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北京市顺义区牛栏山一中高一数学上学期期中试卷(含解析)

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北京市顺义2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题含解析

北京市顺义2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题含解析

牛栏山2023—2024学年度第一学期期中考试数学试卷（答案在最后）（120分钟）2023.11第一部分（填空题共65分）一、填空题共15小题，其中1-10题，每小题4分，11-15题，每小题5分，共65分，把答案填在答题卡相应位置上．1.已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,4A =，则U A =ð______．【答案】{}2,3【解析】【分析】利用补集的定义直接求解.【详解】全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,4A =，则{}2,3U A =ð.故答案为：{}2,3.2.已知集合{}1A x x =>，{}B x x a =<，且A B = R ，则a 的取值范围为______．【答案】()1,+∞【解析】【分析】根据并集的运算性质，即可求解.【详解】因为A B = R ，所以1a >.故答案为：()1,+∞.3.“,||0x R x ∀∈≥”的否定是____________.【答案】,0x R x ∃∈<【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题解答即可.【详解】由题意命题“,||0x R x ∀∈≥”是全称命题，故它的否定是：,0x R x ∃∈<.故答案为：,0x R x ∃∈<.【点睛】本题考查了含有一个量词的命题的否定，属于基础题.4.函数()1f x x=的定义域为______________.【答案】[)()1,00,-+∞ 【解析】【分析】由被开方数非负和分母不等式0得到不等式，求出定义域.【详解】由题意得10x x +≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≥-且0x ≠，故()1f x x=+的定义域为[)()1,00,-+∞ .故答案为：[)()1,00,-+∞ 5.已知函数()2,0,0x x f x x x ⎧>=⎨-<⎩，则()()1f f -=______．【答案】1【解析】【分析】根据函数()f x 的解析式由内而外逐层计算可得出()()1ff -的值.【详解】因为()2,0,0x x f x x x ⎧>=⎨-<⎩，则()11f -=，故()()()21111f f f -===.故答案为：1.6.若11223x x --=，则1x x -+=______．【答案】11【解析】【分析】根据指数的运算性质计算即可.【详解】由11223x x --=，两边同时平方可得129x x -+-=，所以111x x -+=.故答案为：117.关于x 的方程422x x -=的解为______．【答案】1x =【解析】【分析】由422x x -=可得出()()21220xx+-=，结合20x >可求得x 的值.【详解】由422x x -=可得()22220xx --=，即()()21220x x+-=，因为20x >，可得22x =，故1x =.所以，方程关于x 的方程422x x -=的解为1x =.故答案为：1x =.8.若不等式20x ax b ++>的解集为{|2x x <或}3x >，则a b +=______．【答案】1【解析】【分析】由题意可知：2，3是方程20x ax b ++=的两根，利用韦达定理运算求解.【详解】由题意可知：2，3是方程20x ax b ++=的两根，则2323a b -=+⎧⎨=⨯⎩，可得56a b =-⎧⎨=⎩，所以1a b +=.故答案为：1.9.写出21a >成立的一个充分不必要条件______．【答案】1a >（答案不唯一）【解析】【分析】解不等式21a >，结合集合的包含关系可得出结果.【详解】解不等式21a >可得1a <-或1a >，因为{}1a a >{1a a <-或}1a >，故21a>成立的一个充分不必要条件为1a >.故答案为：1a >（答案不唯一）.10.不等式()2660x x x -+<的解集为______．【答案】()(,03-∞-+U 【解析】【分析】根据题意分析可得20660x x x >⎧⎨-+<⎩或20660x x x <⎧⎨-+>⎩，结合一元二次不等式分析求解.【详解】由题意可知：20660x x x >⎧⎨-+<⎩或20660x x x <⎧⎨-+>⎩，解得33x -<<+或0x <，所以不等式的解集为()(,03-∞-+U .故答案为：()(,03-∞-+U .11.不等式21x x ->+的解集为______．【答案】(,0)-∞【解析】【分析】根据一次函数及指数函数的性质求解.【详解】当0x <时，0x ->，则0221x ->=，而11x +<，满足21x x ->+；当0x =时，则0221x -==，而11x +=，则21x x -=+；当0x >时，0x -<，则0221x -<=，而11x +>，则21x x -<+，综上，不等式21x x ->+的解集为(,0)-∞.故答案为：(,0)-∞.12.已知二次函数()2f x ax bx =+，且()()()1212f x f x x x =≠，则()12f x x +=______．【答案】0【解析】【分析】当120x x +=时，()()1200+==f x x f ，当120x x +≠时，()()()121112220-+=+-=x x f x x x x f x f x ，可知()120f x x +=.【详解】已知二次函数()2f x ax bx =+，且()()()1212f x f x x x =≠，当120x x +=时，()()1200+==f x x f ，当120x x +≠时，由()()()1212f x f x x x =≠，()()()()()222211221212120+-+=--==-+ax a f bx x bx a x x f x x x b x ()()()212121212121212--⎡⎤+++=+⎣⎦++x x x x a x x b x x f x x x x x x ，120x x -≠，故()120f x x +=.故答案为：013.已知a ，b 为正实数，且满足2ab =，则14a b+的最小值为______，此时a b +=______．【答案】①.②.2【解析】【分析】利用基本不等式求解即可．【详解】14a b +≥=，当且仅当14a b=且2ab =，即,2a b ==时取等号，则14a b +的最小值为，此时22a b ==++.故答案为：2.14.若函数(){}max ,6M x x x =+，则()M x 的最小值为______，此时x =______．【答案】①.3②.3-【解析】【分析】作出函数()M x 的图象，可得出函数()M x 的最小值及其对应的x 的值.【详解】由6x x ≤+可得221236x x x ≤++，解得3x ≥-，由6x x >+可得221236x x x >++，解得3x <-，故(){},3max ,66,3x x M x x x x x ⎧<-⎪=+=⎨+≥-⎪⎩，作出函数()M x 的图象如下图中的实线部分所示：由图可知，当3x =-时，函数()M x 取最小值3.故答案为：3；3-.15.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①.130.②.15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值.【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8yy x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元.所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.第二部分（简答题共85分）二、解答题共6道题，共85分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．16.已知函数()()22,12,1xx f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩.（1）在直角坐标系xOy 下，画出函数()f x 的草图（用铅笔作图）；（2）写出函数()f x 的单调区间；（3）若关于x 方程()f x k =有3个解，求k 的取值范围（直接写出答案即可）．【答案】（1）作图见解析（2）减区间为(),1-∞、()1,2，增区间为()2,+∞.（3）1,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据函数解析式直接作出函数()f x 的图象；（2）根据函数()f x 的图象可得出函数()f x 的增区间和减区间；（3）分析可知，直线y k =与函数()f x 的图象有三个公共点，数形结合可得出实数k 的取值范围.【小问1详解】解：作出函数()()22,12,1x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩的图象如下图所示：【小问2详解】解：由图可知，函数()f x 的减区间为(),1-∞、()1,2，增区间为()2,+∞.【小问3详解】解：如下图所示：当112k <≤时，直线y k =与函数()f x 的图象由三个公共点，此时，方程关于x 方程()f x k =有3个解，故实数k 的取值范围是1,12⎛⎤⎥⎝⎦.17.已知函数()4f x x x=+．（1）利用函数的单调性定义证明函数()f x 在()2,+∞上单调递增；（2）比较4f a a ⎛⎫+⎪⎝⎭，()141f a a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的大小．【答案】（1）证明见解析（2）414⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f a f a a a 【解析】【分析】（1）由定义法证明函数的单调性；（2）通过单调性比较函数值的大小.【小问1详解】函数()4f x x x=+，任取122x x <<，()()()()121212121212121244444⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x f x f x x x x x x x x x x x x x ，由122x x <<，124x x >，120x x -<，()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()2,+∞上单调递增.【小问2详解】1a >，则44a a +≥=，当且仅当4a a =，即2a =时等号成立，()23114343-⎛⎫+-+=-=⎪⎝⎭a a a a a a a a，由1a >，有210a ->，则1440⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭a a a a ，1444+>+≥a a a a，函数()f x 在()2,+∞上单调递增，所以414⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f a f a a a .18.已知函数()()21f x x x a a =+-+∈R ．（1）当0a =时，求()f x 的最小值；（2）若函数()f x 是偶函数，求a 值；（3）证明函数()f x 不是奇函数．【答案】（1）1（2）0（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用二次函数的性质求解；（2）利用偶函数的定义求解；（3）利用奇函数的定义判断.【小问1详解】当0a =时，()222411132f x x x x x x ⎛⎫=++=++=+ ⎪+⎝⎭，∵0x ≥，∴当0x =，即0x =时，min ()1f x =.【小问2详解】若函数()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，∴()2211x x a x x a -+--+=+-+，∴x a x a +=-，即()()22x a x a +=-，得40ax =，则0a =.【小问3详解】函数()()21f x x x a a =+-+∈R 的定义域为R ，∵()21f a a =+，2()21f a a a -=++，∴()2213()2222022f a a f a a a ⎛⎫-+=++=++≠ ⎪⎝⎭，即()()a f a f -≠-，∴函数()f x 不是奇函数.19.已知函数()22xxf x -=-．（1）判断函数的单调性与奇偶性，直接写出答案；（2）若120x x +=，求()()12f x f x +；（3）若120x x +>，判断()()12f x f x +的符号并证明．【答案】（1）函数()22xxf x -=-在R 上为增函数，且为奇函数（2）()()120f x f x +=（3）()()120f x f x +>，证明见解析【解析】【分析】（1）根据指数型函数的单调性与函数奇偶性的定义直接判断可得出结论，然后结合单调性和奇偶性的定义证明即可；（2）利用奇函数的性质可得出()()12f x f x +的值；（3）判断出()()120f x f x +>，由120x x +>可得出12x x >-，利用函数()f x 的单调性及奇函数的性质可证得结论成立.【小问1详解】解：函数()22xxf x -=-在R 上为增函数，且为奇函数，理由如下：任取1x 、2x ∈R ，且12x x <，则2122x x >，所以，12220x x -<，121102x x ++>，则()()()1212122112111122222222xx x x x x x x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()121212121222122221022x x x x x x x x x x ++-⎛⎫=-+=-+< ⎪⎝⎭，所以，函数()22xxf x -=-在R 上为增函数，对任意的x ∈R ，()()22xx f x f x --=-=-，故()f x 为奇函数.【小问2详解】解：因为120x x +=，则21x x =-，又因为函数()f x 为R 上的奇函数，故()()()()()()1211110f x f x f x f x f x f x +=+-=-=.【小问3详解】解：()()120f x f x +>，证明如下：因为120x x +>，则12x x >-，又因为函数()22xxf x -=-在R 上为增函数，且为奇函数，则()()()122f x f x f x >-=-，所以，()()120f x f x +>.20.已知参数k 为非零实数，记11x x y y =⎧⎨=⎩与22x x y y =⎧⎨=⎩为关于x ，y 的方程组()222,1142y kx y x =⎧⎪⎨++=⎪⎩的两组不同实数解；记33x x y y =⎧⎨=⎩与44x x y y =⎧⎨=⎩为关于x ，y 的方程组()223,1142y kx y x =-⎧⎪⎨++=⎪⎩的两组不同实数解．（1）求证：122881k x x k +=-+，122281x x k =-+；（2）求3412123432x x x x x x x x +++的值；（3）求322314414123x y x y x y x y y y y y --+--的值．【答案】（1）证明见解析；（2）0；（3）0.【解析】【分析】（1）由给定方程组消去y ，再利用韦达定理列式即得.（2）由（1）的结论，求出3434,x x x x +，再代入计算即得.（3）由1234,,,x x x x 表示给定式子，再结合（1）（2）的信息计算即得.【小问1详解】由()2221142y kx y x =⎧⎪⎨++=⎪⎩消去y 并整理得：22(81)820k x kx ++-=，显然12,x x 是此一元二次方程的两个根，所以：122881k x x k +=-+，122281x x k =-+.【小问2详解】由()2231142y kx y x =-⎧⎪⎨++=⎪⎩消去y 并整理得：22(181)1220k x kx +--=，显然34,x x 是此一元二次方程的两个根，于是34212181k x x k +=+，3422181x x k =-+，由（1）知122881k x x k +=-+，122281x x k =-+，所以223412123422222332118118108122281181x x x x k k k k x x x x k k k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=+==++-++.【小问3详解】由（1）（2）知12122282,8181k x x x x k k +=-=-++，422343122,181181k x x x x k k +==-++，所以32233223144114414123412323323223x y x y kx x kx x x y x y kx x kx x y y y y kx kx kx kx -+---+=+----+23142323141414231423523)25()5235323(2)()3(23x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++=++=++++2123422221423124334110()15()0(212281015()()8()11811818123)(23(23)(23)k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x -⋅+--+=+++++++++==+.21.已知{}()1,2,,3n S n n =≥ ，{}()12,,,2k A a a a k =≥L 是n S 的子集，定义集合{}*,i j i j i j A a a a a A a a =-∈>且，若{}*n A n S = ，则称集合A 是n S 的恰当子集．用X 表示有限集合X 的元素个数．（1）若5n =，{}1,2,3,5A =，求*A 并判断集合A 是否为5S 的恰当子集；（2）已知{}()1,,,7A a b a b =<是7S 的恰当子集，求a ，b 的值并说明理由；（3）若存在A 是n S 的恰当子集，并且5A =，求n 的最大值．【答案】（1）{}*1,2,3,4A =，集合A 是5S 的恰当子集；（2）2a =，5b =或3a =，6b =.（3）10【解析】【分析】（1）由定义求*A 并判断集合A 是否为5S 的恰当子集；（2）已知{}()1,,,7A a b a b =<是7S 的恰当子集，则有{}*1,2,3,4,5,6A =，列方程求a ，b 的值并检验；（3）证明10n =时，存在A 是10S 的恰当子集；当11n =时，不存在A 是11S 的恰当子集，【小问1详解】若5n =，有{}51,2,3,4,5S =，由{}1,2,3,5A =，则{}*1,2,3,4A =，满足{}5*5A S = ，集合A 是5S 的恰当子集；【小问2详解】{}()1,,,7A a b a b =<是7S 的恰当子集，则{}*1,2,3,4,5,6A =，*716A -=∈，由*5A ∈则75a -=或15b -=，75a -=时，2a =，此时5b =，{}1,2,5,7A =，满足题意；15b -=时，6b =，此时3a =，{}1,3,6,7A =，满足题意；2a =，5b =或3a =，6b =.【小问3详解】若存在A 是n S 的恰当子集，并且5A =，当10n =时，{}1,2,3,7,10A =，有{}*1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，满足{}0*110A S = ，所以{}1,2,3,7,10A =是10S 的恰当子集，当11n =时，若存在A 是11S 的恰当子集，并且5A =，则需满足{}*1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =，由*10A ∈，则有1A ∈且11A ∈；由*9A ∈，则有2A ∈或10A ∈，2A ∈时，设{}()1,2,,,11310A a b a b =≤<≤，经检验没有这样的,a b 满足{}*1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =；当10A ∈时，设{}()1,,,10,1129A a b a b =≤<≤，经检验没有这样的,a b 满足{}*1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =；，因此不存在A 是11S 的恰当子集，并且5A =，所以存在A 是n S 的恰当子集，并且5A =，n 的最大值为10.。

