=--=，设平面CMN 的法向量为(,,)n x y z =，则300n CM x y bz n CN y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令3z =，可得(,0,3)n b =， 设直线PA 与平面CMN 所成角为θ， 所以2627sin 7328n PA n PAb θ⋅===⋅+⋅，解得215b =，即15b =， 所以存在点M ，且BM 的长为15.21．已知数列{}n a 满足12a =，1342n n n a a +-=-，数列{}n b 的前n 项和为()*1,n n n N +∈.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1,11,1,12=-=-，设{}n n a b +的前n 项和为n S ，令[]4log n n c S =，求证：122311111n n c c c c c c ++++<. 【答案】(1)n a =42n n =-，2n b n = (2)证明见解析【分析】(1)利用累加法求{}n a 通项公式，利用通项公式与前n 项和公式的关系可求{}n b 的通项公式；(2)求出n S 并判断其范围，求出n c ，利用裂项相消法求11n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和即可证明.【详解】(1)由题可知，当n ≥2时，()()()132211n n n a a a a a a a a -=-++-+-+()()123444212n n n --=+++--+＝()141432414n n --⨯-+-42n n =-当n ＝1时，1422a =-=也符合上式， ∴42n n a n =-；当2n 时，()()112n b n n n n n =+--=， 当n ＝1时，12b =也符合上式， ∴2n b n =；(2)由(1)知4224n n n n a b n n +=-+=，∴()141444143n n n S +--==-，∵1444444033n n nn n S +---=-=，4nn S ∴；∵11244403n n n S ++⨯+-=>，14n n S +∴<，144n n n S +∴<，4log 1n n S n ∴≤<+，[]4log n n c S n ∴==，∴11n n c c +()11111n n n n ==-++ 设n T 为数列11n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则11111221111131n T n n n =-+--=-<++++. 22．已知抛物线()2:20C y px p =>上一点()00,A x y 到抛物线焦点的距离为014x +，点,A B 关于坐标原点对称，过点A 作x 轴的垂线，D 为垂足，直线BD 与抛物线C 交于,M N 两点.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线,AM AN 与y 轴交点分别为,P Q ，求PQ AD的值；(3)若2MNAN =⋅，求0x . 【答案】(1)2y x =； ； 【分析】（1）运用抛物线的定义进行求解即可；（2）设出直线BD 的方程，与抛物线的方程联立，可求得点M 和N 的纵坐标，结合直线点斜式方程、两点间距离公式进行求解即可；（3）利用弦长公式求得2||MN ，由两点间距离公式求得||AM 和||AN ，再解方程即可. 【详解】(1)抛物线的准线方程为：2px =-， 因为点()00,A x y 到抛物线焦点的距离为014x +， 所以有20011()242p x x p y x --=+⇒=⇒=；(2)由题意知，20(A y ，0)y ，设00y >，则20(B y -，0)y -，20(D y ，0)，所以直线BD 的方程为2001()2y x y y =-， 联立20021()2y x y y y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去x 得，2001022y y y y --=，解得0(1yy =， 设21(M y ，1)y，22(N y ，2)y ，不妨取10(1y y =，20(1y y =， 直线AM 的斜率为102210101y y y y y y -=-+，其方程为200101()y y xy y y -=-+， 令0x =，则2000010(1P y y y y y y y =-==+，同理可得200020(1Qyy y y yy y=-=+，所以000P QPQ y y y y=-=，而0||AD y=，所以PQAD=(3)222120021||(1)(14)8MN y y y yk=+-=+⋅，其中12=ky，AM=AN因为2||MN AN=⋅，所以220000(14)8y y+⋅=化简得420081610y y--=，解得2y=，即2y=所以200x y==．【点睛】关键点睛：运用抛物线的定义、弦长公式进行求解是解题的关键.。
浙江省金华市十校2023-2024学年高二上学期1月期末调研考试数学试题(含答案)
金华十校2023-2024学年第一学期调研考试高二数学试题卷（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟．试卷总分为150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线：230x y -+=与直线：220x ay +-=互相平行，则=a （）A .1B.4C.4- D.1-【答案】C 【解析】【分析】根据两直线平行得到方程，解出验证即可.【详解】因为两直线平行，则有()1220a ⨯--⨯=，解得4a =-，经验证此时两直线不重合，故选：C .2.已知等差数列{}n a 中，3109a a +=，则12S =（）A.24 B.36C.48D.54【答案】D 【解析】【分析】由等差数列性质以及求和公式即可得解.【详解】由题意()()3113121012669542a a S a a +==+=⨯=.故选：D.3.如果函数()y x =在2x =处的导数为1，那么()()ΔΔ2l Δm 2i x f x f x→+-=（）A.1B.12C.13D.14【答案】A【解析】【分析】根据导数的定义可直接得到答案.【详解】因为函数()y x =在2x =处的导数为1，根据导数的定义可知()()Δ0Δ22lim 1Δ22x f x f x →+-=+-，故选：A .4.过点()1,2P -且与直线230x y ++=垂直的直线方程是（）A.250x y -+=B.230x y +-=C.240x y -+= D.20x y -=【答案】C 【解析】【分析】由题意设直线方程为：20x y m -+=，将点()1,2P -代入求解.【详解】解：由题意设直线方程为：20x y m -+=，因为该直线过点()1,2P -，所以()2120m ⨯--+=，解得4m =，所以直线方程为：240x y -+=，故选：C5.圆C ：222245(0)x y x y r r +-+=->与圆22:6D x y +=的位置关系不可能（）A.内含B.内切C.相交D.外切【答案】D 【解析】【分析】由题可得两圆半径与圆心，后由圆心距与两圆半径间关系可得答案.【详解】由题可得圆C ：()()22212x y r -+-=，则其圆心()1,2，半径为r ；圆22:6D x y +=，则其圆心为()0,0.r <+，故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离.故选：D6.已知v为直线l 的方向向量，12,n n 分别为平面,αβ的法向量（,αβ不重合），则下列说法中，正确的是（）A.1v n l ⇔α∥∥ B.12n n αβ⊥⇔⊥C.12n n αβ⇔⊥∥ D.1v n l ⊥⇔⊥α【答案】B 【解析】【分析】由直线方向向量与平面法向量的位置关系得两平面的位置关系，由此即可得解.【详解】由题意112121,,//,v n l n n n n v n l ααααββ⇔⊥⊥⇔⊥⇔⇔⊥⊥∥∥或l ⊂α.故选：B.7.法国天文学家乔凡尼·多美尼卡·卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称为卡西尼卵形线（CassiniOval ）小张同学受到启发，提出类似疑问，若平面内动点与两定点所成向量的数量积为定值，则动点的轨迹是什么呢？设定点M 和N ，动点为H ，若2MH NH ⋅=，则动点H 的轨迹为（）A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，根据向量数量积运算求得H 的轨迹方程，从而确定正确答案.【详解】设2MN c =，以线段MN 的中点O 为平面直角坐标系原点，MN 为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则()(),0,,0M c N c -，设(),H x y ，则()()222,,2MH NH x c y x c y x c y ⋅=+⋅-=-+= ，即2222x y c +=+，所以H 的轨迹是以原点为圆心，半径为.故选：B8.已知直线():1l y kx m k =+≠±与双曲线221x y -=有唯一公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于()(),0,0,A x B y 两点，则当M 运动时，点(),P x y 到()()C D 、两点距离之和的最小值为（）A.4- B.4C.2D.【答案】A 【解析】【分析】由题意首先得点P 在双曲线22144x y -=上面运动，画出图形结合双曲线定义以及三角形三边关系分类讨论即可求解.【详解】联立221y kx m x y =+⎧⎨-=⎩，化简并整理得()2221210k x kmx m -+++=，由题意()()()222Δ24110km k m =--+=，化简得221m k =-，解得22,11M M Mkm mx y kx m k k --==+=--，所以过点M 且与l 垂直的直线方程为22111km my x k k k ⎛⎫=-+- ⎪--⎝⎭，在该直线方程中分别令0,0y x ==，依次解得2222,0,0,11mk m A B k k --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以22222222222224441111P P A B mk m k x y x y k k k k --⎛⎫⎛⎫-=-=-=-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，即点P 在双曲线22144x y -=上面运动，双曲线22144x y -=的图象如图所示：若P 在右支上面，可以发现点()C 为22144x y-=的右焦点，不妨设其左焦点为()Q -，所以2444PC PD PQ PD a QD +=+-≥-==，等号成立当且仅当点P 与点E 重合，其中点E 为线段QD 与双曲线右支的焦点，若P 在左支上面，如图所示：所以2444PC PD PQ PD a QD +=++≥+==，等号成立当且仅当点P 与点F 重合，其中点F 为线段QD 与双曲线左支的焦点，综上所述，点(),P x y 到()()C D 、4-.故选：A.【点睛】关键点点睛：关键是求出点P 的运动轨迹方程，由此即可顺利得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列导数运算正确的（）A.()e e xx'= B.211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()ln x x'=⎡⎤⎣⎦12 D.()()e 1exxx x '=+【答案】ACD 【解析】【分析】根据导数的运算法则依次讨论各选项即可得答案.【详解】对A ，()e e x x '=，故A 正确；对B ，211x x '⎛⎫=-⎪⎝⎭，B 错误；对C ，()ln x x x'=⋅=⎡⎤⎣⎦11222，C 正确；对D ，()e ee (1)e x xxx x x x '=+=+，D 正确.故选：ACD10.已知等差数列{}n a 的公差为3-，若70a >，80a <，则首项1a 的值可能是（）A.18B.19C.20D.21【答案】BC【解析】【分析】根据等差数列的通项，建立不等式组，可得答案.【详解】由题意，得71181161807210a a d a a a d a =+=->⎧⎨=+=-<⎩，所以11821a <<.