小专题一——有三角形有关的角度的计算

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初一数学第二学期名校优选小专题06 三角形折叠中的角度问题

初一数学第二学期名校优选小专题06 三角形折叠中的角度问题【例题讲解】【原题再现】有这样一道题：如图1，将ABC ∆纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCDE 内点A '的位置．试探索A ∠与12∠+∠之间的数量关系，并说明理由．（1）小明提出一种正确的解题思路：连接AA '，则么1∠、2∠分别为AEA '∆、ADA '∆的外角，…… 请你按照小明的思路解决上述问题．（2）【变式探究】如图2，若将原题中“点A 落在四边形BCDE 内点A '的位置”变为“点A 落在四边形BCDE 外点A '的位置”，试猜想此时A ∠与1∠、2∠之间的数量关系，并说明理由．（3）【结论运用】将四边形纸片(90ABCD C ∠=︒，AB 与CD 不平行）沿EF 折叠成图3的形状，若1110∠=︒，240∠=︒，直接写出ABC ∠的度数．解：（1）图1中，结论：2∠BAC =∠1+∠2，理由是：连接AA ′． ∵沿DE 折叠A 和A ′重合，∴∠DAE =∠DA ′E ，∠EA ′A =∠EAA ′，∠DA ′A =∠DAA ′， ∵∠1=∠EA ′A +∠EAA ′，∠2=∠DA ′A +∠DAA ′， ∴∠1+∠2=∠EA ′A +∠EAA ′+∠DA ′A +∠DAA ′=2∠BAC ；（2）如图2，结论：2∠A =∠1-∠2．理由：设EA ′交AC 于J ．∵∠1=∠EJA +∠A ，∠EJA =∠A ′+∠2， ∴∠1=∠A ′+∠A +∠2=2∠A +∠2， ∴2∠A =∠1-∠2；（2）如图，根据折叠知：∠AEF =∠A EF '，∠EFD =∠'EFD ，AEA'=∠AEF=180°-110°=70°，∵∠1=110°，∴∠2∴∠AEF=35°，∵∠2=40°，∴2∠EFD=180°+∠2=220°，∴∠EFD=110°，∴∠A+∠D=360°-(∠AEF+∠EFD)= 215°，∴∠B=360°-(∠A+∠D)-∠C = 55°．【综合演练】1．如图，在△ABC中，点D是BC上的点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，若∠B=∠BAE=50°，则∠CDE的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°2．如图，△ABC中∠A＝40°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC 于点D，又将△BCD沿着BD翻折，点C恰好落在BE上的点G处，此时∠BDC＝82°，则原三角形的∠B 的度数为（）A．57°B．60°C．63°D．70°3．将△ABC纸片沿DE按如图的方式折叠．若∠C=50°，∠1=85°，则∠2的度数等于（）A．10°B．15°C．20°D．25°4．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝152°，则∠A 为（）A ．40°B ．42°C ．30°D ．52°第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共0分)5．如图，三角形纸片ABC 中，70A ∠=︒，75B ∠=︒．将三角形纸片的一角折叠，使点C 落在ABC 内，那么12∠+∠=_____________︒．6．在△ABC 中，点E 、F 分别为边AB 、AC 上的点，把△ABC 沿EF 翻折，翻折后的图形如图所示．若1+2110∠∠=︒，则A ∠的度数为___________．7．如图，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，∠1＝55°，则∠2＝________°．8．将△ABC 纸片沿DE 按如图的方式折叠．若∠C ＝50°，∠1＝85°，则∠2等于______．三、解答题(共0分)9．如图，将ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点'A的位置，∠+∠之间的数量关系，并说明理由．(1)探索A∠与12(2)如果点A落在四边形BCDE外点''A的位置，A∠与1∠之间的数量关系有何变化，请说明理由．∠、210．在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：(1)【问题再现】如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A＝50°．则∠P＝_______；(2)【问题推广】如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP 于点H，若∠ACB＝80°，求∠PBH的度数．(3)如图3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝100°，则∠BPC＝_______；(4)【拓展提升】在四边形BCDE中，EB∥CD，点F在直线ED上运动（点F不与E，D两点重合），连接BF，CF，∠EBF、∠DCF 的角平分线交于点Q ，若∠EBF ＝α，∠DCF ＝β，直接写出∠Q 和α，β之间的数量关系． 11．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使得点A 落在四边形BCDE 的外部A '的位置且A '与点C 在直线AB 的异侧，折痕为DE ，已知90C ∠=︒，30A ∠=︒．（1）求12∠-∠的度数；（2）若保持A DE '的一边与BC 平行，求ADE ∠的度数．12．将ABC 纸片的一角CAB ∠折叠，使点A 落在点P 的位置，折痕为DE ．（1）如图1，点A 落在ABC 内的点P 的位置．①若//PE AC ，那么PD 与AB 有怎样的位置关系，请说明理由； ②如图2，1∠、2∠与A ∠之间有怎样的数量关系？并说明理由；③连接CP 、BP ，已知CP 、BP 恰好分别平分ACB ∠、ABC ∠（如图3），1∠、2∠与CPB ∠之间有怎样的数量关系，并说明理由；（2）如图4，点A 落在ABC 外的点P 的位置．连接CP 、BP ，如果CP 、BP 恰好分别平分ABC 的两个外角MCB ∠，NBC ∠，那么1∠、2∠与CPB ∠之间的数量关系是______．（请直接写出结果）13．问题1：现有一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是△ABC 边上两点，若沿直线DE 折叠．（1）探究1：如果折成图①的形状，使A 点落在CE 上，则∠1与∠A 的数量关系是；（2）探究2：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A 的数量关系是；（3）探究3：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A 的数量关系，并说明理由．（4）问题2：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点A 、B 落在四边形EFCD 的内部时，∠1+∠2与∠A 、∠B 之间的数量关系是 .14．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边AE 交射线BC 于点F ．（友情提醒：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等．）（1）如图①，当AE ⊥BC 时，求证：DE ∥AC ．（2）若10C B ∠-∠=︒，∠BAD ＝x° ． ①如图②，当DE ⊥BC 时，求x 的值；②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由． 15．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边AE 交BC 于点F ．(1)如图①，当AE ⊥BC 时，写出图中所有与∠B 相等的角：；所有与∠C 相等的角：．(2)若∠C －∠B ＝50°，∠BAD ＝x °(0＜x ≤45) ． ① 求∠B 的度数；②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由． 16．如图1，将△ABC 纸片沿DE 折叠，使点C 落在四边形ABDE 内点C ’的位置，（1）①若00120,250∠=∠=，则C ∠= ； ②若042C ∠=，则12∠+∠= ；③探索C ∠ 、1∠与2∠之间的数量关系，并说明理由；（2）直接按照所得结论，填空：①如图中，将△ABC 纸片再沿FG 、MN 折叠，使点A 、B 分别落在△ABC 内点A ’、B ’的位置，则123456∠+∠+∠+∠+∠+∠= ；②如图中，将四边形ABCD 按照上面方式折叠，则128∠+∠++∠= ； ③若将n 边形123n A A A A 也按照上面方式折叠，则122n ∠+∠++∠= ；（3）如图，将△ABC 纸片沿DE 折叠，使点C 落在△ABC 边AC 上方点'C 的位置，探索C ∠、1∠与2∠之间的数量关系，并说明理由.17．直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，点A 在射线OP 上运动，点B 在射线OM 上运动，连接AB, （1）如图，已知AC 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 角的平分线，①点A 、B 在运动的过程中，∠ACB 的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB 的大小．②如图，将△ABC 沿直线AB 折叠，若点C 落在直线PQ 上，记作点C′，则∠ABO ＝ °；如图，将△ABC 沿直线AB 折叠，若点C 落在直线MN 上，记作点C′′，则∠ABO ＝ °．（2）如图，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的32倍，求∠ABO的度数．答案与解析【例题讲解】【原题再现】有这样一道题：如图1，将ABC ∆纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCDE 内点A '的位置．试探索A ∠与12∠+∠之间的数量关系，并说明理由．（1）小明提出一种正确的解题思路：连接AA '，则么1∠、2∠分别为AEA '∆、ADA '∆的外角，…… 请你按照小明的思路解决上述问题．（2）【变式探究】如图2，若将原题中“点A 落在四边形BCDE 内点A '的位置”变为“点A 落在四边形BCDE 外点A '的位置”，试猜想此时A ∠与1∠、2∠之间的数量关系，并说明理由．（3）【结论运用】将四边形纸片(90ABCD C ∠=︒，AB 与CD 不平行）沿EF 折叠成图3的形状，若1110∠=︒，240∠=︒，直接写出ABC ∠的度数．解：（1）图1中，结论：2∠BAC =∠1+∠2，理由是：连接AA ′． ∵沿DE 折叠A 和A ′重合，∴∠DAE =∠DA ′E ，∠EA ′A =∠EAA ′，∠DA ′A =∠DAA ′， ∵∠1=∠EA ′A +∠EAA ′，∠2=∠DA ′A +∠DAA ′， ∴∠1+∠2=∠EA ′A +∠EAA ′+∠DA ′A +∠DAA ′=2∠BAC ；（2）如图2，结论：2∠A =∠1-∠2．理由：设EA ′交AC 于J ．∵∠1=∠EJA +∠A ，∠EJA =∠A ′+∠2， ∴∠1=∠A ′+∠A +∠2=2∠A +∠2， ∴2∠A =∠1-∠2；（2）如图，根据折叠知：∠AEF =∠A EF '，∠EFD =∠'EFD ，AEA'=∠AEF=180°-110°=70°，∵∠1=110°，∴∠2∴∠AEF=35°，∵∠2=40°，∴2∠EFD=180°+∠2=220°，∴∠EFD=110°，∴∠A+∠D=360°-(∠AEF+∠EFD)= 215°，∴∠B=360°-(∠A+∠D)-∠C = 55°．【综合演练】1．如图，在△ABC中，点D是BC上的点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，若∠B=∠BAE=50°，则∠CDE的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B【分析】根据翻折的性质得到∠BAD=∠EAD=25°，∠E=∠B=50°，根据三角形内角和定理推出∠ADE=∠ADB=105°，进一步计算即可解答．【解析】解：∵∠B=∠BAE=50°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，∴∠BAD=∠EAD=25°，∠E=∠B=50°，∴∠ADE=∠ADB=180°-50°-25°=105°，∴∠ADC=180°-∠ADB=75°，∴∠CDE=105°-75°=30°，故选：B．【点评】此题考查翻折的性质，三角形内角和定理，关键是掌握翻折的性质．2．如图，△ABC中∠A＝40°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC 于点D，又将△BCD沿着BD翻折，点C恰好落在BE上的点G处，此时∠BDC＝82°，则原三角形的∠B 的度数为（）A ．57°B ．60°C ．63°D ．70°【答案】C【分析】根据折叠的性质可知：∠BDG ＝∠BDC ＝82°，∠ABE ＝∠A 'BE ＝∠A 'BG=∠A 'BC ，根据三角形外角性质可得：∠DBA ＝∠BDC ﹣∠A ＝82°﹣40°＝42°，进一步可求出∠ABE ＝∠A 'BE ＝21°，∠ABC ＝3×21°＝63°，即原三角形的∠B =63°．【解析】解：由折叠性质可得，∠BDG ＝∠BDC ＝82°，∠ABE ＝∠A 'BE ＝∠A 'BG=∠A 'BC ， ∵∠BDC 是△BDA 的外角，∴∠DBA ＝∠BDC ﹣∠A ＝82°﹣40°＝42°， ∴∠ABE ＝∠A 'BE ＝21°，∴∠ABC ＝3×21°＝63°，即原三角形的∠B =63°，故选：C ．【点评】此题主要考查的是图形的折叠及三角形外角性质，能够根据折叠的性质发现∠BDG ＝∠BDC ＝82°，∠ABE ＝∠A 'BE ＝∠A 'BG=∠A 'BC 是解答此题的关键．3．将△ABC 纸片沿DE 按如图的方式折叠．若∠C =50°，∠1=85°，则∠2的度数等于（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°【答案】B【分析】由四边形的内角和及三角形内角和即可求得．【解析】∵180A B C ∠+∠+∠=︒，且∠C =50゜ ∴180130A B C ∠+∠=︒-∠=︒同理，在△CDE 中，180130CDE CED C ∠+∠=︒-∠=︒ 由折叠性质得：A A ∠'=∠，B B '∠=∠ ∴130A B ''∠+∠=︒在四边形A B ED ''中，360A B A DE DEB ''''∠+∠+∠+∠=︒ ∴12360A B CDE CED ''∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒ ∴130851302360︒+︒+︒+∠=︒ ∴∠2=15゜故选：B ．【点评】本题考查了折叠的性质，多边形的内角和定理等知识，掌握多边形内角和定理及折叠的性质是关键．4．如图，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝152°，则∠A 为（）A ．40°B ．42°C ．30°D ．52°【答案】B【分析】利用四边形的内角和定理求出B C ∠+∠，再利用三角形的内角和定理可得结果．【解析】解：∵1=70∠︒，2=152∠︒，∴3601236070152138B C ∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， ∴180()18013842A B C ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，故选：B ．【点评】此题考查了多边形内角与外角、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明5．如图，三角形纸片ABC 中，70A ∠=︒，75B ∠=︒．将三角形纸片的一角折叠，使点C 落在ABC 内，那么12∠+∠=_____________︒．【答案】70【分析】延长AF、BE交于点D，根据∠A＝70°，∠B＝75°，可得∠D＝35°，由将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，可得∠DFC+∠DEC＝290°，即可得答案．【解析】解：延长AF、BE交于点D，∵∠A＝70°，∠B＝75°，∴∠D＝180°﹣∠A﹣∠B＝35°，∴∠DFE+∠DEF＝180°﹣∠D＝145°，∵将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，∴∠CFE＝∠DFE，∠CEF＝∠DEF，∴∠DFC+∠DEC＝2（∠DFE+∠DEF）＝290°，∴∠1+∠2＝（180°﹣∠DFC）+（180°﹣∠DEC）＝360°﹣（∠DFC+∠DEC）＝360°﹣290°＝70°，故答案为：70．【点评】本题考查三角形中的折叠问题，解题的根据是掌握折叠的性质，灵活应用三角形内角和定理．6．在△ABC中，点E、F分别为边AB、AC上的点，把△ABC沿EF翻折，翻折后的图形如图所示．若∠的度数为___________．1+2110∠∠=︒，则A【答案】55︒【分析】如图，延长B′E交C′F的延长线于点A′，连接AA′．证明∠1+∠2=2∠EAF，可得结论．【解析】解：如图，延长B′E交C′F的延长线于点A′，连接AA′．∵∠1=∠EAA′+∠EA′A，∠2=∠F AA′+∠F A′A,∴∠1+∠2=∠EAF+∠EA′F，∵∠EAF=∠EA′F，∴∠1+∠2=2∠EAF=110°，∴∠A=55°．故答案为：55°．【点评】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是证明∠1+∠2=2∠EAF．7．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠1＝55°，则∠2＝________°．【答案】70【分析】根据长方形的对边平行知AD∥BC，得∠DEF＝∠1＝55°，再根据折叠的性质知∠GEF＝∠DEF ＝55°，继而由∠AEG＝180°−∠DEF−∠GEF可得答案．【解析】解：由题意知AD∥BC，∠1＝55°，∴∠DEF＝∠1＝55°，根据折叠的性质知∠GEF＝∠DEF＝55°，则∠AEG＝180°−∠DEF−∠GEF＝180°-55°-55°=70°，∴∠2＝70°，故答案为：70．【点评】本题考查了平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是掌握两直线平行内错角相等的性质、折叠的性质．8．将△ABC纸片沿DE按如图的方式折叠．若∠C＝50°，∠1＝85°，则∠2等于______．【答案】15︒【分析】利用三角形的内角和定理以及折叠的性质，求出130CDE CED ∠+∠=︒，''130A B ∠+∠=︒，利用四边形内角和为360︒，即可求出∠2．【解析】解：在ABC ∆中，180130A B C ∠+∠=︒-∠=︒，在CDE ∆中，180130CDE CED C ∠+∠=-∠=︒，由折叠性质可知：''130A B A B ∠+∠=∠+∠=︒ ，四边形''DEB A 的内角和为360︒，''''360A B ADE B ED ∴∠+∠+∠+∠=︒，1A DE CDE ∠=∠+∠'，'2B ED CED ∠=∠+∠，''12()360CDE CED A B ∴∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，130CDE CED ∠+∠=︒，''130A B ∠+∠=︒，且∠1＝85°， 215∴∠=︒，故答案为：15︒．【点评】本题主要是考查了三角形和四边形的内角和定理，熟练利用三角形内角和定理，求出两角之和，最后利用四边形的内角和求得某角的度数，这是解决该题的关键．9．如图，将ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCDE 内点'A 的位置，(1)探索A ∠与12∠+∠之间的数量关系，并说明理由．(2)如果点A 落在四边形BCDE 外点''A 的位置，A ∠与1∠、2∠之间的数量关系有何变化，请说明理由．【答案】(1)2∠A =∠1+∠2，理由见解析 (2)∠A =12（∠2-∠1），理由见解析【分析】（1）根据折叠性质得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，根据三角形内角和定理得出∠AED+∠ADE=180°-∠A，代入∠1+∠2=180°+180°-2（∠AED+∠ADE）求出即可；（2）先根据翻折的性质表示出∠1、∠2，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．