2016顺义牛栏山一中高一(上)期中数学

2016顺义牛栏山一中高一(上)期中数学

2016海淀八一中学高一（上）期中数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（4分）已知全集U=R，集合M={x|x2﹣2x＜0}，集合N={x|x＞1}，则集合M∩（∁U N）=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0＜x＜2} D．{x|x≤1}2．（4分）下列函数中，与函数y=x（x≥0）有相同图象的一个是（）A．y=B．y=（）2C．y=D．y=3．（4分）已知a=31.2，b=3°，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b4．（4分）下列函数中，在其定义域上为奇函数的是（）A．B．f（x）=C．f（x）=（x﹣1）3D．f（x）=2x5．（4分）直线y=ax+b的图象如图所示，则函数h（x）=（ab）x在R上（）A．为增函数 B．为减函数 C．为常数函数D．单调性不确定6．（4分）函数f（x）=1﹣2|x|的图象大致是（）A．B．C．D．7．（4分）定义在实数集R上的偶函数y=f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x），且在区间[﹣1，0]上单调递增，设a=f （1），，c=f（2），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．a＞c＞b8．（4分）要得到函数f（x）=21﹣x的图象．可以将（）A．函数y=2x的图象向左平移1个单位长度B．函数y=2x的图象向右平移1个单位长度C．函数y=2﹣x的图象向左平移1个单位长度D．函数y=2﹣x的图象向右平移1个单位长度9．（4分）已知点B（2，0），P是函数y=2x图象上不同于A（0，1）的一点，有如下结论：①存在点P使得△ABP是等腰三角形；②存在点P使得△ABP是锐角三角形；③存在点P使得△ABP是直角三角形．其中，正确结论的序号为（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③10．（4分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g （x2），则实数a的取值范围是（）A． B． C．（0，3] D．[3，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）若，则f（x）的定义域是．12．（4分）已知f（x+1）=2x，且f（a）=4，则a= ．13．（4分）已知则f（x）的零点为．14．（4分）如果集合A={x|ax2+2x+1=0}只有一个元素，则实数a的值为．15．（4分）已知函数的图象与函数y=2x+b的图象恰有两个交点，则实数b的取值范围是．16．（4分）给定集合A n={1，2，3，…，n}，n∈N*．若f是A n→A n的映射且满足：①任取i，j∈A n，若i≠j，则f（i）≠f（j）；②任取m∈A n，若m≥2，则有m∈{f（1），f（2），…，f（m）}．则称映射f为A n→A n的一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f：A3→A3是一个“优映射”．表一i 1 2 3F（i） 2 3 1表2i 1 2 3 4F（i） 3（1）若f：A4→A4是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；（2）若f：A2015→A2015是“优映射”，且f（1004）=1，则f（1000）+f（1017）的最大值为．二、解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）解关于x的不等式ax2﹣ax+x＞0，其中a∈R．18．（8分）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．（Ⅰ）设MP=x米，PN=y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；（Ⅱ）求矩形BNPM面积的最大值．19．（9分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，．（Ⅰ）求f（﹣1）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的值域A；（Ⅲ）设函数的定义域为集合B，若A⊆B，求实数a的取值范围．20．（9分）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”．（1）若f（x）=ax2+ax是“一阶比增函数”，求实数a的取值范围；（2）若f（x）是“一阶比增函数”，求证：对任意x1，x2∈（0，+∞），总有f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；（3）若f（x）是“一阶比增函数”，且f（x）有零点，求证：关于x的不等式f（x）＞2015有解．数学试题答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【解答】由M中不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即M={x|0＜x＜2}，∵全集U=R，N={x|x＞1}，∴∁U N={x|x≤1}，则M∩（∁U N）={x|0＜x≤1}，故选：B．2．【解答】一个函数与函数y=x （x≥0）有相同图象时，这两个函数应是同一个函数．A中的函数和函数y=x （x≥0）的值域不同，故不是同一个函数．B中的函数和函数y=x （x≥0）具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数．C中的函数和函数y=x （x≥0）的值域不同，故不是同一个函数．D中的函数和函数y=x （x≥0）的定义域不同，故不是同一个函数．综上，只有B中的函数和函数y=x （x≥0）是同一个函数，具有相同的图象，故选 B．3．【解答】∵a=31.2＞3，b=3°=1，=30.9＜3，30.9＞1，∴b=1＜c＜3＜a，∴a，b，c的大小关系是b＜c＜a．故选：C．4．【解答】对于A，定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x），则函数为奇函数对于B，定义域为{x|x≠1}不对称，从而是非奇非偶函数对于C，f（﹣x）=﹣（x+1）3≠﹣f（x）=﹣（x﹣1）3，故不是奇函数对于D，f（﹣x）=2﹣x≠﹣f（x）=﹣2x，故不是奇函数故选A．5.【解答】由图可知x=﹣1时，y=b﹣a=0．∴a=b，当x=0时，y=b，0＜b＜1，∴0＜a，b＜1，根据指数函数的性质，∴h（x）=（ab）x，为减函数．故选B．6．【解答】因为|x|≥0，所以2|x|≥1，所以f（x）=1﹣2|x|≤0恒成立，故选：A7．【解答】∵偶函数y=f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵f（x）在区间[﹣1，0]上单调递增，∴在区间[0，1]上单调递递减，在区间[1，2]上单调递增，则f（2）＞f（）＞f（1），即c＞b＞a，故选：B8．【解答】将函数y=2﹣x的图象向右平移1个单位长度，得函数y=2﹣（x﹣1）=21﹣x的图象故选 D9．【解答】∵函数y=2x的导函数为y′=（ln2）2x∴y′|x=0=ln2，即线段AB的斜率为，ln2＜2∴存在点P使得三角形ABP为锐角和直角三角形．以B（2，0）为圆心，AB为半价作圆，和y=2x有交点，所以能够构成等腰三角形所以，选项都对，选D10．【解答】∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称∴x1∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=﹣1，最大值为f（﹣1）=3，可得f（x1）值域为[﹣1，3]又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣1，2]，∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣1），g（2）]即g（x2）∈[2﹣a，2a+2]∵∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），∴⇒a≥3故选D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．【解答】要使原函数有意义，则，解得：x≥0且x≠1，∴f（x）的定义域是[0，1）∪（1，+∞）．故答案为：[0，1）∪（1，+∞）．12．【解答】由f（x+1）=2x得f（x+1）=2（x+1）﹣2，则f（x）=2x﹣2，由f（a）=4得f（a）=2a﹣2=4，即2a=6，得a=3，故答案为：3．13．【解答】，当x≥0时，f（x）=3x﹣3=0，解得：x=1，当x＜0时，f（x）==0，解得：x=﹣2，∴函数f（x）的零点为：﹣2和1．故答案为：﹣2和1．14．【解答】若集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个解当a=0时，方程可化为2x+1=0，满足条件；当a≠0时，二次方程ax2+2x+1=0有且只有一个解则△=4﹣4a=0，解得a=1故满足条件的a的值为0或1故答案为：0或115．【解答】当x＞1或x＜﹣1时，y=x+1，当﹣1≤x＜1时，y=﹣x+1，当直线y=2x+b经过点A（1，﹣2）时，此时﹣2=2+b，解得b=﹣4时只有一个交点，当直线y=2x+b经过点B（，2）时，此时2=2+b，解得b=0，此时只有一个交点，由图象可知，函数的图象与函数y=2x+b的图象恰有两个交点，则实数b的取值范围是（﹣4，0）故答案为：（﹣4，0）．16．【解答】（1）i 1 2 3 4f（i） 2 3 1 4或i 1 2 3 4f（i） 2 3 4 1（2）根据优影射的定义，f：A2010→A2010是“优映射”，且f（1004）=1，则对f（1000）+f（1007），只有当f（1000）=1004，f（1017）=1017，f（1000）+f（1017）取得最大值为 1004+1017=2021，故答案为：2021．二、解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．【解答】（I）当a=0时，原不等式变为：x＞0，（II）当a≠0时，原不等式可写为，①当a＞0时，若即a=1此时不等式变为x2＞0得x≠0，若即0＜a＜1可得或x＞0，若即a＞1时可得x＜0或，②当a＜0时，可得，综上所述：当a=0时，不等式的解集为{x|x＞0}；当a=1时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a＜0时，不等式的解集为当a＞1时，不等式的解集为当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜1﹣或x＞0}18．【解答】（I）作PQ⊥AF于Q，所以PQ=8﹣y，EQ=x﹣4…（2分）在△EDF中，，所以…（4分）所以，定义域为{x|4≤x≤8}…（6分）（II）设矩形BNPM的面积为S，则…（9分）所以S（x）是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x=10所以当x∈[4，8]，S（x）单调递增…（11分）所以当x=8米时，矩形BNPM面积取得最大值48平方米…（13分）19．【解答】（I）∵函数f（x）是定义在R上的偶函数∴f（﹣1）=f（1）又x≥0时，∴，即f（﹣1）=．（II）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得函数f（x）的值域A即为x≥0时，f（x）的取值范围，当x≥0时，故函数f（x）的值域A=（0，1]．（III）∵定义域B={x|﹣x2+（a﹣1）x+a≥0}={x|x2﹣（a﹣1）x﹣a≤0}方法一：由x2﹣（a﹣1）x﹣a≤0得（x﹣a）（x+1）≤0∵A⊆B∴B=[﹣1，a]，且a≥1（13分）∴实数a的取值范围是{a|a≥1}方法二：设h（x）=x2﹣（a﹣1）x﹣aA⊆B当且仅当即∴实数a的取值范围是{a|a≥1}20．【解答】（1）依题意可知：函数在区间（0，+∞）上为增函数；由一次函数性质可知一次项系数a＞0；∴实数a的取值范围为（0，+∞）；（2）证明：因为f（x）为“一阶比增函数”，即在（0，+∞）上为增函数；又对任意x1，x2∈（0，+∞），有x1＜x1+x2，x2＜x1+x2；故，；∴，；不等式左右两边分别相加得：；因此，对于任意x1，x2∈（0，+∞），总有f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；（3）证明：设f（x0）=0，其中x0＞0；因为f（x）是一阶比增函数，所以当x＞x0时，，即f（x）＞0；取t∈（0，+∞），满足f（t）＞0，记f（t）=m；由（2）知f（2t）＞2f（t）=2m；同理可得：f（4t）＞2f（2t）=4m，f（8t）＞2f（4t）＞8m；∴一定存在n∈N*，使得f（2n t）＞2n m＞2015；故不等式f（x）＞2015有解．2016人大附中高一（上）期中数学一、选择题（共8小题）.1．（3分）已知集合A={x|y=lg（x﹣1）}，全集U=R，则有∁U A=（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1] C．（1，+∞）D．[1，+∞）2．（3分）下列图示所表示的对应关系不是映射的是（）A．B．C．D．3．（3分）若函数f（x）是一次函数，且函数图象经过点（0，1），（﹣1，3），则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2x﹣1 B．f（x）=2x+1 C．f（x）=﹣2x﹣1 D．f（x）=﹣2x+14．（3分）若函数f（x）=2x﹣3，则f﹣1（5）=（）A．4 B．5 C．6 D．75．（3分）若实数a=20.1，b=log32，c=log0.34，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b6．（3分）若函数，则f（x）的图象为（）7．（3分）函数f（x）=x3﹣x+2在下列区间内一定存在零点的是（）A．（1，2）B．（0，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，0）8．（3分）函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）上为增函数，f（3）=0，则不等式f（2x﹣1）≥0的解为（）A．B．C．[2，+∞）D．二、填空题（本大题共6小题）．9．（3分）集合{a，b}的所有子集是：{a}，{b}，，．10．（3分）已知函数f（x+1）=x2，则函数f（x）的解析式为f（x）= ．11．（3分）某班共有15人参加数学和物理课外兴趣小组，其中只参加数学兴趣小组的有5人，两个小组都参加的有4人，则只参加物理兴趣小组的有人．12．（3分）若函数，方程f（x）=m有两解，则实数m的取值范围为．13．（3分）函数单调减区间为．14．（3分）对于函数f（x），若存在实数M＞0，使得对于定义域内的任意的x，使得函数|f（x）|≤M，则称函数f （x）为有界函数，下列函数是有界函数的是①y=2x+1②y=﹣x2+2x③y=2x﹣1④y=lnx（x∈（1，e]）⑤y=2﹣|x|⑥．三、解答题15．计算下列指、对数式的值（Ⅰ）（Ⅱ）．16．已知（Ⅰ）求函数y=f[g（x）]的解析式；（Ⅱ）求f[g（1）]，f[g（﹣1）]的值；（Ⅲ）判别并证明函数y=f[g（x）]的奇偶性．17．已知（Ⅰ）求f（﹣1），f（1）的值；（Ⅱ）求f（a）+f（﹣a）的值；（Ⅲ）判别并证明函数f（x）的单调性．18．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对于定义域内任意x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y），且函数在定义域内为单调递减函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的零点；（Ⅲ）求满足不等式f（2m+1）+f（m）＞0的实数m的范围．19．已知分段函数f（x）=．（1）求实数c的值；（2）当a=1时，求f[f（﹣1）]的值与函数f（x）的单调增区间；（3）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．20．若A n=（a i=0或1，i=1，2，…n），则称A n为0和1的一个n位排列，对于A n，将排列记为R1（A n）；将排列记为R2（A n）；依此类推，直至R n（A n）=A n．对于排列A n和R i（A n）（i=1，2，…n﹣1），它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做A n和R i（A n）的相关值，记作t（A n，R i（A n）），（Ⅰ）例如A3=，则R1（A3）= ，t（A3，R1（A3））= ；若t（A n，R i（A n））=﹣1（i=1，2，…n﹣1），则称A n为最佳排列（Ⅱ）当n=3，写出所有的n位排列，并求出所有的最佳排列A3；（Ⅲ）证明：当n=5，不存在最佳排列A5．数学试题答案一、选择题（共8小题）.1．【解答】由于函数y=y=lg（x﹣1）有意义，∴x﹣1＞0，即x＞1集合A={x|y=lg（x﹣1）}=（1，+∞）由于全集U=R，所以C U A=（﹣∞，1]，故选：B．2．【解答】若在M中的任意一个元素，在N中都有唯一的元素对应，则M到N的对应叫映射，A、B、D符合映射的定义，是映射，C中，M的元素b在N中有两个对应的元素，不符合映射的定义，不是映射．故选：C．3．【解答】∵函数f（x）是一次函数，∴其解析式可以假设为f（x）=kx+b （k≠0），∵函数图象经过点（0，1），（﹣1，3），∴f（0）=1，f（﹣1）=3，∴b=1，k=﹣2，∴f（x）=﹣2x+1，故选：D．4．【解答】由2x﹣3=5，解得x=4．∴f﹣1（5）=4．故选：A．5．【解答】∵a=20.1＞20=1，0=log31＜b=log32＜log33=1，c=log0.34＜log0.31=0，∴a＞b＞c．故选：A．6．【解答】f（﹣x）===f（x），所以函数f（x）为偶函数，故图象关于y轴对称，故排除B，D，由f′（x）=，当x＞0时，f′（x）为减函数，故f（x）的切线的斜率越来越小，故f（x）增加的越来越慢，故选：A．7．【解答】f（﹣2）=﹣8+2+2=﹣4＜0，f（﹣1）=﹣1+1+2=2＞0，则函数f（x）在（﹣2，﹣1）上存在零点，故选：C8．【解答】∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（3）=0，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，且f（﹣3）=﹣f（3）=0，作出函数f（x）的草图：如图：由不等式f（2x﹣1）≥0得2x﹣1≥3或2x﹣1=0或﹣3≤2x﹣1＜0，即x≥2或x=或﹣1≤x＜，综上x≥2或﹣1≤x≤，即不等式的解集为，故选：B二、填空题（本大题共6小题）．9．【解答】集合{a，b}的所有子集：∅，{a}，{b}，{a，b}．故答案为：∅，{a，b}．10．【解答】令t=x+1，则x=t﹣1，∴f（t）=（t﹣1）2，∴f（x）=（x﹣1）2．故答案为：（x﹣1）211．【解答】由题意可得到只参加物理兴趣小组的人数为15﹣5﹣4=6人，故答案为：612．【解答】如图所示．由题意，x≤0，0＜3x≤1，x＞0，f（x）≤2，∵方程f（x）=m有两解，∴0＜m＜2．故答案为：0＜m＜2．13．【解答】由2x﹣x2＞0得0＜x＜2，设t=2x﹣x2，∵y=log2t为增函数，∴要求单调减区间，即求函数t=2x﹣x2（0＜x＜2）的递减区间，∵当1≤x＜2时，函数t=2x﹣x2为减函数，故函数f（x）的单调递减区间为[1，2），故答案为：[1，2）．14．【解答】若函数f（x）为有界函数，则函数的值域是有界的．①y=2x+1的值域为R，故不是有界函数，②y=﹣x2+2x的值域为（﹣∞，1]，故不是有界函数，③y=2x﹣1的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故不是有界函数，④y=lnx（x∈（1，e]）的值域为（0，1]为有界函数；⑤y=2﹣|x|的值域为（0，1]为有界函数；⑥．的值域为（﹣1，1）为有界函数；故答案为：④⑤⑥三、解答题15．【解答】（Ⅰ）=×=×==3．（Ⅱ）=1+3×5=16．16．【解答】（1）∵f（x）=log2x，g（x）=9﹣x2，∴y=f[g（x）]=（﹣3＜x＜3）；（2）f[g（1）]=log28=3，f[g（﹣1）]=log28=3；（3）偶函数，证明：定义域为（﹣3，3），关于原点对称，∵y=f[g（x）]=，∴f[g（﹣x）]=，∴y=f[g（﹣x）]=y=f[g（x）]，∴y=f[g（x）]为偶函数．17．【解答】（Ⅰ）∵，∴f（﹣1）==，f（1）==；（Ⅱ）f（a）+f（﹣a）=+=+=1；（Ⅲ）函数f（x）是定义域R上的单调增函数，证明如下：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，∴＜，（1+）（1+）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）=﹣=＞0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）是定义域R上的单调增函数．18．【解答】（Ⅰ）由题意知，f（xy）=f（x）+f（y）令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0，令x=a，y=，∴f（a）+f（）=f（1）=0；（Ⅱ）∵函数在定义域内为单调递减函数，∵f（1）=0，∴在定义域内只有一个零点x=1；（Ⅲ）f（2m+1）+f（m）＞0，∴f（2m+1）+f（m）＞f（1），∴（m+1）（2m﹣1）＜0，∴﹣1＜m＜，∵m＞0，∴0＜m＜19．【解答】（1）因为两段都取到x=0，所以当x=0时的函数值相等，即20=c，因此c=1 （2）因为a=1，所以，所以由解析式可知：f（x）的增区间是（﹣∞，0）和（1，+∞）（3）由解析式知：当x≤0时：函数没有零点当x≥0时：f（x）=（ax﹣1）（x﹣1），此时函数一定有一个零点x=1令h（x）=ax﹣1，则函数h（x）要么没有零点，要么有且只有一个零点x=1，而：当a=0时，此函数没有零点，符合题意当a＜0时，此函数没有零点，符合题意当a＞0时，若a=1，此函数有且只有一个零点x=1，符合题意；其它取值都有不等于1的根，不符合题意所以：当a∈（﹣∞，0]∪{1}时，函数f（x）有且只有一个零点20．【解答】（Ⅰ）当A3=，R1（A3）=，t（A3，R1（A3））=1﹣2=﹣1，故答案为：，﹣1…（4分）（Ⅱ）当n=3时，所有的3位排列有：，，，，，，，最佳排列A3为，，，，，…（8分）证明：（Ⅲ）设A 5=，则R1（A5）=，因为 t（A5，R1（A5））=﹣1，所以|a1﹣a5|，|a2﹣a1|，|a3﹣a2|，|a4﹣a3|，|a5﹣a4|之中有2个0，3个1．按a5→a1→a2→a3→a4→a5的顺序研究数码变化，由上述分析可知有2次数码不发生改变，有3次数码发生了改变．但是a5经过奇数次数码改变不能回到自身，所以不存在A5，使得t（A5，R1（A5））=﹣1，从而不存在最佳排列A5．…（12分）2016首师大附属育新高一（上）期中数学一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分，在后面答题区域的表格内填写正确的答案）1．（3分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，则B∩∁U A（）A．{5，6} B．{3，4，5，6} C．{1，2，5，6} D．∅2．（3分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=x2+3x B．y=（x﹣1）2C．g（x）=2﹣x D．y=log0.5（x+1）3．（3分）设a=（）0.2，b=1.30.7，c=（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c4．（3分）已知集合A={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且A⊆B，则实数a的取值范围（）A．a＜﹣2 B．a＞2 C．a≤﹣2 D．a≥25．（3分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m恰有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．[0，1] B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）6．（3分）函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A． B． C．D．7．（3分）已知实数a，b满足等式2014a=2015b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b，其中不可能成立的关系式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（3分）已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣]=2，则f（）的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，在后面答题区域的表格内填写正确方为有效共10小题，每小题4分，满分40分）9．（4分）若函数f（x）=﹣x2+4ax在（﹣∞，﹣2]上单调递增，则实数a的取值范围是．10．（4分）已知函数y=3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P，则P点的坐标为．11．（4分）若函数f（x）=是奇函数，则a+b= ．12．（4分）函数f（x）=x2﹣x+a，则f（m）f（1﹣m）（填“＜”“＞”或“=”）13．（4分）用“二分法”求函数f（x）=x3﹣3x+1的一个零点时，若区间[1，2]作为计算的初始区间，则下一个区间应取为．14．（4分）已知函数f（x）=x5+ax﹣8，且f（﹣2）=10，则f（2）= ．15．（4分）函数f（x）=的值域是．16．（4分）函数f（x）=x2+2ax+a2在区间[﹣1，2]上的最大值是4，则实数a的值为．17．（4分）设2a=5b=m，且+=2，m= ．18．（4分）已知下表中的对数值有且只有一个是错误的．x 1.5 3 5 6 8 9lg x 4a﹣2b+c 2a﹣b a+c 1+a﹣b﹣c 3[1﹣（a+c）] 2（2a﹣b）其中错误的对数值是．三、解答题（本大题共4小题，满分36分要求写出必要的解题步骤和文字说明）19．（9分）计算下来各式：（1）化简：a••；（2）求值：log535+2log0.5﹣log5﹣log514+5．20．（9分）已知函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若f（x）＞0，求x的取值范围．21．（9分）据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．22．（9分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，a，b，c是常数且a≠0，满足条件：f（0）=3，f（3）=6，且对任意的x∈R有f（1+x）=f（1﹣x）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）问是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别是[m，n]，[2m，2n]？若存在，求出m，n；若不存在，说明理由．数学试题答案一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分，在后面答题区域的表格内填写正确的答案）1．【解答】∵全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，∴∁U A={5，6}，则B∩∁U A={5，6}，故选：A．2．【解答】对于A，函数f（x）=x2+3x在（0，+∞）上是单调增函数，满足条件；对于B，函数y=（x﹣1）2在（0，1）是单调减函数，在（1，+∞）上是单调增函数，不满足条件；对于C，函数g（x）=2﹣x=在（﹣∞，+∞）上为单调减函数，不满足条件；对于D，函数y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是单调减函数，不满足条件．故选：A．3．【解答】∵1＞a=（）0.2＞（），b=1.30.7＞1，则a，b，c的大小关系是b＞a＞c．故选：B．4．【解答】∵集合A={x丨﹣2≤x≤2，x∈R}，B={x丨x≥a}，且A⊆B，∴a≤﹣2故选：C．5．【解答】令g（x）=0得f（x）=m，作出y=f（x）的函数图象如图所示：由图象可知当m＜0或m≥1时，f（x）=m只有一解．故选D．6．【解答】函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=a x的图象向下平移个单位得到的．当a＞1时，函数y=a x﹣在R上是增函数，且图象过点（﹣1，0），故排除A，B．当1＞a＞0时，函数y=a x﹣在R上是减函数，且图象过点（﹣1，0），故排除C，故选D．7．【解答】分别作出y=2014x，与y=2015x的函数图象．∵2014a=2015b，∴a＞b＞0，或a＜b＜0，或a=b=0，正确；因此只有：③，④不正确．故选：B．8．【解答】根据题意，得若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣]=2，得到f（x）﹣为一个常数，令f（x）﹣=n，则f（n）=2，∴2﹣=n，∴n=1，∴f（x）=1+，∴f（）=7，故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，在后面答题区域的表格内填写正确方为有效共10小题，每小题4分，满分40分）9．【解答】f（x）=﹣（x﹣2a）2+4a2，∴f（x）的图象开口向下，对称轴为x=2a，∴f（x）在（﹣∞，2a]上单调递增，在（2a，+∞）上单调递减，∵在（﹣∞，﹣2]上单调递增，∴﹣2≤2a，解得a≥﹣1，故答案为：[﹣1，+∞）．10．【解答】令2x+3=1，可得 x=﹣1，此时y=3．即函数y=3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P的坐标为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．11．【解答】由题意，a=f（0）=0．f（﹣1）=﹣f（1），∴﹣1+b=﹣（1﹣1），∴b=1，∴a+b=1．故答案为：1．12．【解答】解法一、函数f（x）=x2﹣x+a，可得f（1﹣m）﹣f（m）=（1﹣m）2﹣（1﹣m）+a﹣（m2﹣m+a）=（1﹣m）（﹣m）﹣m（m﹣1）=m（m﹣1）﹣m（m﹣1）=0，则f（m）=f（1﹣m）．解法二、函数f（x）=x2﹣x+a的对称轴为x=，由m+（1﹣m）=1，可得f（m）=f（1﹣m）．故答案为：=．13．【解答】由二分法由f（1）=1﹣3+1＜0，f（2）=8﹣6+1＞0，取区间[1，2]作为计算的初始区间取x1=1.5，这时f（1.5）=1.53﹣3×1.5+1=﹣0.125＜0，故x0∈（1.5，2）．故答案为：（1.5，2）．14．【解答】f（﹣2）=（﹣2）5﹣2a﹣8=10，则2a=﹣25﹣18，则f（2）=25+2a﹣8=25﹣25﹣18﹣8=﹣26，故答案为：﹣26．15．【解答】若使函数的解析式有意义则4﹣2x≥0，解得x≤2此时0＜2x≤4则0≤4﹣2x＜40≤＜2故函数的值域是[0，2）故答案为：[0，2）16．【解答】∵函数f（x）=x2+2ax+a2=（x+a）2在区间[﹣1，2]上的最大值是4，区间[﹣1，2]的中点为，二次函数f（x）的图象的图象的对称轴为x=﹣a，当﹣a＜时，即a＞﹣时，f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值为f（2）=4+4a+a2=4，a=0．当﹣a≥时，即a≤﹣时，f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值为f（﹣1）=1﹣2a+a2=4，求得a=﹣1，综上可得，a=0或 a=﹣1，故答案为：0或﹣1．17．【解答】解：∵2a=5b=m，∴a=log2m，b=log5m，由换底公式得，∴m2=10，∵m＞0，∴故应填18．【解答】∵lg9=2lg3，适合，故二者不可能错误，同理：lg8=3lg2=3（1﹣lg5），∴lg8，lg5正确．lg6=lg2+lg3=（1﹣lg5）+lg3=1﹣（a+c）+（2a﹣b）=1+a﹣b﹣c，故lg6也正确．故答案为：lg1.5．三、解答题（本大题共4小题，满分36分要求写出必要的解题步骤和文字说明）19．【解答】（1）a••==；（2）log535+2log0.5﹣log5﹣log514+5=1+log57﹣log0.50.5+log550﹣log57﹣log52+3=1+log57﹣1+2+log52﹣log57﹣log52+3=1﹣1+2+3=5．20．【解答】函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．（1）∵﹣1＜x＜1∴函数f（x）的定义域（﹣1，1）（2）函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．∵f（﹣x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x）．∴f（x）为奇函数（3）∵f（x）＞0，∴求解得出：0＜x＜1故x的取值范围：（0，1）21．【解答】设直线l交v与t的函数图象于D点，（1）由图象知，点A的坐标为（10，30），故直线OA的解析式为v=3t，当t=4时，D点坐标为（4，12），∴OT=4，TD=12，∴S=×4×12=24（km）；（2分）（2）当0≤t≤10时，此时OT=t，TD=3t（如图1）∴S=•t•3t=（4分）当10＜t≤20时，此时OT=t，AD=ET=t﹣10，TD=30（如图2）∴S=S△AOE+S矩形ADTE=×10×30+30（t﹣10）=30t﹣150（5分）当20＜t≤35时，∵B，C的坐标分别为（20，30），（35，0）∴直线BC的解析式为v=﹣2t+70∴D点坐标为（t，﹣2t+70）∴TC=35﹣t，TD=﹣2t+70（如图3）∴S=S梯形OABC﹣S△DCT=（10+35）×30﹣（35﹣t）（﹣2t+70）=﹣（35﹣t）2+675；（7分）（3）∵当t=20时，S=30×20﹣150=450（km），当t=35时，S=﹣（35﹣35）2+675=675（km），而450＜650＜675，∴N城会受到侵袭，且侵袭时间t应在20h至35h之间，（8分）由﹣（35﹣t）2+675=650，解得t=30或t=40（不合题意，舍去）．∴在沙尘暴发生后30h它将侵袭到N城．22．【解答】（1）∵对任意的x∈R有f（1+x）=f（1﹣x），∴函数的对称轴是x=﹣=1①，又f（0）=3，f（3）=6，∴f（0）=c=3②，f（3）=9a+3b+c=6③，由①②③组成方程组解得：a=1，b=﹣2，c=3，∴f（x）=x2﹣2x+3；（2）f（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，对称轴x=1，函数的最小值是2，由于函数f（x）的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，m＜n，．∴函数f（x）在定义域为[m，n]上是增函数，∴f（m）=2m，f（n）=2n，即，解得：m=1，n=3，∴m=1，n=3．2016顺义牛栏山一中高一（上）期中数学一、选择题：（每题5分，共40分）在每小题的4个选项中，只有1项是符合题目要求的.1．（5分）设集合I=R，集合M={x|x＜1}，N={x|﹣1＜x＜2}，则集合{x|﹣1＜x＜1}等于（）A．M∪N B．M∩N C．（∁I M）∪N D．（∁I M）∩N2．（5分）若f（x）=x2+a（a为常数），，则a的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．13．（5分）函数的定义域为（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣2，0）∪（0，+∞）C．（﹣2，+∞）D．（﹣∞，2）4．（5分）如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最大值是﹣5 D．减函数且最小值是﹣55．（5分）已知a=40.4，b=80.2，，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．（5分）已知幂函数f（x）=xα（α∈Z），具有如下性质：f2（1）+f2（﹣1）=2[f（1）+f（﹣1）﹣1]，则f（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数7．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．28．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10） B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）二、填空题：（每题5分，共30分）9．（5分）写出满足条件{1，3}∪A={1，3，5}的集合A的所有可能情况是．10．（5分）函数y=1﹣2x（x∈[2，3]）的值域为．11．（5分）如果奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，则使f（x﹣1）＜0的x的取值范围是．12．（5分）若函数y=2﹣x+m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是．13．（5分）函数y=log2（x2﹣3x﹣4）的单调增区间是．14．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（﹣3）= ．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（12分）已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求∁R（A∪B），∁R（A∩B），（∁R A）∩B，A∪（∁R B）16．（14分）计算下列各题：（2）2lg lg49．17．（13分）已知函数f（x）=是奇函数，且f（2）=．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并用定义加以证明．18．（14分）某企业打算购买工作服和手套，市场价为每套工作服53元，每副手套3元，该企业联系了两家商店A 和B，由于用货量大，这两家商店都给出了优惠条件：商店A：买一赠一，买一套工作服，赠一副手套；商店B：打折，按总价的95%收款．该企业需要工作服75套，手套x副（x≥75），如果工作服与手套只能在一家购买，请你帮助老板选择在哪一家商店购买更省钱？19．（13分）设函数f（x）=log2（a x﹣b x），且f（1）=1，f（2）=log212．（1）求a，b的值；（2）当x∈[1，2]时，求f（x）最大值．20．（14分）已知定义域为R的函数是奇函数（1）求a值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围；（4）设关于x的函数F（x）=f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）有零点，求实数b的取值范围．数学试题答案一、选择题：（每题5分，共40分）在每小题的4个选项中，只有1项是符合题目要求的.1．【解答】∵I=R，M={x|x＜1}，N={x|﹣1＜x＜2}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜1}，故选：B．2．【解答】∵f（x）=x2+a（a为常数），，∴2+a=3，∴a=1．故选：D．3．【解答】要使原函数有意义，则，解得：x＞﹣2．∴函数的定义域为（﹣2，+∞）．故选：C．4．【解答】由于奇函数的图象关于原点对称，故它在对称区间上的单调性不变．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上必是增函数且最小值为﹣5，故选A．5．【解答】a=40.4=20.8，b=80.2=20.6=20.5，因为y=2x是增函数，所以a＞b＞c．故选：D．6．【解答】幂函数f（x）=xα（α∈Z）中，若有f2（1）+f2（﹣1）=2[f（1）+f（﹣1）﹣1]，则可取常量n=2，所以，函数为f（x）=x2，此函数的图象是开口向上，并以y轴为对称轴的二次函数，即定义域为R，关于原点对称，且f（﹣x）=（﹣x）2=x2=f（x），所以为偶函数．故选：B．7．【解答】∵f（x）=，∴f（3）=f（2）﹣f（1）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0）=﹣log24=﹣2．故选：B．8．【解答】作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选C．二、填空题：（每题5分，共30分）9．【解答】{1，3}∪A={1，3，5}，可得A中必须含有5这个元素，也可以含有1，3中的数值，满足条件{1，3}∪A={1，3，5}的集合A的所有可能情况是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．故答案为：{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．10．【解答】因为函数y=1﹣2x是减函数．所以x∈[2，3]时，可得函数的最大值为：﹣3，最小值为：﹣7，函数的值域[﹣7，﹣3]．故答案为：[﹣7，﹣3]．11．【解答】由题意x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，可得x＞1时，函数值为正，0＜x＜1时，函数值为负又奇函数y=f（x）（x≠0），由奇函数的性质知，当x＜﹣1时，函数值为负，当﹣1＜x＜0时函数值为正综上，当x＜﹣1时0＜x＜1时，函数值为负∵f（x﹣1）＜0∴x﹣1＜﹣1或0＜x﹣1＜1，即x＜0，或1＜x＜2故答案为（﹣∞，0）∪（1，2）12．【解答】∵函数y=2﹣x+m的图象不经过第一象限，而函数y=2﹣x+m的图象经过定点（0，1+m），且函数y在R上单调递减，则1+m≤0，求得m≤﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1]．13．【解答】令t=x2﹣3x﹣4＞0，求得x＜﹣1，或x＞4，故函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），且y=log2t，故本题即求二次函数t的增区间．再利用二次函数的性质可得函数t的增区间为（4，+∞），故答案为：（4，+∞）．14．【解答】由题意可知：f（1）=f（0+1）=f（0）+f（1）+2×0×1=f（0）+f（1），∴f（0）=0．f（0）=f（﹣1+1）=f（﹣1）+f（1）+2×（﹣1）×1=f（﹣1）+f（1）﹣2，∴f（﹣1）=0．f（﹣1）=f（﹣2+1）=f（﹣2）+f（1）+2×（﹣2）×1=f（﹣2）+f（1）﹣4，∴f（﹣2）=2．f（﹣2）=f（﹣3+1）=f（﹣3）+f（1）+2×（﹣3）×1=f（﹣3）+f（1）﹣6，∴f（﹣3）=6．故答案为：6．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【解答】∵集合A={x丨3≤x＜7}，B={x丨2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜10}，A∩B={x|3≤x＜7}，∁R A={x|x＜3或x≥7}，∴∁R（A∪B）={x|x≤2或x≥10}，∁R（A∩B）={x|x＜3或x≥7}，（∁R A）∩B={x|2＜x≤3或7≤x＜10}．16．【解答】（1）=0.4﹣1﹣1+[﹣2]﹣4+2﹣3+0.1=﹣1++=…（7分）（2）2lg lg49=2lg5﹣2lg3﹣lg7+2lg2+2lg3+lg7=2lg5+2lg2=2 …（14分）17．【解答】（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴=﹣，因此b=﹣b，即b=0．又f（2）=，∴=，∴a=2；（2）由（1）知f（x）==+，f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，证明：设x1＜x2≤﹣1，则f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）（1﹣）=（x1﹣x2）•．∵x1＜x2≤﹣1，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞1．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数．18．【解答】设按商店A和B优惠付款数分别为f（x）和g（x）商店A：f（x）=75×53+（x﹣75）×3=3x+3750（x≥75）…（4分）商店B：g（x）=（75×53+3x）×95%=2.85x+3776.25（x≥75）…（8分）令f（x）=g（x），解得x=175选择A与B是一样的…（10分）令y=f（x）﹣g（x）=0.15x﹣26.25，当75≤x＜175时，y＜0，选择商店A；…（12分）当x＞175时，y＞0，选择商店B；…（14分）19．【解答】∵函数f（x）=log2（a x﹣b x），且f（1）=1，f（2）=log212 ∴∴∴（2）由（1）得令g（x）=4x﹣2x=（2x）2﹣2x令t=2x，则y=t2﹣t∵x∈[1，2]，∴t∈[2，4]，显然函数y=（t﹣）2﹣在[2，4]上是单调递增函数，所以当t=4时，取得最大值12，∴x=2时，f（x）最大值为log212=2+log2320．【解答】（1）由题设，需，∴a=1，∴，经验证，f（x）为奇函数，∴a=1．（2）减函数证明：任取x1，x2∈R，x1＜x2，△x=x2﹣x1＞0，f（x2）﹣f（x1）=﹣=，∵x1＜x2 ∴0＜＜；∴﹣＜0，（1+）（1+）＞0∴f（x2）﹣f（x1）＜0∴该函数在定义域R 上是减函数．（3）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0 得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），∵f（x）是奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），由（2）知，f（x）是减函数∴原问题转化为t2﹣2t＞k﹣2t2，即3t2﹣2t﹣k＞0 对任意t∈R 恒成立，∴△=4+12k＜0，得即为所求．（4）原函数零点的问题等价于方程f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）=0由（3）知，4x﹣b=2x+1，即方程b=4x﹣2x+1有解∴4x﹣2x+1=（2x）2﹣2×2x=（2x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴当b∈[﹣1，+∞）时函数存在零点．。

2019-2020学年北京市顺义区牛栏山一中高一上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年北京市顺义区牛栏山一中高一上学期期中数学试题(解析版)