故选：BC.11.已知抛物线2Γ:2x py =的准线方程为1y =-，焦点为F ，点()()1122,,A x y B x y 是抛物线上的两点，抛物线在,A B 两点的切线交于点P ，则下列结论一定正确的（）A.抛物线的方程为：24x y =B.11AF y =+C.当直线AB 过焦点时，三角形OAB 面积的最小值为1D.若()1222AB y y =++，则AFB ∠的最大值为2π3【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，由抛物线准线列方程求出参数p 即可判断；对于B ，由抛物线定义即可判断；对于C ，设出直线AB 方程，联立抛物线方程，由韦达定理求弦长，结合点到直线距离公式得三角形OAB 面积表达式，进一步由基本不等式即可判断；对于D ，设出直线AB 方程，联立抛物线方程，由韦达定理求弦长，结合已知得223t k =+或22133t k =-+，进一步由余弦定理基本不等式可得()min 1cos 2AFB ∠=-，由此即可判断.【详解】对于A ，抛物线2Γ:2x py =的准线方程为1y =-，所以12p-=-，解得2p =，所以抛物线的方程为：24x y =，故A 正确；对于B ，因为点()11,A x y 在抛物线上，所以由抛物线定义可知11AF y =+，故B 正确；对于C ，由题意抛物线焦点坐标为()0,1，显然过焦点的直线AB斜率存在，如图所示：不妨取直线AB 的方程为1y kx =+，且120x x <<，联立抛物线方程24x y =，得2440x kx --=，所以212124,4,16160x x k x x k +==-∆=+>，所以()21212242y y k x x k +=++=+，()2121141AB y y k =+++=+，点()0,0O 到直线1y kx =+的距离为d =，所以三角形OAB面积为122S AB d ==≥，等号成立当且仅当0k =，即三角形OAB 面积的最小值为2，故C 错误；对于D ，显然直线AB 斜率存在，不妨取直线AB 的方程为y kx t =+，且120x x <<，如图所示：联立抛物线方程24x y =，得2440x kx t --=，所以2212124,4,161600x x k x x t k t k t +==-∆=+>⇒+>，所以()()21222121212242,16x x y y k x x t k t y y t +=++=+==，AB ===，因为()12322AB y y =++，所以()2242222k t ⎡⎤++=+=⎢⎥⎣⎦，==，即223t k =+或22133t k =-+，而()()()()()22222212121231124cos 2211y y y y AF BF ABAFB AF BFy y +++-+++-∠==++()()()()2212121131318114442y y y y +++=-≥-=-++，等号成立当且仅当21220y y k t t ==+=>，解得0k =，此时22330t k =+=>或22110333t k =-+=>，且此时满足()2Δ16160k t t =+=>，即()min 1cos 2AFB ∠=-，所以AFB ∠的最大值为2π3，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键是联立直线方程与抛物线方程，由弦长公式结合已知得,k t 关系，事实上这是非常有必要的，表面上直接由余弦定理基本不等式可得1cos 2AFB ∠≥-，但,k t 是验证基本不等式等号是否成立的重要条件.12.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，是一个八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，某玩具厂商制作一个这种形状棱长为6cm ，重量为360g 的实心玩具，则下列说法正确的是（）A.将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为.B.将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为.C.将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为.D.将玩具放至水中，其会飘浮在水面上.【答案】AD 【解析】【分析】利用补体法求得正方体棱长判断A ，利用对称性得球的直径判断B ，求解两平行平面的距离判断C ，先求出几何体的体积，通过与水密度的大小比较即可判断D.【详解】将该几何体放置在如图的正方体中，对于A ，将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为图中正方体的棱长，由题意，该几何的棱长为6cm AB =，所以正方体的棱长为622cm 2，正确；对于B ，将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为该几何体外接球的半径，根据正方体和多面体的对称性知，该几何体外接球直径为正方体面对角线，即212R =，解得6R =，所以包装盒的半径最小为6cm ，错误；对于C ，将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为两平行平面EMQ 与平面BCG 的距离，证明求解过程如下：如图，不妨记正方体为22221111A B C D A B C D -，1122//A D B C ，1122A D B C =，故四边形1122A D C B 是平行四边形，所以1221//A B C D ，又E ，Q 分别为12A A ，22A B 的中点，所以12//EQ A B ，同理21//BG C D ，所以//EQ BG ，又EQ ⊄平面BCG ，BG ⊂平面BCG ，所以//EQ 平面BCG ，同理//EM 平面BCG ，又EM EQ E ⋂=，EM ，EQ ⊂平面EMQ ，所以平面//EMQ 平面BCG ，设对角线21A C 分别交平面EMQ 和平面BCG 于点1M ，1N ，因为12C C ⊥平面2222A B C D ，MQ Ì平面2222A B C D ，所以12C C MQ ⊥，连接2211,A C A C ，因为,M Q 分别为2222,D A B A 的中点，故22A C MQ ⊥，又12C C ，22A C ⊂平面1221A A C C ，12222C C A C C = ，所以MQ ⊥平面1221A A C C ，又21A C ⊂平面1221A A C C ，所以21A C MQ ⊥，同理21A C EQ ⊥，又MQ EQ Q ⋂=，MQ ，EQ ⊂平面EMQ ，所以21A C ⊥平面EMQ ，又平面//EMQ 平面BCG ，所以21A C ⊥平面BCG ，故11M N 即为平面EMQ 与平面BCG 的距离，则11212111M N A C A M N C =--，由正方体棱长为21A C =由题意得222EA MA QA ===EMQ 为等边三角形，故264EMQ S =⨯= ，根据22E A MQ A EMQ V V --=，得21111323A M ⨯⨯=⨯，解得21A M =，根据对称性知2111A M N C =，所以11212111M N A C A M N C =--=则平面EMQ 与平面BCG 的距离为，即该玩具的高度为，错误；对于D ，该几何体的体积为(311832V =-⨯⨯⨯=因为玩具的密度为0.707≈，小于水的密度，所以将玩具放至水中，其会飘浮在水面上，正确.故选：AD【点睛】方法点睛：求空间距离方法，一是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；二是利用等体积法求解；三是作出辅助线，在三角形中结合余弦定理等方法进行求解.非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线()2122f x x x =+在点()()22f ,处的切线斜率为________．【答案】4【解析】【分析】函数求导后，求得()2f '，即为所求.【详解】因为()2122f x x x =+，所以()2f x x '=+，则()2224f ='+=，故答案为：4.14.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数6m =，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程），数列{}n a 满足冰雹猜想，其递推关系为：1a m =（m 为正整数），11,,231,.n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时若41a =，则m 所有可能的取值为________．【答案】1和8【解析】【分析】根据11,,231,.n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，且41a =，利用递推求解.【详解】解：因为11,,231,.n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，且41a =，所以3422a a ==或()341103a a =-=（舍去）；2324a a ==或()2311133a a =-=（舍去）；1228a a ==或()121113a a =-=，故答案为：1和815.如图，在四面体ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，且1,2AE AH CF CG M EB HD FB GD ====是EG 和FH 的交点，以{},,AB AC AD 为基底表示AM ，则AM =________．【答案】111636AB AC AD++【解析】【分析】由题意首先得四边形EFGH 为平行四边形，进一步结合线段比例分解向量成基底向量的线性组合即可求解.【详解】因为12AE AH CF CG EB HD FB GD ====，所以1//,3EH BD EH BD =，同理1//,3FG BD FG BD =，所以四边形EFGH 为平行四边形，所以()11113232AM AE EM AB EG AB E G A AC C =+=+=+++()61111113216366AB AB AC CA AD AB AC AD =+++-++=.故答案为：111636AB AC AD ++.16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为5,3F 为椭圆C 的一个焦点，若F 关于直线y kx =的对称点恰好在椭圆C 上，则斜率k 的取值构成的集合为________．【答案】112,2,,22⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】求出点F 关于直线y kx =的对称点Q 的坐标，代入椭圆C 的方程中，整理计算可得参数.【详解】过点F 且与直线y kx =垂直的直线l 为1c y x k k =-+，两直线的交点22,11c ck M k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，从而点()22212,11c k ck Q k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭.点Q 在椭圆C 上，则()()()22222222222214111k c k c a a c k k -+=-++，53e = 即()()()2222222154519411k k k k -⨯+⨯=++则24251k k =+,则4241740k k -+=，()()224140k k --=，2k =±或12k =±.故答案为：112,2,,22⎧⎫--⎨⎬⎩⎭四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A ：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B ：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作．（1）若此人选择在一家公司连续工作n 年，第n 年的月工资是分别为多少？（2）若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（101.05 1.6≈）．