（1）2∠A=∠1+∠2，理由是：∵沿DE折叠A和A′重合，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∵∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠1+∠2=180°+180°-2（∠AED+∠ADE），∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A．（2）∵沿DE折叠A和A'′重合，∴∠AED=∠A′'ED，∠ADE=∠A′'DE，又∵∠1=∠A'ED-∠BED=∠AED-（180°-∠AED）=2∠AED-180°，∠2=180°-2∠ADE，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∴12∠1+90°+90°-12∠2=180°-∠A，即∠A=12（∠2-∠1）．【点评】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．10．在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：(1)【问题再现】如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A＝50°．则∠P＝_______；(2)【问题推广】如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP 于点H，若∠ACB＝80°，求∠PBH的度数．(3)如图3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝100°，则∠BPC＝_______；(4)【拓展提升】在四边形BCDE中，EB∥CD，点F在直线ED上运动（点F不与E，D两点重合），连接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q，若∠EBF＝α，∠DCF＝β，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系．当F 在D 、E 之间时，如图4-2所示：同理可得112222FBQ EBF QCF DCF αβ∠=∠===，∠∠，180180FBC FCB DCF EBF αβ∠+∠=︒-∠-=︒--∠，∴1801802Q QBC QCB QBF FBC FCB QCF αβ+=︒--=︒----=∠∠∠∠∠∠∠；当点F 在D 点右侧时，如图4-3所示：同理可得1801802Q QBC QCB QBF FBC DCB QCD αβ-=︒--=︒----=∠∠∠∠∠∠∠；综上所述，F 在E 左侧2Q βα-∠=；F 在ED 中间2Q αβ+∠=；F 在D 右侧2Q αβ-∠=．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键．11．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使得点A 落在四边形BCDE 的外部A '的位置且A '与点C 在直线AB 的异侧，折痕为DE ，已知90C ∠=︒，30A ∠=︒．（1）求12∠-∠的度数；（2）若保持A DE '的一边与BC 平行，求ADE ∠的度数．【答案】（1）60°；（2）45°或30°【分析】（1）先求出∠B 的度数，在根据四边形内角和求出∠1+∠BFD 的度数，由∠BFD =∠A ′FE 和∠A ′的度数可求出答案．（2）分EA '∥BC 和DA '∥BC 两种情况讨论．当DA '∥BC 时，先求出∠A ′DA =90°，再根据折叠可得出∠ADE =45°；当EA '∥BC 时，根据平行线的性质求出∠2=∠ABC =60°，由（1）得出∠1=120°，再根据折叠可求出∠ADE 的度数．【解析】解：（1）由折叠可知，30A A '∠=∠=︒在A EF '△中，2180A A FE ''∠+∠+∠=︒2180150A AFE A FE ''∴∠=︒-∠-∠=︒-∠在ABC 中，18060B C A ∠=︒-∠-∠=︒在四边形BCDF 中，1360C B BFD ∠+∠+∠+∠=︒1360210C B BFD BFD ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠因为BFD A FE '∠=∠1221015060∴∠-∠=︒-︒=︒（2）①当//DA BC '时，90ADA ACB '∠=∠=︒ADE 沿DE 折叠A DE '1452ADE A DE ADA ''∴∠=∠=∠=︒②当//EA BC '时，260ABC ∠=∠=︒由（1）知，1260∠-∠=︒，1260120∴∠=∠+︒=︒，ADE 沿DE 折叠A DE '()11801302ADE A DE ADA ''∴∠=∠=∠=︒-∠=︒综上，∠ADE 的度数为：45°或30°．【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°，平行线的性质，属于综合题，但难度不大．熟记性质准确识图是解题的关键．12．将ABC 纸片的一角CAB ∠折叠，使点A 落在点P 的位置，折痕为DE ．（1）如图1，点A 落在ABC 内的点P 的位置．①若//PE AC ，那么PD 与AB 有怎样的位置关系，请说明理由；②如图2，1∠、2∠与A ∠之间有怎样的数量关系？并说明理由；③连接CP 、BP ，已知CP 、BP 恰好分别平分ACB ∠、ABC ∠（如图3），1∠、2∠与CPB ∠之间有怎样的数量关系，并说明理由；（2）如图4，点A 落在ABC 外的点P 的位置．连接CP 、BP ，如果CP 、BP 恰好分别平分ABC 的两个外角MCB ∠，NBC ∠，那么1∠、2∠与CPB ∠之间的数量关系是______．（请直接写出结果）【答案】（1）①//PD AB ，理由见解析；②122A ∠+∠=∠，理由见解析；③123604CPB ∠+∠+︒=∠，理由见解析；（2）124360CPB ∠+∠+∠=︒，理由见解析【分析】（1）①若//PE AC ，则可推出ADE DEP ∠=∠，然后根据翻折的性质可推出PDE DEA ∠=∠，从而得出结论即可；②根据翻折的性质推出()123602ADE AED ∠+∠=︒-∠+∠，然后结合三角形的内角和推出180A ADE AED ︒-∠=∠+∠，从而代入替换得出结论即可；③根据CP 、BP 恰好分别平分ACB ∠、ABC ∠，可推出()12PCB PBC ACB ABC ∠+∠=∠+∠，然后结合②的结论进行变形整理即可；（2）根据题意可推出()12ACB ABC CPB ∠+∠=∠，然后结合三角形的内角和以及（1）中②的结论，综合整理求解即可．【解析】（1）//PD AB ，理由如下：∵//PE AC ，∴ADE DEP ∠=∠，由翻折的性质可得：ADE PDE ∠=∠，AED PED ∠=∠，∴PDE DEA ∠=∠，∴//PD AB ；②122A ∠+∠=∠，理由如下：由翻折的性质可得：ADE PDE ∠=∠，AED PED ∠=∠，∴11802ADE ∠=︒-∠，21802AED ∠=︒-∠，∴()123602ADE AED ∠+∠=︒-∠+∠，在ADE 中，180A ADE AED ︒-∠=∠+∠，∴()1236021802A A ∠+∠=︒-︒-∠=∠，在ABC 中，由②可知，∠ACB ∠+∠在PBC 中，180CPB ︒-∠12∠+∠+2）1∠+∠CP 、BP 恰好分别平分ABC 的两个外角)ACB ，PBC ∠∴在PBC 中，180PBC ∠=(11801802ABC ︒-∠︒-∠整理得：(12ACB ∠在ABC 中，∠由②可知，∠ACB ∠+∠1118022⎡︒-⎢⎣13．问题1：现有一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是△ABC 边上两点，若沿直线DE 折叠．（1）探究1：如果折成图①的形状，使A 点落在CE 上，则∠1与∠A 的数量关系是；（2）探究2：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A 的数量关系是；（3）探究3：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A 的数量关系，并说明理由．（4）问题2：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点A 、B 落在四边形EFCD 的内部时，∠1+∠2与∠A 、∠B 之间的数量关系是 . 【答案】（1）12A ∠=∠;（2）122A ∠+∠=∠;（3）见解析;（4）1222360A B ∠+∠=∠+∠-︒【分析】（1）根据三角形外角性质可得；（2）在四边形A EAD '中，内角和为360°，∠BDA=∠CEA=180°，利用这两个条件，进行角度转化可得关系式；（3）如下图，根据（1）可得∠1=2∠DAA '，∠2=2∠EAA '，从而推导出关系式；（4）根据平角的定义以及四边形的内角和定理，与（2）类似思路探讨，可得关系式．【解析】（1）∵△'EDA 是△EDA 折叠得到∴∠A=∠A '∵∠1是△'ADA 的外角∴∠1=∠A+∠A '∴12A ∠=∠；（2）∵在四边形A EAD '中，内角和为360°∴∠A+A '+∠A DA '+∠A EA '=360°同理，∠A=∠A '∴2∠A+∠A DA '+∠A EA '=360°∵∠BDA=∠CEA=180∴∠1+∠A DA '+∠A EA '+∠2=360°∴122A ∠+∠=∠ ；（3）数量关系：212A ∠-∠=∠理由：如下图，连接AA '由（1）可知：∠1=2∠DAA '，∠2=2∠EAA '∴212()2EAA DAA DAE ∠-∠=∠-=∠'∠'；（4）由折叠性质知：∠2=180°－2∠AEF ，∠1=180°－2∠BFE相加得：123602(360)22360A B A B ∠+∠=︒-︒-∠-∠=∠+∠-︒．【点评】本题考查角度之间的关系，（4）问的解题思路是相同的，主要运用三角形的内角和定理和四边形的内角和定理进行角度转换．14．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边AE 交射线BC 于点F ．（友情提醒：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等．）（1）如图①，当AE ⊥BC 时，求证：DE ∥AC ．（2）若10C B ∠-∠=︒，∠BAD ＝x°． ①如图②，当DE ⊥BC 时，求x 的值； ②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①5x =，②存在，15x =或30．【分析】（1）根据折叠的性质得到∠B=∠E ，根据平行线的判定定理证明；（2）①根据三角形内角和定理分别求出∠C=60°，∠B=30°，根据折叠的性质计算即可；②分∠EDF=∠DFE 、∠DFE=∠E 、∠EDF=∠E 三种情况，列方程解答即可．【解析】（1）∵AE ⊥BC∴∠EAC+∠C=90°∵∠BAC=90°∴∠B+∠C=90°∴∠B=∠EAC∵将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED∴∠B=∠E∴∠EAC=∠E∴DE ∥AC（2）①∵∠B+∠C=90°，10C B ∠-∠=︒∴∠B=40°，∠C=50°∵DE ⊥BC∴∠EDF=90°∵将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED∴∠B=∠E=40°，∠BAD=∠EAD=x °∴∠DFE=50°∵∠DFE=B BAF ∠+∠∴24050x +=∴5x =②由题意可得，∠ADC=40x +， ∠ABD=140x - ，∠EDF=140(40)1002x x x --+=-∠DFE=402x +（ⅰ）若∠EDF=∠DFE ，可得100-2402x x =+，解得15x =（ⅱ）若∠EDF=∠E ，可得100-240x =解得30x =（ⅲ）若∠DFE =∠E ，可得40240x +=解得0x =（舍去）综上可得15x =或30．【点评】本题考查了三角形折叠中的角度问题，熟知折叠的性质，平行的判定定理是解题的关键．15．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边AE 交BC 于点F ．(1)如图①，当AE ⊥BC 时，写出图中所有与∠B 相等的角：；所有与∠C 相等的角：．(2)若∠C －∠B ＝50°，∠BAD ＝x °(0＜x ≤45) ．① 求∠B 的度数；②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)∠E 、∠CAF ；∠CDE 、∠BAF ； (2)①20°；②30【分析】（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B 相等的角；由等角代换即可得与∠C 相等的角；（2）①由三角形内角和定理可得90B C ∠+∠=︒，再由50C B ∠∠︒-=根据角的和差计算即可得∠C 的度数，进而得∠B 的度数．②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含x 的代数式表示出∠FDE 、∠DFE 的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x 值即可．【解析】（1）由翻折的性质可得：∠E ＝∠B ，∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，∴∠DFE ＝90°，∴180°－∠BAC ＝180°－∠DFE ＝90°，即：∠B ＋∠C ＝∠E ＋∠FDE ＝90°，∴∠C ＝∠FDE ，∴AC ∥DE ，∴∠CAF ＝∠E ，∴∠CAF ＝∠E ＝∠B故与∠B 相等的角有∠CAF 和∠E ；∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，∴∠BAF ＋∠CAF ＝90°, ∠CFA ＝180°－（∠CAF ＋∠C ）＝90°∴∠BAF ＋∠CAF ＝∠CAF ＋∠C ＝90°∴∠BAF ＝∠C又AC ∥DE ，∴∠C ＝∠CDE ，∴故与∠C 相等的角有∠CDE 、∠BAF ；（2）①∵90BAC ∠=︒∴90B C ∠+∠=︒又∵50C B ∠∠︒-=，∴∠C ＝70°，∠B ＝20°;②∵∠BAD ＝x °, ∠B ＝20°则160ADB x ∠︒︒=-,20ADF x ∠︒︒=+,由翻折可知：∵160ADE ADB x ∠∠︒︒==-, 20E B ∠∠︒==,∴1402FDE x ∠︒︒=-, 202DFE x ∠︒︒=+,当∠FDE ＝∠DFE 时，1402202x x ︒︒︒︒-=+, 解得：30x ︒︒=；当∠FDE ＝∠E 时，140220x ︒︒︒-=，解得：60x ︒︒=（因为0＜x ≤45，故舍去）；当∠DFE ＝∠E 时，20220x ︒︒︒+=，解得：0x ︒＝（因为0＜x ≤45，故舍去）；综上所述，存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．且30x =．【点评】本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定及其性质、三角形外角的性质、等角代换，解题的关键是熟知图形翻折的性质及综合运用所学知识．16．如图1，将△ABC 纸片沿DE 折叠，使点C 落在四边形ABDE 内点C ’的位置，（1）①若00120,250∠=∠=，则C ∠= ；②若042C ∠=，则12∠+∠= ；③探索C ∠ 、1∠与2∠之间的数量关系，并说明理由；（2）直接按照所得结论，填空：①如图中，将△ABC 纸片再沿FG 、MN 折叠，使点A 、B 分别落在△ABC 内点A ’、B ’的位置，则123456∠+∠+∠+∠+∠+∠= ；②如图中，将四边形ABCD 按照上面方式折叠，则128∠+∠++∠= ； ③若将n 边形123n A A A A 也按照上面方式折叠，则122n ∠+∠++∠= ；（3）如图，将△ABC 纸片沿DE 折叠，使点C 落在△ABC 边AC 上方点'C 的位置，探索C ∠、1∠与2∠之间的数量关系，并说明理由.【答案】（1）①35︒；②84︒；③212C=+∠∠∠；（2）①360︒；②720︒；③3602(n )︒-；（3）221C=∠∠-∠【分析】（1）①由邻补角的定义可知∠CEC′=160°，∠CDC′=130°，根据折叠的性质可求出∠CED=80°，∠CDE=65°,然后根据三角形内角和定理求解即可；②由三角形内角和可求出∠CED+∠CDE=138°,再由折叠的性质可知∠CEC′+∠CDC′=276°，然后根据邻补角的定义可求出12∠+∠=84°；③由邻补角定义可知1+'=180CEC ∠∠︒，从而2+'=180CDC ∠∠︒，所以，∠1+ ∠CEC′+ ∠2+ ∠CDC′=360 °，结合+'+'+'=360C CEC C CDC ∠∠∠∠︒，可求出2=1+2C ∠∠∠；（2）① 由（1）得12∠∠+=2∠C ，34∠+∠=2∠B ，56∠+∠=2∠A ，从而123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=2(∠A+∠B +∠C)，结合三角形内角和求解即可；②由①可知，128∠+∠++∠= 2(∠A+∠B +∠C+∠D)，结合四边形内角和求解即可;③由①可知，()()122218023602n n n ∠+∠++∠=⨯︒⨯-=︒⨯- ；（3）由外角的性质可知∠2=∠3+∠C ，∠3=∠1+∠C ，整理可得2=21C ∠∠-∠.【解析】解：（1）①∵00120,250∠=∠=，∴∠CEC′=160°，∠CDC′=130°，∵ ∠CED=80°，∠CDE=65°,∴∠C= 180°-80°-65°=35°；②∵042C ∠=，∴ ∠CED+∠CDE=180°-42°=138°,∴∠CEC′+∠CDC′=276°，∴12∠+∠=360°-276°=84°；③2=1+2C ∠∠∠，因为1+'=180CEC ∠∠︒，2+'=180CDC ∠∠︒，所以1+'+2+'=360CEC CDC ∠∠∠∠︒，因为在四边形'CEC D 中，+'+'+'=360C CEC C CDC ∠∠∠∠︒，所以1+2=+'C C ∠∠∠∠，因为='C C ∠∠，所以2=1+2C ∠∠∠.（2）① 由①得12∠∠+=2∠C ，34∠+∠=2∠B ，56∠+∠=2∠A ，∴123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=2(∠A+∠B +∠C)=360°; ②∵12∠∠+=2∠C ，34∠+∠=2∠B ，56∠+∠=2∠A ，78∠+∠=2∠D ，∴128∠+∠++∠= 2(∠A+∠B +∠C+∠D)=2×360°=720°; ③∵n 边形内角和是()1802n ︒⨯-，∴()()122218023602n n n ∠+∠++∠=⨯︒⨯-=︒⨯- ；（3）2=21C ∠∠-∠.∵∠2=∠3+∠C ，∠3=∠1+∠'C =∠1+∠C ，∴∠2=∠1+∠C +∠C=∠1+2∠C ，∴2=21C ∠∠-∠.【点评】本题考查了折叠性质，三角形内角和定理，多边形的内角和定理，三角形外角的性质及图形类的规律与探究.熟练掌握折叠的性质和三角形内角和定理是解（1）的关键，利用（1）中规律是解（2）的关键，熟练掌握三角形外角的性质是解（3）的关键.17．直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，点A 在射线OP 上运动，点B 在射线OM 上运动，连接AB,（1）如图，已知AC 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 角的平分线，①点A 、B 在运动的过程中，∠ACB 的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB 的大小．②如图，将△ABC 沿直线AB 折叠，若点C 落在直线PQ 上，记作点C′，则∠ABO ＝ °；如图，将△ABC 沿直线AB 折叠，若点C 落在直线MN 上，记作点C′′，则∠ABO ＝ °．（2）如图，延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线及其延长线交于E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的32倍，求∠ABO 的度数．【答案】（1）①∠ACB 的大小不变，∠ACB=45°；②30°，60°；（2）∠ABO 为60°或72°．【分析】（1）①由直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，得到∠AOB=90°，根据三角形的外角的性质得到∠PAB+∠ABM=270°，根据角平分线的定义得到∠BAC=12∠PAB ，∠ABC=12∠ABM ，于是得到结论； ②由于将△ABC 沿直线AB 折叠，若点C 落在直线PQ 上，得到∠CAB=∠BAQ ，由角平分线的定义得到∠PAC=∠CAB ，根据三角形的内角和即可得到结论；根据将△ABC 沿直线AB 折叠，若点C 落在直线MN 上，得到∠ABC=∠ABN ，由于BC 平分∠ABM ，得到∠ABC=∠MBC ，于是得到结论；（2）由∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E 可知∠EAO=12∠BAO ，∠EOQ=12∠BOQ ，进而得出∠E 的度数，由AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF 中，由一个角是另一。

