泸州市2018级高考一诊数学模拟考试(习题及答案解析)

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高2018届泸州一诊理数含答案

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数学---四川省泸州市2018届高三第一次诊断性考试试题(文)

四川省泸州市2018届高三第一次诊断性考试数学试题（文）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合={|-1<x 2,x }N ≤∈A x ，}3,2{=B ，则=B A （） A ．}3,2,1,0{ B ．}2{ C ．}2,1,0,1{- D ．∅ 2．“0>x ”是“01>+x ”的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件3．“0>x ”是“3)31(<x”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件4．在正方体1111D C B A ABCD -中，棱所在直线与直线1BA 是异面直线的条数为（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．75．定义在R 上的函数m x x f +-=3)(与函数kx x f x g -=)()(在]1,1[-上具有相同的单调性，则k 的取值范围是（）A ．]0,(-∞B ．]3,(--∞C ．),3[+∞-D ．),0[+∞ 6．函数||ln x x y ⋅=的大致图象是（）7．设b a ,是空间中不同的直线，βα,是不同的平面，则下列说法正确的是（） A ．αβα⊂a ,//，则β//a B ．βαβα//,,⊂⊂b a ，则b a // C ． ββαα//,//,,b a b a ⊂⊂，则βα// D ．α⊂b b a ,//，则α//a8．已知函数)2sin(ϕ+=x y 在π=6x 处取得最大值，则函数)2cos(ϕ+=x y 的图象（） A ．关于直线π=6x 对称 B ．关于点π(,0)3对称C ．关于点π(,0)6对称D ．关于直线π=3x 对称 9．已知圆锥的高为5，底面圆的半径为5，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）A ．4πB ．36πC ． 48πD ．24π 10．已知函数)212()(x xx x f -=，若)()1(x f x f >-，则x 的取值范围是（） A ．)21,(-∞ B ．)21,(--∞ C ．),21(+∞ D ．),21(+∞-11．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A ．π2+3 B ．1+π2 C ．2+π3 D ．π2+612．函数--1()=-ln(+2)+e+4e x aa f x x x ，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使3)(0=x f 成立，则实数a 的值为（）A ．2lnB ．12ln -C ． 2ln -D ．12ln -- 二、填空题：每题5分，满分20分13．已知31cos sin =+αα，则ααcos sin 的值为． 14．设函数⎩⎨⎧>+≤<+=2,1220,4log )(2x x x x f x ，若9)(=a f ，则a 的值为．15．如图，CD 是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A 处时测得点D 的仰角为030，行驶300m 后到达B 处，此时测得点C 在点B 的正北方向上，且测得点D 的仰角为045，则此山的高=CD m ．16．一个长、宽、高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是．三、解答题：本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知函数a x x x x f +-=2cos cos sin )(的最大值为22. （1）求a 的值；（2）求使0)(≥x f 成立的x 的集合.18．设()=e -cos xf x a x ，其中R ∈a .（1）求证：曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线过定点；（2）若函数)(x f 在π(0,)2上存在极值，求实数a 的取值范围.19．如图，在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，)sin(2sin B A A +=，它的面积21675c S =.（1）求B sin 的值；（2）若D 是BC 边上的一点，43cos =∠ADB ，求DCBD 的值.20．如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是梯形，DC AB //，090=∠ABC ，SD AD =，AB CD BC 21==，侧面⊥SAD 底面ABCD .（1）求证：平面⊥SBD 平面SAD ；（2）若0120=∠SDA ，且三棱锥BCD S -的体积为126，求侧面SAB ∆的面积.21．已知函数)0(ln 21)(2>+-=a x a ax x x f . （1）当0<a 时，讨论)(x f 的单调性；（2）当1=a 时，若方程)2(21)(2-<+=m m x x f 有两个相异实根21,x x ，且21x x <，证明：2212x x <. 选做题：22．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为πcos(+)=33ρθ，曲线C 的极坐标方程为)0(cos 4>=a a θρ.（1）设t 为参数，若t y 2132+-=，求直线l 的参数方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于Q P ,，设)32,0(-M ，且||||||2MQ MP PQ =，求实数a 的值.23.已知函数|2||3|)(x x a x f +--=. （1）若2=a ，解不等式3)(≤x f ；（2）若存在实数x ，使得不等式|2|41)(x a x f +--≤成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】一、选择题1-5：BBACD 6-10：DACBA 11-12：CD 二、填空题 13．94-14．315．215016．]5,1(三、解答题17．解：（1）a x x x x f +-=2cos cos sin )(a x x ++-=212cos 2sin 21π1=-)-+242x a 由R ∈x ，得)(x f 的最大值为222122=+-a 故21=a .（2）因0)(≥x f 即π-)024≥x 所以π2π2-2k π+π4≤≤k x ，所以π5ππ+π+88≤≤k x k 求使0)(≥x f 成立的x 的集合是π5π[π+,π+]88k k ，Z ∈k . 18.证明：（1）因为'()=e +sin xf x a x 所以a f =)0('，又1)0(-=a f ，所以曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为ax a y =--)1(，即1)1(-+=x a y ，所以曲线)(x f y =在))0(,0(f 处的切线过定点)1,1(--. （2）因为'()=e +sin xf x a x ，因为函数)(x f 在π(0,)2上存在极值，所以0)1(')0('<f f ，即π02π(e +sin0)(e +sin )<02a a所以π21-<<0ea ，所以a 的取值范围是π21(-,0)e.19.解：(1)因为)sin(2sin B A A +=，所以C A sin 2sin =，由正弦定理得c a 2=，因为221675sin sin 21c B c B ac S ===所以1675sin =B （2）因为43cos =∠ADB ，所以47sin =∠ADB ，在ABD ∆中，由正弦定理得ADBABB AD ∠=sin sin ，所以c AD 45=由余弦定理得43452)45(222⨯⨯⨯-+=BD c BD c c ，所以c BD 23=或c 83，因为D 是BC 边上的一点，所以c BD 23=，因为，所以，所以3=DCBD. c a 2=c CD 21=20.解：（1）因为090=∠ABC ，，所以045=∠CBD ，BCD ∆是等腰直角三角形，故CB BD 2=，因为BD AB 2=，045=∠ABD ，所以ABD ∆∽BCD ∆，090=∠ADB ，即AD BD ⊥，因为侧面⊥SAD 底面ABCD ，交线为AD ，所以⊥BD 平面SAD ，所以平面⊥SBD 平面SAD . （2）过点S 作AD SE ⊥交AD 的延长线于点E ，因为侧面⊥SAD 底面ABCD ，所以⊥SE 底面ABCD ，设a CD BC ==，则a BD SD AD 2===，因为0120=∠SDA ，所以a SE 26=，三棱锥BCD S -的体积为126，即12626213131=⨯⨯⨯⨯=⨯=∆-a a a SE S V BCD BCD S ，所以1=a ，6,223==SA AE ，所以侧面SAB ∆的面积为215=∆SAB S .21.解：（1）因为)(1)('2a ax x xx a a x x f +-=+-=， CD BC=因为0<a ，当042>-=∆a a ，由0)('=x f 得2421a a a x --=，2422aa a x -+=，因为函数)(x f 的定义域为),0(+∞，所以∈1x ),0(+∞，所以当2402a a a x -+<<时，0)('<x f ，当242aa a x -+>时，0)('>x f ，故)(x f 在)24,0(2a a a -+上单调递减，),24(2+∞-+aa a 上单调递增.（2）设)2(21)(2-<+=m m x x f 的两个相异实根分别为21,x x ，满足0ln =--m x x ，且1,1021><<x x ，0ln ln 2211=--=--m x x m x x 令x x x g -=ln )(的导函数，所以)(x g 在),1(+∞上递减由题意可知22ln 2ln 11-<-<=-m x x ，故21>x ，所以12,0221<<x x ，令m x x x h --=ln )(，)22(ln )(ln )22(ln )(ln )2()(222221222211221x x x x x x x x x h x h ---=---=- 令)2(2ln ln 32)(2>-++-=t t t t t F ，则323)1()2(341)('t t t t t t F +-=+--=，当2>t 时，0)('<t F ，所以)(t F 是减函数，所以0232ln 2)2()(<-=<F t F ， 11)('-=xx g所以当21>x 时，0)2()(221<-x h x h ，因为12,0221<<x x ，)(x h 在)1,0(上单调递增，所以2212x x <.22.解：（1）直线l 的极坐标方程为πcos(+)=33ρθ 所以3sin 23cos 21=-θρθρ，即32321=-y x因为t 为参数，若t y 2132+-=，代入上式得t x 23=，所以直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==ty tx 213223（t 为参数）（2）由)0(cos 4>=a a θρ，得)0(cos 42>=a a θρρ，由θρθρsin ,cos ==y x 代入，得)0(422>=+a ax y x ，将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得012)1(322=++-t a t （*），04)1(124)]1(32[22>-+=⨯-+=∆a a ，12),1(322121=+=+t t a t t ，设点Q P ,分别对应参数21,t t 恰为上述方程的根，则||||,||,||2121t t PQ t MQ t MP -===，由题设得21221||t t t t =-，则有060)]1(32[2=-+a ，得15-=a 或15--=a ，因为0>a ，所以15-=a .23.解：（1）不等式3)(≤x f 可化为3|2||32|≥+--x x ，则 ⎩⎨⎧≤++--≤32322x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤---≤<-3232322x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤--->322332x x x解得2743≤≤-x ，所以不等式3)(≤x f 的解集为}2743|{≤≤-x x .（2）不等式|2|41)(x a x f +--≤等价于a x x a -≤++-|2|3|3| 即a x x a -≤++-1|2|3|3|，因为|6||363||36||3||2|3|3|+=++-≥++-=++-a x x a x x a x x a 若存在实数x ，使得不等式|2|41)(x a x f +--≤成立，则a a -≤+1|6|，解得25-≤a ，实数a 的取值范围是]25,(--∞.。

四川省泸州市2018届高三高考模拟考试数学(文)试卷(含答案)

四川省泸州市泸州高中高2018届高考模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一．选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数为，且(是虚数单位)，则在复平面内，复数对应的z z ()310z i +=i z 点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合，，则（）{|25}A x x =-<<{1}B x y x ==-A B = A ． B ． C ． D ．(2,1)-(0,1][1,5)(1,5)3.阅读如下框图，运行相应的程序，若输入的值为10，则输出的值为（）n nA ．0B ．1C ．3D ．44.已知函数是上的奇函数，则（）(),0()21,0g x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩R (3)g =A ．5 B ．-5 C ．7 D ．-75.“”是“直线和直线互相垂直”的（）1a =20ax y +-=70ax y a -+=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知函数在处取得最大值，则函数的图像（）sin(2)y x ϕ=+6x π=cos(2)y x ϕ=+A ．关于点对称 B ．关于点对称 C.关于直线对称 D ．关于(0)6π，(0)3π，6x π=直线对称3x π=7.若实数满足，则的取值范围是( )a 142log 1log 3a a >>a A. B. 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C. D.3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭8.在中，角为，边上的高恰为边长的一半，ABC △B 34πBC BC 则( )cos A =2555523539．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A ．136π B ．144π C ．36π D ．34π10.若函数，则函数的零点个数是（）()f x x =12()log y f x x =-A ．5个 B ．4个 C. 3个 D ．2个11.已知抛物线的焦点为，准线为，点，线段交抛物线于点，2:4C y x =F l A l ∈AF C B 若，3FA FB = 则（）AF = A ．3 B ．4 C.6 D ．712．已知是边长为2的正三角形，点为平面内一点，且ABC ∆P CP =的取值范围是（）()PC PA PB ⋅+ A ． B ． C ． D ．[]0,1230,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]0,6[]0,3二．填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.计算：．=-3log 87732log 14.若，满足约束条件，则的最大值为．x y 001x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩12y z x +=+15.已知，则．2)4tan(=-πα=-22sin(πα16.已知双曲线的中心为坐标原点，点是双曲线的一个焦点，过点作渐近线C (2,0)F C F 的垂线，垂足为，直线交轴于点，若，则双曲线的方程为 l M l y E 3FM ME =C ．三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本大题满分12分）已知数列的前项和是，且.{}n a n n S ()21n n S a n =-∈*N（Ⅰ）求数列的通项公式；{}n a （Ⅱ）令，求数列前项的和.2log n n b a =(){}21n n b -2n T18.（本大题满分12分）2018年中央电视台春节联欢晚会分会场之一落户黔东南州黎平县肇兴侗寨，黔东南州某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行了调查，随机抽取80名群众进行调查，将他们的年龄分成6段：,,,，，，得到[)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[)60,70[]70,80如图所示的频率分布直方图.问：（Ⅰ）求这80名群众年龄的中位数；（Ⅱ）若用分层抽样的方法从年龄在中的群众随机抽取6名，并从这6名群众中选[)2040，派3人外出宣传黔东南，求选派的3名群众年龄在的概率.[)3040，19．（本大题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，是中点.P ABCD -60ABC ∠=E DP（Ⅰ）证明：平面；//PB ACE （Ⅱ）若，求三棱锥的体积.2AP PB ==2AB PC ==C PAE -20.（本大题满分12分）已知动点.(,)M x y =（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；M E （Ⅱ）设过点的直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为（点(1,0)N -l E ,A B A x C与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.C B BC 21.（本大题满分12分）已知函数，()ln f x x =()(1)g x a x =-（Ⅰ）当时，求函数的单调递减区间；2a =()()()h x f x g x =-（Ⅱ）若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；1x >x ()()f x g x <a （Ⅲ）若数列满足，，记的前项和为，求证：{}n a 11n n a a +=+33a ={}n a n n S .ln(1234)n n S ⨯⨯⨯⨯⨯< 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本大题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，抛物线的方程为.xOy C 24y x =（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；x C（Ⅱ）直线的参数方程是(为参数)，与交于两点，l 2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩t l C ,A B AB =的倾斜角.l 23.（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.()|3||2|f x a x x =--+（Ⅰ）若，解不等式；2a =()3f x ≤（Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.a ()14|2|f x a x --+≤a 四川省泸州市泸州高中高2018届高考模拟考试文数学答案1-5:ACCAA 6-10:ACADD 11-12:BA13. 14. 15. 16.34-2541322=-y x 17．解：（Ⅰ）由得，112121n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩()12,1n n a a n n -=∈≥*N 于是是等比数列.{}n a 令得，所以.1n =11a =12n n a -=（Ⅱ），122log log 21n n n b a n -===-于是数列是首项为0，公差为1的等差数列.{}n b ，2222221234212n n T b b b b b b -=-+-+--+L 123212n n b b b b b -=+++++L 所以.()()221212n n T n n -==-18. 解（Ⅰ）设80名群众年龄的中位数为，则x ，解得，()0.005100.010100.020100.030500.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=55x =即80名群众年龄的中位数55．（Ⅱ）由已知得，年龄在中的群众有人，[20,30）0.0051080=4⨯⨯年龄在的群众有人，按分层抽样的方法随机抽取年龄在的[30,40）0.011080=8⨯⨯[20,30）群众人，记为1，2；随机抽取年龄在的群众人，记为46248⨯=+[30,40）86=448⨯+.则基本事件有：,,,a b c d ()()()()(),,,,,,,,1,,,2,,,,a b c a b d a b a b a c d ，()()()(),,1,,,2,,,1,,,2a c a c a d a d ()()()()(),,,,,1,,,2,,,1,,,2,b c d b c b c b d b d 共20个，参加座谈的导游中有3名群()(),,1,,,2,c d c d ()()()(),1,2,,1,2,,1,2,,1,2a b c d 众年龄都在的基本事件有：共4个，设事件[30,40）()()(),,,,,,,,,a b c a b d a c d (),,,b c d 为“从这6名群众中选派3人外出宣传黔东南，选派的3名群众年龄都在”，则A [30,40） 41()205p A ==19．（Ⅰ）证明：如图，连接BD ，BD AC F = ，连接EF ，∵四棱锥P ABCD -的底面为菱形，∴F 为BD 中点，又∵E 是DP 中点，∴在BDP △中，EF 是中位线，//EF PB ∴，又∵EF ⊂平面ACE ，而PB ⊄平面ACE ，//PB ∴平面ACE ．（Ⅱ）解：如图，取AB 的中点Q ，连接PQ ，CQ ，∵ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒，∴ABC △为正三角形，CQ AB ⊥∴，AP PB ==∵，2AB PC ==，CQ =∴，且PAB △为等腰直角三角形，即90APB ∠=︒，PQ AB ⊥，且1PQ =，222PQ CQ CP +=∴，PQ CQ ⊥∴，又AB CQ Q = ，PQ ⊥∴平面ABCD，111112122232C PAE E ACP D ACP P ACD V V V V ----===== ∴．20.解：（Ⅰ）由已知，动点M 到点(1,0)P -，(1,0)Q 的距离之和为22且22PQ <M 的轨迹为椭圆，而2a =1c =，所以1b =，所以，动点M 的轨迹E 的方程：2212x y +=. （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)C x y -，由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为：(1)y k x =+由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩　得2222(12)4220k x k x k +++-=，所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+，直线BC 的方程为：212221()y y y y x x x x +-=--，所以2112212121y y x y x y y x x x x x ++=---，令0y =，则1221121212122112122()2()2()2()2x y x y kx x k x x x x x x x y y k x x k x x +++++====-+++++，所以直线BC 与x 轴交于定点(2,0)D -.21.解：（Ⅰ）由，得.所以2a =()()()ln 22,(0)h x f x g x x x x =-=-+>'112()2x h x x x-=-= 令，解得或（舍去），所以函数的单调递减区间'()0h x <12x >0x <()()()h x f x g x =-为 1(,)2+∞（Ⅱ）由得，()()f x g x <(1)ln 0a x x -->当时，因为，所以显然不成立，因此.0a ≤1x >(1)ln 0a x x -->0a >令，则，令，得.()(1)ln F x a x x =--'1()1()a x a F x a x x-=-='()0F x =1x a =当时，，，∴，所以，即有1a ≥101a<≤'()0F x >()(1)0F x F >=(1)ln a x x ->.()()f x g x <因此时，在上恒成立.1a ≥()()f x g x <(1,)+∞②当时，，在上为减函数，在上为增函数，01a <<11a >()F x 1(1,a 1(,)a+∞∴，不满足题意.min ()(1)0F x F <=综上，不等式在上恒成立时，实数的取值范围是()()f x g x <(1,)+∞a [1,)+∞（III ）证明：由知数列是的等差数列，所以131,3n n a a a +=+={}n a 33,1a d ==3(3)n a a n d n=+-=所以1()(1)22n n n a a n n S ++==由（Ⅱ）得，在上恒成立.ln (1)1x a x x x <-≤-<(1,)+∞所以. 将以上各式左右两边分别相加，得ln 22,ln 33,ln 44,,ln n n <<<⋅⋅⋅<.因为ln 2ln 3ln 4ln 234n n +++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+ln101=<所以(1)ln1ln 2ln 3ln 4ln 12342n n n n n S +++++⋅⋅⋅+<++++⋅⋅⋅+==所以ln(1234)nn S ⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯<22.解：(1)∵，代入，∴cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩24y x =2sin 4cos 0ρθθ-=(2)不妨设点，对应的参数分别是，，A B 1t 2t 把直线的参数方程代入抛物线方程得：，l 22sin 4cos 80t t αα-⋅-=∴，则，∴，∴或12212224cos sin 8sin 1616sin 0t t t t αααα⎧+=⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪∆=+>⎪⎩12AB t t =-==sin α=4πα=.34πα=23.解：（Ⅰ）不等式化为，则()3f x ≤|23||2|3x x --+≤22323x x x -⎧⎨-++⎩≤≤或，或，2232323x x x ⎧-<⎪⎨⎪---⎩≤≤233223x x x ⎧>⎪⎨⎪---⎩≤解得，3742x -≤≤所以不等式的解集为；()3f x ≤37{|}42x x -≤≤（Ⅱ）不等式等价于()14|2|f x a x --+≤|3|3|2|1a x x a -++-≤即，|3|3|2|1a x x a -++-≤因为，|3|3|2||3||63||363||6|a x x a x x a x x a -++=-++-++=+≥若存在实数，使不等式成立，a ()14|2|f x a x --+≤则，|6|1a a +-≤解得：，实数的取值范围是52a -≤a 5(]2-∞-，。