【答案】（1）公司A ：3002700n +（元）；公司B ：13720(10.05)n -⨯+（元）()N*n ∈（2）从公司B 得到的报酬较多【解析】【分析】（1）根据所给条件分布求出在公司A 、B 第n 年的月工资；（2）分别利用等差数列、等比数列求和公式求出总报酬，即可判断.【小问1详解】选择在公司A 连续工作n 年，第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元,则他第n 年的月工资是：3000(1)3003002700n n +-⨯=+（元）()N*n ∈；选择在公司B 连续工作n 年，第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%．则他第n 年的月工资13720(10.05)n -⨯+（元）()N*n ∈．【小问2详解】若此人选择在一家公司连续工作10年，则在公司A 、公司B 得到的报酬分别为：公司A ：()()1230003000130030009300⎡⎤⨯++⨯+++⨯⎣⎦()19912300010123005220002+⨯=⨯⨯+⨯⨯=（元）．公司B ：()101291.0511237201 1.05 1.05 1.051237205356801.051-⨯⨯+++⋯+=⨯⨯≈-（元），因为535680522000>，故从公司B 得到的报酬较多.18.如图，已知圆柱下底面圆的直径6AB =，点C 是下底面圆周上异于,A B 的动点，圆柱的两条母线3CD BE ==．（1）求证：平面ACD ⊥平面BCDE ；（2）求四棱锥A BCDE -体积的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）18【解析】【分析】（1）根据面面垂直判定定理证明即可；（2）应用棱锥体积公式结合基本不等式求出最大值即可.【小问1详解】DC 为圆柱的母线，DC ∴⊥平面ABC ，又AC ⊆平面,ABC DC AC ∴⊥．①AB 是下底面圆的直径，AC BC ∴⊥．②①②及,BC DC C DC =⊂ 平面BCDE ,BC ⊂平面BCDE ，AC ∴⊥平面BCDE ，又AC ⊆平面,ACD ∴平面ACD ⊥平面BCDE ．【小问2详解】在Rt ABC △中，设,AC x BC y ==，则2236x y +=，()22111318332V y CD x xy xy x y =⋅⋅=⋅⋅=≤+=．当且仅当32x y ==时，不等式取“=”号．故A BCDE V -的最大值为18．19.已知以点()1,2A -为圆心的圆与直线1:2130l x y +-=相切，过点()2,3B 斜率为k 的直线2l 与圆A相交于,M N两点，（1）求圆A 的方程；（2）当MN =2l 的方程．【答案】（1）22(1)(2)20x y ++-=（2）3y =或3460x y -+=【解析】【分析】（1）直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，继而可写出所求圆的方程；（2）设点Q 是MN 的中点，连接,AQ AM ，则AQ MN ⊥，利用勾股定理求得AQ 的值,再根据圆心到直线的距离，建立方程，解出即可.【小问1详解】设圆A 的半径为r ，圆A 与直线1:2130l x y +-=相切，r ∴==所以圆A 的方程为22(1)(2)20x y ++-=．【小问2详解】设直线2l 的方程为()23y k x =-+，即320kx y k -+-=，设点Q 是MN 的中点，连接,AQ AM ，则AQ MN ⊥，MN AM ==则1AQ ===,又由1AQ ===，得2860k k -=，解得0k =或34k =所以直线2l 的方程为3y =或3460x y -+=．20.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，2,60AB BAD =∠=︒，对角线,AC BD 交于点,O PO ⊥平面ABCD ，平面α是过直线AB 的一个平面，与棱,PC PD 交于点,E F ，且14PE PC =．（1）求证：//EF CD ；（2）若平面α交PO 于点T ，求PTPO的值；（3）若二面角E AB C --的大小为45︒，求PO 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）25PT PO =；（3）536PO =.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定、性质推理即得.（2）利用平面的基本事实证得,,A T E 三点共线，作EG PO ⊥于G ，利用平行关系推理计算即得.（3）作出二面角E AB C --的平面角，结合（2）的信息计算即得.【小问1详解】四棱锥P ABCD -的底面是菱形，//AB CD ，又AB ⊂平面α，CD⊄平面α，则//CD 平面α，而平面α 平面PCD EF =，CD ⊂平面PCD ，所以//EF CD .【小问2详解】由,E A ∈平面α，,E A ∈平面PAC ，得平面α 平面PAC AE =，而T PO ∈，PO ⊂平面PAC ，于是T ∈平面PAC ，又T ∈平面α，则T AE ∈，即,,A T E 三点共线，由PO ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则PO AC ⊥，如图，在PAC △中，过点E 作PO 的垂线，垂足为G ，于是//GE AC ，设PO t =，由14PE PC =，得13,44PG t GO t ==，14GE GE AO CO ==，14GT GE TO AO ==，从而113355420GT GO t t ==⋅=，所以1324205PT PG GT t t t =+=+=，即25PT PO =．【小问3详解】过点O 作ON AB ⊥于点N ，连接TN ，由PO ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则TO AB ⊥，而,,TO ON O TO ON =⊂ 平面TON ，则AB ⊥平面TON ，而TN ⊂平面TON ，于是TN AB ⊥，则有TNO ∠为二面角E AB C --的平面角，即45TNO ∠=︒，在菱形ABCD 中，由2,60AB BAD =∠=︒，得2NO =，则2TO =，由（2）得3352TO PO ==，所以536PO =.21.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+．（1）求数列{}n a 通项公式；（2）设142n n nn n a b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）若数列{}n c 满足11111,12n n n c c c a ++==+，求证：121113n c c c ++⋯+>-【答案】（1）2n a n =（2）()111212n n +-+⋅（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由2n S n n =+，利用数列的通项和前n 项和关系求解；（2）()()()114241122222212n n n n n n n n a n b a a n n n n ++++===-+⋅+⋅，利用裂项相消法求解.（3）由111n n nc c c +-=-，利用分组求和法求解.【小问1详解】当2n ≥时，2n S n n =+ ．①，()21(1)1n S n n -∴=-+-②，①-②得：2112n a n n =-+=，当1n =时，12a =也符合上式，所以2n a n =；【小问2详解】()()()114241122222212n n n n n n n n a n b a a n n n n ++++===-+⋅+⋅ ，12n n T b b b ∴=+++ ，()()22311111111112222232122212n n n n n n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅-⋅⋅⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()111212n n +=-+⋅．【小问3详解】()11111211222n n n c c a n n ++=+=⋅++=+ ，③11n n c n c -∴=+，④③-④得：()111111,n n n n n nc c c c c c +-+--=∴=-，112221nn nn n i i i i c c c +-====-∑∑∑，()()341112321n n n n n c c c c c c c c c c -+--=+++++-+++++ ，11214n n n n c c c c c c ++=+--=+-，44>-=．故121111143n c c c c ++⋯+>+-=-.22.已知F 为拋物线2:2(0)E y px p =>的焦点，O 为坐标原点，M 为E 的准线l 上一点，直线MF 的斜率为1,OFM - 的面积为116．已知()()3,1,2,1P Q ，设过点P 的动直线与抛物线E 交于A B 、两点，直线,AQ BQ 与E 的另一交点分别为,C D．（1）求拋物线E 的方程；（2）当直线AB 与CD 的斜率均存在时，讨论直线CD 是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）2y x =（2）直线CD 过定点3,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意得MN MF p ==，2p OF =，结合OFM △的面积为116列方程即可求解；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，():31AB x t y -=-，联立抛物线方程得1212,3y y t y y t ⋅+==-，设()()3344,,,C x y D x y ，则()3434y y y x y y +=+，结合(),2,1,A Q C 三点共线得13121y y y -=-，同理24221y y y -=-，得出3434,y y y y +关于t 的表达式即可求解.【小问1详解】设准线l 与x 轴的交点为N ，直线MF 的斜率为1,MN MF p -∴==，又2pOF =，1111,222162OFM p S OF MN p p ∴=⋅⋅=⋅⋅=∴= ．故抛物线E 的方程为：2y x =．【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ，过点()3,1P 的直线方程为：()31x t y -=-．则联立()231y x x t y ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，整理得：230y ty t -+-=，由韦达定理可得：()()221212Δ43280,,3t t t y y t y y t =--=-+>+=⋅=-．又设()()3344,,,C x y D x y ，所以直线CD 斜率为3434223434341y y y y k x x y y y y --===--+，直线CD 方程为()233341y y x y y y -=-+，即CD 的直线方程为：()3434y y y x y y +=+，由,,A Q C 三点共线可得：31131122y y x x --=--，即()()()()13311212y x y x --=--，所以()()()()2213311212y y y y --=--，所以22223131131322y y y y y y y y --=--，因为13y y ≠，所以化简可得：13121y y y -=-，同理，由,,B Q D 三点共线可得：24221y y y -=-，可得()()()()121221342112124324323222111132y y y y t t y y t y y y y y y y y t t -++-+---++=+===---++-+-，()()()()1212213421121242423221111132y y y y t t y y t y y y y y y y y t t -++-+----⋅=⋅===---++-+-，综上可得CD 的直线方程为：2122t t y x +-=+，变形可得：()1122t y x y -=--，所以直线CD 过定点3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