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注：资料封面，下载即可删除2019-2020学年北京市顺义区牛栏山一中高一上学期期中数学试题一、单选题1．下列叙述错误的是（ ） A ．{}{}11x x x x >⊆≥ B ．集合N 中的最小数是1C ．方程2690x x -+=的解集是{}3D ．{}4,3,2与{}3,2,4是相同的集合 【答案】B【解析】通过集合的包含关系判断A ，自然数集元素的大小判断B ；方程的解判断C ；集合的基本性质判断D ． 【详解】解：{}{}11x x x x >⊆≥，满足集合的包含关系，所以A 正确； 集合N 中的最小数是0，不是1，所以B 不正确；方程2690x x -+=的解为123x x ==，所以其解集为{}3，所以C 正确；{}4,3,2与{}3,2,4是相同的集合，满足集合的基本性质，所以D 正确；故选：B ． 【点睛】此题考查集合的关系，考查集合的元素的特征，属于基础题 2．设a ，b ，c ∈R ，且a b >，则（ ） A ．22a b > B ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33a b >D ．11a b< 【答案】C【解析】由不等式的性质及特殊值法逐一判断即可得结论． 【详解】解：对于A ，若0a =，1b =-，满足a b >，但22a b <，故A 错误；对于B ，函数32x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，若a b >，则1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C. 由函数3y x =在R 上单调递增，当a b >时，有33a b >，故C 正确 对于D ，0a b >>，则11a b>，故D 错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查幂、指数式大小的比较，考查函数的单调性的应用，属于基础题3．某研究小组在一项实验中获得一组关于,y t 之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画y 与t 之间关系的是（ ）A ．22y t = B ．2t y = C ．2log y t = D ．3y t =【答案】C【解析】根据图中的特殊点（2,1），（4,2）即可得解. 【详解】根据图中的特殊点（2,1），（4,2）,通过选项可知只有C ：2log y t =满足题意.故选C. 【点睛】本题考查了由函数图象写解析式，可以进行选项验证，属于基础题. 4．下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是（ ） A ．1y x=B ．x y e -=C ．21y x =-+D ．lg y x =【答案】D【解析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断． 【详解】 因为1()y f x x ==，1()()f x f x x-==--，所以1y x =为奇函数，不符合题意； 因为()xy f x e-==，则()()xf x e f x -=≠±，故()f x 不是偶函数因为2()1y f x x ==-+，()22()11()f x x x f x -=--+=-+=，所以21y x =-+为偶函数，但是21y x =-+在0,上单调递减()lg y f x x ==，()lg lg ()f x x x f x -=-==，则lg y x =为偶函数，且0x >时，lg y x =单调递增故选：D ． 【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性以及单调性，属于中档题.5．设053a =．，30.5b =，3log 0.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】A【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 【详解】解：∵00.51333<<，∴0.5131<<，即13a <<， ∵3000.80.8<<，∴300.81<<，即01b <<， ∵3log y x =在(0,)+∞上为增函数，且0.51<， ∴33log 0.5log 10<=，即0c < ∴a b c >>， 故选：A ． 【点睛】此题考查对数式、指数式比较大小，属于基础题 6．为了得到函数2lg10x y -=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】D【解析】将所得函数解析式变形为()2lg lg 2110x y x -==--，然后利用函数图象的平移法则可得出结论.()2lglg 2110x y x -==--，为了得到函数2lg 10x y -=的图象，只需把函数lg y x=的图象上所有的点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度. 故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的平移变换，要熟悉“左加右减，上加下减”基本原则的应用，考查推理能力，属于基础题.7．已知0x 是函数()112xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个零点，且()10,x x ∈-∞，()20,0x x ∈，则（ ）A ．()10<f x ，()20f x <B ．()10f x >，()20f x >C ．()10<f x ，()20f x >D ．()10f x >，()20f x <【答案】D【解析】判断()f x 在(),0-∞上的单调性，从而得出答案． 【详解】解：∵12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),0-∞上单调递减，1y x =在(),0-∞上单调递减，∴()112xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在(),0-∞上单调递减，∵()00f x =，10x x <，020x x <<， 故选：D ． 【点睛】本题考查利用函数的单调性及零点，判断函数值的正负，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力. 8．已知函数()-=-x a f x x a，则下列说法中正确的是（ ）A ．若0a <，则关于x 的方程()f x a =有解B ．若0a ≤，则()1f x ≤恒成立C ．若关于x 的方程()f x a =有解，则01a <≤D ．若()1f x ≥恒成立，则0a ≥【解析】由0a <，结合方程的左右两边的符号可判断A ；由绝对值不等式的性质，可判断B ；由方程有解的条件，结合绝对值不等式的性质，可判断C ；由不等式恒成立和绝对值不等式的性质，可判断D ． 【详解】对于A ，若0a <，由于0x a x a->-，则关于x 的方程()f x a =无解，故A 错误；对于B ，若0a ≤，()1f x x a x a x x a a ≤⇔-≤-⇔--≤，由0a ≤，0x <时，0x x a -->不成立，可得()1f x ≤不恒成立，故B 错误； 对于C ，由()f x a =可得1x a x a=+-，首先当0a <，01xx a >+-，等式不成立，当1a >时，()1x a f x x a-=<-，等式不成立；若01a <≤，x a x a -≤-，可取01x a x a-<≤-，则等式成立，故C 正确；对于D ，1x ax a-≥-即为x a x a -≥-，即x x a a --≥，当0a <且0x <时，不等式也成立，故D 错. 故选：C ． 【点睛】本题考查了含绝对值的函数性质，考查了分类讨论思想和恒成立思想，同时考查了绝对值不等式的性质，有一定的计算量，属于较难题.二、填空题9．已知函数()y f x =的对应关系如表，函数()y g x =的图象如图所示的曲线ABC ，其中()1,3A ，()2,1B ，()3,2C ，则()3g f ⎡⎤⎣⎦的值为______．【答案】1【解析】由函数()y f x =的对应关系求出()3f 的值，结合()g x 的图象可得()()3g f 的值． 【详解】解：根据题意，由()f x 的表格可得：()32f =，则()()()321g f g ==， 故答案为：1． 【点睛】本题考查根据函数的图象和函数列表法表示，求函数值，考查运算求解能力，属于基础题.10．函数y =的定义域_______________； 【答案】()3,+∞【解析】根据对数真数大于零以及偶次根式下被开方数非负列不等式，解得定义域. 【详解】 由题意得()2log (2)02133,20x x x x x -≥⎧⇒->⇒>⇒∈+∞⎨->⎩.【点睛】本题考查函数定义域以及解对数不等式，考查基本求解能力. 11．若0a >，0b >，且24a b +=，则ab 的最大值是______． 【答案】2【解析】由于a 、b 为正值，且2+a b 为定值4，因此可以运用基本不等式先求出的最大值，进而求出ab 的最大值． 【详解】解：∵0a >，0b >，24a b +=∴42a b =+≥∴2ab ≤，当且仅当2a b =时取等号，即2a =，1b =时取等号 故答案为：2．【点睛】此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题 12．下列说法中：①命题“对任意的1x >，有21x >”的否定为“存在1x ≤，有21x ≤”；②“对于任意的x D ∈，总有()f x M ≥（M 为常数）”是“函数()y f x =在区间D 上的最小值为M ”的必要不充分条件；③若1x ，()20,x ∈+∞，则函数()log a f x x =满足()()()1212f x f x f x x +=；④若1x ，2x ∈R ，12x x ≠，则函数()2xf x =满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭．所有正确说法的序号______．（把满足条件的序号全部写在横线上） 【答案】②③④【解析】①直接利用命题的否定判断； ②函数的最小值和必要不充分条件的应用； ③对数的运算关系式的应用； ④根据基本不等式可得答案； 【详解】①命题“对任意的1x >，有21x >”的否定为“存在1x >，有21x ≤”，故①错误； ②“对于任意的x D ∈，总有()f x M ≥（M 为常数）”由于没有说明0x D ∈()0f x M =，所以“函数()y f x =在区间D 上的最小值为M ”不一定成立；函数()y f x =在区间D 上的最小值为M ，总有()f x M ≥（M 为常数）成立，故②正确；③若1x ，()20,x ∈+∞，则函数()log a f x x =满足()1212log log log a a a x x x x =+， 所以()()()1212f x f x f x x +=成立，故③正确；④若1x ，2x ∈R ，12x x ≠，()()1212,33x x f x f x ==，1212232x xx x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为()30xf x =>，所以()()1212122322x x f x f x x x f +++⎛⎫>=== ⎪⎝⎭，故④正确．故答案为：②③④. 【点睛】本题考查了命题的否定、函数的最小值和充分条件和必要条件的应用、对数的运算关系、不等式比较大小的问题.三、双空题13．已知函数()4f x x x x =⋅-，则该函数的单调递增区间为______，若方程()f x k =有三个不同的实根，则实数k 的取值集合是______． 【答案】(],2-∞-和[)2,+∞ ()4,4-【解析】作出函数()4f x x x x =⋅-，根据图象可得单调递增区间，通过()f x 的图象与y k =有三个不同的实根，即可求解实数k 的取值集合． 【详解】解：由函数()224,044,0x x x f x x x x x x x ⎧-≥=⋅-=⎨--<⎩，作出函数()f x 如图所示：方程()f x k =有三个不同的实根，即()f x 的图象与y k =有三个不同的交点， 故答案为：(],2-∞-和[)2,+∞；()4,4-【点睛】此题考查函数与方程，考查函数的单调性，考查数形结合的思想，属于基础题14．设函数()3,0log ,x x af x x x a≤≤=>⎪⎩，其中0a >．①若3a =，则()9f f =⎡⎤⎣⎦______；②若函数()1y f x =-有两个零点，则a 的取值集合是______．{}13a a ≤<【解析】①由分段函数的解析式，结合对数和根式的运算性质可得所求值； ②由题意可得()1f x =有两个不等的实根，据此列出关于a 的不等式，即可得到所求范围． 【详解】①()33log ,3x f x x x ≤≤=>⎪⎩，可得()39log 92f ==，()()92f f f ⎡⎤⎣⎦== ②若函数()1y f x =-有两个零点，等价为()1f x =有两个不等的实根．而y =3log y x =1≥且3log 1a <，所以13a ≤<，，{}13a a ≤<． 【点睛】本题考查分段函数的求值以及零点问题，难度一般.（1）求解嵌套的函数值一般由内而外去求解；（2）分析分段函数的零点、单调性时，一定要注意分析分段点处的情况.四、解答题15．设集合{}227150A x x x =+-≤，{}122B x a x a =-<<． （Ⅰ）若B =∅，求实数a 的取值集合； （Ⅱ）若A B ⊆，求实数a 的取值集合． 【答案】（Ⅰ）14a ≤；（Ⅱ）{}3a a >. 【解析】（Ⅰ）由空集的意义知，当且仅当212a a ≤-时，集合B 中无任何元素，解不等式即可得实数a 的取值范围；（Ⅱ）根据A B ⊆，得到a 的取值范围，即可得到结论． 【详解】解：∵集合{}()(){}2327150235052A x x x x x x x x ⎧⎫=+-≤=-+≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭， （Ⅰ）∵B =∅，∴{}122x a x a -<<=∅，∴212a a ≤-，解得14a ≤， （Ⅱ）∵A B ⊆，则集合B ≠∅,所以212a a >-，则14a >∴1253322a a a -<-⎧⎪⇒>⎨>⎪⎩∴实数a 的取值集合为{}3a a >．【点睛】本题考查解二次不等式，根据集合的包含关系求参数的范围，属于中档题.16．求下列式子的值（要求有解答过程）()3log 49222log 8log 273log 9log 36⨯-+-． 【答案】52. 【解析】利用分数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解．【详解】解：原式()23223log 23log 342log 32log 62=⨯-+- ()22995442log 31log 32222=+-+-+=-=⎡⎤⎣⎦． 【点睛】此题考查根式、对数、指数式运算，考查计算能力，属于基础题17．已知函数()11x x a f x a -=+（a 为常数，且0a >，1a ≠）． （1）判断()f x 的奇偶性并予以证明；（2）当2a =时，证明：函数()f x 在定义域内单调递增；（3）求使不等式()12f x >成立的x 的取值集合． 【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）答案见解析.【解析】（1）只要检验()f x -与()f x 的关系即可判断，（2）设12x x <，然后利用作差法比较1f x 与2f x 的大小即可判断．（3）结合指数与对数的互化，结合a 的范围即可求解．【详解】解：（1）定义域R ，()()1111x xx xa a f x f x a a ---+-===-+-， 所以()f x 为R 上奇函数，（2）证明：212()12121x x x f x -==-++ 任取12,x x R ∈，且12x x <， 则121222()()1(1)2121x x f x f x -=---++ 21222121x x =-++ 12212(21)2(21)(21)(21)x x x x +-+=++ 12212(22)(21)(21)x x x x -=++ 因为12x x <，所以12220x x -<，21210,210x x +>+>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在R 上单调递增；（2）由()1121x x a f x a -=>+可得()1112x x a a ->+，所以3x a > 所以当1a >时，可得log 3a x >，当01a <<时，可得log 3a x <综上，当1a >时，{}log 3a x x >当01a <<时，{}og 3l a x x <．【点睛】此题考查函数奇偶性的判断和函数单调性的证明，考查指数不等式的解法，考查计算能力，属于基础题18．某城市出租车，乘客上车后，行驶3km 内（包括3km ）收费都是10元，之后每行驶1km 收费2元，超过15km ，每行驶1km 收费为3元．（1）写出付费总数y 与行驶路程x 收费之间的函数关系式；（2）乘客甲需要乘坐出租车与在15km 处等候的乘客乙共同到达20km 处的目的地，当出租车行驶了15km 后，乘客甲和乙有两种选择：两人一起换乘一辆出租车或者继续乘坐这辆出租车行驶完余下的5km 路程，请给出你对甲和乙的选择建议，并说明理由．【答案】（1）10,0324,315311,15x y x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩；（2）两人一起换乘一辆出租车更划算．理由见解析.【解析】（1）由题可知，分三段03x <≤、315x <≤和15x >，写出y 与x 的函数关系即可；（2）根据（1）中的函数关系，分别求出两人一起换乘一辆出租车和两人继续乘坐这辆出租车的付费总数，比较大小后，选择较小者即可．【详解】解：（1）当03x <≤时，10y =；当315x <≤时，()102324y x x =+-=+；当15x >时，102123(15)311y x x =+⨯+-=-综上所述，10,0324,315311,15x y x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩（2）若两人一起换乘一辆出租车，则3425448y =+⨯+=元，若两人继续乘这辆出租车，则3201149y =⨯-=，故两人一起换乘一辆出租车更划算．【点睛】此题考查函数的实际应用，考查逻辑推理能力和计算能力，属于基础题19．已知二次函数()225f x x ax =-+，其中1a >． （Ⅰ）若函数()f x 的定义域和值域均为[]1,a ，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(],2-∞上单调递减，且对任意的1x ，[]21,1x a ∈+，总有()()123f x f x -≤成立，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）2,1a ⎡∈⎣.【解析】（Ⅰ）求出()f x 的单调性，求出函数的最值，得到关于a 的方程，解出即可； （Ⅱ）根据()f x 在区间(],2-∞上是减函数，得出a 的一个取值范围；再对任意的1x ，[]21,1x a ∈+，()()()()12max 13f x f x f a f -=-≤，又可求出a 的一个取值范围；最后两者取交集，则问题解决．【详解】（Ⅰ）()225f x x ax =-+，开口向上，对称轴是1x a => ∴()f x 在[]1,a 递减，则()1f a =，即22251a a -+=，故2a =；（Ⅱ）因为()f x 在区间(],2-∞上是减函数，所以2a ≥．因此任意的1x ，[]21,1x a ∈+，总有()()123f x f x -≤，只需()()13f a f -≤即可解得：11a ≤≤+2a ≥因此2,1a ⎡∈⎣．【点睛】本题主要考查了已知二次函数单调区间求参数的范围以及根据二次函数的值域求参数的值，属于中档题.20．若在定义域内存在实数0x 使()()()0011f x f x f +=+成立，则称函数有“漂移点”0x ．（Ⅰ）请判断函数()2f x x=是否有漂移点？并说明理由； （Ⅱ）求证：函数()23x f x x =+在()0,1上存在漂移点；（Ⅲ）若函数()2lg a f x x=在()0,∞+上有漂移点，求实数a 的取值集合． 【答案】（Ⅰ）没有飘移点，理由见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）{}01a a <<.【解析】（Ⅰ）按照“飘移点”的概念，只需方程有根即可，据此判断；（Ⅱ）本问利用零点定理即可判断，即判断端点处的函数值异号；（Ⅲ）若函数在()0,∞+上有飘移点，只需方程在该区间上有实根，然后借助于二次函数的性质可以解决．【详解】 （Ⅰ）假设函数2()f x x=有“飘移点” 0x ，则002221x x =++， 即20010x x ++=，由此方程无实根，与题设矛盾，所以函数2()f x x=没有飘移点．（Ⅱ）令()(1)()h x f x f x f =+--（1）212(1)3(3)4x x x x +=++-+- 2323x x =⨯+-，所以(0)1h =-，h （1）5=．所以(0)h h （1）0<，又()h x 在(0,1)连续，所以()0h x =在(0,1)至少有一个实根0x ，即函数2()3x f x x =+在(0,1)上存在漂移点； （Ⅲ）证明：若2()a f x lgx =在(0,)+∞上有飘移点0x ， 所以2200(1)a a lg lg lga x x =++成立，即2200·(1)a a a x x =+，0a >， 整理得2200200()(1)1x x a x x ==++， 由00x >，00011x x <<+，则01a <<． 则实数a 的取值集合是{|01}a a <<．本题考查了函数的方程与函数间的关系，即利用函数思想解决方程根的问题，利用方程思想解决函数的零点问题，属于难题.。

2023-2024学年北京市顺义一中高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市顺义一中高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市顺义一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合A ≡{x |x ＜3x ﹣1}，B ＝{x |﹣1＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，+∞）B ．(12，3)C ．（﹣∞，3）D ．(−1，12)2．下列函数是偶函数且在（0，+∞）单调递减的是（ ） A ．y ＝x 2B ．y ＝xC ．y =1xD ．y ＝﹣x 2+13．若f （x ）与g （x ）是同一个函数，且f （x ）＝x ，则g （x ）可以是（ ） A ．g(x)=(√x)2 B ．g(x)=√x 33C ．g(x)=√x 2D ．g(x)=x 2x4．电讯资费调整后，市内通话费的收费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟以后，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计费．按此标准，通话收费S （元）与通话时间t （分钟）的函数的大致图象可表示为（ ）A ．B ．C ．D ．5．（多选）已知幂函数f （x ）＝x a 图像经过点（3，19），则下列命题正确的有（ ） A ．函数f （x ）为增函数 B ．函数f （x ）为偶函数 C ．若x ＞1，则f （x ）＞1D ．若0＜x 1＜x 2，则f(x 1)+f(x 2)2＞f （x 1+x 22）6．已知p ：x ≥k ，q ：2−x x+1＜0，如果p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是（ ）A ．[2，∞）B ．（2，+∞）C ．[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]7．奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （1）＝0，则不等式f(x)−f(−x)x＞0的解集为（ ）A ．（﹣1，0）∪（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C ．（﹣1，0）∪（0，1）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）8．已知函数f （x ）＝mx 2﹣mx ﹣1，“∃x ∈R ，f （x ）≥0”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣4，0]B ．（﹣4，0）C ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）D ．（﹣∞，﹣4）∪[0，+∞）9．已知函数f(x)={−x 2−ax −7，x ≤1a x ，x ＞1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围（ ）A ．[﹣4，0）B ．（﹣∞，﹣2]C ．[﹣4，﹣2]D ．（﹣∞，0）10．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f （x ）＝（1⊕x ）x ﹣（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（ ） A ．﹣1B ．1C ．6D ．12二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11．函数f(x)=2x−1+√2−x 的定义域为 ． 12．√(−3)2+(π−3)−823+(√−43)3= ．13．已知函数f （x ）为R 上的奇函数，且当x ＞0时，f(x)=x 2+1x，则f （﹣1）＝ ． 14．若偶函数f （x ）在[0，+∞）上单调递减且f （1）＝0，则不等式f （x ﹣3）≥0的解集是 ． 15．1859年，我国清朝数学家李善兰将“function ”一词译成“函数”，并给出定义：“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数”．①若f （﹣2）＝f （2），则函数f （x ）是偶函数②若定义在R 上的函数f （x ）在区间（﹣∞，0]上单调递增，在区间[0，+∞）上单调递增，则函数f （x ）在R 上是增函数③函数y ＝f （x ）的定义域为[a ，b ]，a ＜c ＜b ，若f （x ）在[a ，c ）上是增函数，在[c ，b ]上是减函数，则f （x ）max ＝f （c ）④对于任意的x 1，x 2∈（0，+∞），函数f(x)=√x 满足f(x 1)+f(x 2)2≤f(x 1+x 22)上面关于函数性质的说法正确的序号是 ．（请写出所有正确答案的序号） 三、解答题（共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16．（14分）已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1＜x ＜6}，C ＝{x |x ＞a }，U ＝R ． （1）求A ∪B ，（∁U A ）∩B ； （2）若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围． 17．（14分）设函数f(x)=x +4x ． （1）判断函数f （x ）奇偶性；（2）当x ∈（0，+∞）时，求函数f （x ）的最小值；（3）直接写出函数f （x ）的单调增区间（不需证明过程）． 18．（14分）已知函数f （x ）＝x 2﹣2ax +1． （1）若函数f （x ）为偶函数，求实数a 的值；（2）若函数f （x ）在（﹣∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围； （3）求函数f （x ）在[1，2]上的最小值．19．（14分）已知定义在区间（﹣1，1）上的函数f （x ）=x+ax 2+1为奇函数． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）判断函数f （x ）在区间（﹣1，1）上的单调性并用定义法证明． （3）解关于t 的不等式f （2t ﹣1）+f （t ）＜0．20．（14分）2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．根据市场调查某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环x 万只并能全部销售完，平均每万只的销售收入为R （x ）万元，且R(x)={100−kx ，0＜x ≤202100x−9000k x2，x ＞20．当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元． （1）求出k 的值并写出年利润W （万元）关于年产量x （万部）的函数解析式W （x ）；（2）当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 21．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”； （3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．2023-2024学年北京市顺义一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合A ≡{x |x ＜3x ﹣1}，B ＝{x |﹣1＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，+∞）B ．(12，3)C ．（﹣∞，3）D ．(−1，12)解：A ≡{x |x ＜3x ﹣1}＝{x |x ＞12}，B ＝{x |﹣1＜x ＜3}，则A ∩B ＝（12，3）． 故选：B ．2．下列函数是偶函数且在（0，+∞）单调递减的是（ ） A ．y ＝x 2B ．y ＝xC ．y =1xD ．y ＝﹣x 2+1解：对于A ，y ＝x 2为偶函数，在（0，+∞）单调递增，A 错误； 对于B ，y ＝x 为奇函数，B 错误； 对于C ，y =1x 为奇函数，C 错误；对于D ，y ＝﹣x 2+1是偶函数且在（0，+∞）单调递减，D 正确． 故选：D ．3．若f （x ）与g （x ）是同一个函数，且f （x ）＝x ，则g （x ）可以是（ ） A ．g(x)=(√x)2 B ．g(x)=√x 33C ．g(x)=√x 2D ．g(x)=x 2x解：对于A ，函数g （x ）=(√x)2=x 的定义域是[0，+∞），函数f （x ）＝x 的定义域是R ，两个函数的定义域不同，不是同一函数；对于B ，函数g （x ）=√x 33=x 的定义域是R ，函数f （x ）＝x 的定义域是R ，两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于C ，函数g （x ）=√x 2=|x |的定义域为R ，函数f （x ）＝x 的定义域是R ，两个函数的对应关系不同，不是同一函数；对于D ，函数g （x ）=x 2x =x 的定义域是{x |x ≠0}，函数f （x ）＝x 的定义域是R ，两个函数的定义域不同，不是同一函数． 故选：B ．4．电讯资费调整后，市内通话费的收费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟以后，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计费．按此标准，通话收费S （元）与通话时间t （分钟）的函数的大致图象可表示为（ ）A ．B ．C ．D ．解：由题意知，当0＜t ≤3时，S ＝0.2． 当3＜t ≤4时，S ＝0.2+0.1＝0.3． 当4＜t ≤5时，S ＝0.3+0.1＝0.4． …所以对应的函数图象为C ． 故选：C ．5．（多选）已知幂函数f （x ）＝x a 图像经过点（3，19），则下列命题正确的有（ ）A ．函数f （x ）为增函数B ．函数f （x ）为偶函数C ．若x ＞1，则f （x ）＞1D ．若0＜x 1＜x 2，则f(x 1)+f(x 2)2＞f （x 1+x 22）解：∵幂函数f （x ）＝x a图像经过点（3，19），∴19=3a ，解得a ＝﹣2， ∴f （x ）＝x ﹣2=1x 2，x ∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）， ∴函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，为偶函数， x ＜1时，f （x ）＜f （1）＝1． 可知：A 不正确，B 正确，C 不正确． 画出图象，可知：0＜x 1＜x 2，则f(x 1)+f(x 2)2＞f （x 1+x 22），因此D 正确．故选：BD ．6．已知p ：x ≥k ，q ：2−x x+1＜0，如果p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是（ ）A ．[2，∞）B ．（2，+∞）C ．[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]解：命题q ：解不等式2−x x+1＜0可得：x ＞2或x ＜﹣1，因为p 是q 的充分不必要条件，则{x |x ≥k }⫋{x |x ＞2或x ＜﹣1}，所以k ＞2， 故选：B ．7．奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （1）＝0，则不等式f(x)−f(−x)x＞0的解集为（ ）A ．（﹣1，0）∪（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C ．（﹣1，0）∪（0，1）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）解：∵f （x ）是奇函数，∴f （﹣x ）＝﹣f （x ），则f(x)−f(−x)x=2f(x)x＞0，即{x ＞02f(x)＞0或{x ＜02f(x)＜0，∵奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增且f （1）＝0，∴f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，且f （﹣1）＝0， 则不等式f(x)−f(−x)x＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故选：D ．8．已知函数f （x ）＝mx 2﹣mx ﹣1，“∃x ∈R ，f （x ）≥0”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣4，0]B ．（﹣4，0）C ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）D ．（﹣∞，﹣4）∪[0，+∞）解：“∃x ∈R ，f （x ）≥0”为假命题， 则∀∈∈R ，mx 2﹣mx ﹣1＜0为真命题， 当m ＝0时，代入得f （x ）＝﹣1＜0恒成立； 当m ≠0时，由f （x ）＜0恒成立，得到m ＜0，且Δ＝（﹣m ）2﹣4×m （﹣1）＝m 2+4m ＜0，解得﹣4＜m ＜0， 综上，m 的取值范围为（﹣4，0]． 故选：A ．9．已知函数f(x)={−x 2−ax −7，x ≤1a x ，x ＞1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围（ ）A ．[﹣4，0）B ．（﹣∞，﹣2]C ．[﹣4，﹣2]D ．（﹣∞，0）解：根据题意，函数f(x)={−x 2−ax −7x ≤1a xx ＞1在R 上单调递增，则有{−a2≥1a ＜0−1−a −7≤a ，解可得﹣4≤a ≤﹣2；故选：C ．10．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f （x ）＝（1⊕x ）x ﹣（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．6 D ．12解：由题意知当﹣2≤x ≤1时，f （x ）＝x ﹣2，当1＜x ≤2时，f （x ）＝x 3﹣2，又∵f （x ）＝x ﹣2，f （x ）＝x 3﹣2在定义域上都为增函数，∴f （x ）的最大值为f （2）＝23﹣2＝6． 故选：C ．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．函数f(x)=2x−1+√2−x 的定义域为 {x |x ≤2且x ≠1} ． 解：由题意得{2−x ≥0x −1≠0，解得x ≤2且x ≠1．故答案为：{x |x ≤2且x ≠1}． 12．√(−3)2+(π−3)−823+(√−43)3= ﹣4 ．解：原式＝3+1﹣4+（﹣4）＝﹣4． 故答案为：﹣4．13．已知函数f （x ）为R 上的奇函数，且当x ＞0时，f(x)=x 2+1x，则f （﹣1）＝ ﹣2 ． 解：因为f （x ）为奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 2+1x ，则f （1）＝2， 所以f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣2． 故答案为：﹣2．14．若偶函数f （x ）在[0，+∞）上单调递减且f （1）＝0，则不等式f （x ﹣3）≥0的解集是 [2，4] ． 解：∵偶函数f （x ）在[0，+∞）上单调递减且f （1）＝0， ∴f （x ﹣3）≥0⇔f （x ﹣3）≥f （1）， ∴|x ﹣3|≤1，解得2≤x ≤4． 故答案为：[2，4]．15．1859年，我国清朝数学家李善兰将“function ”一词译成“函数”，并给出定义：“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数”．①若f （﹣2）＝f （2），则函数f （x ）是偶函数②若定义在R 上的函数f （x ）在区间（﹣∞，0]上单调递增，在区间[0，+∞）上单调递增，则函数f （x ）在R 上是增函数③函数y ＝f （x ）的定义域为[a ，b ]，a ＜c ＜b ，若f （x ）在[a ，c ）上是增函数，在[c ，b ]上是减函数，则f （x ）max ＝f （c ）④对于任意的x 1，x 2∈（0，+∞），函数f(x)=√x 满足f(x 1)+f(x 2)2≤f(x 1+x 22)上面关于函数性质的说法正确的序号是 ②③④ ．（请写出所有正确答案的序号） 解：①若f （﹣2）＝f （2），则函数f （x ）不一定是偶函数，错误；②若定义在R 上的函数f （x ）在区间（﹣∞，0]上单调递增，在区间[0，+∞）上单调递增，则函数f （x ）在R 上一定是增函数，正确；③函数y ＝f （x ）的定义域为[a ，b ]，a ＜c ＜b ，若f （x ）在[a ，c ）上是增函数，在[c ，b ]上是减函数，则f （x ）max ＝f （c ），正确；④因为f （x ）=√x 为上凸函数，故对于任意的x 1，x 2∈（0，+∞），函数f(x)=√x 满足f(x 1)+f(x 2)2≤f(x 1+x 22)．正确．故答案为：②③④．三、解答题（共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16．（14分）已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1＜x ＜6}，C ＝{x |x ＞a }，U ＝R ． （1）求A ∪B ，（∁U A ）∩B ； （2）若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．解：（1）∵A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1＜x ＜6}，U ＝R ， ∴A ∪B ＝{x |1＜x ≤8}，∁U A ＝{x |x ＜2或x ＞8}， 则（∁U A ）∩B ＝{x |1＜x ＜2}，（2）∵A ＝{x |2≤x ≤8}，C ＝{x |x ＞a }，且A ∩C ≠∅， ∴a ＜8．17．（14分）设函数f(x)=x +4x ． （1）判断函数f （x ）奇偶性；（2）当x ∈（0，+∞）时，求函数f （x ）的最小值； （3）直接写出函数f （x ）的单调增区间（不需证明过程）． 解：f(x)=x +4x ．（1）函数f （x ）为奇函数，证明如下：定义域{x|x≠0}，因为f（﹣x）＝﹣x−4x=−f（x），所以f（x）为奇函数；（2）因为x∈（0，+∞）时，f（x）＝x+4x ≥2√x⋅4x=4，当且仅当x＝2时取等号，故函数f（x）的最小值为4；（3）根据对勾函数的性质可知，函数f（x）的单调增区间（﹣∞，﹣2]，[2，+∞），证明如下：设x1＞x2≥2，则x1﹣x2＞0，1−4x1x2＞0，则f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+4x1−4x2=（x1﹣x2）（1−4x1x2）＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在[2，+∞）单调递增，同理可证f（x）在（﹣∞，﹣2]递增，故函数f（x）的单调增区间（﹣∞，﹣2]，[2，+∞）．18．（14分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+1．（1）若函数f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）若函数f（x）在（﹣∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围；（3）求函数f（x）在[1，2]上的最小值．解：（1）∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即x2+2ax+1＝x2﹣2ax+1，∴2a＝﹣2a，解得：a＝0．（2）∵f（x）的对称轴为x＝a，f（x）在（﹣∞，4]上是减函数，∴a≥4，即实数a的取值范围为[4，+∞）．（3）由题意知：f（x）开口方向向上，对称轴为x＝a，当a≤1时，f（x）在[1，2]上单调递增，∴f（x）min＝f（1）＝2﹣2a；当1＜a＜2时，f（x）在[1，a）上单调递减，在（a，2]上单调递增，∴f(x)min=f(a)=1−a2；当a≥2时，f（x）在[1，2]上单调递减，∴f（x）min＝f（2）＝5﹣4a；综上所述：当a≤1时，f（x）min＝f（1）＝2﹣2a；当1＜a＜2时，f(x)min=f(a)=1−a2；当a≥2时，f（x）min＝f（2）＝5﹣4a．19．（14分）已知定义在区间（﹣1，1）上的函数f （x ）=x+ax 2+1为奇函数． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）判断函数f （x ）在区间（﹣1，1）上的单调性并用定义法证明． （3）解关于t 的不等式f （2t ﹣1）+f （t ）＜0．解：（1）根据题意，函数f （x ）为定义在区间（﹣1，1）上的奇函数， 则有f （0）＝a ＝0， 则函数f （x ）=x1+x 2， （2）函数f （x ）在（﹣1，1）上为增函数； 证明如下：设﹣1＜x 1＜x 2＜1， 则f （x 1）﹣f （x 2）=x 11+x 12−x 21+x 22=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)， 又由﹣1＜x 1＜x 2＜1， 则x 1﹣x 2＜0，1﹣x 1x 2＞0， 则f （x 1）﹣f （x 2）＜0，则函数f （x ）在（﹣1，1）上为增函数；（3）根据题意，f （x ）为定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在（﹣1，1）上为增函数；f （2t ﹣1）+f （t ）＜0⇒f （2t ﹣1）＜﹣f （t ）⇔f （2t ﹣1）＜f （﹣t ）⇒{2t −1＜−t−1＜2t −1＜1−1＜t ＜1，解可得：0＜t ＜13，即不等式的解集为（0，13）．20．（14分）2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．根据市场调查某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环x 万只并能全部销售完，平均每万只的销售收入为R （x ）万元，且R(x)={100−kx ，0＜x ≤202100x−9000k x2，x ＞20．当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元． （1）求出k 的值并写出年利润W （万元）关于年产量x （万部）的函数解析式W （x ）；（2）当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 解：（1）∵数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元，且平均每万只的销售收入为R （x ）万元，且R(x)={100−kx ，0＜x ≤202100x −9000k x 2，x ＞20， ∴W （x ）＝xR （x ）﹣50﹣20x ，又∵该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元，∴W （5）＝500﹣k ×52﹣50﹣20×5＝300，解得k ＝2，∴W （x ）={80x −2x 2−50，0＜x ≤202050−20x −18000x，x ＞20． （2）当0＜x ≤20时，W （x ）＝﹣2x 2+80x ﹣50为二次函数，图象开口向下，对称轴x ＝20，故W max (x)=−2×202+80×20−50=750，当x ＞20时，W （x ）＝2050−(20x +18000x ) ≤2050−2√20x ⋅18000x =850， 当且仅当20x =18000x，即x ＝30时，等号成立， 故当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．21．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．解：（1）对集合{1，2，3，4}，{1，2，3，4}﹣{4}＝{1，2，3}，且1+2＝3，∴集合{1，2，3，4}可以双拆，若在集合中去掉元素1，∵2+3≠4，2+4≠3，3+4≠2，∴集合{1，2，3，4}不可“任意双拆”；若集合{1，3，5，7，9，11}可以“双拆”，则在集合{1，3，5，7，9，11}去除任意一个元素形成新集合B ，若存在集合B 1，B 2，使得B 1∩B 2＝∅，B 1∪B 2＝B ，S （B 1）＝S （B 2），则S （B ）＝S （B 1）+S （B 2）＝2S （B 1），即集合B中所有元素之和为偶数，事实上，集合B中的元素为5个奇数，这5个奇数和为奇数，不合题意，∴集合{1，3，5，7，9}不可“双拆”．（2）证明：设a1＜a2＜a3＜a4＜a5．反证法：如果集合A可以“任意双拆”，若去掉的元素为a1，将集合{a2，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4，①，或a5＝a2+a3+a4，②，若去掉的是a2，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4，③，或a5＝a1+a3+a4，④，由①﹣③可得a1＝a2，矛盾；由②﹣③得a1＝﹣a2，矛盾；由①﹣④可得a1＝﹣a2，矛盾；由②﹣④可得a1＝a2，矛盾．∴A不能“任意双拆”；（3）设集合A＝{a1，a2，a3，…，a n}，由题意可知S（A）﹣a i（i＝1，2，…，n）均为偶数，∴a i（i＝1，2，…，n）均为奇数或偶数，若S（A）为奇数，则a i（i＝1，2，…，n）均为奇数，∵S（A）＝a1+a2+…+a n，∴n为奇数，若S（A）为偶数，则a i（i＝1，2，…，n）均为偶数，此时设a i＝2b i，则{b1，b2，b3，…，b n}可任意双拆，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意双拆”集，此时各项之和也是奇数，则集合A中元素个数n为奇数，当n＝3时，由题意知集合A＝{a1，a2，a3}不可“任意双拆”，当n＝5时，集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}不可“任意双拆”，∴n≥7，当n＝7时，取集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}，∵3+5+7+9＝11+13，1+9+13＝5+7+11，1+3+5+77＝7+13，1+9+11＝3+5+13，3+7+9＝1+5+13，1+3+5+9＝7+11，则集合A可“任意双拆”，∴集合A中元素个数n的最小值为7．。