四川省泸州泸县第五中学2018届高三第一次适应性考试高

四川省泸县第五中学2018届高考模拟考试数学（理科）一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥==0,)31(x y y P x ，{})24ln(2x x y x Q -==，则P ∩Q=（）A ．（0，1]B ．∅C ．（0，2）D ．{0}2．已知i m m m z )23(2222+-+-=（m ∈R ，i 为虚数单位），则“m =﹣1”是“z 为纯虚数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.如图，正方形ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（） A ．14 B ．12 C ．8π D ．4π4.已知双曲线C 的中心为原点，点F 是双曲线C 的一个焦点，点F 到渐近线的距离为1，则C 的方程为（）A ．221x y -= B ．2212y x -= C. 22123x y -= D ．22133x y -= 5. 某几何体的三视图如图(1)所示,则该几何体中最短棱和最长棱所在直线所成角的余弦值为（）A6.6)2)(1(--x x 的展开式中3x 的系数为（）A ．400-B ．80 C.80- D ．4007.为了提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设原信息为123a a a ，传输信息为11232h a a a h ，其中112h a a =⊕，213h h a =⊕，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=.例如：原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息出错的是（） A ．01100 B ．11010 C ．10110 D ．11000 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且111313a S ==，则9a =（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．99．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（）A ．7B ．6C ．5D ．410．若3x =是函数()()21xf x x ax e =++的极值点，则()f x 的极大值等于（）A ．-1B ．3C ．32e -D ．16e -11.棱长为2的正八面体（八个面是全等的等边三角形），球O 是该正八面体的内切球，球O 的表面积为（）A ．83π B ．43π D 12.如图，已知梯形ABCD 中2AB CD =,点E 在线段AC 上,且25AE AC =,双曲线过C D E 、、三点，以A B 、为焦点; 则双曲线离心率e 的值为（）A ．32 B 2D ．2 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知138a =，231()2b =，则2log ()ab = ．14．已知焦点在坐标轴上，中心是原点的双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点()2,3，则双曲线的焦点到渐近线的距离等于．15．函数()2sin f x x x π=+，则不等式()212f x -≤-≤的解集为． 16.设函数()(12)xf x e x ax =-+，其中1a <，若存在唯一负整数0x ，使得0()f x a >，则实数a 的取值范围是三.解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知数列{}n a 满足132n n a a +=+，且12a =. （Ⅰ）求证：数列{}1n a +是等比数列；（Ⅱ）数列{}n b 满足3log (1)n n b a =+，判断数列2211{}n n b b +的前n 项和n T 与12的大小关系，并说明理由.18.第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：（Ⅰ）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全22⨯列联表：并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；(II)在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.记其中女职工的人数为ξ，求的ξ分布列与数学期望. 附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.19.如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=，AB BC ⊥，AB BC ==（Ⅰ）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； (II)求平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，上顶点为(0,1)B ，1ABF ∆的面积为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；(II)设直线l ：(1)y k x =+与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，P 是线段MN 的中点.若经过点2F 的直线m 与直线l 垂直于点Q ，求1PQ FQ ⋅的取值范围.21.已知函数2()ln f x a x =+且()f x a x ≤. （Ⅰ）求实数a 的值； (II)令()()xf x g x x a=-在(,)a +∞上的最小值为m ，求证：6()7f m <<.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； (II)直线l 的极坐标方程是2ρsin （θ+）=3，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()23f x x x =--+. （Ⅰ）求不等式()3f x ≤的解集；(II)若不等式2()6f x a a <-解集非空，求实数a 的取值范围.四川省泸县第五中学2018届高考模拟考试数学（理科）答案一．选择题1-12 ACCAD DDBBD AB 二．填空题 13.31 14.24 15.[]2,0 16.253[,)32e e17.（Ⅰ）由题意可得11333(1)n n n a a a ++=+=+，即1(1)3(1)n n a a ++=+，又1130a +=≠，故数列{1}n a +是以3为首项，3为公比的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知13n n a +=，即33log (1)log 3n n n b a n =+==. 故)121121(21)12()12(1)12(211122+--=+⋅-<+⋅=+n n n n n n b b n n∴21)1211(21)121121(21)5131(21)311(21<+-=+--++-+-<n n n T n ，故12n T < 18.解：（1）由题意得下表：2k 的观测值为2120(1200600)70506060-⨯⨯⨯242.7067=>.所以有90%的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关.（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，所以ξ的可能取值为0，1，2.且2426(0)C P C ξ==62155==，114226(1)C C P C ξ==815=，2226(2)C P C ξ==115=，所以ξ的分布列为()01515E ξ=⨯+⨯215153+⨯==.19.解：（ 1）连接MD ，FD .∵四边形BDEF 为菱形，且60FBD ∠=， ∴DBF ∆为等边三角形.∵M 为BF 的中点，∴DM BF ⊥.∵AB BC ⊥，AB BC ==D 是AC 的中点， ∴BD AC ⊥. ∵平面BDEF平面ABC BD =，平面ABC ⊥平面BDEF ，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥平面BDEF .又BF ⊂平面BDEF ，∴AC BF ⊥. 由DM BF ⊥，AC BF ⊥，DM AC D =，∴BF ⊥平面AMC .（2）设线段EF 的中点为N ，连接DN .易证DN ⊥平面ABC .以D 为坐标原点，DB ，DC ，DN 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则(0,1,0)A -，1(,0,)22E -，1(,0,22F ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C .∴1(2AE =-，(1,0,0)EF =，1(2BF =-，(1,1,0)BC =-. 设平面AEF ，平面BCF 的法向量分别为111(,,)m x y z =，222(,,)n x y z =.由00AE m EF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩1111102102x y z x ⎧-++=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩.解得112y z =-. 取12z =-，∴2)m =-.又由00BC n BF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩222201022x y x z -+=⎧⎪⇒⎨-+=⎪⎩解得22y =. 取21z =，∴(3,3,1)n =. ∵cos ,m n <>m n m n⋅=17==.∴平面AEF与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值为17.20.解：（1）由已知，有1b =. 又111()22ABF S a c b ∆=-=，∴1a c -=. ∵222a b c =+， ∴a =∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）①当0k =时，点P 即为坐标原点O ，点Q 即为点2F ，则1PQ =，12FQ =. ∴12PQ FQ ⋅=. ②当0k ≠时，直线l 的方程为(1)y k x =+. 则直线m 的方程为1(1)y x k=--，即10x ky +-=. 设11(,)M x y ，22(,)N x y .联立方程22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得222(12)4k x k x ++2220k +-=. 此时28(1)0k ∆=+>.∴2122412k x x k -+=+，1212(2)y y k x x +=++2212k k =+. ∴2222(,)1212k kP k k-++. ∵PQ 即点P 到直线m 的距离，∴PQ =2=.又1FQ 即点1F 到直线m的距离，∴1FQ =.∴21222(13)(12)(1)k PQ FQ k k +⋅=++. 令213(1)k t t +=>，则213t k -=. ∴118(12)(2)tPQ FQ t t ⋅=++1812()5t t=++182225<=⨯+. 即0k ≠时，有102PQ FQ <⋅<. 综上，可知1PQ FQ ⋅的取值范围为(0,2].21. 解：（1）法1：由题意知：2ln a x a x +≤恒成立等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立，令()2ln h t a at t =-+，则22'()ath t a t t-=-=，当0a ≤时，'()0h t >，故()h t 在(0,)+∞上单调递增，由于(1)0h =，所以当1t >时，()(1)0h t h >=，不合题意.当0a >时，2'()a t a h t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，所以当20t a <<时，'()0h t >；当2t a>时，'()0h t <，所以()h t 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()h t 在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，即max 2()h t h a ⎛⎫= ⎪⎝⎭22ln 22ln a a =-+-.所以要使()0h t ≤在0t >时恒成立，则只需max ()0h t ≤，亦即22ln 22ln 0a a -+-≤，令()22ln 22ln a a a ϕ=-+-，则22'()1a a a aϕ-=-=，所以当02a <<时，'()0a ϕ<；当2a >时，'()0a ϕ>，即()a ϕ在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增.又(2)0ϕ=，所以满足条件的a 只有2，即2a =.法2：由题意知：2ln a x a x +≤恒成立等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立，令()2ln h t a at t =-+，由于(1)0h =，故2ln 0a at t -+≤()(1)h t h ⇔≤，所以(1)h 为函数()h t 的最大值，同时也是一个极大值，故'(1)0h =.又22'()at h t a t t -=-=，所以2a =，此时2(1)'()t h t t-=，当01t <<时，'()0h t >，当1t >时，'()0h t <，即：()h t 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上单调递减.故2a =合题意.（2）由（1）知()()xf x g x x a =-22ln (2)2x x x x x +=>-，所以22(2ln 4)'()(2)x x g x x --=-，令()2ln 4s x x x =--，则22'()1x s x x x -=-=，由于2x >，所以'()0s x >，即()s x 在(2,)+∞上单调递增；又(8)0s <，(9)0s >，所以0(8,9)x ∃∈，使得0()0s x =，且当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >，即()g x 在0(2,)x 上单调递减；在0(,)x +∞上单调递增.所以min 0()()g x g x =000022ln 2x x x x +=-2000022x x x x -==-.（∵002ln 4x x =-）即0m x =，所以0()()f m f x =0022ln 2(6,7)x x =+=-∈，即6()7f m <<.22．解：（I ）利用cos 2φ+sin 2φ=1，把圆C 的参数方程为参数）化为（x ﹣1）2+y 2=1，∴ρ2﹣2ρcos θ=0，即ρ=2cos θ．（II ）设（ρ1，θ1）为点P 的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q 的极坐标，由，解得． ∵θ1=θ2，∴|PQ |=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ |=2．23.解：（Ⅰ）由()233f x x x =--+≤可化为：3233x x x <-⎧⎨-+++≤⎩或32233x x x -≤≤⎧⎨-+--≤⎩或2233x x x >⎧⎨---≤⎩解得：x ∈∅或22x -≤≤或2x >，所以，不等式解集为[)2,-+∞.（Ⅱ）因为()23(2)(3)5f x x x x x =--+≤--+= 所以5()5f x -≤≤，即()f x 的最小值为5-，要不等式2()6f x a a <-解集非空，需2min ()6f x a a <-，从而2650a a -+>，解得1a <或5a >，所以a 的取值范围为()(),15,-∞+∞U .。

四川省泸州市2018届高三高考模拟考试数学文试题含答案精品

四川省泸州市泸州高中高2018届高考模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一．选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z 的共轭复数为z ，且()310z i +=(i 是虚数单位)，则在复平面内，复数z 对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合{|25}A x x =-<<，{B x y ==，则A B =（）A ． (2,1)-B ．(0,1]C ．[1,5)D ．(1,5) 3.阅读如下框图，运行相应的程序，若输入n 的值为10，则输出n 的值为（）A ．0B ．1C ．3D ．44.已知函数(),0()21,0g x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩是R 上的奇函数，则(3)g =（）A ．5B ．-5C ．7D ．-7 5.“1a =”是“直线20ax y +-=和直线70ax y a -+=互相垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6.已知函数sin(2)y x ϕ=+在6x π=处取得最大值，则函数cos(2)y x ϕ=+的图像（）A ．关于点(0)6π，对称B ．关于点(0)3π，对称 C.关于直线6x π=对称 D ．关于直线3x π=对称7.若实数a 满足142log 1log 3aa >>，则a 的取值范围是( ) A.2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.23,34⎛⎫⎪⎝⎭ C.3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭8.在ABC △中，角B 为34π，BC 边上的高恰为BC 边长的一半，则cos A =( )C.239．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（） A ．136π B ．144π C ．36π D ．34π 10.若函数()f x x =，则函数12()log y f x x =-的零点个数是（）A ．5个B ．4个 C. 3个 D ．2个11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点A l ∈，线段AF 交抛物线C 于点B ，若3FA FB =，则AF =（）A ．3B ．4 C.6 D ．712．已知ABC ∆是边长为2的正三角形，点P 为平面内一点，且3CP =则()PC P A P B ⋅+的取值范围是（）A ．[]0,12B ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,6D ．[]0,3二．填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.计算：=-3log 87732log ．14.若x ，y 满足约束条件001x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则12y z x +=+的最大值为．15.已知2)4tan(=-πα，则=-)22sin(πα ． 16.已知双曲线C 的中心为坐标原点，点(2,0)F是双曲线C 的一个焦点，过点F 作渐近线的垂线l ，垂足为M ，直线l 交y 轴于点E ，若3F M M E =，则双曲线C 的方程为．三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本大题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且()21n n S a n =-∈*N .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2log n n b a =，求数列(){}21nnb -前2n 项的和T .18.（本大题满分12分）2018年中央电视台春节联欢晚会分会场之一落户黔东南州黎平县肇兴侗寨，黔东南州某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行了调查，随机抽取80名群众进行调查，将他们的年龄分成6段：[)20,30,[)30,40,[)40,50,[)50,60，[)60,70，[]70,80，得到如图所示的频率分布直方图.问：（Ⅰ）求这80名群众年龄的中位数；（Ⅱ）若用分层抽样的方法从年龄在[)2040，中的群众随机抽取6名，并从这6名群众中选派3人外出宣传黔东南，求选派的3名群众年龄在[)3040，的概率.19．（本大题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，且60ABC ∠=，E 是DP 中点.（Ⅰ）证明：//PB 平面ACE ；（Ⅱ）若AP PB ==2AB PC ==，求三棱锥C PAE -的体积.20.（本大题满分12分）已知动点(,)M x y （Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设过点(1,0)N -的直线l 与曲线E 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为C （点C 与点B 不重合），证明：直线BC 恒过定点，并求该定点的坐标.21.（本大题满分12分）已知函数()ln f x x =，()(1)g x a x =-（Ⅰ）当2a =时，求函数()()()h x f x g x =-的单调递减区间；（Ⅱ）若1x >时，关于x 的不等式()()f x g x <恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若数列{}n a 满足11n n a a +=+，33a =，记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：ln(1234)n n S ⨯⨯⨯⨯⨯<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本大题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为24y x =.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)，l 与C 交于,A B 两点，AB =求l的倾斜角.23.（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|3||2|f x a x x =--+. （Ⅰ）若2a =，解不等式()3f x ≤；（Ⅱ）若存在实数a ，使得不等式()14|2|f x a x --+≤成立，求实数a 的取值范围.四川省泸州市泸州高中高2018届高考模拟考试文数学答案1-5:ACCAA 6-10:ACADD 11-12:BA13.34- 14.2 15.54 16.1322=-y x 17．解：（Ⅰ）由112121n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩得()12,1n n a a n n -=∈≥*N ，于是{}n a 是等比数列.令1n =得11a =，所以12n n a -=. （Ⅱ）122log log 21n n n b a n -===-，于是数列{}n b 是首项为0，公差为1的等差数列.2222221234212n n T b b b b b b -=-+-+--+L 123212n n bb b b b -=+++++L ，所以()()221212n n T n n -==-.18. 解（Ⅰ）设80名群众年龄的中位数为x ，则()0.005100.010100.020100.030500.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得55x =，即80名群众年龄的中位数55．（Ⅱ）由已知得，年龄在[20,30）中的群众有0.0051080=4⨯⨯人，年龄在[30,40）的群众有0.011080=8⨯⨯人，按分层抽样的方法随机抽取年龄在[20,30）的群众46248⨯=+人，记为1，2；随机抽取年龄在[30,40）的群众86=448⨯+人，记为,,,a b c d .则基本事件有：()()()()(),,,,,,,,1,,,2,,,,a b c a b d a b a b a c d()()()(),,1,,,2,,,1,,,2a c a c a d a d ，()()()()(),,,,,1,,,2,,,1,,,2,b c d b c b c b d b d()(),,1,,,2,c d c d ()()()(),1,2,,1,2,,1,2,,1,2a b c d 共20个，参加座谈的导游中有3名群众年龄都在[30,40）的基本事件有：()()(),,,,,,,,,a b c a b d a c d (),,,b c d 共4个，设事件A 为“从这6名群众中选派3人外出宣传黔东南，选派的3名群众年龄都在[30,40）”，则41()205p A == 19．（Ⅰ）证明：如图，连接BD ，BD AC F =，连接EF ，∵四棱锥P ABCD -的底面为菱形，∴F 为BD 中点，又∵E 是DP 中点， ∴在BDP △中，EF 是中位线，//EF PB ∴，又∵EF ⊂平面ACE ，而PB ⊄平面ACE ，//PB ∴平面ACE ．（Ⅱ）解：如图，取AB 的中点Q ，连接PQ ，CQ ，∵ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒，∴ABC △为正三角形，CQ AB ⊥∴，AP PB ==∵，2AB PC ==，CQ =∴，且PAB △为等腰直角三角形，即90APB ∠=︒， PQ AB⊥，且1PQ =，222PQ CQ CP +=∴，PQ CQ ⊥∴，又ABCQ Q=，PQ ⊥∴平面ABCD ，11111323122232C PAE E ACPD ACP P ACD V V V V ----=====∴．20.解：（Ⅰ）由已知，动点M 到点(1,0)P -，(1,0)Q 的距离之和为且PQ <M 的轨迹为椭圆，而a =1c =，所以1b =，所以，动点M 的轨迹E 的方程：2212x y +=.（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)C x y -，由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为：(1)y k x =+由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)4220k x k x k +++-=，所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+，直线BC 的方程为：212221()y y y y x x x x +-=--，所以2112212121y y x y x y y x x x x x ++=---，令0y =，则1221121212122112122()2()2()2()2x y x y kx x k x x x x x x x y y k x x k x x +++++====-+++++，所以直线BC 与x 轴交于定点(2,0)D -.21.解：（Ⅰ）由2a =，得()()()l n 22h x f x g x x x x =-=-+>.所以'112()2x h x x x-=-= 令'()0h x <，解得12x >或0x <（舍去），所以函数()()()h x f x g x =-的单调递减区间为 1(,)2+∞ （Ⅱ）由()()f x g x <得，(1)ln 0a x x -->当0a ≤时，因为1x >，所以(1)ln 0a x x -->显然不成立，因此0a >.令()(1)ln F x a x x =--，则'1()1()a x a F x a x x-=-=，令'()0F x =，得1x a =. 当1a ≥时，101a<≤，'()0F x >，∴()(1)0F x F >=，所以(1)ln a x x ->，即有()()f x g x <.因此1a ≥时，()()f x g x <在(1,)+∞上恒成立. ②当01a <<时，11a >，()F x 在1(1,)a 上为减函数，在1(,)a+∞上为增函数， ∴min ()(1)0F x F <=，不满足题意.综上，不等式()()f x g x <在(1,)+∞上恒成立时，实数a 的取值范围是[1,)+∞（III ）证明：由131,3n n a a a +=+=知数列{}n a 是33,1a d ==的等差数列，所以3(3)n a a n d n =+-=所以1()(1)22n n n a a n n S ++== 由（Ⅱ）得，ln (1)1x a x x x <-≤-<在(1,)+∞上恒成立.所以ln 22,ln33,ln 44,,ln n n <<<⋅⋅⋅<. 将以上各式左右两边分别相加，得ln 2ln 3ln 4ln 234n n +++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+.因为ln101=<所以(1)ln1ln 2ln 3ln 4ln 12342n n n n n S +++++⋅⋅⋅+<++++⋅⋅⋅+== 所以ln(1234)n n S ⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯<22.解：(1)∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入24y x =，∴2sin 4cos 0ρθθ-=(2)不妨设点A ，B 对应的参数分别是1t ，2t ，把直线l 的参数方程代入抛物线方程得：22sin 4cos 80t t αα-⋅-=，∴12212224cos sin 8sin 1616sin 0t t t t αααα⎧+=⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪∆=+>⎪⎩，则12AB t t =-==sin α=4πα=或34πα=. 23.解：（Ⅰ）不等式()3f x ≤化为|23||2|3x x --+≤，则22323x x x -⎧⎨-++⎩≤≤或2232323x x x ⎧-<⎪⎨⎪---⎩≤≤，或233223x x x ⎧>⎪⎨⎪---⎩≤，解得3742x -≤≤，所以不等式()3f x ≤的解集为37{|}42x x -≤≤；（Ⅱ）不等式()14|2|f x a x --+≤等价于|3|3|2|1a x x a -++-≤ 即|3|3|2|1a x x a -++-≤，因为|3|3|2||3||63||363||6|a x x a x x a x x a -++=-++-++=+≥，若存在实数a ，使不等式()14|2|f x a x --+≤成立，则|6|1a a +-≤，解得：52a -≤，实数a 的取值范围是5(]2-∞-，。

四川省泸州市2018届高三高考模拟考试数学(理)试题(解析版)

四川省泸州市泸州高中高2018届高考模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一.选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数的共轭复数为，且(是虚数单位)，则在复平面内，复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：利用复数的运算法则可得，z，利用几何意义即可得出．详解：由，可得∴=，即复数对应的点位于第一象限.故选：A点睛：本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2. 设集合,己知,那么的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据集合的定义与性质，即可求出的取值范围．详解：∵集合∴集合∵集合，且∴故选C.点睛：本题考查了交集的定义与应用问题，意在考查学生的计算求解能力．3. 阅读如下框图，运行相应的程序，若输入的值为10，则输出的值为（）A. 0B. 1C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案详解：当n=10时，不能被3整除，故n=9，不满足退出循环的条件；当n=9时，能被3整除，故n=3，满足退出循环的条件；故输出的n=3，故选：C．点睛：本题的实质是累加满足条件的数据，可利用循环语句来实现数值的累加（乘）常分以下步骤：（1）观察S的表达式分析，确定循环的初值、终值、步长；（2）观察每次累加的值的通项公式；（3）在循环前给累加器和循环变量赋初值，累加器的初值为0，累乘器的初值为1，环变量的初值同累加（乘）第一项的相关初值；（4）在循环体中要先计算累加（乘）值，如果累加（乘）值比较简单可以省略此步，累加（乘），给循环变量加步长；（5）输出累加（乘）值．4. 已知函数是上的奇函数，则（）A. 5B. -5C. 7D. -7【答案】A【解析】∵函数是上的偶函数，∴故选：B5. 设，是空间中不同的直线，，是不同的平面，则下列说法正确的是（）A. ，，则B. ，，，则C. ，，，，则D. ，，则【答案】D【解析】分析：在A 中，a∥或a⊂；在B中，a与b平行或异面；在C中，与相交或平行；在D中，由面面平行的性质定理得a∥．详解：由a，b是空间中不同的直线，，是不同的平面，知：在A 中，a∥b，b⊂，则a∥或a⊂，故A错误；在B中，a⊂，b⊂，∥，则a与b平行或异面，故B错误；在C中，a⊂，b⊂，∥，b∥β，则与相交或平行，故C错误；在D中，∥，a⊂，则由面面平行的性质定理得a∥，故D正确．故选：D．点睛：本题考查线面位置关系的判断，考查空间想象能力，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．6. 已知函数在处取得最大值，则函数的图像（）A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称【答案】A【解析】∵函数在处取得最大值，∴，解得，∴。

