2021年高中数学必修五数列单元综合测试(含答案)之令狐文艳创作
2021年人教A版必修5数学第2章_数列单元测试卷含答案
2021年人教A版必修5数学第2章数列单元测试卷含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 等差数列{a n}中，已知a2=2，a5=8，则a9=( )A.8B.12C.16D.242. 在数列{a n}中，a1=1，a n+1−3a n=1，则a n=()A.1 2⋅3n−12B.3nC.12⋅3n−1 D.1013. 等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a6+a8=44，则S9=( )A.66B.99C.110D.1984. 在等比数列{a n}中，a3=2，a6=16，则数列{a n}的公比是（）A.−2B.√2C.2D.45. 已知等比数列{a n}的各项均为正，且5a3，a2，3a4成等差数列，则数列{a n}的公比是( )A.1 2B.2C.13D.13或−26. 设首项为1，公比为23的等比数列{a}的前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A.S n=4−3a nB.S n=3−2a nC.S n=3a n−2D.S n=2a n−17. 设{a n}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1，a3，a6成等比数列，则{a n}的前8项和S8=( )A.16B.24C.30D.368. 数列，…的通项公式可能是a n＝（）A. B. C. D.9. 陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教圣地，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言．景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、谁、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为（）A. B. C. D.10. 已知数列{a n}满足a n+1=2a n+3，且a1=3，则{a n}的前8项和S8=()A.1506B.1522C.762D.77411. 已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则a10等于( )A.18B.20C.16D.2212. 已知等差数列{a n}的公差d>0，则下列四个命题：①数列{a n}是递增数列；②数列{S n}是递增数列；③数列{a nn }是递增数列；④数列{S nn}是递增数列．其中正确命题的个数为( )A.1B.2C.3D.413. 设a n=−n2+10n+11，则数列{a n}中第________项的值最大．14. 正项数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，又{√a n a n+1}是以12为公比的等比数列，则使得不等式1a1+1a2+⋯+1a2n+1>2019成立的最小整数n为________．15. 我国2000年底的人口总数为M，人口的年平均自然增长率p，到2010年底我国人口总数是________．16. 如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作．第一次操作：分别连结这个三角形三边的中点，构成4个三角形，挖去中间一个三角形（如图①中阴影部分所示），并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作：连结剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形（如图②中阴影部分所示），同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作：连结剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；…，如此下去．记第n次操作后剩余图形的总面积为a n．(1)a2=________.；(2)欲使剩余图形的总面积不足原三角形面积的1，问至少经过________次操作？417. 已知等差数列{a n}的首项为1，公差d≠0，且a8是a5与a13的等比中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n=1，求数列{b n}的前n项和T n.a n⋅a n+118. 在等比数列{a n}中，a1+a2=5，且a2+a3=20.(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{3a n+√a n}的前n项和S n.19. 在各项均为正项的等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．(1)求{a n}的通项公式；(2)记S n为{a n}的前n项和，求S n．20. 在等比数列{a n}中，a1=2，且a1，1+a2，a3成等差数列.(1)求{a n}的公比；(2)求数列{a n}的前n项和.2=2S n+n+1,a2=221. 已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1(1)求数列{a n}的通项公式a n(2)若b n=a n⋅2n，数列{b n}前n项和为T n，求使T n>2021的最小的正整数n的值．参考答案与试题解析2021年人教A 版必修5数学第2章 数列单元测试卷含答案一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.【答案】 C【考点】等差数列的通项公式 【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知列式求得a 1和d ，则答案可求． 【解答】解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 则由a 2=2，a 5=8， 得{a 1+d =2，a 1+4d =8， 解得a 1=0，d =2， ∴ a 9=a 1+8d =16． 故选C . 2.【答案】 A【考点】等比关系的确定 等比数列的通项公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：a n+1−3a n =1 所以a n+1+12=3(a n +12)， a 1+12=1+12=32，不为0. 所以数列{a n +12}是以32为首项， 3为公比的等比数列. a n +12=32⋅3n−1=12⋅3n ， 所以a n =12(3n −1)=12⋅3n −12. 故选A .3.【考点】等差数列的性质等差数列的前n项和【解析】无【解答】解：∵{a n}为等差数列，且a2+a4+a6+a8=44，∴4a5=44，解得a5=11，∴S9=9(a1+a9)=9a5=9×11=99.2故选B．4.【答案】C【考点】等比数列的性质【解析】=8，解可得q的值，即可得答案．根据题意，由等比数列的通项公式可得q3=a6a3【解答】根据题意，等比数列{a n}中，a3=2，a6=16，=8，则q3=a6a3解可得q=2；5.【答案】C【考点】等差中项等差数列与等比数列的综合等比数列的性质【解析】a3，2a1成等差数列，建立方程，即可求出利用各项均为正数的等比数列{a n}，a2，12等比数列{a n}的公比．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵各项均为正数的等比数列{a n}，5a3，a2，3a4成等差数列，∴5a3+3a4=2a2，即3q2+5q−2=0.∵q>0，∴q=1.3【答案】 B【考点】等比数列的前n 项和 【解析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】由题意可得：a n =(23)n−1，S n =1−(23)n1−23=3[1−(23)n brack =3−2(23)n−1=3−2a n ，∴ S n =3−2a n ， 7.【答案】 C【考点】等差数列的前n 项和 【解析】设公差不为零的等差数列{a n }的公差为d ，由a 1=2，a 1，a 3，a 6成等比数列，可得(2+2d )2=2(2+5d )，解出再利用求和公式即可得出． 【解答】解：设公差不为零的等差数列{a n }的公差为d . ∵ a 1=2，a 1，a 3，a 6成等比数列， ∴ (2+2d )2=2(2+5d )， 解得d =12，则S 8 =8×2+8×72×12=30．故选C . 8.【答案】 D【考点】数列的概念及简单表示法 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 9.【答案】 B【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】基本事件总数n＝C＝10，取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数m＝＝5，由此能求出取出的两种物质恰好是相克关系的概率．【解答】现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数n＝C＝10，取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数m＝＝5，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为p＝＝．10.【答案】A【考点】等比数列的前n项和数列递推式等比数列的通项公式【解析】【解答】解：因为a n+1=2a n+3，所以a n+1+3=2(a n+3)．又a1=3，所以数列{a n+3}是以6为首项，2为公比的等比数列，则a n+3=6×2n−1，即a n=3×2n−3，故S8=3×(21+22+⋯+28)−3×8=3×2(1−28)1−2−24=1506 .故选A .11.【答案】B【考点】等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．【解答】解：∵{a n}为等差数列，其前n项和为S n，a3=6，S3=12，设数列{a n}的公差为d，∴{a1+2d=6，3a1+3×22d=12，解得d=2，a1=2，∴a10=a1+9d=2+9×2=20．故选B．12.【答案】B【考点】数列与函数单调性问题等差数列与一次函数的关系【解析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式，结合数列的通项公式的函数性质进行求解即可．【解答】解：①因为数列{a n}是等差数列，所以a n=a1+(n−1)d=nd+a1−d，因此可以把a n看成关于n的一次函数.而d>0，所以数列{a n}是递增数列，故该命题是真命题；②因为数列{a n}是等差数列，所以S n=na1+12n(n−1)d=12n2d+12n(2a1−d)，因此可以把S n看成关于n的二次函数，而二次函数的单调性与开口和对称轴有关，虽然d>0能确定开口方向，但是不能确定对称轴的位置，故不能判断数列{S n}的单调性，故该命题是假命题；③因为数列{a n}是等差数列，所以a n=a1+(n−1)d=nd+a1−d.设a nn =b n，因此数列{a nn}的通项公式为：b n=a nn=d+a1−dn，显然当a1=d时，数列{a nn}是常数列，故该命题是假命题；④因为数列{a n}是等差数列，所以S n=na1+12n(n−1)d=12n2d+12n(2a1−d).设S nn =c n，因此数列{S nn}的通项公式为c n=S nn=12nd+12(2a1−d)，所以可以把c n看成关于n的一次函数，而12d>0，所以数列{S nn}是递增数列，故该命题是真命题．故选B．二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】5【考点】数列的函数特性【解析】根据题意，分析可得a n＝−(n−5)2+36，据此结合二次函数的性质分析可得答案．【解答】根据题意，a n =−n 2+10n +11=−(n −5)2+36， 当n ＝5时，a n 取得最大值， 14. 【答案】 6【考点】 数列递推式 【解析】本题可先根据已知条件算出数列{√a n a n+1}的通项公式，再得出√a a 关于n 的表达式，再观察不等式1a 1+1a 2+⋯+1a2n+1>2019，联系数列{√a n a n+1}的特点可从不等式的第二项开始运用均值不等式进行合并、整理、化简，得到关于n 的最简算式，再与2019分析比较得到n 的最小取值． 【解答】由题意，可知：∵ √a 1a 2=√1⋅2=√2，∴ {√a n a n+1}是以√2为首项，以12为公比的等比数列． ∴ √a n a n+1=√2⋅(12)n−1=√22n−1． ∴ √a a =n−1√2=2√22n =√24⋅2n ．∵ 1a 1+1a 2+⋯+1a 2n+1=1a 1+(1a 2+1a 3)+(1a 4+1a 5)+⋯+(1a 2n +1a 2n+1) ≥1+2√1a 2⋅1a 3+2√1a 4⋅1a 5+⋯+2√1a 2n ⋅1a 2n+1＝1+2⋅(√a a √a a +⋯√a a )＝1+2⋅(√24⋅22+√24⋅24+⋯+√24⋅22n )＝1+2⋅√24⋅(41+42+...+4n )＝1+√22⋅4(1−4n )1−4＝1+2√23⋅(4n −1)．∵ 1a 1+1a 2+⋯+1a2n+1>2019．∴ 1+2√23⋅(4n −1)>2019即2√23⋅(4n −1)>2018．整理，得：4n >3027√22+1． ∵ 1<√2<2∴ 1514.5=3027×12+1<3027√22+1<3027×22+1=3028而45＝210＝1024，46＝212＝40(96)经过比较，可得知：n ≥615.【答案】M(1+p)10【考点】等比数列【解析】记2000年底的人口总数为a 1=M ，后一年底的人口数为上一年的(1+p)倍，故构成一个以M 为首项，(1+p)为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可得．