北京市顺义区牛栏山一中2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题及答案

北京市顺义区牛栏山一中2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题及答案

牛栏山一中2022-2023学年度第一学期期中考试数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}21S x x =-<<，{}02T x x =<<，则S T （）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,2- D.()1,0-2.设()1,2a =- ，()3,4b =- ，()3,2c = ，则()a b c +⋅=（）A.()6,4- B.2- C.5D.()1,4 3.下列每组双曲线中渐近线都为33y x =±是（）A.2213x y -=，2213x y -= B.22162x y -=，2213y x -=C.22139y x -=，22139x y -= D.22162x y -=，223y x -=4.抛物线28y x =的准线过双曲线()22210y x b b-=>的左焦点，则双曲线的虚轴长为（）A.8B. C.2D.5.给出三个等式：()()()1212f x x f x f x =+，()()()1212f x x f x f x +=，()()π0f x f x ++=．下列函数中不．满足任何一个等式的是（）A.()lg f x x =B.()exf x =C.()sin f x x= D.()tan =f x x6.已知a 和b 是两个互相垂直的单位向量，()c a b R λλ=+∈ ，则1λ=是c 和a夹角为4π的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.圆22:1C x y +=上的点P 到直线()cos sin 4R x y θθθ+=∈的距离为d ，点P 和θ在变化过程中，d 的最小值为（）A.1B.2C.3D.48.在平行四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 与BD 交于点F ．若AB a =，AD b=，则AF =（）A.1344a b +B.2133a b +rr C.3144a b +D.1233a b + 9.函数()sin2f x x =图象上存在两点(),P s t ，()(),0Q r t t >满足6r s π-=，则下列结论成立的是（）A.162f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ B.62f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ C.162f s π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ D.362f s π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭10.已知曲线()32222:4C x y x y +=，则下列说法正确的有几个（）（1）C 关于原点对称；（2）C 只有两条对称轴；（3）曲线C 上点到原点最大距离是1；（4）曲线C 所围成图形的总面积小于π；A.1B.2C.3D.4二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.()cos ,sin a θθ=，()1,1b = ，若//a b ，则tan θ=______．12.如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，()AB BC CD DE ++⋅=______．13.若()()sin sin 044f x a x b x ab ππ⎛⎫⎛⎫=++-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数，则有序实数对(),a b 可以是______．（写出你认为正确的一组数即可）．14.若函数()2,,,.x x a f x x x a ≤⎧=⎨>⎩满足存在t R ∈使()f x t =有两个不同的零点，则a 的取值范围是______．15.已知圆2216x y +=和定点()2,0P ，动点M 在圆上，Q 为PM 中点，O 为坐标原点．则下面说法正确的是______．①点Q 到原点的最大距离是4；②若OMP 是等腰三角形，则其周长为10；③点Q 的轨迹是一个圆；④OMP ∠的最大值是π6．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数())222cos cos cos sin 2f x x x x x π⎛⎫=---⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若()f x 在,33m m ππ⎡⎫⎛⎫->-⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭上的值域为[)2,2-，求m 值．17.设ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin cos sin cos cos sin B A A C A C=+（1）求角A 的大小；（2）从下列条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使ABC 唯一确定，并求ABC 的面积．条件①：AB条件②：a =，3b =；条件③：a =，sin 3sin B C =．18.椭圆22:14x y Γ+=．（1）点C 是椭圆Γ上任意一点，求点C 与点()0,2D 两点之间距离d 的最大值和最小值；（2）A 和B 分别为椭圆Γ的右顶点和上顶点．P 为椭圆Γ上第三象限点．直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求22PM PN MA NB ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．19.已知椭圆()222:104x y C a a +=>的焦点在x 轴上，且经过点(E ，左顶点为D ，右焦点为F ．（1）求椭圆C 的离心率和DEF 的面积；（2）已知直线1y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点．过点B 作直线4y =的垂线，垂足为G ．判断直线AG 是否经过定点?若存在，求出这个定点；若不存在，请说明理由．20.已知1x =是函数()()ln ln ln 21xf x x ax x=-+++的一个极值点．（1）求a 值；（2）判断()f x 的单调性；（3）是否存在实数m ，使得关于x 的不等式()f x m ≥的解集为()0,∞+?直接写出m 的取值范围．21.已知有限数列A ：1a ，2a ，…，N a （3N ≥且*N N ∈）各项均为整数，且满足11i i a a --=对任意2i =，3，…，N 成立．记()12N S A a a a =++⋅⋅⋅+．（1）若13a =，6N =，求()S A 能取到的最大值；（2）若2022N =，求证：()0S A ≠；（3）若()100S A N =（这里N 是数列的项数），求证：数列A 中存在()1k a k N ≤≤使得100k a =．牛栏山一中2022-2023学年度第一学期期中考试数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}21S x x =-<<，{}02T x x =<<，则S T （）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,2- D.()1,0-【答案】C 【解析】【分析】由并集的定义直接求解.【详解】{}21S x x =-<<，{}02T x x =<<，∴{}22S T x x ⋃=-<<.故选：C2.设()1,2a =- ，()3,4b =- ，()3,2c = ，则()a b c +⋅=（）A.()6,4- B.2- C.5D.()1,4【答案】B 【解析】【详解】根据平面向量数量积坐标运算求解即可.【点睛】因为()1,2a =-，()3,4b =- ，()3,2c = ，所以()()34982+⋅=⋅+⋅=-+-+=-a b c a c b c .故选：B3.下列每组双曲线中渐近线都为3y x =±是（）A.2213x y -=，2213x y -= B.22162x y -=，2213y x -=C.22139y x -=，22139x y -= D.22162x y -=，223y x -=【答案】A 【解析】【分析】依次求出各双曲线的渐近线方程即可求解.【详解】因为双曲线2213x y -=的焦点在x 轴上，a =1b =，其渐近线方程为33y x =±，且双曲线2213x y -=的焦点在y 轴上，1a =，b =，其渐近线方程为33y x =±，所以选项A 正确；因为双曲线22162x y -=的焦点在x 轴上，a =，b =，其渐近线方程为33y x =±，但双曲线2213y x -=的焦点在y 轴上，a =1b =，其渐近线方程为y =，所以选项B 错误；因为双曲线22139y x -=的焦点在y 轴上，a =3b =，其渐近线方程为33y x =±，但双曲线22139x y -=的焦点在x 轴上，a =3b =，其渐近线方程为y =，所以选项C 错误；因为双曲线22162x y -=的焦点在x 轴上，a =，b =，其渐近线方程为33y x =±，但双曲线223y x -=的焦点在y 轴上，1a b ==，其渐近线方程为y x =±，所以选项D 错误.故选：A.4.抛物线28y x =的准线过双曲线()22210y x b b-=>的左焦点，则双曲线的虚轴长为（）A.8B. C.2D.【答案】B 【解析】【分析】先求出抛物线的准线，从而可得双曲线的c ，根据,,a b c 的关系可得答案.【详解】因为抛物线28y x =的准线为2x =-，所以由题意可知双曲线的左焦点为()2,0-，因为214b +=，所以b =，所以双曲线的虚轴长为.故选：B.5.给出三个等式：()()()1212f x x f x f x =+，()()()1212f x x f x f x +=，()()π0f x f x ++=．下列函数中不．满足任何一个等式的是（）A.()lg f x x =B.()exf x =C.()sin f x x= D.()tan =f x x【答案】D 【解析】【分析】对于A ，利用对数的运算法则检验()()()1212f x x f x f x =+即可；对于B ，利用指数的运算法则检验()()()1212f x x f x f x +=即可；对于C ，利用三角函数诱导公式检验()()π0f x f x ++=即可；对于D ，举反例逐一判断三个等式即可.【详解】对于A ，因为()lg f x x =，所以()()()12121212lg lg lg f x x x x x x f x f x ==+=+，故A 不满足题意；对于B ，因为()e xf x =，所以()()()12121212ee e x x x xf x x f x f x ++===，故B 不满足题意；对于C ，因为()sin f x x =，所以()()()πsin sin πsin sin 0f x f x x x x x ++=++=-=，故C 不满足题意；对于D ，因为()tan =f x x ，所以令12π,04x x ==，则()()()1212πtan 00,tan tan 014f x x f x f x ==+=+=，故()()()1212f x x f x f x ≠+；令12π,04x x ==，则()()()1212ππtan 1,tan tan 0044f x x f x f x +===⨯=，故()()()1212f x x f x f x +≠；令π4x =，则()()2ππtan πtan π1441f x f x ⎛⎫++=+=+= ⎪⎝+⎭，故()()π0f x f x ++≠；综上：()tan =f x x 不．满足任何一个等式，故D 满足题意.故选：D.6.已知a 和b 是两个互相垂直的单位向量，()c a b R λλ=+∈ ，则1λ=是c 和a 夹角为4π的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据向量公式,cos a c a c a c ⋅⋅= 表示出c 和a夹角的余弦值，再讨论夹角为4π时λ的取值，最后根据充分条件和必要条件定义选出答案.【详解】()21a c a a b a a b λλ⋅=⋅+=+⋅=，1a = ，c ==os ,c a c a c a c ⋅⋅== 1λ=±时，,2cos 2a c = ，即c 和a 夹角为4π,故1λ=是c 和a夹角为4π的充分不必要条件故选：A7.圆22:1C x y +=上的点P 到直线()cos sin 4R x y θθθ+=∈的距离为d ，点P 和θ在变化过程中，d 的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】设出P 点坐标，并利用点在圆上得出22001x y +=，根据点到直线距离公式表达出距离d ，利用辅助角公式化简d ，进而得出d 的最小值.【详解】解：由题意，在圆22:1C x y +=中，圆心()0,0C ，半径r 1=，点P 到直线()cos sin 4x y R θθθ+=∈的距离为d 设()00,P x y ，22001x y +=，d =解得：00cos sin 4d x y θθ=+-在00cos sin 4d x y θθ=+-中，()00cos sin 44d x y θθθϕ=+-=+-，其中sin tan tan cos θϕθθ==，∴()()24sin 24d θθ=-=-当()sin 21θ=时，d 最小，min 143d =-=.故选：C.8.在平行四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 与BD 交于点F ．若AB a =，AD b=，则AF =（）A.1344a b +B.2133a b +rr C.3144a b +D.1233a b + 【答案】D 【解析】【分析】设AF AE λ=()01λ<<，根据,,B F D 三点共线，即,BF BD共线，可设BF BD μ= ，用,AB AD表示出关系，即可解出结果.【详解】12AE AD DE AD AB =+=+.设AF AE λ=()01λ<<，则1122BF AF AB AD AB AB AD AB λλλ⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又BD AD AB =-，且,,B F D 三点共线，则,BF BD 共线，即R μ∃∈，使得BF BD μ=，即12AD AB AD AB λλμμ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭ ，又,AB AD 不共线，则有12λμλμ=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得2323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，22112123323333AF AE AD AB AB AD a b ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭.故选：D.9.函数()sin2f x x =图象上存在两点(),P s t ，()(),0Q r t t >满足6r s π-=，则下列结论成立的是（）A.162f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ B.362f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.162f s π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ D.362f s π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据(),P s t ,()(),0Q r t t >在()sin2f x x =上,可得出222,r s k k Z ππ+=+∈,再根联立6r s π-=,得到s 的值,根据0t >缩小s 的取值范围,进而代入,66f s fs ππ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求值即可.【详解】解:由题知()sin2f x x =,T π∴=,()(),,,P s t Q r t 均在()sin2f x x =上,sin 2sin 20s r t ∴==>,644T r s ππ-=<= ,0222T r s ∴<-<,故有:222,Z r s k k ππ+=+∈,两等式联立有2226r s k r s πππ+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩,解得2,Z 3s k k ππ∴=+∈,sin 20s t => ,1122,Z 3s k k ππ∴=+∈,3sin 2sin 2sin 2663332f s s s k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=+=++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,sin 2sin 2sin 2066333f s s s k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-=-=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,综上选项B 正确.故选:B10.已知曲线()32222:4C x y x y +=，则下列说法正确的有几个（）（1）C 关于原点对称；（2）C 只有两条对称轴；（3）曲线C 上点到原点最大距离是1；（4）曲线C 所围成图形的总面积小于π；A.1 B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】对于（1）（2），代入(),,x y --()()(),,,,,x y x y y x --即可判断曲线C 的对称情况；对于（3），利用基本不等式与两点距离公式的几何意义即可判断；对于（4），利用（3）中的结论容易判断.【详解】对于（1），不妨设点(),x y 在曲线()32222:4C x y x y +=上，则(),x y --也在该曲线上，所以曲线C 关于原点对称，故（1）正确；对于（2），易知()()(),,,,,x y x y y x --也都在该曲线上，所以曲线C 关于x 轴、y 轴、y x =对称，故（2）错误；对于（3），因为()()322222224x y x y x y +=≤+，所以221x y +≤1≤，所以曲线C 上点到原点最大距离是1，故（3）正确；对于（4），由（3）得，曲线C 所围成的图形落在圆22:1O x y +=内，且显然是圆内的部分图形，而圆O 的面积为2ππr =，所以曲线C 所围成图形的总面积小于π，故（4）正确；综上：（1）（3）（4）正确，（2）错误，故说法正确的有3个.故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.()cos ,sin a θθ=，()1,1b = ，若//a b ，则tan θ=______．【答案】1【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示和同角三角函数基本关系式进行求解.【详解】由题意，得cos sin θθ=，则sin tan 1cos θθθ==.故答案为：1.12.如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，()AB BC CD DE ++⋅=______．【答案】-1【解析】【分析】由正六边形性质，结合向量线性运算及数量积运算即可【详解】由正六边形性质，60,2ADE AD DE ∠=︒=，()cos 21cos ,601AB BC CD DE AD DE DA DE DA DE ++⋅=⋅⋅<>=-⨯⨯︒=--=.故答案为：-1.13.若()()sin sin 044f x a x b x ab ππ⎛⎫⎛⎫=++-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数，则有序实数对(),a b 可以是______．（写出你认为正确的一组数即可）．【答案】()1,1（答案不唯一）【解析】【分析】首先根据正弦函数和差角公式将原式化简整理，然后根据奇函数的定义得到参数a ，b 应该满足的条件，按等式关系选取答案即可.【详解】已知0ab ≠，()sin sin sin cos cos 442222f x a x b x a x x b x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭)()22sin cos 22a b x a b x =++-，若()f x 是奇函数，则0a b -=即可，可以取1a =，1b =.故答案为：()1,1（答案不唯一）14.若函数()2,,,.x x a f x x x a ≤⎧=⎨>⎩满足存在t R ∈使()f x t =有两个不同的零点，则a 的取值范围是______．【答案】()(),00,1-∞⋃【解析】【分析】画出函数()2,,x x af x x x a ≤⎧=⎨>⎩的图象，观察图象即可得到答案.【详解】如图所示，画出函数()2,,x x af x x x a ≤⎧=⎨>⎩的图象.结合图象可知，()(),00,1a ∈-∞⋃故答案为：()(),00,1-∞⋃.15.已知圆2216x y +=和定点()2,0P ，动点M 在圆上，Q 为PM 中点，O 为坐标原点．则下面说法正确的是______．①点Q 到原点的最大距离是4；②若OMP 是等腰三角形，则其周长为10；③点Q 的轨迹是一个圆；④OMP ∠的最大值是π6．【答案】②③④【解析】【分析】利用求轨迹方程的方法求出点Q 的轨迹，再根据点和圆的位置关系确定点Q 到原点的最大距离，再根据几何关系确定OMP 的周长，利用余弦定理结合基本不等式得到cos 2OMP ≥∠即可求出OMP ∠的最大值.【详解】设00(,),(,),M x y Q x y 由中点坐标公式得00222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以00222x x y y=-⎧⎨=⎩,因为00(,)M x y 在圆2216x y +=上,所以220016x y +=,即()()2222216x y -+=,即()2214x y -+=,所以点Q 的轨迹是一个圆,方程为()2214x y -+=,是以(1,0)A 为圆心,2r =为半径的圆,所以点Q 到原点的最大距离是123AO r +=+=,故①错误；因为()2,0P ，所以2,4OP OM ==,若OMP 为等腰三角形，若2PM OP ==,则(4,0)M ,此时,,O P M 三点共线，不满足题意，若4PM OM ==,则(1,M ,满足题意，所以OMP 的周长等于44210++=，故②正确；由以上过程可知Q 的轨迹是一个圆,方程为()2214x y -+=,所以③正确；设OMP θ∠=，当(4,0)M ±时，0OMP ∠=，不是最大角，M 不为(4,0)±时，OMP 中，26PM ≤≤22211213cos 22882OM MP OP MP OM MP MP θ+-⎛⎫==+≥⨯ ⎪⋅⎝⎭,当且仅当12MP MP=,即MP =时取得等号，所以π6θ≤，故④正确.故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数())222cos cos cos sin 2f x x x x x π⎛⎫=---⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若()f x 在,33m m ππ⎡⎫⎛⎫->-⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭上的值域为[)2,2-，求m 值．【答案】（1）()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z （2）512π【解析】【分析】（1）由诱导公式、二倍角公式和两角差的正弦公式，化简函数()f x 为一个角的三角函数形式，然后结合正弦函数的性质求解；（2）求出23x π-的范围，结合正弦函数的性质可求m 值．【小问1详解】解：已知)22()2cos cos cos sin 2cos sin 2sin 222f x x x x x x x x x xπ⎛⎫=---=⋅-= ⎪⎝⎭132sin 2cos 22sin 2223x x x π⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭增区间为：222232k x k πππππ-+≤-≤+522266k x k ππππ-++ 51212k x k ππππ-+≤≤+所以，函数()f x 的单调增区间为()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z .【小问2详解】解：已知,33x m m ππ⎡⎫⎛⎫∈->-⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭，2223x m π∴-，即2233x m πππ--<-，因为，值域为[)2,2-，523212m m πππ-=⇒=.17.设ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin cos sin cos cos sin B A A C A C=+（1）求角A 的大小；（2）从下列条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使ABC 唯一确定，并求ABC 的面积．条件①：AB条件②：a =，3b =；条件③：a =，sin 3sin B C =．【答案】（1）π3（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）注意到已知等式右边为sin B ，可得1cos 2A =.（2）若选择①，结合（1）只能求得b .若选择②，结合（1）和正弦定理，可求得sin B .若选择③，结合（1）和正，余弦定理，可求得b ，c .【小问1详解】由题2sin cos sin cos cos sin sin B A A C A C B =+=，因sin 0B ≠.则1cos 2A =，因A 为三角形内角，所以A π3=.【小问2详解】若选择①，设AB边上的高为AB h =，则sin AB h b A =，得2b =.因题目条件不足，故ABC 无法唯一确定.若选择②，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==及（1），33211432sin sin B B =⇒=.因3213142>，又题目条件不足，故无法判断B为钝角还是锐角，则ABC 无法唯一确定.若选择③，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，及sin 3sin B C =，则3b c =.又由余弦定理及（1），有222221071226cos b c a c A bc c+--===，得1c =，3b =.此时ABC 唯一确定，11333sin 132224ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△.综上选择③时，ABC 唯一确定，此时ABC的面积为418.椭圆22:14x y Γ+=．（1）点C 是椭圆Γ上任意一点，求点C 与点()0,2D 两点之间距离d 的最大值和最小值；（2）A 和B 分别为椭圆Γ的右顶点和上顶点．P 为椭圆Γ上第三象限点．直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求22PM PN MA NB ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）max 3d =，min 1d =（2）1【解析】【分析】（1）设()00,C x y ，[]01,1y ∈-，计算得到d =，根据二次函数的性质得到最值.（2）过点P 作PG x ⊥轴于G ，过点P 作PH y ⊥轴于H ，设()11,P x y ，利用相似计算得到答案.【小问1详解】设()00,C x y ，[]01,1y ∈-，则220014x y +=，d CD ====当023y =-时，max 2213d ==，当01y =时，min 1d =.【小问2详解】如图所示：过点P 作PG x ⊥轴于G ，过点P 作PH y ⊥轴于H ，设()11,P x y ，2222212114P GO HO x y OA OB MPN MA NB ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭19.已知椭圆()222:104x y C a a +=>的焦点在x 轴上，且经过点(E ，左顶点为D ，右焦点为F ．（1）求椭圆C 的离心率和DEF 的面积；（2）已知直线1y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点．过点B 作直线4y =的垂线，垂足为G ．判断直线AG 是否经过定点?若存在，求出这个定点；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22e =；2DEF S = （2）直线AG 经过定点50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，理由见详解.【解析】【分析】（1）由椭圆C 经过点(E ，代入椭圆方程求得28a =，结合222c a b =-，解得c 的值，进而求得离心率和DEF 的面积；（2）由直线1y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点，则说明斜率存在，所以分0k =，0k ≠，进行讨论找出直线过得点.【小问1详解】由题意，椭圆()222:104x y C a a +=>经过点(E ，可得24214a +=，解得28a a =⇒=，即椭圆22:184x y C +=，因为222844c a b =-=-=，即2c =，所以椭圆C的离心率为22c e a ===，又由左顶点为D ，右焦点为F，所以((2,0)D F -，所以DEF的面积为(112222DEF E S DF y =⨯⨯=⨯+=+ 【小问2详解】由直线1y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点所以当0k =时，直线为1y =与椭圆C 交于A ，B 两点由221841x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得：x =令(A B，此时4)G所以64AG k ==所以直线6:1(4AG l y x -=+即65:42AG l y x =+，令502x y =⇒=所以直线AG 是经过定点50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭同理若(A B，则5:42AG l y x =-+令502x y =⇒=所以直线AG 是经过定点50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭当0k ≠时，由直线1y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点设1122(,),(,)A x yB x y 联立方程组221184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(21)460++-=k x kx ，则12122246,2121--+==++k x x x x k k ，所以()121212122332x x kx x x x x x k+=⇒=+设点2(,4)G x ，所以1124AG y k x x -=-AG 的方程为11221212444()()4y y y x x y x x x x x x ---=-⇒=-+--，令0x =，可得2121211212444x y x x x yy x x x x -+-=+=--121121212124(1)4x x kx x x kx x x x x x -+--==--()12121234·2x x k x x k x x --+=-121212121233554522222x x x x x x x x x x ----===--，所以直线AG 经过定点50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上可得，直线AG 经过定点50,2⎛⎫⎪⎝⎭.20.已知1x =是函数()()ln ln ln 21xf x x ax x=-+++的一个极值点．（1）求a 值；（2）判断()f x 的单调性；（3）是否存在实数m ，使得关于x 的不等式()f x m ≥的解集为()0,∞+?直接写出m 的取值范围．【答案】（1）2a =（2）函数在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.（3）存在，(],ln 2m ∈-∞【解析】【分析】（1）求导得到导函数，根据()10f '=计算得到答案.（2）求导得到()()2ln 1xf x x -'=+，根据导数的正负得到单调区间.（3）先证明()ln 1x x +<，()ln 1x +<，计算得到()ln 2f x >，且()ln 2f x <+，得到答案.【小问1详解】()()ln ln ln 21x f x x ax x =-+++，则()()212111ln a f x x ax x x x '+-=-+++，()()2111l 21024n 211a a f x xax a x x +-'=-+=-+=+++，解得2a =.()()()221n 2ln 22l 1111x f x x x xx x x -'=-+=+-+++，当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，函数单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，函数单调递减.故1x =是函数的极大值点，满足.【小问2详解】()()2ln 1xf x x -'=+，当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，函数单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，函数单调递减.【小问3详解】()()()()ln 1ln ln 1ln ln ln 1ln 2ln 211x x x x x f x x x x x⎡⎤+-++⎣⎦=-+++=+++，当()0,x ∈+∞，易知()ln 1ln 0x x +->，()ln 10x +>，故()ln 2f x >.故ln 2m ≤，满足条件.当()0,x ∈+∞时，设()()ln 1g x x x =+-，故()11011x g x x x '=-=-<++，故()()00g x g <=，即()ln 1x x +<，当()0,x ∈+∞时，设()()ln 1h x x =+-，()()12121h x x x '==++，当()0,3x ∈时，()()21021h x x '=>+，函数单调递增；当()3,x ∈+∞时，()()21021h x x '=<+，函数单调递减；故()()3ln 420h x h ≤=-<，故()ln 1x +<.()()11ln 1ln 1ln 2ln 2ln 211x x x x x f x x x ⎛⎫+++⋅ ⎪⎝⎭=+<+<+++，即()f x 可以无限接近ln 2.综上所述：(],ln 2m ∈-∞.【点睛】本题考查了根据极值点求参数，利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中放缩的思想是解题的关键.21.已知有限数列A ：1a ，2a ，…，N a （3N ≥且*N N ∈）各项均为整数，且满足11i i a a --=对任意2i =，3，…，N 成立．记()12N S A a a a =++⋅⋅⋅+．（1）若13a =，6N =，求()S A 能取到的最大值；（2）若2022N =，求证：()0S A ≠；（3）若()100S A N =（这里N 是数列的项数），求证：数列A 中存在()1k a k N ≤≤使得100k a =．【答案】（1）33（2）证明见详解（3）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意结合累加法和等差数列求和运算求解；（2）根据（1）中结论，结合数的奇偶性分析证明；（3）令100i i b a =-，根据题意利用反证法证明.【小问1详解】∵11i i a a --=，则11i i a a --=或11i i a a --=-，设{}{}1,1,1,2,...,1i m i N ∈-∈-，即11,2i i i a a m i N ---=≤≤，当2i ≥时，则()()()()1211111212......i i i i i i a a a a a a a a m m m a -------=+++++=+++，故()()()()121111121121.........N N S A a a a a a m a m m a m m m -=+++=+++++++++++()()112112...N Na N m N m m -=+-+-++，若()S A 能取到的最大值，则1i m =，此时()()()()11112 (12)N N S A Na N N Na -=+-+-++=+，若13a =，6N =，则()S A 能取到的最大值为6563332⨯⨯+=.【小问2详解】若2022N =，则由（1）可得：()1122021202220212020...S A a m m m =++++，记满足1i m =-中的i 依次为12,,...,n k k k ，则()()()()(11211202220212020...1220222022...202220221011202122022n S A a k k k a k =++++--+-++-=+⨯--⎡⎤⎡⎣⎦⎣，∵()()()112,2022,2022,...,2022n a k k k ---均为整数，则()()()1122022,220222022...2022n a k k k -+-++-⎡⎤⎣⎦为偶数，10112021⨯为奇数，∴()S A 为奇数，故()0S A ≠.【小问3详解】记100,1,2,...,i i b a i N =-=，则有限数列B ：1b ，2b ，…，N b 满足11i i b b --=对任意2i =，3，…，N 成立，则()()()()()1221100100...1001000N N a a a S S B b b A b N =-+-++-=-++⋅⋅⋅+==，∵11i i b b --=，则对{}2,3,...,i N ∀∈，均有1i i b b -≠，即数列{}n b 不是常数列，设数列{}n b 的最大项为M ，最小项m ，则0,0M m ><，反证：假设对{}1,2,...,,0i i N b ∀∈≠，设满足0i b >中的i 依次为12,,...,n t t t ，则必存在,1,2,...,j t j n =，使得10,0j j t t b b +><或10,0j j t t b b -><，当10,0j j t t b b +><时，∵11,1j j t t b b +≥≤-，则12j j t t b b +-≥，这与11j j t t b b +-=相矛盾，当10,0j j t t b b -><时，∵11,1j j t t b b -≥≤-，则12j j t t b b --≥，这与11j j t t b b --=相矛盾，故假设不成立，即数列B 中存在()1k b k N ≤≤使得1000k k b a =-=，故数列A 中存在()1k a k N ≤≤使得100k a =.【点睛】思路点睛：数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知不等式条件，解决数列问题，此类问题一般利用不等式性质研究数列问题；②已知数列条件，解决不等式问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.。

