椭圆及其标准方程PPT教学课件
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《椭圆及其标准方程》课件
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《椭圆及其标准方 程》ppt课件
目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。
椭圆及其标准方程ppt课件
F2
根据椭圆定义，设|MF1|+|MF2|=2a
2
2
+ 2
=1
2
2
−
你可以在图中找出表示a，c，b的线段吗？
2 2
+ 2=1
2
M
F1
O
F2
二、椭圆的标准方程
椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，椭圆上任意一点M都满
足|MF1|+|MF2|=2a，则椭圆的标准方程为
M
2 2
LET’S START
椭圆是生活中的一种常见图形
椭圆是生活中的一种常见图形
椭圆是生活中的一种常见图形
具有何种几何特征才是椭圆呢？
具有何种几何特征才是椭圆呢？
b
1
a
一、椭圆的定义
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大
于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，
椭圆：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等
于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
|PF1|+|PF2|=2aLeabharlann > 2c椭圆的标准方程：
焦点在x轴：
其中，a>b>0，且a2=b2+c2
焦点在y轴：
怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？
M
设M(x,y)，焦距|F1F2|=2c (c>0) 则F1(-c,0)，F2(c,0)
根据椭圆定义，设|MF1|+|MF2|=2a
2 − = ( − )2 + 2
F1
O
F2
怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？
3.1.1椭圆及其标准方程课件(人教版)
由椭圆的定义可知，2a 2c，即 a c，
所以：a2 c2 0
令 a2 c2 b2， 其中 b 0， 代入上式，得 b2x2 a2 y2 a2b2 x2 y2
两边同除以 a2b2，得 a2 b2 1 (a b 0).
这个方程叫做椭圆的标准方程，它表示的椭圆的 焦点在x轴上，焦点是F1（-c，0）、F2（c，0）. 这里 c2 = a2 - b2．
10 6
例、已知B、C是两个定点，|BC|=6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。
y A
BO C x
解：如图，建立坐标系，使x轴经过点B、C， 原点O与BC的中点重合。 由已知 | AB | | AC | | BC | 16， | BC | 6，有
| AB | | AC | 10，即点A的轨迹是椭圆，且 2c 6，2a 16 6 10，
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
（4）化简方程 将这个方程移项后两边平方，得：
(x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
整理，得： a2 cx a (x c)2 y2
上式两边再平方，得： a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2 整理，得： (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 )
设|F1F2|=2c（c＞0），M（x，y）为椭圆上任
意一点，则有F1（- c，0），F2（c，0）． y M（x，y）
cc
F1 OF2xFra bibliotek（2）写点集 由定义不难得出椭圆集合为： P = { M | |MF1| + |MF2| = 2a ｝． （3）列方程
| MF1 | (x c)2 y2， | MF2 | (x c)2 y2，
椭圆的定义和标准方程PPT课件
2
2
y x 1 9 4
2
2
设F1、 F2为椭圆 P为椭圆上一点，与
x2 y2 1 的焦点， 25 9
构成一个
F1、 F2
PF 1F 2
的周长？
三角形，求
解：
Y
P
周长 PF F F PF PF 1F 2 1 1 2 2
PF1 PF2 F1F2
x y 25 9
| F1F2|=2c
(c>0)
a -2a cx+c x =a x -2a cx+a c +a y
(a 2 -c2 )x 2 +a 2 y2 =a 2 (a 2 -c2 )
b2 a 2 c 2
(b>0)
常数 =2a a>c
(a>0)
b2 x 2 +a 2 y2 =a 2b2
焦点在X轴的椭圆的标准方程：
|MF1|+|MF2|= 2a
(a>0)
|MF1|+|MF2|= 2a
(a>0)
(x+c) 2 +y 2 + (x-c) 2 +y 2 =2a
x 2 +(y+c) 2 + x 2 +(y-c) 2 =2a
(a 2 -c 2 )x 2 +a 2 y 2 =a 2 (a 2 -c 2 ) b a -c (b 0)
1
c 1
1
2c 2
2
F (1,0), F (1,0) 焦点为： F (0, 2 焦点为： 焦距为： 焦距 4 2 2 为：
2c 4 2
2), F2 (0,2 2)
椭圆及其标准方程精选教学PPT课件
将 A，B 坐标代入得m＋34n＝1，
解得m＝14， n＝1，
故所求椭圆方程为x42＋y2＝1.