【解答】解：记2000年底的人口总数为a 1=M ，因为人口的年平均自然增长率p ，故后一年底的人口数为上一年的(1+p)倍，故构成一个以M 为首项，(1+p)为公比的等比数列，故到第n 年底人口总数为a n =M(1+p)n−1，所以2010年底我国人口总数为数列的第11项，即a 11=M(1+p)10故答案为：M(1+p)1016.【答案】9165【考点】数列的应用等比数列【解析】（1）观察图形直接可得结论；（2）通过a n =(34)n <14，计算即得结论；【解答】解：(1)a 1=34，a 2=916.故答案为：916.(2)因为{a n }是以34为首项，以34为公比的等比数列，所以a n =(34)n .由(34)n <14，得3n <4n−1，因为31>40，32>41，33>42，34>43，35<44，所以当n =5时，(34)n <14， 所以至少经过5次操作，可使剩余图形的总面积不足原三角形面积的14. 故答案为：5.三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 11 分 ，共计55分 ） 17.【答案】解：(1)∵ a 1=1，a 8是a 5与a 13的等比中项，{a n }是等差数列， ∴ (1+7d)2=(1+4d)(1+12d)，∴ d =0（舍）或d =2，∴ a n =2n −1.(2)由(1)知a n =2n −1，∴ b n =1an ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)， ∴ T n =12(1−13+13−15+...+12n−1−12n+1)=12(1−12n +1) =n 2n+1.【考点】等比中项等差数列与等比数列的综合数列的求和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ a 1=1，a 8是a 5与a 13的等比中项，{a n }是等差数列， ∴ (1+7d)2=(1+4d)(1+12d)，∴ d =0（舍）或d =2，∴ a n =2n −1.(2)由(1)知a n =2n −1，∴ b n =1an ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)， ∴ T n =12(1−13+13−15+...+12n−1−12n+1)=12(1−12n +1) =n 2n+1.18.【答案】解：(1)因为公比q=a2+a3a1+a2=4，所以a1+a2=5a1=5，即a1=1，故a n=4n−1；(2)因为3a n+√a n=3⋅4n−1+2n−1，所以S n=3×1−4n1−4+1−2n1−2=4n−1+2n−1=4n+2n−2.【考点】等比数列的前n项和等比数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为公比q=a2+a3a1+a2=4，所以a1+a2=5a1=5，即a1=1，故a n=4n−1；(2)因为3a n+√a n=3⋅4n−1+2n−1，所以S n=3×1−4n1−4+1−2n1−2=4n−1+2n−1=4n+2n−2.19.【答案】解：(1)∵在各项均为正项的等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3，∴1×q4=4×(1×q2)，解得q=2或q=−2（舍去），∴{a n}的通项公式为a n=2n−1.(2)∵a1=1，q=2，∴S n=1×(1−2n)1−2=2n−1．【考点】等比数列的通项公式等比数列的前n项和【解析】（1）利用等比数列通项公式列方程求出公比q，由此能求出{a n}的通项公式；（2）由a1＝1，q＝2，能求出{a n}的前n项和S n．【解答】解：(1)∵在各项均为正项的等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3，∴1×q4=4×(1×q2)，解得q=2或q=−2（舍去），∴{a n}的通项公式为a n=2n−1.(2)∵a1=1，q=2，∴S n=1×(1−2n)=2n−1．1−220.【答案】解：(1)设等比数列{a n}的公比为q，因为a1，1+a2，a3成等差数列，所以2(1+a2)=a1+a3，即2(1+2q)=2+2q2，解得q=0（舍去），q=2；(2)数列{a n}的前n项和为，S n=2(1−2n)=2n+1−2.1−2【考点】等差中项等比数列的前n项和等比数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设等比数列{a n}的公比为q，因为a1，1+a2，a3成等差数列，所以2(1+a2)=a1+a3，即2(1+2q)=2+2q2，解得q=0（舍去），q=2；(2)数列{a n}的前n项和为，S n=2(1−2n)=2n+1−2.1−221.【答案】11【考点】数列的求和数列递推式等差数列的通项公式等比数列的通项公式数列与不等式的综合【解析】11【解答】11。
2020-2021学年北师大版高中数学必修五《数列》单元检测题及答案解析
（新课标）最新北师大版高中数学必修五第一章 数 列（北京师大版必修5）实际用时满分实际得分150分一、选择题（每小题5分，共60分）1.等差数列{}的前n 项和为，＝－18，＝－52，等比数列{}中，=，=，则的值为A.64B.－64C.128D.－1282.已知｛a n ｝是递增数列，且对任意n ∈N*都有a n =n 2+λn 恒成立，则实数λ的取值范围是( ) A.(－72,+∞) B.(0,+∞) C.(－2,+∞) D.(－3,+∞)3.设数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，数列{}是以1为首项，2为公比的等比数列，则=A.1033B.1034C.2057D.2058 4.等比数列{}的前n 项和为，=1，若4，2，成等差数列，则＝A.7B.8C.16D.155.已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113-是此数列的第（）项. A ．2 B ．4 C ．6 D ．86.在ABC ∆中,tan A 是以－4为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以13为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（ ） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．以上都不对7.等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=，则3132log log a a ++L +310log a =（ ） A.12 B.10C.31log 5+D.32log 5+ 8.在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为（ ）A.513B.512C.510D.82259.已知数列｛｝的通项公式为=1(1)n -- •(4n －3),则它的前100项之和为( )A.200B.－200C.400D.－40010.若数列{}的前n 项和S n =n 2－2n+3，则此数列的前3项依次为 ( ) A.－1,1,3 B.2,1,3 C.6,1,3 D.2,3,611.等差数列｛｝中，a 1＞0，S 5＝S 11，则第一个使a n ＜0的项是（ ）12.已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a Λ=（ ） A.)41(16n -- B.)21(16n -- C.)41(332n -- D.)21(332n --二、填空题（每小题4分，共16分）13.三个不同的实数c b a ,,成等差数列，且b c a ,,成等比数列，则::a b c =_________. 14.在数列{}中，a 1=3，且对任意大于1的正整数n ，点（n a ，1-n a ）在直线x －y －3=0上，则=_________.15.等比数列{}n a 的前n 项和为21n-，则数列{}2n a 的前n 项和为______________.16.等差数列{}的前n 项和为，且-=8，+=26.记=，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，≤M 都成立，则M 的最小值是. 三、解答题（本大题共6题，共74分）17.有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数.18.在数列{}中，=，并且对任意n ∈，n ≥2都有=-成立，令=（n ∈）.（1）求数列{}的通项公式；（2）求数列{}的前n 项和.19.已知{}为各项都为正数的等比数列，=1，=256，为等差数列{}的前n 项和，=2，5=2. （1）求{}和{}的通项公式； （2）设=++…+，求.20. 互不相等的三个数之积为-8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列.21.已知数列{a n }满足a 1=1,1n a =2a n +1(n ∈N *). （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n}满足114b-•214n b-=(1)n b4b-•…•1a+(n∈N*)，证明：{b n}是等差数列.n22.已知函数f（x）=-2x2+22x，数列{}的前n项和为，点（n，）（n∈）均在函数y=f（x）的图象上.（1）求数列{}的通项公式及前n项和；（2）存在k∈，使得++…+<k对任意n∈恒成立，求出k的最小值.第一章数 列（北京师大版必修5）参考答案1.B 解析：因为＝（+）=9=-18，=（+）=13=-52，所以=-2，=-4.又=，=，所以=2，=·=-4×16=-64.2.D 解析：由｛a n ｝为递增数列得1n a +－a n =2n+1+λ＞0恒成立,即λ＞－2n －1在n ≥1时恒成立，只需λ＞(－2n －1)max =－3,故选D.3.A 解析：由题意知=n+1，=，则=+1，所以++…+=10+=1033.4.D 解析：设公比为q ，则4，2q ，成等差数列，∴4q=4+，∴q=2，∴==16-1=15.5.B 解析：由题意得,得x=-1或x=-4, 当x=-1时，2x+2=0，故舍去，所以,所以-13 ，所以n=4.6.B 解析：设等差数列为｛a n ｝，公差为d,则=-4,=4,所以d=2，所以设等比数列为｛b n ｝，公比为q ，则,=9,所以q=3，所以所以tan tan()1C A B =-+=，所以,,A B C 都是锐角，即此三角形为锐角三角形.7.B 解析：313231031210log log log log ()a a a a a a +++=L L 5103563log ()log (3)10a a ===.8.C 解析：332112131(1)18,()12,,2,22q a q a q q q q q q ++=+====+得或 而q ∈Z,∴q=2,-2=510.9.B 解析：S 100=a 1+a 2+…+a 100=1－5+9－13+17－…+(4×99－3)－(4×100－3)=(1－5)+(9－13)+…+［(4×99－3)－(4×100－3)］=－4×50=－200.10.B 解析：当n=1时，a 1=S 1=12－2×1+3=2;当n=2时，由S 2=a 1+a 2=22－2×2+3=3,得a 2=1;当n=3时，由S 3=a 1+a 2+a 3=32－2×3+3=6,得a 3=3.11.C 解析：由S 5＝S 11 得2a 1＋15d ＝0.又a 1＞0，所以d ＜0．而2＝2a 1＋2（n －1）d ＝（2n －17）d ＜0，所以2n －17＞0，即n ＞8.5．12.C 解析：Θ41252==a a ，，∴.21,41==q a ∴=++++13221n n a a a a a a Λ)41(332n --.13.)2(:1:4- 解析：22222,2,(2),540a c b c b a ab c b a a ab b +==-==--+=，又,4,2a b a b c b ≠∴==-.14.3n 2解析：将点代入直线方程得n a －1-n a =3，由定义知{n a }是以3为首项，以3为公差的等差数列，故n a =3n ，即a n =3n 2.41n -144-1n n -16.2 解析：∵{}为等差数列，由-=8，+=26，得a 1=1，d=4，可解得=2-n ，∴=2-.若≤M 对一切正整数n 恒成立，则只需的最大值≤M 即可.又=2-<2，∴只需2≤M ，故M 的最小值是2.17.解：设这四个数为，a ，aq ，2aq －a,则216,(2)36,a a aq q a aq aq a ⎧=⎪⎨⎪++-=⎩g g ①② 由①，得a 3=216,a=6, ③将③代入②，得q=2 , ∴ 这四个数为3，6，12，18.18.解：（1）当n=1时，==3.当n ≥2时，由=得=1，所以=1.所以数列{}是首项为3，公差为1的等差数列， 所以数列{}的通项公式为=n+2. （2）因为==()，=(1－+++…++)=[－(+)]=.19.解：（1）设{}的公比为q ，由=，得q=4，所以=.设{}的公差为d ，由5=2及=2得d=3， 所以=+（n-1）d=3n-1. （2）因为=1×2+4×5+×8+…+（3n-1），①4=4×2+×5+…+（3n-1），②由②-①，得3=-2-3（4++…+）+（3n-1）=2+（3n-2）·.所以=(n-)·+.20.解：设这三个数为，a ，aq ，∴=－8，即a=-2，∴这三个数为－，－2，－2q.（1）若－2为－和－2q 的等差中项，则+2q=4， ∴－2q+1=0，∴q=1，与已知矛盾；（2）若－2q 为－与－2的等差中项，则+2=4q ， ∴2－q －1=0，∴q=－或q=1（舍去）， ∴这三个数为4，1，－2；（3）若－为－2q 与－2的等差中项，则2q+2=， ∴+q －2=0，∴q=－2或q=1（舍去）， ∴这三个数为4，1，－2.综合（1）（2）（3）可知，这三个数排成的等差数列为4，1，-2.21.（1）解: ∵=2+1（n ∈），∴1+1=2+1n n a a +（），即1+1=2+1n n a a +， {}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列.12.n n a ∴+=即-1（).（2）证法1：12(...)42.n n b b b n nb +++-∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-=① 12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+②②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+=③21(1)20.n n nb n b ++-++=④④－③，得2120,n n n nb nb nb ++-+= 即2120,n n n b b b ++-+=, 故{b n }是等差数列.22.解：（1）因为点（n ，）（n ∈）均在函数y=f （x ）的图象上，所以=-2+22n.当n=1时，==20; 当n ≥2时，=-=-4n+24. 所以=-4n+24（n ∈）.（2）存在k ∈，使得++…+<k 对任意n ∈恒成立，只需k>，由（1）知=-2+22n ， 所以＝-2n+22=2（11-n ）.当n<11时，>0；当n=11时，=0；当n>11时，<0. 所以当n=10或n=11时，++…+有最大值是110. 所以k>110. 又因为k ∈，所以k 的最小值为111.。