浙江省金华十校学年高二第一学期期末检测数学(理科)试题
浙江省金华十校学年高二第一学期期末检测数学（理科）试题一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知离散型随机变量X 的分布列为则常数q 的值为A ．1-B ．1C ．31D ．21 2．假设每个人在任何一个月出生是等可能的，则三人中至少有两个人的生日在同一个月的概率为 A ．3617B ．7217C ．7255D ．14455 3．如图是样本数据的频率直方图(共三个小矩形)，已知由直方图可以估计出中位数为6.2，则样本数据在]4,3[∈x 时的频率为 A ．25.0 B ．3.0C ．35.0D ．38.04．有一批零件中有三个等级，一级品24个，二级品36个，三级品x 个，现用分层抽样的方法抽取容量为20的样本，三级品恰好抽取10个，则x 及抽取二级品的个数分别为 A ．60 ，4B ．60，6C ．120，8D ．120，65．投骰子两次，依次将所得的点数输入本题程序框图中的输入框，则两次输出都是0的概率是 A ．61B ．31C ．32D ．94 X 0 1 2P21 2q2q6．若n n n x a x a x a a x ++++=- 2210)21(，若2009)()()()(90302010=++++++++a a a a a a a a ，则=n 7．将本题程序运行后输出的结果转化为二制数为A ．)2(111001B ．)2(101101C ．)2(110101D ．)2(1001118．1)1(23+++++=+ bx ax x x n n )(*N n ∈，且1:3:=b a ，那么=nA ．10B ．11C ．12D ．139．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列}{n a ：⎩⎨⎧-=nna n 11，如果n S 为数列}{n a 的前n 项和，那么37=S 的概率为 A ．5257)32()31(∙CB ．5227)31()32(∙CC ．2557)31()32(∙CD ．2537)32()31(∙C10．从集合{1，2，3，…，15)中取出4个不同的元素，使其中一个元素的三倍等于其他三个元素之和(如1，6，7，10就是一种取法，因为3×6=1+7+10)，则这样的取法种数有 A ．106B ．96C ．155D ．125二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
浙江省金华十校2018-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试卷(扫描版)
金华十校2（川-2012学年第一学期期末考试高二数学（理科）试题卷I 寿咸廿间力1211 g 试抵势令舟I 鮒处2.仝试&仃•芥貯容一鼠人血吝案苗烦做虚飙尊耐押;um左芥感称询加荟番'的瓷非凭内堆爲牟a 皿竿叭蛙空很却处弍：八栅中4$晁不^畑価U 配h 黑叭删的白 I 伯側休祝iht1冲f 輕小槨凡们吹斛Uh 疋：-悴叫，5 W I*的体唧•:. r-jrf 1“屮執，1A . I 阿他眛槪:儿 』'如低5I 艸务 国倉划憲汴库铃L ・Hi 血配 ''■和W”梢命r 选择啄 本烦冇州小越，梅小遐$分. 是符合蛊目要求的.1.相何;二 + Al 叮的备卜堆43共利你在邯小JK 绘出的四介选頊中，只冇一頊个WK 沟亦i 的止界川皿烛柑帛啪円1，则旳寺的剧卫噬A. SffcnfB. 1益的？G 1血帅’D. JO.tcm* h ^mii^O-ASc ■H J ■ .<■ W OA 1・ ILOW2M ・ X 沟肚叩点.剧丽・A . ia^-oz?+ l fX'B. -OA^-OB-^OC2 3 2 2 13 C.二鬲丿湖」斎D ，2加二丽」.住 3 223 3 24. mdm 士-訐t(#> > 0> ffi 个罠心6 ft 币Ef i 实轴畑 0 科超巧 W 点.ff WPF 电彳.刪w 閘线的紳厂t~A. r- t<J*rIk r - t —、「. r - tv2.<IX r ±—r3+21 kJ-, r ： •行I 讯界tf 上1勺1 - M.4也IC- -D,- 2 -4S 削这刻戲的力用呛A. lr*4rH$叩K-厂-3哑严_?争C. T=-3D. ir^-3 或6. «~3 &门堆fupi-TfT和门緩3汁(~1肝旷？Tijll不亚ft的A.施井II必疏*啊H.临mi定竹条flC,充牧举Fl D, 15110也0；必營策件7.设耐“心眠I；讪川线・m /A应VMM朋恂」-拾岀"用个命那①Tt m L«* H s 川抽丄" ^77 a//A W* ¥、mLm ^:J m '. y［：£'》；％'f g ft a>则j«"n ④苦口丄严B丄尹^la//p梵中iEflttMBftW号是A.①鞘』B.②和③G③和④D* ©fll®N. il^h『」mp s 和ur+也十产C(拎I」"悴吐呼ErR)•它啊听崔示的血线讨龍圧比血阳i阿花只装了水的矗封腿丁, H内沖;】对；底3伴衿为15和匸待为km灼曲亍閱林细成的简附儿何懺冇直化儿狗休划图(2)忒平放丹时* 港面高度为心・咒这吓几何协如图卩冰平^WB<・液曲応度为如,灯進牛简歎几沏林的总简度为 A.丹cm乩3(km10. LlUh战-则磁h 5阜卜A-i^h月M •哽足逹从八汕:公创X丨用"'刈歇反樹“阵绅虫皈林上M：含峯直).则2巒的A, <7*-曲K (0,+flcJC, (h+x) D, «+*>二填空JH：本大IIXT小恵*隔小JH4分，捷搀企IL已3UArirll>*曲2£2h点户症二執上.PWlfW■魁恵P的坐标为一鼻：12,命L「；nF.剛尸0 IIE广的辿山命世匕▲ _：I 吃扁-1-41 -试押Ct 询2 *t f r. 4 «U皿(4^5M4 5h 曲制。
【精品】2016-2017年浙江省金华十校高二上学期数学期末试卷与答案
2016-2017学年浙江省金华十校高二（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）命题若“x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是（）A．若x2+y2=0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2+y2=0，则x，y都不为0C．若x2+y2≠0，则x，y都不为0D．若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为02．（4分）若过（2，0）且与直线2x﹣y﹣1=0垂直的直线方程是（）A．2x﹣y+1=0B．2x﹣y﹣4=0C．x+2y﹣2=0D．x+2y﹣4=0 3．（4分）空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或4．（4分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且=α+β，则（）A．α=，β=﹣1B．α=﹣，β=1C．α=1，β=﹣D．α=﹣1，β=5．（4分）曲线C：x2﹣3xy+y2=1（）A．关于x轴对称B．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称C．关于原点对称，关于直线y=﹣x不对称D．关于y轴对称6．（4分）已知，l，m是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列条件，能得到α∥β的是（）A．l∥α，l∥βB．α⊥γ，β⊥γC．m⊂α，l⊂α，m∥β，l∥βD．l⊥α，m⊥β，l∥m7．（4分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AA1，E，E，G，H分别是棱AB，BB 1，BC，CC1的中点，∠ABC=90°．则异面直线EF和GH所成的角是（）A．45°B．60°C．90°D．120°8．（4分）已知过定点P（﹣4，0）的直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最大时，直线l的斜率为（）A．B．2C．D．9．（4分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2分别是两曲线C1，C2的离心率，则2e12+的最小值为（）A．1B．C．4D．10．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在CDD1C1所在的平面上，满足∠PBD1=∠A1BD1，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二、填空题（共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，满分36分）11．（6分）已知直线l1：ax+y﹣1=0，直线l2：x﹣y﹣3=0，若直线l1的倾斜角为，则a=，若l1∥l2，则两平行直线间的距离为．12．（6分）某几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个边长为2的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何体的体积为，表面积为．13．（6分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），则p=；M 是抛物线上的动点，A（6，4），则|MA|+|MF|的最小值为．14．（6分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为，此时椭圆C的一条弦被（1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程为．15．（4分）二面角α﹣l﹣β的平面角为50°，点P为空间内一定点，过点P的直线m与平面α，β都成25°角，这样的直线m有条．16．（4分）设双曲线Γ：x2﹣=1的左右两个焦点分别为F1，F2，A为双曲线Γ的左顶点，直线l过右焦点F2且与双曲线Γ交于M，N两点，若AM，AN的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=﹣，则直线l的方程为．17．（4分）在四棱锥S﹣ABCD中，已知SC⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，∠BCD=60°，SC=2，E为BC的中点，若点P在SE上移动，则△PCA面积的最小值为．三、解答题（共5小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（14分）设命题p：实数k满足：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q，实数k满足：方程（4﹣k）x2+（k﹣2）y2=1不表示双曲线．（1）若命题q为真命题，求k的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．（15分）在四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，SA=AB=2CD=2，SB=2AD=2，平面SAB⊥平面ABCD，E为SB的中点（1）求证：CE∥平面SAD；（2）求证：BD⊥平面SAC；（3）求直线CE与平面SAC所成角的余弦值．20．（15分）已知直线l的方程为2x+my﹣4m﹣4=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）设点Q为直线l上的动点，且PQ⊥l，求|PQ|的最大值；（3）设点P在直线l上的射影为点A，点B的坐标为（，5），求线段AB长的取值范围．21．（15分）已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=CD=2，E为DC中点，连接AE，将△DAE沿AE翻折到△D1AE．（1）证明：BD1⊥AE；（2）若CD1=，求二面角D1﹣AB﹣C的平面角的余弦值．22．（15分）已知曲线C上的动点P（x，y）到点F（0，1）的距离比到直线l：y=﹣2的距离小1．动点E在直线l上，过点E分别做曲线C的切线EA，EB，切点为A，B．