[例 2] 如图所示，已知椭圆的方程 为x42＋y32＝1，若点 P 在椭圆上，F1，F2
为椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120°，
求△ PF1F2 的面积． [思路点拨] 因为∠PF1F2＝120°，|F1F2|＝2c，所以要
＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝16.
答案：B
6．点 P 在椭圆x42＋y2＝1 上，且 PF1⊥PF2，求 S△ PF1F2. 解：∵点 P 在椭圆上∴|PF1|＋|PF2|＝4， 即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝16， 又 PF1⊥PF2∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝12， ∴|PF1||PF2|＝2，
5．椭圆1x62＋y72＝1 的左，右焦点分别为 F1，F2，一直线过
F1 交椭圆于 A，B 两点，则△ ABF2 的周长为 ( )
A．32
B．16
C．8
D．4
解析：∵a2＝16，a＝4，而由椭圆定义|AF1|＋|AF2|＝2a，
|BF1|＋|BF2|＝2a，
∴△ABF2周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|
＞0)， 则 a2＝16，b2＝a2－c2＝16－9＝7. ∴椭圆的标准方程为1y62 ＋x72＝1. ∴椭圆的标准方程为1y62 ＋x72＝1.
a＋b＝8， (2)a2－b2＝16
⇒aa＋＋bb＝8a，－b＝16
⇒aa＋－bb＝＝82， ⇒ab＝＝53，.
∴椭圆的标准方程为2x52＋y92＝1，或2y52 ＋x92＝1. (3)法一：①当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 xa22＋by22＝1(a＞b＞0)．
解得m＝14， n＝1，
故所求椭圆方程为x42＋y2＝1.
[例 2] 如图所示，已知椭圆的方程 为x42＋y32＝1，若点 P 在椭圆上，F1，F2
为椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120°，
求△ PF1F2 的面积． [思路点拨] 因为∠PF1F2＝120°，|F1F2|＝2c，所以要
＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝16.
答案：B
6．点 P 在椭圆x42＋y2＝1 上，且 PF1⊥PF2，求 S△ PF1F2. 解：∵点 P 在椭圆上∴|PF1|＋|PF2|＝4， 即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝16， 又 PF1⊥PF2∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝12， ∴|PF1||PF2|＝2，
5．椭圆1x62＋y72＝1 的左，右焦点分别为 F1，F2，一直线过
F1 交椭圆于 A，B 两点，则△ ABF2 的周长为 ( )
A．32
B．16
C．8
D．4
解析：∵a2＝16，a＝4，而由椭圆定义|AF1|＋|AF2|＝2a，
|BF1|＋|BF2|＝2a，
∴△ABF2周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|
＞0)， 则 a2＝16，b2＝a2－c2＝16－9＝7. ∴椭圆的标准方程为1y62 ＋x72＝1. ∴椭圆的标准方程为1y62 ＋x72＝1.
a＋b＝8， (2)a2－b2＝16
⇒aa＋＋bb＝8a，－b＝16
⇒aa＋－bb＝＝82， ⇒ab＝＝53，.
∴椭圆的标准方程为2x52＋y92＝1，或2y52 ＋x92＝1. (3)法一：①当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 xa22＋by22＝1(a＞b＞0)．
椭圆及其标准方程ppt课件
c表示).
M
C
F1
F2
情景二：
M
问题1：当, 的大小变化时，得到的图像是什么？
（1） 必须在平面内;
（2）两个定点---两点间距离确定;
（3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.