2021年高中数学 第二章 数列单元测试(含解析)新人教版必修5
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 2011是等差数列：1，4，7，10,…的第几项( )（A）669 （B）670 （C）671 （D）6722.数列{an }满足an=4an-1+3,a1=0，则此数列的第5项是（）（A）15 （B）255 （C）20 （D）83.等比数列{an }中，如果a6=6,a9=9,那么a3为（）（A）4 （B）（C）（D）24.在等差数列{an }中，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20=( )（A）-1 （B）1（C）3 （D）75.在等差数列{an }中，已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6=( )（A）40 （B）42（C）43 （D）456.记等差数列的前n项和为Sn ，若S2=4，S4=20，则该数列的公差d=（）(A)2 (B)3 (C)6 (D)77.等差数列{an }的公差不为零，首项a1=1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是（）（A）90 （B）100 （C）145 （D）1908.在数列{an }中，a1=2,2an+1-2an=1,则a101的值为（）（A）49 （B）50 （C）51 （D）529.计算机是将信息转化成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如（1101）2表示二进制的数，将它转化成十进制的形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数转换成十进制数的形式是（）（A）217-2 （B）216-1（C）216-2 （D）215-110.在等差数列{an }中，若a1+a2+a3=32,a11+a12+a13=118,则a4+a10=（）（A）45 （B）50 （C）75 （D）60二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上）11.（2011·江西高考）已知数列{an }的前n项和Sn满足：Sn+Sm=Sn+m,且a1=1,那么a10=_______12.等比数列{an }满足an>0,n=1,2,…，且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=____13.等差数列{an}前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为______.14.（2011·广东高考）已知{an }是递增等比数列，a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=______.15.两个等差数列{an }, {bn}, ,则______.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16. (12分)已知等差数列{a n}的公差d＝1，前n项和为S n.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)若S5＞a1a9，求a1的取值范围．17.（10分）已知数列{an }是等差数列，a2=3,a5=6,求数列{an}的通项公式与前n项的和Mn.18.（12分）等比数列{an }的前n项和为Sn，已知S1,S3,S2成等差数列.（1）求{an}的公比q；（2）若a1-a3=3,求Sn.19.（12分）数列{an }的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1=a1,bn=an-an-1（n≥2），若an+Sn=n，cn=an-1.（1）求证：数列{cn}是等比数列；（2）求数列{bn}的通项公式.20.（12分）如果有穷数列a1,a2,a3,…,am（m为正整数）满足条件a1=am, a2=am-1,…,am=a1,即ai =am-i+1(i=1,2,…，m),我们称其为“对称数列”.例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”.（1）设{bn }是7项的“对称数列”，其中b1,b2,b3,b4是等差数列，且b1=2,b4=11.依次写出{bn}的每一项；（2）设{cn }是49项的“对称数列”，其中c25,c26,…,c49是首项为1，公比为2的等比数列，求{cn}各项的和S.21.(12分)已知数列{an }的前n项和为(),等差数列{bn}中，bn>0(),且b1+b2+b3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列.（1）求数列{an },{bn}的通项公式；（2）求数列{an +bn}的前n项和Tn.(选做题)22.（12分）某商店为了促进商品销售,特定优惠方式,即购买某种家用电器有两种付款方式可供顾客选择,家用电器价格为2 150元.第一种付款方式:购买当天先付150元,以后每月这一天都交付200元,并加付欠款利息,每月利息按复利计算,月利率为1%；第二种付款方式：购买当天先付150元，以后每个月付款一次，10个月付清，每月付款金额相同，每月利息按复利计算，月利率1%.试比较两种付款方法,计算每月所付金额及购买这件家用电器总共所付金额.答案解析1.【解析】选C.∵2011=1+（n-1）×(4-1)，∴n=671.2.【解析】选B.由an =4an-1+3,a1=0，依次求得a2=3,a3=15,a4=63,a5=255.3.【解析】选A.等比数列{an }中，a3,a6,a9也成等比数列，∴a62=a3a9,∴a3=4.4.【解析】选B.a1+a3+a5=105,∴a3=35,同理a4=33,∴d=-2,a1=39,∴a20=a1+19d=1.5.【解析】选B.设公差为d,由a1=2,a2+a3=13,得d=3,则a4+a5+a6= (a1+3d)+(a2+3d)+(a3+3d)=(a1+a2+a3)+9d=15+27=42.6.【解析】选B.S4-S2=a3+a4=20-4=16，∴a3+a4-S2=（a3-a1）+(a4-a2)=4d=16-4=12，∴d=3.7.【解析】选B.设公差为d,∴(1+d)2=1×(1+4d),∵d≠0,∴d=2,从而S10=100.8.【解题提示】利用等差数列的定义.【解析】选D.∵2an+1-2an=1,∴,∴数列{an }是首项a1=2,公差的等差数列，∴.9.【解析】选B.形式为：1×215+1×214+1×213+…+1×21+1×20=216-1.10.【解析】选B.由已知a1+a2+a3+a11+a12+a13=150,∴3(a1+a13)=150,∴a1+a13=50,∴a4+a10=a1+a13=50.11.【解题提示】结合Sn +Sm=Sn+m,对m,n赋值，令n=9,m=1,即得S9+S1=S10,即得a10=1.【解析】选A.∵Sn +Sm=Sn+m,∴令n=9,m=1,即得S9+S1=S10,即S1=S10-S9=a10,又∵S1=a1,∴a10=1.12.【解题提示】由已知可先求得通项公式，再由对数的性质进行运算.【解析】选C.a5·a2n-5=22n(n≥3),∴an 2=22n,an>0,∴an =2n,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+…+(2n-1)=n2.13.【解题提示】利用等差数列前n项和的性质【解析】由题意可知Sm ,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列，2（S2m-Sm）=Sm+S3m-S2m∴S3m =3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.答案：21014.【解题提示】由等比数列的通项公式，可得关于公比q的方程，从而求出q.【解析】由a4-a3=4得a2q2-a2q=4,即2q2-2q=4,解得q=2或q=-1（由数列是递增数列，舍去）.答案：215.【解题提示】利用等差数列的前n项和的有关性质进行运算.【解析】设两个等差数列{an },{bn}的前n项和分别为An,Bn.则.答案：三、解答题：16.【解析(1)因为数列{a n}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，所以a21＝1×(a1＋2)，即a21－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2.(2)因为数列{a n}的公差d＝1，且S5＞a1a9，所以5a1＋10＞a21＋8a1，即a21＋3a1－10＜0，解得－5＜a1＜2.故a1的取值范围为(－5,2)．17.【解析】设{an}的公差为d,∵a2=3,a5=6,∴,∴a1=2,d=1,∴an=2+(n-1)=n+1.18.【解析】（1）依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2)由于a1≠0，故2q2+q=0，又q≠0,从而.（2）由已知得a1-a1()2=3,故a1=4从而.19.【解析】（1）∵a1=S1,an+Sn=n,①∴a1+S1=1,得.又an+1+Sn+1=n+1 ②①②两式相减得2(an+1-1)=an-1，即,也即,故数列{cn}是等比数列.（2）∵,∴,.故当n≥2时，.又,即.20.【解题提示】利用等比数列的前n项和公式进行计算.【解析】（1）设数列{bn }的公差为d，则b4=b1+3d=2+3d=11,解得d=3，∴数列{bn}为2，5，8，11，8，5，2.（2）S=c1+c2+…+c49=2(c25+c26+…+c49)-c25=2(1+2+22+…+224)-1 =2(225-1)-1=226-3.21.【解析】（1）a1=1,an=Sn-Sn-1=3n-1,n>1，∴an =3n-1()，∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴a1=1,a2=3,a3=9,在等差数列{bn}中，∵b1+b2+b3=15,∴b2=5.又因a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d,∴（1+5-d）(9+5+d)=64，解得d=-10或d=2,∵bn>0(),∴舍去d=-10,取d=2,∴b1=3.∴bn=2n+1().（2）由（1）知∴Tn =a1+b1+a2+b2+…+an+bn=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn).22.【解题提示】第一种付款方式是等差数列模型，第二种付款方式是等比数列模型，分别计算出实际共付金额，再比较得出结论.【解析】第一种方式:购买时先付150元,欠2 000元,按要求知10次付清,则第1次付款金额为a1=200+2 000×0.01=220(元);第2次付款金额为a2=200+(2 000-200)×0.01=218(元)……第n次付款金额为an=200+［2 000-(n-1)×200］×0.01=220-(n-1)×2(元).不难看出每次所付款金额顺次构成以220为首项,-2为公差的等差数列,所以10次付款总金额为 (元)，实际共付2 260元.第二种方式:购买时先付150元,欠2 000元,则10个月后增值为2 000×(1+0.01)10=2 000×(1.01)10(元).设每月付款x元,则各月所付的款额连同最后一次付款时生成的利息之和分别是(1.01)9x,(1.01)8x,…,x,其构成等比数列,和为.应有,精品文档实用文档 所以x ≈211.2，每月应付211.2元,10次付款总金额为2 112元,实际共付2 262元,所以第一种方式更省钱.【方法技巧】分清类型解数列应用题解数列应用题要明确问题是属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，是求a n 还是求S n ，特别要弄清项数为多少，试题中常见的数列类型有：（1）构造等差、等比数列模型，然后再应用数列的通项公式及求和公式求解；（2）先求出连续的几项，再归纳出a n ，然后用数列知识求解.B\31329 7A61 穡_ 37134 910E 鄎35625 8B29 謩24994 61A2 憢39366 99C6 駆34817 8801 蠁34370 8642 虂30352 7690 皐-133115 815B 腛。
高中数学必修5数列单元测试题含答案