四川省泸州市2018-2019学年高三上学期理数第一次教学质量诊断性考试试卷

四川省泸州市2018-2019学年高三上学期理数第一次教学质量诊断性考试试卷一、单选题 (共12题；共12分)1．（1分）已知集合A={(x,y)|y=−x+2}，B={(x,y)|y=2x}，则A∩B元素的个数为（）A．0B．1C．2D．32．（1分）命题“ ∀x∈R，e x>x+1（e是自然对数的底数）”的否定是（）A．不存在，使B．，使C．，使D．，使3．（1分）已知函数f(x)=tanx1−tan2x，则函数f(x)的最小正周期为（）A．B．C．D．4．（1分）设a=(12)13，b=(13)12，c=ln(3π)，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．5．（1分）函数f(x)=xcosx−sinx的图象大致为（）A．B．C．D．6．（1分）若l,m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“ l⊥m”是“ l//α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（1分）正数a，b，c满足3a=4b=6c，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．8．（1分）在梯形ABCD中，∠ABC=π2，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（）A．B．C．D．9．（1分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的14，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到的函数图象关于直线x=5π6对称，则θ的最小值为（）A．B．C．D．10．（1分）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为9:25，则cos(α−β)的值为（）A．B．C．D．11．（1分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．B ．C ．D ．12．（1分）已知函数 f(x)=e x−1−alnx +(a −1)x +a(a >0) 的值域与函数 f(f(x)) 的值域相同，则 a 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题 (共4题；共4分)13．（1分）使不等式 log 12(x −2)>0 成立的 x 的取值范围是 .14．（1分）在 ΔABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 asinA =csinC +(a −b)sinB ，则角 C 的大小为 .15．（1分）已知函数 f(x)={2−x +1,x ≤0−√x,x >0，则 f(x +1)−9≤0 的解集为 . 16．（1分）长方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中， AB =AA 1=2AD ， E 是 DD 1 的中点， BF =C 1K =14AB ，设过点 E 、 F 、 K 的平面与平面 AC 的交线为 l ，则直线 l 与直线 A 1D 1 所成角的正切值为 .三、解答题 (共7题；共14分)17．（2分）在 ΔABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，已知 a =6 ， cosA =18 .（1）（1分）若 b =5 ，求 sinC 的值；（2）（1分）ΔABC 的面积为 15√74，求 b +c 的值.18．（2分）已知函数 f(x)=ax −2sinx +xcosx .（1）（1分）求曲线 y =f(x) 在 x =π 处的切线在 y 轴上的截距；（2）（1分）若函数 f(x) 在区间 [0,π2] 上是增函数，求实数 a 的取值范围.19．（2分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(x 1,y 1) 、 B(x 2,y 2) 都在单位圆 O 上， ∠xOA =α ，且 α∈(π3,π2) .（1）（1分）若 sin(α+π6)=1314，求 x 1 的值；（2）（1分）若 ∠AOB =π3 ，求 y =x 12+y 22 的取值范围. 20．（2分）如图，在四棱锥 P −ABCD 中，平面 PBC ⊥ 平面 ABCD ，底面 ABCD 是平行四边形，且 ∠BCD =π4 ， PD ⊥BC .（1）（1分）求证： PC =PD ；（2）（1分）若底面 ABCD 是菱形， PA 与平面 ABCD 所成角为 π6 ，求平面 PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.21．（2分）已知函数 f(x)=(x −a)lnx +12x(a >0) .（1）（1分）若 f′(x) 是 f(x) 的导函数，讨论 g(x)=f′(x)−x −alnx 的单调性；（2）（1分）若 a ∈(12e,2√e) （ e 是自然对数的底数），求证： f(x)>0 .22．（2分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 ρsin 2θ=2acosθ(a >0) ，过点 P(−2,−4) 的直线 l 的参数方程为{x=−2+5ty=−4+5t（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点. （1）（1分）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）（1分）若|PA||PB|=|AB|2，求a的值.23．（2分）已知定义在R上的函数f(x)=|x−m|+|x|，m∈N∗，若存在实数x使f(x)<2成立.（1）（1分）求实数m的值；（2）（1分）若a>1，b>1，f(a)+f(b)=4，求证：4a+1b>3.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】∵集合 A ={(x,y)|y =−x +2} ， B ={(x,y)|y =2x } ，∴A∩B={（x ，y ）| {y =−x +2y =2x }={（1，1）}． ∴集合A∩B 的元素个数是1个．故答案为：B ．【分析】根据集合中元素的特点，求出直线与曲线交点坐标即可.2．【答案】D【解析】【解答】命题““ ∀x ∈R ， e x >x +1 ”的否定是 ∃x ∈R ，使 e x ≤x +1 ，故答案为：D ．【分析】根据全称命题的否定是特称命题，直接写出其否定即可.3．【答案】C【解析】【解答】 f(x)=tanx 1−tan 2x =sinxcosx 1−sin 2x cos 2x =sinxcosx cos 2x−sin 2x=12sin2x cos2x =12tan2x ， ∴f(x) 的最小正周期为 π2 ，故答案为：C.【分析】根据同角三角函数的平方关系与商数关系，化简，结合正切函数的最小正周期，即可求出函数f （x ）的最小正周期.4．【答案】A【解析】【解答】利用 y =(12)x 与 y =x 12 的单调性可知：a =(12)13>(12)12>(13)12=b >0 ，又 c =ln(3π)<ln1=0∴a >b >c 故答案为：A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，取中间量进行比较即可.5．【答案】D【解析】【解答】因为 f(−x)=−xcosx +sinx =−xcosx −sinx =−f(x) ，所以函数 f(x)=xcosx −sinx 是奇函数，函数图象关于原点对称，可排除选项 B,C ,由 f(π2)=−1<0 ，可排除选项 A ，故答案为：D.【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊点，逐一排除，即可确定函数的大致图象.6．【答案】B【解析】【解答】若 l ⊥m ，因为 m 垂直于平面 α ，则 l//α 或 l ⊂α ；若 l//α ，又 m 垂直于平面 α ，则 l ⊥m ，所以“ l ⊥m ”是“ l//α 的必要不充分条件，故答案为：B ．【分析】根据空间直线与平面的位置关系，即可确定充分、必要性.7．【答案】B【解析】【解答】因为 a,b,c >0 ，且3a =4b =6c =k ∴a =log 3k,b =log 4k,c =log 6k∴2c =2a +1b故答案为：B【分析】将指数式转化为对数式，结合对数的运算性质，即可确定正确的关系式.8．【答案】A【解析】【解答】∵在梯形ABCD 中，∠ABC= π2 ，AD ∥BC ，BC=2AD=2AB=2，∴将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是：一个底面半径为AB=1，高为BC=2的圆柱减去一个底面半径为AB=1，高为BC ﹣AD=2﹣1=1的圆锥， ∴几何体的表面积为：S=π×12+2π×1×2+ π×1×√12+12 =（5+ √2 ）π．故答案为：A ．【分析】根据旋转成的几何体的结构特征，结合圆锥的表面积计算公式，即可求出几何体分表面积.9．【答案】A【解析】【解答】由最大值为 2√3 ，得 A =2√3 ，由 T 2=43π−π3=π ，得 T =2π=2πω,ω=1 ，f(x)=2√3sin(x +φ) ，∵f(π3)=0,∴π3+φ=kπ ， ∵|φ|<π2,∴φ=−π3 ， f(x)=2√3sin(x −π3) ，将函数 y =f(x) 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 14 ，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移 θ(θ>0) 个单位长度，得到 g(x)=2√3sin[4(x −θ)−π3]=2√3sin(4x −4θ−π3) ， ∵g(x) 图象关于 x =56 对称， ∴4×56π−4θ−π3=kπ+π2 ，4θ=−kπ+5π2 ，k =2 时， θ 最小为 π8 ，故答案为：A.【分析】根据图象最高点的纵坐标求出A ，结合函数的周期求出ω，结合特殊点求出φ ，通过函数的对称轴，即可求出θ 的最小值.10．【答案】D【解析】【解答】设大的正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形面积之比为9：25，可得：小正方形的边长为 35，可得：cosα﹣sinα= 35 ，①sinβ﹣cosβ= 35，②由图可得：cosα=sinβ，sinα=cosβ，①×②可得： 925 =cosαsinβ+sinαcosβ﹣cosαcosβ﹣sinαsinβ=sin 2β+cos 2β﹣cos （α﹣β）=1﹣cos （α﹣β），解得：cos （α﹣β）= 1625．故答案为：D ．【分析】根据图形关系求出三角函数值，结合两角差的余弦公式，即可求出相应的三角函数值.11．【答案】D【解析】【解答】由三视图可知该几何体为一个四棱锥和一个 14球体的组合体，其中四棱锥的是以侧视图为底面，其体积为 13×4×2×2=163. 而 14 球体的体积为 14×43π×(2)3=83π .故组合体的体积为16+8π3故答案为：D【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，根据棱锥的体积公式和球体的体积公式，即可求出组合体分体积.12．【答案】C【解析】【解答】f（x）的定义域为（0，+∞）．f′(x)=e x−1−ax+a−1，在（0，+∞）递增．而f′（1）=e0﹣a+a﹣1=0，则f（x）在（0，1）上单减，在（1，+∞）上单增，f（1）=2a．∴f（x）的值域为[2a，+∞）．要使y=f[f（x）]与y=f（x）的值域相同，只需2a≤1，又a＞0，解得0＜a ≤12．故答案为：C．【分析】求出函数的定义域，求导数，利用导数判定函数的单调性，根据单调性表示函数的值域，即可求出实数a的取值范围.13．【答案】【解析】【解答】∵log12(x−2)>0=log121∴0<x−2<1，即2<x<3故答案为：(2,3)【分析】根据对数函数的真数大于0，解对数不等式，即可求出x的取值范围. 14．【答案】【解析】【解答】∵asinA=csinC+(a−b)sinB，∴由正弦定理可得a×a2a =c×c2R+(a−b)×b2R，化为a2+b2−c2=ab，cosC=a2+b2−c22ab=12，C=π3，故答案为π3 .【分析】根据正余弦定理，边角转化，即可求出角C.15．【答案】【解析】【解答】 ∵ f(x)={2−x +1,x ≤0−√x,x >0 ， ∴ 当 x +1≤0 时， {x ≤−12−(x+1)−8≤0 ，解得 −4≤x ≤−1 ；当 x +1>0 时， {x >−1−√x +1−9≤0 ，解得 x >−1 ，综上， x ≥−4 ，即 f(x +1)−9≤0 的解集为 [−4,+∞) ，故答案为 [−4,+∞) .【分析】对x+1的取值分类讨论，分别代入相应的区间，解不等式组，即可求出不等式的解集.16．【答案】4【解析】【解答】延长KE ，CD 交于M 点，又DE CK =23∴MD MC =23同样延长KF ，CB 交于N 点，又 BF CK =13∴NB NC =13MN 即为过点 E 、 F 、 K 的平面与平面 AC 的交线为 l ，又CN 平行于 A 1D 1 即MN 与CN 所成角为所求，记所成角为 θ则 tanθ=MC NC =3CD32BC=4 故答案为：4【分析】根据正方体的结构特征，通过作平行线得到异面直线所成的角，即可求出相应的正切值.17．【答案】（1）解：由 cosA =18 ，则 0<A <π2 ，且 sinA =3√78，由正弦定理 sinB =b a sinA =5√716，因为 b <a ，所以 0<B <A <π2 ，所以 cosB =916，sinC =sin(A +B) =sinAcosB +cosAsinB =√74（2）解： S ΔABC =12bcsinA =12bc ×3√78=15√74，∴bc =20 ，a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+c 2−2×20×18=36 ，∴b 2+c 2=41 ， (b +c)2=b 2+c 2+2bc =41+40=81 ， ∴b +c =9【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式，即可求出sinC ；（2）根据三角形的面积公式，结合余弦定理，即可求出b+c.18．【答案】（1）解：因为 f′(x)=a −2cosx +cosx −xsinx =a −cosx −xsinx ，当 x =π 时， f(π)=aπ−π ， f′(π)=a +1 ，所以曲线 y =f(x) 在 x =π 处的切线方程为： y −(aπ−π)=(a +1)(x −π) ，令 x =0 得： y =−2π ，所以曲线 y =f(x) 在 x =π 处的切线在 y 轴上的截距为 −2π（2）解：因为 f(x) 在区间 [0,π2] 上是增函数，所以 f′(x)≥0 在区间 [0,π2] 上恒成立，则 a −cosx −xsinx ≥0 ，即 a ≥cosx +xsinx ，令 g(x)=cosx +xsinx ，则 g′(x)=−sinx +sinx +xcosx =xcosx ≥0 ，所以 g(x) 在区间 [0,π2] 上单调递增，所以 g(x)max =g(π2)=π2 ，故实数 a 的取值范围是 [π2,+∞) .【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，结合点斜式，求出切线方程，即可得到切线在y 轴的截距；（2）根据增函数，导函数大于等于0，构造函数g （x ），确定函数的单调区间，求出g （x ）的最大值，即可求出实数a 的取值范围.19．【答案】（1）解：由三角函数的定义有 x 1=cosα ，因为 sin(α+π6)=1314， α∈(π3,π2) ，所以 π2<α+π6<5π6 ， cos(α+π6)=−3√314，所以 x 1=cosα=cos[(α+π6)−π6]=cos(α+π6)cos π6+sin(α+π6)sin π6=−3√314⋅√32+1314⋅12=17（2）解：由题知 x 1=cosα ， y 2=sin(α+π3)y =x 12+y 22=cos 2α+sin 2(a +π3) =1+cos2α2+1−cos2(α+π3)2， =1+34cos2α+√34sin2α =√32sin(2α+π3)+1 ，α∈(π3,π2) ， 2α+π3∈(π,4π3) ，sin(2α+π3)∈(−√32,0) ， √32sin(2α+π3)+1∈(14,1) .所以 y 的取值范围是 (14,1) .【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义，结合两角差是余弦公式，即可求出相应的三角函数值；（2）根据余弦的二倍角公式及辅助角公式，结合不等式的性质，即可求出y 的取值范围.20．【答案】（1）证明：过 P 作 PE ⊥BC ，垂足为 E ，连接 DE ，因为平面 PBC ⊥ 平面 ABCD ，所以 PE ⊥ 平面 ABCD ，因为 PD ⊥BC ，所以 BC ⊥ 平面 PDE ，所以 DE ⊥BC ，因为 ∠BCD =π4 ，所以 DE =EC ，因为 ΔPED ≌ΔPEC ，所以 PD =PC .（2）解：解法一：因为 BC ∥AD ， BC ⊄ 平面 ADP ， AD ⊂ 平面 ADP ，所以 BC ∥ 平面 ADP ，设平面 PBC ∩平面 PAD = 直线 l ，所以 l ∥BC ，因为 BC ⊥ 平面 PDE ，所以 l ⊥PE ， l ⊥PD ，所以 ∠DPE 是平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的平面角，因为 PE ⊥ 平面 ABCD ，故∠PAE是直线PA与平面ABCD所成角，即∠PAE=π6，设PE=a，则AE=√3a，PA=2a，设DE=m，则EC=m，DC=√2m，所以(√3a)2=m2+(√2m)2，所以m=a，故∠DPE=π4，所以cos∠DPE=√22，即平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为√22.解法二：因为BC⊥平面PDE，PE⊥平面ABCD，故∠PAE是直线PA与平面ABCD所成角，即∠PAE=π6，且DE⊥BC，DE⊥PE，设PE=a，则AE=√3a，PA=2a，在ΔDEC中，设DE=m，则EC=m，DC=√2m，在ΔEDA中，所以(√3a)2=m2+(√2m)2，所以m=a，以E为坐标原点，分别以ED、DB、EP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则D(a,0,0)，A(a,√2a,0)，P(0,0,a)，则平面PBC的法向量a⃗=(1,0,0)，设平面PAD的法向量b⃗=(x,y,z)，因为AP⇀=(−m,−√2m,m)，AD⇀=(0,−√2m,0)，所以{−√2my=0−mx+√2my+mz=0，故b⃗=(1,0,1)，设平面PBD与平面PAC的夹角为θ，则cosθ=b⃗⃗ ⋅a⃗⃗|b⃗⃗ ||a⃗⃗ |=1√2=√22，平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为√22.【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质证明线面垂直，结合三角形全等，即可证明PC=PD ；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示相应的向量，求出平面的法向量，即可求出二面角的余弦值.21．【答案】（1）解：因为 f′(x)=lnx −a x +32 ，所以 g(x)=(1−a)lnx −a x −x +32， g′(x)=1−a x +ax2−1 =−(x−1)(x+a)x (x >0) ，①当 0<a ≤1 时， g ′(x)>0 ， g(x) 在 (0,+∞) 上是增函数；②当 a >1 时，由 g ′(x)>0 得 0<x <aa−1 ，所以 g(x) 在 (0,a a−1) 上是增函数；在 (aa−1,+∞) 上是减函数（2）解：因为 f′(x)=lnx −a x +32 ，令 ℎ(x)=lnx −a x +32 ，则 ℎ′(x)=1x +a x 2 ，因为 a ∈(12e ,2√e) ，所以 ℎ′(x)=1x +a x2>0 ，即 ℎ(x) 在 (0,+∞) 是增函数，下面证明 ℎ(x) 在区间 (a2,2a) 上有唯一零点 x 0 ，因为 ℎ(a 2)=ln a 2−12， ℎ(2a)=ln2a +1 ，又因为 a ∈(12e ,2√e) ，所以 ℎ(a 2)<ln 2√e 2−12=0 ， ℎ(2a)>ln(2⋅12e )+1=0 ，由零点存在定理可知， ℎ(x) 在区间 (a2,2a) 上有唯一零点 x 0 ，在区间 (0,x 0) 上， ℎ(x)=f′(x)<0 ， f′(x) 是减函数，在区间 (x 0,+∞) 上， ℎ(x)=f′(x)>0 ， f′(x) 是增函数，故当 x =x 0 时， f(x) 取得最小值 f(x 0)=(x 0−a)lnx 0+12x 0 ，因为 ℎ(x 0)=lnx 0−a x 0+32=0 ，所以 lnx 0=a x 0−32 ，所以 f(x 0)=(x 0−a)(a x 0−32)+12x 0 =1x 0(x 0−a2)(2a −x 0) ，因为 x 0∈(a2,2a) ，所以 f(x)>0 ，所以 a ∈(12e,2√e) ， f(x)>0 .【解析】【分析】（1）求导数，表示出g （x ），对g （x ）求导数，解不等式，即可求出函数的单调区间；（2）求导数，构造函数h （x ），对h （x ）求导数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值，结合零点的存在性定理，即可证明相应的式子成立.22．【答案】（1）解：由ρsin2θ=2acosθ(a>0)得ρ2sin2θ=2aρcosθ(a>0)，所以曲线C的直角坐标方程y2=2ax，因为{x=−2+5ty=−4+5t ，所以x+2y+4=1，直线l的普通方程为y=x−2（2）解：直线l的参数方程为{x=−2+√22ty=−4+√22t（t为参数），代入y2=2ax得：t2−2√2(4+a)t+32+8a=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=2√2(4+a)，t1t2=32+8a，t1>0，t2>0由参数t1，t2的几何意义得|t1|=|PA|，|t2|=|PB|，|t1−t2|=|AB|，由|PA||PB|=|AB|2得|t1−t2|2=t1t2，所以|t1+t2|2=5t1t2，所以(2√2(4+a))2=5(32+8a)，即a2+3a−4=0，故a=1，或a=−4（舍去），所以a=1.【解析】【分析】（1）两边同时乘以ρ，将极坐标方程转化为直角坐标方程即可；消去参数t，即可得到直线的普通方程；（2）写出直线的参数方程，将直线方程与抛物线方程联立，根据韦达定理，结合直线方程中参数的几何意义，即可求出a的值.23．【答案】（1）解：因为f(x)=|x−m|+|x|≥|x−m−x|=|m|，因存在实数x使f(x)<2成立，所以|m|<2，解之得−2<m<2，因为m∈N∗，所以m=1（2）解：因a>1，b>1，所以f(a)+f(b)=2a−1+2b−1=2a+2b−2，因为f(a)+f(b)=4，所以2a+2b−2=4，所以a+b=3，因为4a+1b=13(4a+1b)(a+b)=13(5+4ba+ab)≥13(5+2√4ba⋅ab)=3，a=2且b=1时等号成立，又a>1，b>1，所以等号不成立，4a+1b>3.【解析】【分析】（1）根据绝对值三角不等式，将存在实数x使f(x)<2成立进行转化，解不等式，即可求出m的值；（2）根据f(a)+f(b)=4，得到a和b的关系，结合基本不等式，即可证明结论成立.。

四川省泸州泸县第五中学2018届高三第一次适应性考试(高考模拟)数学(理)试题(含答案)