高三专题三角函数与解三角形总结归纳

三角函数一. 任意角的概念与弧度制（一）角的概念的推广 1.角概念的推广：在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角.按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角.习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边.射线旋转停止时对应的边叫角的终边. 2.特殊命名的角的定义：（1）正角，负角，零角：见上文.（2）象限角：角的终边落在象限内的角，根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角. （3）轴线角：角的终边落在坐标轴上的角.终边在x 轴上的角的集合： {}|180,k k Z ββ=⨯︒∈ 终边在y 轴上的角的集合： {}|18090,k k Z ββ=⨯︒+︒∈终边在坐标轴上的角的集合：{}|90,k k Z ββ=⨯︒∈ （4）终边相同的角：与α终边相同的角：2,x k k Z απ=+∈ （5）与α终边反向的角：()21,x k k Z απ=++∈终边在y x =轴上的角的集合：{}|18045,k k Z ββ=⨯︒+︒∈ 终边在y x =-轴上的角的集合：{}|18045,k k Z ββ=⨯︒-︒∈（6）若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：180,k k Z αβ=⨯︒+∈ （7）成特殊关系的两角若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：360,k k Z αβ=⨯︒-∈ 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：360180,k k Z αβ=⨯︒+︒-∈ 若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：36090,k k Z αβ=⨯︒+±︒∈注意：（1）角的集合表示形式不唯一；（2）终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.（二）弧度制1.弧度制的定义：lRα=2.角度与弧度的换算公式：180π︒= 3602π︒= 10.01745︒= 157.305718'=︒=︒注意：（1）正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；（2）一个式子中不能角度、弧度混用.二. 任意角三角函数（一）三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义正弦r y =αsin ，余弦r x =αcos ，正切xy=αtan ，余切y x =αcot2.三角函数的定义域（二）单位圆与三角函数线单位圆的三角函数线定义如图（1）PM 表示α角的正弦值，叫做正弦线；OM 表示α角的余弦值，叫做余弦线. 如图（2）AT 表示α角的正切值，叫做正切线.注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.（三）同角三角函数的基本关系式（1）sin csc 1,cos sec 1,tan cot 1αααααα⋅=⋅=⋅= （2）商数关系：ααααααcot sin cos ,tan cos sin == （3）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=（四）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）()()()()sin sin cos cos tan tan cot cot πααπααπααπαα+=-+=-+=+= ()()()()s i n 2s i n c o s 2c o s t a n 2t a n c o t 2c o t πααπααπααπαα-=--=-=--=-()()()()s i n s i n c o s c o s t a n t a n c o t c o tπααπααπααπαα-=-=--=--=-sin cos 2cos sin 2tan cot 2πααπααπαα⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ s i n c o s 2c o s s i n 2t a n c o t 2πααπααπαα⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭三. 三角函数的图象与性质（一）基本图象1.正弦函数2.余弦函数3.正切函数（二）函数图象的性质正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质四. 和角公式两角和与差的公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsinsin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+()s i n s i n c o sc o s s i nαβαβαβ-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-五. 倍角公式和半角公式（一）倍角与半角公式αααcos sin 22sin =2cos 12sin αα-±=ααααα2222sin211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 2cos 12cos αα+±= ααα2tan 1tan 22tan -=s i n 1c o s t a n 21c o s s i n αααααα-==+（二）万能公式2tan 12tan2sin 2ααα+= 2tan 12tan 1cos 22ααα+-= 2tan 12tan2tan 2ααα-=六. 三角函数的积化和差与和差化积公式()()1s i n c o s s i n s i n 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1c o ss i n s i n s i n 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦ ()()1c o s c o s c o s c o s 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1s i n s i n c o s c o s 2αβαβαβ=-+--⎡⎤⎣⎦ s i n s i n 2s i n c o s 22αβαβαβ+-+= 2c o s 2c o s 2c o s c o s βαβαβα-+=+s i n s i n 2c o s s i n 22αβαβαβ+--= co s c o s 2s i n s i n 22αβαβαβ+--=-sin15cos 754︒=︒=sin 75cos154︒=︒=tan15cot 752︒=︒=tan 75cot152︒=︒=+七. 辅助角公式（合一变形）()sin cos ,tan ,,22b a x b x x a ππϕϕϕ⎛⎫+=+=∈- ⎪⎝⎭一. 恒等变换（一）基础题型1.（2015·福建）若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α=（） A.125B.125- C.512D.512-2.已知α是第二象限的角，()4tan 23πα+=-，则tan α=________3.=________4.已知0θπ<<，1tan 47πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ+=________5.方程()233102x ax a a +++=>两根tan ,tan αβ，且,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=________6.已知()tan 4cos 2,22ππθπθθ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，则tan2θ=（）A.C.（二）诱导公式1.已知奇函数()f x 在[]1,0-上为单调减函数，若,αβ为锐角三角形内角，则（）A.()()cos cos f f αβ>B.()()sin sin f f αβ>C.()()sin cos f f αβ<D.()()sin cos f f αβ>2.已知,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且cos sin 0αβ+>，则下列各式中成立的是（）A.αβπ+<B.32παβ+>C.32παβ+=D.32παβ+<（三）互余互补sin cos 2πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ c o s s i n 2πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ sin()sin πθθ-= c o s ()c o sπθθ-=-1.已知4cos 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________；2cos 3πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭2.（2016·广州检测）已知1cos 123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5sin 12πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A.13 B.3C.13-D.3-3.（2017·合肥模拟）已知1cos cos ,,63432ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求sin 2α的值；（2）求1tan tan αα-的值.（四）配凑角（已知条件会给θ范围）1.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2.设()21tan ,tan 544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.138B.322C.1318D.13223.（2017·成都模拟）若()sin 2,sin 510αβα=-=且3,,,42ππαπβπ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则αβ+=（） A.74πB.94πC.54π或74πD.54π或94π4.若()111cos ,cos ,0,,,71422ππααβααβπ⎛⎫⎛⎫=+=-∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则β=（）A.3π- B.6πC.3πD.6π-5.若3335,,0,,cos ,sin 44445413πππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈∈-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()sin αβ+=________6.已知sin sin 3παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.45-B.35-C.45D.35（五）升角（一倍角、二倍角转换）解题思路：2cos 212sin θθ=- 2c o s 22c o s 1θθ=-一）升角+诱导公式1.（2016·宿州模拟）若1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.9B.9-C.79D.79-2.已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭=（）A.19-C. D.193.（2016·南昌三模）已知tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 2α=（）A.34B .35C.34-D.35-4.已知1sin 43x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 42cos3sin x x x -=（）A.79B.79-C.9D.9-二）升角+互余、互补1.已知1sin 33x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin cos 233x x ππ⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________2.（2017·江西新余三校联考）已知7cos 238x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 3x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.14B.78C.14±D.78±三）升角+配凑1.已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（）A.19-B.9C.9-D.192.已知33cos ,4522πππαα⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭，则cos 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________3.已知cos 0,4102ππθθ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________ （六）平方一）sin cos c θθ+=解题思路：2(sin cos )1sin 2θθθ±=± 1.已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=________2.已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin cos 222αα+=，则cos α=________3.已知1sin cos 3αα+=，则2sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.118B.1718C.89D.94.已知()1sin cos ,,05x x x π+=∈-.（1）求sin cos x x -的值；（2）求2sin 22sin 1tan x xx+-的值．5.已知4sin cos 034πθθθ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-=________6.若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A.118B.118-C.1718D.1718-7.若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =+-的最小值为（）A.12-+B.12+ C.18.若,22sin sin =+βα则βαcos cos +的取值范围________二）sin cos a b c θθ+=1.已知2sin cos 2αα+=，则tan 2α=________2.（2016·厦门质检）若2sin 21cos2αα=-，则tan α=________3.（2016·开封模拟）已知12sin 5cos 13αα-=，则tan α=（）A.512- B.125-C.125±D.712±4.已知sin αα+=tan α=（）A.2C.2-D.（七）12tan tan sin 2θθθ+= （2016·青岛模拟）化简：211tan sin 22cos tan 2αααα⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭________（八）齐次式 1.若tan 2α=，则2sin 3cos 4sin 9cos αααα-=-________；224sin 3sin cos 5cos αααα--=________2.（2015·广东）已知tan 2α=.（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值.3.（2016·天一大联考）已知函数()()log 24a f x x =-+（0a >且1a ≠），其图象过定点P ，角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P ，则sin 2cos sin cos αααα+=-________4．（广东省广州2017届高三下学期第一次模拟）已知tan 2θ=，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则co s 2θ=（） A.45B.35C.35-D.45-5.已知3tan 5α=-，则sin 2α=（）A.1517B.1517- C.817-D.8176.若sin 3sin 02παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则cos2α=（）A.35-B.35C.45-D.45二. 三角函数图象的变换（一）图象平移和伸缩1.将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A.12x π= B.6x π=C.3x π=D.12x π=-2.已知函数()()()sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（）A.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增3.将函数()()cos f x x x x R =∈的图象向左平移()0αα>个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则α的最小值为（）A.12πB.6πC.3πD.56π4.已知函数()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ=______5.（2014·辽宁卷）将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（）A.在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B.在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D.在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增6.（2017·渭南模拟）由()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x 的解析式为（）A.()32sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()2sin 66f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()32sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()2sin 63f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7.（2014·安徽）若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值为（） A.8πB.4πC.38πD.5π48.（2016·广东汕头模拟）将函数()sin 6y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12倍，再把图象上各点向左平移4π个单位长度，则所得的图象的解析式为（） A.5sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.1sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.15sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9.当4x π=时，函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数34y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是（） A.奇函数且图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称B.偶函数且图象关于点(),0π对称C.奇函数且图象关于直线2x π=对称D.偶函数且图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称10.（2016·长沙四校联考）将函数()()sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度得到sin y x =的图象，则函数()f x 的单调递增区间为（） A.52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B.52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C.5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D.5,,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦11.为了得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数sin 2y x =的图象（）A.向左平移56π个单位长度 B.向右平移56π个单位长度 C.向左平移512π个单位长度D.向右平移512π个单位长度12.（2013·新课标全国卷Ⅱ）函数()()cos 2y x ϕπϕπ=+-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ϕ=________二）图象求解析式1.若函数()f x 具有以下两个性质：①()f x 是偶函数；②对任意实数x ，都有44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()f x 的解析式可以是（） A.()cos f x x =B.()cos 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.()sin 42f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()cos6f x x =2.已知()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<在同一周期内当12x =时取最大值，当12x =时取最小值，与y 轴的交点为(，则()f x =____________3.已知函数)0,()sin()(πϕϕ<<∈+=R x x x f ，若点1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数26y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，则ϕ=_________4.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，对于任意x 都有66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________5.（2017·安徽江南十校联考）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，且对任意x R ∈，都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则()f x 图象的一个对称中心的坐标是（）A.2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭C.2,03π⎛⎫⎪⎝⎭D.5,03π⎛⎫⎪⎝⎭6.已知函数()()3sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()()3cos 2g x x ϕ=+的图象的对称中心完全相同，若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的取值范围________7.（2015·湖南）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的12,x x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（） A.512πB.3πC.4πD.6π8.（2016·安徽芜湖一模）函数()()sin ,0,2f x x x R ωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若122,,63x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（）A.2-B.12-C.12D.29.（2017·石家庄模拟）函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则1124f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.2- B.2-C.2-D.1-10.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ=（）A.6π- B .6πC.3π-D.3π11.已知函数()()sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则6y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭取得最小值时x 的集合为________12.已知函数()()cos f x A x ωϕ=+的图象如图所示，223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A.23-B.12-C.23D.1213.（2016·泉州质检）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若tan 3α=，则8f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.35-B.45-C. D.三．特殊三角函数最值1.当06x π<≤时，函数()22cos cos sin sin xf x x x x=-的最小值为________2.求函数()2cos ,0,sin xy x xπ-=∈的最小值.3.（2016·全国Ⅱ）函数()cos 26cos 2f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最大值为（）A.4B.5C.6D.74.函数273sin 2cos ,,66y x x x ππ⎡⎤=--∈⎢⎥⎣⎦的值域为________5.求函数2sin 12sin 1x y x +=-的值域.6.求函数sin 2cos xy x=-的最小值.7.求函数2cos y x=+的值域.8.若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2214s in c o s αα+的最小值为________9.求函数()()1sin 3sin 2sin x x y x++=+的最值及对应的x 的集合.四．参数相关1.已知0ω>，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则ω的取值范围________2.（2016·全国乙卷）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（）A.11B.9C.7D.53.已知函数()()2sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭在区间,126ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦则ϕ的取值范围（）A.0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.,04π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4.若函数()()s i n 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=________5.已知0ω>, ()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围（）A.15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.10,2⎛⎫⎪⎝⎭D.(]0,26.若已知0ω>，函数()cos 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围________7.已知()()sin 0,363f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间错误！未找到引用源。

2021年九年级中考数学九年级复习小专题专项课时练：三角形的角平分线、中线和高(一)

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——高斯2021年中考数学九年级复习小专题专项课时练：三角形的角平分线、中线和高（一）一．选择题1．如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4．则下列说法中，正确的是（）A．AD是△ABE的中线B．AE是△ABC的角平分线C．AF是△ACE的高线D．AE是△ABC的中线2．如图，在Rt△ABF中，∠F＝90°，点C是线段BF上异于点B和点F的一点，连接AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D，过点C作CE⊥AB交AB于点E，则下列说法中，错误的是（）A．△ABC中，AB边上的高是CEB．△ABC中，BC边上的高是AFC．△ACD中，AC边上的高是CED．△ACD中，CD边上的高是AC3．如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC 中AC边上的高是（）A．CF B．BE C．AD D．CD4．下列说法正确的是（）A．在一个三角形中至少有一个直角B．三角形的中线是射线C．三角形的高是线段D．一个三角形的三条高的交点一定在三角形的外部5．如图，已知AD是△ABC的中线，且△ABD的周长比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（）A．BE是△ABD的中线B．BD是△BCE的角平分线C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△ABE的高7．下列叙述中错误的一项是（）A．三角形的中线、角平分线、高都是线段B．三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部C．只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形D．三角形的三条角平分线都在三角形内部8．下列说法不正确的是（）A．三角形的三条高线交于一点B．直角三角形有三条高C．三角形的三条角平分线交于一点D．三角形的三条中线交于一点9．下列各图中，线段CD是△ABC的高的是（）A．B．C．D．10．如图，∠CBD＝∠AEC＝90°，△ABC中，AB边上的高是线段（）A．BD B．CE C．BE D．CA二．填空题11．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝．12．如图，BD是△ABC的中线，AB＝6cm，BC＝4cm，则△ABD和△BCD的周长差为cm．13．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为11，则△BCD的周长是．14．如图，∠CBD＝∠E＝∠F＝90°，则线段是△ABC中BC边上的高．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE 交于H，则∠CHD＝．16．如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D、E、F，则线段是△ABC中AC边上的高．三．解答题17．如图，在△ABC中，AD，AE，AF分别为△ABC的高线、角平分线和中线．（1）写出图中所有相等的角和相等的线段；（2）当BF＝8cm，AD＝7cm时，求△ABC的面积．18．如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．（1）画出△ABC中边BC上的高AD；（2）画出△ABC中边AC上的中线BE；（3）直接写出△ABE的面积为．19．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C ＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．20．如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．21．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1）∠ABE＝15°，∠BAD＝35°，求∠BED的度数；（2）在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为60，BD＝5，则点E到BC边的距离为多少？22．已知△ABC的周长为33cm，AD是BC边上的中线，．（1）如图，当AC＝10cm时，求BD的长．（2）若AC＝12cm，能否求出DC的长？为什么？23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多2，且AB与AC的和为10．（1）求AB、AC的长．（2）求BC边的取值范围．参考答案一．选择题1．解：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，即∠BAE＝∠CAE，∴AE是△ABC的角平分线，故选：B．2．解：∵过点C作CE⊥AB交AB于点E，∠F＝90°，∴△ABC中，AB边上的高是CE，BC边上的高是AF，∴A、B两个选项说法正确，不符合题意；∵CD⊥AC交AB于点D，∴△ACD中，AC边上的高是CD，CD边上的高是AC，∴C选项说法错误，符合题意；D选项说法正确，不符合题意；故选：C．3．解：△ABC中，画AC边上的高，是线段BE．故选：B．4．解：A、一个三角形的三个内角中最多有一个直角，错误；B、三角形的中线是线段，错误；C、三角形的高是线段，正确；D、锐角三角形的高总在三角形的内部，而直角三角形和钝角三角形则不一定，错误；故选：C．5．解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∴△ABD与△ACD的周长之差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，∵△ABD比△ACD的周长大3cm，∴AB与AC的差为3cm．故选：B．6．解：A、∵AE＝DE，∴BE是△ABD的中线，正确；B、∵BD平分∠EBC，∴BD是△EBC的角平分线，正确；C、∵BD是△EBC的角平分线，∴∠EBD＝∠CBD，∵BE是中线，∴∠EBD≠∠ABE，∴∠1＝∠2＝∠3不正确，符合题意；D、∵∠C＝90°，∴BC是△ABE的高，正确．故选：C．7．解：A、三角形的角平分线、中线、高都是线段，故此选项正确；B、锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形的一条高在三角形的内部，两条就是直角边；钝角三角形的一条高在三角形的内部，两条高在三角形的外部．故此选项正确；C、根据B中的分析，知只有一条高在三角形内部的三角形可能是直角三角形，也可能是钝角三角形．故此选项错误；D、根据角平分线的定义，知三角形的三条角平分线都在三角形的内部．故此选项正确．故选：C．8．解：A、三角形三条高线所在的直线一定交于一点，但三角形的三条高线不一定交于一点，比如钝角三角形，因为高线是线段不可延长，错误；B、直角三角形有三条高，正确；C、三角形的三条角平分线交于一点，正确；D、三角形的三条中线交于一点，正确；故选：A．9．解：线段CD是△ABC的高的是．故选：B．10．解：∵∠AEC＝90°，∴△ABC中，AB边上的高是线段CE．故选：B．二．填空题（共6小题）11．解：∵AD为中线，∴BD＝CD，则C△ABD ﹣C△ACD＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝AB﹣AC＝8﹣5＝3，故答案为：3．12．解：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC＝6﹣4＝2cm．故答案为：2．13．解：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∵△ABD的周长为11，AB＝5，BC＝3，∴△BCD的周长是11﹣（5﹣3）＝9，故答案为9．14．解：∵AE⊥BC于E，∴△ABC中BC边上的高是AE．故答案为：AE．15．解：延长CH交AB于点H，在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，∴∠ACF＝15°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCF＝45°在△CDH中，三内角之和为180°，∴∠CHD＝45°，故答案为∠CHD＝45°．16．解：∵BE⊥AC，∴△ABC中AC边上的高是BE．故答案为：BE三．解答题（共7小题）17．解：（1）∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE．∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵AF是△ABC的中线，∴BF＝CF．图中所有相等的角和相等的线段为：∠BAE＝∠CAE，∠ADB＝∠ADC＝90°，BF＝CF．（2）∵BF＝CF，BF＝8cm，AD＝7cm，∴BC＝2BF＝2×8＝16cm，＝BC•AD∴S△ABC＝×16cm×7cm＝56cm2．答：△ABC的面积是56cm2．18．解：（1）如图所示，线段AD即为所求；（2）如图所示，线段BE即为所求；＝BC•AD＝4×4＝8．（3）S△ABC∴△ABE的面积＝S＝4，△ABC故答案为：4．19．解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．20．解：设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝2BC＝4x，∵BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，AC＞AB，∴AC+CD＝60，AB+BD＝40，即，解得：，当AB＝28，BC＝24，AC＝48时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，所以AC＝48，AB＝28．21．解：（1）∵∠BED是△ABE的一个外角，∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝15°+35°＝50°．（2）如图所示，EF即是△BED中BD边上的高．（3）∵AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，∴S△BED ＝S△ABC＝×60＝15；∵BD＝5，∴EF＝2S△BED÷BD＝2×15÷5＝6，即点E到BC边的距离为6．22．解：（1）∵，AC＝10cm，∴AB＝15cm．又∵△ABC的周长是33cm，∴BC＝8cm．∵AD是BC边上的中线，∴．（2）不能，理由如下：∵，AC＝12cm，∴AB＝18cm．又∵△ABC的周长是33cm，∴BC＝3cm．∵AC+BC＝15＜AB＝18，∴不能构成三角形ABC，则不能求出DC的长．23．解：（1）∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝2，即AB﹣AC＝2①，又AB+AC＝10②，①+②得．2AB＝12，解得AB＝6，②﹣①得，2AC＝8，解得AC＝4，∴AB和AC的长分别为：AB＝6，AC＝4；（2）∵AB＝6，AC＝4，∴2＜BC＜10．一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。