注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方：
C
F1
F2
问题2
(1)已知A(−3,0), B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是
1 = 2 = ， = 2 − 2 ，
令b= = 2 − 2 ，
2
那么方程 2
2
2
+
2
2
+
2
2 − 2
=1
=1 >>0 .
1
2
概念3：
y
2
2
+
2
2
= 1 > > 0 叫做椭圆的标准方程.
M
它表示焦点在x轴上，
焦点坐标：1 (−, 0)，2 (, 0)
(3)若|1| + |2| < |12|, 点轨迹不存在.
2.求椭圆的标准方程
情景三：
问题3：回忆下圆的方程：我们是如何求圆轨迹方程的？
（1）建系
（2）设点
（3）限制条件
（4）代换
（5）化简
求轨迹方程的流程---------建设现代化
类比这个方法，我们开始求取椭圆的标
准方程
追问1：我们该如何建系？
整理，得 2 − 2 2 + 2 2 = 2 2 − 2 . ④
2
2
将方程④两边同除以 −
M
C
F1
F2
情景二：
M
问题1：当, 的大小变化时，得到的图像是什么？
（1） 必须在平面内;
（2）两个定点---两点间距离确定;
（3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.
注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方：
C
F1
F2
问题2
(1)已知A(−3,0), B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是
1 = 2 = ， = 2 − 2 ，
令b= = 2 − 2 ，
2
那么方程 2
2
2
+
2
2
+
2
2 − 2
=1
=1 >>0 .
1
2
概念3：
y
2
2
+
2
2
= 1 > > 0 叫做椭圆的标准方程.
M
它表示焦点在x轴上，
焦点坐标：1 (−, 0)，2 (, 0)
(3)若|1| + |2| < |12|, 点轨迹不存在.
2.求椭圆的标准方程
情景三：
问题3：回忆下圆的方程：我们是如何求圆轨迹方程的？
（1）建系
（2）设点
（3）限制条件
（4）代换
（5）化简
求轨迹方程的流程---------建设现代化
类比这个方法，我们开始求取椭圆的标
准方程
追问1：我们该如何建系？
整理，得 2 − 2 2 + 2 2 = 2 2 − 2 . ④
2
2
将方程④两边同除以 −
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
椭圆的定义和标准方程 公开课PPT课件
焦点在y轴：
y2 a2
+
x2 b2
=1(a
> b > 0)
y
F2
方程特征：
o
（1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1； F1
（2）在椭圆两种标准方程中，总有a2=b2+c2, a>b>0, a>c>0；
（3）焦点在大分母变量所对应的那个轴上；
M
F2 x
M
x
椭圆曲线的应用
例题1.
已知椭圆的方程为： x2 + y2
可得 | BF1 |=| BF2 |= a,| OF1 |=| OF2 |= c,
令b =| BO |= a2-c2
那么①式
| BO |= a2 -c2
x2 a2
+ y2 b2
= 1(a>b>0)
椭圆方程的推导
椭圆的标准方程:
焦点在x轴：
( ) x2 y2
a2 + b2 =1 a >b > 0
y
F1 o
设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，
由椭圆的定义得
MF1 + MF2 = 2a
代入坐标 MF1 = (x +c)2 + y2 , MF2 = (x - c)2 + y2
得 (x +c)2 + y2 + (x - c)2 + y2 = 2a
移项得
椭表示圆你a，能方c在，程图b的中的线找段推？导
(x +c)2 + y2 =2a- (x - c)2 + y2
椭圆的定义和标准方程
北师大版选修2-1 第三章第一节
课件椭圆及其标准方程_人教版高中数学选修PPT课件_优秀版
思 考 为什么要求 2a2c?
当绳长等于两定点间
距离即2a=2c 时,
M
轨迹为线段；
F1
F2
当绳长小于两定点
间距离即2a<2c时，
轨迹不存在。
F1
F2
例1：命题甲：动点P到两定点A，B的距离之 和|PA|＋|PB|恒等于一个常数；命题乙：点P 的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
y (x5); AM x5
k 同理，直线BM的斜率
y (x5); BM x5
由已知有 y y 4(x5)
x5 x5 9
化简，得点M的轨迹方程为
x2
y2 1( x 5).