2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中创新班高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中创新班高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中创新班高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．sin300°＝（ ） A ．−√32B ．−12C ．12D ．√322．已知向量a →=(2，1)，b →=(x ，−2)，若a →∥b →，则a →+b →=（ ） A ．（﹣2，﹣1）B ．（2，1）C ．（3，﹣1）D ．（﹣3，1）3．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一部分如图所示，则f （x ）的解析式为（ ）A ．y =2sin(2x +π6) B ．y =2sin(2x −π3)C ．y =2sin(x −π6)D ．y =2sin(2x −π6)4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝5，b ＝7，c ＝8，则B ＝（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π25．如图所示的△ABC 中，点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，则DE →=（ ）A ．−13BA →−16BC →B ．−56BA →−13BC →C ．−16BA →−13BC →D ．−56BA →+13BC →6．已知平面向量a →，b →满足|a →|＝1，|b →|＝2，且（a →+b →）⊥a →，则a →与b →的夹角为（ ） A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．π67．已知函数f （x ）＝sin （2x +π3）．给出下列结论：①f （x ）的最小正周期为π； ②f （π2）是f （x ）的最大值；③把函数y ＝sin2x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y ＝f （x ）的图象．其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cosA=b cosB，c 2＝a 2+b 2﹣ab ，则△ABC 是（ ）A ．钝角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形9．若△ABC 中，a =x ，b =√3，A =π4，若该三角形有两个解，则x 范围是（ ） A ．(√3，6)B ．(2，2√3)C ．[√62，√3)D ．(√62，√3)10．如图，在△ABC 中，AC ＝1，AB ＝2，∠BAC ＝60°，BC ，AB 边上的两条中线AD ，CE 相交于点P ，则cos ∠DPE ＝（ ）A ．3√2114B ．√217C ．17D ．√714二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上） 11．已知向量OC →=(2，2)，CA →=(1，2)，则向量OA →的模为 ． 12．若角α的终边落在直线y ＝﹣x 上，则√1−sin 2α+√1−cos 2αcosα的值等于 ．13．已知cos(θ+π6)=−√33，则sin(2θ+5π6)= ．14．如图，边长为2的菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点P 在线段BO 上运动．若AB →⋅AO →=1，则AP →⋅BP →的最小值为 ．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，三条中线相交于点G ．已知b ＝c ＝2，a ＝3，∠ABC 的平分线与AC 相交于点D ． （1）边AC 上的中线长为√22（2）△BCD 与△BAD 面积之比为3：2（3）G 到AC 的距离为√74（4）△ABC 内切圆的面积为9π28上述四个结论，其中所以正确的序号为 ．三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（14分）已知角α是第三象限角，tanα=12． （1）求sin α，cos α的值； （2）求1+2sin(π−α)cos(−2π−α)sin 2(−α)−sin 2(3π2−α)的值．17．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （﹣1，﹣2）、B （2，3）、C （﹣2，﹣1）． （1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）设实数t 满足（AB →−tOC →）•OC →=0，求t 的值． 18．（14分）已知函数f(x)=sin 2x +√3sinxcosx ． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）的对称轴及单调递减区间；（3）若y ＝f （x ），x ∈[0，m ]的值域为[0，32]，求m 的取值范围．19．（13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足a cos C ＝（2b ﹣c ）cos A ． （1）求角A ；（2）若a ＝3，求△ABC 面积S 的最大值．20．（15分）已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其中a ＝3，b ＝2√6，∠B ＝2∠A ．（1）求cos A的值；（2）求c的值．21．（15分）在△ABC中，a+b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）a的值；（2）sin C和△ABC的面积．条件①：c＝7，cos A=−17；条件②：cos A=18，cos B=916．2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中创新班高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．sin300°＝（ ） A ．−√32B ．−12C ．12D ．√32解：sin300°＝sin （300°﹣360°）＝﹣sin60°=−√32，故选：A ．2．已知向量a →=(2，1)，b →=(x ，−2)，若a →∥b →，则a →+b →=（ ） A ．（﹣2，﹣1）B ．（2，1）C ．（3，﹣1）D ．（﹣3，1）解：∵a →=(2，1)，b →=(x ，−2)，且a →∥b →， ∴2×（﹣2）﹣x ＝0，解得x ＝﹣4， 故b →=(−4，−2)，a →+b →=（﹣2，﹣1）． 故选：A ．3．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一部分如图所示，则f （x ）的解析式为（ ）A ．y =2sin(2x +π6) B ．y =2sin(2x −π3)C ．y =2sin(x −π6)D ．y =2sin(2x −π6)解：由题意得：A ＝2，2πω=43(5π12+π3)，解得ω＝2．∴f （x ）＝2sin （2x +φ）， 把（5π12，2）代入得：2sin （5π6+φ）＝2，由|φ|＜π2，解得φ=−π3．∴f （x ）的解析式为y ＝2sin （2x −π3）．故选：B ．4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝5，b ＝7，c ＝8，则B ＝（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝5，b ＝7，c ＝8，则cos B =a 2+c 2−b 22ac =52+82−722×5×8=12，又B ∈（0，π），所以B =π3．故选：C ．5．如图所示的△ABC 中，点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，则DE →=（ ）A ．−13BA →−16BC →B ．−56BA →−13BC →C ．−16BA →−13BC →D ．−56BA →+13BC →解：∵点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，∴DE →=AE →−AD →=12AB →−13AC →=12AB →−13（AB →+BC →）=−16BA →−13BC →， 故选：C ．6．已知平面向量a →，b →满足|a →|＝1，|b →|＝2，且（a →+b →）⊥a →，则a →与b →的夹角为（ ） A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．π6解：∵|a|→=1，|b|→=2，且（a →+b →）⊥a →， ∴（a →+b →）•a →=1+1×2×cos ＜a →，b →＞=0 ∴cos ＜a →，b →＞=−12 ∵＜a →，b →＞∈[0，π] ∴＜a →，b →＞=2π3 故选：B ．7．已知函数f （x ）＝sin （2x +π3）．给出下列结论： ①f （x ）的最小正周期为π；②f （π2）是f （x ）的最大值；③把函数y ＝sin2x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y ＝f （x ）的图象．其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③解：∵函数f （x ）＝sin （2x +π3）的最小正周期为2π2=π，故A 正确；∵f （π2）＝sin （π+π3）＝﹣sin π3=−√32，不是f （x ）的最大值，故B 错误；把函数y ＝sin2x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得y ＝sin （2x +2π3）的图象，故C 错误，故选：A ．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cosA=b cosB，c 2＝a 2+b 2﹣ab ，则△ABC 是（ ）A ．钝角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 若a cosA=b cosB，则a cos B ﹣b cos A ＝0，利用正弦定理，得sin （A ﹣B ）＝0，所以A ＝B ． 由于c 2＝a 2+b 2﹣ab ，故cos C =12，则C =π3， 所以A ＝B ＝C ，所以△ABC 为等边三角形． 故选：B ．9．若△ABC 中，a =x ，b =√3，A =π4，若该三角形有两个解，则x 范围是（ ） A ．(√3，6) B ．(2，2√3) C ．[√62，√3)D ．(√62，√3)解：由正弦定理asinA=b sinB，可得√22=√3sinB， 所以sin B =√62x ， 因为该三角形有两个解， 所以√62x＜1且x ＜√3， 解得√62＜x ＜√3，则x 范围是(√62，√3)． 故选：D ．10．如图，在△ABC 中，AC ＝1，AB ＝2，∠BAC ＝60°，BC ，AB 边上的两条中线AD ，CE 相交于点P ，则cos ∠DPE ＝（ ）A ．3√2114B ．√217C ．17D ．√714解：因为AC ＝1，AB ＝2，∠BAC ＝60°， 所以BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AB •AC •cos60°＝3， 所以BC =√3，又因为BC 2+AC 2＝4＝AB 2， 所以三角形ABC 为直角三角形， 建立如图所示的坐标系，则有：A （1，0），B （0，√3），C （0，0）， 因为D ，E 分别为BC ，AB 中点， 所以D （0，√32），E （12，√32）， 所以AD →=（﹣1，√32），CE →=（12，√32），所以cos ∠DPE ＝cos （AD →，CE →）=AD →⋅CE→|AD →|⋅|CE →|=−12+√32×√32√1+34×√14+34=√714．故选：D ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上） 11．已知向量OC →=(2，2)，CA →=(1，2)，则向量OA →的模为 5 ． 解：OC →=(2，2)，CA →=(1，2)，则OA →=OC →+CA →=（3，4）， 故|OA →|=√32+42=5． 故答案为：5．12．若角α的终边落在直线y ＝﹣x 上，则√1−sin 2α+√1−cos 2αcosα的值等于 0 ．解：原式=sinα√1−sin α+√1−cos 2αcosα=sinα|cosα|+|sinα|cosα，∵角α的终边落在直线y ＝﹣x 上， ∴角α是第二或第四象限角． 当α是第二象限角时，sinα|cosα|+|sinα|cosα=sinα−cosα+sinαcosα=0， 当α是第四象限角时，sinα|cosα|+|sinα|cosα=sinαcosα+−sinαcosα=0故答案为：0．13．已知cos(θ+π6)=−√33，则sin(2θ+5π6)= −13 ． 解：sin(2θ+5π6)=sin(2θ+π3+π2)=cos(2θ+π3) =cos[2(θ+π6)]=2cos 2(θ+π6)−1 =2×(−√33)2−1=−13． 故答案为：−13．14．如图，边长为2的菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点P 在线段BO 上运动．若AB →⋅AO →=1，则AP →⋅BP →的最小值为 −34．解：建立如图所示的坐标系，AB →⋅AO →=|AO →|2=1，则AO ＝1， 又由菱形ABCD 的边长为2， 则OB =√3，故A （﹣1，0），B （0，−√3）， 设P 点坐标为（0，b ），b ∈[−√3，0]， 则AP →=（1，b ），BP →=（0，b +√3） AP →⋅BP →=b 2+√3b ，当b =−√32时，AP →⋅BP →取最小值−34， 故答案为：−3415．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，三条中线相交于点G ．已知b ＝c ＝2，a ＝3，∠ABC 的平分线与AC 相交于点D ． （1）边AC 上的中线长为√22（2）△BCD 与△BAD 面积之比为3：2 （3）G 到AC 的距离为√74（4）△ABC 内切圆的面积为9π28上述四个结论，其中所以正确的序号为 （2）（3）（4） ．解：对于（1），如图，取AB ，AC ，BC 边上的中点N ，F ，E ， 则边AC 上的中线为BF →=12(BA →+BC →)，则4BF →2=BA →+BC →2+2|BA →|•|BC →|cosB ， 即4BF →2=4+9+2×2×cosB ×3，又因为cosB =4+9−42×2×3=912=34，则4BF →2=4+9+2×2×3×34=22，则|BF|=√222，故（1）不正确；对于（2），由角平分线定理知：S △BCDS △BAD=CD AD=BC AB=a c=32，所以（2）正确；对于（3），因为b ＝c ＝2，在三角形BF A 和三角形BFC 中，cos ∠AFB ＝﹣cos ∠BFC ， 则1+BF 2−42BF=−1+BF 2−92BF，解得BF =√222，所以GF =13×√222=√226， 所以cos ∠BFA =1+BF 2−42BF =1+112−4√22=5√2244，所以sin ∠BFA =3√15444，所以G 到AC 的距离为GFsin ∠BFA =3√15444×√226=√74，故（3）正确； 对于（4），因为cosB =34，sinB =√1−916=√74，设△ABC 内切圆的为r ，所以S △ABC =12acsinB =12(a +b +c)r ，则3×2×√74=(2+2+3)r ，解得r =3√714， 所以△ABC 内切圆的面积为：S =π(3√714)2=9π28，故（4）正确． 故答案为：（2）（3）（4）．三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（14分）已知角α是第三象限角，tanα=12． （1）求sin α，cos α的值； （2）求1+2sin(π−α)cos(−2π−α)sin 2(−α)−sin 2(3π2−α)的值．解：（1）∵α是第三象限角，且tanα=12， ∴cos 2α=11+tan 2α=45， 则sin α=−√1−cos 2α=−√55，cos α=−2√55； （2）1+2sin(π−α)cos(−2π−α)sin 2(−α)−sin 2(3π2−α)=1+2sinαcosαsin 2α−cos 2α=(sinα+cosα)2(sinα−cosα)(sinα+cosα)=sinα+cosαsinα−cosα =tanα+1tanα−1＝﹣3．17．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （﹣1，﹣2）、B （2，3）、C （﹣2，﹣1）． （1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）设实数t 满足（AB →−tOC →）•OC →=0，求t 的值．解：（1）（方法一）由题设知AB →=(3，5)，AC →=(−1，1)，则AB →+AC →=(2，6)，AB →−AC →=(4，4)． 所以|AB →+AC →|=2√10，|AB →−AC →|=4√2． 故所求的两条对角线的长分别为4√2、2√10．（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则： E 为B 、C 的中点，E （0，1）又E （0，1）为A 、D 的中点，所以D （1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC =4√2、AD =2√10；（2）由题设知：OC →=（﹣2，﹣1），AB →−tOC →=(3+2t ，5+t)． 由（AB →−tOC →）•OC →=0，得：（3+2t ，5+t ）•（﹣2，﹣1）＝0， 从而5t ＝﹣11，所以t =−115． 或者：AB →⋅OC →=tOC →2，AB →=(3，5)，t =AB →⋅OC →|OC →|2=−11518．（14分）已知函数f(x)=sin 2x +√3sinxcosx ． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）的对称轴及单调递减区间；（3）若y ＝f （x ），x ∈[0，m ]的值域为[0，32]，求m 的取值范围． 解：（1）因为f （x ）＝sin 2x +√3sin x cos x =1−cos2x 2+√32sin2x =√32sin2x −12cos2x +12=sin （2x −π6）+12，所以T =2πω=2π2=π． （2）由（1）知f(x)=sin(2x −π6)+12，由2x −π6=π2+kπ(k ∈Z)，得到x =π3+kπ2(k ∈Z)， 由π2+2kπ≤2x −π6≤3π2+2kπ(k ∈Z)，解得π3+kπ≤x ≤5π6+kπ(k ∈Z)，所以f （x ）的对称轴为x =π3+kπ2(k ∈Z)，单调递减区间为[π3+kπ，5π6+kπ](k ∈Z)．（3）因为f(x)=sin(2x −π6)+12，由sin(2x −π6)+12=32，得到2x −π6=π2+2kπ(k ∈Z)， 即x =π3+kπ(k ∈Z)， 令k ＝0，得到x =π3，如图，由对称性，y 轴右侧函数图像与x 轴第一个交点为（2π3，0），又当x ∈[0，m ]时，f （x ）的值域为[0，32]， 所以π3≤m ≤2π3，即m 的取值范围是[π3，2π3]．19．（13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足a cos C ＝（2b ﹣c ）cos A ． （1）求角A ；（2）若a ＝3，求△ABC 面积S 的最大值． 解：（1）利用正弦定理a sinA=b sinB=c sinC化简已知的等式得：sin A cos C ＝（2sin B ﹣sin C ）cos A ，即sin A cos C +cos A sin C ＝2sin B cos A ， ∴sin （A +C ）＝sin B ＝2sin B cos A ， ∵B 为三角形的内角，即sin B ≠0， ∴cos A =12，又A 为三角形的内角， 则A =π3；（2）∵a ＝3，cos A =12，∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，得：9＝b 2+c 2﹣bc ≥2bc ﹣bc ， ∴bc ≤9，∴S △ABC =12bc sin A ≤9√34， 则△ABC 面积S 的最大值为9√34．20．（15分）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，其中a＝3，b＝2√6，∠B＝2∠A．（1）求cos A的值；（2）求c的值．解：（1）△ABC中，∵其中a＝3，b＝2√6，∠B＝2∠A，∴由正弦定理可得3sin∠A =2√6sin2∠A，即3sin∠A=2√62sin∠Acos∠A，求得cos∠A=√63．（2）由（1）可得，∠C＝π﹣3∠A．由余弦定理可得c=√a2+b2−2ab⋅cos∠C=√9+24−12√6cos(π−3∠A)=√33+12√6cos3∠A=√33+12√6(4cos3∠A−3cos∠A)=√33+12√6⋅(−69)=5．21．（15分）在△ABC中，a+b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）a的值；（2）sin C和△ABC的面积．条件①：c＝7，cos A=−17；条件②：cos A=18，cos B=916．解：选条件①：（1）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b＝11﹣a，c＝7，则a2=(11−a)2+49−2(11−a)×7×(−17)，即24a＝192，解得a＝8；（2）因为cos A=−17，A∈（0，π），所以sin A=4√37，由正弦定理asinA =csinC可得sin C=csinAa=7×4√378=√32，由（1）可知b＝11﹣a＝3，所以S△ABC=12absinC=12×8×3×√32=6√3．选条件②：（1）因为cos A=18，所以A∈(0，π2)，则sin A=3√78，因为cos B=916，所以B∈(0，π2)，所以sin B=5√716，由正弦定理asinA =bsinB可得3√78=5√716，解得a＝6，（2）sin C＝sin（π﹣A﹣B）＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B=√74，因为a+b＝11，a＝6，所以b＝5，所以S△ABC=12absinC=12×6×5×√74=15√74．。

北京市顺义牛栏山第一中学2023-2024学年数学高一上期末调研试题含解析

北京市顺义牛栏山第一中学2023-2024学年数学高一上期末调研试题含解析

北京市顺义牛栏山第一中学2023-2024学年数学高一上期末调研试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．若函数()f x 满足(1)2-=f x x ，则()f x = A.22x + B.21x + C.21x -D.22x -2．函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 可能是（ ）A.()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ B.()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ C.()π2sin 46f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭D.()2sin 4π3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭3．已知命题p ：“2,10x R x x ∃∈-+<”，则p ⌝为（） A.2,10x R x x ∃∈-+≥ B.2,10∃∉-+≥x R x x C.2,10x R x x ∀∈-+≥D.2,10x R x x ∀∈-+<4．已知集合{}{}|1,|21xM x x N x =<=>，则M N ⋂=A.∅B.{}|01x x <<C.{}|0x x <D.{}|1x x <5．函数()cos 26sin 2f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小值为（）A.112-B.5-C.1D.76．若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()2x f x g x -=，则有（） A.(2)(3)(0)f f g << B.(0)(3)(2)g f f << C.(2)(0)(3)f g f <<D.(0)(2)(3)g f f <<7．将函数cos 2y x =的图象先向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是（） A.22cos x - B.22sin x C.cos2x -D.sin 2x8．已知函数()()1,0(1)1,0ln x m x f x m ax b x ⎧++≥=<-⎨-+<⎩，对于任意s R ∈，且0s ≠，均存在唯一实数t ，使得()()f s f t =，且s t ≠，若关于x 的方程()2m f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是 A.()4,2-- B.()1,0-C.()2,1--D.()()4,11,0--⋃-9．函数()122xf x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的零点一定位于下列哪个区间（）.A.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D.52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4A =，集合{}2,4B =，则()U C A B 为A.{}245，，B.{}134，， C.{}124，， D.{}2,3,4,5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2020-2021北京牛栏山第一中学高中必修一数学上期中一模试卷(含答案)

2020-2021北京牛栏山第一中学高中必修一数学上期中一模试卷(含答案)

2020-2021北京牛栏山第一中学高中必修一数学上期中一模试卷(含答案)一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）3．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．4．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 5．若函数()(1)(0x xf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）． A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]7．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数8．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<9．函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．[]2,4C ．[]0,4D ．(]2,410．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a11．方程 4log 7x x += 的解所在区间是（ ） A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(5,6)D ．(6,7)12．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________. 14．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______. 15．函数的定义域为______________．16．已知函数(1)4f x x +=-，则()f x 的解析式为_________. 17．已知a ＞b ＞1.若log a b+log b a=52，a b =b a ，则a= ，b= . 18．定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x xf x a a R =+⋅∈，则()f x 在[3,0]-上的解析式为______．19．若点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭）既在()2ax bf x +=图象上，又在其反函数的图象上，则a b +=____20．已知函数()266,34,x x f x x ⎧-+=⎨+⎩ 00x x ≥<，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________． 三、解答题21．已知2256x ≤且21log 2x ≥，求函数22()log log 22x xf x =⋅的最大值和最小值． 22．已知函数f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，其中x ∈[0,3]． (1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若实数a 满足f (x )－a ≥0恒成立，求a 的取值范围． 23．已知函数()()22log f x x a x =+-是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.（1）求a 的值；（2）记()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，若对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，求t 的取值范围.24．设函数f （x ）是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ）． （1）求f （0）；（2）证明f （x ）是奇函数；（3）解不等式f （x 2）—f （x ）＞f （3x ）．25．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，m ∈R ，x ∈R}． (1)若A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．26．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．B解析：B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系3．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x x x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．4．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内5．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.7．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】 由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-，故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数， 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .8．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.9．B解析：B 【解析】 【分析】由函数的解析式可得函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1，当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围． 【详解】∵函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1， 当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5．且f （x ）＝x 2﹣4x +5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1， ∴实数m 的取值范围是[2，4]， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．10．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.11．C解析：C 【解析】 【分析】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数，根据(5)(6)0f f ⋅<，可得函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6，由此可得方程4log 7x x +=的解所在区间． 【详解】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数.∵(5)0f <，(6)0>f ∴(5)(6)0f f ⋅<∴故函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6∴方程4log 7x x +=的解所在区间是()5,6 故选C. 【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.12．D解析：D 【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D二、填空题13．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于解析：－8【解析】 ∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数， ∴3＋a ＝－5，∴a＝－8.点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．14．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力 10【解析】 【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b+==，得到答案. 【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，故11log 2log 5log 102,10m m m m a b+=+==∴=故答案为：10. 【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.15．-11【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组解不等式组取交集得到结果【详解】由题意得：1-x2≥02cosx -1>0⇒-1≤x≤1cosx>12cosx>12⇒x ∈-π3+2kππ3+2kπ 解析：【解析】 【分析】根据定义域基本要求可得不等式组，解不等式组取交集得到结果. 【详解】 由题意得：，函数定义域为：【点睛】本题考查具体函数定义域的求解问题，关键是根据定义域的基本要求得到不等式组.16．【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令则故故答案为【点睛】本题考查函数解析式的求法换元法是常见方法注意新元的范围是易错点 解析：2()23(1)f x x x x =--≥【解析】 【分析】利用换元法求解析式即可 【详解】 令11t x =≥，则()21x t =-故()()214f t t =--=223(1)t t t --≥ 故答案为2()23(1)f x x x x =--≥ 【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是常见方法，注意新元的范围是易错点17．【解析】试题分析：设因为因此【考点】指数运算对数运算【易错点睛】在解方程时要注意若没注意到方程的根有两个由于增根导致错误 解析：42【解析】试题分析：设log ,1b a t t =>则，因为21522t t a b t +=⇒=⇒=，因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒== 【考点】指数运算，对数运算． 【易错点睛】在解方程5log log 2a b b a +=时，要注意log 1b a >，若没注意到log 1b a >，方程5log log 2a b b a +=的根有两个，由于增根导致错误 18．f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【解析】【分析】先根据计算再设代入函数利用函数的奇偶性得到答案【详解】定义在﹣33上的奇函数f （x ）已知当x ∈03时f （x ）＝3x+a4x （a ∈R ）当x ＝0时f （0）＝0解得解析：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x【解析】 【分析】先根据()00f =计算1a =-，再设30x ≤≤﹣ ，代入函数利用函数的奇偶性得到答案. 【详解】定义在[﹣3，3]上的奇函数f （x ），已知当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x +a 4x （a ∈R ）， 当x ＝0时，f （0）＝0，解得1+a ＝0，所以a ＝﹣1． 故当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x ﹣4x ．当﹣3≤x ≤0时，0≤﹣x ≤3，所以f （﹣x ）＝3﹣x ﹣4﹣x ，由于函数为奇函数，故f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x . 故答案为：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，属于常考题型.19．【解析】【分析】由点在函数的反函数的图象上可得点在函数的图象上把点与分别代入函数可得关于的方程组从而可得结果【详解】点在函数的反函数的图象上根据反函数与原函数的对称关系点在函数的图象上把点与分别代入解析：13【解析】 【分析】 由点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax by +=的反函数的图象上，可得点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax b y +=的图象上， 把点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭分别代入函数2ax by +=，可得关于,a b 的方程组，从而可得结果. 【详解】Q 点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax b y +=的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系，∴点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax b y +=的图象上， 把点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭分别代入函数2ax b y +=可得， 21a b +=-，①112a b +=，② 解得45,33a b =-=，13a b +=，故答案为13. 【点睛】本题主要考查反函数的定义与性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 20．【解析】【分析】画出分段函数的图像由图像结合对称性即可得出【详解】函数的图像如下图所示不妨设则关于直线对称所以且满足则故的取值范围是【点睛】解决本题的关键是要会画分段函数的图像由图像结合对称性经过计 解析：11(,6)3【解析】【分析】画出分段函数的图像，由图像结合对称性即可得出。

北京市顺义区牛栏山一中高一数学上学期期中试卷(含解析)

北京市顺义区牛栏山一中高一数学上学期期中试卷(含解析)