专题1.2三角形的内角-2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典(解析版)【人教版】

2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题1.2三角形的内角（人教版）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•天心区期末）△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【分析】设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，再根据三角形内角和定理求出x的值，进而可得出结论．【解析】∵在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x．∵∠A+∠B+∠C＝180°，即x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，∴∠C＝3x＝90°，∴△ABC是直角三角形．故选：A．2．（2020春•江阴市期中）将一副三角板如图放置，作CF∥AB，则∠EFC的度数是（）A．90°B．100°C．105°D．110°【分析】根据等腰直角三角形求出∠BAC，根据平行线求出∠ACF，根据三角形内角和定理求出即可．【解析】∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∵CF∥AB，∴∠ACF＝∠BAC＝45°，∵∠E＝30°，故选：C．3．（2020春•赣榆区期中）下列条件能说明△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B＝2∠C B．∠A＝∠B+∠CC．∠A：∠B：∠C＝2：3：4D．∠A＝40°，∠B＝55°【分析】利用三角形内角和定理结合已知条件求出三角形的内角即可判断．【解析】A、∵∠A＝∠B＝2∠C，∴∠A＝∠B＝72°，∠C＝36°，∴△ABC不是直角三角形，本选项不符合题意．B、∵∠A＝∠B+∠C，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，本选项符合题意．C、∵∠A：∠B：∠C＝2：3：4，∴∠C=49×180°＝80°，∴△ABC是锐角三角形，本选项不符合题意．D、∵∠A＝40°，∠B＝55°，∴∠C＝85°，∴△ABC是锐角三角形，本选项不符合题意，故选：B．4．（2019秋•宜兴市期中）如图，△ABC中，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】根据题意，已知∠A＝65°，∠B＝75°，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解．【解析】∵∠A＝75°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣（65°+75°）＝40°，∴∠2＝360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）＝360°﹣300°＝60°．故选：D．5．（2019春•姑苏区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝75°，∠ABD＝∠BCD，则∠BDC的度数是（）A．115°B．110°C．105°D．100°【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABD+∠DBC＝75°，根据三角形内角和定理计算，得到答案．【解析】∵∠ABC＝75°，∴∠ABD+∠DBC＝75°，∵∠ABD＝∠BCD，∴∠BCD+∠DBC＝75°，∴∠BDC＝180°﹣（∠BCD+∠DBC）＝105°，故选：C．6．（2019春•常州期中）下列条件：①∠A﹣∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝2：3：5；③∠A=12∠B=13∠C；④∠A＝∠B＝2∠C；⑤∠A＝∠B=12∠C，其中能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据三角形内角和定理、直角三角形的定义解答．【解析】①∵∠A﹣∠B＝∠C，∴∠A＝∠B+∠C，∴∠A＝90°，即△ABC为直角三角形；②设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、5x，由三角形内角和定理得，2x +3x +5x ＝180°，解得，x ＝18°，∠C ＝5x ＝90°，即△ABC 为直角三角形； ③∠A =12∠B =13∠C ，则∠C ＝3∠A ，∠B ＝2∠A ，由三角形内角和定理得，∠A +2∠A +3∠A ＝180°，解得，∠A ＝30°，∴∠C ＝3∠A ＝90°，即△ABC 为直角三角形； ④∠A ＝∠B ＝2∠C ，由三角形内角和定理得，2∠C +2∠C +∠C ＝180°，解得，∠C ＝36°，∠A ＝∠B ＝2∠C ＝72°，即△ABC 不是直角三角形； ⑤∠A ＝∠B =12∠C ，由三角形内角和定理得，12∠C +12∠C +∠C ＝180°，解得，∠C ＝90°，即△ABC 是直角三角形；故选：C ．7．（2019春•兴化市期中）在△ABC 中，∠C ＝40°，∠B ＝4∠A ，则∠A 为（）度． A ．30B ．28C ．26D ．40【分析】根据三角形内角和定理构建方程即可解决问题．【解析】∵∠A +∠B +∠C ＝180°， ∴5∠A +40°＝180°， ∴∠A ＝28°，故选：B ．8．（2019春•垦利区期中）如图，三角形纸片ABC 中，∠A ＝65°，∠B ＝75°，将∠C 沿DE 对折，使点C 落在△ABC 外的点C ′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．110°【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据折叠的性质求出∠C′，根据三角形的外角的性质计算，得到答案．【解析】∵∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，由折叠的性质可知，∠C′＝∠C＝40°，∴∠3＝∠1+∠C′＝60°，∴∠2＝∠C+∠3＝100°，故选：C．9．（2019春•南京期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝∠C，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且∠EDF＝∠B，若∠2＝2∠1，则∠EDB的度数为（）A．120°﹣a B．60°+13a C．90°−12a D．45°+23a【分析】根据∠EDB＝180°﹣∠B﹣∠1，求出∠B，∠1（用α表示）即可解决问题．【解析】∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠1，∠EDF＝∠B，∴∠FDC＝∠1，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝∠C，∠A＝α，∴∠B＝90°−12α，∵2∠1+∠1+∠C＝180°，∴∠1=13（90°+12α），∴∠EDB＝180°﹣∠B﹣∠1＝180°﹣（90°−12α）−13（90°+12α）＝60°+13α，故选：B．10．（2019春•泰兴市校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝40°，高BE、CF交于点O，则∠BOC为（）A．40°B．110°C．130°D．140°【分析】根据∠BOC＝∠CEO+∠ECO，求出∠CEO，∠ECO即可．【解析】∵△ABC中，高BE、CF交于点O，∴∠AEB＝∠ADFC＝90°，∵∠A＝40°，∴∠ACF＝50°，∴∠BOC＝∠CEO+∠ECO＝90°＝50°＝140°，故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019春•京口区校级月考）如图，点D在三角形ABC的边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝20°，则∠ACE的大小是50度．【分析】由∠A＝80°，∠B＝20°，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到∠ACD ＝∠B+∠A，然后利用角平分线的定义计算即可．【解析】∵∠ACD＝∠B+∠A，而∠A＝80°，∠B＝20°，∴∠ACD＝80°+20°＝100°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝50°，故答案为：50．12．（2019春•广陵区校级月考）一个三角形三个内角度数的比是2：5：4，那么这个三角形是锐角三角形．【分析】根据三角形内角和定理可分别求得每个角的度数，从而根据最大角的度数确定其形状．【解析】依题意，设三角形的三个内角分别为：2x，5x，4x，∴2x+5x+4x＝180°，∴5x≈81.82°．∴这个三角形是锐角三角形．故答案为：锐角．13．（2019春•崇川区校级月考）若△ABC为钝角三角形，且∠A＝50°，则∠B的取值范围为130°＞∠B＞90°或0°＜∠B＜40°．【分析】根据钝角三角形的定义即可判断．【解析】当130°＞∠B＞90°时，△ABC是钝角三角形，当∠C＞90°时，△ABC是钝角三角形，此时0°＜∠B＜40°，故答案为130°＞∠B＞90°或0°＜∠B＜40°．14．（2019春•江宁区校级月考）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCDE的外部，用∠1和∠2表示出∠A，则关系式是2∠A＝∠1﹣∠2．【分析】此题求的是∠A、∠1、∠2之间的数量关系，首先画出折叠前的三角形，设为△BCF，可根据三角形的外角性质，首先表示出∠DEF的度数，进而根据三角形内角和定理，得到所求的结论．【解析】如右图，设翻折前A点的对应点为F；根据折叠的性质知：∠3＝∠4，∠F＝∠A；由三角形的外角性质知：∠DEF＝∠5+∠3＝∠A+∠2+∠3；△DEF中，∠DEF＝180°﹣∠4﹣∠F；故180°﹣∠4﹣∠F＝∠A+∠2+∠3，即：180°﹣∠4﹣∠A＝∠A+∠2+∠3，180°﹣∠4﹣∠3＝2∠A+∠2，即∠1＝2∠A+∠2，2∠A＝∠1﹣∠2，故答案为：2∠A＝∠1﹣∠2．15．（2019春•长春月考）当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”，如果一个“梦想三角形”有一个角为120°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为20°或15°．【分析】分两种情况，根据三角形内角和定理计算即可．【解析】①120°÷3＝40°，180°﹣120°﹣40°＝20°，则这个“梦想三角形”的最小内角的度数为20°；②设这个“梦想三角形”的其它两个内角的度数分别为3x、x，则3x+x+120°＝180°，解得，x＝15°，则这个“梦想三角形”的最小内角的度数15°，故答案为：20°或15°．16．（2018秋•新抚区校级月考）在△ABC中，若2（∠A+∠C）＝3∠B，则∠B的度数为72°．【分析】根据三角形内角和定理，得出∠A+∠C＝180°﹣∠B，再根据2（∠A+∠C）＝3∠B，得出关于∠B的方程，求得∠B即可．【解析】∵在△ABC中，∠A+∠C＝180°﹣∠B，且2（∠A+∠C）＝3∠B，∴2（180°﹣∠B）＝3∠B，∴360°＝5∠B，∴∠B＝72°．故答案为：72°17．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC，垂足为D．若∠ABC＝66°，∠C＝34°，则∠DAE＝16°．【分析】先求出∠BAC的度数，再求出∠BAD的度数和∠CAE的度数，再求出∠DAE的度数．【解析】∵∠BAC＝180°﹣66°﹣34°＝80°，又∵AE是△ABC的角平分线，∴∠CAE＝40°，∵∠ABC＝66°，AD是BC边上的高．∴∠BAD＝90°﹣66°＝24°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝∠CAE﹣∠BAD＝40°﹣24°＝16°．故答案为：16．18．（2020春•如皋市期末）在△ABC中，将∠B、∠C按如图所示方式折叠，点B、C均落于边BC上一点G处，线段MN、EF为折痕．若∠A＝82°，则∠MGE＝82°．【分析】由折叠的性质可知：∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，根据三角形的内角和为180°，可求出∠B+∠C的度数，进而得到∠MGB+∠EGC的度数，问题得解．【解析】∵线段MN、EF为折痕，∴∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，∵∠A＝82°，∴∠B+∠C＝180°﹣82°＝98°，∴∠MGB+∠EGC＝∠B+∠C＝98°，∴∠MGE＝180°﹣98＝82°，故答案为：82．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019春•崇川区校级月考）如图，已知，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，∠DBE＝60°，求∠C的度数．【分析】由直角三角形的性质得出∠A＝30°，再由三角形内角和定理即可得出答案．【解析】∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵∠DBE＝60°，∴∠A＝90°﹣60°＝30°，∴∠C＝∠ABC=12（180°﹣30°）＝75°．20．（2019春•东台市校级月考）如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝30°，∠C＝50°．（1）求∠DAE的度数；（2）试写出∠DAE与∠C、∠B之间的数量关系（不必说明理由）．【分析】（1）由AD是BC边上的高可得出∠ADE＝90°，在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由角平分线的定义可求出∠BAE的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠AED的度数，在△ADE中利用三角形内角和定理可求出∠DAE的度数；（2）∠DAE=12（∠C﹣∠B），理由同（1）．【解析】（1）∵AD是BC边上的高，∴∠ADE＝90°．∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°．∵AE是∠BAC平分线，∴∠BAE=12∠BAC＝50°，∴∠AED＝∠B+∠BAE＝30°+50°＝80°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣90°﹣80°＝10°．（2）∠DAE=12（∠C﹣∠B），理由如下：∵AD是BC边上的高，∴∠ADE＝90°．∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C．∵AE是∠BAC平分线，∴∠BAE=12∠BAC＝90°−12（∠B+∠C），∴∠AED＝∠B+∠BAE＝90°+12（∠B﹣∠C）．∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣90°﹣[90°+12（∠B﹣∠C）]=12（∠C﹣∠B）．21．（2018秋•江都区月考）如图：有一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其沿CD折叠，使点A落在边CB上的点A′处，求∠A′DB的度数．【分析】先根据直角三角形两锐角互余求得∠B＝40°，由翻折的性质可知∠DA′C＝50°，最后根据三角形外角的性质可知∠A′DB＝10°．【解析】由折叠可得，∠CA'D＝∠A＝50°，∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°，∵∠B+∠A'DB＝∠CA'D，∴∠A'DB＝50°﹣40°＝10°．22．（2020春•常熟市期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，∠ADB＝∠BAC，BE平分∠ABC，过点E 作EF∥AD，交BC于点F．（1）求证：∠BAD＝∠C；（2）若∠C＝20°，∠BAC＝110°，求∠BEF的度数．【分析】（1）利用三角形内角和定理证明即可．（2）想办法求出∠BHD，再利用平行线的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180°，∠ABC+∠BDA+∠BAD＝180°，∠BDA＝∠BAC，∴∠BAD＝∠C．（2）解：∵∠C＝20°，∠BAC＝110°，∴∠ABC＝180°﹣20°﹣110°＝50°，∵BE平分∠ABC，∴∠EBF=12∠ABC＝25°，∵∠BDA＝∠BAC＝110°，∴∠BHD＝180°﹣∠HBD﹣∠BDA＝180°﹣25°﹣110°＝45°，∵AD∥EF，∴∠BEF＝∠BHD＝45°．23．（2020春•赣榆区期中）如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD．（1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由．【分析】（1）利用三角形内角和定理证明即可．（2）利用（1）中结论，设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y，可得∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x，两式相加可得结论．【解答】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，又∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）解：结论：2∠E＝∠A+∠C．理由：∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，∴可以假设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y，∵∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x，∴∠A+∠C＝∠E+∠E，∴2∠E＝∠A+∠C，24．（2020春•相城区期中）已知（如图1）在△ABC中，∠B＞∠C，AD平分∠BAC，点E在AD的延长线上，过点E作EF⊥BC于点F，设∠B＝α，∠C＝β．（1）当α＝80°，β＝30°时，求∠E的度数；（2）试问∠E与∠B，∠C之间存在着怎样的数量关系，试用α、β表示∠E，并说明理由；（3）若∠EFB与∠BAE平分线交于点P（如图2），当点E在AD延长线上运动时，∠P是否发生变化，若不变，请用α、β表示∠P；若变化，请说明理由．【分析】（1）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到即可；（2）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到即可；（3）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到即可．【解析】（1）∵∠B＝80°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC＝35°，∴∠EDF＝∠ADB＝180°﹣35°﹣80°＝65°，∵EF⊥BC，∴∠EFD＝90°，∴∠E＝90°﹣65°＝25°；（2）∵∠EDF＝∠C+∠CAD，∠CAD=12∠BAC=12（180°﹣α﹣β），∴∠EDF＝∠C+90°−12α−12β＝90°−12（α﹣β），∵∠EFD＝90°，∴∠DEF=12（α﹣β）；（3）设AP与BC交于G，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=12（180°﹣α﹣β），∵AP平分∠BAE，∴∠BAP=12∠BAD=14（180°﹣α﹣β），∴∠PGF＝∠AGB＝180°﹣∠B﹣∠BAP＝180°﹣α−14（180°﹣α﹣β）＝135°−34α+14β，∵PF平分∠EFB，∴∠PFB＝45°，∴∠P＝180°﹣∠PFB﹣∠PGF＝180°﹣45°﹣（135°−34α+14β）=34α−14β，故∠P不会发生变化．。

新人教版数学八年级上册小专题(四) 等腰三角形问题中常见的解题策略

小专题( 四)等腰三角形问题中常见的解题策略在解决等腰三角形的角度( 或边长)问题时,若题目中没有明确顶角和底角( 或腰长和底边),做题时要注意分类讨论,这是解题的关键.有时候在解决问题时,需要通过添加辅助线的方式构造等腰三角形求解,如截长补短法等,这也是一种常见的解题策略,可以将零碎的知识加以整合,进而将复杂问题简单化.类型1分类讨论法——求角度在题目没有给出图形,已知条件也未确定顶角或底角的情况下,要进行分类讨论,一般情况都是锐角三角形与钝角三角形两种形状.1.如果等腰三角形中有一个内角等于70°,那么这个三角形最小的内角等于55°或40°.2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°,则该等腰三角形的底角的度数为21°或69°.3.( 改编)在等腰三角形ABC中,( 1 )若∠A=100°,则∠B=40°;( 2 )若∠A=50°,则∠B=65°或80°或50°.类型2分类讨论法——求边长在题目没有出示图形,也未确定腰长和底边长时,要进行分类讨论,并利用三角形的三边关系加以验证,以确定能否组成三角形,这是最容易错的点.4.已知等腰△ABC的两边长分别为2和5,则等腰△ABC的周长为( B)A.9B.12C.9或12D.不能确定5.已知一个等腰三角形的三边长分别为2x-1,x+1,3x-2,求这个等腰三角形的周长.( 1 )完成部分解题过程,在以下解答过程的空白处填上适当的内容.解:①当2x-1=x+1时,解得x=2,此时能构成等腰三角形( 填“能”或“不能”).②当2x-1=3x-2时,解得x=1,此时不能构成等腰三角形( 填“能”或“不能”). ( 2 )请你根据( 1 )中两种情况的分类讨论,完成第三种情况的分析,若能构成等腰三角形,求出这个三角形的周长.解:( 2 )③当x+1=3x-2时,解得x=,此时能构成等腰三角形,周长为7.类型3分类讨论法——分割等腰三角形分割三角形时,根据“等角对等边”定理,重点关注三角形的内角度数,尤其是两个底角相等,进而得到等腰三角形.6.在△ABC中,∠A=70°,∠B=30°.请在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中一个为等腰三角形,请在图中画出至少两种方案.解:提供四种分割方案如图所示.( 答案不唯一)类型4构造等腰三角形——作平行线在解决几何问题时,构造等腰三角形是常见的解题方法.这里提供三种构造方案,供大家参考:①“角平分线+平行线”;②作腰的平行线;③作底边的平行线.7.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AB上,点E在AC的延长线上,DE交BC于点F,且DF=EF.求证:BD=CE.证明:过点D作DG∥AE,交BC于点G.易证△DGF≌△ECF,∴DG=CE.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.∵DG∥AE,∴∠DGB=∠ACB,∴∠B=∠DGB,∴DG=BD,∴BD=CE.8.已知,△ABC为等边三角形,D为AC上的一个动点,E为BC延长线上一点,且BD=DE.( 1 )如图1,若点D在边AC上,猜想线段AD与CE之间的关系,并说明理由;( 2 )如图2,若点D在AC的延长线上,那么( 1 )中的结论是否仍然成立,请说明理由.解:( 1 )AD=CE.理由:过点D作DP∥BC,交AB于点P.∵△ABC是等边三角形,∴△APD也是等边三角形,∴AP=PD=AD,∠APD=∠ABC=∠ACB=∠ADP=60°.∵DB=DE,∴∠DBC=∠DEC.∵DP∥BC,∴∠PDB=∠CBD,∴∠PDB=∠DEC.又∵∠BPD=∠A+∠ADP=120°,∠DCE=∠A+∠ABC=120°,∴∠BPD=∠DCE.在△BPD和△DCE中,∠PDB=∠DEC,∠BPD=∠DCE,DB=DE,∴△BPD≌△DCE,∴PD=CE,∴AD=CE.( 2 )AD=CE仍然成立.理由:过点D作DP∥BC,交AB的延长线于点P.∵△ABC是等边三角形,∴△APD也是等边三角形,∴AP=PD=AD,∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDC=60°.∵DB=DE,∴∠DBC=∠DEC.∵DP∥BC,∴∠PDB=∠CBD,∴∠PDB=∠DEC.在△BPD和△DCE中,∴△BPD≌△DCE( AAS ),∴PD=CE,∴AD=CE.类型5构造等腰三角形——截长补短法解决此类题,都需要添加辅助线,利用将长线段“截短”或短线段“延长”的方法,使之长度相等,再综合全等三角形的知识加以证明.9.如图,在△ABC中,∠BAC=108°,AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于点D.求证:BC=CD+AB.解:如图,延长BA至点E,使BE=BC,连接DE.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.易证△EBD≌△CBD,∴DE=DC,∠E=∠C=36°.∵∠EAD=72°,∴∠EDA=∠EAD=72°,∴EA=ED,∴CD=DE=AE,∴BC=BE=AB+AE=AB+CD.类型6构造等腰三角形——倍角关系在解决此类问题时,可利用角平分线的性质,添加辅助线,构造等腰三角形.10.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠B=2∠C,求证:AB+BD=AC.证明:在AC上截取AE=AB,连接DE.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.在△ABD和△AED中,∴△ABD≌△AED( SAS ),∴∠B=∠AED,BD=DE,又∵∠B=2∠C,∴∠AED=2∠C,而∠AED=∠C+∠EDC=2∠C,∴∠C=∠EDC,∴DE=CE,∴AB+BD=AE+CE=AC.。