25 100
9 椭圆
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1,1)
D．(－1,0)∪(0,1)
D
例3已：知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P 5 ， 3 ，求它的标准方程.
2 2
y
解：因为椭圆的焦点在 x轴上，设
x2 a2
by22
1(ab0)
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
MFMFa， 为什么要求
已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P
那么，如何求椭圆1的方程呢？ 2
y M ，求它的标准方程.
又设M与F1， F2的距离的和等于2a
a b c， 2 2 又因为 ， 所以
那么，如何求椭圆的方程呢？
2
（1）距离的和2a 大于焦距2c ，即2a>2c>0.
椭圆及其标准方程ppt课件
PF1 PF2 2a , F1 F2 2c，求动点 P 的轨迹方程.
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
椭圆及其标准方程ppt课件
令b=POI=√a²-c², 那么方程⑤就
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变 形.这样，椭圆上任意一点的坐标(x,y) 都满足方程⑥;反之，以方程⑥的解为 坐标的点(x,y)与椭圆的两个焦点(c,0),(-c,0)的距离之和为2a, 即以方程⑥的 解为坐标的点都在椭圆上.则方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做圆的标准方 程.它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F(-c,0),F₂ (c,0) 的椭圆，这里
所以点M 的轨迹是椭圆.
例3如图，设A,B 两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M 的轨迹方程.
事
解 ：设点M 的坐标为(x,y),因为点A 的坐标是(-5,0), 所以直线AM的斜率 同理，直线 BM 的斜率 由已知有
化简得点M 的轨迹方程为
设M(x,y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0), 那么焦点F,F₂ 的 坐 标分别为(-c,0),(c,0) ,根据椭圆的定义，设点M 与焦点F,F₂ 的距离的和等于 2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF₁I+|MF₂I=2a}. 因为IMFI= √ (x+c)²+y²,IMF₂F= √ (x-c)²+y², 所以J(x+c)²+y²+ √ (x-c)²+y²=2a.① 化简得√(x+c)²+y²=2a-√(x-c)²+y².② 对方程②两边平方得(x+c)²+y²=4a²-4aJ(x-c)²+y²+(x-c)²+y². 整理得a²-cx=aJ(x-c)²+y².③
椭圆及其标准方程 课件
（1） 两焦点的坐标是（-4，0），（4，0）椭圆 上一点P到两焦点的距离之和等于10。 （2）两焦点的坐标分别是（0，-2），（0，2）
并且椭圆经过点 ( 3 , 5)。
22
（1） 两焦点的坐标是（-4，0），（4，0）椭圆上 一点P到两焦点的距离之和等于10。
解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设标准方程为
没有轨迹
小结：椭圆必须满足的几个条件
1.动点 M 到两个定点 F1、F2的距离之和是常数。 2.常数要大于焦距。
4
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
y yy
y
M
F1 O O OF2 xx x
O
x
原则：尽可能使方 程的形式简单、运 算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直 的线段所在的直线作为坐标轴.)
由ay椭22 圆bx的22 定1义(a知 ，b 0)
2a ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 2 10
22
22
∵ a 10 , c 2
∴ b2 a 2 c 2 10 6 4
所以标准方程为
y2 x2 1 10 6
例2.求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过 两点P( 6,1),Q( 3, 2)的椭圆的标准方程。
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
2a = 10, 2c = 8,
a = 5， c = 4.
b2 a2 c2 52 42 9
所以标准方程为
x2 y2 1 25 9
（2）两焦点的坐标分别是0，-2），（0，2） 并且椭圆经过点 ( 3 , 5) 。
22
解：由椭圆的焦点在y轴上，所以设标准方程为
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a 移项平方
并且椭圆经过点 ( 3 , 5)。
22
（1） 两焦点的坐标是（-4，0），（4，0）椭圆上 一点P到两焦点的距离之和等于10。
解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设标准方程为
没有轨迹
小结：椭圆必须满足的几个条件
1.动点 M 到两个定点 F1、F2的距离之和是常数。 2.常数要大于焦距。
4
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
y yy
y
M
F1 O O OF2 xx x
O
x
原则：尽可能使方 程的形式简单、运 算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直 的线段所在的直线作为坐标轴.)