2015-2016学年北京市顺义区牛栏山一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（每题5分，共40分）在每小题的4个选项中，只有1项是符合题目要求的. 1．设集合I=R，集合M={x|x＜1}，N={x|﹣1＜x＜2}，则集合{x|﹣1＜x＜1}等于( ) A．M∪N B．M∩N C．（∁I M）∪N D．（∁I M）∩N2．若f（x）=x2+a（a为常数），，则a的值为( )A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．13．函数的定义域为( )A．上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间上是( )A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最大值是﹣5 D．减函数且最小值是﹣55．已知a=40.4，b=80.2，，则( )A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．已知幂函数f（x）=xα（α∈Z），具有如下性质：f2（1）+f2（﹣1）=2，则f（x）是( ) A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数7．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为( )A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．28．已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是( )A．（1，10）B．（5，6） C．（10，12）D．二、填空题：（每题5分，共30分）9．写出满足条件{1，3}∪A={1，3，5}的集合A的所有可能情况是__________．10．函数y=1﹣2x（x∈）的值域为__________．11．如果奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，则使f（x﹣1）＜0的x的取值范围是__________．12．若函数y=2﹣x+m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是__________．13．函数y=log2（x2﹣3x﹣4）的单调增区间是__________．14．定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（﹣3）=__________．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求∁R（A∪B），∁R（A∩B），（∁R A）∩B，A∪（∁R B）16．（14分）计算下列各题：（2）2lg lg49．17．（13分）已知函数f（x）=是奇函数，且f（2）=．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并用定义加以证明．18．（14分）某企业打算购买工作服和手套，市场价为每套工作服53元，每副手套3元，该企业联系了两家商店A和B，由于用货量大，这两家商店都给出了优惠条件：商店A：买一赠一，买一套工作服，赠一副手套；商店B：打折，按总价的95%收款．该企业需要工作服75套，手套x副（x≥75），如果工作服与手套只能在一家购买，请你帮助老板选择在哪一家商店购买更省钱？19．（13分）设函数f（x）=log2（a x﹣b x），且f（1）=1，f（2）=log212．（1）求a，b的值；（2）当x∈时，求f（x）最大值．20．（14分）已知定义域为R的函数是奇函数（1）求a值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围；（4）设关于x的函数F（x）=f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）有零点，求实数b的取值范围．2015-2016学年北京市顺义区牛栏山一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（每题5分，共40分）在每小题的4个选项中，只有1项是符合题目要求的. 1．设集合I=R，集合M={x|x＜1}，N={x|﹣1＜x＜2}，则集合{x|﹣1＜x＜1}等于( ) A．M∪N B．M∩N C．（∁I M）∪N D．（∁I M）∩N【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】由M与N，求出两集合的交集、并集，M补集与N的并集，M补集与N的交集即可．【解答】解：∵I=R，M={x|x＜1}，N={x|﹣1＜x＜2}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜1}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若f（x）=x2+a（a为常数），，则a的值为( )A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【考点】函数的零点．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用f（x）=x2+a（a为常数），，代入计算，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=x2+a（a为常数），，∴2+a=3，∴a=1．故选：D．【点评】本题考查函数值的计算，考查学生的计算能力，比较基础．3．函数的定义域为( )A．上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间上是( )A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最大值是﹣5 D．减函数且最小值是﹣5【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据奇函数的图象关于原点对称，故它在对称区间上的单调性不变，结合题意从而得出结论．【解答】解：由于奇函数的图象关于原点对称，故它在对称区间上的单调性不变．如果奇函数f（x）在区间上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间上必是增函数且最小值为﹣5，故选A．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，奇函数的图象和性质，属于中档题．5．已知a=40.4，b=80.2，，则( )A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．a＞c＞b D．a＞b＞c【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】把3个数化为底数相同，利用指数函数的单调性判断大小即可．【解答】解：a=40.4=20.8，b=80.2=20.6=20.5，因为y=2x是增函数，所以a＞b＞c．故选：D．【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，考查计算能力．6．已知幂函数f（x）=xα（α∈Z），具有如下性质：f2（1）+f2（﹣1）=2，则f（x）是( ) A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数【考点】函数的零点．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】欲正确作答，取常量n=2，验证可得结论．【解答】解：幂函数f（x）=xα（α∈Z）中，若有f2（1）+f2（﹣1）=2，则可取常量n=2，所以，函数为f（x）=x2，此函数的图象是开口向上，并以y轴为对称轴的二次函数，即定义域为R，关于原点对称，且f（﹣x）=（﹣x）2=x2=f（x），所以为偶函数．故选：B．【点评】本题考查幂函数，函数的奇偶性，考查学生的计算能力，比较基础．7．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为( )A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数的性质和对数的运算法则求解．【解答】解：∵f（x）=，∴f（3）=f（2）﹣f（1）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0）=﹣log24=﹣2．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．8．已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是( )A．（1，10）B．（5， 6）C．（10，12）D．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数的图像与性质．【专题】作图题；压轴题；数形结合．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选C．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．二、填空题：（每题5分，共30分）9．写出满足条件{1，3}∪A={1，3，5}的集合A的所有可能情况是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】利用已知条件，直接写出结果即可．【解答】解：{1，3}∪A={1，3，5}，可得A中必须含有5这个元素，也可以含有1，3中的数值，满足条件{1，3}∪A={1，3，5}的集合A的所有可能情况是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．故答案为：{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．【点评】本题考查集合的并集的元素，基本知识的考查．10．函数y=1﹣2x（x∈）的值域为．【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数的单调性，直接求解函数值域即可．【解答】解：因为函数y=1﹣2x是减函数．所以x∈时，可得函数的最大值为：﹣3，最小值为：﹣7，函数的值域．故答案为：．【点评】本题考查函数的单调性的应用，函数的值域的求法，是基础题．11．如果奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，则使f（x﹣1）＜0的x的取值范围是（﹣∞，0）∪（1，2）．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；数形结合．【分析】由题意，可先研究出奇函数y=f（x）（x≠0）的图象的情况，解出其函数值为负的自变量的取值范围来，再解f（x﹣1）＜0得到答案【解答】解：由题意x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，可得x＞1时，函数值为正，0＜x＜1时，函数值为负又奇函数y=f（x）（x≠0），由奇函数的性质知，当x＜﹣1时，函数值为负，当﹣1＜x＜0时函数值为正综上，当x＜﹣1时0＜x＜1时，函数值为负∵f（x﹣1）＜0∴x﹣1＜﹣1或0＜x﹣1＜1，即x＜0，或1＜x＜2故答案为（﹣∞，0）∪（1，2）【点评】本题考查利用奇函数图象的对称性解不等式，解题的关键是先研究奇函数y=f（x）函数值为负的自变量的取值范围，再解f（x﹣1）＜0的x的取值范围，函数的奇函数的对称性是高考的热点，属于必考内容，如本题这样的题型也是高考试卷上常客12．若函数y=2﹣x+m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【考点】指数函数的图像变换．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数y=2﹣x+m的图象经过定点（0，1+m），且函数y在R上单调递减，可得1+m≤0，求得m的范围．【解答】解：∵函数y=2﹣x+m的图象不经过第一象限，而函数y=2﹣x+m的图象经过定点（0，1+m），且函数y在R上单调递减，则1+m≤0，求得m≤﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1]．【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．13．函数y=log2（x2﹣3x﹣4）的单调增区间是（4，+∞）．【考点】复合函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】令t=x2﹣3x﹣4＞0，求得函数的定义域，根据y=log2t，本题即求二次函数t的增区间，再利用二次函数的性质可得函数t的增区间．【解答】解：令t=x2﹣3x﹣4＞0，求得x＜﹣1，或x＞4，故函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），且y=log2t，故本题即求二次函数t的增区间．再利用二次函数的性质可得函数t的增区间为（4，+∞），故答案为：（4，+∞）．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．14．定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（﹣3）=6．【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题．【分析】本题是抽象函数及其应用类问题．在解答时，首先要分析条件当中的特殊函数值，然后结合条件所给的抽象表达式充分利用特值得思想进行分析转化，例如结合表达式的特点1=0+1等，进而问题即可获得解答．【解答】解：由题意可知：f（1）=f（0+1）=f（0）+f（1）+2×0×1=f（0）+f（1），∴f（0）=0．f（0）=f（﹣1+1）=f（﹣1）+f（1）+2×（﹣1）×1=f（﹣1）+f（1）﹣2，∴f（﹣1）=0．f（﹣1）=f（﹣2+1）=f（﹣2）+f（1）+2×（﹣2）×1=f（﹣2）+f（1）﹣4，∴f（﹣2）=2．f（﹣2）=f（﹣3+1）=f（﹣3）+f（1）+2×（﹣3）×1=f（﹣3）+f（1）﹣6，∴f（﹣3）=6．故答案为：6．【点评】本题是抽象函数及其应用类问题．在解答的过程当中充分体现了抽象性、特值的思想以及问题转化的能力．值得同学们体会和反思．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求∁R（A∪B），∁R（A∩B），（∁R A）∩B，A∪（∁R B）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．【分析】利用集合的交、并、补集的混合运算和不等式的性质求解．【解答】解：∵集合A={x丨3≤x＜7}，B={x丨2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜10}，A∩B={x|3≤x＜7}，∁R A={x|x＜3或x≥7}，∴∁R（A∪B）={x|x≤2或x≥10}，∁R（A∩B）={x|x＜3或x≥7}，（∁R A）∩B={x|2＜x≤3或7≤x＜10}．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．16．（14分）计算下列各题：（2）2lg lg49．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．（2）利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：（1）=0.4﹣1﹣1+﹣4+2﹣3+0.1=﹣1++=…（2）2lg lg49=2lg5﹣2lg3﹣lg7+2lg2+2lg3+lg7=2lg5+2lg2=2 …（14分）【点评】本题考查对数与已经在什么的运算法则的应用，考查计算能力．17．（13分）已知函数f（x）=是奇函数，且f（2）=．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并用定义加以证明．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质和条件建立方程关系即可求实数a，b的值；（2）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴=﹣，因此b=﹣b，即b=0．又f（2）=，∴=，∴a=2；（2）由（1）知f（x）==+，f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，证明：设x1＜x2≤﹣1，则f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）（1﹣）=（x1﹣x2）•．∵x1＜x2≤﹣1，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞1．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明，根据相应的定义是解决本题的关键．18．（14分）某企业打算购买工作服和手套，市场价为每套工作服53元，每副手套3元，该企业联系了两家商店A和B，由于用货量大，这两家商店都给出了优惠条件：商店A：买一赠一，买一套工作服，赠一副手套；商店B：打折，按总价的95%收款．该企业需要工作服75套，手套x副（x≥75），如果工作服与手套只能在一家购买，请你帮助老板选择在哪一家商店购买更省钱？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】分别计算按商店A和B优惠付款数，作差比较，即可得出结论．【解答】解：设按商店A和B优惠付款数分别为f（x）和g（x）商店A：f（x）=75×53+（x﹣75）×3=3x+3750（x≥75）…商店B：g（x）=（75×53+3x）×95%=2.85x+3776.25（x≥75）…令f（x）=g（x），解得x=175选择A与B是一样的…令y=f（x）﹣g（x）=0.15x﹣26.25，当75≤x＜175时，y＜0，选择商店A；…当x＞175时，y＞0，选择商店B；…（14分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，正确求出按商店A和B优惠付款数是关键．19．（13分）设函数f（x）=log2（a x﹣b x），且f（1）=1，f（2）=log212．（1）求a，b的值；（2）当x∈时，求f（x）最大值．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】综合题．【分析】（1）由已知f（1）=1，f（2）=log212代入到f（x）中，求得a、b的值即可；（2）利用换元法，由（1）得，令g（x）=4x﹣2x=（2x）2﹣2x，再令t=2x，则y=t2﹣t，可知函数y=（t﹣）2﹣在上是单调递增函数，从而当t=4时，取得最大值12，故x=2时，f（x）取得最大值．【解答】解：∵函数f（x）=log2（a x﹣b x），且f（1）=1，f（2）=log212∴∴∴（2）由（1）得令g（x）=4x﹣2x=（2x）2﹣2x令t=2x，则y=t2﹣t∵x∈，∴t∈，显然函数y=（t﹣）2﹣在上是单调递增函数，所以当t=4时，取得最大值12，∴x=2时，f（x）最大值为log212=2+log23【点评】本题以对数函数为载体，考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，考查函数的单调性与最值，属于基础题．20．（14分）已知定义域为R的函数是奇函数（1）求a值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围；（4）设关于x的函数F（x）=f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）有零点，求实数b的取值范围．【考点】指数函数的单调性与特殊点；奇偶性与单调性的综合．【专题】综合题．【分析】（1）根据奇函数当x=0时的函数值为0，列出方程求出a的值；（2）先判断出单调性，再利用函数单调性的定义法进行证明，即取值﹣作差﹣变形﹣判断符号﹣下结论；（3）利用函数的奇偶性将不等式转化为函数值比较大小，再由函数的单调性比较自变量的大小，列出不等式由二次函数恒成立进行求解；（4）根据函数解析式和函数零点的定义列出方程，再利用整体思想求出b的范围．【解答】解：（1）由题设，需，∴a=1，∴，经验证，f（x）为奇函数，∴a=1．（2）减函数证明：任取x1，x2∈R，x1＜x2，△x=x2﹣x1＞0，f（x2）﹣f（x1）=﹣=，∵x1＜x2 ∴0＜＜；∴﹣＜0，（1+）（1+）＞0∴f（x2）﹣f（x1）＜0∴该函数在定义域R 上是减函数．（3）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0 得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），∵f（x）是奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），由（2）知，f（x）是减函数∴原问题转化为t2﹣2t＞k﹣2t2，即3t2﹣2t﹣k＞0 对任意t∈R 恒成立，∴△=4+12k＜0，得即为所求．（4）原函数零点的问题等价于方程f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）=0由（3）知，4x﹣b=2x+1，即方程b=4x﹣2x+1有解∴4x﹣2x+1=（2x）2﹣2×2x=（2x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴当b∈[﹣1，+∞）时函数存在零点．【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性的应用，利用奇函数的定义域内有0时有f（0）=0进行求值，函数单调性的证明必须按照定义法进行证明，即取值﹣作差﹣变形﹣判断符号﹣下结论，利用二次函数的性质，以及整体思想求出恒成立问题．。

北京高一上学期期中考试数学试卷含答案

北京高一上学期期中考试数学试卷含答案

高一上学期期中考试试卷数学一､选择题1.已知全集U R ＝，集合12345{}{|}2A B x x ∈≥R ＝，，，，，＝，则下图中阴影部分所表示的集合为( )A. {0}1，B. {}1C. {1}2，D. {012}，， 2.已知全集U =R ，{}1A x x =<-，{}1B x x =>，则()UB A =（ ）A. {}1x x >B. {}1x x ≤- C. {1x x >或}1x <-D. {}11x x -≤≤3.不等式113x <+<的解集为（ ） A. (0,2) B. (2,0)(2,4)-⋃ C. (4,0)-D. (4,2)(0,2)--⋃4.若0a b <<，则下列不等式成立的是（ ） A. 33a b >B. a b <C.11a b< D.11a b> 5.命题:2p x ∀>，210x ->，则p ⌝是（ ） A. 2x ∀>，210x -≤ B. 2x ∀≤，210x -> C. 2x ∃>，210x -≤D. 2x ∃≤，210x -≤6.若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A. 3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B. 3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C. 3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D. 3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭7.已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，若x 1，x 2∈R，则“x 1+x 2＝0”是“f（x 1）+f （x 2）＝0”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.对于集合{}22,,M a a x y x y ==-∈∈Z Z ，给出如下三个结论：①如果{}21,P b b n n ==+∈Z ，那么P M ⊆；②如果42,c n n =+∈Z ，那么c M ∉；③如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈.其中正确结论的个数是( ) A. 0B. 1C. 2D. 3二､填空题9.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则100,153100,3x y z x y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩当81z =时，x =___________，y =___________． 10.一元二次方程2310x x -+=的两个实数根分别是1x 、2x ，则221212x x x x 的值是______．11.已知正实数x ，y 满足xy=3，则2x+y 的最小值是 ．12.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大. 13.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-． 若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是_____．14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x ax a =-+，其中a R ∈．①()1f -=______；②若()f x 的值域是R ，则a 的取值范围是______．三､解答题15.已知二次函数()23f x x mx =+-，有两个零点为1-和n ．（1）求m 、n 的值；（2）证明：()()11f x f x +=-；（3）用单调性定义证明函数()f x 在区间()1,+∞上是增函数；（4）求()f x 在区间[]0,a 上的最小值()g a ．16.已知函数()223f x x x =--.（1）直接写出()f x 的零点； （2）在坐标系中，画出()f x 的示意图（注意要画在答题纸上）（3）根据图象讨论关于x 的方程()f x k =的解的个数:（4）若方程()f x k =，有四个不同的根1x 、2x 、3x 、4x 直接写出这四个根的和；（5）若函数()f x 在区间()1,a -上既有最大值又有最小值，直接写出a 的取值范围．17.已知函数()21xf x x =+.（1）求证：()f x 是R 上的奇函数； （2）求()1f a f a ⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （3）求证：()f x 在[]1,1-上单调递增，在[)1,+∞上单调递减； （4）求()f x 在[)1,-+∞上的最大值和最小值； （5）直接写出一个正整数n ，满足()12019f n <．18.设函数()1110nn n n f x a x a xa x x --=++⋅⋅⋅++，()1110m m m m g xb x b x b x b --=++⋅⋅⋅++，且对所有的实数x ，等式()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦都成立，其0a 、1a 、、n a 、0b 、1b 、、m b R ∈，m 、n N ∈．（1）如果函数()22f x x =+，()g x kx =，求实数k 的值；（2）设函数()32321f x x x =+-，直接写出满足()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦的两个函数()g x ；（3）如果方程()()f x g x =无实数解，求证：方程()()f f x g g x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦无实解．参考答案1【答案】B根据韦恩图知阴影部分表示的是A 中的元素除去A 与B 的公共元素所剩下的元素，由此可得选项. 【详解】由韦恩图可知：阴影部分表示的是A 中的元素除去A 与B 的交集的元素所剩下的元素．因为{2,3,4,5}A B ⋂=，所以阴影部分所表示的集合是{1}．故选B ． 2【答案】D 求出AB ，利用补集的定义可求出集合()UA B .【详解】由题意可得{1A B x x ⋃=>或}1x <-，因此，(){}11UA B x x ⋃=-≤≤.故选：D. 3【答案】D 【解析】1<|x +1|<3⇔1<|x +1|2<9即()()221119x x ⎧+>⎪⎨+<⎪⎩即2220280x x x x ⎧+>⎨+-<⎩， 解得x ∈(−4,−2)∪(0,2) 本题选择D 选项. 4【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法、不等式的基本性质可判断出各选项中不等式的正误，由此可得出结论. 【详解】0a b <<，则22223024b b a ab b a ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，()()33220a b a b a ab b ∴-=-++<，33a b ∴<，A 选项中的不等式错误；0a b <<，0a b ∴->->，即a b >，B 选项中的不等式错误；0a b <<，0a b ∴->->，11a b ∴-<-，可得11a b>，C 选项中的不等式错误，D 选项中的不等式正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的基本性质、作差法以及函数的单调性来判断，考查推理能力，属于基础题. 5【答案】C 【解析】 【分析】将全称命题的量词改变，否定结论，可得出命题p ⌝. 【详解】命题:2p x ∀>，210x ->，由全称命题的否定可知，命题:2p x ⌝∃>，210x -≤.故选：C.【点睛】本题考查全称命题否定，要注意全称命题的否定与特称命题的之间的关系，属于基础题. 6【答案】D 【解析】 【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断.【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题. 7【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】函数()f x 是奇函数,∴若120x x +=，则12x x =-，则()()()122f x f x f x =-=-，即()()120f x f x +=成立,即充分性成立，若()0f x =，满足()f x 是奇函数，当122x x ==时 满足()()120f x f x ==，此时满足()()120f x f x +=， 但1240x x +=≠，即必要性不成立，故“120x x +=”是“()()120f x f x +=”的充分不必要条件， 所以A 选项正确.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键. 8【答案】D 【解析】 【分析】①根据2221(1)n n n +=+-，得出21n M +∈，即P M ⊆； ②根据42c n =+，证明42nM ，即c M ∉；③根据1a M ∈，2a M ∈，证明12a a M ∈．【详解】解：集合22{|M a a x y ==-，x ∈Z ，}y Z ∈， 对于①，21b n =+，n Z ∈， 则恒有2221(1)n n n +=+-，21n M ∴+∈，即{|21P b b n ==+，}n Z ∈，则P M ⊆，①正确；对于②，42c n =+，n Z ∈， 若42nM ，则存在x ，y Z ∈使得2242x y n ，42()()n x y x y ∴+=+-，又x y +和x y -同奇或同偶，若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除， 42n M ∴+∉，即c M ∉，②正确；对于③，1a M ∈，2a M ∈，可设22111a x y =-，22222a x y =-，i x 、i y Z ∈；则2222121122()()a a x y x y =-- 222212121221()()()()x x y y x y x y =+-- 2212121221()()x x y y x y x y M =+-+∈ 那么12a a M ∈，③正确． 综上，正确的命题是①②③． 故选D ．【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题． 9【答案】 (1). 8 (2). 11 【解析】 【分析】将z 代入解方程组可得x 、y 值.【详解】19881,,.537311x y x z x y y +==⎧⎧=∴∴⎨⎨+==⎩⎩ 【点睛】实际问题数学化，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口． 10【答案】3 【解析】 【分析】利用韦达定理求出12x x +和12x x ，由此可得出2212121212x x x x x x x x 的值.【详解】由韦达定理得123x x +=，121=x x ，因此，()2212121212133x x x x x x x x +=+=⨯=.故答案为：3.【点睛】本题考查利用韦达定理求代数式的值，考查计算能力，属于基础题. 11【答案】【解析】试题分析：由题33,22y x y x x x =∴+=+≥=当且仅当2x =时，等号成立；考点：均值不等式 12【答案】2 【解析】C ＝2202020444t t t t =≤++＝5当且仅当4t t=且t ＞0，即t ＝2时取等号考点：基本不等式，实际应用 13【答案】(1,0)- 【解析】 【分析】若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点，作出函数()f x 的图象，由数形结合法分析即可得答案．【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数且当0x ≥时，2()2f x x x =-，所以函数()f x 图象关于y 轴对称， 作出函数()f x 的图象：若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点， 由图象可知：10m -<<时，即有4个交点. 故m 的取值范围是(1,0)-， 故答案为：(1,0)-【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.14【答案】 (1). 1- (2). (][),04,-∞+∞【解析】 【分析】①运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；②由()f x 的图象关于原点对称，可知二次函数的图象与x 轴有交点，得到0∆≥，解不等式即可得到所求范围．【详解】①由题意得：()111f a a =-+=()f x 为R 上的奇函数 ()()f x f x ∴-=- ()()111f f ∴-=-=-②若()f x 的值域为R 且()f x 图象关于原点对称∴当0x >时，()2f x x ax a =-+与x 轴有交点 240a a ∴∆=-≥解得：0a ≤或4a ≥ a ∴的取值范围为(][),04,-∞+∞故答案为1-；(][),04,-∞+∞【点睛】本题考查函数的奇偶性的运用，根据函数的值域求解参数范围，涉及到函数函数对称性和二次函数的性质的应用，属于中档题．15【答案】（1）2m =-，3n =；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）()223,014,1a a a g a a ⎧--<≤=⎨->⎩. 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理可得出关于实数m 、n 的方程组，即可求出这两个未知数的值； （2）直接计算()1f x +和f1−x ，可证明出()()11f x f x +=-；（3）任取121x x >>，作差()()12f x f x -，因式分解后判断差值的符号，即可证明出函数()y f x =在区间()1,+∞上是增函数；（4）分01a <≤和1a >两种情况讨论，分析函数()y f x =在区间[]0,a 上的单调性，即可得出函数()y f x =在区间[]0,a 上的最小值()g a 的表达式.【详解】（1）由韦达定理得131n n m -⨯=-⎧⎨-+=-⎩，解得23m n =-⎧⎨=⎩；（2）由（1）知()()222314f x x x x =--=--，()()2211144f x x x ∴+=+--=-，()()2211144f x x x -=---=-，因此，()()11f x f x +=-； （3）任取121x x >>，则()()()()221211222323f x f x x x x x -=-----()()()()()()()2212121212121212222x x x x x x x x x x x x x x =---=+---=-+-，121x x >>，120x x ∴->，122x x +>，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，因此，函数()y f x =在区间()1,+∞上是增函数；（4）当01a <≤时，函数()y f x =在区间[]0,a 上为减函数，此时()()223g a f a a a ==--；当1a >时，函数()y f x =在区间[]0,1上减函数，在区间[]1,a 上为增函数， 此时()()14g a f ==-.综上所述，()223,014,1a a a g a a ⎧--<≤=⎨->⎩. 【点睛】本题考查二次函数相关的问题，涉及利用韦达定理求参数、二次函数对称性、单调性的证明、以及二次函数在区间上最值的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16【答案】（1）1-和3；（2）图象见解析；（3）见解析；（4）4；（5）(3,1⎤⎦. 【解析】 【分析】（1）解方程()0f x =即可得出函数()y f x =的零点； （2）根据绝对值翻折变换可作出函数()y f x =的图象；（3）将方程()f x k =的解的个数转化为函数y k =和()y f x =图象的交点个数，利用数形结合思想可得出结论；（4）根据函数()y f x =可得出1234x x x x +++的值；（5）求方程2234x x --=在3x >时的解，利用图象可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）解方程()0f x =，即2230x x --=，解得1x =-或3x =，所以，函数()y f x =的零点为1-和3；（2）函数()223f x x x =--的图象是将函数223y x x =--的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称，位于x 轴上方的图象保持不变而得到，则函数()223f x x x =--的图象如下图所示：（3）方程()f x k =的解的个数等于函数y k =和()y f x =图象的交点个数，如下图所示：当k 0<时，方程()f x k =无实根；当0k =或4k >时，方程()f x k =有2个实根； 当04k <<时，方程()f x k =有4个实根； 当4k =时，方程有3个实根.综上所述，当k 0<时，方程()f x k =无实根；当0k =或4k >时，方程()f x k =有2个实根；当04k <<时，方程()f x k =有4个实根；当4k =时，方程有3个实根；（4）由图象可知，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，因此，12344x x x x +++=； （5）当3x >时，解方程2234x x --=，解得221x =，由图象可知，当3221a <≤时，函数()y f x =在区间()1,a -上既有最大值，又有最小值， 故实数a 的取范围是(3,221⎤⎦.【点睛】本题考查函数图象的应用，考查函数的零点以及最值问题，同时也涉及了函数图象对称性的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.17【答案】（1）证明见解析；（2）0；（3）证明见解析；（4）最大值12，最小值12-；（5）答案不唯一，具体见解析. 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性的定义证明即可； （2）代值计算即可得出()1f a f a ⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （3）任取12x x ≠，作差()()12f x f x -，通分、因式分解后分1211x x 和211x x >≥两种情况讨论()()12f x f x -的符号，即可证明出结论；（4）利用（3）中的结论可求出函数()y f x =在区间[)1,-+∞上的最大值和最小值；（5）可取满足2019n ≥的任何一个整数n ，利用函数()y f x =的单调性和不等式的性质可推导出()12019f n <成立. 【详解】（1）函数()21xf x x =+的定义域为R ，定义域关于原点对称， 且()()()2211xxf x f x x x --==-=-+-+，因此，函数()y f x =是R 上的奇函数； （2）()22222222111*********a a a a a aaf a f a a a a a a a a ⋅⎛⎫-=-=-=-= ⎪++++⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭； （3）任取12x x ≠，()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()()()()()()()()()()()2212121212211212122222221212121111111x x x x x x x x x x x x x x x x xx xx xx -+--+---===++++++.当1211x x 时，120x x -<，1210x x ->，()()2212110x x ++>，则()()12f x f x <；当211x x >≥时，120x x -<，1210x x -<，()()2212110x x ++>，则()()12f x f x >.因此，函数()y f x =在[]1,1-上单调递增，在[)1,+∞上单调递减； （4）由于函数()y f x =在[]1,1-上单调递增，在[)1,+∞上单调递减， 当1x =时，函数()y f x =取最大值，即()()max 112f x f ==； 当0x >时，()0f x >，所以，当1x =-时，函数()y f x =取最小值，即()()min 112f x f =-=-. 综上所述，函数()y f x =在[)1,-+∞上的最大值为12，最小值为12-； （5）由于函数()y f x =在[)1,+∞上单调递减，当2019n ≥时，()()2220192019120192019120192019f n f ≤=<=+，所以，满足2019n ≥任何一个整数n 均满足不等式()12019f n <. 可取2020n =，满足条件.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的证明、利用单调性求最值，同时也考查了函数值的计算以及函数不等式问题，考查分析问题和解决问题能力，属于中等题.18【答案】（1）1k =；（2）()g x x =，()32321g x x x =+-，答案不唯一；（3）证明见解析.【解析】 【分析】（1）根据已知条件()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦直接代入计算即可；（2）验证()g x x =满足条件()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，再者若()()g x f x =，则等式()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦也满足，由此可得出符合条件的函数()y g x =的两个不同的解析式；（3）假设方程()()f f x g g x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦有实数解，利用反证法推出与已知条件矛盾，进而证明结论成立. 【详解】（1）()22f x x =+，()g x kx =，则()()()22222f g x f kx kx k x ⎡⎤==+=+⎣⎦，()()()222222g f x g x k x kx k ⎡⎤=+=+=+⎣⎦， ()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，222k k k ⎧=∴⎨=⎩，解得1k =；（2）若()g x x =，则()()f g x f x ⎡⎤=⎣⎦，()()g f x f x ⎡⎤=⎣⎦，此时()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦； 若()()g x f x =，则()()f g x f f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，()()g f x f f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦，此时()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦. 所以，当()32321f x x x =+-时，满足()()f g x g f x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦的函数()y g x =的两个解析式可以是()g x x =，()32321g x x x =+-（答案不唯一）；（3）假设方程()()f f x g g x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦有实数解，设()()()h x f x g x =-，则()()()h f x f f x g f x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，()()()h g x f g x g g x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 两式相减得()()()()()()h f x h g x f f x g f x f g x g g x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()0f f x g g x ⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦，所以，()()h f x h g x ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦，由零点存在定理可知，存在()(){}()(){}()min ,,max ,a f x g x f x g x ∈，使得()0h a =，()()f x g x =无实根，则()0h x =永远不成立，推出假设不成立.所以，方程()()f x g x =无实数解，方程()()f f x g g x ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦也无实解【点睛】本题考查函数解析式的求解，同时也考查了方程根的存在性的证明，涉及反证法与零点存在定理的应用，考查推理论证能力，属于难题.。