三角形内角和综合习题精选(含答案)

三角形内角和综合习题精选一．解答题（共12小题）1．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？2．如图，DB是△ABC的高，AE是角平分线，∠BAE=26°，求∠BFE的度数．3．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；（2）在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．5．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=_________，∠XBC+∠XCB=_________．（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ 的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．6．如图1，△ABC中，∠A=50°，点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点．（1）求∠P的度数；（2）猜想∠P与∠A有怎样的大小关系？（3）若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，∠P与∠A又有怎样的大小关系？（4）若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，∠P与∠A又有怎样的大小关系？【（2）、（3）、（4）小题只需写出结论，不需要证明】8．如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动．（1）若|x+2y﹣5|+|2x﹣y|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标；（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由．9．如图所示，点E在AB上，CE，DE分别平分∠BCD，∠ADC，∠1+∠2=90°，∠B=75°，求∠A的度数．10．如图，∠AOB=90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．（1）当∠OCD=50°（图1），试求∠F．（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．11．如图，△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O．（∠ABC＞∠C），（1）试说明∠BOA=90°+∠C；（2）当AD是高，判断∠DAE与∠C、∠ABC的关系，并说明理由．12．已知△ABC中，∠BAC=100°．（1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC的大小；（3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC=170°时，是几等分线的交线所成的角．答案与评分标准一．解答题（共12小题）1．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？考点：三角形的角平分线、中线和高；角平分线的定义；垂线；三角形内角和定理。