（1）求曲线C的方程；（2）求|AB|的最小值；（3）在直线l上是否存在一点M，使得△ABM为以AB为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年浙江省金华十校高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）命题若“x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是（）A．若x2+y2=0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2+y2=0，则x，y都不为0C．若x2+y2≠0，则x，y都不为0D．若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为0【分析】根据四种命题的定义，先写出已知命题的否命题，比照后，可得答案．【解答】解：命题：“若x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是：“若x2+y2≠0，则x≠0或y≠0”，即若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为0，故选：D．2．（4分）若过（2，0）且与直线2x﹣y﹣1=0垂直的直线方程是（）A．2x﹣y+1=0B．2x﹣y﹣4=0C．x+2y﹣2=0D．x+2y﹣4=0【分析】设出与直线2x﹣y﹣1=0垂直的直线方程是x+2y+m=0，把点（2，0）代入求出m的值即可．【解答】解：设与直线2x﹣y﹣1=0垂直的直线方程是x+2y+m=0，由直线过点（2，0），得2+0+m=0，解得m=﹣2，所求直线方程是x+2y﹣2=0．故选：C．3．（4分）空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或【分析】利用与同向共线的单位向量向量即可得出．【解答】解：∵，∴与同向共线的单位向量向量，故选：C．4．（4分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且=α+β，则（）A．α=，β=﹣1B．α=﹣，β=1C．α=1，β=﹣D．α=﹣1，β=【分析】根据向量加法的多边形法则可得，====，从而可求α，β．【解答】解：根据向量加法的多边形法则以及已知可得，====，∴α=，β=﹣1，故选：A．5．（4分）曲线C：x2﹣3xy+y2=1（）A．关于x轴对称B．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称C．关于原点对称，关于直线y=﹣x不对称D．关于y轴对称【分析】由题意，以x代y，y代x，方程不变；以﹣x代y，﹣y代x，方程不变，即可得出结论．【解答】解：由题意，以x代y，y代x，方程不变；以﹣x代y，﹣y代x，方程不变，∴曲线C：x2﹣3xy+y2=1关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称，故选：B．6．（4分）已知，l，m是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列条件，能得到α∥β的是（）A．l∥α，l∥βB．α⊥γ，β⊥γC．m⊂α，l⊂α，m∥β，l∥βD．l⊥α，m⊥β，l∥m【分析】利用直线与平面平行的判断与性质，判断选项A，C，D推出正误；平面与平面垂直的性质，判断选项B的正误；对选项逐一判断即可．【解答】解：l∥α，l∥β可能推出α、β相交，所以A不正确；α⊥γ，β⊥γ可能推出α、β 相交，所以B不正确；m⊂α，l⊂α，m∥β，l∥β，如果m∥n推出α、β 相交，所以C不正确；只有D是正确的．故选：D．7．（4分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AA1，E，E，G，H分别是棱AB，BB1，BC，CC1的中点，∠ABC=90°．则异面直线EF和GH所成的角是（）A．45°B．60°C．90°D．120°【分析】如图所示，由题意可建立空间直角坐标系．利用=即可得出．【解答】解：如图所示，由题意可建立空间直角坐标系．不妨时AB=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），G（1，0，0），A（0，2，0），E （0，1，0），C1（2，0，2），H（2，0，1），B1（0，0，2），F（0，0，1）．=（0，﹣1，1），=（1，0，1）．∴===，∴异面直线EF和GH所成的角是60°．故选：B．8．（4分）已知过定点P（﹣4，0）的直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最大时，直线l的斜率为（）A．B．2C．D．【分析】由曲线y=表示在x轴上方以及含与x轴的交点半圆，设出直线l 的方程，利用△AOB的面积取最大值时，OA⊥OB，求出圆心O到直线l的距离d=，从而求出直线的斜率k．【解答】解：由y=得x2+y2=4（y≥0），∴曲线y=表示圆x2+y2=4在x轴上方的部分（含与x轴的交点）；由题知，直线的斜率存在，设直线l的斜率为k（k＞0），则直线方程为y=k（x+4），即kx﹣y+4k=0，当△AOB的面积取最大值时，OA⊥OB，此时圆心O到直线l的距离d=，如图所示；∴d==，∴k=．故选：C．9．（4分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2分别是两曲线C1，C2的离心率，则2e12+的最小值为（）A．1B．C．4D．【分析】由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a，双曲线实轴为2m，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出a2+m2=2c2，由此能求出2e12+的最小值．【解答】解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a，双曲线实轴为2m，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2m，①由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，②又∵PF1⊥PF2，∴|PF 1|2+|PF2|2=4c2，③①2+②2，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2，④将④代入③，得a2+m2=2c2，∴2e12+=++≥．故选：B．10．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在CDD1C1所在的平面上，满足∠PBD1=∠A1BD1，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【分析】利用平面与圆锥面的关系，即可得出结论．【解答】解：P在以B为顶点，BD1为对称轴，A1B为母线的圆锥与平面CC1D1D 的交面上，而A1B∥平面CC1D1D，知与圆锥母线平行的平面截圆锥得到的是抛物线的一部分，故选：D．二、填空题（共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，满分36分）11．（6分）已知直线l1：ax+y﹣1=0，直线l2：x﹣y﹣3=0，若直线l1的倾斜角为，则a=﹣，若l1∥l2，则两平行直线间的距离为2．【分析】根据题意，对于直线l1：ax+y﹣1=0，变形可得y=﹣ax+1，由其倾斜角，可得其斜率k的值，进而可得﹣a=，解可得a的值；根据题意，由于l1∥l2，结合直线平行的性质可得a×（﹣1）+1×1=0，解可得a 的值，进而由平行线间的距离公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于直线l1：ax+y﹣1=0，变形可得y=﹣ax+1，若其倾斜角为，则其斜率k=tan=，则有﹣a=，即a=﹣；对于直线l1：ax+y﹣1=0，直线l2：x﹣y﹣3=0，若l1∥l2，则有a×（﹣1）+1×1=0，解可得a=﹣1，则l1的方程可以变形为x﹣y+1=0，则两平行直线间的距离d==2．故答案为：﹣，2．12．（6分）某几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个边长为2的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何体的体积为2，表面积为2+6．【分析】根据已知中的三视图及相关视图边的长度，可又判断判断出该几何体的形状及底面，侧棱，底面棱长等值，进而求出底面积和高，代入棱锥体积、表面积公式即可求出答案．【解答】解：由已知中该几何中的三视图中有两个底面是正三角形的一个三棱锥组成的几何体，如图．由三视图可知，每一个三棱锥的底面正三角形的长为2，高为则该几何体的体积V=2×××22×=2．表面积为2×（+2×+）=2+6．故答案为：2，2+6．13．（6分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），则p=2；M是抛物线上的动点，A（6，4），则|MA|+|MF|的最小值为7．【分析】根据焦点坐标，求出p，求出准线方程，把|MA|+|MF|转化为|MA|+|PM|，利用当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值．【解答】解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），∴=1，∴p=2．准线方程为x=﹣1，设点M到准线的距离为d=|PM|，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=6﹣（﹣1）=7，故答案为2，7．14．（6分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为，此时椭圆C的一条弦被（1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程为2x+3y﹣5=0．【分析】（1）已知得：，4a=4，a2=b2+c2，解得a，b，（2）设以点A（2，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法能求出结果．【解答】解：由已知得：，4a=4，a2=b2+c2解得a=，b=，c=1，∴C的方程为：；设以点A（1，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=2，分别把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程得再相减可得2（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴4（x1﹣x2）+6（y1﹣y2）=0，k=﹣．这条弦所在的直线方程为：2x+3y﹣5=0故答案为：：，2x+3y﹣5=015．（4分）二面角α﹣l﹣β的平面角为50°，点P为空间内一定点，过点P的直线m与平面α，β都成25°角，这样的直线m有3条．【分析】利用线面角的概念及角平分线的性质，分析出所求直线二面角的平分面上，再根据线面角的大小变化确定出直线条数．【解答】解：首先给出下面两个结论①两条平行线与同一个平面所成的角相等．②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面上．图1．（1）如图1，过二面角α﹣l﹣β内任一点作棱l的垂面AOB，交棱于点O，与两半平面于OA，OB，则∠AOB为二面角α﹣l﹣β的平面角，∠AOB=50°设OP1为∠AOB的平分线，则∠P1OA=∠P1OB=25°，与平面α，β所成的角都是25°，此时过P且与OP1平行的直线符合要求，有一条．当OP1以O为轴心，在二面角α﹣l﹣β的平分面上转动时，OP1与两平面夹角变小，不再会出现25°情形．图2．（2）如图2，设OP2为∠AOB的补角∠AOB′，则∠P2OA=∠P2OB=65°，与平面α，β所成的角都是65°．当OP2以O为轴心，在二面角α﹣l﹣β′的平分面上转动时，OP2与两平面夹角变小，对称地在图中OP2两侧会出现25°情形，有两条．此时过P且与OP2平行的直线符合要求，有两条．综上所述，直线的条数共有3条．故答案为：3．16．