由ay椭22 圆bx的22 定1义(a知 ，b 0)
2a ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 2 10
22
22
∵ a 10 , c 2
∴ b2 a 2 c 2 10 6 4
所以标准方程为
y2 x2 1 10 6
例2.求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过 两点P( 6,1),Q( 3, 2)的椭圆的标准方程。
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
2a = 10, 2c = 8,
a = 5， c = 4.
b2 a2 c2 52 42 9
所以标准方程为
x2 y2 1 25 9
（2）两焦点的坐标分别是0，-2），（0，2） 并且椭圆经过点 ( 3 , 5) 。
22
解：由椭圆的焦点在y轴上，所以设标准方程为
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a 移项平方
椭圆及其标准方程公开课PPT课件
1） x 2 y 2 1答:在 x 轴上(-3,0)和(3,0） 25 16
2） x 2 y 2 1 144 169
答:在 y 轴上(0,-5)和(0,5）
3）
x 2 m2
y2 m2 1
1
答:在y 轴上(0,-1)和(0,1)
焦点在分母大的那个轴上。
第16页/共30页
写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a =4，b=1，焦点在 x 轴上；
因| MF1 | | MF2 | 3 | F1F2 | 2 2，故点M的轨迹为椭圆。
第6页/共30页
讲授新课
2. 椭圆标准方程的推导：
如图，建立直角坐标系xOy， 使x轴经过点F1、F2，并且 点O与线段F1F2的中点重合. 设点M(x, y)是椭圆上任一点， 椭圆的焦距为2c(c＞0).
焦点F1、F2的坐标分别是 (－c, 0)、(c, 0)． 又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a．
|MF1|＋|MF2|＝2a
第7页/共30页
Y
M (x,y)
如图所示： F1、F2为两定 点，且|F1F2|=2c，求平面
内到两定点F1、F2距离之
F1
O
F2 X 和为定值2a（2a>2c)的动
(-c,0)
(c,0) 点M的轨迹方程。
解：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中 点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2 的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。
第27页/共30页
作 业 教材Ｐ36 2
第28页/共30页
结束
第29页/共30页
感谢您的欣赏
第30页/共30页
它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点 是F1(c, 0)、F2(－c, 0)，且c2＝a2－b2.
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F2(c,0);
3、列式:︱ MF1︱+︱MF2︱=2a
4、化简：
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
(x c)2 y2 2a (x c)2 y2
两边平方得：(x+c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
即a2 cx a (x c)2 y2 .两边平方得：a4 2a2cx c2 x2 a2 (x c)2 a2 y2
问题2:如果将圆的定义中的”一个定点”改为”两个定
点”,也就是说将”到一个定点的距离等于定长”改述为:
到两个定点的距离之和等于定长,那么点的集合又是什么
呢?
动画演示1
动画演示2
小组合作,形成概念
设∣F1F2∣= 2c, ∣MF1∣+∣MF2∣= 2a，则
c=0时,圆
M
2a>2c时,椭圆 2a=2c时,线段
整理得：（a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 ).
令a2-c2=b2(b>0),则方程可简化为：b2x2+a2y2=a2b2.联想到直线的截距式，整理成
x2 a2
y2 b2
1.
（a>b>0).