解三角形小题综合解析版--高一下学期备战期末专题训练

期末专题04解三角形小题综合一、单选题1(2022春·江苏常州·高一校联考期末)在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判断【答案】C【分析】根据余弦定理可得cos B<0，进而得∠B为钝角，即可求解.【详解】在△ABC中,由余弦定理以及AB=5，BC=6，AC=8可知:cos B=AB2+BC2-AC22AB⋅BC=25+36-64 2×5×6=-120<0,故∠B为钝角，因此△ABC是钝角三角形故选：C2(2022春·江苏连云港·高一统考期末)在锐角三角形ABC中，a=2b sin A，则B=()A.π6B.π4C.π3D.7π12【答案】A【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】解：在锐角三角形ABC中，0<B<π2，由正弦定理得asin A=bsin B，又a=2b sin A，所以sin B=12，且0<B<π2，故B=π6.故选：A.3(2022春·江苏泰州·高一统考期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若2a= 3b sin A，则sin B=()A.63B.33C.23D.13【答案】A【分析】运用正弦定理边化角直接计算即可.【详解】由题意，2a=3b sin A，∴2sin A=3sin B sin A，∵sin A≠0,∴sin B=23=63；故选：A.4(2022春·江苏淮安·高一统考期末)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=c cos B，则△ABC的形状()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【答案】B【分析】根据余弦定理边角互化并整理即可得答案.【详解】因为a=c cos B，cos B=a2+c2-b2 2ac，所以a=c⋅a2+c2-b22ac，整理得a2+b2=c2，所以三角形的形状是直角三角形.故选：B5(2022春·江苏淮安·高一统考期末)在△ABC 中，B =45°，点D 是边BC 上一点，AD =5，AC =7，DC =3，则边AB 的长是()A.46B.1036 C.562D.26【答案】C【分析】由余弦定理求得cos C ，由正弦定理求得AB ．【详解】△ACD 中cos C =AC 2+CD 2-AD 22AC ⋅CD=49+9-252×7×3=1114，所以sin C =1-1114 2=5314，△ABC 中，由正弦定理AB sin C =AC sin B 得AB =AC sin C sin B =7×5314sin45°=562．故选：C ．6(2022秋·江苏南京·高一南京市第九中学校考期末)中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分(如图2)，经测量知AB =CD =4，BC =3，AD =7，则该玉佩的面积为()A.496π-934B.493π-932C.496π D.493π【答案】A【分析】延长AB 、DC ，交于点O ，如图，根据相似三角形的性质求出BO =3，AO =7，进而得出△OAD 为等边三角形，利用扇形的面积和三角形的面积公式即可求出结果.【详解】延长AB 、DC ，交于点O ，如图，由BC ⎳AD ，得△OBC ∼△OAD ，所以BC AD =BOAO，又AB =CD =4，BC =3，AD =7,所以37=BO BO +AB=BO BO +4，解得BO =3，所以AO =7，所以△OAD 为等边三角形，则∠AOB =π3，故S 扇形=12αr 2=12×π3×72=496π，S △BOC =12OB ×OC ×sin π3=12×3×3×32=934，所以玉佩的面积为496π-934.故选：A7(2022秋·江苏南通·高一统考期末)图1是南北方向、水平放置的圭表(一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成)示意图，其中表高为h ，日影长为l .图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A 处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻(太阳直射点的纬度为南纬23°26 )在某地利用一表高为2dm 的圭表按图1方式放置后，测得日影长为2.98dm ，则该地的纬度约为北纬( )(参考数据：tan34°≈0.67，tan56°≈1.49)A.23°26B.32°34C.34°D.56°【答案】B【分析】由题意有tan α=22.98≈0.67，可得∠MAN ，从而可得β【详解】由图1可得tan α=22.98≈0.67，又tan34°≈0.67，所以α=34°，所以∠MAN =90°-34°=56°，所以β=56°-23°26 =32°34 ，该地的纬度约为北纬32°34 ，故选：B ．8(2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末)设f x =sin x cos x -cos 2x +π4，在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若f A2 =0，a =1，则△ABC 面积的最大值为()A.2+33B.3+33C.2+34D.3+34【答案】C【分析】先用三角恒等变换得到f x =sin2x -12，从而根据f A 2 =0求出A =π6，再结合余弦定理基本不等式求出bc ≤2+3，根据面积公式求出最大值.【详解】f x =sin x cos x -cos 2x +π4 =12sin2x -121+cos 2x +π2 =sin2x -12，则f A 2 =sin A -12=0，所以sin A =12，因为△ABC 为锐角三角形，所以A =π6，由余弦定理得：cos A =b 2+c 2-12bc=32，所以b 2+c 2=3bc +1，由基本不等式得：b 2+c 2=3bc +1≥2bc ，当且仅当b =c 时等号成立，所以bc ≤2+3，S △ABC =12bc sin A =14bc ≤2+34故选：C9(2022春·江苏扬州·高一统考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列各组条件中，使得△ABC 恰有一个解的是()A.a =2,b =4,A =π3B.a =13,b =4,A =π3C.a =23,b =4,A =2π3D.a =32,b =4,A =2π3【答案】D【分析】利用正弦定理逐项判断.【详解】A . 因为a =2,b =4,A =π3，由正弦定理得a sin A=b sin B ，则sin B =b sin A a =4×sin π32=3>1，无解；B . 因为a =13,b =4,A =π3，由正弦定理得a sin A=b sin B ，则sin B =b sin Aa =4×sin π313=23913，又32<23913<1，则π3<B <2π3，有两解，故错误；C . 因为a <b ,A =2π3，则B >A ，所以无解，故错误；D . 因为a =32,b =4,A =2π3，由正弦定理得a sin A =b sin B ，则sin B =b sin A a =4×sin π332=63，又12<63<1，且a >b ，所以π6<B <π2，故有一解，故正确. 故选：D10(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知△ABC 为锐角三角形，AC =2，A =π6，则BC 的取值范围为()A.1,+∞B.1,2C.1,233D.233,2【答案】C【分析】根据锐角三角形得出角B 的范围，再利用正弦定理及三角函数的性质即可求解.【详解】因为△ABC 为锐角三角形，所以A =π60<B <π20<5π6-B <π2,解得π3<B <π2,所以32<sin B <1.在△ABC 中，由正弦定理，得AC sin B =BC sin A，即BC =AC ⋅sin A sin B =2×sin π6sin B =1sin B ,由32<sin B <1，得1<1sin B<233，即1<BC <233.所以BC 的取值范围为1,233.故选：C .11(2022春·江苏镇江·高一统考期末)已知A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，且测得点B 对点A 和点C 的张角为120°，则点B 到AC 的距离为( )km ．A.2077B.10217C.20217D.1077【答案】B【分析】由余弦定理求出AC ，再由面积等积法求解.【详解】由余弦定理可得：AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC cos120°=102+202-2×10×20×-12=700，即AC =107，所以S △ABC =12AB ⋅BC sin120°=12⋅AC ⋅h ，解得h =AB ⋅BC ⋅sin120°AC =1003107=10217.故选：B12(2022春·江苏无锡·高一统考期末)设△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b =2，a 2sin C =6sin A ，则△ABC 面积的最大值为()A.3B.5C.6D.3【答案】B【分析】由a 2sin C =6sin A 结合正弦定理可得ac =6，再利用余弦定理可求得cos B ≥23，则可得sin B ≤53，从而可求出△ABC 面积的最大值【详解】因为a 2sin C =6sin A ，所以由正弦定理可得a 2c =6a ，得ac =6，由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，4=a 2+c 2-12cos B ，所以4+12cos B =a 2+c 2≥2ac =12，当且仅当a =c 时取等号，所以cos B ≥23，所以sin B =1-cos 2B ≤1-49=53，所以12ac sin B ≤12×6×53=5，当且仅当a =c 时取等号，所以△ABC 面积的最大值为5，故选：B13(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)△ABC 中，A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，则()A.若a <b <c ，则cos B <sin CB.∃A ,B 使得sin (A +B )=sin A +sin BC.∀B ,C 都有tan (B +C )=tan B +tan C1-tan B ⋅tan CD.若sin A +cos A =32，则A 是钝角【答案】D【分析】特殊值法判断A 、C ；B 由题设有sin A (cos B -1)=sin B (1-cos A )，进而有cos B =cos A =1即可判断；D 由已知得sin A +π4 =64<22，结合0<A <π即可判断.【详解】A ：由题设A <B <C ，若C =150°，B =20°，A =10°，此时cos B =sin π2-B >sin C ，错误；B ：若sin (A +B )=sin A +sin B ，则sin A (cos B -1)=sin B (1-cos A )，而sin A ,sin B >0，所以cos B =cos A =1，又0<A +B <π，故不存在这样的A ,B ，错误；C ：当B =C =π4时tan (B +C )=tan B +tan C1-tan B ⋅tan C不成立，错误；D ：由sin A +cos A =2sin A +π4 =32，故sin A +π4 =64<22，而0<A <π，所以5π4>A +π4>3π4，即π>A >π2，正确.故选：D14(2022春·江苏南通·高一统考期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若ac =8,sin B +2sin C cos A =0，则△ABC 面积的最大值为()A.1B.3C.2D.4【答案】C【分析】根据sin B +2sin C cos A =0利用三角恒等变换和正余弦定理得到2b 2=a 2-c 2，再根据余弦定理和基本不等式可得cos B 的范围，由此得B 的范围，从而得到sin B 的最大值，从而根据S △ABC =12ac sin B 可求△ABC 面积的最大值．【详解】∵sin B +2sin C cos A =0，∴sin A +C +2sin C cos A =0，即sin A cos C +cos A sin C +2sin C cos A =0，即sin A cos C +3cos A sin C =0，则a ⋅b 2+a 2-c 22ab +3×b 2+c 2-a 22bc×c =0，整理得2b 2=a 2-c 2，∴cos B =a 2+c 2-b22ac=a 2+c 2-a 2-c222ac=a 2+3c 24ac ≥23ac 4ac =32，当且仅当a 2=3c 2⇔c =83,a =83时取等号，∴B ∈0，π6，∴sin B ≤12，则S △ABC =12ac sin B ≤12×8×12=2．故选：C ．15(2022春·江苏扬州·高一期末)△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量p=(a +c ，b )，q =(b -a ，c -a )，若p ∥q，则角C 的大小为()A.π6B.π3C.π2D.2π3【答案】B【分析】因为p ⎳q ，所以a +c c -a -b b -a =0，再根据余弦定理化简即得解.【详解】因为p ⎳q，所以a +c c -a -b b -a =0，所以c 2-a 2-b 2+ab =0,∴a 2+b 2-c 2=ab ，所以2ab cos C =ab ,∴cos C =12,∵0<C <π，所以C =π3.故选：B .16(2022春·江苏苏州·高一校考期末)如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为()A.206海里B.406海里C.20(1+3)海里D.40海里【答案】A【分析】分别在△ACD 和△BCD 中利用正弦定理计算AD ,BD ，再在△ABD 中利用余弦定理计算AB 即可【详解】由题意可知CD =40,∠ADC =105°,∠BDC =45°,∠BCD =90°,∠ACD =30°，所以∠CAD =45°,∠ADB =60°，在△ACD 中，由正弦定理得AD sin30°=40sin45°，得AD =202，在Rt △BCD 中，因为∠BDC =45°,∠BCD =90°，所以BD=2CD=402，在△ABD中，由余弦定理得AB=AD2+BD 2-2AD⋅BD cos∠ADB=800+3200-2×202×402×12=2400=206，故选：A17(2022春·江苏苏州·高一统考期末)已知锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，且b2-c2⋅sin B=2S，若a=kc，则k的取值范围是()A.1,2B.0,3C.1,3D.0,2【答案】A【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到c=a-2c cos B，结合正弦定理得到B=2C，由△ABC为锐角三角形，求出B∈π3,π2，从而求出cos B=a-c2c=12k-12∈0,12，求出k的取值范围.【详解】因为S=12ac sin B，所以b2-c2⋅sin B=2S=ac sin B，即b2-c2=ac，所以ac+c2=a2+c2-2ac cos B，整理得：ac=a2-2ac cos B，因为a>0，所以c=a-2c cos B，由正弦定理得：sin C=sin A-2sin C cos B，因为sin A=sin B+C=sin B cos C+cos B sin C，所以sin C=sin B cos C-cos B sin C=sin B-C，因为△ABC为锐角三角形，所以B-C为锐角，所以C=B-C，即B=2C，由B∈0,π2C=B2∈0,π2A=π-B2-B∈0,π2，解得：B∈π3,π2，因为a=kc，所以cos B=a-c2c=12k-12∈0,12，解得：k∈1,2，故选：A【点睛】三角形相关的边的取值范围问题，通常转化为角，利用三角函数恒等变换及三角函数的值域等求出边的取值范围，或利用基本不等式进行求解.二、多选题18(2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末)在△ABC中，下列结论中，正确的是()A.若cos2A=cos2B，则△ABC是等腰三角形B.若sin A>sin B，则A>BC.若AB2+AC2<BC2，则△ABC为钝角三角形D.若A=60°，AC=4，且结合BC的长解三角形，有两解，则BC长的取值范围是(23,+∞)【答案】ABC【分析】根据cos2A=cos2B及角A、B的范围，可判断A的正误；根据大边对大角原则，可判断B的正误；根据条件及余弦定理，可判断C的正误；根据正弦定理，可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于选项A，因为cos2A=cos2B，且A，B∈(0，π)，所以A=B，所以△ABC是等腰三角形，所以选项A正确；对于选项B，由sin A>sin B，则a<b且A，B∈(0，π)，可得A>B，所以选项B正确；对于选项C，由AB2+AC2<BC2，以及余弦定理可得cos A<0，即△ABC为钝角三角形，所以选项C正确；对于选项D，由A=60°，AC=4，以及正弦定理可得sin B=ACBCsin A=23BC<1，解得BC>23，且由大边对大角B>A，可得AC>BC，即BC<4，所以BC长的取值范围是(23，4)，所以选项D 错误；故选：ABC.19(2022春·江苏南京·高一统考期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=45°,c =2，下列说法正确的是()A.若a=3,△ABC有两解B.若a=3,△ABC有两解C.若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(2,22)D.若△ABC为钝角三角形，则b的取值范围是(0,2)【答案】AC【分析】根据三角形的构成，可判断三角形有几个解所要满足的条件，即c sin A<a<c，△ABC有两解，a>c或a=c sin A，△ABC有一解，a<c sin A，△ABC有0解，根据直角三角形的情况，便可得出△ABC为锐角或钝角三角形时，b的取值范围.【详解】A选项，∵c sin A<a<c，∴△ABC有两解，故A正确；B选项，∵a>c，∴△ABC有一解，故B错误；C选项，∵△ABC为锐角三角形，∴c cos A<b<cc cos A，即2<b<22，故C正确；D选项，∵△ABC为钝角三角形，∴0<b<c cos A或b>cc cos A，即0<b<2或b>22，故D错误.故选：AC20(2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)在三角形△ABC中，∠A=π3，若三角形有两解，则ca的可能取值为()A.223B.1.1 C.233D.1.01【答案】BD【分析】根据正弦定理可知三角形有两解，则满足32c <a <c ，即可求解.【详解】若三角形有两解，则满足32c <a <c ，故1<c a <233，故选：BD 21(2022春·江苏南通·高一统考期末)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c =2b ，B =30°，则角A 可能为()A.135°B.105°C.45°D.15°【答案】BD【分析】由正弦定理求角．【详解】解：正弦定理得c sin C=bsin B ，又c =2b ，B =30°，sin C =22，c >b ，则C >B ，0°<C <180°，故C =45°或135°，A =105°或15°故选：BD ．22(2022春·江苏苏州·高一校联考期末)在△ABC 中，角A ,B ,C 对边分别为a ,b ,c ，设向量m=c ,a +b ,n =a ,c ，且m ⎳n，则下列选项正确的是()A.A =2BB.C =2AC.1<ca<2D.若△ABC 的面积为c 24，则C =π2【答案】BC【分析】根据向量平行得到c 2=a 2+ab ，结合余弦定理转化为cos C =-12+b 2a，进而利用正弦定理得到cos C =-12+sin B 2sin A，化简整理即可判断A 、B 选项；利用正弦定理及二倍角公式将ca 转化为2cos A ，然后求出角A 的范围，进而求出值域即可判断C 选项；利用S =12ab sin C =c 24，结合正弦定理及二倍角公式化简整理可求得角A ，进而可以求出角C ，从而可以判断D 选项.【详解】因为向量m =c ,a +b ,n =a ,c ，且m ⎳n，所以c 2=a a +b ，即c 2=a 2+ab ，结合余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab ，cos C =-ab +b 22ab，cos C =-12+b 2a ，再结合正弦定理得cos C =-12+sin B2sin A，2sin A cos C =-sin A +sin B ，又因为sin B =sin A +C =sin A cos C +cos A sin C ,所以2sin A cos C =-sin A +sin A cos C +cos A sin C ，sin A cos C -cos A sin C =-sin A ，sin A -C =-sin A ，sin A -C =sin -A ，所以A -C =-A ，故C =2A ，所以B 正确，A 错误；c a =sin C sin A =sin2A sin A =2sin A cos A sin A，因为sin A ≠0，所以c a =2cos A ，又因为0°<A<180°0°<2A<180°0°<180°-3A<180°，所以0°<A<60°，所以12<cos A<1，即1<2cos A<2，因此1<ca<2，故C正确；因为S=12ab sin C=c24，结合正弦定理12sin A sin B sin C=14sin2C，即sin A sin B=12sin C，则sin A sin180°-3A=12sin2A,sin A sin3A=12sin2A,sin A sin3A=sin A cos A，sin3A=cos A ，sin3A=sin A+90°则3A+A+90°=180°，或3A=A+90°，故A=22.5°或A=45°，故C=45°或C=90°，故D错误.故选：BC.23(2022春·江苏泰州·高一统考期末)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若b=6，c=2，3sin A3+cos A3=2cos C，则下列说法正确的有()A.A+3C=πB.sin C=64C.a=2 D.S△ABC=154【答案】AD【分析】利用三角恒等变换可得出cos C=cosπ3-A3，结合余弦函数的单调性可判断A选项；利用正弦定理、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系可判断B选项；利用正弦定理可判断C 选项；利用三角形的面积公式可判断D选项.【详解】因为2cos C=2cos A3cosπ3+sinπ3sin A3=2cosπ3-A3，即cos C=cosπ3-A3，因为0<A<π，0<C<π，则0<π3-A3<π3且余弦函数y=cos x在0,π上递减，所以，C=π3-A3，所以，A+3C=π，A对；因为A+3C=π=A+B+C，则B=2C，所以，0<2C<π，可得0<C<π2，由正弦定理bsin B=csin2C，即62sin C cos C=2sin C，所以，cos C=64，则sin C=1-cos2C=104，B错；由二倍角公式可得sin2C=2sin C cos C=154，cos2C=2cos2C-1=-14，所以，sin A=sin3C=sin C cos2C+cos C sin2C=104×-14+64×154=108，由正弦定理asin A=csin C可得a=c sin Asin C=1，C错；S△ABC=12ab sin C=12×1×6×104=154，D对.故选：AD.24(2022春·江苏扬州·高一统考期末)如图所示，△ABC中，AB=3，AC=2，BC=4，点M为线段AB 中点，P 为线段CM 的中点，延长AP 交边BC 于点N ，则下列结论正确的有( )．A.AP =14AB +12ACB.BN =3NCC.|AN |=193D.AP 与AC 夹角的余弦值为51938【答案】AC【分析】对A ，根据平面向量基本定理，结合向量共线的线性表示求解即可；对B ，根据三点共线的性质，结合AP =14AB +12AC 可得AN =13AB +23AC ，进而得到BN=2NC判断即可；对C ，根据余弦定理可得∠BAC ，再根据B 中AN =13AB +23AC两边平方化简求解即可；对D ，在△ANC 中根据余弦定理求解即可【详解】对A ，AP =12AM +12AC =14AB +12AC，故A 正确；对B ，设AP =λAN ，则由A ，λAN =14AB +12AC ，故AN =14λAB +12λAC，因为B ,N ,C 三点共线，故14λ+12λ=1，解得λ=34，故AN =13AB +23AC ，故AB +BN =13AB +23AB +23BC ，所以BN =23BN +23NC ，即BN =2NC ，故B 错误；对C ，由余弦定理，cos ∠BAC =32+22-422×3×2=-14，由B 有AN =13AB +23AC ，故AN 2=19AB2+49AC 2+49AB ⋅AC ⋅-14 ，即AN 2=1+169-23=199，所以|AN |=193，故C 正确；对D ，在△ANC 中AN =193，AC =2，NC =13BC =43，故cos ∠NAC =AN 2+AC 2-NC 22AN ⋅AC=199+4-1692⋅193⋅2=131976，故D 错误；故选：AC25(2022春·江苏徐州·高一统考期末)已知△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下结论中正确的是()A.若A >B ，则sin A >sin BB.若a =2，b =5，B =π3，则该三角形有两解C.若a cos A =b cos B ，则△ABC 一定为等腰三角形D.若sin 2C >sin 2A +sin 2B ，则△ABC 一定为钝角三角形【答案】AD【分析】对A ，根据正弦定理判断即可；对B，根据正弦定理求解sin A判断即可；对C，根据正弦定理结合正弦函数的取值判断即可；对D，根据正弦定理边角互化，再根据余弦定理判断即可【详解】对A，由三角形的性质，当A>B时，a>b，又由正弦定理asin A=bsin B>0，故sin A>sin B，故A正确；对B，由正弦定理asin A=bsin B，故2sin A=532，故sin A=155，因为a<b，故A<π3，故该三角形只有1解，故B错误；对C，由正弦定理，sin A cos A=sin B cos B，故sin2A=sin2B，所以A=B或2A+2B=π，即A+B =π2，所以△ABC为等腰或者直角三角形，故C错误；对D，由正弦定理，c2>a2+b2，又余弦定理cos C=a2+b2-c22ab<0，故C∈π2,π，故△ABC一定为钝角三角形，故D正确；故选：AD26(2022春·江苏无锡·高一统考期末)△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是()A.若sin A>sin B，则A>BB.若a2+b2-c2>0，则△ABC是锐角三角形C.若a cos B+b cos A=a，则△ABC是等腰三角形D.若asin A =bcos B=ccos C，则△ABC是等边三角形【答案】AC【分析】A由正弦定理及大边对大角判断；B由余弦定理知C为锐角；C正弦边角关系及三角形内角和性质得A=C；D由正弦定理及三角形内角性质得B=C=45°.【详解】A：由sin A>sin B及正弦定理知：a>b，根据大边对大角有A>B，正确；B：由余弦定理cos C=a2+b2-c22ab>0，只能说明C为锐角，但不能确定△ABC是锐角三角形，错误；C：sin A cos B+sin B cos A=sin(A+B)=sin C=sin A，则a=c，故△ABC是等腰三角形，正确；D：由asin A =bcos B=ccos C=bsin B=csin C，则sin B=cos B,sin C=cos C，且0<A,B,C<π，故B=C=45°，即△ABC是等腰直角三角形，错误.故选：AC27(2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是()A.c=a cos B+b cos AB.若a cos A=b cos B，则△ABC为等腰或直角三角形C.若a2tan B=b2tan A，则a=bD.若a3+b3=c3，则△ABC为锐角三角形【答案】ABD【分析】由余弦定理判断A，利用正弦定理和正弦函数性质判断B，由正弦定理，切化弦及正弦函数性质判断C ，由余弦定理判断D ．【详解】解：由余弦定理a cos B +b cos A =a ×a 2+c 2-b 22ac +b ×b 2+c 2-a 22bc=c ，A 正确；a cos A =b cos B ，由正弦定理得sin A cos A =sin B cos B ，sin2A =sin2B ，A ,B 是三角形内角，所以2A =2B 或2A +2B =π，即A =B 或A +B =π2，三角形为等腰三角形或直角三角形，B 正确；由a 2tan B =b 2tan A 得sin 2A ×sin B cos B =sin 2B ×sin Acos A，sin2A =sin2B ，同上得a =b 或a 2+b 2=c 2，C 错；若a 3+b 3=c 3，所以a c 3+b c 3=1，因此0<a c <1,0<bc<1，所以a c 2+b c 2>a c 3+b c 3=1，即a 2+b 2>c 2，cos C =a 2+b 2-c 22ab >0，C ∈(0,π)，所以C 为锐角，显然c 边最大，C 角最大，所以△ABC 为锐角三角形，D 正确．故选：ABD ．28(2022春·江苏苏州·高一校考期末)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，下列说法正确的是()A.若a cos A =b cos B ，则△ABC 是等腰三角形B.若AB =22,B =45°,AC =3，则满足条件的三角形有且只有一个C.若△ABC 不是直角三角形，则tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan CD.若AB ⋅BC<0，则△ABC 为钝角三角形【答案】BC【分析】对于A 利用正弦边角关系及三角形内角性质可得A =B 或A +B =π2判断；对于B 应用余弦定理求BC 即可判断；对于C 由三角形内角性质及和角正切公式判断．对于D 由向量数量积定义判断；【详解】对于A ：由正弦定理得sin A cos A =sin B cos B ，则sin2A =sin2B ，则△ABC 中A =B 或A +B =π2，故A 错误；对于B ：由cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC =BC 2-142BC=22，则BC 2-4BC -1=0，可得BC =2±5，故BC =2+5，满足条件的三角形有一个，故B 正确；对于C ：由△ABC 不是直角三角形且A =π-(B +C )，则tan A =-tan (B +C )=-tan B +tan C1-tan B tan C，所以tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ，故C 正确；对于D :AB ⋅BC =|AB ||BC |cos (π-B )=-|AB ||BC |cos B <0，即|AB ||BC|cos B >0，∠B 为锐角，故△ABC 不一定为钝角三角形，故D 错误；故选：BC三、填空题29(2022春·江苏连云港·高一统考期末)曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄OA 在水平位置OB 时，连杆端点P 在Q 的位置，当OA 自OB 按顺时针方向旋转角α时，P 和Q 之间的距离是xcm ，若OA =3cm ，AP =7cm ，α=120°，则x 的值是．【答案】5【分析】根据余弦定理解决实际问题，直接计算即可.【详解】如下图，在△APO中，由余弦定理可知49=OP2+9-2×3⋅OP⋅cos∠AOP⇒OP=5cm，另外，由图可知，在点A与点B重合时，OQ=AP+OA=10cm,∴PQ=OQ-OP=10-5=5cm,故答案为：530(2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末)已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行(如图)．若A船的航行速度为40nmile/h，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距nmile．【答案】202【分析】利用正弦定理求AB的长度即可.【详解】由题设，CA=40nmile且∠ABC=135°，正弦定理有ABsin∠BCA=CAsin∠ABC°，则ABsin30°=40sin135°，可得AB=202nmile.故答案为：20231(2022春·江苏无锡·高一统考期末)△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知C=60°，a =1，c=7，则b=.【答案】3【分析】利用余弦定理求解即可【详解】因为在△ABC中，C=60°，a=1，c=7，所以由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos C，所以7=1+b2-2b cos60°，b2-b-6=0，(b+2)(b-3)=0，得b=-2(舍去)，或b=3，故答案为：332(2022春·江苏扬州·高一期末)《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪．以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形．中有都柱，傍行八道，施关发机．外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之．其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际．如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之．振声激扬，伺者因此觉知．虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在．验之以事，合契若神．”如图为张衡地动仪的结构图，现在相距120km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北75°方向，若A地地动仪正东方向的铜丸落下，B地地动仪东南方向的铜丸落下，则地震的位置距离B地km【答案】603+60【分析】由题意作图后由正弦定理求解【详解】作图如下，由题意得A=75°，B=60°，C=45°，AB=120，故BCsin A=ABsin C，BC=120sin45°⋅sin75°，而sin75°=sin(45°+30°)=6+24，得BC=603+60故答案为：603+6033(2022春·江苏泰州·高一统考期末)如图所示，该图由三个全等的△BAD 、△ACF 、△CBE 构成，其中△DEF 和△ABC 都为等边三角形.若DF =2，∠DAB =π12，则AB =.【答案】6+2##2+6【分析】设AF =BD =x ，在△ABD 中，利用正弦定理求出x 的值，再利用正弦定理可求得AB 的长.【详解】由已知△ABD ≌△CAF ，所以，AF =BD ，设AF =x ，在△ABD 中，∠ADB =2π3，∠BAD =π12，则∠ABD =π4，sin ∠BAD =sin π12=sin π3-π4 =sin π3cos π4-cos π3sin π4=6-24，由正弦定理BD sin π12=AD sin π4，即x 6-24=x +222，解得BD =AF =x =233，由正弦定理BD sin π12=ABsin 2π3得AB =BD sin 2π3sin π12=233×326-24=6+ 2.故答案为：6+ 2.34(2022春·江苏常州·高一统考期末)在△ABC 中，AB =22，BC =3，B =45°，点D 在边BC 上，且cos ∠ADC =1717，则tan ∠DAC 的值为.【答案】67【分析】首先由余弦定理求出b ，再求出sin ∠ADC ，由正弦定理求出AD ，再由余弦定理求出BD ，最后在△ADC 中由正弦定理求出sin ∠DAC ，最后由同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】解：因为AB =22，BC =3，B =45°，由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即b 2=9+8-2×3×22×22=5，所以b =5，因为cos ∠ADC =1717，所以sin ∠ADC =1-cos 2∠ADC =41717，所以sin ∠ADB =sin π-∠ADC =sin ∠ADC =41717由正弦定理AB sin ∠ADB=AD sin B ，所以AD =172，再由余弦定理AD 2=BD 2+AB 2-2AB ⋅BD cos B ，即4BD 2-16BD +15=0，解得BD =32或BD =52，又BC =3，∠ADC ∈0,π2 ，所以BD =32，则DC =32，在△ADC 中由正弦定理AC sin ∠ADC =DCsin ∠DAC ，即541717=32sin ∠DAC，所以sin ∠DAC =68585，又AD >DC ，所以cos ∠DAC =1-sin 2∠DAC =78585，所以tan ∠DAC =sin ∠DAC cos ∠DAC=67；故答案为：6735(2022春·江苏南通·高一统考期末)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a =6，b =2，要使△ABC 为钝角三角形，则c 的大小可取(取整数值，答案不唯一)．【答案】5(填7也对，答案不唯一)【分析】利用三角形两边和与差点关系，求出4<c <8，再分别讨论a 和c 为钝角时，边c 的取值范围，根据题意即可得到答案.【详解】首先由a ，b ，c 构成三角形有4=a -b <c <a +b =8，若c 为钝角所对边，有c 2>a 2+b 2=40，c >40，若a 为钝角所对边，有36=a 2>b 2+c 2=4+c 2，c <32，由b <a ，b 不可能为钝角所对边，综上，c 的取值范围是4，32 ∪40,8 , 由题意，c 取整数值，故c 的大小可取5或7.故答案为：5(填7也对，答案不唯一).36(2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末)拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在△ABC 中，以AB ，BC ，CA 为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D ，E ，F ，若∠BAC =30°,DF =4，利用拿破仑定理可求得AB +AC 的最大值为．【答案】46【分析】结合拿破仑定理求得AD ,AF ，利用勾股定理列方程，结合基本不等式求得AB +AC 的最大值.【详解】设BC =a ，AC =b ，AB =c ，如图，连接AF ，BD ，AD ．由拿破仑定理知，△DEF 为等边三角形．因为D 为等边三角形的中心，所以在△DAB 中，AD =12⋅AB sin60°=c 3，同理AF =b3．又∠BAC=30°,∠CAF=30°,∠BAD=30°，所以∠DAF=∠BAD+∠BAC+∠CAF=90°．在△ADF中，由勾股定理可得DF2=AD2+AF2，即16=c23+b23，化简得b+c2=2bc+48，由基本不等式得b+c2≤2⋅b+c22+48，解得b+c≤46(当且仅当b=c=26时取等号)，所以AB+ACmin=46．故答案为：46。