（4分）设双曲线Γ：x2﹣=1的左右两个焦点分别为F1，F2，A为双曲线Γ的左顶点，直线l过右焦点F2且与双曲线Γ交于M，N两点，若AM，AN的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=﹣，则直线l的方程为y=﹣8（x﹣3）．．【分析】设出直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理及k1+k2=2，求直线l的斜率，即可求出直线l的方程．【解答】解：设直线方程为l：y=k（x﹣3），M（x1，y1），N（x2，y2）联立方程组得（8﹣8k2）x2+6k2x﹣9k2﹣8=0∴x1+x2=﹣，x1x2=∴k1+k2=+==﹣，代入解得k=﹣8，∴直线l的方程是y=﹣8（x﹣3）．故答案为y=﹣8（x﹣3）．17．（4分）在四棱锥S﹣ABCD中，已知SC⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，∠BCD=60°，SC=2，E为BC的中点，若点P在SE上移动，则△PCA面积的最小值为2．【分析】求出P到AC的距离最小值，AC，即可求出△PCA面积的最小值．【解答】解：设P到BC的距离为x，则P到AC的距离为=，∴x=时，P到AC的距离最小值为，∵底面ABCD是边长为4的菱形，∠BCD=60°，∴AC==4，∴△PCA面积的最小值为=2．故答案为2．三、解答题（共5小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（14分）设命题p：实数k满足：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q，实数k满足：方程（4﹣k）x2+（k﹣2）y2=1不表示双曲线．（1）若命题q为真命题，求k的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据方程（4﹣k）x2+（k﹣2）y2=1不表示双曲线的等价条件建立方程进行求解即可．（2）根据椭圆的方程求出命题p的等价条件，结合必要不充分条件的定义进行转化求解即可．【解答】解：（1）若命题q为真命题，则有（4﹣k）（k﹣2）≥0，得2≤k≤4（2）若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则7﹣a＞k﹣1＞0，得1＜k＜8﹣a，（a＜7），若p是q的必要不充分条件，则，即a＜4．19．（15分）在四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，SA=AB=2CD=2，SB=2AD=2，平面SAB⊥平面ABCD，E为SB的中点（1）求证：CE∥平面SAD；（2）求证：BD⊥平面SAC；（3）求直线CE与平面SAC所成角的余弦值．【分析】（1）推导出AB，AD，SA两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CE∥平面SAD．（2）求出平面SAC法向量和，由此能证明BD⊥平面SAC．（3）求出=（0，﹣，1），平面SAC法向量=（﹣，1，0），由此利用向量法能求出直线CE与平面SAC所成角的余弦值．【解答】证明：（1）∵SA=AB=2，SB=2，∴SA⊥AB，又平面SAB⊥ABCD，AB为其交线，∴SA⊥平面ABCD，又∵AB⊥AD，∴AB，AD，SA两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，A （0，0，0），B（2，0，0），C（1，，0），D（0，，0），S（0，0，2），E（1，0，1），=（0，﹣，1），平面SAD的法向量=（1，0，0），∴=0，CE⊄平面SAD，∴CE∥平面SAD．（2）设平面SAC法向量=（x，y，z），=（0，0，2），=（1，，0），=（﹣2，，0），，取y=1，得=（﹣），∴∥，∴BD⊥平面SAC．解：（3）=（0，﹣，1），平面SAC法向量=（﹣，1，0），设直线CE与平面SAC所成角为θ，则sinθ==，∴cosθ=，∴直线CE与平面SAC所成角的余弦值为．20．（15分）已知直线l的方程为2x+my﹣4m﹣4=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）设点Q为直线l上的动点，且PQ⊥l，求|PQ|的最大值；（3）设点P在直线l上的射影为点A，点B的坐标为（，5），求线段AB长的取值范围．【分析】（1）令参数m的系数等于零，求得x、y的值，可得直线l恒过定点的坐标．（2）根据|PQ|≤|PS|，求得|PQ|的最大值．（3）根据PA⊥AS，以及圆的性质可得点A的轨迹是以PS为直径的圆，由根据|BM|﹣r≤|AB|≤|BM|+r，求得线段AB长的取值范围．【解答】解：（1）证明：∵直线l的方程为2x+my﹣4m﹣4=0，m∈R，即2（x ﹣2）+m（y﹣4）=0，令y﹣4=0，求得x=2，y=4，可得直线l恒过定点的坐标为S（2，4）．（2）∵点P的坐标为（﹣1，0），|PQ|≤|PS|==5，故|PQ|的最大值为5，此时，PS⊥l，它们的斜率之积=﹣1，求得m=．（3）直线l恒过定点S（2，4），点B的坐标为（，5），PA⊥AS，故点A的轨迹是以PS为直径的圆，圆心M（，2）、半径为=，∴|BM|﹣≤|AB|≤|BM|+，即≤|AB|≤．21．（15分）已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=CD=2，E为DC中点，连接AE，将△DAE沿AE翻折到△D1AE．（1）证明：BD1⊥AE；（2）若CD1=，求二面角D1﹣AB﹣C的平面角的余弦值．【分析】（1）取AE中点H，推导出D1H⊥AE，BH⊥AE，从而AE⊥面HBD1，由此能求出BD1⊥AE．（2）以AE中点H为原点，HA为x轴，HB为y轴，过H作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角D1﹣AB﹣C的平面角的余弦值．【解答】证明：（1）取AE中点H，∵AD1=AE=D1E，AB=AE=BE，∴D1H⊥AE，BH⊥AE，∵D1H∩BH=H，∴AE⊥面HBD1，∵BD1⊂平面HBD1，∴BD1⊥AE．解：（2）以AE中点H为原点，HA为x轴，HB为y轴，过H作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设二面有D1﹣AE﹣D的平面角的大小为θ，A（1，0，0），B（0，，0），D1（0，﹣，），C（﹣2，，0），CD1==，解得，∴D1（0，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣），设平面ABD1的一个法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），平面ABC的法向量=（0，0，1），设二面角D1﹣AB﹣C的平面角为θ，则cosθ==．∴二面角D1﹣AB﹣C的平面角的余弦值为．22．（15分）已知曲线C上的动点P（x，y）到点F（0，1）的距离比到直线l：y=﹣2的距离小1．动点E在直线l上，过点E分别做曲线C的切线EA，EB，切点为A，B．（1）求曲线C的方程；（2）求|AB|的最小值；（3）在直线l上是否存在一点M，使得△ABM为以AB为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用抛物线的定义，可得曲线C的方程x2=4y．（2）设E（a，﹣2），A，B的坐标，由题设知x12﹣2ax1﹣8=0．同理可得：x22﹣2ax2﹣8=0所以x1+x2=2a，x1•x2=﹣8，可得AB中点，由此可知直线AB方程，即可求|AB|的最小值；（3）由（2）知AB中点，直线AB的方程为，分类讨论，利用条件，即可得出结论．【解答】解：（1）∵曲线C上的动点P（x，y）到点F（0，1）的距离比到直线l：y=﹣2的距离小1，∴P的轨迹是以（0，1）为焦点的抛物线，曲线C的方程x2=4y；（2）设E（a，﹣2），A（x1，），B（x2，），∵，∴y′=，过点A的抛物线切线方程为y﹣=1（x﹣x1），∵切线过E点，∴整理得：x 12﹣2ax1﹣8=0同理可得：x22﹣2ax2﹣8=0，∴x1，x2是方程x2﹣2ax﹣8=0的两根，∴x1+x2=2a，x1•x2=﹣8，可得AB中点为（a，）又=，∴直线AB的方程为y﹣=（x﹣a）即y=x+2，∴|AB|=，∴a=0时，|AB|的最小值为4；（3）由（2）知AB中点N（a，），直线AB的方程为y=x+2．当a≠0时，则AB的中垂线方程为y﹣=﹣（x﹣a），∴AB的中垂线与直线y=﹣2的交点M（，﹣2），∴|MN|2=∵|AB|=，若△ABM为等腰直角三角形，则|MN|=|AB|，∴=（）2，解得a 2=﹣4，∴不存在当a=0时，经检验不存在满足条件的点M综上可得，不存在一点M ，使得△ABM 为以AB 为斜边的等腰直角三角形．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =xxx①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f(p)f (q)()2bf a-0x x>O-=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
浙江省金华市高二上学期期末数学试卷(理科)
浙江省金华市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）命题“ ，都有成立”的否定为（）A . ，使成立B . ，使成立C . ，都有成立D . ，都有成立2. （2分） (2015高二上·三明期末) 双曲线﹣ =1的渐近线方程是（）A .B .C .D .3. （2分）已知数列{an}为等比数列，满足a4+a7=2，a2•a9=﹣8，则a1+a13的值为（）A . 7B . 17C . -D . 17或﹣4. （2分）设=（sinx，3），=（,2cosx），且，则锐角x为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二上·右玉期末) 下列各小题中，p是q的充分不必要条件的是（）①p：m＜﹣2或m＞6，q：y=x2+mx+m+3有两个零点；② ，q：y=f（x）是偶函数；③p：cosα=cosβ，q：tanα=tanβ；④p：A∩B=A，q：（∁UB）⊆（∁UA）A . ①②B . ②③C . ③④D . ①④6. （2分）△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·黄山模拟) 在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A . 2B . 1C . －D . －8. （2分）将抛物线y2=4x按向量 =（1，2）平移后与直线x﹣2y+m=0相切，则m的值为（）A . ﹣1B . 7C . 9D . 19. （2分） (2016高二上·菏泽期中) 已知公差d不为0的等差数列{an}，前n项和是Sn ，若a2 ， a3 ，a7成等比数列，则（）A . a1a2＞0，dS3＞0B . a1a2＜0，dS3＞0C . a1a2＞0，dS3＜0D . a1a2＜0，dS3＜010. （2分）(2017·枣庄模拟) 已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， M是双曲线C2的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2 ， O为坐标原点，若，且双曲线C1 ， C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长是（）A . 32B . 16C . 8D . 4二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2016高二上·梅里斯达斡尔族期中) 过椭圆 =1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．12. （1分）设等差数列{an}的公差为d，若a1 ， a2 ，…，a5的方差为2，则d=________．13. （1分）(2014·天津理) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c= a，2sinB=3sinC，则cosA的值为________．