此方程叫做椭圆的标准方程.焦点在x轴上,焦点 是F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2
可是，过了一些年，人们发现草原被驯 鹿糟蹋的很厉害，而且北美驯鹿有时成批 死亡。是什么原因呢？
科学家研究以后发现，北美驯鹿失去了天 敌狼之后，种群扩大了。草场不足，草原被破 坏，而且那些老弱病残的鹿不能被淘汰，加剧 了草场不足的困难。而且，没有狼的追杀，驯 鹿的运动少了，体质下降，因病而死数量增加。
古老城人可以怎样消灭 蝗虫，控制蝗灾？
古老城紧急呼救
请支援我们 20万只青蛙，2 万只麻雀和5000条蛇。
疑问1 为什么古老城选择了用
自然方法处理蝗灾？
第三章 动物在生物圈中的作用
第一节 动物在自然界中的作用
疑问2 古老城中的青蛙、麻雀
和蛇都哪儿去了？
当地农民说：“青蛙和蛇对付蝗 虫很管用，可现在青蛙和蛇都让 人吃光了。”
(3）化简： (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 10
课堂练习
▪ P95-96的2、3（1）（2）（3） ▪ 备用练习：对椭圆 x2 y2 1, ，个小组仿照例题或习
题的形式自己设计一25个题9 目，两个小组交换审查并 尝试作答。
课堂小结
▪ 椭圆的定义及标准方程； ▪ 标准方程中a,b的确定及a,b,c的关系； ▪ 椭圆定义的形成和方程的推导，蕴涵着运动
M x2
a2
y2 b2
1(a
b
0)
y
F1
O
F2
焦点坐标 F1(-C,0),F2(C,0)
y y2 x2
a2 b2 1(a b 0)
F
M
x
O2
x
F1
F1(0,-C),F2(0,C)
共 定义 │MF1│+ │ MF2 │ =2a(2a> │ F1F2 │) 同 A,b,c的关系 c2=a2-b2 点
椭圆的标准方程
讨论:选定方案二,方程的形式又是如何呢?
Y
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
F2 M
判断：x2 y2 1与 x2 y2 1的焦点位置，
O
X
16 9
9 16
思考如何由方程判断其焦点在x轴还是在y轴上？ F1
结论:看x2,y2的分母大小,哪个大就在哪一条轴上.
椭圆的标准方程
不 标准方程 同 图形 点
第四十课 椭圆及其标准方程
情景设计
问题:2003年10月15日,中国”神州5号”飞船实 验成功,实现了中国人的千年飞天梦.请问”神 州5号”飞船绕什么旋转?运行的轨迹是什么?
动画演示 那么,生活中你还见过椭圆形状的物品吗?
小组合作,形成概念
问题1:什么叫圆? 答:到一个定点的距离等于定长的点的集合叫圆.
焦点位置的 判定
看x2,y2的分母大小,哪个大就在哪一条轴上.
例题讲解
例1 (1)判断下列方程的焦点位置,并指出焦点坐标:
x2 y2 1;25 x2 16 y2 400; x2 y2 1(m n 0).