《数列》 单元检测一、选择题（每小题3分,共33分）1、数列⋯--,924,715,58,1的一个通项公式是A ．12)1(3++-=n nn a nnB ．12)3()1(++-=n n n a nnC ．121)1()1(2--+-=n n a n nD ．12)2()1(++-=n n n a nn 2、已知数列｛a n ｝的通项公式)(43*2N n n n a n ∈--=,则a 4等于( ). A 1 B 2 C 3 D 0 3、在等比数列}{n a 中,,8,1641=-=a a 则=7a ( )A 4-B 4±C 2-D 2±4、已知等差数列}{n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于( )A 4-B 6-C 8-D 10-5、等比数列｛a n ｝的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为 （ ）A ．－2B ．1C ．－2或1D ．2或－16、等差数列}a {n 中，已知前15项的和90S 15=，则8a 等于（ ）．A ．245 B ．12 C ．445 D ．67、已知等比数列{a n } 的前n 项和为S n ， 若S 4=1，S 8=4，则a 13+a 14+a 15+a 16=（ ）．A ．7B ．16C ．27D ．648、一个三角形的三个内角A 、B 、C 成等差数列，那么()tan A C +的值是A B ．C ．D ．不确定 9、若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边数为A ．6B ．8C ．10D ．12 10、 在等比数列{a n }中，4S =1，8S =3，则20191817a a a a +++的值是A ．14B ．16C ．18D ．2011、计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低31，现在价格为8100元的计算机，A ．2400元B ．900元C ．300元D ．3600元二、填空题（每小题4分,共20分）12、已知等比数列｛n a ｝中,1a =2,4a =54,则该等比数列的通项公式n a = 13、 等比数列的公比为2, 且前4项之和等于30, 那么前8项之和等于 14、数列11111,2,3,,,2482nn ++++……的前n 项和是 ． 15、 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案： 则第n 个图案中有白色地面砖_________________块.16、在数列{}n a 中，11a =，且对于任意自然数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝三、解答题17、（本小题满分8分）等差数列{}n a 中，已知33,4,31521==+=n a a a a ，试求n 的值18、（本小题满分8分）在等比数列{}n a 中，5162a =，公比3q =，前n 项和242n S =，求首项1a 和项数n ．19、（本小题满分10分）已知：等差数列{n a }中，4a =14，前10项和18510=S ．（1）求n a ；（2）将{n a }中的第2项，第4项，…，第n 2项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前n 项和n G ．20、（本小题满分10分）某城市2001年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，则从2002年起，每年平均需新增住房面积为多少万m 2，才能使2020年底该城市人均住房面积至少为24m 2？(可参考的数据1.0118=1.20，1.0119=1.21，1.0120=1.22).21、（本小题满分11分）已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d >0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项． （1）求数列{a n }与{b n }的通项公式； （2）设数列{c n }对任意自然数n ，均有1332211+=+⋯⋯+++n nn a b c b c b c b c ，求c 1+c 2+c 3+……+c 2006值．《数列》 单元检测参考答案题号 123456789 1011 答案 DD A B C D C B ABA12、3．2n-1 13、510 14、n （n+1）+1-2n 15、4n+2 16、495117、d=32，n=5018、解：由已知，得51113162,(13)242,13n a a -⎧⋅=⎪⎨-=⎪-⎩①②由①得181162a =，解得 12a =．将12a =代入②得()21324213n =-－，即 3243n =，解得 n ＝5．∴ 数列{}n a 的首项12a =，项数n ＝5．19、解析：(1)、由41014185a S =⎧⎨=⎩ ∴ 11314,1101099185,2a d a d +=⎧⎪⎨+⋅⋅⋅=⎪⎩ 153a d =⎧⎨=⎩ 23+=∴n a n (2)、设新数列为{n b }，由已知，223+⋅=n n bn n G n n n 2)12(62)2222(3321+-=+++++=∴ *)(,62231N n n n ∈-+⋅=+20．解 设从2002年起，每年平均需新增住房面积为x 万m 2，则由题设可得下列不等式19500619500(10.01)24x ⨯+≥⨯+⨯答：设从2002年起，每年平均需新增住房面积为605万m 2.21、解：（1）由题意得（a 1+d ）(a 1+13d )=(a 1+4d )2(d >0) 解得d =2,∴a n =2n -1,b n =3n -1. （2）当n =1时，c 1=3 当n ≥2时，,1n n nna abc -=+ 132-⋅=n n c ，⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(31n n c n n 22005200612200632323233c c c ∴++⋯+=+⨯+⨯+⋯+⨯=。
2021年新人教版高一数学必修5第二章数列单元测试及答案
浙江省瓯海中学高一数学必修5第二章《数列》单元测试班级 姓名 座号一、选择题(每小题6分)1、数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为( )A ．12-=n a nB ．)12()1(--=n a nnC ．)21()1(n a n n --=D ．)12()1(+-=n a nn2、等比数列2，4，8，16，…的前n 项和为( )A ．121-+nB ．22-nC ．n 2D ．221-+n3、等比数列{}n a 中，已知112733n a a q ===，，，则n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．64、等比数列{}n a 中，9696==a a ，，则3a 等于( )A ．3B ．23C ．916D ．45、若数列{}n a 中，n a =43-3n ，则n S 最大值n= ( )A ．13B ．14C ．15D ．14或156、等差数列{}n a 的首项11=a ，公差0≠d ，如果521a a a 、、成等比数列，那么等于( )A ．3B ．2C ．－2D ．2±7、等差数列{}n a 的前m 项的和是30，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是( )A ．130B ．170C ．210D ．2608、 数列{a n }的通项公式是a n =1(1)n n +(n ∈N*)，若前n 项的和为1011，则项数n 为( )A ．12B ．11C ．10D ．9二、填空题(每小题6分)9、等差数列{}n a 中，n S =40，1a =13，d =-2 时，n =______________ 10、{}a n 为等差数列,14739a a a ++=,25833a a a ++=,=++a a a 963 _______11、在等差数列{}n a 中，35791120a a a a a ++++=，则113a a += __________12、在数列{}n a 中，11a =，且对于任意自然数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝______三、解答题13、(本题10分)求数列11111,2,3,424816…的前n 项和。
2021年高中数学 第二章《数列》单元综合测试题 新人教版必修5
2021年高中数学第二章《数列》单元综合测试题新人教版必修5一：选择题（每题5分，共50分）1．等差数列中，已知前15项的和，则等于………（）A．B．12 C．D．62．等比数列{a n}中，如果，则的值为……（）A．3 B．9 C．±3 D．±93.为等差数列，，，则( )(A). 60 (B). (C). 182 ( D).4、已知等比数列{a n} 的前n项和为, 若S4=1,S8=4，则a13+a14+a15+a16=( )A．7 B．16 C．27 D．645．数列的前项和为，若，则这个数列一定是（）A．等比数列B．等差数列C．从第二项起是等比数列D．从第二项起是等差数列6．等差数列{a n}中，.记，S13等于（）A．168 B．156 C．152 D．787．在等比数列{a n}中，等于（）A．B．C．D．8．是等差数列，S10>0，S11<0，则使<0的最小的n值是（）A．5 B．6 C．7 D．89．已知等差数列{a n}的前m项和为100，前3 m项的和为－150，则它的前2m项的和为（）A．25 B．—25 C．50 D．7510．．已知数列的前n项和，那么下述结论正确的是（）A．为任意实数时，是等比数列B．= －1时，是等比数列C．=0时，是等比数列D．不可能是等比数列设二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．，则的值为12．夏季某高山上的温度从山脚起，每升高100米降低，已知山顶处的温度是，山脚温度是，则这山的山顶相对于山脚处的高度是13．设数列{a n}的前n项和为14．等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为、，若=15．等比数列公比为q，前n项和为，若S n+1,S n，S n+2成等差数列，则q为xx学年山东省潍坊市第一中学数学必修五第二章《数列》单元测试题答题纸一、选择题二、填空题11、 12、 13、 14、 15、三、解答题（共75分）16.等比数列{a n}的前n项和，且a3=, S3= ,求的表达式.17．数列{a n}的前n项和为，且，，求:（I）的值及数列{a n}的通项公式；（II）的值.18.数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和S n满足 .(－)（1）求的表达式；（2）设=,求数列的前n项和19. 已知是等差数列，其前n项和为，已知（1）求；（2）设，证明是等比数列，并求其前n项和T n.20．设正项等比数列的首项，前n项和为，且。
2020-2021学年北师大版高中数学必修五《数列》单元练习题及答案解析
（新课标）最新北师大版高中数学必修五数列综合练习第I 卷、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确 答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）.1 .“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为1的等比数列一定是递减数列”；2 “a, b, c 三数成等比数列的充要条件是 b 2= ad'； "a, b, c 三数成等差数列的充要条件是2b= a+C,以上四个命题中，正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2 .已知数列｛a n ｝中，a n =——（nCN ）,则数列｛a ｝的最大项是（）n 156A.第12项B.第13项C.第12项或13项D.不存在3 .在等差数歹!J 中，前n 项的和为S n ,若S m =2n,S=2m,（m 、nCN 且mwn ）,则公差d的值为()A _ 4(m n) mn4 .如果囱❷。
❷为各项都大于零的等差数列，公差d 0,则（B ---- m^_4(m n) C.2( m n) mnD.mn 2(m n)A,a〔a8 a4a5 B・a〔a8 a4a5C. a〕a8 a4 a5D. a〔a8 a4 a55.已知等差数列｛a n｝中，a7 a9 16a 1,则a12的值是 ( )A. 15B. 30C. 31D. 646. a、bCR,且|a|<1, |b|<1,则无穷数列：1,(1+b)a, (1+b+b2)a2,…，1+b+b2+・+b n1)a n 1…的和为( )A. ---- 1---B. 1(1 a)(1 b) 1 abC. ---- 2 ---D. ------- 1----(1 a)(1 ab) (1 a)(1 ab)7.若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m,则m的范围是( )A. (1, 2)B. (2, +oo)C. [3, +8)D. (3, +8)8.已知二次函数y=a(a+1)X— (2a+1)x+1,当a=1, 2,…，n,…时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2,…,d n,…，则ii m(d1+cL+…+d n)的值是n( )A. 1B. 2C. 3D. 49.若数列｛a｝前8项的值各异，且a+8=a n对任意nC N都成立，则下列数列中可取遍｛a｝前8项值的数列为A. ｛&k+[｝B.即｝C.｛*｝D.｛瓯+1｝10.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量S (万件)近似地满足S n=— (21n-n2- 5) (n=1, 2,……，12),按此预测，90 在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 ( )A. 5月、6月B. 6月、7月C. 7月、8月D. 8月、9月11.在数列｛a n｝中，如果存在非零常数T ,使得a m+T =3对于任意的非零自然数m均成立，那么就称数列｛a n｝为周期数列，其中T叫数列｛a｝的周期。
