2010年高考试题——数学理(福建卷)解析版
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2010年高考试题——数学(理)(福建卷)解析
第I 卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题。每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的。 1.cos13
计算sin43cos 43
-sin13的值等于( )
A .
12
B .
33
C .
22
D .
32
【答案】A
【解析】原式=1
sin (43-13)=sin 30=
2
,故选A 。 【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数,考查基础知识,属保分题。
2.以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )
A .22x +y +2x=0
B .22x +y +x=0
C .22x +y -x=0
D .22x +y -2x=0
【答案】D
【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0),即所求圆的圆心,又圆过原点,所以圆的半径为r=1,故所求圆的方程为22x-1)+y =1(,即22x -2x+y =0,选D 。
【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法,属基础题。
3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于
A .6
B .7
C .8
D .9
【答案】A
【解析】设该数列的公差为d ,则461282(11)86a a a d d +=+=⨯-+=-,解得2d =, 所以22(1)
11212(6)362
n n n S n n n n -=-+
⨯=-=--,所以当6n =时,n S 取最小值。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用,考查二次函数最值的求法及计算能力。
4.函数2x +2x-3,x 0
x)=-2+ln x,x>0
f ⎧≤⎨
⎩(的零点个数为 ( ) A .0
B .1
C .2
D .3
【答案】C
【解析】当0x ≤时,令2
230x x +-=解得3x =-;
当0x >时,令2ln 0x -+=解得100x =,所以已知函数有两个零点,选C 。 【命题意图】本题考查分段函数零点的求法,考查了分类讨论的数学思想。
所以EH ∥
FG ,故EH ∥FG ∥11B C ,所以选项A 、C 正确;因为11A D ⊥平面11ABB A ,
EH ∥11A D ,所以EH ⊥平面11ABB A ,又EF ⊂平面11ABB A , 故EH ⊥EF ,所以选项B 也正确,
故选D 。
【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质,考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。
7.若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线22
21(a>0)a
x y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,
则OP FP ⋅
的取值范围为 ( )
A .[3-23,)+∞
B .[323,)++∞
C .7[-
,)4+∞ D .7
[,)4
+∞
【答案】B
【解析】因为(2,0)F -是已知双曲线的左焦点,所以2
14a +=,即2
3a =,所以双曲线方程为2
213
x y -=,设点P 00(,)x y ,则有220001(3)3x y x -=≥,解得22
0001(3)3x y x =-≥,因为00(2,)FP x y =+ ,00(,)OP x y = ,所以2
000(2)OP FP x x y ⋅=++ =00(2)x x ++2013x -=2004213
x x +-,此二次函数对应的抛物线的对称轴为03
4x =-,因为03x ≥,所以当03x =时,O P F P ⋅ 取得最小值
4
32313
⨯+-=323+,故OP FP ⋅ 的取值范围是[323,)++∞,选B 。 【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程,考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等,考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。
8.设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,
对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于( ) A .
285
B .4
C . 12
5 D .2
【答案】B
【解析】由题意知,所求的||AB 的最小值,即为区域1Ω中的点到直线3490x y --=的距离的最小值的
两倍,画出已知不等式表示的平面区域,如图所示,
可看出点(1,1)到直线3490x y --=的距离最小,故||AB 的最小值为
|31419|
245
⨯-⨯-⨯
=,所以选B 。
A . ①④
B . ②③
C .②④
D .③④ 【答案】C
【解析】经分析容易得出②④正确,故选C 。
【命题意图】本题属新题型,考查函数的相关知识。 二、填空题
11.在等比数列{}n a 中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式n a = . 【答案】n-1
4
【解析】由题意知11141621a a a ++=,解得11a =,所以通项n a =n-1
4
。
【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式的应用,属基础题。
12.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 .