四川省泸县第五中学2018届高考模拟考试数学（理科）一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥==0,)31(x y y P x ，{})24ln(2x x y x Q -==，则P ∩Q=（）A ．（0，1]B ．∅C ．（0，2）D ．{0}2．已知i m m m z )23(2222+-+-=（m ∈R ，i 为虚数单位），则“m =﹣1”是“z 为纯虚数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3.如图，正方形ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（） A ．14 B ．12 C ．8π D ．4π4.已知双曲线C 的中心为原点，点(2,0)F 是双曲线C 的一个焦点，点F 到渐近线的距离为1，则C 的方程为（）A ．221x y -= B ．2212y x -= C. 22123x y -= D ．22133x y -= 5. 某几何体的三视图如图(1)所示,则该几何体中最短棱和最长棱所在直线所成角的余弦值为（）A ．63 B ．64 C.22D ．336.6)2)(1(--x x 的展开式中3x 的系数为（）A ．400-B ．80 C.80- D ．4007.为了提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设原信息为123a a a ，传输信息为11232h a a a h ，其中112h a a =⊕，213h h a =⊕，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=.例如：原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息出错的是（）A ．01100B ．11010C ．10110D ．110008.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且111313a S ==，则9a =（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．99．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（）A ．7B ．6C ．5D ．410．若3x =是函数()()21x f x x ax e =++的极值点，则()f x 的极大值等于（） A ．-1 B ．3 C ．32e - D ．16e -11.棱长为2的正八面体（八个面是全等的等边三角形），球O 是该正八面体的内切球，球O 的表面积为（） A ．83π B ．43πC.8627π D ．4627π12.如图，已知梯形ABCD 中2AB CD =,点E 在线段AC 上,且25AE AC =,双曲线过C D E 、、三点，以A B 、为焦点; 则双曲线离心率e 的值为（） A ．32B ．7 C.52 D ．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知138a =，231()2b =，则2log ()ab = ．14．已知焦点在坐标轴上，中心是原点的双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点()2,3，则双曲线的焦点到渐近线的距离等于．15．函数()2sin f x x x π=+，则不等式()212f x -≤-≤的解集为．16.设函数()(12)xf x e x ax =-+，其中1a <，若存在唯一负整数0x ，使得0()f x a >，则实数a 的取值范围是三.解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知数列{}n a 满足132n n a a +=+，且12a =. （Ⅰ）求证：数列{}1n a +是等比数列；（Ⅱ）数列{}n b 满足3log (1)n n b a =+，判断数列2211{}n n b b +的前n 项和n T 与12的大小关系，并说明理由.18.第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：收看时间（单位：小时）[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)收看人数143016282012（Ⅰ）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全22⨯列联表：男女合计体育达人 40 非体育达人 30 合计并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；(II)在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.记其中女职工的人数为ξ，求的ξ分布列与数学期望. 附表及公式：20()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.19.如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=，AB BC ⊥，2AB BC ==.（Ⅰ）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； (II)求平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，上顶点为(0,1)B ，1ABF ∆的面积为212-. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；(II)设直线l ：(1)y k x =+与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，P 是线段MN 的中点.若经过点2F 的直线m 与直线l 垂直于点Q ，求1PQ FQ ⋅的取值范围.21.已知函数2()ln f x a x =+且()f x a x ≤. （Ⅰ）求实数a 的值； (II)令()()xf x g x x a=-在(,)a +∞上的最小值为m ，求证：6()7f m <<.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； (II)直线l 的极坐标方程是2ρsin （θ+）=3，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()23f x x x =--+. （Ⅰ）求不等式()3f x ≤的解集；(II)若不等式2()6f x a a <-解集非空，求实数a 的取值范围.四川省泸县第五中学2018届高考模拟考试数学（理科）答案一．选择题1-12 ACCAD DDBBD AB 二．填空题 13.31 14.24 15.[]2,0 16.253[,)32e e17.（Ⅰ）由题意可得11333(1)n n n a a a ++=+=+，即1(1)3(1)n n a a ++=+，又1130a +=≠，故数列{1}n a +是以3为首项，3为公比的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知13n n a +=，即33log (1)log 3nn n b a n =+==.故)121121(21)12()12(1)12(211122+--=+⋅-<+⋅=+n n n n n n b b n n∴21)1211(21)121121(21)5131(21)311(21<+-=+--++-+-<n n n T n ，故12n T < 18.解：（1）由题意得下表：男女合计体育达人 40 20 60 非体育达人30 30 60 合计70501202k 的观测值为2120(1200600)70506060-⨯⨯⨯24 2.7067=>.所以有90%的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关. （2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，所以ξ的可能取值为0，1，2.且2426(0)C P C ξ==62155==，114226(1)C C P C ξ==815=，2226(2)C P C ξ==115=，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2P25815 11528()01515E ξ=⨯+⨯1102215153+⨯==.19.解：（1）连接MD ，FD .∵四边形BDEF 为菱形，且60FBD ∠=， ∴DBF ∆为等边三角形.∵M 为BF 的中点，∴DM BF ⊥. ∵AB BC ⊥，2AB BC ==，又D 是AC 的中点，∴BD AC ⊥. ∵平面BDEF平面ABC BD =，平面ABC ⊥平面BDEF ，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥平面BDEF .又BF ⊂平面BDEF ，∴AC BF ⊥. 由DM BF ⊥，AC BF ⊥，DM AC D =，∴BF ⊥平面AMC.（2）设线段EF 的中点为N ，连接DN .易证DN ⊥平面ABC .以D 为坐标原点，DB ，DC ，DN 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则(0,1,0)A -，13(,0,)22E -，13(,0,)22F ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C .∴13(,1,)22AE =-，(1,0,0)EF =，13(,0,)22BF =-，(1,1,0)BC =-. 设平面AEF ，平面BCF 的法向量分别为111(,,)m x y z =，222(,,)n x y z =.由00AE m EF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩111113022102x y z x ⎧-++=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩. 解得1132y z =-. 取12z =-，∴(0,3,2)m =-.又由00BC n BF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩2222013022x y x z -+=⎧⎪⇒⎨-+=⎪⎩解得223y z =. 取21z =，∴(3,3,1)n =. ∵cos ,m n <>m n m n⋅=11777==⋅. ∴平面AEF 与平面BCF所成的锐二面角的余弦值为17.20.解：（1）由已知，有1b =. 又1121()22ABF S a c b ∆-=-=，∴21a c -=-. ∵222a b c =+， ∴2a =.∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）①当0k =时，点P 即为坐标原点O ，点Q 即为点2F ，则1PQ =，12FQ =. ∴12PQ FQ ⋅=. ②当0k ≠时，直线l 的方程为(1)y k x =+. 则直线m 的方程为1(1)y x k=--，即10x ky +-=. 设11(,)M x y ，22(,)N x y .联立方程22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得222(12)4k x k x ++2220k +-=.此时28(1)0k ∆=+>.∴2122412k x x k -+=+，1212(2)y y k x x +=++2212kk =+. ∴2222(,)1212k k P k k -++. ∵PQ 即点P 到直线m 的距离，∴222222112121k k k kPQ k -+-++=+22231(12)1k k k +=++.又1FQ 即点1F 到直线m 的距离，∴1221F Q k =+.∴21222(13)(12)(1)k PQ F Q k k +⋅=++.令213(1)k t t +=>，则213t k -=. ∴118(12)(2)t PQ FQ t t ⋅=++1812()5t t=++182225<=⨯+. 即0k ≠时，有102PQ FQ <⋅<. 综上，可知1PQ FQ ⋅的取值范围为(0,2].21. 解：（1）法1：由题意知：2ln a x a x +≤恒成立等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立，令()2ln h t a at t =-+，则22'()ath t a t t-=-=，当0a ≤时，'()0h t >，故()h t 在(0,)+∞上单调递增，由于(1)0h =，所以当1t >时，()(1)0h t h >=，不合题意.当0a >时，2'()a t a h t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，所以当20t a <<时，'()0h t >；当2t a >时，'()0h t <，所以()h t 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()h t 在2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，即max 2()h t h a ⎛⎫= ⎪⎝⎭22ln 22ln a a =-+-. 所以要使()0h t ≤在0t >时恒成立，则只需max ()0h t ≤，亦即22ln 22ln 0a a -+-≤，令()22ln 22ln a a a ϕ=-+-，则22'()1a a a aϕ-=-=，所以当02a <<时，'()0a ϕ<；当2a >时，'()0a ϕ>，即()a ϕ在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增. 又(2)0ϕ=，所以满足条件的a 只有2，即2a =.法2：由题意知：2ln a x a x +≤恒成立等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立，令()2ln h t a at t =-+，由于(1)0h =，故2ln 0a at t -+≤()(1)h t h ⇔≤，所以(1)h 为函数()h t 的最大值，同时也是一个极大值，故'(1)0h =.又22'()ath t a t t -=-=，所以2a =，此时2(1)'()t h t t-=，当01t <<时，'()0h t >，当1t >时，'()0h t <，即：()h t 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上单调递减. 故2a =合题意. （2）由（1）知()()xf x g x x a =-22ln (2)2x x xx x +=>-，所以22(2ln 4)'()(2)x x g x x --=-，令()2ln 4s x x x =--，则22'()1x s x x x-=-=，由于2x >，所以'()0s x >，即()s x 在(2,)+∞上单调递增；又(8)0s <，(9)0s >，所以0(8,9)x ∃∈，使得0()0s x =，且当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >，即()g x 在0(2,)x 上单调递减；在0(,)x +∞上单调递增. 所以min0()()g x g x =000022ln 2x x x x +=-2000022x x x x -==-.（∵002ln 4x x =-）即0m x =，所以0()()f m f x =0022ln 2(6,7)x x =+=-∈，即6()7f m <<.22．解：（I ）利用cos 2φ+sin 2φ=1，把圆C 的参数方程为参数）化为（x ﹣1）2+y 2=1，∴ρ2﹣2ρcos θ=0，即ρ=2cos θ．（II ）设（ρ1，θ1）为点P 的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q 的极坐标，由，解得． ∵θ1=θ2，∴|PQ |=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ |=2．23.解：（Ⅰ）由()233f x x x =--+≤可化为：3233x x x <-⎧⎨-+++≤⎩或32233x x x -≤≤⎧⎨-+--≤⎩或2233x x x >⎧⎨---≤⎩ 解得：x ∈∅或22x -≤≤或2x >，所以，不等式解集为[)2,-+∞. （Ⅱ）因为()23(2)(3)5f x x x x x =--+≤--+= 所以5()5f x -≤≤，即()f x 的最小值为5-，要不等式2()6f x a a <-解集非空，需2min ()6f x a a <-，从而2650a a -+>，解得1a <或5a >，所以a 的取值范围为()(),15,-∞+∞U .。

2021届四川省泸县二中2018级高三上学期一诊模拟考试数学(理)试卷及答案

1 2021届四川省泸县二中2018级高三上学期一诊模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}20,2,A m m =-,{}|15B x Z x =∈<<,若{4}A B ⋂=,则实数m 构成的集合是 A ．{2,6} B ．{2,6}- C ．{2,2}- D ．{2,2,6}-2．函数sin(2)3y x π=+图象的对称轴方程可能是 A ．6x π=- B ．12x π=- C ．6x π= D ．12x π=3．函数()()311x x e f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为A ．B ．C ．D ．4．设()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x ≤时,2()2f x x x =-,则(1)f =A ．3-B ．1-C ．1D ．35．α,β是两个平面,m ,n 是两条直线,则下列命题中错误的是A ．如果m n ⊥,m α⊥,n β⊥,那么αβ⊥B ．如果m α⊂,//αβ,那么//m βC ．如果l αβ=,//m α,//m β,那么//m lD ．如果m n ⊥,m α⊥,βn//,那么αβ⊥6．在ABC 中,已知sin cos sin A B C =, 那么ABC 一定是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形7．设0a >,0b >,是lg 4a 与lg 2b 的等差中项,则21a b+的最小值为A ．B ．3C ．4D ．98．若函数()223,123,1x ax x f x x a x ⎧-+-<-=⎨-≥-⎩在定义域上单调递增,则实数a 的取值范围是 A ．[)1,--∞ B ．(],2-∞- C ．[]1,2- D ．[]0,29．已知长方体所有棱的长度之和为28,,则该长方体的表面积为A ．32B ．20C ．16D ．12。

四川省泸州市2018届高三第一次诊断性考试数学文试题(PDF版,有答案)

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2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷(文科)

2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}，B={2，3}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3}B．{2}C．{﹣1，0，1，2} D．∅2．（5分）“x＞0”是“x+1＞0”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知tan（）=，则tanα的值为（）A．B．C．3 D．﹣34．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为（）A．4 B．5 C．6 D．75．（5分）定义在R上的函数f（x）=﹣x3+m与函数g（x）=f（x）﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，﹣3]C．[﹣3，+∞）D．[0，+∞）6．（5分）函数y=xln|x|的大致图象是（）A． B．C．D．7．（5分）设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（）A．α∥β，a⊂α，则a∥βB．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βD．a∥b，b⊂α，则a∥α8．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，则函数y=cos（2x+φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x=对称D．关于直线x=对称9．（5分）已知圆锥的高为5，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．36πC．48πD．24π10．（5分）已知函数f（x）=x（2x），若f（x﹣1）＞f（x），则x的取值范围是（）A．（）B．（）C．（）D．（）11．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）函数f（x）=x﹣ln（x+2）+e x﹣a+4e a﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使f（x0）=3成立，则实数a的值为（）A．ln2 B．ln2﹣1 C．﹣ln2 D．﹣ln2﹣1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知sinα+cosα=，则sinαcosα=．14．（5分）设函数f（x）=，若f（a）=9，则a的值．15．（5分）如图，CD是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A处时测得点D的仰角为30°，行驶300m后到达B处，此时测得点C在点B的正北方向上，且测得点D的仰角为45°，则此山的高CD= m．16．（5分）一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为．（1）求a的值；（2）求f（x）≥0使成立的x的集合．18．（12分）设f（x）=ae x﹣cosx，其中a∈R．（1）求证：曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线过定点；（2）若函数f（x）在（0，）上存在极值，求实数a的取值范围．19．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA=2sin （A+B），它的面积S=c2．（1）求sinB的值；（2）若D是BC边上的一点，cos，求的值．20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD⊥底面ABCD．（1）求证：平面SBD⊥平面SAD；（2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，求侧面△SAB的面积．21．（12分）已知函数f（x）=﹣ax+alnx．（Ⅰ）当a＜0时，论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a=1时．若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2．证明x1＜．请考生在22.23题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为=3，曲线C的极坐标方程为ρ=4acosθ（a＞0）．（1）设t为参数，若y=﹣2，求直线l参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于P，Q，设M（0，），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立，求实数a的取值范围．2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}，B={2，3}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3}B．{2}C．{﹣1，0，1，2} D．∅【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}={0，1，2}，B={2，3}，∴A∩B={2}．故选：B．2．（5分）“x＞0”是“x+1＞0”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“x+1＞0”⇔“x＞﹣1”，故“x＞0”是“x+1＞0”的充分不必要条件，故选：B．3．（5分）已知tan（）=，则tanα的值为（）A．B．C．3 D．﹣3【解答】解：由tan（）=，得，∴，解得tanα=．故选：A．4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由右边的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共有6条直线与直线BA1是异面直线，故选：C．5．（5分）定义在R上的函数f（x）=﹣x3+m与函数g（x）=f（x）﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，﹣3]C．[﹣3，+∞）D．[0，+∞）【解答】解：f′（x）=﹣3x2≤0在[﹣1，1]恒成立，故f（x）在[﹣1，1]递减，结合题意g（x）=﹣x3+m﹣kx在[﹣1，1]递减，故g′（x）=﹣3x2﹣k≤0在[﹣1，1]恒成立，故k≥﹣3x2在[﹣1，1]恒成立，故k≥0，故选：D．6．（5分）函数y=xln|x|的大致图象是（）A． B．C．D．【解答】解：令f（x）=xln|x|，易知f（﹣x）=﹣xln|﹣x|=﹣xln|x|=﹣f（x），所以该函数是奇函数，排除选项B；又x＞0时，f（x）=xlnx，容易判断，当x→+∞时，xlnx→+∞，排除D选项；令f（x）=0，得xlnx=0，所以x=1，即x＞0时，函数图象与x轴只有一个交点，所以C选项满足题意．故选：C．7．（5分）设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（）A．α∥β，a⊂α，则a∥βB．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βD．a∥b，b⊂α，则a∥α【解答】解：由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A中，α∥β，a⊂α，则由直线与平面平行的判定定理得a∥β，故A正确；在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；在C中，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故D错误．故选：A．8．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，则函数y=cos（2x+φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x=对称D．关于直线x=对称【解答】解：∵函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，∴sin（+φ）=1，∴cos（+φ）=0，∴函数y=cos（2x+φ）的图象关于点（，0）对称，故选：A．9．（5分）已知圆锥的高为5，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．36πC．48πD．24π【解答】解：设球的半径为R，则∵圆锥的高h=5，底面圆的半径r=，∴R2=（R﹣h）2+r2，即R2=（R﹣5）2+5，解得：R=3，故该球的表面积S=4πR2=36π，故选：B10．（5分）已知函数f（x）=x（2x），若f（x﹣1）＞f（x），则x的取值范围是（）A．（）B．（）C．（）D．（）【解答】解：x＞0时，f（x）在（0，+∞）递增，而f（﹣x）=f（x），f（x）是偶函数，故f（x）在（﹣∞，0）递减，若f（x﹣1）＞f（x），则|x﹣1|＞|x|，即（x﹣1）2＞x2，解得：x＜，故选：A．11．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，三棱锥的长宽高分别为：2，1，2，故体积为：，半圆柱的底面半径为1，高为2，故体积为：π，故组合体的体积V=+π，故选：D12．（5分）函数f（x）=x﹣ln（x+2）+e x﹣a+4e a﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使f（x0）=3成立，则实数a的值为（）A．ln2 B．ln2﹣1 C．﹣ln2 D．﹣ln2﹣1【解答】解：令f（x）=x﹣ln（x+2）+e x﹣a+4e a﹣x，令g（x）=x﹣ln（x+2），g′（x）=1﹣=，故g（x）=x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，故当x=﹣1时，g（x）有最小值﹣1﹣0=﹣1，而e x﹣a+4e a﹣x≥4，（当且仅当e x﹣a=4e a﹣x，即x=a+ln2时，等号成立）；故f（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；故x=a+ln2=﹣1，即a=﹣1﹣ln2．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知sinα+cosα=，则sinαcosα=﹣．【解答】解：∵sinα+cosα=，∴（sinα+cosα）2=，∴1+2sinαcosα=，解得sinαcosα=﹣，故答案为：﹣．14．（5分）设函数f（x）=，若f（a）=9，则a的值3．【解答】解：若a＞2，由f（a）=9，得2a+1=9，得a=3，若0＜a≤2，由f（a）=9，得log2a+4=9，得a=32，舍去．综上a=3，故答案为：3．15．（5分）如图，CD是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A处时测得点D的仰角为30°，行驶300m后到达B处，此时测得点C在点B的正北方向上，且测得点D的仰角为45°，则此山的高CD=150 m．【解答】解：设此山高h（m），由题意在点A处时测得点D的仰角为30°，得AC=h，在△ABC中，∠CBA=90°，测得点D的仰角为45°，∴BC=h，AB=300．根据勾股定理得，3h2=h2+90000，∴h=150．即CD=150m．故答案为：150．16．（5分）一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是（，）．【解答】解：长方体ABCD﹣EFGH，若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC；而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形；所以液体体积必须大于三棱柱G﹣EHD的体积，并且小于长方体ABCD﹣EFGH体积﹣三棱柱B﹣AFC体积1﹣=，故答案为：（，）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为．（1）求a的值；（2）求f（x）≥0使成立的x的集合．【解答】解：（1）∵f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a==，∴=，∴a=；（2）由（1）知，f（x）=，由f（x）≥0，得≥0，即，k∈Z．∴，k∈Z．∴f（x）≥0成立的x的集合为[]，k∈Z．18．（12分）设f（x）=ae x﹣cosx，其中a∈R．（1）求证：曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线过定点；（2）若函数f（x）在（0，）上存在极值，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）设f（x）=ae x﹣cosx，其中a∈R．可得f′（x）=ae x+sinx，f′（0）=a，f（0）=a﹣1，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y﹣（a﹣1）=ax，即a（x+1）﹣（y+1）=0，切线恒过（﹣1，﹣1）点．（2）由（1）可知：f′（x）=ae x+sinx=0，函数f（x）在（0，）上存在极值，说明方程有解，可得a=，令h（x）=，h′（x）=，x∈（0，），当x∈（0，）时，h′（x）＜0，函数是减函数，当x∈（，）时，h′（x）＞0，函数是增函数，函数的最小值为：=，函数的最大值为：x=0时的函数值，即：h（0）=0．所以实数a的取值范围：[，0）．19．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA=2sin （A+B），它的面积S=c2．（1）求sinB的值；（2）若D是BC边上的一点，cos，求的值．【解答】解：（1）∵sinA=2sin（A+B），∴sinA=2sinC，a=2c，∴S=sinB•c•2c=c2，故sinB=；（2）由（1）sinB=，cos，∴cosB=，sin∠ADB=，∴sin∠BAD=sin（B+∠ADB）=sinBcos∠ADB+cosBsin∠ADB=×+×=，由=，得：=，解得：BD=c，故=3．20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD⊥底面ABCD．（1）求证：平面SBD⊥平面SAD；（2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，求侧面△SAB的面积．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=，设BC=a，则CD=a，AB=2a，在直角三角形BCD中，∠BCD=90°，可得BD=a，∠CBD=45°，∠ABD=45°，由余弦定理可得AD==a，则BD⊥AD，由面SAD⊥底面ABCD．可得BD⊥平面SAD，又BD⊂平面SBD，可得平面SBD⊥平面SAD；（2）解：∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，由AD=SD=a，在△SAD中，可得SA=2SDsin60°=a，△SAD的边AD上的高SH=SDsin60°=a，由SH⊥平面BCD，可得×a××a2=，解得a=1，由BD⊥平面SAD，可得BD⊥SD，SB===2a，又AB=2a，在等腰三角形SBA中，边SA上的高为=a，则△SAB的面积为×SA×a=a=．21．（12分）已知函数f（x）=﹣ax+alnx．（Ⅰ）当a＜0时，论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a=1时．若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2．证明x1＜．【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）=﹣ax+alnx（a＞0）的定义域为（0，+∞）f′（x）=x﹣a+=，（a＜0），△=a2﹣4a．当a＜0时，△＞0，f′（x）=0的根＜0，＞0x∈（0，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x2）递减，（x2，+∞）上单调递增，（Ⅱ）证明：当a=1时，若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2⇔方程lnx﹣x﹣m=0（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2．令g（x）=lnx﹣x﹣m，定义域为（0，+∞），g′（x）=﹣1令g′（x）＜0得x＞1，令g′（x）＞0得0＜x＜1所以函数g（x）=lnx﹣x﹣m的单调减区间是（1，+∞），单调递增区间（0，1），又lnx1﹣x1﹣m=lnx2﹣x2﹣m=0，由题意可知lnx2﹣x2=m＜﹣2＜ln2﹣2，又可知g（x）=lnx﹣x﹣m在（1，+∞）递减，故x2＞2，令h（x）=g（x）﹣g（），（x＞2），h（x）=g（x）﹣g（）=）=﹣x++3lnx﹣ln2（x＞2），h′（x）=﹣，当x＞2时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，所以h（x）＜h（2）=2ln2﹣＜0．所以当x2＞2 时，g（x2）﹣g（）＜0，即g（x1）＜g（），因为g（x）在（0，1）上单调递增，所以x1＜，请考生在22.23题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为=3，曲线C的极坐标方程为ρ=4acosθ（a＞0）．（1）设t为参数，若y=﹣2，求直线l参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于P，Q，设M（0，），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数a的值．【解答】解：（1）由=3，即ρcosθcos﹣ρsinθsin=3，直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=3，化为直角坐标方程：x﹣y﹣6=0．∵y=﹣2+t，∴x=y+6=t，∴直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）曲线C的极坐标方程为ρ=4acosθ，∴ρ2=4aρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4ax=0．将（1）中的直线参数方程代x2+y2﹣4ax=0，并整理得：t2﹣2（1+a）t+12=0，又△=12（1+a）2﹣4×12=12（a2+2a﹣3）＞0，解得：a＞1，设P、Q对应参数分别为t1，t2，则t1+t2=2（1+a），t1•t2=12，由t的几何意义得|PQ|2=|t1﹣t2|2=（t1+t2）2﹣4t1•t2=12（1+a）2﹣4×12，|MP|•|MQ|=|t1|•|t2|=|t1t2|=12，所以12（1+a）2﹣4×12=12，解得：a=﹣1，∴实数a的值﹣1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=2时：f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3，可得或或，解得：﹣≤x≤；故不等式的解集是[﹣，]；（2）不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立，即|3x﹣a|﹣|3x+6|≤1﹣a，由绝对值不等式的性质可得：||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|，即有f（x）的最大值为|a+6|，∴或，解得：a≥﹣．。

2021届四川省泸县四中2018级高三上学期一诊模拟考试数学(理)试卷及答案

2021届四川省泸县四中2018级高三上学期一诊模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．设集合(){}lg 1A x y x ==-,12x B y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,则A B = A ．()0,∞+ B ．[)1,0- C ．()0,1 D ．(),1-∞2．下列函数是偶函数,且在()0,∞+上是增函数的是A ．()ln f x x =B ．()12f x x =C ．()1f x x x=- D ．()3x f x = 3．函数)3ln y x x =+的图象大致为A ．B ．C ．D ．4．珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行,珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻,气候恶劣,通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器,采用了分段测量的方法,从山脚开始,直到到达山顶,再把所有的高度差累加,就会得到珠峰的高度．2020年5月,中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中,已知竖立在B 点处的测量觇标高10米,攀登者们在A 处测得到觇标底点B 和顶点C 的仰角分别为70°,80°,则A 、B 的高度差约为A ．10米B ．9.72米C ．9.40米D ．8.62米5．若1451314,log 12,log 9a b c ===,则 A ．b a c << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b << 6．已知a ,b R ∈,则“0a b >>”是“11a b +>+”的什么条件A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数()|ln |2x f x e x =-的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．48．5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干挠。

四川省泸州老窖天府中学2018届高三上学期一诊模拟考试数学(文)试卷含答案

泸州老窖天府中学高2015级高三上期一诊模拟考试数学（文）第Ⅰ卷一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合210123}2{{|}0M N x x x ==﹣，，，，，﹣＞，则M ∩N =（）A ．｛3｝B ．{2，3｝C ．{﹣1，3｝D ．｛0，1,2} 2. 设角θ的终边过点()1,2，则tan()4πθ-=（） A.31B.23 C.32-D 。

31-3。

已知命题:p a b >，命题22:log log q a b >，则p 是q 的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4。

设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是( )A.a c b >>B. a b c >> C 。

b a c >> D.b c a>>5. 设是两条不同的直线，是一个平面,则下列命题中正确的是（） A 。

若,,则 B 。

若，，则C. 若，，则D. 若，，则6。

已知()f x 为偶函数,当0x <时，()ln()3f x x x =-+,则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是（）A ．12+-=x yB ．12-=x yC ．12+=x yD ．12--=x y7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．23B ．13C ．43D ．838.tan70cos10(3tan 201)︒︒︒-等于（） A. 1 B 。