2020-2021学年北师大版高中数学必修五《数列》单元综合测试题及答案解析
（新课标）最新北师大版高中数学必修五五校联盟（强化班）高一《数列》单元测试班级： 姓名：一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且103=++c b a ， 则a = （ ） A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－42．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 3．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于 （ ）A ．40B ．42C ．43D ．45 4．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝（ ）A ．310B ．13C ．18D ．195．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=（ ） A ．120B ．105C ．90D ．75 6．已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若OC a OA a OB 2001+=，且A 、B 、C 三点共线 （该直线不过原点O ），则S 200＝（ ）A ．100B ．101C ．200D ．2017．设数列{a n }的前n 项和为S n , 已知15a =，且12(1)(1)n n nS n n n S +=+++( n ∈N*)， 则过点P(n,n a ) 和Q(n+2,2+n a )( n ∈N*)的直线的一个方向向量的坐标可以是 （ ）A ．（2，21） B ．(-1, -1) C ．(21-, -1) D ．（2,21--） 8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ）A ．63B ．45C ．36D ．279．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝A ．8B ．－8C ．±8D ．9810．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=L ，称n T 为数列1a ，2a ，……，na 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么数列2， 1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为（ ）11．数列｛a n ｝中，若a 1=1，a n+1=2a n +3 （n ≥1），则该数列的通项a n = .12．我们把使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的数n 叫做“劣数”，则在区间（1，2004）内的所有劣数的和为 ．13．设{n a }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程24830x x -+=的两根，则=+20072006a a __________.14．已知命题：“若数列{a n }为等差数列，且a m =a ，a n =b (m ≠n ，m ，n ∈N +)，则mn ma nb a n m -⋅-⋅=+”．现已知数列{b n }(b n ＞0，n ∈N +)为等比数列，且b m =a ，b n =b (m ≠n ，m ，n ∈N +)，若类比上述结论，则可得到b m+n = ．15、若a ＋b ＋c ，b ＋c －a ，c ＋a －b ，a ＋b －c 依次成等比数列，公比为q ，则q 3＋q 2＋q＝ ．三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项．⑴求数列{a n }与{b n }的通项公式．⑵设数列{c n }对任意正整数n ，均有1332211+=+⋯⋯+++n nn a b c b c b c b c ，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2010的值．17．已知f(x ＋1)＝x 2－4，等差数列{a n }中，a 1＝f(x －1)，a 2＝－32，a 3＝f(x)．求：⑴x 的值；⑵数列{a n }的通项公式a n ；⑶a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 26．18．正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a n +1．(1) 试求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n+1，{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <12．19．已知函数f(x)定义在区间（－1，1）上，f(12)＝－1，且当x ，y ∈(－1，1)时，恒有f(x)－f(y)＝f(x －y 1－xy )，又数列{a n }满足a 1＝12，a n+1＝2a n 1+a n 2，设b n ＝1f(a 1)＋1f(a 2)＋…＋1f(a n )． ⑴证明：f(x)在（－1，1）上为奇函数；⑵求f(a n )的表达式；⑶是否存在正整数m ，使得对任意n ∈N ，都有b n <m －84成立，若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．《数列》单元测试卷参考答案1．D ．依题意有22,,310.a c b bc a a b c +=⎧⎪=⎨⎪++=⎩4,2,8.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2．C ． 3302551520511=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a ，故选C ．3．B ． ∵等差数列{}n a 中12a =，2313a a += ∴公差3d =．∴45613345a a a a d d d ++=+++＝1312a d+＝42．4．A ． 由等差数列的求和公式可得31161331,26153S a d a d S a d +===+可得且0d ≠ 所以6112161527312669010S a d d S a d d +===+，故选A ． 5．B ．12322153155a a a a a ++=⇒=⇒=，()()1232228080a a aa d a a d =⇒-+=， 将25a =代入，得3d =，从而()()11121312233103530105a a a a a d ++==+=⨯+=.选B ．6．A ． 依题意，a 1＋a 200＝1，故选A ．7．D 解：由条件知n S 1n S n 1n -++=2 ∴{n S n }是等差数列，∴nS n= 5+ (n – 1)×2 = 2n + 3 ∴S n = 2n 2+ 3n ，当n ≥2时，a n = S n = S n – 1 = 4n+1 (a 1也适合)∴k PQ =2a a n 2n -+= 4，设直线PQ 的方向向量为u r = (a , b)，则有ab= 4，只有D 符合.8．B 解： 由等差数列性质知S 3、S 6-S 3、S 9-S 6成等差数列，即9，27，S 成等差，所以S=45，选B 9． 4．∵38)]9(1[3112=---=-a a).38()3()(,3,09,9)9)(1(12222222⋅-=--=∴<⋅-==--=a a b b q b b 故而 B 选∴-=810．A ．认识信息，理解理想数的意义有，20025014984995002501,5004984995002004500321500321=+++++⨯∴++++=a a a a a a a a ΛΛ，选A ．11．由112332(3)n n n n a a a a ++=+⇔+=+，即133n n a a +++=2，所以数列｛n a ＋3｝是以（1a +3）为首项，以2为公比的等比数列，故n a ＋3=（1a +3）12n -，n a =12n +－3.12．∵，k n n a a a n n 时=+=+⋯⋯⋅=⋯⋯+)2(log )2(log 4log 3log 213221n ＋2＝2k ，由n ＝2k－2∈(1，2004)有2≤k ≤10(k ∈Z)．故所有劣数的和为（22＋23＋……＋210）－2×9＝21)21(49--－18＝2026．13． 18 2004a Q和2005a 是方程24830x x -+=的两根，故有：200420051232a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或200420053212a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍）。
(2021年整理)高中数学必修5数列习题及答案
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第二章 数列一、选择题1．设S n 是等差数列{a n ｝的前n 项和，若 63S S ＝错误!，则126S S ＝（ ）． A ．错误! B ．错误! C ．错误! D ．错误!2．数列{a n }是各项均为正数的等比数列，｛b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( ）． A ．a 3＋a 9＜b 4＋b 10B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小不确定3．在等差数列｛a n }中,若a 1 003＋a 1 004＋a 1 005＋a 1 006＝18,则该数列的前 2 008项的和为（ ）．A ．18 072B ．3 012C ．9 036D ．12 0484．△ABC 中,a ，b ,c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列, ∠B ＝30°，△ABC 的面积为23，那么b ＝（ )．A ．231+ B ．1＋3 C ．232+ D ．2＋35．过圆x 2＋y 2＝10x 内一点（5，3)有k 条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列的首项a 1，最大弦长为数列的末项a k ，若公差d ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2131 ，,则k 的取值不可能是（ )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．76．已知等差数列{a n ｝中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是（ ）． A ．15B ．30C ．31D ．647．在等差数列{a n ｝中，3(a 2＋a 6）＋2（a 5＋a 10＋a 15）＝24，则此数列前13项之和为（ )． A ．26B ．13C ．52D ．1568．等差数列｛a n }中,a 1＋a 2＋a 3＝－24,a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( )． A ．160B ．180C ．200D ．2209．在等比数列｛a n ｝中,a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( )．A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2n D ．3n－110．已知｛a n ｝是等比数列，a 2＝2，a 5＝41,则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( ）．A ．16（1－4－n） B ．16（1－2－n) C ．332(1－4－n)D ．332（1－2－n)二、填空题11．设等比数列｛a n }的公比为q ,前n 项和为S n ，若S n +1，S n ，S n +2成等差数列，则q 的值为 。
2020_2021学年高中数学第一章数列综合测试课时作业含解析北师大版必修5