【小初高学习】九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(二)解直角三角形应用中的六种基本模型

专题训练(二) 解直角三角形应用中的六种基本模型►模型一“独立”型1．如图2－ZT－1，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好遇见渔船，那么救援船航行的速度为( )图2－ZT－1A．10 3海里/时B．30海里/时C．20 3海里/时D．30 3海里/时2．2017·台州如图2－ZT－2是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)图2－ZT－2►模型二“背靠背”型3．如图2－ZT－3，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( )图2－ZT－3A．160 3 m B．120 3 mC．300 m D．160 2 m4．如图2－ZT－4，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部有一点A，某人在岸边的点B处测得点A在点B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4千米到达点C处，再次测得点A在点C的北偏西45°的方向上(其中点A，B，C在同一平面上)．求这个标志性建筑物底部上的点A到岸边BC的最短距离．图2－ZT－4►模型三“母抱子”型5．如图2－ZT－5，某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在点C 处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达点D处，测得建筑物顶端A的仰角为64°，求建筑物的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin48°≈710，tan48°≈1110，sin64°≈910，tan64°≈2)图2－ZT－56．2017·内江如图2－ZT－6，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A 处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)图2－ZT－6►模型四“拥抱”型7．如图2－ZT－7，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1 m(即BD＝1 m)到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长．(参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248)图2－ZT－7►模型五梯形类8．如图2－ZT－8，梯形ABCD是拦水坝的横断面示意图，图中i＝1∶3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果精确到0.1.参考数据：3≈►模型六“斜截”型9．“蘑菇石”是贵州省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚点B处先乘坐缆车到达与BC平行的观景平台DE处观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由点E步行到达“蘑菇石”点A处，“蘑菇石”点A到水平面BC的垂直距离为1790 m．如图2－ZT－9，DE∥BC，BD＝1700 m，∠DBC＝80°，求斜坡AE的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin80°≈0.9848，sin29°≈0.4848)详解详析1．[解析] D 由“B 在海岛A 的南偏东20°方向”和“海岛C 在海岛A 的南偏西10°方向”得∠BAC ＝30°，同理得∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝90°.∵AB ＝20海里，∴BC ＝10海里，AC ＝10 3海里，再由“救援船由海岛A 开往海岛C 用时20分钟”可求得救援船航行的速度为30 3海里/时．故选D.2．解：车门不会碰到墙．理由如下：如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C .在Rt △ACO 中，∵∠AOC ＝40°，AO ∴AC ＝AO ·sin∠AOC ≈1.2×0.64＝0.768(米)．∵汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，0.8>0.768， ∴车门不会碰到墙．3．[解析] A 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则∠BAD ＝30°，∠CAD ＝60°，AD ＝120 m. 在Rt △ABD 中，BD ＝AD ·tan30°＝120×33＝40 3(m)．在Rt △ACD 中，CD ＝AD ·tan60°＝120×3＝120 3(m)， ∴BC ＝BD ＋CD ＝40 3＋120 3＝160 3(m)．4．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长度就是点A 到岸边BC 的最短距离．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝45°，设AD ＝x 千米，则CD ＝AD ＝x 千米．在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°，因为tan ∠ABD ＝AD BD ，即tan60°＝x BD，所以BD ＝x tan60°＝33x 千米．又因为BC ＝4千米，所以BD ＋CD ＝4千米，即33x ＋x ＝4，解得x ＝6－2 3，所以这个标志性建筑物底部上的点A 到岸边BC 的最短距离为(6－2 3)千米． 5．解：根据题意，得∠ADB ＝64°，∠ACB ＝48°. 在Rt △ADB 中，tan64°＝AB BD ，则BD ＝AB tan64°≈12AB ，在Rt △ACB 中，tan48°＝AB CB，则CB ＝ABtan48°≈1011AB ，∴CD ＝CB －BD ，即6＝1011AB －12AB ，解得AB ＝1329≈14.7(米)，∴建筑物的高度约为14.7米．6．[解析] 先求出∠DBE ＝30°，∠BDE ＝30°，得出BE ＝DE ，设EC ＝x ，则BE ＝2x ，DE ＝2x ，DC ＝3x ，BC ＝3x ，再根据∠DAC ＝45°，可得AC ＝DC ，列出方程求出x 的值，即可求出塔DE 的高度．解：由题意知，∠DBC ＝60°，∠EBC ＝30°， ∴∠DBE ＝∠DBC －∠EBC ＝60°－30°＝30°. 又∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝90°－∠DBC ＝90°－60°＝30°， ∴∠DBE ＝∠BDE ，∴BE ＝DE .设EC ＝x m ，则DE ＝BE ＝2EC ＝2x m ，DC ＝EC ＋DE ＝3x m ， BC ＝BE 2－EC 2＝3x m.由题意可知，∠DAC ＝45°，∠DCA ＝90°，AB ＝60 m ， ∴△ACD 为等腰直角三角形，∴AC ＝DC ， ∴3x ＋60＝3x . 解得x ＝30＋10 3.答：塔ED 的高度为(30＋10 3)m. 7．解：设梯子的长为x m.在Rt △ABO 中，cos ∠ABO ＝OBAB，∴OB ＝AB ·cos∠ABO ＝x ·cos60°＝12x m.在Rt △CDO 中，cos ∠CDO ＝OD CD， ∴OD ＝CD ·cos∠CDO ＝x ·cos51°18′≈0.625x m. ∵BD ＝OD －OB ，∴0.625x －12x ＝1，解得x ＝8.答：梯子的长约为8 m.8．解：过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F . 在Rt △ABF 中，∠B ＝60°，AB ＝6， ∴AF ＝AB sin B ＝6sin60°＝3 3， BF ＝AB cos B ＝6cos60°＝3. ∵AD ∥BC ，AF ⊥BC ，DE ⊥BC ， ∴四边形AFED 是矩形，∴DE ＝AF ＝3 3，FE ＝AD ＝4.在Rt △CDE 中，i ＝DE CE ＝13，∴CE ＝3DE ＝3×3 3＝9，∴BC ＝BF ＋FE ＋CE ＝3＋4＋9＝16， ∴S 梯形ABCD ＝12(AD ＋BC )·DE＝12×(4＋16)×3 3 ≈52.0.答：拦水坝的横断面ABCD 的面积约为52.0.9．解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，延长DE 交AC 于点M ，由题意，得EM ⊥AC ， ∴四边形DMCF 为矩形， ∴DF ＝MC .在Rt △DFB 中，sin80°＝DF BD ，则DF ＝BD ·sin80°＝1700×sin80°(m)， ∴AM ＝AC －MC ＝AC －DF ＝(1790－1700×sin80°)m. 在Rt △AME 中，sin29°＝AM AE，则AE ＝AMsin29°＝1790－1700×sin80°sin29°≈238.9(m)．答：斜坡AE 的长度约为238.9 m.。

人教版八年级数学上名校课堂练习小专题(一)(含答案)

小专题(一) 与三角形的角平分线有关的角度计算(本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做)模型1 两个内角平分线的夹角方法归纳：三角形的两个内角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于90°加上第三角度数的一半．如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的角平分线相交于点O ，则∠BOC ＝90°＋12∠A.1．如图，点O 是△ABC 的∠ABC 与∠ACB 两个角的平分线的交点，若∠BOC ＝118°，则∠A 的角度是________°.2．如图所示，在△ABC 中，BO 、CO 是角平分线．(1)∠ABC ＝50°，∠ACB ＝60°，求∠BOC 的度数，并说明理由；(2)题(1)中，如将“∠ABC ＝50°，∠ACB ＝60°”改为“∠A ＝70°”，求∠BOC 的度数；(3)若∠A ＝n °，求∠BOC 的度数．模型2 一个内角平分线与一个外角平分线的夹角方法归纳：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于第三角度数的一半．如图，在△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 、∠ACE ，则∠BDC ＝12∠A.3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，∠A ＝50°，则∠D ＝________．4．如图，在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x ，y 轴上的两个动点，∠BAO 的平分线与∠ABO 的外角平分线相交于点C ，在A ，B 的运动过程中，∠C 的度数是一个定值，这个定值为________．5．(达州中考改编)如图，在△ABC 中，∠A ＝m °，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2 014BC 和∠A 2 014CD 的平分线交于点A 2 015，求∠A 2 015的度数．模型3 两个外角平分线的夹角方法归纳：三角形的两个外角平分线交于一点，所形成的夹角度数等于90°减去第三角度数的一半．如图，在△ABC 中，BD 、CD 分别是△ABC 外角∠EBC 、∠FCB 的平分线，则∠BDC ＝90°－12∠A.6．如图，在△ABC 中，P 点是∠BCE 和∠CBF 的角平分线的交点，若∠A ＝60°，则∠P ＝________．7．一个三角形的三条外角平分线围成的三角形一定是________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)模型4 角平分线与高线的夹角方法归纳：三角形同一顶点的高线与角平分线的夹角度数等于另外两角度数之差的一半．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ，则∠EAD ＝12(∠B －∠C)．(其中∠B ＞∠C)8．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠EAD＝10°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线，则∠C的度数为________．9．如图，△ABC中，AE平分∠BAC，∠B＝40°，∠C＝70°，F为射线AE上一点(不与E点重合)，且FD⊥BC.(1)若点F与点A重合，如图1，求∠EFD的度数；(2)若点F在线段AE上(不与点A重合)，如图2，求∠EFD的度数；(3)若点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD的度数会变化吗？是多少？10．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝20°，∠C＝60°.(1)求∠CAD 、∠AEC 和∠EAD 的度数；(2)若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当∠B ＝30°，∠C ＝60°时，则∠EAD ＝________；当∠B ＝50°，∠C ＝60°时，则∠EAD ＝________；当∠B ＝60°，∠C ＝60°时，则∠EAD ＝________；当∠B ＝70°，∠C ＝60°时，则∠EAD ＝________.(3)若∠B 和∠C 的度数改为用字母α和β来表示，你能找到∠EAD 与α和β之间的关系吗？请直接写出你发现的结论．参考答案1．56 2.（1）∵BO 、CO 是角平分线，∴∠ABC ＝2∠OBC ，∠ACB ＝2∠OCB ， ∵∠ABC ＋∠ACB ＋∠A ＝180°，∴2∠OBC ＋2∠OCB ＋∠A ＝180°. ∵∠OBC ＋∠OCB ＋∠BOC ＝180°，∴2∠OBC ＋2∠OCB ＋2∠BOC ＝360° .∴2∠BOC －∠A ＝180°.∴∠BOC ＝90°＋12∠A.∵∠ABC ＝50°，∠ACB ＝60°，∴∠A ＝180°－50°－60°＝70°.∴∠BOC ＝90°＋12×70°＝125°.(2)∠BOC ＝90°＋12∠A ＝125°.(3)∠BOC ＝90°＋12n °.3.25°4.45°5.∵A 1B 平分∠ABC ，A 1C 平分∠ACD ，∴∠A 1＝12∠A.同理，得∠A 2＝12∠A 1＝122∠A ，…∴∠A 2 015＝122 015∠A ＝m22 015°.6.60°7.锐角8.65°9.(1)∵∠B ＝40°，∠C ＝70°，FD ⊥BC ，∴∠BAC ＝70°，∠CAD ＝20°.∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE ＝12∠BAC ＝35°.∴∠EFD ＝∠CAE －∠CAD ＝35°－20°＝15°.(2)∵∠CAE ＝35°，∠C ＝70°，∴∠AEC ＝180°－70°－35°＝75° .∴∠EFD ＝180°－90°－75°＝15°.(3)∵∠DEF ＝∠AEC ＝75°，∴∠EFD ＝180°－75°－90°＝15°. 10.(1)∵∠B ＝20°，∠C ＝60°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝100°. ∵AE 是角平分线，∴∠EAC ＝50°.∵AD 是高，∴∠ADC ＝90°.∴∠CAD ＝30°.∴∠EAD ＝∠EAC －∠DAC ＝50°－30°＝20°.∴∠AEC ＝180°－∠EAC －∠C ＝70°. (2)15° 5° 0° 5°(3)当α＜β时，∠EAD ＝12(β－α)，当a ＞β时，∠EAD ＝12(α－β)．。

三角形内角和习题(答案)

三角形内角和综合习题精选一．解答题（共12小题）1．如图（1）,△ABC中，AD是角平分线,AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°,求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？2．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1)∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数;（2）在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为60，BD=5,则点E到BC边的距离为多少？3．如图,DB是△ABC的高，AE是角平分线，∠BAE=26°，求∠BFE的度数．4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1)若∠B=35°,∠ACB=85°,求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．5．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上,恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°,则∠ABC+∠ACB=_________，∠XBC+∠XCB=_________．（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C,那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化?若变化，请举例说明；若不变化,请求出∠ABX+∠ACX的大小．6．如图1，△ABC中，∠A=50°，点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点．（1）求∠P的度数;（2）猜想∠P与∠A有怎样的大小关系？（3)若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点,∠P与∠A又有怎样的大小关系?（4)若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，∠P与∠A又有怎样的大小关系？【（2）、(3）、（4）小题只需写出结论,不需要证明】7．如图，已知△ABC中,∠B=∠E=40°，∠BAE=60°，且AD平分∠BAE．（1)求证：BD=DE;(2）若AB=CD，求∠ACD的大小．8．如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动．（1）若|x+2y﹣5｜+|2x﹣y|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标；（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，问：点A、B在运动的过程中,∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化,请求出其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由．9．如图所示，点E在AB上，CE,DE分别平分∠BCD，∠ADC,∠1+∠2=90°，∠B=75°,求∠A的度数．10．如图,∠AOB=90°,点C、D分别在射线OA、OB上,CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．（1）当∠OCD=50°（图1),试求∠F．(2)当C、D在射线OA、OB上任意移动时(不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由;若不变化，求出∠F．11．如图，△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O．（∠ABC＞∠C），（1）试说明∠BOA=90°+∠C;（2）当AD是高，判断∠DAE与∠C、∠ABC的关系，并说明理由．12．已知△ABC中，∠BAC=100°．(1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示,试求∠BOC的大小;（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC 的大小；（3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2…，如图3所示,试探求∠BOC的大小与n的关系,并判断当∠BOC=170°时，是几等分线的交线所成的角．答案与评分标准一．解答题（共12小题）1．如图（1），△ABC中,AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1)．若∠C=80°,∠B=50°，求∠DAE的度数．(2)．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图(2)若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E,(2）中的结论还正确吗？为什么？考点：三角形的角平分线、中线和高;角平分线的定义；垂线；三角形内角和定理。

浙教版初中数学第1章三角形的初步知识小专题：构造全等三角形的方法技巧(含答案)

小专题(一) 构造全等三角形的方法技巧类型1 连结线段构造全等三角形【例1】如图，已知AB ＝AD ，BC ＝CD ，求证：∠B ＝∠D .证明：连结AC ，在△ABC 和△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (SSS )． ∴∠B ＝∠D .【方法归纳】通过连结两点，构造出三角形，再证明两个三角形全等，然后利用全等三角形的性质说明角相等或边相等．1．如图，已知AB ∥CD ，AD ∥BC ，求证：∠A ＝∠C .证明：连结BD ， ∵AB ∥CD ， ∴∠ABD ＝∠CDB . ∵AD ∥BC ， ∴∠ADB ＝∠CBD . 又∵BD ＝DB ，∴△ABD ≌△CDB (ASA )．∴∠A ＝∠C .2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点M 为BC 中点，MD ⊥AB 于点D ，ME ⊥AC 于点E .求证：MD ＝ME .证明：连结AM .在△ABM 和△ACM 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，AM ＝AM ，BM ＝CM ，∴△ABM ≌△ACM (SSS )． ∴∠BAM ＝∠CAM .∵MD ⊥AB ，ME ⊥AC ，∴MD ＝ME .类型2 利用“截长补短”构造全等三角形【例2】如图，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE ＝∠CDE ，∠DCE ＝∠ECB .求证：CD ＝AD ＋BC .证明：在CD 上截取DF ＝DA ，连结FE .在△ADE 和△FDE 中，⎩⎨⎧AD ＝FD ，∠ADE ＝∠FDE ，DE ＝DE ，∴△ADE ≌△FDE . ∴∠A ＝∠DFE .又∵AD ∥BC ，∴∠A ＋∠B ＝180°. ∵∠DFE ＋∠EFC ＝180°. ∴∠B ＝∠EFC .在△EFC 和△EBC 中，⎩⎨⎧∠EFC ＝∠B ，∠ECF ＝∠ECB ，EC ＝EC ，∴△EFC ≌△EBC . ∴FC ＝BC .∴CD ＝DF ＋FC ＝AD ＋BC .【方法归纳】遇到证明线段的和差倍分问题时，通常利用截长法或补短法，具体的作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或者延长某条线段，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质解决．3．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明．解：BC＝BE＋CD.证明：在BC上截取BF＝BE，连结OF.∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠FBO.又∵BO＝BO，∴△EBO≌△FBO.∴∠EOB＝∠FOB.∵∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－12∠ABC－12∠ACB＝180°－12(180°－∠A)＝120°.∴∠EOB＝∠DOC＝60°.∴∠BOF＝60°，∠FOC＝∠DOC＝60°.∵CE平分∠DCB，∴∠DCO＝∠FCO.又∵CO＝CO，∴△DCO≌△FCO.∴CD＝CF.∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD.4．(德州中考)问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.点E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG.先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF＝BE＋DF；(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．解：EF ＝BE ＋DF 仍然成立．证明：延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连结AG ，∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∠ADC ＋∠ADG ＝180°， ∴∠B ＝∠ADG .在△ABE 和△ADG 中，⎩⎨⎧BE ＝DG ，∠B ＝∠ADG ，AB ＝AD ，∴△ABE ≌△ADG (SAS )． ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG . ∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG ＋∠DAF ＝∠BAE ＋∠DAF ＝∠BAD －∠EAF ＝∠EAF . ∴∠EAF ＝∠GAF .在△AEF 和△AGF 中，⎩⎨⎧AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF ，AF ＝AF ，∴△AEF ≌△AGF (SAS )．∴EF ＝FG .∵FG ＝DG ＋DF ＝BE ＋DF ，∴EF ＝BE ＋DF .类型3 利用“中线倍长”构造全等三角形【例3】如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，AC >AB ，求证：AB ＋AC >2AD >AC －AB .证明：延长AD 至E ，使AD ＝DE ，并连结CE ， ∵D 是BC 上的中点，∴CD ＝BD .又∵AD ＝DE ，∠ADB ＝∠CDE ， ∴△ADB ≌△EDC (SAS )． ∴AB ＝CE .∵AC ＋CE >2AD >AC －CE ， ∴AB ＋AC >2AD >AC －AB .【方法归纳】当题目中出现中线时，常常延长中线，使所延长部分与中线的长度相等，然后连结相应的端点，便可以得到全等三角形．5．已知：如图，AD ，AE 分别是△ABC 和△ABD 的中线，且BA ＝BD .求证：AE ＝12AC .证明：延长AE 至F ，使EF ＝AE ，连结DF . ∵AE 是△ABD 的中线， ∴BE ＝DE .又∵∠AEB ＝∠FED ，∴△ABE ≌△FDE .∴∠B ＝∠BDF ，AB ＝DF . ∵BA ＝BD ，∴∠BAD ＝∠BDA ，BD ＝DF .∵∠ADF ＝∠BDA ＋∠BDF ，∠ADC ＝∠BAD ＋∠B ， ∴∠ADF ＝∠ADC .∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD ＝CD . ∴DF ＝CD . 又∵AD ＝AD ，∴△ADF ≌△ADC (SAS )． ∴AC ＝AF ＝2AE ，即AE ＝12AC .6．如图，AB ＝AE ，AB ⊥AE ，AD ＝AC ，AD ⊥AC ，点M 为BC 的中点，求证：DE ＝2AM .证明：延长AM 至点N ，使MN ＝AM ，连结BN ， ∵M 为BC 中点，∴BM ＝CM .又∵AM ＝MN ，∠AMC ＝∠NMB ， ∴△AMC ≌△NMB (SAS )． ∴AC ＝BN ，∠C ＝∠NBM .∴∠ABN ＝∠ABC ＋∠NBM ＝∠ABC ＋∠C ＝180°－∠BAC ＝∠EAD . ∵AD ＝AC ，AC ＝BN ，∴AD ＝BN .又∵AB ＝AE ，∴△ABN ≌△EAD (SAS )．∴DE＝NA.又∵AM＝MN，∴DE＝2AM.。