2C. -1D 。

—29.为得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1πsin()23y x =+的图象（）A ．向左平移π6个单位 B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位10设函数3(),f x x x x R =+∈．若当π02θ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是（ )A ．（﹣∞，1]B ．［1，+∞）C ．（，1)D ．(,1］ 11.如图，在ABC ∆上,D 是BC 上的点，且,23,2AC CD AC AD AB AD ===，则等于（ ) A ．63 B ．33C ．36D ．6612. 定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数为()'f x ，满足'()()f x f x >,且()01f =则不等式()1x f x e <的解集为(）A 。

四川省泸州市2018届高三第一次诊断性考试数学理试题(PDF版,有答案)

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2018年四川省泸州市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(解析版)

2018年四川省泸州市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z的共轭复数为z¯，且z(3+i)=10（i是虚数单位），则在复平面内，复数z¯对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 设集合P={(x, y)|y=k}，Q={(x, y)|y=2x}，己知P∩Q=⌀，那么k的取值范围是（）A.(−∞, 0)B.(0, +∞)C.(−∞, 0]D.(1, +∞)3. 阅读如下框图，运行相应的程序，若输入n的值为10，则输出n的值为（）A.0B.1C.3D.44. 已知函数f(x)={g(x),x>02x+1,x≤0是R上的奇函数，则g(3)=()A.5B.−5C.7D.−75. 设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（）A.a // b，b⊂α，则a // αB.a⊂α，b⊂β，α // β，则a // bC.a⊂α，b⊂α，b // β，则a // βD.α // β，a⊂α，则a // β6. 已知函数y＝sin(2x+φ)在x=π6处取得最大值，则函数y＝cos(2x+φ)的图象（）A.关于点(π6, 0)对称 B.关于点(π3, 0)对称C.关于直线x=π6对称 D.关于直线x=π3对称7. 若实数a满足log a23>1>log14a，则a的取值范围是（）A.(23, 1) B.(23, 34) C.(34, 1) D.(0, 23)8. 在△ABC中，角B为3π4，BC边上的高恰为BC边长的一半，则cos A=()A.2√55B.√55C.23D.√539. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A.136πB.144πC.36πD.34π10. 若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”．试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（）个．A.53B.59C.66D.7111. 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l，点A∈l，线段AF交抛物线C于点B，若FA→=3FB→，则|AF→|=()A.3B.4C.6D.712. 已知偶函数f(x)={|log4x|,0<x≤4f(8−x),4<x<8，且f(x−8)=f(x)，则函数F(x)=f(x)−12|x|在区间[−2018, 2018]的零点个数为（）A.2020B.2016C.1010D.1008二．填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. (x +1)(x −2)5的展开式中含x 3项的系数为________．14. 若x ，y 满足约束条件{x −y ≤0x +y ≥0y ≤1 ，则z =y+1x+2的最大值为________．15. 已知双曲线C 的中心为坐标原点，点F(2, 0)是双曲线C 的一个焦点，过点F 作渐近线的垂线l ，垂足为M ，直线l 交y 轴于点E ，若|FM|=3|ME|，则双曲线C 的方程为________．16. 已知球O 是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形）的内切球，MN 为球O 的一条直径，点P 为正八面体表面上的一个动点，则PM →∗PN →的取值范围是________．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin A =2sin (A +B)，它的面积S =5√716c 2．（1）求sin B 的值；（2）若D 是BC 边上的一点，cos ∠ADB =34，求BDDC 的值．18. 甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元；乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的部分每件提成8元． (I)请将两家公司各一名推销员的日工资y （单位：元）分别表示为日销售件数n 的函数关系式；(II)从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如下条形图．若记甲公司该推销员的日工资为X ，乙公司该推销员的日工资为Y （单位：元），将该频率视为概率，请回答下面问题：某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19. 如图，多面体EF −ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，AB =4，∠BAD =60∘，AC ，BD 相交于O ，EF // AC ，点E 在平面ABCD 上的射影恰好是线段AO 的中点． (Ⅰ)求证：BD ⊥平面ACF ；(Ⅱ)若直线AE 与平面ABCD 所成的角为45∘，求平面DEF 与平面ABCD 所成角（锐角）的余弦值．20. 已知动点M(x, y)满足：√(x +1)2+y 2+√(x −1)2+y 2=2√2．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设过点N(−1, 0)的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为C （点C 与点B 不重合），证明：直线BC 恒过定点，并求该定点的坐标．21. 已知函数f(x)＝(x +2)ln (x +1)−ax(a ∈R)(Ⅰ)若a ＝1，求曲线y ＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程； (Ⅱ)若f(x)≥0在[0, f(0)）上恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)若数列{a n }的前n 项和S n =n 2+3n −1，b n =4a n，求证：数列{b n }的前n 项和T n <ln (n +1)(n +2)．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为y 2=4x ．(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是{x =2+t cos αy =t sin α （t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=4√6，求l 的倾斜角．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数f(x)=|a −3x|−|2+x|．（1）若a =2，解不等式f(x)≤3；（2）若存在实数a ，使得不等式f(x)≤1−a −4|2+x|成立，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2018年四川省泸州市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】 A【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z ¯的坐标得答案．【解答】由z(3+i)=10，得z =103+i=10(3−i)(3+i)(3−i)=3−i ，∴ z ¯=3+i ，则复数z ¯对应的点的坐标为(3, 1)，位于第一象限． 2.【答案】 C【考点】交集及其运算【解析】根据集合的定义与性质，求出k 的取值范围．【解答】集合P ={(x, y)|y =k}，Q ={(x, y)|y =2x >0}，且P ∩Q =⌀，∴ k 的取值范围是k ≤0． 3.【答案】 C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得：当n =10时，不能被3整除，故n =9，不满足退出循环的条件；当n =9时，能被3整除，故n =3，满足退出循环的条件；故输出的n =3，4.【答案】 A【考点】分段函数的应用【解析】根据题意，由函数的解析式可得f(3)=g(3)以及f(−3)=−5，由奇函数的性质分析可得g(3)=−f(−3)，即可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)={g(x),x >02x +1,x ≤0 ，则f(3)=g(3)，f(−3)=2×(−3)+1=−5，又由f(x)为奇函数，则g(3)=−f(−3)=5； 5.【答案】 D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】在A 中，a // α或a ⊂α；在B 中，a 与b 平行或异面；在C 中，α与β相交或平行；在D 中，由面面平行的性质定理得a // β．【解答】由a ，b 是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A 中，a // b ，b ⊂α，则a // α或a ⊂α，故A 错误；在B 中，a ⊂α，b ⊂β，α // β，则a 与b 平行或异面，故B 错误；在C 中，a ⊂α，b ⊂α，b // β，则α与β相交或平行，故C 错误；在D 中，α // β，a ⊂α，则由面面平行的性质定理得a // β，故D 正确． 6. 【答案】 A【考点】余弦函数的图象【解析】由题意可得sin (π3+φ)＝1，故有cos (π3+φ)＝0，由此可得函数y ＝cos (2x +φ)的图象特征．【解答】∵ 函数y ＝sin (2x +φ)在x =π6处取得最大值，∴ sin (π3+φ)＝1， ∴ cos (π3+φ)＝0，∴ 函数y ＝cos (2x +φ)的图象关于点(π6, 0)对称， 7.【答案】 A【考点】对数函数的单调性与特殊点指、对数不等式的解法【解析】由已知可得得{log a 23>1lpg 14a <1，利用对数函数的单调性分别求解两不等式，取交集得答案．【解答】由log a 23>1>log 14a ，得{log a 23>1log 14a <1，由①得，当a >1时，a <23，此时a ∈⌀．当0<a <1时，a >23，则23<a <1；由②得，a >14．取交集得：23<a <1．∴ a 的取值范围是(23, 1)．8.【答案】 A【考点】三角形求面积【解析】由BC 边上的高AD 恰为BC 边长的一半，即AD =BD =a2，AB =√22a ，在△ABC 中，由余弦定理得AC ，在△ABC 中，由正弦定理得BCsin A=AC sin B⇒sin A =√15，即可求解．【解答】如图，BC 边上的高AD 恰为BC 边长的一半，即AD =BD =a2∴ AB =√22a 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC cos ∠ABC =52a 2．在△ABC 中，由正弦定理得BC sin A=AC sin B⇒sin A =√15，∵ A ∈(0, π4)，⇒cos A =2√55．9.【答案】【考点】由三视图求体积【解析】作出几何体的直观图，建立空间直角坐标系，求出外接球的球心，从而可的外接球的半径，再计算出外接球的面积．【解答】由三视图可知几何体为四棱锥E −ABCD ，直观图如图所示：其中，BE ⊥平面ABCD ，BE ＝4，AB ⊥AD ，AB =√2， C 到AB 的距离为2，C 到AD 的距离为2√2，以A 为原点，以AB ，AD ，及平面ABCD 过A 的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系A −xyz ，则A(0, 0, 0)，B(0, √2, 0)，C(2, 2√2, 0)，D(4, 0, 0)，E(0, √2, 4)．设外接球的球心为M(x, y, z)，则MA ＝MB ＝MC ＝MD ＝ME ，∴ x 2+y 2+z 2＝x 2+(y −√2)2+z 2＝(x −2)2+(y −2√2)2+z 2＝(x −4)2+y 2+z 2＝x 2+(y −√2)2+(z −4)2，解得x ＝2，y =√22，z ＝（2） ∴ 外接球的半径r ＝MA =√4+12+4=√172， ∴ 外接球的表面积S ＝4πr 2＝34π．故选：D ． 10. 【答案】 D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分析可得四位数字相加和为10的情况有①0、1、3、6，②0、1、4、5，③0、1、2、7，④0、2、3、5，⑤1、2、3、4；共5种情况，据此分5种情况讨论，依次求出每种情况下大于2017的“完美四位数”的个数，将其相加即可得答案．【解答】解：根据题意，四位数字相加和为10的情况有①0、1、3、6，②0、1、4、5，③0、1、2、7，④0、2、3、5，⑤1、2、3、4；共5种情况，则分5种情况讨论：①、四个数字为0、1、3、6时，千位数字可以为3或6，有2种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有A 33＝6种情况，此时有2×6＝12个“完美四位数”， ②、四个数字为0、1、4、5时，千位数字可以为4或5，有2种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有A 33＝6种情况，此时有2×6＝12个“完美四位数”， ③、四个数字为0、1、2、7时，千位数字为7时，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有A 33＝6种情况，千位数字为2时，有2071、2107、2170、2701、2710，共5种情况，此时有6+5＝11个“完美四位数”， ④、四个数字为0、2、3、5时，千位数字可以为2或3或5，有3种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有A 33＝6种情况，此时有3×6＝18个“完美四位数”， ⑤、四个数字为1、2、3、4时，千位数字可以为3或4或2，有3种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有A 33＝6种情况，此时有3×6＝18个“完美四位数”，则一共有12+12+11+18+18＝71个“完美四位数”，故选D . 11.【答案】 B【考点】抛物线的求解【解析】利用FA →=3FB →，求解A ，B 的坐标，即可求得|AF →|．【解答】抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，点A ∈l ，设A(−1, a)，B(m, n)，则 ∵ FA →=3FB →，∴ 1−m 2=13，∴ m =13∴ n =±2√33∵ |n||a|=13，∴ a =±2√3∵ y 2=4x 的焦点为F(1, 0) ∴ |AF →|=√(1+1)2+(2√3)2=4 12.【答案】 A【考点】函数与方程的综合运用函数的零点与方程根的关系【解析】作出f(x)一个周期内的函数图象，根据函数周期性判断交点个数．【解答】当4<x <8时，f(x)=f(8−x)，故而f(x)在(0, 8)上的函数图象关于直线x =4对称， ∵ f(x −8)=f(x)，∴ f(x)的周期为T =8，作出y =f(x)和y =12|x|的图象在(0, 8)上的函数图象如图所示：由图象可知f(x)在一个周期内与y =12|x|有4个交点， ∴ F(x)在[0, 2018]上有252×4+2=1010个交点，又f(x)与y =12|x|是偶函数，∴ F(x)在[−2018, 2018]的零点个数为1010×2=2020．故选：A ．二．填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.【答案】 −40【考点】二项式定理及相关概念【解析】利用(x −2)5展开式的二次项与x +1的一次项相乘，展开式的三次项与x +1的常数项相乘，即可得到(x +1)(x −2)5的展开式中含x 3项的系数．【解答】∵ (x −2)5展开式的通项公式为T r+1=C 5r⋅x 5−r ⋅(−2)r ，令5−r ＝2，解得r ＝3，∴ 展开式中含x 2项的系数为C 53⋅(−2)3＝−80；令5−r ＝3，解得r ＝2，∴ 展开式中含x 3项的系数为C 52⋅(−2)2＝40； ∴ (x +1)(x −2)5的展开式中含x 3项的系数为 1×(−80)+1×40＝−40． 14.【答案】 2【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z 的取值范围．【解答】作出不等式组对应的平面区域，z =y+1x+2的几何意义为区域内的点到B(−2, −1)的斜率，由图象知，AB 的斜率最大，由A(−1, 1)，故AB 的斜率k =1+1−1+2=2． 15. 【答案】 x 2−y 23=1【考点】双曲线的离心率【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程，利用|FM|=3|ME|，可得FM →=3ME →，求出M 的坐标，代入渐近线y =ba x ，求得a ，b 的关系式，再由a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，即可得出双曲线的方程．【解答】如图所示．双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)，右焦点F(2, 0)，即c =2，渐近线方程设为y =ba x ． ∵ FM ⊥OM ，∴ 可得直线FM 的方程为y =−ab (x −2)，令x =0，解得y =2a b，∴ E(0, 2ab)．∵ |FM|=3|ME|，可得FM →=3ME →， ∴ M(21+3, 6a b1+3)，又M 在渐近线y =ba x 上， ∴3a 2b=b a⋅12，解得√3a =b ，又a 2+b 2=4，解得a =1，b =√3，则双曲线的方程为x 2−y 23=1．16. 【答案】[13，43brack 【考点】空间向量的数量积运算【解析】设球O 的半径为R ，则12×√2×1=12×√3×R ，解得R =√63.|OP →|∈[1,√2brack ．可得PM →∗PN →=(OM →−OP ¯)⋅(ON →−OP →)=OP →2−R →2．【解答】设球O 的半径为R ，则12×√2×1=12×√3×R ，解得R =√63． |OP →|∈[1,√2brack ．PM →∗PN →=(OM →−OP ¯)⋅(ON →−OP →)=OP →2−R →2=OP →2−23∈[13，43brack ．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.【答案】∵ sin A =2sin (A +B)， ∴ sin A =2sin C ，a =2c ， ∴ S =12sin B ⋅c ⋅2c =5√716c 2，故sin B =5√716；由(1)sin B =5√716，cos ∠ADB =34，∴ cos B =±916，sin ∠ADB =√74， ∴ sin ∠BAD=sin (B +∠ADB)=sin B cos ∠ADB +cos B sin ∠ADB =5√716×34+916×√74 =3√78，或sin ∠BAD =3√732，由BDsin ∠BAD =ABsin ∠ADB ，得：3√78=√74或3√732=√74，解得：BD =32c 或BD =38c ，故BD DC=3或313．【考点】三角形求面积【解析】（1）根据正弦定理以及三角形的面积公式求出sin B 即可；（2）求出sin ∠BAD ，再根据正弦定理求出BD ，求出CD ，从而求出BDDC 的值．【解答】∵ sin A =2sin (A +B)， ∴ sin A =2sin C ，a =2c ， ∴ S =12sin B ⋅c ⋅2c =5√716c 2，故sin B =5√716；由(1)sin B =5√716，cos ∠ADB =34，∴ cos B =±916，sin ∠ADB =√74， ∴ sin ∠BAD=sin (B +∠ADB)=sin B cos ∠ADB +cos B sin ∠ADB =5√716×34+916×√74=3√78，或sin ∠BAD =3√732，由BDsin ∠BAD =ABsin ∠ADB ，得：3√78=√74或3√732=√74，解得：BD =32c 或BD =38c ，故BD DC =3或313． 18.【答案】（1）由题意得，甲公司一名推销员的日工资y （单位：元）与销售件数n 的关系式为： y =80+n ，n ∈N ．乙公司一名推销员的日工资y （单位：元）与销售件数n 的关系式为： y ={120,(n ≤45,n ∈N)8n −240,(n >45,n ∈N)．（2）记甲公司一名推销员的日工资为X （单位：元），由条形图可得X 的分布列为：记乙公司一名推销员的日工资为Y （单位：元），由条形图可得Y 的分布列为：∵ E(X)=122×0.2+124×0.4+126×0.2+128×0.1+130×0.1=125， E(Y)=120×0.2+128×0.3+144×0.4+160×0.1=136， ∴ 仅从日均收入的角度考虑，我会选择去乙公司．【考点】频率分布直方图【解析】（I ）由题意能求出甲公司一名推销员的日工资y （单位：元）与销售件数n 的关系式和乙公司一名推销员的日工资y （单位：元）与销售件数n 的关系式． (Ⅱ)记甲公司一名推销员的日工资为X （单位：元），由条形图可得X 的分布列，记乙公司一名推销员的日工资为Y （单位：元），由条形图可得Y 的分布列，从而求出E(X)=125，E(Y)=136，由此得到仅从日均收入的角度考虑，我会选择去乙公司．【解答】（1）由题意得，甲公司一名推销员的日工资y （单位：元）与销售件数n 的关系式为： y =80+n ，n ∈N ．乙公司一名推销员的日工资y （单位：元）与销售件数n 的关系式为： y={120,(n ≤45,n ∈N)8n −240,(n >45,n ∈N)．（2）记甲公司一名推销员的日工资为X （单位：元），由条形图可得X 的分布列为：记乙公司一名推销员的日工资为Y （单位：元），由条形图可得Y 的分布列为：∵ E(X)=122×0.2+124×0.4+126×0.2+128×0.1+130×0.1=125， E(Y)=120×0.2+128×0.3+144×0.4+160×0.1=136， ∴ 仅从日均收入的角度考虑，我会选择去乙公司． 19.【答案】（1）取AO 的中点H ，连结EH ，则EH ⊥平面ABCD ∵ BD 在平面ABCD 内，∴ EH ⊥BD又菱形ABCD 中，AC ⊥BD 且EH ∩AC =H ，EH 、AC 在平面EACF 内 ∴ BD ⊥平面EACF ，即BD ⊥平面ACF（2）由(Ⅰ)知EH ⊥平面ABCD ，以H 为原点，如图所示建立空间直角坐标系H −xyz ∵ EH ⊥平面ABCD ，∴ ∠EAH 为AE 与平面ABCD 所成的角，即∠EAH =45∘，又菱形ABCD 的边长为4，则AO =2√3,AH =√3,EH =√3 各点坐标分别为H(0,0,0),A(√3,0,0),D(−√3,−2,0),O(−√3,0,0)，E(0, 0, √3)易知HE →为平面ABCD 的一个法向量，记n →=HE →=(0,0,√3)，AO →=(−2√3,0,0)，DE →=(√3,2,√3) ∵ EF // AC ，∴ EF →=λAO →=(−2√3λ,0,0)设平面DEF 的一个法向量为m →=(x,y,z),m →⊥DE →,m →⊥EF →（注意：此处EF →可以用AO →替代）即 m →⋅DE →=√3x +2y +√3z =0，m →⋅EF →=−2√3λx =0 令y =√3,x =0,z =−2，则，∴ m →=(0,√3,−2) ∴ cos ⟨n →,m →>=n →⋅m→|n →|⋅|m →|=√3√3⋅√7=−2√77平面DEF 与平面ABCD 所成角（锐角）的余弦值为2√77．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直【解析】(Ⅰ)取AO 的中点H ，连结EH ，证明EH ⊥BD ，AC ⊥BD ，即BD ⊥平面ACF(Ⅱ)由(Ⅰ)知EH ⊥平面ABCD ，以H 为原点，如图所示建立空间直角坐标系H −xyz ，由EH ⊥平面ABCD ，得∠EAH 为AE 与平面ABCD 所成的角，即∠EAH =45∘则AO =2√3,AH =√3,EH =√3各点坐标分别为H(0,0,0),A(√3,0,0),D(−√3,−2,0),O(−√3,0,0)，E(0, 0, √3)，求出法向量即可求解．【解答】（1）取AO 的中点H ，连结EH ，则EH ⊥平面ABCD ∵ BD 在平面ABCD 内，∴ EH ⊥BD又菱形ABCD 中，AC ⊥BD 且EH ∩AC =H ，EH 、AC 在平面EACF 内 ∴ BD ⊥平面EACF ，即BD ⊥平面ACF（2）由(Ⅰ)知EH ⊥平面ABCD ，以H 为原点，如图所示建立空间直角坐标系H −xyz ∵ EH ⊥平面ABCD ，∴ ∠EAH 为AE 与平面ABCD 所成的角，即∠EAH =45∘，又菱形ABCD 的边长为4，则AO =2√3,AH =√3,EH =√3 各点坐标分别为H(0,0,0),A(√3,0,0),D(−√3,−2,0),O(−√3,0,0)，E(0, 0, √3)易知HE →为平面ABCD 的一个法向量，记n →=HE →=(0,0,√3)，AO →=(−2√3,0,0)，DE →=(√3,2,√3) ∵ EF // AC ，∴ EF →=λAO →=(−2√3λ,0,0)设平面DEF 的一个法向量为m →=(x,y,z),m →⊥DE →,m →⊥EF →（注意：此处EF →可以用AO →替代）即 m →⋅DE →=√3x +2y +√3z =0，m →⋅EF →=−2√3λx =0令y =√3,x =0,z =−2，则，∴ m →=(0,√3,−2) ∴ cos ⟨n →,m →>=n →⋅m→|n →|⋅|m →|=√3√3⋅√7=−2√77平面DEF 与平面ABCD 所成角（锐角）的余弦值为2√77．20.【答案】解：（1）由已知，动点M 到点P(−1,0)，Q(1,0)的距离之和为2√2，且|PQ|<2√2，所以动点M 的轨迹为椭圆，而a =√2，c =1，所以b =1，所以动点M 的轨迹E 的方程为x 22+y 2=1．（2）设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则C (x 1,−y 1)，由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为：y =k(x +1)，由{y =k(x +1)x 22+y 2=1得(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2−2=0，所以x 1+x 2=−4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2−21+2k 2，直线BC 的方程为y −y 2=y 2+y 1x 2−x 1(x −x 2)，所以y =y 2+y 1x 2−x 1x −x 1y 2+x 2y 1x 2−x 1，令y =0，则x =x 1y 2+x 2y 1y 2+y 1=2kx 1x 2+k (x 1+x 2)k (x 1+x 2)+2k=2x 1x 2+(x 1+x 2)(x 1+x 2)+2=−2，所以直线BC 与x 轴交于定点D(−2,0)．【考点】轨迹方程【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）由已知，动点M 到点P(−1,0)，Q(1,0)的距离之和为2√2，且|PQ|<2√2，所以动点M 的轨迹为椭圆，而a =√2，c =1，所以b =1，所以动点M 的轨迹E 的方程为x 22+y 2=1．（2）设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则C (x 1,−y 1)，由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为：y =k(x +1)，由{y =k(x +1)x 22+y 2=1 得(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2−2=0，所以x 1+x 2=−4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2−21+2k 2，直线BC 的方程为y −y 2=y 2+y 1x 2−x 1(x −x 2)，所以y =y 2+y 1x 2−x 1x −x 1y 2+x 2y 1x 2−x 1，令y =0，则x =x 1y 2+x 2y 1y 2+y 1=2kx 1x 2+k (x 1+x 2)k (x 1+x 2)+2k=2x 1x 2+(x 1+x 2)(x 1+x 2)+2=−2，所以直线BC 与x 轴交于定点D(−2,0)． 21.【答案】（1）因为a ＝1，所以f(x)＝(x +2)ln (x +1)−x ，f(0)＝(0+2)×ln 1−0＝0，切点为(0, 0)．由f′(x)＝ln (x +1)+x+2x+1−1，所以f ′(0)=ln (0+1)+0+20+1−1＝1，所以曲线y ＝f(x)在(0, 0)处的切线方程为y −0＝1×(x −0)，即x −y ＝0．（2）由f ′(x)=ln (x +1)+x+2x+1−a ，令g(x)＝f′(x)，(x ∈[0, +∞)），则g ′(x)=1x+1−1(x+1)2=x (x+1)2≥0，（当且仅当x ＝0取等号）．故f′(x)在[0, +∞)上为增函数．①当a ≤2时，f′(x)≥f′(0)≥0，故f(x)在[0, +∞)上为增函数，所以f(x)≥f(0)＝0恒成立，故a ≤2符合题意；②当a >2时，由于f′(0)＝2−a <0，f′(e a −1)＝1+1e a >0，根据零点存在定理，必存在t ∈(0, e a −1)，使得f′(t)＝0，由于f′(x)在[0, +∞)上为增函数，故当x ∈(0, t)时，f′(t)<0，故f(x)在x ∈(0, t)上为减函数，所以当x ∈(0, t)时，f(x)<f(0)＝0，故f(x)≥0在[0, +∞)上不恒成立，所以a >2不符合题意．综上所述，实数a 的取值范围为(−∞, 2]．证明：(III)由S n =n 2+3n −1， ∴ n ＝1时，a 1＝S 1＝1+3−1＝3，n ≥2时，a n =S n −S n−1=(n 2+3n −1)−[(n −1)2+3(n −1)−1]＝2n +2，n ≥2，∵ b n =4a n，∴ b n ={43,n =12n+1,n ≥2，由(Ⅱ)知当x >0时，(x +2)ln (1+x)>2x ，故当x >0时，ln (1+x)>2xx+2，故ln(1+2n )>2−2n2n+2=21+n，故∑n k=1ln(1+2k )>∑n k=121+k．下面证明：T n<ln(n+1)(n+2)，因为∑n k=1ln(1+2k )=ln(1+21)+ln(1+22)+ln(1+23)+...+ln(1+2n−1)+ln(1+2n)＝ln(3×42×53×64×⋯×n+1n−1×n+2n)＝ln(n+1)(n+2)2＝ln(n+1)(n+2)−ln2，T n=43+22+1+23+1+⋯+2n+1，∑n k=121+k=21+1+22+1+23+1+⋯+2n+2＝1+22+1+23+1+⋯+2n+2=1+T n−43=T n−13，∴ln(n+1)(n+2)−ln2>T n−13，即数列{b n}的前n项和T n<ln(n+1)(n+2)．【考点】数列与函数的综合利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(Ⅰ)由a＝1，得f(x)＝(x+2)ln(x+1)−x，切点为(0, 0)．由f′(x)＝ln(x+1)+x+2x+1−1，得f′(0)＝1，由此能求出曲线y＝f(x)在(0, 0)处的切线方程．(Ⅱ)由f′(x)=ln(x+1)+x+2x+1−a，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)=1x+1−1(x+1)2=x(x+1)2≥0，从而f′(x)在[0, +∞)上为增函数．由此利用分类讨论思想结合导数性质能求出实数a的取值范围．(III)由S n=n2+3n−1，推导出b n={43,n=1 2n+1,n≥2，从而∑n k=1ln(1+2k)>∑n k=121+k，再证明T n<ln(n+1)(n+2)，由此能证明数列{b n}的前n项和T n<ln(n+1)(n+2)．【解答】（1）因为a＝1，所以f(x)＝(x+2)ln(x+1)−x，f(0)＝(0+2)×ln1−0＝0，切点为(0, 0)．由f′(x)＝ln(x+1)+x+2x+1−1，所以f′(0)=ln(0+1)+0+20+1−1＝1，所以曲线y＝f(x)在(0, 0)处的切线方程为y−0＝1×(x−0)，即x−y＝0．（2）由f′(x)=ln(x+1)+x+2x+1−a，令g(x)＝f′(x)，(x∈[0, +∞)），则g′(x)=1x+1−1(x+1)2=x(x+1)2≥0，（当且仅当x＝0取等号）．故f′(x)在[0, +∞)上为增函数．①当a≤2时，f′(x)≥f′(0)≥0，故f(x)在[0, +∞)上为增函数，所以f(x)≥f(0)＝0恒成立，故a≤2符合题意；②当a>2时，由于f′(0)＝2−a<0，f′(e a−1)＝1+1e a>0，根据零点存在定理，必存在t∈(0, e a−1)，使得f′(t)＝0，由于f′(x)在[0, +∞)上为增函数，故当x∈(0, t)时，f′(t)<0，故f(x)在x∈(0, t)上为减函数，所以当x∈(0, t)时，f(x)<f(0)＝0，故f(x)≥0在[0, +∞)上不恒成立，所以a>2不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为(−∞, 2]．证明：(III)由S n=n2+3n−1，∴n＝1时，a1＝S1＝1+3−1＝3，n≥2时，a n=S n−S n−1=(n2+3n−1)−[(n−1)2+3(n−1)−1]＝2n+2，n≥2，∵b n=4a n，∴b n={43,n=12n+1,n≥2，由(Ⅱ)知当x>0时，(x+2)ln(1+x)>2x，故当x>0时，ln(1+x)>2xx+2，故ln(1+2n)>2−2n2n+2=21+n，故∑n k=1ln(1+2k)>∑n k=121+k．下面证明：T n<ln(n+1)(n+2)，因为∑n k=1ln(1+2k)=ln(1+21)+ln(1+22)+ln(1+23)+...+ln(1+2n−1)+ln(1+2n)＝ln(3×42×53×64×⋯×n+1n−1×n+2n)＝ln(n+1)(n+2)2＝ln(n+1)(n+2)−ln2，T n=43+22+1+23+1+⋯+2n+1，∑nk=121+k=21+1+22+1+23+1+⋯+2n+2＝1+22+1+23+1+⋯+2n+2=1+T n−43=T n−13，∴ln(n+1)(n+2)−ln2>T n−13，即数列{b n}的前n项和T n<ln(n+1)(n+2)．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22.【答案】解：∵{x=ρcosθy=ρsinθ，代入y2=4x，∴ρsin2θ−4cosθ=0.(2)不妨设点A，B对应的参数分别是t1，t2，把直线l 的参数方程代入抛物线方程得： t 2sin 2α−4cos α⋅t −8=0， ∴ Δ=16cos 2α+32sin 2α>0， ∴ t 1+t 2=4cos αsin 2α，t 1t 2=−8sin 2α，则|AB|=|t 1−t 2|=√16+16sin 2αsin 2α=4√6，∴ sin α=√22， ∴ α=π4或α=3π4．【考点】利用圆锥曲线的参数方程求最值抛物线的极坐标方程【解析】（1）由x =ρcos θ，y =ρsin θ可得抛物线C 的极坐标方程；（2）不妨设点A ，B 对应的参数分别是t 1，t 2，根据弦长公式，即可求解．【解答】解：∵ {x =ρcos θy =ρsin θ，代入y 2=4x ，∴ ρsin 2θ−4cos θ=0.(2)不妨设点A ，B 对应的参数分别是t 1，t 2，把直线l 的参数方程代入抛物线方程得： t 2sin 2α−4cos α⋅t −8=0， ∴ Δ=16cos 2α+32sin 2α>0， ∴ t 1+t 2=4cos αsin 2α，t 1t 2=−8sin 2α，则|AB|=|t 1−t 2|=√16+16sin 2αsin 2α=4√6，∴ sin α=√22， ∴ α=π4或α=3π4．[选修4-5：不等式选讲] 23.【答案】a =2时：f(x)=|3x −2|−|x +2|≤3，可得{x ≥233x −2−x −2≤3 或{−2<x <232−3x −x −2≤3 或{x ≤−22−3x +x +2≤3 ，解得：−34≤x ≤72；故不等式的解集是[−34, 72]；不等式f(x)≤1−a −4|2+x|成立，即|3x −a|+|3x +6|≤1−a ，由绝对值不等式的性质可得：||3x −a|+|3x +6||≥|(3x −a)−(3x +6)|=|a +6|，即有f(x)的最小值为|a +6|≤1−a ，解得：a ≤−52．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出取并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a ，即可解出实数a 的取值范围．【解答】a =2时：f(x)=|3x −2|−|x +2|≤3，可得{x ≥233x −2−x −2≤3 或{−2<x <232−3x −x −2≤3 或{x ≤−22−3x +x +2≤3 ，解得：−34≤x ≤72；故不等式的解集是[−34, 72]；不等式f(x)≤1−a −4|2+x|成立，即|3x −a|+|3x +6|≤1−a ，由绝对值不等式的性质可得：||3x −a|+|3x +6||≥|(3x −a)−(3x +6)|=|a +6|，即有f(x)的最小值为|a +6|≤1−a ，解得：a ≤−52．。