单元综合测试一(第一章)时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知实数－1，x ，y ，z ，－2成等比数列，则xyz 等于( C ) A ．－4 B ．±4 C ．－2 2D ．±2 2解析：因为y 2＝xz ＝(－1)×(－2)＝2， 所以y ＝－2(y ＝2不合题意，舍去)， 所以xyz ＝－2 2.2．有穷数列1,23,26,29，…，23n ＋6的项数是( C )A ．3n ＋7B ．3n ＋6C ．n ＋3D ．n ＋2解析：此数列的次数依次为0,3,6,9，…，3n ＋6，为等差数列，且首项a 1＝0，公差d ＝3，设3n ＋6是第x 项，3n ＋6＝0＋(x －1)×3，所以x ＝n ＋3.故选C.3．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( B )A ．90B ．100C ．145D ．190解析：设公差为d ， 所以(1＋d )2＝1×(1＋4d )，因为d ≠0，所以d ＝2，从而S 10＝100.4．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( B ) A.152 B.314 C.334D.172解析：a 2a 4＝a 23＝1，∴a 3＝1，∵S 3＝7，∴q ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2S 3＝a 11－q 31－q ，∴两式相比q 2＋q ＋1q 2＝7，∴q ＝12或q ＝－13(舍去)，即a 1＝4.∴S 5＝a 11－q 51－q ＝314，故选B.5．在正项数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上，则数列{a n }的通项公式a n 为( C )A ．2n －1 B ．2n －1＋1C ．2nD ．2n＋1解析：据题意得a n －2a n －1＝0，即a n ＝2a n －1，所以a n ＝2×2n －1＝2n.6．已知数列{a n }中，a 1＝b (b >0)，a n ＋1＝－1a n ＋1(n ∈N ＋)，能使a n ＝b 的n 可以等于( C ) A ．14 B ．15 C ．16D ．17解析：由题可知，a 1＝b ，a 2＝－1b ＋1，a 3＝－1－1b ＋1＋1＝ －b ＋1b ，a 4＝－1－b ＋1b＋1＝b . 所以数列{a n }是以3为周期的周期数列，观察四个选项可知C 正确．7．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，下列选项中不可能是{S n }的图像的是( D )解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以设S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N ＋)，则其对应函数y ＝ax 2＋bx 的图像是过原点的一条曲线．当a ＝0时，该曲线是过原点的直线，如选项C ；当a ≠0时，该曲线是过原点的抛物线，如选项A ，B ；选项D 中的曲线不过原点，不符合题意．选D.8．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n－1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ3n为等差数列的实数λ等于( C )A ．2B ．5C ．－12D.12解析：a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n，则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27，因为b 1＋b 3＝2b 2，所以λ＝－12.9．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1＋n，已知它的前n 项和S n ＝6，则项数n 等于( C )A ．6B ．7C ．48D ．49解析：将通项公式变形得a n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－nn ＋1＋n n ＋1－n＝n ＋1－n ，则S n ＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1， 由S n ＝6，则有n ＋1－1＝6，故n ＝48. 10．对于正项数列{a n }，定义G n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na nn为数列{a n }的“匀称”值．已知数列{a n }的“匀称”值为G n ＝n ＋2，则该数列中的a 10等于( D )A ．2 3 B.45 C ．1 D.2110解析：因为G n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na nn，数列{a n }的“匀称”值为G n ＝n ＋2， 所以a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋2)，① 所以n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)·(n ＋1)，②①－②得na n ＝2n ＋1， 所以a n ＝2n ＋1n，n ≥2，当n ＝1时，a 1＝G 1＝3满足上式． 所以a n ＝2n ＋1n ，a 10＝2110.第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，则a 5＝16；前8项的和S 8＝255(用数字作答)．解析：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)知{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项公式及前n 项和公式知a 5＝a 1q 4＝16，S 8＝a 11－q 81－q ＝1·1－281－2＝255.12．设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为1941. 解析：a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝2a 62b 6＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝S 11T 11＝2×11－34×11－3＝1941. 13．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝1，S n ＝14(n 2＋n )．解析：由a 1＝12，S 2＝a 3得，a 1＋a 2＝a 3，即a 3－a 2＝12，∴{a n }是以a 1＝12为首项，以12为公差的等差数列．∴a n ＝12＋(n －1)×12＝12n .∴a 2＝1，S n ＝n 2(a 1＋a n )＝14n 2＋14n ＝14(n 2＋n )．14．数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝12.解析：因为a n ＋1＝11－a n ，所以a n ＋1＝11－a n＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2，所以周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. 所以a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，所以a 1＝12. 15．给定81个数排成如图所示的数表，若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列，且表中正中间一个数a 55＝5，则表中所有数之和为405.a 11 a 12 … a 19 a 21 a 22 … a 29… … … …a 91 a 92 … a 99解析：S ＝(a 11＋…＋a 19)＋…＋(a 91＋…＋a 99)＝9(a 15＋a 25＋…＋a 95)＝9×9×a 55＝405. 三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }(n ∈N ＋)满足a 1＝2，a 3＝6. (1)求该数列的公差d 和通项公式a n ；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ≥2n ＋12，求n 的取值范围． 解：(1)由题意得d ＝a 3－a 12＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ，n ∈N ＋. (2)S n ＝a 1＋a n2×n ＝n 2＋n ，由S n ≥2n ＋12，解得n ≥4或n ≤－3. 所以n ≥4且n ∈N ＋.17．(本小题满分12分)已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0. (1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 3＝－6，a 6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝2.所以a n ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12. (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8， 所以－8q ＝－24，即q ＝3.所以数列{b n }的前n 项和为b 11－q n 1－q＝4(1－3n)．18．(本小题满分12分)数列{a n }中，a 1＝13.前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；(2)若S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值． 解：(1)由S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1得a n ＋1＝(13)n ＋1(n ∈N ＋)，又a 1＝13，故a n ＝(13)n(n ∈N ＋)，从而S n ＝13×[1－13n]1－13＝12[1－(13)n](n ∈N ＋)． (2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327，由S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列可得， 13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋49)t ，解得t ＝2. 19．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式．(2)设c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，a 1＝2符合上式，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2，设{b n }的公比为q ，则b 1＝2，b 2＝12，∴q＝14， ∴b n ＝b 1qn －1＝2×14n －1，即b n ＝24n －1. (2)∵c n ＝a n b n ＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1＋3×41＋5×42＋…＋(2n －1)·4n －1，4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)·4n，两式相减，得3T n ＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n ＝13[(6n －5)4n＋5]，∴T n ＝19[(6n －5)4n＋5]．20．(本小题满分13分)某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元．今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造．预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年(今年记为第一年)的利润为500⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n 万元(n 为正整数)． (1)设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元(需扣除技术改造资金)，求A n 、B n 的表达式；(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？解：(1)依题意，设A n ＝(500－20)＋(500－40)＋…＋(500－20n )＝490n －10n 2；B n ＝500[(1＋12)＋(1＋122)＋…(1＋12n )]－600＝500n －5002n －100. (2)B n －A n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫500n －5002n －100－(490n －10n 2)＝10n 2＋10n －5002n －100＝10⎣⎢⎡⎦⎥⎤nn ＋1－502n －10.∵函数y ＝x (x ＋1)－502x －10在(0，＋∞)上为增函数，当1≤n ≤3时，n (n ＋1)－502n －10≤12－508－10<0，即B n <A n ；当n ≥4时，n (n ＋1)－502n －10≥20－5016－10>0，即B n >A n .∴当n ≥4时，B n >A n .故至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．21．(本小题满分14分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝12na n ＋a n －c (c 是常数，n ∈N ＋)，a 2＝6.(1)求c 的值及数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n －22n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，若2T n >m －2对任意n ∈N ＋恒成立，求正整数m 的最大值．解：(1)因为S n ＝12na n ＋a n －c ，所以当n ＝1时，S 1＝12a 1＋a 1－c ，解得a 1＝2c .当n ＝2时，S 2＝a 2＋a 2－c ， 即a 1＋a 2＝a 2＋a 2－c . 解得a 2＝3c ， 所以3c ＝6， 解得c ＝2.则a 1＝4， 数列{a n }的公差d ＝a 2－a 1＝2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋2. (2)因为b n ＝a n －22n ＋1＝2n ＋2－22n ＋1＝n2n ， 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，①12T n ＝122＋223＋324＋…＋n2n ＋1，② 由①－②可得12T n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1， 所以T n ＝2－2＋n 2n .因为T n ＋1－T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2＋n ＋12n ＋1－⎝⎛⎭⎪⎫2－2＋n 2n ＝n ＋12n ＋1>0，所以数列{T n }单调递增，T 1最小，最小值为12.所以2×12>m －2.所以m <3，故正整数m 的最大值为2.。