16 9
mn
(2)F1(-3,0)、F2（3，0），│MF1 │+ │MF2 │=6，点M的轨迹方 程是----------------------------
2、如何建y 系，M 使求出的方程最y简？
F1 O
F2 x
F2 M
O
x
F1
方案一
方案二
y
椭圆的标准方程 BM
方案一：1、建系：以F1、F2所在直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系;
F1 O
Fx
2
2、设点：设M（x,y)是椭圆上任意一点，设︱ F1F2 ︱=2c，则F1（-c,0),
变化的观点和研究96习题8.1的1(2)、2、4。
重庆遇罕见蝗灾
2001年夏，重庆壁山县古老城遭受了 罕见的蝗虫灾害，铺天盖地的蝗虫像 收割机一样把当地近千亩的农作物和 果树林吞食得面目全非，眼看数年心 血就要化为泡影。
重 庆 遇 罕 见 蝗 灾
请你帮助
麻雀啄食和糟蹋农作物，曾被 列为主要害鸟。20世纪50～60 年代，我国开展了一场轰轰烈 烈的“剿灭麻雀”的全民运动。
“成果”：
仅一天，上海就消灭麻雀194432只！ 据不完全报道：从3月到11月上旬， 8个月的时间中全国捕杀麻雀19.6亿 只！
通过以上资料的分析，你认为人类能否 随意灭杀某种动物吗？为什么？ 人为的破坏动物的种类和数量，会导致 整个生态系统失去平衡
F1
F2
2a<2c时,无轨迹
小组合作,形成概念
M
椭圆的定义：
F1
F2
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于 |F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
F1、F2 ——焦点 |F1F2 | ——焦距（一般用2c表示）
|MF1|+ |MF2| = 2a
椭圆的标准方程
1、回顾:求曲线的一般步骤:
建系、设点、列式、化简。
从而可以看出 动物在自然界有什么作用？
维持生态平衡
在生态系统中，各种生物的数量和 所占的比例总是维持在相对稳定的 状态，这种现象就叫生态平衡。
如果食物链或食物网中某一环节出 了问题，就会使整个生态失衡。
▪疑问：
▪ 在自然生态系统中，各种 动物的数量能不能无限的 增长？为什么？
“狼医生的故事”
北美驯鹿是可爱的动物，它们在广阔的 草原上生活。可是，它们经常受到狼的威 胁。于是，人们为保护驯鹿，捕杀草原上 的狼，驯鹿的家族繁盛起来。
3、列式:︱ MF1︱+︱MF2︱=2a
4、化简：
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
(x c)2 y2 2a (x c)2 y2
两边平方得：(x+c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
即a2 cx a (x c)2 y2 .两边平方得：a4 2a2cx c2 x2 a2 (x c)2 a2 y2
问题2:如果将圆的定义中的”一个定点”改为”两个定
点”,也就是说将”到一个定点的距离等于定长”改述为:
到两个定点的距离之和等于定长,那么点的集合又是什么
呢?
动画演示1
动画演示2
小组合作,形成概念
设∣F1F2∣= 2c, ∣MF1∣+∣MF2∣= 2a，则
c=0时,圆
M
2a>2c时,椭圆 2a=2c时,线段
整理得：（a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 ).
令a2-c2=b2(b>0),则方程可简化为：b2x2+a2y2=a2b2.联想到直线的截距式，整理成
x2 a2
y2 b2
1.
（a>b>0).
此方程叫做椭圆的标准方程.焦点在x轴上,焦点 是F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2
可是，过了一些年，人们发现草原被驯 鹿糟蹋的很厉害，而且北美驯鹿有时成批 死亡。是什么原因呢？
科学家研究以后发现，北美驯鹿失去了天 敌狼之后，种群扩大了。草场不足，草原被破 坏，而且那些老弱病残的鹿不能被淘汰，加剧 了草场不足的困难。而且，没有狼的追杀，驯 鹿的运动少了，体质下降，因病而死数量增加。
古老城人可以怎样消灭 蝗虫，控制蝗灾？
古老城紧急呼救
请支援我们 20万只青蛙，2 万只麻雀和5000条蛇。
疑问1 为什么古老城选择了用
自然方法处理蝗灾？
第三章 动物在生物圈中的作用
第一节 动物在自然界中的作用
疑问2 古老城中的青蛙、麻雀
和蛇都哪儿去了？
当地农民说：“青蛙和蛇对付蝗 虫很管用，可现在青蛙和蛇都让 人吃光了。”
(3）化简： (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 10
课堂练习
▪ P95-96的2、3（1）（2）（3） ▪ 备用练习：对椭圆 x2 y2 1, ，个小组仿照例题或习
题的形式自己设计一25个题9 目，两个小组交换审查并 尝试作答。
课堂小结
▪ 椭圆的定义及标准方程； ▪ 标准方程中a,b的确定及a,b,c的关系； ▪ 椭圆定义的形成和方程的推导，蕴涵着运动
M x2
a2
y2 b2
1(a
b
0)
y
F1
O
F2
焦点坐标 F1(-C,0),F2(C,0)
y y2 x2
a2 b2 1(a b 0)
F
M
x
O2
x
F1
F1(0,-C),F2(0,C)
共 定义 │MF1│+ │ MF2 │ =2a(2a> │ F1F2 │) 同 A,b,c的关系 c2=a2-b2 点
椭圆的标准方程
讨论:选定方案二,方程的形式又是如何呢?