四川省泸州市2018届高三第一次诊断性考试数学(文)试题(解析版)

四川省泸州市2018届高三第一次诊断性考试数学文试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得,∴。

选B。

2.“”是“”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】“”即为“”。

所以当“”时“”成立，反之不一定成立。

因此“”是“”的充分不必要条件。

选B。

3.若，则的值为（）A. B. C. 3 D.【答案】A【解析】，选A。

（也可将展开直接求。

）4.在正方体中，棱所在直线与直线是异面直线的条数为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】如图，在正方体中与棱所在直线是异面直线的有，共6条。

选C。

点睛：（1）异面直线是指不同在任何一个平面内的直线，而不是指在两个平面内的直线，注意“任意”一词的含义。

（2）判断异面直线时常用的结论是：过平面内一点和平面外一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。

5.定义在上的函数与函数在上具有相同的单调性，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知，函数在R上单调递减。

所以函数在上单调递减。

又，所以在上恒成立，即在上恒成立，而当时，。

所以。

故实数的取值范围是。

选D。

6.函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令f（x）=x•ln|x|，显然f（x）的定义域为{x|x≠0}．则f（﹣x）=﹣x•ln|﹣x|=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B；令f（x）=x•ln|x|=0得ln|x|=0，∴x=±1．∴f（x）只有两个零点，排除A．当0＜x＜1时，f（x）=x•lnx＜0，当x＞1时，f（x）=x•ln x＞0，排除C．故选D．7.设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（）A. ，则B. ，则C. ，则D. ，则【答案】A【解析】对于选项A，由面面平行的性质得正确。

2018年四川省泸州市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(J)

2018年四川省泸州市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）(J)副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共12.0分）1.复数z的共轭复数为z，且z(3+i)=10(i是虚数单位)，则在复平面内，复数z对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】解：由z(3+i)=10，得z=103+i =10(3−i)(3+i)(3−i)=3−i，∴z=3+i，则复数z对应的点的坐标为(3,1)，位于第一象限．故选：A．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.已知集合A={x|−2<x<5}，B={x|y=√x−1}，则A∩B=()A. (−2,1)B. (0,1]C. [1,5)D. (1,5)【答案】C【解析】解：B={x|x≥1}，且A={x|−2<x<5}；∴A∩B=[1,5)．故选：C．可解出集合B={x|x≥1}，然后进行交集的运算即可．考查描述法表示集合的概念，以及交集及其运算．3.阅读如下框图，运行相应的程序，若输入n的值为10，则输出n的值为()A. 0B. 1C. 3D. 4【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得：当n=10时，不能被3整除，故n=9，不满足退出循环的条件；当n=9时，能被3整除，故n=3，满足退出循环的条件；故输出的n=3，故选：C．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．4. 已知函数f(x)={2x +1,x ≤0g(x),x>0是R 上的奇函数，则g(3)=( )A. 5B. −5C. 7D. −7【答案】A【解析】解：根据题意，函数f(x)={2x +1,x ≤0g(x),x>0，则f(3)=g(3)，f(−3)=2×(−3)+1=−5，又由f(x)为奇函数，则g(3)=−f(−3)=5；故选：A ．根据题意，由函数的解析式可得f(3)=g(3)以及f(−3)=−5，由奇函数的性质分析可得g(3)=−f(−3)，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质，关键是求出g(x)的解析式．5. “a =1”是“直线ax +y −2=0和直线ax −y +7a =0互相垂直”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：直线ax +y −2=0的斜率k =−a ，直线ax −y +7a =0的斜率k =a ，若两直线互相垂直，则满足−a ⋅a =−1，即a 2=1，得a =±1，则“a =1”是“直线ax +y −2=0和直线ax −y +7a =0互相垂直”的充分不必要条件，故选：A ．根据直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线垂直的等价条件建立方程关系是解决本题的关键．6. 已知函数y =sin(2x +φ)在x =π6处取得最大值，则函数y =cos(2x +φ)的图象()A. 关于点(π6,0)对称 B. 关于点(π3,0)对称 C. 关于直线x =π6对称D. 关于直线x =π3对称【答案】A【解析】解：∵函数y =sin(2x +φ)在x =π6处取得最大值，∴sin(π3+φ)=1， ∴cos(π3+φ)=0，∴函数y =cos(2x +φ)的图象关于点(π6,0)对称，故选：A ．由题意可得sin(π3+φ)=1，故有cos(π3+φ)=0，由此可得函数y =cos(2x +φ)的图象特征．本题主要考查正弦函数和余弦函数的图象，同角三角函数的基本关系，属于基础题．7. 若实数a 满足log a 23>1>log 14a ，则a 的取值范围是( )A. (23,1)B. (23,34)C. (34,1)D. (0,23)【答案】A【解析】解：由log a 23>1>log 14a ，得{log a 23>1①log 14a <1②，由①得，当a >1时，a <23，此时a ∈⌀．当0<a <1时，a >23，则23<a <1；由②得，a >14．取交集得：23<a <1． ∴a 的取值范围是(23,1)．故选：A ．由已知可得得{log a 23>1①lpg 14a <1②，利用对数函数的单调性分别求解两不等式，取交集得答案．本题考查对数不等式的解法，考查对数函数的单调性，是中档题．8. 在△ABC 中，角B 为3π4，BC 边上的高恰为BC 边长的一半，则cosA =( )A. 2√55B. √55C. 23D. √53【答案】A【解析】解：如图，BC 边上的高AD 恰为BC 边长的一半，即AD =BD =a2∴AB =√22a 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BCcos∠ABC =52a 2．在△ABC 中，由正弦定理得BC sinA=AC sinB⇒sinA =√15，∵A ∈(0,π4)，⇒cosA =2√55．故选：A ．由BC边上的高AD恰为BC边长的一半，即AD=BD=a2，AB=√22a，在△ABC中，由余弦定理得AC，在△ABC中，由正弦定理得BCsinA =ACsinB⇒sinA=√15，即可求解．本题考查了正余弦定理的应用，属于中档题．9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A. 136πB. 144πC. 36πD. 34π【答案】D【解析】解：由三视图可知几何体为四棱锥E−ABCD，直观图如图所示：其中，BE⊥平面ABCD，BE=4，AB⊥AD，AB=√2，C到AB的距离为2，C到AD的距离为2√2，以A为原点，以AB，AD，及平面ABCD过A的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系A−xyz，则A(0,0，0)，B(0,√2,0)，C(2,2√2,0)，D(4,0，0)，E(0,√2,4)．设外接球的球心为M(x,y，z)，则MA=MB=MC=MD=ME，∴x2+y2+z2=x2+(y−√2)2+z2=(x−2)2+(y−2√2)2+z2=(x−4)2+y2+ z2=x2+(y−√2)2+(z−4)2，解得x=2，y=√22，z=2．∴外接球的半径r=MA=√4+12+4=√172，∴外接球的表面积S=4πr2=34π．故选：D．作出几何体的直观图，建立空间直角坐标系，求出外接球的球心，从而可的外接球的半径，再计算出外接球的面积．本题考查了棱锥的三视图，球与棱锥的位置关系，属于中档题．10. 若函数f(x)=|x|，则函数y =f(x)−log 12|x|的零点个数是( ) A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个【答案】D【解析】解：作出y =f(x)与y =log 12|x|的函数图象如图所示：由图象可知两图象有2个交点， ∴函数y =f(x)−log 12|x|有两个零点．故选：D ．作出y =f(x)与y =log 12|x|的函数图象，根据图象交点个数得出答案．本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．11. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交抛物线C 于点B ，若FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】B【解析】解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，点A ∈l ，设A(−1,a)，B(m,n)，则 ∵FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴1−m 2=13，∴m =13∴n =±2√33∵|n||a|=13，∴a =±2√3 ∵y 2=4x 的焦点为F(1,0)∴|AF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(1+1)2+(2√3)2=4 故选：B ．利用FA⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求解A ，B 的坐标，即可求得|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |．本题考查抛物线的性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．12. 已知△ABC 是边长为2的正三角形，点P 为平面内一点，且|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，则PC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )的取值范围是( )A. [0,12]B. [0,32]C. [0,6]D. [0,3]【答案】A【解析】解：∵PC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =2|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB⃗⃗⃗⃗⃗ |×cosθ=6+6cosθ ∵−1≤cosθ≤1 ∴0≤6+6cosθ≤12故选：A ．根据要求画出草图，利用向量运算的基底的思想，都转化到与向量CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 和CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有关的向量上，再根据向量数量积的运算和三角函数的取值范围，得到最终的取值范围．本题考查向量的数量积，以及三角函数的取值范围问题，主要用到向量的基底的思想．二、填空题（本大题共4小题，共4.0分） 13. 计算：log 832−7 log 73=______．【答案】−43【解析】解：原式=log 225log 223−3=53−3=−43．故答案为：−43．利用对数换底公式、对数恒等式的性质即可得出．本题考查了对数换底公式、对数恒等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14. 若x ，y 满足约束条件{x −y ≤0x +y ≥0y ≤1，则z =y+1x+2的最大值为______．【答案】2【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，z =y+1x+2的几何意义为区域内的点到B(−2,−1)的斜率，由图象知，AB 的斜率最大，由A(−1,1)，故AB 的斜率k =1+1−1+2=2．故答案为：2．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z 的取值范围．本题主要考查线性规划和直线斜率的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15. 已知tan(α−π4)=2，则sin(2α−π2)=______．【答案】45【解析】解：∵tan(α−π4)=2，则sin(2α−π2)=2sin(α−π4)cos(α−π4)sin 2(α−π4)+cos 2(α−π4)=2tan(α−π4)tan 2(α−π4)+1=2×222+1=45，故答案为：45．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．16. 已知双曲线C 的中心为坐标原点，点F(2,0)是双曲线C 的一个焦点，过点F 作渐近线的垂线l ，垂足为M ，直线l 交y 轴于点E ，若|FM|=3|ME|，则双曲线C 的方程为______．【答案】x 2−y 23=1【解析】解：如图所示.双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，右焦点F(2,0)，即c =2，渐近线方程设为y =ba x. ∵FM ⊥OM ，∴可得直线FM 的方程为y =−ab (x −2)，令x =0，解得y =2a b，∴E(0,2a b). ∵|FM|=3|ME|，可得FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴M(21+3,6a b1+3)，又M 在渐近线y =ba x 上， ∴3a2b =ba ⋅12，解得√3a =b ，又a 2+b 2=4，解得a =1，b =√3，则双曲线的方程为x 2−y 23=1．故答案为：x 2−y 23=1．由双曲线的标准方程可得渐近线方程，利用|FM|=3|ME|，可得FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出M 的坐标，代入渐近线y =ba x ，求得a ，b 的关系式，再由a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，即可得出双曲线的方程．熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、确定M 的坐标是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共7.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n =2a n −1(n ∈N ∗)．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)令b n =log 2a n ，求数列{(−1)n b n 2}前2n 项的和T ．【答案】解：(Ⅰ)由S n =2a n −1(n ∈N ∗).n ≥2时，S n−1=2a n−1−1，相减可得：a n =2a n−1，n =1时，a 1=2a 1−1，解得a 1=1．∴数列{a n }是等比数列，公比为2，首项为1． ∴a n =2n−1．(Ⅱ)b n =log 2a n =n −1．于是数列{b n }是首项为0，公差为1的等差数列．数列{(−1)n b n 2}前2n 项的和T =−b 12+b 22−b 32+b 42+⋯…−b 2n−12+b 2n 2=b 1+b 2+⋯…+b 2n=0+1+2+⋯…+(2n −1)=2n(2n −1+0)2=n(2n −1)．【解析】(Ⅰ)由S n =2a n −1(n ∈N ∗).n ≥2时，S n−1=2a n−1−1，相减可得：a n =2a n−1，利用等比数列的通项公式即可得出．(Ⅱ)b n =log 2a n =n −1.数列{(−1)n b n 2}前2n 项的和T =−b 12+b 22−b 32+b 42+⋯…−b 2n−12+b 2n 2=b 1+b 2+⋯…+b 2n ，即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. 2018年中央电视台春节联欢晚会分会场之一落户黔东南州黎平县肇兴侗寨，黔东南州某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行了调查，随机抽取80名群众进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，得到如图所示的频率分布直方图.问： (Ⅰ)求这80名群众年龄的中位数；(Ⅱ)若用分层抽样的方法从年龄在[20,40)中的群众随机抽取6名，并从这6名群众中选派3人外出宣传黔东南，求选派的3名群众年龄在[30,40)的概率．【答案】解：(Ⅰ)设80名群众年龄的中位数为x ，则0.005×10+0.010×10+0.020×10+0.030×(x −50)=0.5，解得x =55，即80名群众年龄的中位数55．(Ⅱ)由已知得，年龄在[20,30)中的群众有0.005×10×80=4人，年龄在[30,40)的群众有0.01×10×80=8人，按分层抽样的方法随机抽取年龄在[20,30)的群众有6×44+8=2人，记为1，2；随机抽取年龄在[30,40)的群众6×84+8=4人，记为a，b，c，d．则基本事件有20个，分别为：(a,b，c)，(a,b，d)，(a,b，1)，(a,b，2)，(a,c，d)，(a,c，1)，(a,c，2)，(a,d，1)，(a,d，2)，(b,c，d)，(b,c，1)，(b,c，2)，(b,d，1)，(b,d，2)，(c,d，1)，(c,d，2)，(a,1，2)，(b,1，2)，(c,1，2)，(d,1，2)，参加座谈的导游中有3名群众年龄都在[30,40)的基本事件有4个，分别为：(a,b，c)，(a,b，d)，(a,c，d)，(b,c，d)，设事件A为“从这6名群众中选派3人外出宣传黔东南，选派的3名群众年龄都在[30,40)”，则选派的3名群众年龄在[30,40)的概率P(A)=420=15．【解析】(Ⅰ)设80名群众年龄的中位数为x，利用频率分布直方图能求出80名群众年龄的中位数．(Ⅱ)年龄在[20,30)中的群众有0.005×10×80=4人，年龄在[30,40)的群众有0.01×10×80=8人，按分层抽样的方法随机抽取年龄在[20,30)的群众有2人，记为1，2；随机抽取年龄在[30,40)的群众4人，记为a，b，c，d.利用列举法能求出选派的3名群众年龄在[30,40)的概率．本题考查中位数、概率的求法，考查频率分布表和频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19.如图，已知四棱锥P−ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60∘，E是DP中点．(Ⅰ)证明：PB//平面ACE；(Ⅱ)若AP=PB=√2，AB=PC=2，求三棱锥C−PAE的体积．【答案】(Ⅰ)证明：连接BD交AC于F，连接EF，∵四边形ABCD为菱形，∴F为BD的中点，又∵E是DP的中点，∴EF//PB，又EF⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴PB//平面ACE．(Ⅱ)解：取AB的中点O，连接PO，CO，∵四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60∘，∴△ABC为正三角形，∴CO⊥AB，∵AP=PB=√2，AB=PC=2，∴CO=√3，AP⊥PB，PO⊥AB，∴PO=12AB=1，∴PO2+OC2=PC2，即PO⊥OC，又AB∩OC=O，∴PO⊥平面ABCD，∵E 是PD 的中点，∴V C−PAE =12V P−ACD =12×13×√34×22×1=√36．【解析】(I)连接BD 交AC 于F ，连接EF ，由中位线定理可得EF//PB ，故而PB//平面ACE ；(II)取AB 的中点O ，连接PO ，CO ，根据勾股定理逆定理可得PO ⊥平面ABCD ，于是V C−PAE =12V P−ACD ．本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20. 已知动点M(x,y)满足：√(x +1)2+y 2+√(x −1)2+y 2=2√2．(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)设过点N(−1,0)的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为C(点C 与点B 不重合)，证明：直线BC 恒过定点，并求该定点的坐标．【答案】解：(1)由已知，动点M 到点P(−1,0)，Q(1,0)的距离之和为2√2，且|PQ|<2√2，所以动点M 的轨迹为椭圆，而a =√2，c =1，所以b =1，所以，动点M 的轨迹E 的方程：x 22+y 2=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则C(x 1,−y 1)，由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为：y =k(x +1)，由{y =k(x +1)x 22+y 2=1，得(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2−2=0，所以x 1+x 2=−4k 21+2k2，x 1x 2=2k 2−21+2k 2，直线BC 的方程为：y −y 2=y 2+y1x 2−x 1(x −x 2)，所以y =y 2+y1x 2−x 1x −x 1y 2+x 2y 1x 2−x 1，令y =0，则x =x 1y 2+x 2y 1y 2+y 1=2kx 1x 2+k(x 1+x 2)k(x 1+x 2)+2k=2x 1x 2+(x 1+x 2)(x 1+x 2)+2=−2，所以直BC 与x 轴交于定点D(−2,0)．【解析】(1)分别求出a ，b ，c 的值，求出M 的轨迹方程即可； (2)输出直线l 的方程为：y =k(x +1)，联立直线和椭圆的方程，根据根与系数的关系，求出定点D 的坐标即可．本题考查了求椭圆的轨迹方程问题，考查直线和椭圆的关系以及韦达定理的应用，是一道中档题．21. 已知函数f(x)=lnx ，g(x)=a(x −1)(Ⅰ)当a =2时，求函数ℎ(x)=f(x)−g(x)的单调递减区间；(Ⅱ)若x >1时，关于x 的不等式f(x)<g(x)恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅲ)若数列{a n }满足a n+1=1+a n ，a 3=3，记{a n }的前n 项和为S n ，求证：ln(1×2×3×4×…×n)<S n ．【答案】(Ⅰ)解：由a =2，得ℎ(x)=f(x)−g(x)=lnx −2x +2，(x >0)，∴ℎ′(x)=1x−2=1−2x x．令ℎ′(x)<0，解得x >12或x <0(舍去)，∴函数ℎ(x)=f(x)−g(x)的单调递减区间为(12,+∞)；(Ⅱ)解：由f(x)<g(x)，得a(x −1)−lnx >0．当a ≤0时，∵x >1，∴a(x −1)−lnx >0显然不成立，因此a >0．令F(x)=a(x −1)−lnx ，则F′(x)=a −1x=a(x−1a )x ，令F′(x)=0，得x =1a ．当a ≥1时，0<1a ≤1，F′(x)>0，∴F(x)>F(1)=0，∴a(x −1)>lnx ，即有f(x)<g(x)．因此a ≥1时，f(x)<g(x)在(1,+∞)上恒成立．②当0<a <1时，1a >1，F(x)在(1,1a )上为减函数，在(1a ,+∞)上为增函数， ∴F(x)min <F(1)=0，不满足题意．综上，不等式f(x)<g(x)在(1,+∞)上恒成立时，实数a 的取值范围是[1,+∞)； (III)证明：由a n+1=1+a n ，a 3=3，知数列{a n }是a 3=3，d =1的等差数列，∴a n =a 3+(n −3)d =n ．∴S n =n(a 1+a n )2=n(n+1)2，由(Ⅱ)得，lnx <a(x −1)≤x −1<x 在(1,+∞)上恒成立．∴ln2<2，ln3<3，ln4<4，…lnn <n ．将以上各式左右两边分别相加，得：ln2+ln3+⋯+lnn <2+3+⋯+n ．∵ln1=0<1，∴ln1+ln2+ln3+⋯+lnn <1+2+3+⋯+n =n(n+1)2=S n ．ln(1×2×3×4×…×n)<S n ．【解析】(Ⅰ)把a =2代入函数解析式，求出函数导函数，由导函数小于0可得函数ℎ(x)=f(x)−g(x)的单调递减区间；(Ⅱ)由f(x)<g(x)，得a(x −1)−lnx >0.当a ≤0时，a(x −1)−lnx >0显然不成立，因此a >0.令F(x)=a(x −1)−lnx ，求其导函数，分a ≥1和0<a <1分析导函数的符号，进一步分析使f(x)<g(x)在(1,+∞)上恒成立时实数a 的取值范围；(III)由a n+1=1+a n ，a 3=3，知数列{a n }是a 3=3，d =1的等差数列，可得a n =a 3+(n −3)d =n ，得到S n ，由(Ⅱ)得，lnx <a(x −1)≤x −1<x 在(1,+∞)上恒成立.可得ln2<2，ln3<3，ln4<4，…lnn <n ，累加后即可证明ln(1×2×3×4×…×n)<S n ．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的数学思想方法与数学转化思想方法，训练了利用放缩法证明数列不等式，属难题．22. 在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为y 2=4x ．(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是{y =tsinαx=2+tcosα(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=4√6，求l 的倾斜角．【答案】解：(1)∵{y =ρsinθx=ρcosθ，代入y 2=4x ，∴ρsin 2θ−4cosθ=0(2)不妨设点A ，B 对应的参数分别是t 1，t 2，把直线l 的参数方程代入抛物线方程得：t 2sin 2α−4cosα⋅t −8=0，∴△=16cos2α+32sin2α>0，∴t1+t2=4cosαsinα，t1t2=−8sinα，则|AB|=|t1−t2|=√16+16sin2αsinα=4√6，∴sinα=√22，∴α=π4或α=3π4．【解析】(1)由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得抛物线C的极坐标方程；(2)不妨设点A，B对应的参数分别是t1，t2，根据弦长公式，即可求解．本题考查普通方程与极坐标方程的转化，考查弦长公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23.已知函数f(x)=|a−3x|−|2+x|．(1)若a=2，解不等式f(x)≤3；(2)若存在实数a，使得不等式f(x)≤1−a−4|2+x|成立，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)a=2时：f(x)=|3x−2|−|x+2|≤3，可得{x≥233x−2−x−2≤3或{−2<x<232−3x−x−2≤3或{2−3x+x+2≤3x≤−2，解得：−34≤x≤72；故不等式的解集是[−34,72 ]；(2)不等式f(x)≤1−a−4|2+x|成立，即|3x−a|+|3x+6|≤1−a，由绝对值不等式的性质可得：||3x−a|+|3x+6||≥|(3x−a)−(3x+6)|=|a+6|，即有f(x)的最小值为|a+6|≤1−a，解得：a≤−52．【解析】(1)通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；(2)由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围．本题考查绝对值不等式，求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成立问题的区别，本题是一个存在问题，本题是一个易错题．。