高中数学 第二章 数列同步测试卷(含解析)新人教A版必修5(1)(2021年最新整理)
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数列（时间：120分钟，满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．(2014·高考福建卷）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2,S3＝12,则a6等于( ）A．8 B．10 C．12 D．142．（2014·高考重庆卷）对任意等比数列｛a n｝,下列说法一定正确的是( )A．a1，a3,a9成等比数列B．a2，a3,a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列3．在等差数列{a n}中，若a2＝4，a4＝2,则a6＝（）A．－1 B．0 C．1 D．64．（2014·高考辽宁卷)设等差数列{a n}的公差为d.若数列｛2a1a n}为递减数列，则（) A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>05．(2014·高考重庆卷）在等差数列{a n}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝( )A．5 B．8 C．10 D．146．等比数列｛a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则数列{a n｝的公比为( ）A．1 B．3 C.错误! D.错误!7．等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9,则a1＝( ）A.错误! B．－错误! C。
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数列单元测试题令狐文艳命题人：张晓光一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。
)1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S33－S22＝1，则数列{a n }的公差是( ) A.12B ．1C ．2D ．3 2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a5a3B.S5S3C.an ＋1anD.Sn ＋1Sn3．设数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋a n ＋1＝2，则a 2011的值为( )A ．2B ．1C ．0D ．－24．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D.155．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且An Bn ＝7n ＋45n ＋3，则使得an bn为正偶数时，n 的值可以是( )A ．1B ．2C ．5D ．3或116．各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a3＋a4a4＋a5的值为( ) A.1－52 B.5＋12 C.5－12 D.5＋12或5－127．已知数列{a n }为等差数列，若a11a10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( )A ．11B ．19C ．20D ．218．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ，则Πn 中最大的是( )A ．Π11B ．Π10C ．Π9D ．Π89．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 5，a m ＝2011，则m ＝( )A ．1004B ．1005C ．1006D ．100710．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝6n －4，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，则在数列{a n }的前100项中与数列{b n }中相同的项有( )A ．50项B ．34项C ．6项D ．5项二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11．已知数列{a n }满足：a n ＋1＝1－1an，a 1＝2，记数列{a n }的前n 项之积为P n ，则P 2011＝________.12．秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n}，已知a1＝1，a2＝2，且a n＋2－a n＝1＋(－1)n (n∈N*)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．13．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，1 2a3,2a2成等差数列，则a3＋a10a1＋a8＝________.14．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a＋b＋c15n1n n＋1－(2n＋1)x＋1bn＝0的两个根，则数列{b n}的前n项和S n＝________．三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)已知等差数列{a n}的前n 项和为S n＝pn2－2n＋q(p，q∈R)，n∈N*.(1)求q的值；(2)若a3＝8，数列{b n}满足a n＝4log2b n，求数列{b n}的前n项和．17．(本小题满分12分)等差数列{a n}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.(1)求a n与b n；(2)求1S1＋1S2＋…＋1Sn的值．18．(本小题满分12分)已知数列{b n}前n项和为S n，且b1＝1，b n＋1＝13S n.(1)求b2，b3，b4的值；(2)求{b n}的通项公式；(3)求b2＋b4＋b6＋…＋b2n的值．19．(本小题满分12分)已知f(x)＝m x(m为常数，m>0且m≠1)．设f(a1)，f(a2)，…，f(a n)…(n∈N)是首项为m2，公比为m的等比数列．(1)求证：数列{a n}是等差数列；(2)若b n＝a n f(a n)，且数列{b n}的前n项和为S n，当m＝2时，求S n；(3)若c n＝f(a n)lg f(a n)，问是否存在m，使得数列{c n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分13分)将函数f(x)＝sin 1 4x·sin 14(x＋2π)·sin12(x＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部最值点按从小到大的顺序排成数列{a n}(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2n a n，数列{b n}的前n项和为T n，求T n的表达式．21．(本小题满分14分)数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n(n＋1)(n∈N*)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：a n ＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋bn 3n ＋1，求数列{b n }的通项公式； (3)令c n ＝anbn 4(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n .数列单元测试题命题人：张晓光一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。
)1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S33－S22＝1，则数列{a n }的公差是( ) A.12B ．1C ．2D ．3 [答案]C[解析]设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －12d ， ∴{Sn n }是首项为a 1，公差为d 2的等差数列，∵S33－S22＝1，∴d 2＝1，∴d ＝2. 2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a5a3B.S5S3C.an ＋1anD.Sn ＋1Sn[答案]D[解析]等比数列{a n }满足8a 2＋a 5＝0，即a 2(8＋q 3)＝0，∴q ＝－2，∴a5a3＝q 2＝4，an ＋1an＝q ＝－2，S5S3＝a11－q 51－q a 11－q 31－q＝1－q51－q3＝113，都是确定的数值，但Sn ＋1Sn ＝1－qn ＋11－qn的值随n 的变化而变化，故选D.3．设数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋a n ＋1＝2，则a 2011的值为( )A ．2B ．1C ．0D ．－2[答案]C[解析]∵a 1＝0，a n ＋a n ＋1＝2，∴a 2＝2，a 3＝0，a 4＝2，a 5＝0，…，即a 2k －1＝0，a 2k ＝2，∴a 2011＝0.4．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D.15[答案]A[分析]根据数列满足log 3a n ＋1＝log 3a n＋1(n ∈N *)．由对数的运算法则，得出a n ＋1与a n 的关系，判断数列的类型，再结合a 2＋a 4＋a 6＝9得出a 5＋a 7＋a 9的值．[解析]由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)得，a n ＋1＝3a n ，∴数列{a n }是公比等于3的等比数列，∴a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)×33＝35，∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝－log 335＝－5.5．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且An Bn ＝7n ＋45n ＋3，则使得an bn为正偶数时，n 的值可以是( )A ．1B ．2C ．5D ．3或11[答案]D[解析]∵{a n }与{b n }为等差数列，∴an bn＝2an 2bn ＝a1＋a2n －1b1＋b2n －1＝A2n －1B2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1，将选项代入检验知选D. 6．各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a3＋a4a4＋a5的值为( ) A.1－52 B.5＋12 C.5－12 D.5＋12或5－12[答案]C[解析]∵a 2，12a 3，a 1成等差数列，∴a 3＝a 2＋a 1，∵{a n }是公比为q 的等比数列，∴a 1q 2＝a 1q ＋a 1，∴q 2－q －1＝0，∵q >0，∴q ＝5＋12. ∴a3＋a4a4＋a5＝1q ＝5－12，故选C. 7．已知数列{a n }为等差数列，若a11a10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( )A ．11B ．19C ．20D ．21[答案]B[解析]∵S n 有最大值，∴a 1>0，d <0，∵a11a10<－1， ∴a 11<0，a 10>0，∴a 10＋a 11<0，∴S 20＝20a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)<0， 又S 19＝19a 1＋a 192＝19a 10>0，故选B. 8．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ，则Πn 中最大的是( )A ．Π11B ．Π10C ．Π9D ．Π8解析：Πn ＝a 1a 2…a n ＝a n 1·q 1＋2＋…＋n －1＝29n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n －1n 2＝(－1)n n －122－n2＋19n2，∴当 n ＝9时，Πn 最大．故选C9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 5，a m ＝2011，则m ＝( )A ．1004B ．1005C ．1006D ．1007[答案]C[解析]由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝13a1＋3×22d ＝a1＋4d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝1d ＝2，∵a m ＝a 1＋(m －1)d ＝1＋2(m －1)＝2m －1＝2011，∴m ＝1006，故选C.10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝6n －4，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，则在数列{a n }的前100项中与数列{b n}中相同的项有( )A．50项B．34项C．6项D．