2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中高三(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中高三(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中高三（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0，1}B ．{0，1，2}C ．{﹣1，0}D ．{0，1}2．下列函数中既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y ＝x 3+xB ．y ＝9+x 2C ．y ＝|x |D ．y =1x3．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，则“角α的终边过点（﹣1，2）”是“tan α＝﹣2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝5，b ＝6，满足条件的△ABC （ ） A ．有无数多个 B ．有两个 C ．有一个D ．不存在5．若a ＜b ＜0，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．1a＜1bB ．ab ＜b 2C ．a 3＜b 3D ．e a ﹣b ＜e b6．在△ABC 中，AD →=32DC →，P 是直线BD 上的一点，若AP →=tAB →+25AC →则实数t 的值为（ ）A ．−13B ．13C ．−23D ．237．已知正项等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“0＜q ＜1”是“S 7+S 9≤2S 8”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧．若在B ，C 处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC ＝100m ，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10°≈0.985）A ．49.25 mB ．50.76 mC ．56.74 mD ．58.60 m9．已知函数f（x）＝2tan（ωx）（ω＞0）的图象与直线y＝2的相邻交点间的距离为π，若定义max{a，b}={a，a≥bb，a＜b，则函数h（x）＝max{f（x），f（x）cos x}在区间(π2，3π2)内的图象是（）A．B．C．D．10．过直线x+y＝4上一动点M，向圆O：x2+y2＝4引两条切线，A、B为切点，则圆O上的动点P到直线AB距离的最大值等于（）A．1+√2B．2+√2C．√3+√2D．3+√2二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．函数f（x）＝log2（1﹣x）的定义域为．12．已知复数z＝2+i，则z•z=．13．已知方程x2m+2+y21−m=1表示椭圆，则实数m的取值范围．14．如图所示的几何体是由正方形ABCD沿直线AB旋转90°得到的，设G是圆弧CÊ的中点，H是圆弧DF̂上的动点（含端点），给出下列四个结论：①存在点H，使得EH⊥BG；②不存在点H，使得EH∥BD；③存在点H，使得EH∥平面BDG；④不存在点H，使得直线EH与平面BDG的所成角为30°．其中，所有正确结论的序号为．15．首项为正数的数列{a n}满足a n+1=14(a n2+3)，n∈N+，若对一切n∈N+都有a n+1＞a n，则a1的取值范围是．三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16．（14分）已知函数f （x ）＝sin （x +π6）+sin （x −π6）+cos x +a 的最大值为1． （1）求常数a 的值；（2）求函数f （x ）的单调递减区间； （3）求使f （x ）≥0成立的x 的取值集合．17．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝b （√3sin C +cos C ）． （1）求B ；（2）已知BC ＝2√3，D 为边AB 上的一点，若BD ＝1，∠ACD =π2，求AC 的长．18．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，O 是AD 边的中点，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝1．在底面ABCD 中，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，BC ＝CD ＝1，AD ＝2． （Ⅰ）求证：AB ∥平面POC ； （Ⅱ）求二面角B ﹣AP ﹣D 的余弦值．19．（14分）已知函数f(x)=a(x −lnx)+2x−1x 2(0≤a ≤2)． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，令g （x ）＝f （x ）﹣f ′（x ）﹣（x ﹣lnx ），x ∈[1，2]，求证：g(x)≥12． 20．（14分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，且点T （2，1）在椭圆C 上，设与OT 平行的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，直线TP ，TQ 分别与x 轴正半轴交于M ，N 两点． （I ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）判断|OM |+|ON |的值是否为定值，并证明你的结论．21．（15分）数列A n：a1，a2，…，a n（n≥4）满足a1＝1，a n＝m，a k+1﹣a k＝0或1（k＝1，2，…，n﹣1）对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．（Ⅰ）若m＝2时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2，2．（Ⅱ）记S＝a1+a2+…+a n，若m＝3，证明：S≥20；（Ⅲ）若m＝1000，求n的最小值．2023-2024学年北京市顺义区牛栏山一中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{0，1，2}C．{﹣1，0}D．{0，1}解：集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴M∩N＝{0，1}．故选：D．2．下列函数中既是奇函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x3+x B．y＝9+x2C．y＝|x|D．y=1x解：y＝x3+x为奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，A满足条件．y＝9+x2为偶函数，B不满足条件；y＝|x|是偶函数，C不满足条件；y=1x在（0，+∞）上单调递减，D不满足条件．故选：A．3．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，则“角α的终边过点（﹣1，2）”是“tanα＝﹣2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：当角α的终边过点（﹣1，2）时，根据三角函数的定义，可得tanα＝﹣2，充分性成立；当tanα＝﹣2时，α为第二象限角或第四象限角，若α为第四象限角，则角α的终边不过点（﹣1，2），必要性不成立．所以“角α的终边过点（﹣1，2）”是“tanα＝﹣2”的充分不必要条件．故选：A．4．在△ABC中，∠A＝60°，a＝5，b＝6，满足条件的△ABC（）A．有无数多个B．有两个C．有一个D．不存在解：∵A＝60°，a＝5，b＝6，∴由正弦定理可得5sin60°=6sinB∴sin B =6×√325=3√35＞1，故∠B 不存在． 故选：D ．5．若a ＜b ＜0，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．1a＜1bB ．ab ＜b 2C ．a 3＜b 3D ．e a ﹣b ＜e b解：a ＜b ＜0，则1a＞1b，故A 错误；ab ﹣b 2＝b （a ﹣b ）＞0，即ab ＞b 2，故B 错误； y ＝x 3在R 上单调递增，a ＜b ，则a 3＜b 3，故C 正确； 令a ＝﹣2，b ＝﹣1，满足a ＜b ＜0，但e a ﹣b ＝e b ，故D 错误．故选：C ．6．在△ABC 中，AD →=32DC →，P 是直线BD 上的一点，若AP →=tAB →+25AC →则实数t 的值为（ ）A ．−13B ．13C ．−23D ．23解：因为AD →=32DC →，且AP →=tAB →+25AC →，所以AP →=t AB →+25AC →=t AB →+23AD →；因为B ，P ，D 三点共线， 所以t +23=1， 所以t =13． 故选：B ．7．已知正项等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“0＜q ＜1”是“S 7+S 9≤2S 8”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：根据题意，正项等比数列{a n }的公比为q ，若0＜q ＜1，则数列{a n }为递减的等比数列，则有a 8＜a 7，即S 9﹣S 8＜S 8﹣S 7，变形可得S 7+S 9＜2S 8， 故“0＜q ＜1”是“S 7+S 9≤2S 8”的充分条件，当q ＝1时，数列{a n }为常数列，有S n ＝na 1，则有S 7+S 9＝16a 1＝2S 8， 故“0＜q ＜1”不是“S 7+S 9≤2S 8”的必要条件，故“0＜q＜1”是“S7+S9≤2S8”的充分不必要条件．故选：A．8．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100m，则该球体建筑物的高度约为（）（cos10°≈0.985）A．49.25 m B．50.76 m C．56.74 m D．58.60 m解：如图，设球的半径为R，则AB=√3R，∵BC=Rtan10°−√3R=100，∴R=1001tan10°−√3=100sin10°cos10°−√3sin10°=100sin10°2sin(30°−10°)=50sin10°sin20°=50sin10°2sin10°cos10°=25cos10°=250.985，∴2R=500.985≈50.76，故选：B．9．已知函数f（x）＝2tan（ωx）（ω＞0）的图象与直线y＝2的相邻交点间的距离为π，若定义max{a，b}={a，a≥bb，a＜b，则函数h（x）＝max{f（x），f（x）cos x}在区间(π2，3π2)内的图象是（）A．B．C．D．解：根据题意，函数f（x）＝2tan（ωx）（ω＞0）的图象与直线y＝2的相邻交点间的距离为π，即f（x）＝2tan（ωx）的周期为π，必有πω=π，则ω＝1，则f（x）＝2tan x，则函数h（x）＝max{f（x），f（x）cos x}＝max{2tan x，2sin x}={2sinx，π2＜x＜π2tanx，π≤x＜3π2，分析选项：A符合；故选：A．10．过直线x+y＝4上一动点M，向圆O：x2+y2＝4引两条切线，A、B为切点，则圆O上的动点P到直线AB距离的最大值等于（）A．1+√2B．2+√2C．√3+√2D．3+√2解：由题意知，设点M（a，b）在直线x+y＝4上，则a+b＝4，过点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则MA⊥OA，MB⊥OB，所以点A，B在以OM为直径的圆上，且该圆的方程为(x−a2)2+(y−b2)2=14(a2+b2)，又圆O的方程为x2+y2＝4，这两个圆的方程相减，得公共弦AB的方程为ax+by＝4，即ax+by﹣4＝0．因为a+b＝4，所以b＝4﹣a，所以a（x﹣y）+4y﹣4＝0．当x＝y且4y﹣4＝0，即x＝y＝1时，该方程恒成立，所以直线AB恒过定点N（1，1），所以点P到直线AB距离的最大值即为点O，N之间的距离加上圆O的半径．又O（0，0），r＝2，所以|ON|=√2，即动点P到直线AB距离的最大值为√2+2．故选：B．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．函数f（x）＝log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1}．解：要使函数f（x）＝log2（1﹣x）有意义，则1﹣x＞0即x＜1∴函数f（x）＝log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1}故答案为：{x|x＜1}12．已知复数z＝2+i，则z•z=5．解：z＝2+i，则z•z=（2+i）（2﹣i）＝5．故答案为：5．13．已知方程x2m+2+y21−m=1表示椭圆，则实数m的取值范围(−2，−12)∪(−12，1)．解：已知方程x 2m+2+y 21−m=1表示椭圆，则{m +2＞01−m ＞0m +2≠1−m，则−2＜m ＜−12或−12＜m ＜1，则实数m 的取值范围(−2，−12)∪(−12，1)． 故答案为：(−2，−12)∪(−12，1)．14．如图所示的几何体是由正方形ABCD 沿直线AB 旋转90°得到的，设G 是圆弧CE ̂的中点，H 是圆弧DF ̂上的动点（含端点），给出下列四个结论： ①存在点H ，使得EH ⊥BG ； ②不存在点H ，使得EH ∥BD ； ③存在点H ，使得EH ∥平面BDG ；④不存在点H ，使得直线EH 与平面BDG 的所成角为30°． 其中，所有正确结论的序号为 ①②③ ．解：由题意可将图形补全为一个正方体ADMF ﹣BCNE ，如图所示： 对于①，因为EF ⊥平面BCNE ，BG ⊂平面BCNE ，所以EF ⊥BG ， 所以当F ，H 重合时，有EH ⊥BG ，故①正确；对于②，因为BD ∥EM ，若EH ∥BD ，则EH ∥EM ，又EH ∩EM ＝E ，则EH ，EM 重合， 因为H 是圆弧DF̂上的动点，EH ，EM 不可能重合，所以EH ∥BD 不成立，故②正确； 对于③，以A 为原点，AD ，AF ，AB 所在直线为x ，y ，z 轴的建立如图所示的空间直角坐标系，设BC ＝2，则A （0，0，0），D （2，0，0），E （0，2，2），F （0，2，0），B （0，0，2），C （2，0，2），G(√2，√2，2)，H （m ，n ，0）（m 2+n 2＝4，m ＞0，n ＞0），所以BD →=(2，0，−2)，BG →=(√2，√2，0)，EH →=(m ，n −2，−2)，设平面BDG 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅BD →=2x −2z =0n →⋅BG →=√2x +√2y =0，令x ＝1，得y ＝﹣1，z ＝1，所以n →=(1，−1，1)，假设EH ∥平面BDG ，则n →⋅EH →=m −n +2−2=0，所以m ＝n ，因为m 2+n 2＝4，m ＞0，n ＞0，所以m =n =√2，即H 是圆弧DF ̂的中点，符合题意，所以存在点H ，使得EH ∥平面BDG ，故③正确；对于④，当点H 与点F 重合时，直线EH 与平面BDG 所成角最大，因为EF →=BA →=(0，0，−2)， 所以cos ＜n →，EF →＞=n →⋅EF→|n →||EF →|=−2√3×2=−√33，此时直线EH 与平面BDG 的所成角的正弦值为√33，由√33＞12，得直线EH 与平面BDG 的所成角的最大角大于30°，所以存在点H ，使得直线EH 与平面BDG 的所成角为30°，故④错误． 故答案为：①②③．15．首项为正数的数列{a n }满足a n+1=14(a n 2+3)，n ∈N +，若对一切n ∈N +都有a n +1＞a n ，则a 1的取值范围是 0＜a 1＜1或a 1＞3 ． 解：由a n+1=14(a n 2+3)，n ∈N +，若对一切n ∈N +都有a n +1＞a n ，得：14(a n 2+3)＞a n 解得：a n ＜1或a n ＞3又∵首项为正数 ∴0＜a 1＜1或a 1＞3 故答案为：0＜a 1＜1或a 1＞3三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16．（14分）已知函数f （x ）＝sin （x +π6）+sin （x −π6）+cos x +a 的最大值为1． （1）求常数a 的值；（2）求函数f （x ）的单调递减区间； （3）求使f （x ）≥0成立的x 的取值集合．解：（1）由题意：函数f （x ）＝sin （x +π6）+sin （x −π6）+cos x +a ， 化简得：f （x ）＝sin x cos π6+cos x sin π6+sin x cos π6−cos x sin π6+cos x +a=√3sin x+cos x+a＝2sin（x+π6）+a，∵sin（x+π6）的最大值为1，∴f（x）＝2×1+a＝1，解得：a＝﹣1．（2）∵由（1）可知f（x）＝2sin（x+π6）﹣1．根据三角函数的性质可得：x+π6∈[2kπ+π2，2kπ+3π2]（k∈Z）．即2kπ+π2≤x+π6≤2kπ+3π2，（k∈Z）∴解得：2kπ+π3≤x≤2kπ+4π3，（k∈Z），∴f（x）的单调递减区间为[2kπ+π3，2kπ+4π3]（k∈Z）；（3）∵由题意：f（x）≥0，即2sin（x+π6）﹣1≥0，可得：sin（x+π6）≥12．∴2kπ+π6≤x+π6≤2kπ+5π6，（k∈Z）．解得：2kπ≤x≤2kπ+2π3．∴f（x）≥0成立的x的取值范围是{x|2kπ≤x≤2kπ+2π3}，（k∈Z）．17．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b（√3sin C+cos C）．（1）求B；（2）已知BC＝2√3，D为边AB上的一点，若BD＝1，∠ACD=π2，求AC的长．解：（1）因为a＝b（√3sin C+cos C），所以sin A＝sin B（√3sin C+cos C），即sin B cos C+cos B sin C=√3sin B sin C+sin B cos C，所以cos B sin C=√3sin B sin C，因为sin C＞0，所以cos B =√3sin B ，所以tan B =√33，因为B ∈（0，π），所以B =π6．（2）因为BC ＝2√3，BD ＝1，∠B =π6，根据余弦定理得CD 2＝BC 2+BD 2﹣2BC •BD •cos B ＝1+12﹣2×1×2√3×√32=7，所以CD =√7，因为∠BDC =π2+∠A ，所以sin ∠BDC ＝sin （π2+∠A ）＝cos A ， 在△BDC 中，由正弦定理知，BC sin∠BDC =CD sin∠B ， 所以2√3cosA =√712， 所以cos A =√217，tan A =2√33=CD AC ， 所以AC =√212．18．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，O 是AD 边的中点，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝1．在底面ABCD 中，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，BC ＝CD ＝1，AD ＝2．（Ⅰ）求证：AB ∥平面POC ；（Ⅱ）求二面角B ﹣AP ﹣D 的余弦值．（Ⅰ）证明：在四边形ABCD 中，因为BC ∥AD ，BC =12AD ，O 是AD 的中点，则BC ∥AO ，BC ＝AO ，所以四边形ABCO 是平行四边形，所以AB ∥OC ，又因为AB ⊄平面POC ，CO ⊂平面POC ，所以AB ∥平面POC ；（Ⅱ）连结OB ，因为PO ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥OB ，PO ⊥OD ，又因为点O 时AD 的中点，且BC =12AD ，所以BC ＝OD ，因为BC ∥AD ，CD ⊥AD ，BC ＝CD ，所以四边形OBCD 是正方形，所以BO ⊥AD ，建立空间直角坐标系如图所示，则A （0，﹣1，0），B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，1，0），P （0，0，1），所以AB →=(1，1，0)，AP →=(0，1，1)，设平面BAP 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅AB →=0m →⋅AP →=0，即{x +y =0y +z =0，令y ＝1，则x ＝z ＝﹣1，故m →=(−1，1，−1)， 因为OB ⊥平面P AD ，所以OB →=(1，0，0)是平面P AD 的一个法向量，所以|cos ＜m →，OB →＞|=|m →⋅OB →||m →||OB →|=|−1|3×1=√33， 由图可知，二面角B ﹣AP ﹣D 为锐角，所以二面角B ﹣AP ﹣D 的余弦值为√33． 19．（14分）已知函数f(x)=a(x −lnx)+2x−1x 2(0≤a ≤2)． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，令g （x ）＝f （x ）﹣f ′（x ）﹣（x ﹣lnx ），x ∈[1，2]，求证：g(x)≥12． 解：（1）已知f(x)=a(x −lnx)+2x−1x 2(0≤a ≤2)，函数定义域为（0，+∞）， 可得f ′(x)=a −a x −2x 2+2x 3=(ax 2−2)(x−1)x 3， 若a ＝0，当0＜x ＜1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ＞1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；若0＜a ＜2，当0＜x ＜1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当1＜x ＜√2a 时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞√2a 时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；若a ＝2，此时√2a =1， 则f ′（x ）≥0，f （x ）单调递增，综上，当a ＝0时，f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；当0＜a ＜2时，f （x ）在（0，1）和（√2a ，+∞）上单调递增，在（1，√2a ）上单调递减； 当a ＝2时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增；（2）证明：当a ＝1时，f （x ）＝（x ﹣lnx ）+2x−1x 2， 可得f ′（x ）＝1−1x −2x 2+2x 3， 此时g （x ）＝f （x ）﹣f ′（x ）﹣（x ﹣lnx ）=x −lnx +2x−1x 2−(1−1x −2x 2+2x 3)−（x ﹣lnx ） =3x +1x 2−2x 3−1，函数定义域为[1，2]， 可得g ′(x)=−3x 2−2x+6x 4， 不妨设h （x ）＝﹣3x 2﹣2x +6，函数定义域为[1，2]，易知函数h （x ）是开口向下的二次函数，对称轴x =−13，所以函数h （x ）在[1，2]上单调递减，因为h （1）＝1，h （2）＝﹣10，所以∃x 0∈（1，2），使得h （x 0）＝0，当1＜x ＜x 0时，h （x ）＞0，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增；当x 0＜x ＜2时，h （x ）＜0，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，又g （1）＝1，g （2）=12，所以g （x ）≥g （2）=12，当且仅当x ＝2时，等号成立．20．（14分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，且点T （2，1）在椭圆C 上，设与OT 平行的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，直线TP ，TQ 分别与x 轴正半轴交于M ，N 两点． （I ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）判断|OM |+|ON |的值是否为定值，并证明你的结论．解：（Ⅰ）由题意{ 4a 2+1b 2=1a 2−b 2=c 2e =c a =√32， 解得：a =2√2，b =√2，c =√6故椭圆C 的标准方程为x 28+y 22=1；（Ⅱ）根据题意，假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，则P 点或Q 点的坐标为（2，﹣1）， 直线l 的方程为y +1=12(x −2)，即y =12x −2．联立方程{x 28+y 22=1y =12x −2，得x 2﹣4x +4＝0， 此时，直线l 与椭圆C 相切，不合题意．故直线TP 和TQ 的斜率存在．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则直线TP ：y −1=y 1−1x 1−2(x −2)， 直线TQ ：y −1=y 2−1x 2−2(x −2) 故|OM|=2−x 1−2y 1−1，|ON|=2−x 2−2y 2−1 由直线OT ：y =12x ，设直线PQ ：y =12x +t （t ≠0）联立方程，{x 28+y 22=1y =12x +t ⇒x 2+2tx +2t 2−4=0 当Δ＞0时，x 1+x 2＝﹣2t ，x 1⋅x 2=2t 2−4，|OM |+|ON |=4−(x 1−2y 1−1+x 2−2y 2−1)=4−(x 1−212x 1+t−1+x 2−212x 2+t−1)=4−x 1x 2+(t−2)(x 1+x 2)−4(t−1)14x 1x 2+12(t−1)(x 1+x 2)+(t−1)2=4−2t 2−4+(t−2)(−2t)−4(t−1)14(2t 2−4)+12(t−1)⋅(−2t)+(t−1)2=4．21．（15分）数列A n：a1，a2，…，a n（n≥4）满足a1＝1，a n＝m，a k+1﹣a k＝0或1（k＝1，2，…，n﹣1）对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．（Ⅰ）若m＝2时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2，2．（Ⅱ）记S＝a1+a2+…+a n，若m＝3，证明：S≥20；（Ⅲ）若m＝1000，求n的最小值．解：（1）由题可知，数列A n必满足：a1＝l，a n＝m，a k+1﹣a k＝0或1，对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t．i，j，s，t∈{1.2...…．n}且两两不相等，对①，a1+a2＝2，不满足a i+a j＝a s+a t，故①不符合；对②，当a i+a j＝2时，存在a s+a t＝2，同理当a i+a j＝4时，存在a s+a t＝4，当a i+a j＝3时，存在a s+a t＝3，故②符合；同理对③也满足，故满足题目条件的序列号为：②③；（2）证明：当m＝3时，设数列A n中1，2，3出现的频次为q1，q2，q3，由题意知，q i≥1，假设q1＜4时，a1+a2＜a s+a t（对任意s＞t＞2），与已知矛盾，故q1≥4，同理可证q3≥4，假设q2＝1，数列A n可表示为：1，l，l，1，2，3，3，3，3，显然，a4+a5≠a s+a t，故q2≥2，经验证q2＝2时，显然符合a i+a j＝a s+a t，所以q1≥4，q2≥2，q3≥4，数列A的最短数列可表示为：1，1，1，1，2，2，3，3，3，3，故S＝4+4+12＝20；解：（3）由（2）知，数列A n首尾应该满足B n：1，1，1，1，2，2，3，…，998，999，999，1000，1000，1000，1000，假设中间3.4.5，…，998各出现一次，此时n＝1008，显然满足a k+1﹣a k＝0或l，对a i＝a j＝1或a i＝a j＝1000时显然满足a i+a j＝a s+a t（q1＝4，q1000＝4）；对a i＝1，a j＝2或a i＝999，a j＝1000时显然满足a i+a j＝a s+a t（q1＝4，q2＝2，q999＝2，q1000＝4）；对a i＝1，a j＞2时，则可选取a s＝2，a k＝a j﹣1，满足a i+a j＝a s+a t，同理若a i＝1000，a j＜999，则可选取a s＝999，a i＝a j+1，满足a i+a j＝a s+a t；如果1＜a i≤a j＜1000，则可取a d＝a i﹣1，a t＝a j+1，这种情况下每个数最多被选取一次，因此也成立，故对任意i，j，都存在s，t，使得a i+a j＝a s+a t，其中i，j，s，t∈{1，2..…．n}且两两不相等，故n的最小值为1008．。

北京市顺义区第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷(解析)

北京市顺义区第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷(解析)

顺义一中2024-2025学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．一.选择题（本大题共10小题，共40分）1. 设集合{}10A x x =->，集合{}03B x x =<≤，则A B = （ ）A. ()1,3 B. (]1,3 C. ()0,∞+ D. ()1,+∞【答案】C 【解析】【分析】集合的基本运算问题.【详解】因为{}10A x x =->，所以{}1A x x =>，且{}03B x x =<≤，所以 {}0A B x x ⋃=>=()0,∞+.故选：C2. 若复数z 满足()1i 2i z +×=，则z 的共轭复数=z （ ）A. 1i - B. 1i+ C. i- D. 1i-+【答案】A 【解析】【分析】由()1i 2i z +×=知2i1+iz =，运用复数的除法即可求出z ，根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为()1i 2i z +×=，所以()()()2i 1i 2i 2+2i ===1+i 1+i 1+i 1i 2z --=，所以=1i z -.故选：A3. 如图所示，直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，则下列结论正确的是（ ）A. 123k k k >>B. 312k k k >>C. 213k k k >>D. 231k k k <<【答案】C 【解析】【分析】应用斜率与倾斜角的关系即可判断．【详解】由tan k α=，结合tan y x =的函数图象，直线3l 对应的倾斜角为钝角，则30k <，直线1l 与2l 都为锐角，且2l 的倾斜角大于1l 的倾斜角，则210k k >>，故213k k k >>．故选：C ．4. 已知角α的终边经过点()3,4-，则()cos πα+=（ ）A. 45-B. 35-C.35D.45【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用三角函数定义、结合诱导公式计算即得.【详解】由角α的终边经过点()3,4-，得该点到原点距离5r ==，33cos 5r α-==-，所以()3cos πcos 5αα+=-=.故选：C5. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A. 3y x = B. cos y x= C. ||2x y = D. 21lny x =【答案】D 【解析】【分析】根据幂函数，指数函数，余弦函数，对数函数的单调性逐项判断即可.【详解】对于A ，由幂函数的单调性可知3y x =在(0,)+∞上单调递增，故A 不正确；对于B ，由余弦函数的单调性可知cos y x =在区间(0,)+∞上单调递减不成立，故B 不正确；对于C ，2,021,02x x x x y x ⎧≥⎪==⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩，由指数函数的单调性可知，当(0,)x ∈+∞时，2xy =单调递增，故C不正确；对于D ，()21lny f x x==的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，定义域关于原点对称，()()()2211lnlnf x f x x x -===-，所以21ln y x =是偶函数，又因为当(0,)x ∈+∞，21ln 2ln y x x==-，由对数函数的单调性可知2l n y x =-在(0,)+∞上单调递减，故D 正确；故选：D.6. 在ABC V 中，若7a =，8b =，1cos 7B =，则A ∠的大小为（ ）A.π6B.π3C.5π6D.π3或2π3【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理结合三角形的特点计算即可.【详解】因为在ABC V 中，()0,πA B ∈、，所以1cos sin 7B B =⇒==，由正弦定理可知sin πsin 3a B A Ab ==⇒=或2π3，又a b A B <⇒<，所以2π3A =不成立.故选：B7. 设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC的夹角为锐角”是“||||AB AC AB AC +>- ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】将向量的模用向量的数量积来表示，化简后结合向量夹角的范围，即可判断.【详解】||||AB AC AB AC +>-22||||AB AC AB AC ⇔+>- ()()22AB ACAB AC⇔+>- 0AB AC >⇔⋅ cos ,0AB AC ⇔〈〉>由题意知A ，B ，C 不共线，所以(),0,πAB AC 〈〉∈，所以cos ,0AB AC 〈〉> ⇔AB 与AC的夹角为锐角，故“AB 与AC的夹角为锐角”是“||||AB AC AB AC +>- ”的充分必要条件；故选：C.8. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若30m AB =，10m BC AD ==，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的，则该五面体的所有棱长之和为（ ）A. 100 mB. 112 mC. 117 mD. 132 m【答案】D 【解析】【分析】先根据面面角的定义求得tan tan EMO EGO ∠=∠=，再依次求得EO ，EG ，EB ，EF ，最后把所有棱长相加，即可求解．【详解】如图，过E 作EO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，过E 分别作EG BC ⊥，EM AB ⊥，垂足分别为G ，M ，连接OG ，OM ，因为EO ⊥平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以EO BC ⊥，又EG BC ⊥，且EO ，EG ⊂平面EOG ，EO EG E ⋂=，所以⊥BC 平面EOG ，因为OG ⊂平面EOG ，所以BC OG ⊥，所以等腰三角形所在的平面与平面ABCD 所成角为EGO ∠，同理可得OM BM ⊥，又EM AB ⊥，所以等腰梯形所在的平面与平面ABCD 所成角为EMO ∠，所以tan tan EMO EGO ∠=∠=，又BC OG ⊥，所以四边形OMBG 是矩形，又10BC =，则5OM =，所以EO =5OG =，所以在Rt EOG △中，EG ===，在Rt EBG △中，5BG OM ==，8EB ===，又因为55305520EF AB =--=--=，故该五面体的所有棱长之和为2302102048132m ⨯+⨯++⨯=．故选：D ．9. 函数()sin2f x x =图象上存在两点(),P s t ，()(),0Q r t t >满足6r s π-=，则下列结论成立的是（ ）A. 162f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ B. 6f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭C. 162f s π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ D. 6f s π⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据(),P s t ,()(),0Q r t t >在()sin2f x x =上,可得出222,r s k k Z ππ+=+∈,再根联立6r s π-=,得到s 的值,根据0t >缩小s 的取值范围,进而代入,66f s f s ππ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求值即可.【详解】解:由题知()sin2f x x =,T π∴=,()(),,,P s t Q r t 均在()sin2f x x =上,sin 2sin 20s r t ∴==>,644T r s ππ-=<= ,0222T r s ∴<-<,故有:222,Z r s k k ππ+=+∈,两等式联立有2226r s k r s πππ+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩,解得2,Z 3s k k ππ∴=+∈,sin 20s t => ,1122,Z 3s k k ππ∴=+∈,sin 2sin 2sin 266333f s s s k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=+=++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,sin 2sin 2sin 2066333f s s s k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-=-=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,综上选项B 正确.故选:B10. 已知函数()22,,x ax x af x x a x a ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（ ）A. 0 B. 1C. 2D. 无数【答案】B 【解析】【分析】分0a =、0a >、0a <三种情况讨论，作出函数()f x 的图象，根据已知条件可得出关于实数a 的等式与不等式，进而可求得实数a 的取值.【详解】当0a =时，()22,0,0x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，作出函数()f x 的图象如下图所示：由图可知，当02k <<时，关于x 的方程()f x k =有且只有一个实根，不合乎题意；当0a >时，()22,,,x ax x a f x x a a x a x a x a ⎧-+≥⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩，如下图所示：函数()f x 在(),a -∞-上单调递减，在(),a a -上单调递增，在(),a +∞上单调递增，由题意可得22222a a a a -+==，解得1a =；若0a <，则()22,,x ax x af x x a x a ⎧-+≥=⎨--<⎩，如下图所示：函数()f x 在(),a -∞单调递减，在,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，由题意可得2222280a a aa ⎧-+=-⎨∆=-≥⎩，此时a 无解.综上所述，1a =故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二.填空题（本大题共5小题，共25分）11. 函数2ln(12)y x x=-+的定义域是______.【答案】()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由真数大于零及分母不等于零计算即可得.【详解】由题意可得120x ->、0x ≠，故12x <且0x ≠，故该函数定义域为()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭.故答案为：()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭..12. 首项为1的等比数列{}n a 中，14a ，22a ，3a 成等差数列，则公比q =______.【答案】2【解析】【分析】根据等差中项可得21344a a a =+，利用等比数列通项公式代入即可求.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为14a ，22a ，3a 成等差数列，所以21344a a a =+，所以211144a q a a q =+，因为首项为1，所以2440q q -+=，所以()220q -=，故2q =.故答案为：213. 能说明“若sin cos αβ=，则36090k αβ+=⋅+ ，其中Z k ∈”为假命题的一组α，β的值是___．【答案】答案不唯一，如110α= ，20β=【解析】【分析】即举满足条件sin cos αβ=但不满足36090k αβ+=⋅+ 的例子.【详解】110α= ，20 β=时，满足sin cos αβ=，但36090k αβ+=⋅+ 不成立故答案为答案不唯一，如110α= ，20β=【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查基本分析求解能力，属基础题.14. 如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形ABCD 的边长为4，点P 在四段圆弧上运动，则AP AB ⋅的取值范围为______.【答案】[]8,24-【解析】【分析】借助于正方形建系，利用平面向量数量积的几何意义，找到使AP 在AB方向上的投影向量的数量最大和最小的点即得AP AB ⋅的取值范围.【详解】如图，以点A 为原点，分别以,AB AD 所在直线为,x y 轴建立坐标系.因||||cos ,4||cos ,AP AB AP AB AP AB AP AP AB ⋅=⋅〈〉=⋅〈〉，而||cos ,AP AP AB ⋅〈〉 表示AP 在AB方向上的投影向量的数量，由图不难发现，设过正方形的中心作与x 轴平行的直线与左右两个半圆分别交于点12,P P ，则当点P 与点1P 重合时，投影向量的数量最大，当点P 与点2P 重合时，投影向量的数量最小.易得12(6,2),(2,2)P P -，则||cos ,AP AP AB ⋅〈〉的最大值为6，最小值为2-，故824AP AB -≤⋅≤.故答案为：[]8,24-.15. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别在线段1AD 和11B C 上．给出下列四个结论： ①MN 的最小值为2；②四面体NMBC 的体积为43；③有且仅有一条直线MN 与1AD 垂直；。