14. （1分）(2013·北京理) 如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为________．15. （1分） (2015高二上·宝安期末) 已知命题p：∀x∈R，x2+1＞m；命题q：指数函数f（x）=（3﹣m）x 是增函数．若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题，则实数m的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共65分)16. （10分）(2013·山东理) 设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，．（1）求a，c的值；（2）求sin（A﹣B）的值．17. （10分） (2015高二上·济宁期末) 已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣1（a∈R）．（1）若对任意实数x，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a＞0时，解关于x的不等式f（x）＜2x﹣3．18. （10分） (2017高三上·商丘开学考) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，AB=3，CD=2，PD=AD=5．（1）在PD上确定一点E，使得PB∥平面ACE，并求的值；（2）在（1）条件下，求平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值．19. （10分） (2017高三下·长宁开学考) 我国加入WTO时，根据达成的协议，若干年内某产品的关税税率t、市场价格x（单位：元）与市场供应量P之间满足关系式：P=2 ，其中b，k为正常数，当t=0.75时，P 关于x的函数的图象如图所示：（1）试求b，k的值；（2）记市场需求量为Q，它近似满足Q（x）=2﹣x，当时P=Q，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4元时，求税率的最大值．20. （10分） (2016高一下·吉林期中) 已知数列{an}，{bn}满足a1=1，an+1=2an+1，b1=4，bn﹣bn﹣1=an+1（n≥2）．（1）求证：数列{an+1}是等比数列；（2）求数列{an}，{bn}的通项公式．21. （15分） (2016高二上·鹤岗期中) 若P为椭圆 =1上任意一点，F1 ， F2为左、右焦点，如图所示．（1）若PF1的中点为M，求证：|MO|=5﹣ |PF1|；（2）若∠F1PF2=60°，求|PF1|•|PF2|之值；（3）椭圆上是否存在点P，使• =0，若存在，求出P点的坐标，若不存在，试说明理由．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共65分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、第11 页共11 页。
浙江省2020版高二上学期期末数学试卷(理科)B卷(新版)
浙江省2020版高二上学期期末数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列命题中：①命题“，使得”,则是假命题.②“若，则互为相反数”的逆命题为假命题.③命题“”,则“”.④命题“若，则”的逆否命题是“若，则”.其中正确命题是（）A . ②③B . ①②C . ①④D . ②④2. （2分） (2015高二上·石家庄期末) 某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号为6号，32号，45号的同学都在样本中，那么样本中还有一位同学的座位号是（）A . 19B . 16C . 24D . 363. （2分）(2017·湖南模拟) 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A . （￢p）∨（￢q）B . p∨（￢q）C . （￢p）∧（￢q）D . p∨q4. （2分）(2019·温州模拟) 已知a，b是实数，则“ 且”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2020高三上·闵行期末) 命题“若，则”是真命题，实数的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二上·遂宁期末) 图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第1次到第14次的考试成绩依次记为… ,图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图.那么程序框图输出的结果是（）A . 7B . 8C . 9D . 107. （2分）已知M是的最小值，N＝，则下图所示程序框图输出的S为（）A . 2B . 1C .D . 08. （2分）连续抛掷两次骰子，得到的点数分别为m,n，记向量的夹角为，则的概率是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二上·定州期末) 一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A . 39πB . 48πC . 57πD . 63π10. （2分） (2016高一下·防城港期末) 在区间[﹣， ]上随机取一个数x，则事件“0≤sinx≤1”发生的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）空间四边形ABCD中，若向量，，点E,F分别为线段BC,AD 的中点，则的坐标为（）A .B .C .D .12. （2分） (2020高一下·抚顺期末) 已知向量 , ，且，则m的值为（）A . 3B . 1C . 1或3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一上·湘东月考) 若直线“ ”与直线“ ”平行，则________；14. （1分）(2018·新疆模拟) 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出________人.15. （1分） (2017高二下·杭州期末) 在△ABC中，∠ABC= ，边BC在平面α内，顶点A在平面α外，直线AB与平面α所成角为θ．若平面ABC与平面α所成的二面角为，则sinθ=________．16. （1分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，且点E为棱AB上任意一个动点．当点B1到平面A1EC 的距离为时，点E所有可能的位置有几个________三、解答题 (共5题；共60分)17. （10分） (2018高二上·鹤岗月考)（1）已知命题 :实数满足，命题 :实数满足方程表示的焦点在轴上的椭圆，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）设命题 :关于的不等式的解集是； :函数的定义域为 .若是真命题，是假命题，求实数的取值范围.18. （5分） (2015高二上·潮州期末) 已知命题p：∀x∈R，ax2+ax+1＞0及命题q：∃x0∈R，x02﹣x0+a=0，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．19. （15分） (2020高三上·成都月考) 随着新冠疫情防控进入常态化，生产生活逐步步入正轨，为拉动消费，成都市先后发行了三批(每批2亿元)消费券.我们随机抽取了50人，对这种拉动消费的方式是否赞同进行调查，结果如下表，其中年龄低于45岁的总人数与不低于45岁的总人数之比为 .年龄(单位：岁)人数515105赞同人数51012721参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828，其中 .（1）求，值；（2）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为“赞同”的态度与人的年龄有关；年龄低于45岁的人数年龄不低于45岁的人数合计赞同不赞同合计（3）若从年龄在的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞同的概率.20. （15分） (2016高一下·武汉期末) 如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=2 ，AC=BC，F 是AB上一点，且AF= AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知CE= ．（1）求证：AD⊥平面BCE；（2）求证：AD∥平面CEF；（3）求三棱锥A﹣CFD的体积．21. （15分） (2019高二上·浠水月考) 如图，已知四棱锥的底面是菱形，底面对角线交于点，，面，是的中点.（1）求证：面；（2）求证：面面；（3）若，求三棱锥的体积.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：。
浙江省金华十校-度高二数学第一学期期末考试试卷(理科)
浙江省金华十校2007-2008学年度高二数学第一学期期末考试试卷（理科）注意事项：1. 考试时间为2小时，试卷总分为150分。
2. 全卷分“试卷”和“答卷”各一张，本卷答案必须做在答题卷的指定位置上。
3. 答题前请在“答卷”的密封线内填写学校、班级、学号、姓名。
一．选择题:(本大题有18小题，每小题4分，共72分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从一批产品中取出三件，设A =“三件产品全不是次品”，B =“三件产品全是次品”，C =“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是 A ．A 与C 互斥B ．B 与C 互斥 C ．任两个均互斥D ．任两个均不互斥2．从2008名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2008人中剔除8人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会 A ．不全相等 B ．均不相等 C ．都相等 D ．无法确定 3．已知x 与y则y 与x 的线性回归方程yˆ=bx +a 必过 A ．（2，2）点 B ．（1.5，3.5）点 C ．（1，2）点 D ．（1.5，4）点 4．下面的问题中必须用条件结构才能实现的个数是 （1）已知三角形三边长，求三角形的面积； （2）求方程ax +b =0(a ,b 为常数)的根； （3）求三个实数a ,b ,c 中的最大者； （4）求1+2+3+…+100的值。