5项[答案]D[解析]a1＝2＝b1，a2＝8＝b3，a3＝14，a4＝20，a5＝26，a6＝32＝b5，又b10＝210＝1024>a100，b9＝512，令6n－4＝512，则n＝86，∴a86＝b9，b8＝256，令6n－4＝256，∵n∈Z，∴无解，b7＝128，令6n－4＝128，则n＝22，∴a22＝b7，b6＝64＝6n－4无解，综上知，数列{a n}的前100项中与{b n}相同的项有5项．二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11．已知数列{a n}满足：a n＋1＝1－1an，a1＝2，记数列{a n}的前n项之积为P n，则P2011＝________.[答案]2[解析]a1＝2，a2＝1－12＝12，a3＝1－2＝－1，a4＝1－(－1)＝2，∴{a n}的周期为3，且a1a2a3＝－1，∴P2011＝(a1a2a3)670·a2011＝(－1)670·a1＝2. 12．秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n}，已知a1＝1，a2＝2，且a n＋2－a n＝1＋(－1)n (n∈N*)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．[答案]255[解析]∵a n＋2－a n＝1＋(－1)n(n∈N*)，∴n 为奇数时，a n＋2＝a n，n为偶数时，a n＋2－a n＝2，即数列{a n}的奇数项为常数列，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列．故这30天入院治疗流感人数共有15＋(15×2＋15×142×2)＝255人． 13．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a3＋a10a1＋a8＝________. [答案]3－22[解析]∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2，设数列{a n }公比为q ，则a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∵a 1≠0，∴q 2－2q －1＝0，∴q ＝－1±2，∵a n >0，∴q ＝2－1，∴a3＋a10a1＋a8＝q 2＝3－2 2. 14．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a ＋b ＋c[[解析]由横行成等差数列知，6下边为3，从纵列成等比数列及所有公比相等知，公比q ＝2，∴b ＝2×2＝4由横行等差知c 下边为4＋62＝5，故c ＝5×2＝10，由纵列公比为2知a ＝1×23＝8，∴a ＋b ＋c ＝22.15．数列{a n }中，a 1＝1，a n 、a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1bn＝0的两个根，则数列{b n }的前n项和S n＝________．[答案]nn＋1[解析]由题意得a n＋a n＋1＝2n＋1，又∵a n－n＝－[a n＋1－(n＋1)]，a1＝1∴a n＝n，又a n·a n＋1＝1bn，∴b n＝1 n n＋1.∴S n＝b1＋b2＋…＋b n＝1－1n＋1＝.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)(2011·甘肃天水期末)已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝pn2－2n＋q(p，q∈R)，n∈N*.(1)求q的值；(2)若a3＝8，数列{b n}满足a n＝4log2b n，求数列{b n}的前n项和．[解析](1)当n＝1时，a1＝S1＝p－2＋q，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝pn2－2n＋q－p(n－1)2＋2(n－1)－q＝2pn－p－2∵{a n}是等差数列，∴p－2＋q＝2p－q－2，∴q＝0.(2)∵a3＝8，a3＝6p－p－2，∴6p－p－2＝8，∴p＝2，∴a n＝4n－4，又a n＝4log2b n，得b n＝2n－1，故{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列．所以数列{b n}的前n项和T n＝1－2n1－2＝2n－1.17．(本小题满分12分)等差数列{a n}的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列， b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960. (1)求a n 与b n ；(2)求1S1＋1S2＋…＋1Sn的值．解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S2b2＝6＋dq ＝64S 3b 3＝9＋3d q 2＝960，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2q ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65q ＝403(舍去)，故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)由(1)知S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)，所以1S1＋1S2＋…＋1Sn ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n n ＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2.18．(本小题满分12分)已知数列{b n }前n 项和为S n ，且b 1＝1，b n ＋1＝13S n .(1)求b 2，b 3，b 4的值；(2)求{b n }的通项公式；(3)求b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n 的值．[解析](1)b 2＝13S 1＝13b 1＝13，b 3＝13S 2＝13(b 1＋b 2)＝49，b 4＝13S 3＝13(b 1＋b 2＋b 3)＝1627. (2)⎩⎪⎨⎪⎧bn ＋1＝13Sn ①bn ＝13Sn －1②①－②解b n ＋1－b n ＝13b n ，∴b n ＋1＝43b n ，∵b 2＝13，∴b n ＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43n －2(n ≥2)∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n ＝113·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43n －2n ≥2.(3)b 2，b 4，b 6…b 2n 是首项为13，公比⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫432的等比数列，∴b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n ＝13[1－432n ]1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫432＝37[(43)2n－1]． 19．(本小题满分12分)已知f (x )＝m x(m 为常数，m >0且m ≠1)．设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )…(n ∈N )是首项为m 2，公比为m 的等比数列．(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)若b n ＝a n f (a n )，且数列{b n }的前n 项和为S n ，当m ＝2时，求S n ；(3)若c n ＝f (a n )lg f (a n )，问是否存在m ，使得数列{c n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析](1)由题意f (a n )＝m 2·m n －1，即ma n ＝m n＋1.∴a n ＝n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列．(2)由题意b n ＝a n f (a n )＝(n ＋1)·m n ＋1，当m ＝2时，b n ＝(n ＋1)·2n ＋1，∴S n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋(n ＋1)·2n ＋1①①式两端同乘以2得，2S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2②②－①并整理得，S n ＝－2·22－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－22－(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝－22－221－2n1－2＋(n ＋1)·2n ＋2＝－22＋22(1－2n )＋(n ＋1)·2n ＋2＝2n ＋2·n .(3)由题意c n ＝f (a n )·lg f (a n )＝m n ＋1·lg mn ＋1＝(n ＋1)·m n ＋1·lg m ，要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *成立，即(n ＋1)·m n ＋1·lg m <(n ＋2)·m n ＋2·lg m ，对一切n ∈N *成立，①当m >1时，lg m >0，所以n ＋1<m (n ＋2)对一切n ∈N *恒成立；②当0<m <1时，lg m <0，所以n ＋1n ＋2>m 对一切n∈N *成立，因为n ＋1n ＋2＝1－1n ＋2的最小值为23，所以0<m <23.综上，当0<m <23或m >1时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项．20．(本小题满分13分)将函数f (x )＝sin14x ·sin 14(x ＋2π)·sin 12(x ＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a n }(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2na n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的表达式．[解析](1)化简f (x )＝sin 14x ·sin 14(x ＋2π)·sin 12(x ＋3π)＝sin x 4cos x 4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－cos x 2＝－14sin x其极值点为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，它在(0，＋∞)内的全部极值点构成以π2为首项，π为公差的等差数列，a n ＝π2＋(n －1)·π＝2n －12π(n ∈N *)．(2)b n ＝2n a n ＝π2(2n －1)·2n∴T n ＝π2[1·2＋3·22＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n]2T n ＝π2[1·22＋3·23＋…＋(2n －3)·2n＋(2n －1)·2n ＋1]相减得，－T n ＝π2[1·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n －(2n －1)·2n ＋1]∴T n ＝π[(2n －3)·2n＋3]．21．(本小题满分14分)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：a n ＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋bn3n ＋1，求数列{b n }的通项公式；(3)令c n ＝anbn 4(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n .[解析](1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)－(n －1)n ＝2n ，知a 1＝2满足该式∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)a n ＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋bn3n ＋1(n ≥1)①∴a n ＋1＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋bn3n ＋1＋bn ＋13n ＋1＋1②②－①得，bn ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)，故b n ＝2(3n ＋1)(n ∈N *)．(3)c n ＝anbn 4＝n (3n ＋1)＝n ·3n＋n ，∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n)＋(1＋2＋…＋n )令H n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n，①则3H n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3n ＋1②①－②得，－2H n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ×3n ＋1＝31－3n1－3－n ×3n ＋1∴H n ＝2n －1×3n ＋1＋34，∴数列{c n }的前n 项和T n ＝2n －1×3n ＋1＋34＋n n ＋12.。