求导法则及求导公式

§2 求导法则

上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家：深刻理解导数概念,能准确表达其定义;明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一个函数（不管它是简单函数,还是复杂函数）,总可用定义求其导数（只要极限存在）.但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数的导数计算（用定义求导）都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象.

因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数：

x x x f cos sin )(1+= x x g 2sin )(1= x x x f cos sin )(2⋅= )sin()(2ax x g = x

x

x f a log cos )(3=

x x g arcsin )(3=

x c x f sin )(4= x x g arccos )(4=

一、导数的四则运算

问题1 设x x x f cos sin )(±=,求)('x f .

分析 利用导数的定义及极限的四则运算知,)'(cos )'(sin sin cos )('x x x x x f ±== .即

)'(cos )'(sin )'cos (sin x x x x ±=±

一般地,有如下和的导法则：

定理1（和的导数） 设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则 )()(])()([x g x f x g x f '±'='± （求导是线性运算）

证明 令 )()()(x g x f x y +=

。时当0)()()()()()()]()([)]()([→∆'+'→∆-∆++

∆-∆+=∆+-∆++∆+=∆∆x x g x f x

x g x x g x x f x x f x

x g x f x x g x x f x y

问题2 设x

a x x f ⋅=sin )(,则a a x a x x f x

x

ln cos )'()'(sin )('⋅⋅=⋅=对吗？

分析 一般地,有如下乘积的求导法则： 定理2（积的导数）设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则

)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '⋅+⋅'='⋅（它导它不导,它不导它导,然后加起来）

证明 令 )()()(x g x f x y ⋅=

。时当分子0)()()()()

()()

()()()())()()()(()()()()(→∆'⋅+⋅'→∆-∆++∆+⋅∆-∆+=

∆+⋅+∆+⋅-∆⋅-∆+⋅∆+=∆∆x x g x f x g x f x

x g x x g x f x x g x x f x x f x x g x f x x g x f x

x g x f x x g x x f x y 推论1

)(')()()()(')()()()(')())'()()((0000000000x w x v x u x w x v x u x w x v x u x x w x v x u ++=.

推论2 若函数)(x v 在0x 知可导,C 为常数,则)('))'(cos(00x v C x x x ⋅==.

问题3 设x

a x f a x

log )(=,求)('x f .

一般地,存如下商的运算法则：

定理3（商的导数） 设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则

)()

()()()()()(2x g x g x f x g x f x g x f '⋅-⋅'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡.

证明 令

)(1

)(x g x y =

。

时当0)()()()(1)()()(1)(112→∆'-→∆+⋅

∆-∆+-=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-

∆+⋅∆=∆∆x x g x g x g x x g x x g x x g x g x x g x x y )(1

)()

()(x g x f x g x f ⋅

= 给出（3）. 推论 (1) )(])([x f c x f c '='. (2) ∑∑=='='⎥⎦⎤

⎢⎣⎡n

i i n i i x f x f 11)()(.

(3)

)

()()()(,)()(111x f x f x f x K x K x f n k k n

k k n j i '=='⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∑∏==.

∆.利用导数的四则运算法则举例.

例1 π+-+=x x x x f 95)(2

3

,求)('x f ,)0('f . 例2 x x y ln cos =,求π

=x y '

. 例3 证明：1)'(----=n n

nx x

,+∈N n .

例4 证明：x x 2

sec )'(tan =,x x 2

csc )'(cot =.

例5 证明：x x x tan sec )'(sec =,x x x cot csc )'(csc -=.

∆.利用导数的四则运算法则求导数举例：

1． x x x f sin )(2

+=; 2． x x x x f cos sin )(3

+-=; 3． 2

2)(x x f =; 4． x x x f cos )(2

=; 5．x x x x f 7sin )(+=; 6．x x x x x f cos )(3

2

++=; 7．x tgx x x x x f +

⋅=ln sin )(2

; 8．x

tgx

x x f 3sin 5)(+=; 9．x x tgx

x

e y x ln 1sin 2++=

. 二、反函数的导数

问题1 设x x f arcsin )(=,求)('x f .

定理4 设)(y x ϕ=在区间),(d c 上连续,严格上升,在

),(0d c y ∈点可导,且

0)(0≠'y ϕ, )(00y x ϕ=.则反函数)(x f y =在0x 点可导,且

)]([1

)(1)(000x f y x f ϕϕ'=

'=

'.

注 若)(y x ϕ=在),(d c 可导,导数)0(0<>或,则反函数)(x f y =存在,且

)()(1

)]([1)(1)(x f y y x f y x f ='=

'='=

'ϕϕϕ .

这里导数)0(0<>或可推出)(y ϕ严格上升（下降）,反函数之导数公式也可写成