A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 5．已知k 进制的数132与十进制的数30相等，那么k 等于A ．7或4B ．7C ．4D ．以上都不对 6．将4个不同的小球，放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法有A ．34种B ．43种C ．18种D ．36种7．在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为半径作圆，这个圆的面积介于25πcm 2与49π cm 2之间的概率为 A ．51B ．103 C ．52 D ．6258．如果数据x 1、x 2、…、x n 的均值为x ，方差为S 2 ，则2x 1+5、2x 2+5、…、2x n +5 的均值和方差分别为A ．x 和S 2B ．2x +5和4S 2C ． 2x +5和S 2D ．2x +5和4S 2+20S +259．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．已知随机变量ξ服从二项分布，且E ξ＝2.4，D ξ＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为A ．n =4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p =0.1 11．200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如下右图所示，则时速超过70km/h的汽车数量为 A ．2辆 B ．10辆 C ．20辆 D ．70辆 12．下面程序运行后，输出的值是A ．42B ． 43 C． 44 D ．45 13．在某一试验中事件A 出现的概率为p ，则在n 次试验中A 出现k 次的概率为A ．k n C (1-p )n -k p kB ．(1-p )k p n -kC ．1-(1-p )kD ．kn C (1-p )k p n -k 14．123)(x x +展开式中，含x 的正整数次幂的项共有A ．4项B ．3项C ．2项D ．1项15．将两名男生、五名女生的照片排成一排贴在光荣榜上，恰有三名女生的照片贴在两名男生的照片之间的概率为A ．76 B ．73 C ．72 D ．71 16．有6名外国中学生来我校体验生活，分到三个班级去，每班两人，其中甲必须分在一班，乙、丙不能分到二班，则不同的分法有A ．9种B ．12种C ．18种D ．14种 17．把一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，则方程组⎩⎨⎧=+=+223y x by ax ，只有一组解的概率为A ．1211 B ．121 C ．61D ．6518．某校高二数学备课组进行篮球友谊赛，把10人平均分成两组，再从每组中选出正副组长i=0 DO i=i+1 LOOP UNTIL i*i>=2000i=i -1PRINT i END各一人，则不同的选法有A ．25510A C 种B ．2551021A C 种 C ．225510)(A C 种 D ．225510)(21A C 种 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)19．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大 正方形，若直角三角形中较小的锐角θ=6π，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内概率为 ▲20．“好运”出租车公司按月将某辆车出租给司机，按照规定：无论是否出租，该公司每月都要负担这辆车的各种管理费100元，如果在一月内该车被租的概率是0.8，租金是2600元，那么公司每月对这辆车收支的期望值为 ▲ 元。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浙江省金华市高二上学期期末数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题： (共12题；共24分)
1. （2分）若随机变量η的分布列如表：
则当P（η＜x）=0.8时，实数x的取值范围是（）
A . x≤4
B . 3＜x＜4
C . 3≤x≤4
D . 3＜x≤4
2. （2分）(2015·岳阳模拟) 将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为（）
A . 14
B . 15
C . 16
D . 17
3. （2分） (2016高一下·永年期末) 甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数，用茎叶图表示（如图）s1 ， s2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s1与s2的关系是（填“＞”、“＜”或“=”）（）
A . s1＞s2
B . s1=s2
C . s1＜s2
D . 不确定
4. （2分） (2016高二上·大连开学考) 执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）某公司共有1000名员工，下设若干部门，现采用分层抽样方法，从全体员工中抽取一个样本容量为80的样本，已告知广告部门被抽取了 4个员工，则广告部门的员工人数为（）
A . 30
B . 40
C . 50
D . 60
6. （2分） (2018高一下·鹤壁期末) 已知某8个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为，则（）
A . ，
B . ，
C . ，
D . ，
7. （2分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）
（附：若随机变量ξ服从正态分布，则％，
％
A . 4.56%
B . 13.59%
C . 27.18%
D . 31.74%
8. （2分）电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.8，则三个灯泡在1000小时以后最多有一个坏了的概率是（）
A . 0.401
B . 0.104
C . 0.410
D . 0.014
9. （2分） (2017高三上·南充期末) 已知集合M={m|（m﹣11）（m﹣16）≤0，m∈N}，若（x3﹣）n（n∈M）的二项展开式中存在常数项，则n等于（）
A . 16
B . 15
C . 14
D . 12
10. （2分）已知函数，其中，，记函数满足条件：
为事件A，则事件A发生的概率为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2017高一上·山西期末) 程序框图如图所示，现输入如下四个函数：f（x）= ，f（x）=x4 ，f（x）=2x ， f（x）=x﹣，则可以输出的函数是（）
A . f（x）=
B . f（x）=x4
C . f（x）=2x
D . f（x）=x﹣
12. （2分） (2015高二下·太平期中) 用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）
A . 120
B . 240
C . 24
D . 48
二、填空题： (共4题；共5分)
13. （1分）n∈N* ， +3 +…+（2n+1） =________．
14. （1分）________(用二进制数表示).
15. （2分）一个口袋里装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、绿色的球各2个，现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球同颜色的概率是________．若取到红球得1分，取到黄球得2分，取到绿球得3分，记
变量ξ为取出的三个小球得分之和，则ξ的期望为________．
16. （1分）(2017·闵行模拟) 一名工人维护3台独立的游戏机，一天内3台需要维护的概率分别为0.9、
0.8和0.85，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为________（结果用小数表示）
三、解答题： (共6题；共50分)
17. （15分）(2017·运城模拟) 高三第一学期期末四校联考数学第I卷中共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的；评分标准规定：“每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分．”某考生每道题都给出一个答案，已确定有5道题的答案是正确的，而其余选择题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜，试求出该考生：
（1）得40分的概率；
（2）得多少分的可能性最大？
（3）所得分数ξ的数学期望．
18. （5分）(2017·湖南模拟) 某校高三数学竞赛初赛考试后，对考生的成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分成六组，第一组[90，100）、第二组[100，110）…第六组[140，150]．图（1）为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．（Ⅰ）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M；
（Ⅱ）若不低于120分的同学进入决赛，不低于140分的同学为种子选手，完成下面2×2
列联表（即填写空格处的数据），并判断是否有99%的把握认为“进入决赛的同学
成为种子选手与专家培训有关”．
[140，150]合计
参加培训58
未参加培训
合计4
附：
P（K2≥k0）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001
k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828
19. （5分） (2017高二下·眉山期末) 随着智能手机的发展，微信越来越成为人们交流的一种方式．某机构对使用微信交流的态度进行调查，随机调查了 50 人，他们年龄的频数分布及对使用微信交流赞成人数如表．
年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）
频数510151055
赞成人数51012721
（I）由以上统计数据填写下面2×2 列联表，并判断是否有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异；
年龄不低于45岁的人年龄低于45岁的人合计
赞成
不赞成
合计
（Ⅱ）若对年龄在[55，65），[65，75）的被调查人中随机抽取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成使用微信交流的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望
参考公式：K2= ，其中n=a+b+c+d
参考数据：
P（K2≥k0）0.0500.0100.001
k0 3.8416.63510.828
20. （5分）已知的展开式中的二项式系数之和为256．
（Ⅰ）证明：展开式中没有常数项；
（Ⅱ）求展开式中所有有理项．
21. （5分）某市去年高考考生成绩服从正态分布N（500，502），现有25000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．参考数据：（p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826 p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544 p（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974）
22. （15分） (2018高三上·三明期末) 某网站调查2016年大学毕业生就业状况，其中一项数据显示“2016年就业率最高学科”为管理学，高达（数据来源于网络，仅供参考）．为了解高三学生对“管理学”的兴趣程度，某校学生社团在高校高三文科班进行了问卷调查，问卷共100道选择题，每题1分，总分100分，社团随机抽取了100名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，得到频率分布表如下：
组号分组男生女生频数频率
第一组3250.05
第二组17
第三组2010300.3
第四组618240.24
第五组412160.16
合计50501001
参考公式：，其中．
参考临界值：
0.0500.0100.001
3.841 6.63510.828
（1）求频率分布表中，，的值；
（2）若将得分不低于60分的称为“管理学意向”学生，将低于60分的称为“非管理学意向”学生，根据条件完成下面列联表，并据此判断是否有的把握认为是否为“管理学意向”与性别有关？
非管理学意向管理学意向合计男生
女生
（3）心理咨询师认为得分低于20分的学生可能“选择困难”，要从“选择困难”的5名学生中随机抽取2名学生进行心理辅导，求恰好有1名男生，1名女生被选中的概率．
参考答案一、选择题： (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题： (共4题；共5分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题： (共6题；共50分) 17-1、
17-2、
17-3、
18-1、
19-1、20-1、
21-1、
22-1、
22-2、
22-3、。