2018年四川省泸州市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

2018年四川省泸州市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数[Math Processing Error]的共轭复数为[Math Processing Error]，且[Math Processing Error]（[Math Processing Error]是虚数单位），则在复平面内，复数[Math Processing Error]对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 设集合[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，己知[Math Processing Error]，那么[Math Processing Error]的取值范围是（）A.[Math Processing Error]B.[Math Processing Error]C.[Math Processing Error]D.[Math Processing Error]3. 阅读如下框图，运行相应的程序，若输入[Math Processing Error]的值为[Math Processing Error]，则输出[Math Processing Error]的值为（）A.[Math Processing Error]B.[Math Processing Error]C.[Math Processing Error]D.[Math Processing Error]4. 已知函数[Math Processing Error]是[Math Processing Error]上的奇函数，则[Math Processing Error] [Math Processing Error]A.[Math Processing Error]B.[Math Processing Error]C.[Math Processing Error]D.[Math Processing Error]5. 设[Math Processing Error]，[Math Processing Error]是空间中不同的直线，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]是不同的平面，则下列说法正确的是（）A.[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]B.[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]C.[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]D.[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，则[Math Processing Error] 6. 已知函数[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]在[Math Processing Error]处取得最大值，则函数[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]的图象（）A.关于点[Math Processing Error]对称B.关于点[Math Processing Error]对称C.关于直线[Math Processing Error]对称D.关于直线[Math Processing Error]对称7. 若实数[Math Processing Error]满足[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]的取值范围是（）A.[Math Processing Error]B.[Math Processing Error]C.[Math Processing Error]D.[Math Processing Error]8. 在[Math Processing Error]中，角[Math Processing Error]为[Math Processing Error]，[Math Processing Error]边上的高恰为[Math Processing Error]边长的一半，则[Math Processing Error] [Math Processing Error]A.[Math Processing Error]B.[Math Processing Error]C.[Math Processing Error]D.[Math Processing Error]9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A.[Math Processing Error]B.[Math Processing Error]C.[Math Processing Error]D.[Math Processing Error]10. 若一个四位数的各位数字相加和为[Math Processing Error]，则称该数为“完美四位数”，如数字“[Math Processing Error]”．试问用数字[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]组成的无重复数字且大于[Math Processing Error]的“完美四位数”有（）个．A.[Math Processing Error]B.[Math Processing Error]C.[Math Processing Error]D.[Math Processing Error]11. 已知抛物线[Math Processing Error]的焦点为[Math Processing Error]，准线为[Math Processing Error]，点[Math Processing Error]，线段[Math Processing Error]交抛物线[Math Processing Error]于点[Math Processing Error]，若[Math Processing Error]，则[Math Processing Error] [Math Processing Error]A.[Math Processing Error]B.[Math Processing Error]C.[Math Processing Error]D.[Math Processing Error]12. 已知偶函数[Math Processing Error]，且[Math Processing Error]，则函数[Math Processing Error]在区间[Math Processing Error]的零点个数为（）A.[Math Processing Error]B.[Math Processing Error]C.[Math Processing Error]D.[Math Processing Error]二．填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. [Math Processing Error]的展开式中含[Math Processing Error]项的系数为________．14. 若[Math Processing Error]，[Math Processing Error]满足约束条件[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]的最大值为________．15. 已知双曲线[Math Processing Error]的中心为坐标原点，点[Math Processing Error]是双曲线[Math Processing Error]的一个焦点，过点[Math Processing Error]作渐近线的垂线[Math Processing Error]，垂足为[Math Processing Error]，直线[Math Processing Error]交[Math Processing Error]轴于点[Math Processing Error]，若[Math Processing Error]，则双曲线[Math Processing Error]的方程为________．16. 已知球[Math Processing Error]是棱长为[Math Processing Error]的正八面体（八个面都是全等的等边三角形）的内切球，[Math Processing Error]为球[Math Processing Error]的一条直径，点[Math Processing Error]为正八面体表面上的一个动点，则[Math Processing Error]的取值范围是________．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 如图，在[Math Processing Error]中，角[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]所对的边分别为[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，它的面积[Math Processing Error]．（1）求[Math Processing Error]的值；（2）若[Math Processing Error]是[Math Processing Error]边上的一点，[Math Processing Error]，求[Math Processing Error]的值．18. 甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪[Math Processing Error]元，每销售一件产品提成[Math Processing Error]元；乙公司规定底薪[Math Processing Error]元，日销售量不超过[Math Processing Error]件没有提成，超过[Math Processing Error]件的部分每件提成[Math Processing Error]元．[Math Processing Error]请将两家公司各一名推销员的日工资[Math Processing Error]（单位：元）分别表示为日销售件数[Math Processing Error]的函数关系式；[Math Processing Error]从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去[Math Processing Error]天的销售情况进行统计，得到如下条形图．若记甲公司该推销员的日工资为[Math Processing Error]，乙公司该推销员的日工资为[Math Processing Error]（单位：元），将该频率视为概率，请回答下面问题：某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19. 如图，多面体[Math Processing Error]中，四边形[Math Processing Error]是菱形，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]相交于[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，点[Math Processing Error]在平面[Math Processing Error]上的射影恰好是线段[Math Processing Error]的中点．[Math Processing Error]Ⅰ[Math Processing Error]求证：[Math Processing Error]平面[Math Processing Error]；[Math Processing Error]Ⅱ[Math Processing Error]若直线[Math Processing Error]与平面[Math Processing Error]所成的角为[Math Processing Error]，求平面[Math Processing Error]与平面[Math Processing Error]所成角（锐角）的余弦值．20. 已知动点[Math Processing Error]满足：[Math Processing Error]．（1）求动点[Math Processing Error]的轨迹[Math Processing Error]的方程；（2）设过点[Math Processing Error]的直线[Math Processing Error]与曲线[Math Processing Error]交于[Math Processing Error]，[Math Processing Error]两点，点[Math Processing Error]关于[Math Processing Error]轴的对称点为[Math Processing Error]（点[Math Processing Error]与点[Math Processing Error]不重合），证明：直线[Math Processing Error]恒过定点，并求该定点的坐标．21. 已知函数[Math Processing Error]＝[Math Processing Error][Math Processing Error]Ⅰ[Math Processing Error]若[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，求曲线[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]在点（[Math Processing Error]）处的切线方程；[Math Processing Error]Ⅱ[Math Processing Error]若[Math Processing Error]在[Math Processing Error]）上恒成立，求实数[Math Processing Error]的取值范围；[Math Processing Error]Ⅲ[Math Processing Error]若数列[Math Processing Error]的前[Math Processing Error]项和[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，求证：数列[Math Processing Error]的前[Math Processing Error]项和[Math Processing Error]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系[Math Processing Error]中，抛物线[Math Processing Error]的方程为[Math Processing Error]．[Math Processing Error]以坐标原点为极点，[Math Processing Error]轴正半轴为极轴建立极坐标系，求[Math Processing Error]的极坐标方程；[Math Processing Error]直线[Math Processing Error]的参数方程是[Math Processing Error]（[Math Processing Error]为参数），[Math Processing Error]与[Math Processing Error]交于[Math Processing Error]，[Math Processing Error]两点，[Math Processing Error]，求[Math Processing Error]的倾斜角．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数[Math Processing Error]．（1）若[Math Processing Error]，解不等式[Math Processing Error]；（2）若存在实数[Math Processing Error]，使得不等式[Math Processing Error]成立，求实数[Math Processing Error]的取值范围．参考答案与试题解析2018年四川省泸州市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出[Math Processing Error]的坐标得答案．【解答】由[Math Processing Error]，得[Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]，则复数[Math Processing Error]对应的点的坐标为[Math Processing Error]，位于第一象限．2.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】根据集合的定义与性质，求出[Math Processing Error]的取值范围．【解答】集合[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，且[Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]的取值范围是[Math Processing Error]．3.【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量[Math Processing Error]的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得：当[Math Processing Error]时，不能被[Math Processing Error]整除，故[Math Processing Error]，不满足退出循环的条件；当[Math Processing Error]时，能被[Math Processing Error]整除，故[Math Processing Error]，满足退出循环的条件；故输出的[Math Processing Error]，4. 【答案】A【考点】分段函数的应用【解析】根据题意，由函数的解析式可得[Math Processing Error]以及[Math Processing Error]，由奇函数的性质分析可得[Math Processing Error]，即可得答案．【解答】根据题意，函数[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，又由[Math Processing Error]为奇函数，则[Math Processing Error]；5.【答案】D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系【解析】在[Math Processing Error] 中，[Math Processing Error]或[Math Processing Error]；在[Math Processing Error]中，[Math Processing Error]与[Math Processing Error]平行或异面；在[Math Processing Error]中，[Math Processing Error]与[Math Processing Error]相交或平行；在[Math Processing Error]中，由面面平行的性质定理得[Math Processing Error]．【解答】由[Math Processing Error]，[Math Processing Error]是空间中不同的直线，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]是不同的平面，知：在[Math Processing Error] 中，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]或[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]错误；在[Math Processing Error]中，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]与[Math Processing Error]平行或异面，故[Math Processing Error]错误；在[Math Processing Error]中，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]与[Math Processing Error]相交或平行，故[Math Processing Error]错误；在[Math Processing Error]中，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，则由面面平行的性质定理得[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]正确．6.【答案】A【考点】余弦函数的图象【解析】由题意可得[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，故有[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，由此可得函数[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]的图象特征．【解答】∵函数[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]在[Math Processing Error]处取得最大值，∴ [MathProcessing Error]＝[Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，∴函数[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]的图象关于点[Math Processing Error]对称，7.【答案】A【考点】对数函数的单调性与特殊点指、对数不等式的解法【解析】由已知可得得[Math Processing Error]，利用对数函数的单调性分别求解两不等式，取交集得答案．【解答】由[Math Processing Error]，得[Math Processing Error]，由①得，当[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]，此时[Math Processing Error]．当[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]；由②得，[Math Processing Error]．取交集得：[Math Processing Error]．∴ [Math Processing Error]的取值范围是[Math Processing Error]．8.【答案】A【考点】三角形求面积【解析】由[Math Processing Error]边上的高[Math Processing Error]恰为[Math Processing Error]边长的一半，即[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，在[Math Processing Error]中，由余弦定理得[Math Processing Error]，在[Math Processing Error]中，由正弦定理得[Math Processing Error]，即可求解．【解答】如图，[Math Processing Error]边上的高[Math Processing Error]恰为[Math Processing Error]边长的一半，即[Math Processing Error]∴ [Math Processing Error]在[Math Processing Error]中，由余弦定理得[Math Processing Error]．在[Math Processing Error]中，由正弦定理得[Math Processing Error]，∵ [Math Processing Error]，[Math Processing Error]．9.【答案】【考点】由三视图求体积【解析】作出几何体的直观图，建立空间直角坐标系，求出外接球的球心，从而可的外接球的半径，再计算出外接球的面积．【解答】由三视图可知几何体为四棱锥[Math Processing Error]，直观图如图所示：其中，[Math Processing Error]平面[Math Processing Error]，[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]到[Math Processing Error]的距离为[Math Processing Error]，[Math Processing Error]到[Math Processing Error]的距离为[Math Processing Error]，以[Math Processing Error]为原点，以[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，及平面[Math Processing Error]过[Math Processing Error]的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]．设外接球的球心为[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]＝[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，解得[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]＝（2）∴外接球的半径[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，∴外接球的表面积[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]．故选：[Math Processing Error]．10.【答案】D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分析可得四位数字相加和为[Math Processing Error]的情况有①[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]，②[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]，③[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]，④[Math Processing Error]、[MathProcessing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]，⑤[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]；共[Math Processing Error]种情况，据此分[Math Processing Error]种情况讨论，依次求出每种情况下大于[Math Processing Error]的“完美四位数”的个数，将其相加即可得答案．【解答】解：根据题意，四位数字相加和为[Math Processing Error]的情况有①[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]，②[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]，③[Math Processi ng Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]，④[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]，⑤[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]；共[Math Processing Error]种情况，则分[Math Processing Error]种情况讨论：①、四个数字为[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]时，千位数字可以为[Math Processing Error]或[Math Processing Error]，有[Math Processing Error]种情况，将其余[Math Processing Error]个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]种情况，此时有[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]个“完美四位数”，②、四个数字为[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]时，千位数字可以为[Math Processing Error]或[Math Processing Error]，有[Math Processing Error]种情况，将其余[Math Processing Error]个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]种情况，此时有[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]个“完美四位数”，③、四个数字为[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]时，千位数字为[Math Processing Error]时，将其余[Math Processing Error]个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]种情况，千位数字为[Math Processing Error]时，有[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]，共[Math Processing Error]种情况，此时有[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]个“完美四位数”，④、四个数字为[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]时，千位数字可以为[Math Processing Error]或[Math Processing Error]或[Math Processing Error]，有[Math Processing Error]种情况，将其余[Math Processing Error]个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]种情况，此时有[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]个“完美四位数”，⑤、四个数字为[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]、[Math Processing Error]时，千位数字可以为[Math Processing Error]或[Math Processing Error]或[Math Processing Error]，有[Math Processing Error]种情况，将其余[Math Processing Error]个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]种情况，此时有[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]个“完美四位数”，则一共有[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]个“完美四位数”，故选[Math Processing Error].11.【答案】B【考点】抛物线的求解【解析】利用[Math Processing Error]，求解[Math Processing Error]，[Math Processing Error]的坐标，即可求得[Math Processing Error]．【解答】抛物线[Math Processing Error]的焦点为[Math Processing Error]，准线为[Math Processing Error]，点[Math Processing Error]，设[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，则∵ [Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]∴ [Math Processing Error]∵ [Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]∵ [Math Processing Error]的焦点为[Math Processing Error]∴ [Math Processing Error]12.【答案】A【考点】函数与方程的综合运用函数的零点与方程根的关系【解析】作出[Math Processing Error]一个周期内的函数图象，根据函数周期性判断交点个数．【解答】当[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]，故而[Math Processing Error]在[Math Processing Error]上的函数图象关于直线[Math Processing Error]对称，∵ [Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]的周期为[Math Processing Error]，作出[Math Processing Error]和[Math Processing Error]的图象在[Math Processing Error]上的函数图象如图所示：由图象可知[Math Processing Error]在一个周期内与[Math Processing Error]有[Math Processing Error]个交点，∴ [Math Processing Error]在[Math Processing Error]上有[Math Processing Error]个交点，又[Math Processing Error]与[Math Processing Error]是偶函数，∴ [Math Processing Error]在[Math Processing Error]的零点个数为[Math Processing Error]．故选：[Math Processing Error]．二．填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.【答案】[Math Processing Error]【考点】二项式定理及相关概念【解析】利用[Math Processing Error]展开式的二次项与[Math Processing Error]的一次项相乘，展开式的三次项与[Math Processing Error]的常数项相乘，即可得到[Math Processing Error]的展开式中含[Math Processing Error]项的系数．【解答】∵ [Math Processing Error]展开式的通项公式为[Math Processing Error]，令[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，解得[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，∴展开式中含[Math Processing Error]项的系数为[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]；令[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，解得[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，∴展开式中含[Math Processing Error]项的系数为[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]；∴ [Math Processing Error]的展开式中含[Math Processing Error]项的系数为[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]．14.【答案】[Math Processing Error]【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求[Math Processing Error]的取值范围．【解答】作出不等式组对应的平面区域，[Math Processing Error]的几何意义为区域内的点到[Math Processing Error]的斜率，由图象知，[Math Processing Error]的斜率最大，由[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]的斜率[Math Processing Error]．15. 【答案】[Math Processing Error]【考点】双曲线的离心率【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程，利用[Math Processing Error]，可得[Math Processing Error]，求出[Math Processing Error]的坐标，代入渐近线[Math Processing Error]，求得[Math Processing Error]，[Math Processing Error]的关系式，再由[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]的关系，解方程可得[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，即可得出双曲线的方程．【解答】如图所示．双曲线的方程为[Math Processing Error]，右焦点[Math Processing Error]，即[Math Processing Error]，渐近线方程设为[Math Processing Error]．∵ [Math Processing Error]，∴可得直线[Math Processing Error]的方程为[Math Processing Error]，令[Math Processing Error]，解得[Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]．∵ [Math Processing Error]，可得[Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]，又[Math Processing Error]在渐近线[Math Processing Error]上，∴ [Math Processing Error]，解得[Math Processing Error]，又[Math Processing Error]，解得[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，则双曲线的方程为[Math Processing Error]．16.【答案】[Math Processing Error]【考点】空间向量的数量积运算【解析】设球[Math Processing Error]的半径为[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]，解得[Math Processing Error]．可得[Math Processing Error]．【解答】设球[Math Processing Error]的半径为[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]，解得[Math Processing Error]．[Math Processing Error]．[Math Processing Error]．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.【答案】∵ [Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]，[Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]，故[Math Processing Error]；由[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]，[Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error][Math Processing Error][Math Processing Error][Math Processing Error][Math Processing Error]，或[Math Processing Error]，由[Math Processing Error]，得：[Math Processing Error]或[Math Processing Error]，解得：[Math Processing Error]或[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]或[Math Processing Error]．【考点】三角形求面积【解析】（1）根据正弦定理以及三角形的面积公式求出[Math Processing Error]即可；（2）求出[Math Processing Error]，再根据正弦定理求出[Math Processing Error]，求出[Math Processing Error]，从而求出[Math Processing Error]的值．【解答】∵ [Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]，[Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]，故[Math Processing Error]；由[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]，[Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error][Math Processing Error][Math Processing Error][Math Processing Error][Math Processing Error]，或[Math Processing Error]，由[Math Processing Error]，得：[Math Processing Error]或[Math Processing Error]，解得：[Math Processing Error]或[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]或[Math Processing Error]．18.【答案】（1）由题意得，甲公司一名推销员的日工资[Math Processing Error]（单位：元）与销售件数[Math Processing Error]的关系式为：[Math Processing Error]，[Math Processing Error]．乙公司一名推销员的日工资[Math Processing Error]（单位：元）与销售件数[Math Processing Error]的关系式为：[Math Processing Error]．（2）记甲公司一名推销员的日工资为[Math Processing Error]（单位：元），由条形图可得[Math Processing Error]的分布列为：记乙公司一名推销员的日工资为[Math Processing Error]（单位：元），由条形图可得[Math Processing Error]的分布列为：∵ [Math Processing Error]，[Math Processing Error]，∴仅从日均收入的角度考虑，我会选择去乙公司．【考点】频率分布直方图【解析】（I）由题意能求出甲公司一名推销员的日工资[Math Processing Error]（单位：元）与销售件数[Math Processing Error]的关系式和乙公司一名推销员的日工资[Math Processing Error]（单位：元）与销售件数[Math Processing Error]的关系式．[Math Processing Error]Ⅱ[Math Processing Error]记甲公司一名推销员的日工资为[Math Processing Error]（单位：元），由条形图可得[Math Processing Error]的分布列，记乙公司一名推销员的日工资为[Math Processing Error]（单位：元），由条形图可得[Math Processing Error]的分布列，从而求出[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，由此得到仅从日均收入的角度考虑，我会选择去乙公司．【解答】（1）由题意得，甲公司一名推销员的日工资[Math Processing Error]（单位：元）与销售件数[Math Processing Error]的关系式为：[Math Processing Error]，[Math Processing Error]．乙公司一名推销员的日工资[Math Processing Error]（单位：元）与销售件数[Math Processing Error]的关系式为：[Math Processing Error]．（2）记甲公司一名推销员的日工资为[Math Processing Error]（单位：元），由条形图可得[Math Processing Error]的分布列为：记乙公司一名推销员的日工资为[Math Processing Error]（单位：元），由条形图可得[Math Processing Error]的分布列为：∵ [Math Processing Error]，[Math Processing Error]，∴仅从日均收入的角度考虑，我会选择去乙公司．19.【答案】（1）取[Math Processing Error]的中点[Math Processing Error]，连结[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]平面[Math Processing Error]∵ [Math Processing Error]在平面[Math Processing Error]内，∴ [Math Processing Error]又菱形[Math Processing Error]中，[Math Processing Error] 且[Math Processing Error]，[Math Processing Error]、[Math Processing Error]在平面[Math Processing Error]内∴ [Math Processing Error]平面[Math Processing Error]，即[Math Processing Error]平面[Math Processing Error] （2）由[Math Processing Error]Ⅰ[Math Processing Error]知[Math Processing Error]平面[Math Processing Error]，以[Math Processing Error]为原点，如图所示建立空间直角坐标系[Math Processing Error]∵ [Math Processing Error]平面[Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]为[Math Processing Error]与平面[Math Processing Error]所成的角，即[Math Processing Error]，又菱形[Math Processing Error]的边长为[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]各点坐标分别为[Math Processing Error]，[Math Processing Error]易知[Math Processing Error]为平面[Math Processing Error]的一个法向量，记[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]∵ [Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]设平面[Math Processing Error]的一个法向量为[Math Processing Error]（注意：此处[Math Processing Error]可以用[Math Processing Error]替代）即 [Math Processing Error]，[Math Processing Error]令[Math Processing Error]，则，∴ [Math Processing Error]∴ [Math Processing Error]平面[Math Processing Error]与平面[Math Processing Error]所成角（锐角）的余弦值为[Math Processing Error]．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直【解析】[Math Processing Error]Ⅰ[Math Processing Error]取[Math Processing Error]的中点[Math Processing Error]，连结[Math Processing Error]，证明[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，即[Math Processing Error]平面[Math Processing Error][Math Processing Error]Ⅱ[Math Processing Error]由[Math Processing Error]Ⅰ[Math Processing Error]知[Math Processing Error]平面[Math Processing Error]，以[Math Processing Error]为原点，如图所示建立空间直角坐标系[Math Processing Error]，由[Math Processing Error]平面[Math Processing Error]，得[Math Processing Error]为[Math Processing Error]与平面[Math Processing Error]所成的角，即[Math Processing Error]则[Math Processing Error]各点坐标分别为[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，求出法向量即可求解．【解答】（1）取[Math Processing Error]的中点[Math Processing Error]，连结[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]平面[Math Processing Error]∵ [Math Processing Error]在平面[Math Processing Error]内，∴ [Math Processing Error]又菱形[Math Processing Error]中，[Math Processing Error] 且[Math Processing Error]，[Math Processing Error]、[Math Processing Error]在平面[Math Processing Error]内∴ [Math Processing Error]平面[Math Processing Error]，即[Math Processing Error]平面[Math Processing Error] （2）由[Math Processing Error]Ⅰ[Math Processing Error]知[Math Processing Error]平面[Math Processing Error]，以[Math Processing Error]为原点，如图所示建立空间直角坐标系[Math Processing Error]∵ [Math Processing Error]平面[Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]为[Math Processing Error]与平面[Math Processing Error]所成的角，即[Math Processing Error]，又菱形[Math Processing Error]的边长为[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]各点坐标分别为[Math Processing Error]，[Math Processing Error]易知[Math Processing Error]为平面[Math Processing Error]的一个法向量，记[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，[Math Processing Error]∵ [Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]设平面[Math Processing Error]的一个法向量为[Math Processing Error]（注意：此处[Math Processing Error]可以用[Math Processing Error]替代）即 [Math Processing Error]，[Math Processing Error]令[Math Processing Error]，则，∴ [Math Processing Error]∴ [Math Processing Error]平面[Math Processing Error]与平面[Math Processing Error]所成角（锐角）的余弦值为[Math Processing Error]．20.【答案】解：（1）由已知，动点[Math Processing Error]到点[Math Processing Error]，[Math Processing Error]的距离之和为[Math Processing Error]，且[Math Processing Error]，所以动点[Math Processing Error]的轨迹为椭圆，而[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，所以[Math Processing Error]，所以动点[Math Processing Error]的轨迹[Math Processing Error]的方程为[Math Processing Error]．（2）设[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]，由已知得直线[Math Processing Error]的斜率存在，设斜率为[Math Processing Error]，则直线[Math Processing Error]的方程为：[Math Processing Error]，由[Math Processing Error]得[Math Processing Error]，所以[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，直线[Math Processing Error]的方程为[Math Processing Error]，所以[Math Processing Error]，令[Math Processing Error]，则[Math Processing Error][Math Processing Error][Math Processing Error]，所以直线[Math Processing Error]与[Math Processing Error]轴交于定点[Math Processing Error]．【考点】轨迹方程【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）由已知，动点[Math Processing Error]到点[Math Processing Error]，[Math Processing Error]的距离之和为[Math Processing Error]，且[Math Processing Error]，所以动点[Math Processing Error]的轨迹为椭圆，而[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，所以[Math Processing Error]，所以动点[Math Processing Error]的轨迹[Math Processing Error]的方程为[Math Processing Error]．（2）设[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，则[Math Processing Error]，由已知得直线[Math Processing Error]的斜率存在，设斜率为[Math Processing Error]，则直线[Math Processing Error]的方程为：[Math Processing Error]，由[Math Processing Error]得[Math Processing Error]，所以[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，直线[Math Processing Error]的方程为[Math Processing Error]，所以[Math Processing Error]，令[Math Processing Error]，则[Math Processing Error][Math Processing Error][Math Processing Error]，所以直线[Math Processing Error]与[Math Processing Error]轴交于定点[Math Processing Error]．21.【答案】（1）因为[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，所以[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，切点为[Math Processing Error]．由[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，所以[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，所以曲线[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]在[Math Processing Error]处的切线方程为[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，即[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]．（2）由[Math Processing Error]，令[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，[Math Processing Error]），则[Math Processing Error]，（当且仅当[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]取等号）．故[Math Processing Error]在[Math Processing Error]上为增函数．①当[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]在[Math Processing Error]上为增函数，所以[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]恒成立，故[Math Processing Error]符合题意；②当[Math Processing Error]时，由于[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，根据零点存在定理，必存在[Math Processing Error]，使得[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，由于[Math Processing Error]在[Math Processing Error]上为增函数，故当[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]在[Math Processing Error]上为减函数，所以当[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，故[Math Processing Error]在[Math Processing Error]上不恒成立，所以[Math Processing Error]不符合题意．综上所述，实数[Math Processing Error]的取值范围为[Math Processing Error]．证明：[Math Processing Error]由[Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]＝[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]＝[Math Processing Error]，[Math Processing Error]，∵ [Math Processing Error]，∴ [Math Processing Error]，由[Math Processing Error]Ⅱ[Math Processing Error]知当[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]，故当[Math Processing Error]时，[Math Processing Error]，。