Y
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
F2 M
判断：x2 y2 1与 x2 y2 1的焦点位置，
O
X
16 9
9 16
思考如何由方程判断其焦点在x轴还是在y轴上？ F1
结论:看x2,y2的分母大小,哪个大就在哪一条轴上.
椭圆的标准方程
不 标准方程 同 图形 点
第四十课 椭圆及其标准方程
情景设计
问题:2003年10月15日,中国”神州5号”飞船实 验成功,实现了中国人的千年飞天梦.请问”神 州5号”飞船绕什么旋转?运行的轨迹是什么?
动画演示 那么,生活中你还见过椭圆形状的物品吗?
小组合作,形成概念
问题1:什么叫圆? 答:到一个定点的距离等于定长的点的集合叫圆.
焦点位置的 判定
看x2,y2的分母大小,哪个大就在哪一条轴上.
例题讲解
例1 (1)判断下列方程的焦点位置,并指出焦点坐标:
x2 y2 1;25 x2 16 y2 400; x2 y2 1(m n 0).
16 9
mn
(2)F1(-3,0)、F2（3，0），│MF1 │+ │MF2 │=6，点M的轨迹方 程是----------------------------
2、如何建y 系，M 使求出的方程最y简？
F1 O
F2 x
F2 M
O
x
F1
方案一
方案二
y
椭圆的标准方程 BM
方案一：1、建系：以F1、F2所在直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系;
F1 O
Fx
2
2、设点：设M（x,y)是椭圆上任意一点，设︱ F1F2 ︱=2c，则F1（-c,0),
变化的观点和研究96习题8.1的1(2)、2、4。
重庆遇罕见蝗灾
2001年夏，重庆壁山县古老城遭受了 罕见的蝗虫灾害，铺天盖地的蝗虫像 收割机一样把当地近千亩的农作物和 果树林吞食得面目全非，眼看数年心 血就要化为泡影。
重 庆 遇 罕 见 蝗 灾
请你帮助
麻雀啄食和糟蹋农作物，曾被 列为主要害鸟。20世纪50～60 年代，我国开展了一场轰轰烈 烈的“剿灭麻雀”的全民运动。
“成果”：
仅一天，上海就消灭麻雀194432只！ 据不完全报道：从3月到11月上旬， 8个月的时间中全国捕杀麻雀19.6亿 只！
通过以上资料的分析，你认为人类能否 随意灭杀某种动物吗？为什么？ 人为的破坏动物的种类和数量，会导致 整个生态系统失去平衡
F1
F2
2a<2c时,无轨迹
小组合作,形成概念
M
椭圆的定义：
F1
F2
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于 |F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
F1、F2 ——焦点 |F1F2 | ——焦距（一般用2c表示）
|MF1|+ |MF2| = 2a
椭圆的标准方程
1、回顾:求曲线的一般步骤:
建系、设点、列式、化简。
从而可以看出 动物在自然界有什么作用？
维持生态平衡
在生态系统中，各种生物的数量和 所占的比例总是维持在相对稳定的 状态，这种现象就叫生态平衡。
如果食物链或食物网中某一环节出 了问题，就会使整个生态失衡。
▪疑问：
▪ 在自然生态系统中，各种 动物的数量能不能无限的 增长？为什么？
“狼医生的故事”
北美驯鹿是可爱的动物，它们在广阔的 草原上生活。可是，它们经常受到狼的威 胁。于是，人们为保护驯鹿，捕杀草原上 的狼，驯鹿的家族繁盛起来。