北京市顺义牛栏山第一中学2020届高三数学上学期期中试题202001090119

北京市顺义牛栏山第一中学2020届高三数学上学期期中试题202001090119

北京市顺义牛栏山第一中学2020届高三数学上学期期中试题本试卷共2页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上.一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项.1.若集合2{|3}M x N x =∈<，则下列结论正确的是A.1M -∈B.2M ∈C.0M ∈2M 2. 下列函数中，值域是[0,)+∞是 A ．2xy = B.12y x-= C.sin y x = D.|1|y x =-3.1，a ，b ，c ，4成等比数列，则b =A.2±B.2C.2-D.不确定 4.若(1,1)a =r ，(3,1)b =r ，则a r 与b r的夹角为A.015B.030C.045D.0605.定义域均为R 的两个函数()f x ，()g x ，()()f x g x +为奇函数是()f x ，()g x 均为奇函数的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.两点(,3)A m ，(cos ,sin )B θθ，在m ，θ变化过程中，||AB 的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.与m 有关7.过曲线2:4E y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线与曲线E 交于A ，B ，A 在B 上方，M 为抛物线上一点，2OM OA OB λλ=+u u u u r u u u r u u u r，则=λ A.0 B.3 C.0或3 D.348.如图，平面内两条直线1l 和2l 相交于点O ，构成的四个角中的锐角为060.对于平面上任意一点M ，若,p q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”，给出下列三个命题：①（1，0）点有且仅有两个；②（2，3）点有且仅有4个；③若2p q =，则点M 的轨迹是两条过O 点的直线；④满足221p q +=的所有点(,)p q 位于一个圆周上. 其中正确命题的个数是ABCDPEA.1B.2C.3D.4二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.复数11iz i+=-的虚部为__________. 10. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22n n S n =+，则3a =_______.11.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的渐近线方程为_______.12.右图是以C 为圆心一个圆，其中弦AB 的长2 ，则AC AB ⋅u u u r u u u r=_______.13. 里氏震级M 的计算公式为:0lg lg M A A =-,其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,0A 是相应的标准地震的振幅,假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为__________级; 9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__________倍. 14. 已知1()|1|1x f x a x +=---（1x >，0a >），()f x 与x 轴交点为A ，若对于()f x 图像 上任意一点P ，在其图像上总存在另一点Q （P ，Q 异于A ），满足AP AQ ⊥，且 ||||AP AQ =，则a =________.三、解答题：（本大题共6个题，共计80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15. (13分)在△ABC 中，222a c b ac +=+． （Ⅰ）求∠B 的大小；（Ⅱ）若6a c +=，△ABC 的面积为b .16.(13分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，PA AB BC ===AC CD ⊥，60ABC ∠=°,E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明CD AE ⊥； （Ⅱ）若AB AD ⊥，（i ）求直线PC 与平面B AE 所成角的正弦值； （ii ）设平面B AE 与侧棱PD 交于F ，求PFFD.17. (13分)设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334，，a a a ++构成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列21{ln }n a +的前n 项和n T ．18.(14分)设A 为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的下顶点，椭圆长半轴的长等于椭圆的短轴长，且椭圆E 经过点. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点A 的直线与直线2y =-交于点M ，与椭圆交于B ，点B 关于原点的对称点为C ，直线AC 交直线2y =-交于点N ，求||MN 的最小值. 19. (14分)已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的公共点处且有公共切线，求m 的值； （Ⅱ）若存在实数n 使不等式()()f x g x >的解集为(0,)n ，求实数m 的取值范围.20. (13分)对于正整数集合12{,,,}n A a a a =L （n *∈N ，3n ≥），如果任意去掉其中一个元素i a （1,2,,i n =L ）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（I ）判断集合{1,2,3,4,5}和{1,3,57,9,1113}，，是否是“可分集合”（不必写过程）； （II ）求证：五个元素的集合12345{,,,,}A a a a a a =一定不是“可分集合”； （III ）若集合12{,,,}n A a a a =L （n *∈N ，3n ≥）是“可分集合” ①证明：n 为奇数； ②求集合A 中元素个数的最小值.期中考试答案一、选择题1.C2.D3.B4.A5. B6.B7.C8.C二、填空题9． 1 10. 9 11. y x =± 12. 2 13.6；410 三、解答题 15.解：（1）因为222a cb ac+-=，222cos 2a c b B ac+-=，---------------------------------------2分所以1cos 2B =，--------------------------------------------------------------------------------4分 因为00180B <<------------------------------------------------------------------------------------------5分所以60B =o -----------------------------------------------------------------------------------------------6分（2）1sin 2ac B =，---------------------------------------------------------------------------------------7分 所以8ac =，------------------------------------------------------------------------------------------------------9分 因为222a c acb +-=，即()223a c ac b +-=--------------------------------------------------------11分因为6a c +=，所以b =-------------------------------------------------------------------------------13分16.解：（1）因为PA ABCD ⊥面,CD ⊂平面ABCD所以PA CD ⊥,--------------------------------------------------------1分 因为AC CD ⊥，AC PA A =I ,所以CD PAC ⊥面,-----------------------------------------------------3分 因为AE ⊂平面PAC所以CD AE ⊥ --------------------------------------------------------4分 （2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系如图：则()B,)C,32E ⎝,所以32AE =⎝u u u r()AB =u u ur ----------------------------------------5分设面ABE 的法向量为()000,,n x y z =r00AB n AE n ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩u u u r ru u ur r，所以(0,n =-r ----------------------------------------------7分(P,PC =-u u u r ，设直线PC 与面ABE 所成角为θ，sin cos ,7PC n PC n PC nθ•===u u u r ru u u r r u u u r r ， 直线PC 与平面AEF 所成角的正弦值为7.---------------------------------------------------------10分()0,4,0D,(0,4,PD =-u u u r,设(),,F x y z ，(01)PF FD λλ=≤≤u u u r u u u r，-------------------------------------------------------11分((,,0,4,x y z λ-=-，04x y z λ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以()0,4F λ，所以()0,4AF λ=u u u r-------------------------------------------------12分0AF n •=u u u r r ，所以37λ=,所以34PF FD = --------------------------------------------------------------13分 17.解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，-------------------------------------------2分解得22a =．---------------------------------------------------------------------------------4分设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a q q==，． 又37S =，可知2227q q++=， 即22520q q -+=，------------------------------------------------------------------------------6分解得12122q q ==，． 由题意得12q q >∴=，．------------------------------------------------------------------------7分11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．--------------------------------------------------------------8分（2）因为221ln ln 22ln 2n n n b a n +===----------------------------------------------------------10分T 1+2++n)2ln 2n =⋅L （------------------------------------------------------------------------------11分 所以{}n 是以1为首项，1为公差的等差数列-------------------------------------------12分 所以T n =(1)2ln 22n n +=⋅(1)ln 2n n =+------------------------------------------------------13分18.解：（1）因为2a b =，222a b c=+，所以222214x y b b+=，---------------------------------2分代入1,2⎛⎝⎭，21b =， 所以2214x y +=.--------------------------------------------------------------------------------------------------3分 （2）由题意可知直线的斜率存在----------------------------------------------------------------------------4分 直线AB的方程为1y kx =-，---------------------------------------------------------------------------------5分12y kx y =-⎧⎨=-⎩，1x k=-，所以1,2M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，----------------------------------------------------------------6分22114y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()221480k xkx +-=，-----------------------------------------------------7分2814B kx k=+，224114B k y k =-+， 所以222841,1414k k B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭-------------------------------------------------------------------------------------8分 所以222814,1414k k C k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭----------------------------------------------------------------------------------9分直线AC 的斜率2221411148414ACk k k k k k -++==--+，-----------------------------------------------------------10分 直线AC 的方程为14xy k=--，当2y =-时，4x k =，所以()4,2N k ------------------11分14MN k k=+---------------------------------------------------------------------------------------------------12分 不妨设0k >，144MN k k =+≥=，当且仅当14k k=即2k =时等号成立所以||MN 的最小值为4.---------------------------------------------------------------------------------------14分19. 解：（1）()28f x x x =-+，()'28f x x =-+，()6ln g x x m =+，()'6g x x=--------2分 设交点坐标为()00,x y ，所以00628x x -+=解得03x =或01x =--------------------3分 当01x =时，0y m =且07y =所以7m =---------------------------------------4分 当03x =，015y =所以6ln315m +=，所以156ln3m =-----------------------5分 （2）()()()()286ln 0h x f x g x x x x m x =-=-+-->，-----------------------6分()()()'223628x x h x x x x-+-=-+-=----------------------------------------7分 令'()0h x =，得1x =或3极小值()17h m =-，极大值()3156ln3h m =------------------------------9分 存在实数n 使不等式()()f x g x >的解集为(0,)n 的必要条件为：所以()10h >或()30h <，解得7m <或156ln3m >-----------------------------11分 当7m <时,令04x =>，则0()0h x <所以在(3,)+∞存在唯一的零点----------------------------------------------12分 当156ln31m >->时， 601m e-<<当01x <<时，28(8)0x x x x -+=->， 所以6()0m h e->，所以在6(,1)m e-存在唯一的零点，---------------------------------------------13分综上所述存在实数n 使不等式()()f x g x >的解集为(0,)n 的m 取值范围为(,7)(156ln3,)-∞⋃-+∞. -----------------------------14分 20. 解：（1）集合{1,2,3,4,5}不是“可分集合”，集合{1,3,57,9,1113}，， 是可分集合………………………….3分 （2）不妨设12345a a a a a <<<<，将集合1345{,,,}a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有1534a a a a +=+ ①，或者5134a a a a =++ ②；将集合2345{,,,}a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有2534a a a a +=+ ③，或者5234a a a a =++ ④.由①、③，得12a a =，矛盾；由①、④，得12a a =-，矛盾； 由②、③，得12a a =-，矛盾；由②、④，得12a a =，矛盾.因此当5n =时，集合A 一定不是“和谐集”. -------------------------8分 （III ）①设集合12{,,,}n A a a a L =所有元素之和为M .由题可知，i M a -（1,2,,i n =L ）均为偶数，因此i a （1,2,,i n =L ）的奇偶性相同. 如果M 为奇数，则i a （1,2,,i n =L ）也均为奇数，由于12n M a a a =+++L ，所以n 为奇数.如果M 为偶数，则i a （1,2,,i n =L ）均为偶数，此时设2i i a b =，则12{,,,}n b b b L 也是“可分集合”. 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”. 此时各项之和也为奇数，集合A 中元素个数为奇数. 综上所述，集合A 中元素个数为奇数. ② 当3n =时，显然任意集合123{,,}a a a 不是“可分集合”.当5n =时，第（II ）问已经证明集合12345{,,,,}A a a a a a =不是“可分集合” 当7n =时，易验证集合{1,3,5,7,9,11,13}A =是“可分集合”.所以集合A 中元素个数n 的最小值是7. ----------------------------------14分。

2024-2025学年北京市顺义区第一中学高三上学期期中考试数学试题(含答案)

2024-2025学年北京市顺义区第一中学高三上学期期中考试数学试题(含答案)

2024-2025学年北京市顺义区第一中学高三上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A ={x |x−1>0}，集合B ={x |0<x ≤3}，则A ∪B =( )A. (1,3)B. (1,3]C. (0,+∞)D. (1,+∞)2.若复数z 满足(1+i )⋅z =2i ，则z 的共轭复数z =( )A. 1−iB. 1+iC. −iD. −1+i3.如图所示，直线l 1,l 2,l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3，则下列结论正确的是( )A. k 1>k 2>k 3 B. k 3>k 1>k 2C. k 2>k 1>k 3D. k 2<k 3<k 14.已知角α的终边经过点(−3,4)，则cos(π+α)=( )A. −45B. −35C. 35D. 455.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )A. y =x 3B. y =cos xC. y =2|x|D. y =ln 1x 26.在▵ABC 中，若a =7，b =8，cos B =17，则∠A 的大小为( )A. π6B. π3C. 5π6D. π3或2π37.设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|AB−AC |”的( )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若AB =30m ，BC =AD =10m ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为145，则该五面体的所有棱长之和为( )A. 100 mB. 112 mC. 117 mD. 132 m9.函数f (x )=sin 2x 图象上存在两点P (s,t )，Q (r,t )(t >0)满足r−s =π6，则下列结论成立的是( )A. f(s+π6)=12B. f(s+π6)=32C. f(s−π6)=−12D. f(s−π6)=−3210.已知函数f(x)={x2−ax+2,x≥a|x+a|,x<a，若对于任意正数k，关于x的方程f(x)=k都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 无数二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

2022-2023学年北京市牛栏山第一中学高一上学期10月月考数学试卷带讲解

2022-2023学年北京市牛栏山第一中学高一上学期10月月考数学试卷带讲解
所以 ，则 ，
又因为角 的终边绕原点 顺时针旋转 得到角 的终边，故 ，
所以 ，
故 .
故答案为： .
14.写出一个满足函数 在 上单调递增的 值_____________.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】分段讨论函数的单调性，画出 ， 的图象，结合函数图象即可得到参数 的取值范围，即可得解.
【详解】对于②，因为 ，
所以，当 时， ；当 时， ，
不妨设点 、 的横坐标分别为 ，且 ，
若 时，直线 、 的斜率分别为 、 ，此时 ，不合乎题意；
若 时，则直线 、 的斜率分别为 、 ，此时 ，不合乎题意.
若 ，则直线 、 的斜率分别为 ， ，由题意可得 ，可得 ，合乎题意，故②正确；
易知点 、 ，
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的包含关系即可求解.
【详解】解：因为 ，且 ，
则 或 .
故 或 .
故选：D.
2.如果 ，那么下列不等式成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用特殊值判断A，根据不等式的性质判断B、C、D；
【详解】解：对于A：若 ， ，满足 ，但是 ，故A错误；
4.设 ，则“ ”是“ ”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【详解】由 ，可知 ．
“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用三角函数的性质是解决本题的关键，比较基础．

2023-2024学年北京顺义区一中高三(上)期中数学试题和答案

2023-2024学年北京顺义区一中高三(上)期中数学试题和答案

2023北京顺义一中高三（上）期中数 学一、单选题（本大题共10小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．已知集合M＝{x|x+2≥0}，N＝{x|x﹣1＜0}．则M∩N＝（ ）A．{x|﹣2≤x＜1}B．{x|﹣2＜x≤1}C．{x|x≥﹣2}D．{x|x＜1}2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数＝（ ）A．B．1﹣i C．D．3．已知圆C的圆心坐标为（﹣3，2），且点（﹣1，1）在圆C上，则圆C的方程为（ ）A．x2+y2+6x﹣4y+8＝0B．x2+y2+6x﹣4y﹣8＝0C．x2+y2+6x+4y＝0D．x2+y2+6x﹣4y＝04．已知平面向量＝（﹣1，2），，＝（t，t），若（），则t＝（ ）A．B．C．D．5．记S n为数列{a n}的前n项和，设甲：{a n}为等差数列；乙：{}为等差数列，则（ ）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6．金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．某金字塔的侧面积之和等于底面积的2倍，则该金字塔侧面三角形与底面正方形所成角的正切值为（ ）A．1B．C．D．7．过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝（ ）A．1B．C．D．8．已知函数，则（ ）A．f（x）在单调递增，且图象关于直线对称B．f（x）在单调递增，且图象关于直线对称C．f（x）在单调递减，且图象关于直线对称D．f（x）在单调递减，且图象关于直线对称9．若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（ ）A．bc＞0B．ab＞0C．b2+8ac＞0D．ac＜010．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是该正方体对角线BD1上的动点，给出下列四个结论：①AC⊥B1P；②△APC面积的最小值是；③只存在唯一的点P，使BD1⊥平面APC；④当时，平面ACP∥平面A1C1D．其中正确结论的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共5小题，共25分）11．（5分）已知函数f（x）＝3x+log3x，则＝ ．12．（5分）已知直线l1：x+2y﹣1＝0，l2：2x+ay﹣1＝0，若l1∥l2，则a的值是 ．13．（5分）已知命题p：若α，β为第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ．能说明命题p为假命题的一组β的值可以是α＝ ，β＝ ．14．（5分）数列{a n}共9项，该数列的前3项成等比数列，后7项成等差数列，且a1＝1，a5＝10，a9＝22，则a7＝ ，数列{a n}的所有项的和为 ．15．（5分）已知曲线C的方程为：x2+y2＝2|x|+2|y|（x，y∈R）有下列四种描述（1）曲线C关于y＝x对称；（2）曲线C的面积大于16；（3）曲线C与圆x2+y2＝5有四个公共点；（4）若A，B为曲线C与x轴的交点，P为曲线C上的点，则△ABP的面积最大为；则其中所有正确结论的序号题 ．三、解答题（本大题共6小题，共85分。

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2015-2016学年北京市顺义区牛栏山一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（每题5分，共40分）在每小题的4个选项中，只有1项是符合题目要求的. 1．设集合I=R，集合M={x|x＜1}，N={x|﹣1＜x＜2}，则集合{x|﹣1＜x＜1}等于( ) A．M∪N B．M∩N C．（∁I M）∪N D．（∁I M）∩N2．若f（x）=x2+a（a为常数），，则a的值为( )A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．13．函数的定义域为( )A．上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间上是( )A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最大值是﹣5 D．减函数且最小值是﹣55．已知a=40.4，b=80.2，，则( )A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．已知幂函数f（x）=xα（α∈Z），具有如下性质：f2（1）+f2（﹣1）=2，则f（x）是( ) A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数7．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为( )A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．28．已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是( )A．（1，10）B．（5，6） C．（10，12）D．二、填空题：（每题5分，共30分）9．写出满足条件{1，3}∪A={1，3，5}的集合A的所有可能情况是__________．10．函数y=1﹣2x（x∈）的值域为__________．11．如果奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，则使f（x﹣1）＜0的x的取值范围是__________．12．若函数y=2﹣x+m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是__________．13．函数y=log2（x2﹣3x﹣4）的单调增区间是__________．14．定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（﹣3）=__________．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求∁R（A∪B），∁R（A∩B），（∁R A）∩B，A∪（∁R B）16．（14分）计算下列各题：（2）2lg lg49．17．（13分）已知函数f（x）=是奇函数，且f（2）=．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并用定义加以证明．18．（14分）某企业打算购买工作服和手套，市场价为每套工作服53元，每副手套3元，该企业联系了两家商店A和B，由于用货量大，这两家商店都给出了优惠条件：商店A：买一赠一，买一套工作服，赠一副手套；商店B：打折，按总价的95%收款．该企业需要工作服75套，手套x副（x≥75），如果工作服与手套只能在一家购买，请你帮助老板选择在哪一家商店购买更省钱？19．（13分）设函数f（x）=log2（a x﹣b x），且f（1）=1，f（2）=log212．（1）求a，b的值；（2）当x∈时，求f（x）最大值．20．（14分）已知定义域为R的函数是奇函数（1）求a值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围；（4）设关于x的函数F（x）=f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）有零点，求实数b的取值范围．2015-2016学年北京市顺义区牛栏山一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（每题5分，共40分）在每小题的4个选项中，只有1项是符合题目要求的. 1．设集合I=R，集合M={x|x＜1}，N={x|﹣1＜x＜2}，则集合{x|﹣1＜x＜1}等于( ) A．M∪N B．M∩N C．（∁I M）∪N D．（∁I M）∩N【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】由M与N，求出两集合的交集、并集，M补集与N的并集，M补集与N的交集即可．【解答】解：∵I=R，M={x|x＜1}，N={x|﹣1＜x＜2}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜1}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若f（x）=x2+a（a为常数），，则a的值为( )A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【考点】函数的零点．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用f（x）=x2+a（a为常数），，代入计算，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=x2+a（a为常数），，∴2+a=3，∴a=1．故选：D．【点评】本题考查函数值的计算，考查学生的计算能力，比较基础．3．函数的定义域为( )A．上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间上是( )A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最大值是﹣5 D．减函数且最小值是﹣5【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据奇函数的图象关于原点对称，故它在对称区间上的单调性不变，结合题意从而得出结论．【解答】解：由于奇函数的图象关于原点对称，故它在对称区间上的单调性不变．如果奇函数f（x）在区间上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间上必是增函数且最小值为﹣5，故选A．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，奇函数的图象和性质，属于中档题．5．已知a=40.4，b=80.2，，则( )A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．a＞c＞b D．a＞b＞c【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】把3个数化为底数相同，利用指数函数的单调性判断大小即可．【解答】解：a=40.4=20.8，b=80.2=20.6=20.5，因为y=2x是增函数，所以a＞b＞c．故选：D．【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，考查计算能力．6．已知幂函数f（x）=xα（α∈Z），具有如下性质：f2（1）+f2（﹣1）=2，则f（x）是( ) A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数【考点】函数的零点．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】欲正确作答，取常量n=2，验证可得结论．【解答】解：幂函数f（x）=xα（α∈Z）中，若有f2（1）+f2（﹣1）=2，则可取常量n=2，所以，函数为f（x）=x2，此函数的图象是开口向上，并以y轴为对称轴的二次函数，即定义域为R，关于原点对称，且f（﹣x）=（﹣x）2=x2=f（x），所以为偶函数．故选：B．【点评】本题考查幂函数，函数的奇偶性，考查学生的计算能力，比较基础．7．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为( )A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数的性质和对数的运算法则求解．【解答】解：∵f（x）=，∴f（3）=f（2）﹣f（1）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0）=﹣log24=﹣2．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．8．已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是( )A．（1，10）B．（5， 6）C．（10，12）D．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数的图像与性质．【专题】作图题；压轴题；数形结合．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选C．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．二、填空题：（每题5分，共30分）9．写出满足条件{1，3}∪A={1，3，5}的集合A的所有可能情况是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】利用已知条件，直接写出结果即可．【解答】解：{1，3}∪A={1，3，5}，可得A中必须含有5这个元素，也可以含有1，3中的数值，满足条件{1，3}∪A={1，3，5}的集合A的所有可能情况是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．故答案为：{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．【点评】本题考查集合的并集的元素，基本知识的考查．10．函数y=1﹣2x（x∈）的值域为．【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数的单调性，直接求解函数值域即可．【解答】解：因为函数y=1﹣2x是减函数．所以x∈时，可得函数的最大值为：﹣3，最小值为：﹣7，函数的值域．故答案为：．【点评】本题考查函数的单调性的应用，函数的值域的求法，是基础题．11．如果奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，则使f（x﹣1）＜0的x的取值范围是（﹣∞，0）∪（1，2）．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；数形结合．【分析】由题意，可先研究出奇函数y=f（x）（x≠0）的图象的情况，解出其函数值为负的自变量的取值范围来，再解f（x﹣1）＜0得到答案【解答】解：由题意x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，可得x＞1时，函数值为正，0＜x＜1时，函数值为负又奇函数y=f（x）（x≠0），由奇函数的性质知，当x＜﹣1时，函数值为负，当﹣1＜x＜0时函数值为正综上，当x＜﹣1时0＜x＜1时，函数值为负∵f（x﹣1）＜0∴x﹣1＜﹣1或0＜x﹣1＜1，即x＜0，或1＜x＜2故答案为（﹣∞，0）∪（1，2）【点评】本题考查利用奇函数图象的对称性解不等式，解题的关键是先研究奇函数y=f（x）函数值为负的自变量的取值范围，再解f（x﹣1）＜0的x的取值范围，函数的奇函数的对称性是高考的热点，属于必考内容，如本题这样的题型也是高考试卷上常客12．若函数y=2﹣x+m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【考点】指数函数的图像变换．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数y=2﹣x+m的图象经过定点（0，1+m），且函数y在R上单调递减，可得1+m≤0，求得m的范围．【解答】解：∵函数y=2﹣x+m的图象不经过第一象限，而函数y=2﹣x+m的图象经过定点（0，1+m），且函数y在R上单调递减，则1+m≤0，求得m≤﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1]．【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．13．函数y=log2（x2﹣3x﹣4）的单调增区间是（4，+∞）．【考点】复合函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】令t=x2﹣3x﹣4＞0，求得函数的定义域，根据y=log2t，本题即求二次函数t的增区间，再利用二次函数的性质可得函数t的增区间．【解答】解：令t=x2﹣3x﹣4＞0，求得x＜﹣1，或x＞4，故函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），且y=log2t，故本题即求二次函数t的增区间．再利用二次函数的性质可得函数t的增区间为（4，+∞），故答案为：（4，+∞）．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．14．定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（﹣3）=6．【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题．【分析】本题是抽象函数及其应用类问题．在解答时，首先要分析条件当中的特殊函数值，然后结合条件所给的抽象表达式充分利用特值得思想进行分析转化，例如结合表达式的特点1=0+1等，进而问题即可获得解答．【解答】解：由题意可知：f（1）=f（0+1）=f（0）+f（1）+2×0×1=f（0）+f（1），∴f（0）=0．f（0）=f（﹣1+1）=f（﹣1）+f（1）+2×（﹣1）×1=f（﹣1）+f（1）﹣2，∴f（﹣1）=0．f（﹣1）=f（﹣2+1）=f（﹣2）+f（1）+2×（﹣2）×1=f（﹣2）+f（1）﹣4，∴f（﹣2）=2．f（﹣2）=f（﹣3+1）=f（﹣3）+f（1）+2×（﹣3）×1=f（﹣3）+f（1）﹣6，∴f（﹣3）=6．故答案为：6．【点评】本题是抽象函数及其应用类问题．在解答的过程当中充分体现了抽象性、特值的思想以及问题转化的能力．值得同学们体会和反思．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，求∁R（A∪B），∁R（A∩B），（∁R A）∩B，A∪（∁R B）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．【分析】利用集合的交、并、补集的混合运算和不等式的性质求解．【解答】解：∵集合A={x丨3≤x＜7}，B={x丨2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜10}，A∩B={x|3≤x＜7}，∁R A={x|x＜3或x≥7}，∴∁R（A∪B）={x|x≤2或x≥10}，∁R（A∩B）={x|x＜3或x≥7}，（∁R A）∩B={x|2＜x≤3或7≤x＜10}．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．16．（14分）计算下列各题：（2）2lg lg49．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．（2）利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：（1）=0.4﹣1﹣1+﹣4+2﹣3+0.1=﹣1++=…（2）2lg lg49=2lg5﹣2lg3﹣lg7+2lg2+2lg3+lg7=2lg5+2lg2=2 …（14分）【点评】本题考查对数与已经在什么的运算法则的应用，考查计算能力．17．（13分）已知函数f（x）=是奇函数，且f（2）=．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并用定义加以证明．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质和条件建立方程关系即可求实数a，b的值；（2）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴=﹣，因此b=﹣b，即b=0．又f（2）=，∴=，∴a=2；（2）由（1）知f（x）==+，f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，证明：设x1＜x2≤﹣1，则f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）（1﹣）=（x1﹣x2）•．∵x1＜x2≤﹣1，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞1．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明，根据相应的定义是解决本题的关键．18．（14分）某企业打算购买工作服和手套，市场价为每套工作服53元，每副手套3元，该企业联系了两家商店A和B，由于用货量大，这两家商店都给出了优惠条件：商店A：买一赠一，买一套工作服，赠一副手套；商店B：打折，按总价的95%收款．该企业需要工作服75套，手套x副（x≥75），如果工作服与手套只能在一家购买，请你帮助老板选择在哪一家商店购买更省钱？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】分别计算按商店A和B优惠付款数，作差比较，即可得出结论．【解答】解：设按商店A和B优惠付款数分别为f（x）和g（x）商店A：f（x）=75×53+（x﹣75）×3=3x+3750（x≥75）…商店B：g（x）=（75×53+3x）×95%=2.85x+3776.25（x≥75）…令f（x）=g（x），解得x=175选择A与B是一样的…令y=f（x）﹣g（x）=0.15x﹣26.25，当75≤x＜175时，y＜0，选择商店A；…当x＞175时，y＞0，选择商店B；…（14分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，正确求出按商店A和B优惠付款数是关键．19．（13分）设函数f（x）=log2（a x﹣b x），且f（1）=1，f（2）=log212．（1）求a，b的值；（2）当x∈时，求f（x）最大值．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】综合题．【分析】（1）由已知f（1）=1，f（2）=log212代入到f（x）中，求得a、b的值即可；（2）利用换元法，由（1）得，令g（x）=4x﹣2x=（2x）2﹣2x，再令t=2x，则y=t2﹣t，可知函数y=（t﹣）2﹣在上是单调递增函数，从而当t=4时，取得最大值12，故x=2时，f（x）取得最大值．【解答】解：∵函数f（x）=log2（a x﹣b x），且f（1）=1，f（2）=log212∴∴∴（2）由（1）得令g（x）=4x﹣2x=（2x）2﹣2x令t=2x，则y=t2﹣t∵x∈，∴t∈，显然函数y=（t﹣）2﹣在上是单调递增函数，所以当t=4时，取得最大值12，∴x=2时，f（x）最大值为log212=2+log23【点评】本题以对数函数为载体，考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，考查函数的单调性与最值，属于基础题．20．（14分）已知定义域为R的函数是奇函数（1）求a值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围；（4）设关于x的函数F（x）=f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）有零点，求实数b的取值范围．【考点】指数函数的单调性与特殊点；奇偶性与单调性的综合．【专题】综合题．【分析】（1）根据奇函数当x=0时的函数值为0，列出方程求出a的值；（2）先判断出单调性，再利用函数单调性的定义法进行证明，即取值﹣作差﹣变形﹣判断符号﹣下结论；（3）利用函数的奇偶性将不等式转化为函数值比较大小，再由函数的单调性比较自变量的大小，列出不等式由二次函数恒成立进行求解；（4）根据函数解析式和函数零点的定义列出方程，再利用整体思想求出b的范围．【解答】解：（1）由题设，需，∴a=1，∴，经验证，f（x）为奇函数，∴a=1．（2）减函数证明：任取x1，x2∈R，x1＜x2，△x=x2﹣x1＞0，f（x2）﹣f（x1）=﹣=，∵x1＜x2 ∴0＜＜；∴﹣＜0，（1+）（1+）＞0∴f（x2）﹣f（x1）＜0∴该函数在定义域R 上是减函数．（3）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0 得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），∵f（x）是奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），由（2）知，f（x）是减函数∴原问题转化为t2﹣2t＞k﹣2t2，即3t2﹣2t﹣k＞0 对任意t∈R 恒成立，∴△=4+12k＜0，得即为所求．（4）原函数零点的问题等价于方程f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）=0由（3）知，4x﹣b=2x+1，即方程b=4x﹣2x+1有解∴4x﹣2x+1=（2x）2﹣2×2x=（2x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴当b∈[﹣1，+∞）时函数存在零点．【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性的应用，利用奇函数的定义域内有0时有f（0）=0进行求值，函数单调性的证明必须按照定义法进行证明，即取值﹣作差﹣变形﹣判断符号﹣下结论，利用二次函数的性质，以及整体思想求出恒成立问题．。

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