四川省泸州市2018届高三第一次诊断性考试理科数学试题及答案解析

四川省泸州市2018届高三第一次诊断性考试数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若21)4tan(=+πα，则αtan 的值为（） A ．31 B ．31- C ．3 D ．3- 2．已知集合}12|{--==x y x A ，}|{2x y y B ==，则=B A （）A ．)}1,1{(-B ．),0[+∞C ．)1,1(-D ．∅3．“0>x ”是“3)31(<x ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件4．在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为BC 的中点，F 为11C B 的中点，则异面直线AF 与E C 1所成角的正切值为（）A ．25 B ．32 C ．552 D ．35 5．函数||ln x x y ⋅=的大致图象是（）6．设b a ,是空间中不同的直线，βα,是不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．α⊂b b a ,//，则α//aB ．βαβα//,,⊂⊂b a ，则b a //C ． ββαα//,//,,b a b a ⊂⊂，则βα//D ．αβα⊂a ,//，则β//a7．已知函数)2sin(ϕ+=x y 在6π=x 处取得最大值，则函数)2cos(ϕ+=x y 的图象（） A ．关于点)0,6(π对称 B ．关于点)0,3(π对称 C ．关于直线6π=x 对称 D ．关于直线3π=x 对称8．如图，CD 是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A 处时测得点D 的仰角为030，行驶300m 后到达B 处，此时测得点C 在点B 的正北方向上，且测得点D 的仰角为045，则此山的高=CD （）A ．m 3150B ．m 275C ．m 2150D ．m 23009．已知圆锥的高为5，底面圆的半径为5，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）A ．π4B ．π36C ． π48D ．π2410．定义在R 上的函数)(x f 的导函数)('x f 无零点，且对任意R x ∈都有2))((2=+x x f f ，若函数kx x f x g -=)()(在]1,1[-上与函数)(x f 具有相同的单调性，则k 的取值范围是（）A ．),0[+∞B ．]3,(--∞C ．]0,(-∞D ．),3[+∞-11．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A ．62π+ B ．π+21 C ．π+32 D ．32π+ 12．函数14)2ln()(--+++-=a a x e e x x x f ，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使3)(0=x f 成立，则实数a 的值为（）A ．2lnB ．12ln -C ． 2ln -D ．12ln --第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数)2cos(2)(x x f +=π，且31)(=-a f ，则)(a f 的值为． 14．设函数⎩⎨⎧>+≤<+=2,1220,4log )(2x x x x f x ，若9)(=a f ，则a 的值为． 15．已知函数)212()(xx x x f -=，若)()1(x f x f >-，则x 的取值范围是． 16．一个长、宽、高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数a x x x x f +-=2cos cos sin )(的最大值为22. （1）求a 的值；（2）若方程01)(=++m x f 在]2417,4[ππ内有两个零点，求m 的取值范围. 18．设)2cos()(x ae x f x π-=，其中0>a .（1）求证：曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线过定点；（2）若函数)(x f 在)1,1(-上存在唯一极值，求正数a 的取值范围.19．如图，在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，)sin(2sin B A A +=，它的面积21675c S =.（1）求B sin 的值；（2）若D 是BC 边上的一点，43cos =∠ADB ，求DCBD 的值. 20．如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是梯形，DC AB //，090=∠ABC ，SD AD =，AB CD BC 21==，侧面⊥SAD 底面ABCD .（1）求证：平面⊥SBD 平面SAD ；（2）若SD 与底面ABCD 所成角为060，求二面角D SB C --的余弦值.21．已知函数)0(ln 21)(2>+-=a x a ax x x f . （1）讨论)(x f 的单调性；（2）当1=a 时，若方程)2(21)(2-<+=m m x x f 有两个相异实根21,x x ，且21x x <，证明：2221<x x . 选做题：22．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为3)3cos(=+πθρ，曲线C 的极坐标方程为)0(cos 4>=a a θρ. （1）设t 为参数，若t y 2132+-=，求直线l 的参数方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于Q P ,，设)32,0(-M ，且||||||2MQ MP PQ =，求实数a 的值.23.已知函数|2||3|)(x x a x f +--=.（1）若2=a ，解不等式3)(≤x f ；（2）若存在实数x ，使得不等式|2|41)(x a x f +--≤成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5：BBACD 6-10：DACBA 11、12：CD二、填空题13．31- 14．3 15．)21,(-∞ 16．)5,1( 三、解答题17．（1）a x x x x f +-=2cos cos sin )( a x x ++-=212cos 2sin 21 a x +--=21)42sin(22π 由R x ∈，得)(x f 的最大值为222122=+-a 故21=a . （2）方程01)(=++m x f 即01)42sin(22=++-m x π 所以1)42sin(22---=πx m 因为方程01)(=++m x f 在]2417,4[ππ内有两个零点,所以直线m y =与函数1)42sin(22---=πx y 的图象在]2417,4[ππ内有两个交点，因为24174ππ≤≤x ，所以67424πππ≤-≤x ，结合图象可得m 的取值范围是]23,221[---. 18.证明：（1）因为)2sin(2)('x ae x f x ππ+=所以a f =)0('，又1)0(-=a f ，所以曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为ax a y =--)1(，即1)1(-+=x a y ，所以曲线)(x f y =在))0(,0(f 处的切线过定点)1,1(--.（2）因为)2sin(2)('x ae x f x ππ+=，当0>a ，函数x ae y =与)2sin(2x y ππ=在)1,1(-上都是增函数，所以)2sin(2)('x ae x f x ππ+=在)1,1(-上是增函数，因为函数)(x f 在)0,1(-上存在唯一极值，所以⎩⎨⎧><-0)1('0)1('f f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<-+-02sin 20)2sin(21ππππae ae 所以22ππe a e <<- 所以正数a 的取值范围是)2,0(πe . 19、(1)因为)sin(2sin B A A +=，所以C A sin 2sin =，由正弦定理得c a 2=，因为221675sin sin 21c B c B ac S === 所以1675sin =B（2）因为43cos =∠ADB ，所以47sin =∠ADB ，在ABD ∆中，由正弦定理得ADB AB B AD ∠=sin sin ，所以c AD 45= 由余弦定理得43452)45(222⨯⨯⨯-+=BD c BD c c ，所以c BD 23=或c 83，因为D 是BC 边上的一点，所以c BD 23=，因为c a 2=，所以c CD 21=，所以3=DCBD . 20、（1）因为090=∠ABC ，CD BC =，所以045=∠CBD ，BCD ∆是等腰直角三角形，故CB BD 2=，因为BD AB 2=，045=∠ABD ，所以ABD ∆∽BCD ∆，090=∠ADB ，即AD BD ⊥，因为侧面⊥SAD 底面ABCD ，交线为AD ，所以⊥BD 平面SAD ，所以平面⊥SBD 平面SAD .（2）过点S 作AD SE ⊥交AD 的延长线于点E ，因为侧面⊥SAD 底面ABCD ，所以⊥SE 底面ABCD ，所以SDE ∠是底面SD 与底面ABCD 所成的角，即060=∠SDE ，过点D 在平面SAD 内作AD DF ⊥，因为侧面⊥SAD 底面ABCD ，所以⊥DF 底面ABCD ，如图建立空间直角坐标系xyz D -，设1==CD BC ，)26,0,22(),0,22,22(),0,2,0(--S C B ，则)26,2,22(),0,2,0(--==BS DB ，)0,22,22(--=，设),,(z y x =是平面SBD 法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=+--=02622202z y x y 取)0,0,3(=，设),,(z y x n =是平面SBC 的法向量，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=--02622202222z y x y x 取)1,3,3(--=n ，771)3()3(1)3(2|||||,cos |222=+-+⋅+==><n m 所以二面角D SB C --的余弦值为77. 21、（1）因为)(1)('2a ax x xx a a x x f +-=+-=，函数)(x f 的定义域为),0(+∞，因为0>a ，当042≤-=∆a a ，即40≤<a 时，)('x f 对0>x 恒成立所以)(x f 在),0(+∞上是增函数，当042>-=∆a a ，即4>a 时，由0)('>x f 得2402a a a x --<<或242a a a x -+>，则)(x f 在)24,0(2a a a --，),24(2+∞-+a a a 上递增在)24,24(22a a a a a a -+--上递减；（2）设)2(21)(2-<+=m m x x f 的两个相异实根分别为21,x x ，满足0ln =--m x x ，且1,1021><<x x ，0ln ln 2211=--=--m x x m x x令x x x g -=ln )(的导函数11)('-=x x g ，所以)(x g 在),1(+∞上递减由题意可知22ln 2ln 11-<-<=-m x x ，故21>x ，所以12,0221<<x x ，令m x x x h --=ln )(，)22(ln )(ln )2()(222222222x x x x x h x h ---=- 2ln ln 322222-++-=x x x 令)2(2ln ln 32)(2>-++-=t t t t t F ，则323)1()2(341)('tt t t t t F +-=+--=，当2>t 时，0)('<t F ，所以)(t F 是减函数，所以0232ln 2)2()(<-=<F t F ，所以当21>x 时，0)2()(221<-x h x h ，因为12,0221<<x x ，)(x h 在)1,0(上单调递增，所以2212x x <，故2221<x x ，综上所述，2221<x x .22、（1）直线l 的极坐标方程为3)3cos(=+πθρ 所以3sin 23cos 21=-θρθρ，即32321=-y x 因为t 为参数，若t y 2132+-=，代入上式得t x 23=，所以直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==t y t x 213223（t 为参数）（2）由)0(cos 4>=a a θρ，得)0(cos 42>=a a θρρ 由θρθρsin ,cos ==y x 代入，得)0(422>=+a ax y x 将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立得012)1(322=++-t a t （*）04)1(124)]1(32[22>-+=⨯-+=∆a a12),1(322121=+=+t t a t t ，设点Q P ,分别对应参数21,t t 恰为上述方程的根则||||,||,||2121t t PQ t MQ t MP -===，由题设得21221||t t t t =-，则有060)]1(32[2=-+a ，得15-=a 或15--=a 因为0>a ，所以15-=a .23.解：（1）不等式3)(≤x f 可化为3|2||32|≥+--x x ，则- 11 - ⎩⎨⎧≤++--≤32322x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤---≤<-3232322x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤--->322332x x x 解得2743≤≤-x ，所以不等式3)(≤x f 的解集为}2743|{≤≤-x x . （2）不等式|2|41)(x a x f +--≤等价于a x x a -≤++-|2|3|3| 即a x x a -≤++-1|2|3|3|，因为|6||363||36||3||2|3|3|+=++-≥++-=++-a x x a x x a x x a 若存在实数x ，使得不等式|2|41)(x a x f +--≤成立，则a a -≤+1|6|，解得25-≤a ，实数a 的取值范围是]25,(--∞.。

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