2010年高考试题——数学理(福建卷)解析版

2010年高考试题——数学（理）（福建卷）解析

第I 卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。 1．cos13

计算sin43cos 43

-sin13的值等于（ ）

A ．

12

B ．

33

C ．

22

D ．

32

【答案】A

【解析】原式=1

sin (43-13)=sin 30=

2

，故选A 。 【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。

2．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )

A ．22x +y +2x=0

B ．22x +y +x=0

C ．22x +y -x=0

D ．22x +y -2x=0

【答案】D

【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y =1（，即22x -2x+y =0，选D 。

【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。

3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

【答案】A

【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=⨯-+=-，解得2d =， 所以22(1)

11212(6)362

n n n S n n n n -=-+

⨯=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。

4．函数2x +2x-3,x 0

x)=-2+ln x,x>0

f ⎧≤⎨

⎩（的零点个数为 ( ) A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】C

【解析】当0x ≤时，令2

230x x +-=解得3x =-；

当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C 。 【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。

所以EH ∥

FG ，故EH ∥FG ∥11B C ，所以选项A 、C 正确；因为11A D ⊥平面11ABB A ，

EH ∥11A D ，所以EH ⊥平面11ABB A ，又EF ⊂平面11ABB A ， 故EH ⊥EF ，所以选项B 也正确，

故选D 。

【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。

7．若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线22

21(a>0)a

x y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,

则OP FP ⋅

的取值范围为 ( )

A ．[3-23,)+∞

B ．[323,)++∞

C ．7[-

,)4+∞ D ．7

[,)4

+∞

【答案】B

【解析】因为(2,0)F -是已知双曲线的左焦点，所以2

14a +=，即2

3a =，所以双曲线方程为2

213

x y -=，设点P 00(,)x y ，则有220001(3)3x y x -=≥，解得22

0001(3)3x y x =-≥，因为00(2,)FP x y =+ ，00(,)OP x y = ，所以2

000(2)OP FP x x y ⋅=++ =00(2)x x ++2013x -=2004213

x x +-，此二次函数对应的抛物线的对称轴为03

4x =-，因为03x ≥，所以当03x =时，O P F P ⋅ 取得最小值

4

32313

⨯+-=323+，故OP FP ⋅ 的取值范围是[323,)++∞，选B 。 【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。

8．设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪

≥⎨⎪≥⎩

所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,

对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于( ) A ．

285

B ．4

C ． 12

5 D ．2

【答案】B

【解析】由题意知，所求的||AB 的最小值，即为区域1Ω中的点到直线3490x y --=的距离的最小值的

两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，

可看出点（1，1）到直线3490x y --=的距离最小，故||AB 的最小值为

|31419|

245

⨯-⨯-⨯

=，所以选B 。

A ． ①④

B ． ②③

C ．②④

D ．③④ 【答案】C

【解析】经分析容易得出②④正确，故选C 。

【命题意图】本题属新题型，考查函数的相关知识。 二、填空题

11．在等比数列{}n a 中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式n a = ． 【答案】n-1

4

【解析】由题意知11141621a a a ++=，解得11a =，所以通项n a =n-1

4

。

【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式的应用，属基础题。

12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 ．