第1部分板块2 核心考点突破拿高分专题1 第2讲三角恒等变换与解三角形(小题)

第2讲三角恒等变换与解三角形(小题)热点一三角恒等变换 1.三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”. 2.三角恒等变换“四大策略”(1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等.(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等. (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次. (4)弦、切互化.例1 (1)(2019·榆林模拟)若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525 B.255C.2525或255D.55或525(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4D.π6(3)3sin 220°－1cos 220°＋64sin 220°＝________. 跟踪演练1 (1)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2 018π3等于( ) A.23 B.13 C.－23D.－13(2)(2019·吕梁模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝cos 2β1－sin 2β，则( ) A.α＋β＝π2B.α－β＝π4C.α＋β＝π4D.α＋2β＝π2热点二利用正弦、余弦定理解三角形 1.正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径). 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等.2.余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc. 3.三角形的面积公式：S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .例2 (1)(2019·东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中联考)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，AB →·BC →＝－2，且满足sin A ＋sin C ＝2sin B ，则该三角形的外接圆的半径R 为( ) A.433 B.233C. 3D.2(2)(2019·葫芦岛调研)△ABC 的周长为10＋27，且满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，则△ABC 的面积为( ) A.6 3 B.47 C.87 D.12跟踪演练2 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为S ，且a ＝1,4S ＝b 2＋c 2－1，则△ABC 外接圆的面积为( ) A.4π B.2π C.π D.π2(2)(2019·广州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝3B ，则ab 的取值范围是( )A.(0,3)B.(1,3)C.(0,1]D.(1,2] 热点三正弦、余弦定理的实际应用1.用正弦定理和余弦定理可解决距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题或物理问题等.2.解决三角形应用题的基本思路实际问题――→画图数学问题―――→解三角形数学问题的解――→检验实际问题的解. 3.用正、余弦定理解决问题的一般步骤：(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，选择便于计算的定理.例3(1)某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°的方向上，距A 12 6 海里处，灯塔C在A的北偏西30°的方向上，距A 8 3 海里处，游轮由A处向正北方向航行到D处时再看灯塔B在南偏东60°的方向上，则此时灯塔C与游轮的距离为()A.20 海里B.8 3 海里C.23 2 海里D.24 海里(2)如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD的高度，D为楼顶，线段AB的长度为600 m，在A处测得∠DAB＝30°，在B处测得∠DBA＝105°，且此时看楼顶D的仰角∠DBC＝30°，已知楼底C和A，B在同一水平面上，则此楼高度CD＝________m.(精确到1 m)跟踪演练3(1)如图所示，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15 000 m，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过108 s后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为________m.(取3＝1.732)(2)如图所示，为测量竖直旗杆CD的高度，在旗杆底部C所在水平地面上选取相距421m 的两点A，B，在A处测得旗杆底部C在西偏北20°的方向上，旗杆顶部D的仰角为60°；在B处测得旗杆底部C在东偏北10°的方向上，旗杆顶部D的仰角为45°，则旗杆CD的高度为________m.真题体验1.(2017·山东，理，9)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin A cos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是()A.a＝2bB.b＝2aC.A＝2BD.B＝2A2.(2019·全国Ⅱ，理，10)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于( ) A.15 B.55 C.33 D.2553.(2019·全国Ⅱ，理，15)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________. 押题预测1.已知sin 2α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为________. 2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C c cos B ＝1＋cos 2C1＋cos 2B ，C 是锐角，且a＝27，cos A ＝13，则△ABC 的面积为________.3.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝30°，C ＝45°，c ＝3，点P 是平面ABC 内的一个动点，若∠BPC ＝60°，则△PBC 面积的最大值是________.A 组专题通关1.(2019·沈阳市东北育才学校模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝15，则cos 2α等于( ) A.725 B.－725C.2325D.－23252.tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值为( ) A. 3 B.33C.－33D.－ 33.(2019·吕梁模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos B ＝ac ，则该三角形一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形4.(2019·黄冈调研)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，且C ＝π4，c ＝2，a ＝x ，若满足条件的三角形有两个，则x 的取值范围是( )A.2<x <1B.2<x <2C.1<x <2D.1<x < 25.(2019·甘肃省静宁县第一中学模拟)某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( ) A.5 km B.5 2 km C.5 3 kmD.10 km6.(2019·韶关调研)已知2cos ()α－βcos β－cos ()α－2β＝24，则1－tan 2α1＋tan 2α等于( )A.－34B.－43C.34D.437.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ，c ＝7，且△ABC 的面积为332，则△ABC 的周长为( )A.1＋7B.2＋7C.4＋7D.5＋78.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a cos B －b cos A ＝c2，则a cos A ＋b cos B a cos B 的最小值为( ) A. 3 B.433C.33D.2339.已知2sin θ＝1－cos θ，则tan θ等于( ) A.－43或0B.43或0C.－43D.4310.(2019·安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是( ) ①若a 2＋b 2<c 2，则C >π2；②若ab >c 2，则C >π3；③若a 3＋b 3＝c 3，则C <π2；④若2ab >(a ＋b )c ，则C >π2；⑤若()a 2＋b 2c 2<2a 2b 2，则C <π3.A.①②③B.①②⑤C.①③④D.①③⑤11.在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若A ＝120°，a ＝1，则2b ＋3c 的最大值为( ) A.3 B.2213C.3 2D.35212.(2019·黄冈调研)已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝R 2与函数y ＝2sin x 的图象有唯一交点，且交点的横坐标为α，则4cos 2α2－α－2sin 2α等于( )A.－2B.2C.－3D.313.(2019·洛阳统考)已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2，则2sin α3sin α＋cos α＝________. 14.(2019·韶关调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且b ＋a sin C ＝2a sin B －csin B －sin A ，则A ＝________.15.(2019·茂名模拟)《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题，今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象(如图所示)，不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后(没有完全断开)，树干与底面成75°角，折断部分与地面成45°角，树干底部与树尖着地处相距10米，则大树原来的高度是________米(结果保留根号).16.如图，在△ABC 中，BC ＝2，∠ABC ＝π3，AC 的垂直平分线DE 与AB ，AC 分别交于点D ，E ，且DE ＝62，则BE 2＝________.B 组能力提高17.(2019·广东省中山一中等七校联考)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点B, C 分别在x轴和y 轴非负半轴上，点A 在第一象限，且∠BAC ＝π2， AB ＝AC ＝4，那么O, A 两点间距离的( )A.最大值是42，最小值是4B.最大值是8，最小值是4C.最大值是42，最小值是2D.最大值是8，最小值是218.已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝135°，则AP 的最小值为________.。

7.与三角形有关的计算与证明(解答题)

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滚动小专题（七）与三角形有关的计算与证明（解答题）
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（2019·山西）
滚动小专题（七）与三角形有关的计算与证明（解答题）
（2019·泸州）如图，AB∥CD，AD 和 BC 相交于点 O，OA=OD.求证：OB=OC. （2019·苏州）
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滚动小专题（七）与三角形有关的计算与证明（解答题）
在 DBC与ECB中
O C
BD CE DBC ECB BC CB ∴ DBC ECB .
（2）由（1）知, DBC ECB ，∴∠DCB=∠EBC.
∴OB=OC.
（2019· 乐山）如图10 ，线段 AC 、 BD 相交于点 E , AE DE , BE CE .求证： B C .
证明：在 AEB 和 DEC 中， AE DE ， BE CE , AEB DEC ， AEB ≌ DEC . 故 B C . （2019·广州）如图 8，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DE=FE，FC∥AB，求证： ADE CFE .
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（201算与证明（解答题）
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滚动小专题（七）与三角形有关的计算与证明（解答题）类型 2 相似三角形性质与判定的综合运用（2019·凉山州）
类型 3 全等三角形、相似三角形的综合运用
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滚动小专题（七）与三角形有关的计算与证明（解答题）
滚动小专题（七）与三角形有关的计算与证明（解答题）
类型 1 全等三角形性质与判定的综合运用类型 2 相似三角形性质与判定的综合运用类型 3 全等三角形、相似三角形的综合运用
类型 1 全等三角形性质与判定的综合运用（2019·云南）

2021年九年级数学中考复习——几何小专题：三角形综合之解答题专项(三)

2021年九年级数学中考复习——几何小专题：三角形综合之解答题专项（三）练习一1．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝度；（2）如图2，如果∠BAC＝60°，则∠BCE＝度；（3）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图3，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，请直接写出α，β之样的数量关系，不用证明．2．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D是直线AB上一点（点D与点A、B不重合），以CD为直角边作等腰直角三角形DCE，使∠DCE＝90°，连结AE．（1）如图①，当点D在线段AB上，点E与点A在CD同侧．求证：AE＝BD．（2）如图②，当点D在AB的延长线上，点E与点A在CD同侧．若AE＝1，AB＝4，则AD＝．（3）如图③，当点D在BA的延长线上，点E与点A在CD的两侧时，直接写出线段AB、AD、AE三者之间的数量关系：．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，动点P从点A出发（动点P不与△ABC的顶点重合），沿折线AC﹣CB以每秒5个单位的速度向终点B运动，过点P作PD⊥AB于点D，以点P为直角顶点作Rt△PDE，使DE与点P所在的直角边平行，设点P的运动时间为t（秒）．（1）求AB的长；（2）当点E落在△ABC的直角边上时，求t的值；（3）当△PDE的两条直角边所在的直线截△ABC所得的三角形全等时，求△PDE与△ABC重叠部分图形的周长；（4）设Q为边DE的中点，作射线CQ，当CQ将△PDE分成面积比为1：3两部分时，直接写出t的值．4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（不与B、C 重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝105°时，∠BAD＝°，∠DEC＝°；（2）若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE；（3）在点D的运动过程中，是否存在△ADE是等腰三角形？若存在，请直接写出此时∠BDA的度数；若不存在，请说明理由．5．已知△ABC是等边三角形，点P，Q分别为边AB，BC上的动点（端点除外）点P，Q 以相同的速度，同时从点A，点B出发，直线AQ，CP相交于点M．（Ⅰ）如图①，求证：△ABQ≌△CAP；（Ⅱ）如图①，当点P，Q分别在AB，BC边上运动时，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的大小；（Ⅲ）如图②，当点P，Q分别在AB，BC的延长线上运动时，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．练习二6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、F是线段AB上两点，连结CD，过A作AE⊥CD于点E，过点F作FM⊥CD于点M．（1）如图1，若点E是CD的中点，求∠CAE的大小；（2）如图2，若点D是线段BF的中点，求证：CE＝FM；（3）如图3，若点F是线段AB的中点，AE＝，CE＝1，求FM的值．7．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝+1．且AD＝AE＝1．（1）如图1，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE．直接写出DE的值，BC的值；（2）现将△ADE如图2放置，连接CE，BE，CD，求证：CD＝BE；（3）现将△ADE如图3放置，使C，A，E三点共线，延长CD交BE于点F，求证：CF垂直平分BE．8．在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，过点B作BC的垂线l．点P为直线AB上的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l 于点D．（1）如图l，点P在线段AB上，依题意补全图形．①求证：∠BDP＝∠PCB；②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．9．定义：点P是△ABC内部的一点，若经过点P和△ABC中的一个顶点的直线把△ABC 平分成两个面积相等的图形，则称点P是△ABC关于这个顶点的均分点，例如图1中，点P是△ABC关于顶点A的均分点．（1）下列图形中，点D一定是△ABC关于顶点B的均分点的是；（填序号）（2）在△ABC中，BC＝2，AB＝AC且AB＞BC，点P是△ABC关于顶点A的均分点，且≤BP≤2，直接写出∠BPC的范围；（3）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝10，点P是△ABC关于顶点A的均分点，直线AP与BC交于点D，当BP⊥AD时，BP＝4，求CP的长．10．在△ABC和△DBE中，CA＝CB，EB＝ED，点D在AC上．（1）如图1，若∠ABC＝∠DBE＝60°，求证：∠ECB＝∠A；（2）如图2，设BC与DE交于点F．当∠ABC＝∠DBE＝45°时，求证：CE∥AB；（3）在（2）的条件下，若tan∠DEC＝时，求的值．练习三11．如图，△AOB是等边三角形，以直线OA为x轴建立平面直角坐标系，若B（a，b）且a、b满足+（b﹣5）2＝0，D为y轴上一动点，以AD为边作等边△ADC，CB交y轴于E．（1）如图1，求A点坐标；（2）如图2，D为y正半轴上一点，C在第二象限，CE的延长线交x轴于M，当D 点在y轴正半轴上运动时，M点坐标是否变化，若不变，求M点的坐标，若变化，说明理由；（3）如图3，D在y轴负半轴上，以DA为边向右构造等边△DAC，CB交y轴于E 点，如果D点在y轴负半轴上运动时，仍保持△DAC为等边三角形，连BE，试求CE，OD，AE三者的数量关系，并证明你的结论．12．【教材呈现】数学课上，胡老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：【试一试】如图1，∠AOB为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出∠AOB的平分线．第一步：在射线OA、OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE；第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于线段DE长的一半）为半径作圆弧，在∠AOB内，两弧交于点C；第三步：作射线OC．射线OC就是所要求作的∠AOB的平分线．【问题1】胡老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是．【问题2】小萱同学发现只利用直角三角板也可以作∠AOB的角平分线，方法如下（如图2）：步骤：①利用三角板上的刻度，在OA、OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON．②分别过点M、N作OM、ON的垂线，交于点P．③作射线OP，则OP为∠AOB的平分线．（1）请写出小萱同学作法的完整证明过程．（2）当∠MON＝60°时，量得MN＝4cm，则△MON的面积是cm2．13．某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1、图2、图3中，AF、BE是△ABC的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”．【特例探究】（1）如图1，当∠PAB＝45°，AB＝6时，AC＝，BC＝；如图2，当sin∠PAB＝，AB＝4时，AC＝，BC＝；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想AB2、BC2、AC2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，连结DE并延长至G，使得GE＝DE，连结BG，当BG⊥AC于点M时，求GF的长．14．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC ＝60°．（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为．15．阅读材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△AC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．小明的想法：因为CD平分∠ACB，所以可利用“翻折”来解决该问题．即在BC边上取点E，使EC＝AC，并连接DE（如图2）．（1）如图2，根据小明的想法，回答下面问题：①△DEC和△DAC的关系是，判断的依据是；②△BDE是三角形；③BC的长为．（2）参考小明的想法，解决下面问题：已知：如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC ＝2，求AD的长．参考答案1．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，故答案为：90；（2）∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABD＝∠ACB＝60°，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝60°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°，故答案为：120．（3）①α+β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB＝β，∴∠B+∠ACB＝β，∵α+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°．②如图1：当点D在射线BC上时，α+β＝180°，连接CE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，即：∠BCE+∠BAC＝180°，∴α+β＝180°，如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．连接BE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE．∴α＝β；综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．2．（1）证明：如图①，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠ACE+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD；（2）解：如图②，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，∴∠BCD+∠BCE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD，∴AD＝AB+BD＝AB+AE＝5，故答案为：5；（3）解：同（2）的证明方法可得，△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD，∴AB+BD＝BD＝AE，故答案为：AB+AD＝AE．3．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，∴AB＝＝＝25；（2）如图1，P在AC上时，点E在BC上，DE∥AC，∵DE∥AC，∴∠CPE＝∠DEP，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝90°，由题意得：AP＝5t，sin A＝，即，∴PD＝3t，∴AD＝4t，BD＝25﹣4t，∵∠DPE＝90°，∴∠APD+∠CPE＝90°＝∠APD+∠A，∴∠CPE＝∠A＝∠DEP，∴sin∠DEP＝，∴DE＝5t，∵DE∥AC，∴，即，解得：t＝；如图2，P在BC上时，点E在AC上，DE∥BC，由题意得：CP＝5t﹣20，PB＝15﹣（5t﹣20）＝35﹣5t，∵∠EPD＝∠PDB＝90°，∴EP∥AB，∵DE∥BC，∴四边形EPBD是平行四边形，∴DE＝PB＝35﹣5t，∵∠CEP＝∠A＝∠PDE，∴sin∠CEP＝sin∠PDE，∴＝，即，∴EP＝，∴＝，解得：t＝；综上，t的值是或；（3）如图3，P在AC上，△PDE与△ABC重叠部分图形是△PDE，设直线PE与BC 交于点F，∵AP∥DE，AD∥PE，∴四边形APED是平行四边形，∴DE＝AP＝5t，AD＝PE＝4t，∵△ADP≌△PCF，∴PC＝AD＝4t，∵AC＝AP+CP，即20＝5t+4t，∴t＝，∴△PDE的周长＝PD+PE+DE＝3t+4t+5t＝12t＝12×＝，即△PDE与△ABC重叠部分图形的周长是；如图4，P在BC上，△PDE与△ABC重叠部分的图形是△PDE，设直线PE与AC交于点G，同理得：四边形DEPB是平行四边形，∴DE＝PB，∵△GCP≌△PDB，∴PC＝BD＝5t﹣20，Rt△PDB中，cos B＝＝，∴＝，解得：t＝，∴PB＝35﹣5×＝，∵∠C＝∠PDB＝90°，∠B＝∠B，∴△PDB∽△ACB，∴＝，∴△PDB的周长＝×（15+20+25）＝，∴△PDE的周长＝，即△PDE与△ABC重叠部分图形的周长是；综上，△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为或；（4）分两种情况：①如图5，P在AC上，设PE与CQ交于点O，连接PQ，∵Q是DE的中点，∴DQ＝EQ＝t，∴S△PDQ＝S△PQE，Rt△PDE中，PD＝3t，PE＝4t，DE＝5t，∵＝＝，∴＝，∴＝，∴＝1，∵DE∥CP，∴，即＝1，解得：t＝；②如图6，P在BC上，＝，同理得：＝1，∵CP＝5t﹣20，PB＝35﹣5t，由上题知：四边形DEPB是平行四边形，∴DE＝PB＝35﹣5t，∴EQ＝，∵ED∥PC，∴＝1，∴EQ＝CP，∴＝5t﹣20，解得：t＝5；综上，t的值是或5．4．解：（1）∵在△BAD中，∠B＝∠50°，∠BDA＝105°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣50°﹣105°＝25°；∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝50°，∴∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠EDC＝180°﹣50°﹣25°＝105°，故答案为：25，105；（2）∵∠B＝∠C＝50°，∴∠DEC+∠EDC＝130°，又∵∠ADE＝50°，∴∠ADB+∠EDC＝130°，∴∠ADB＝∠DEC，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）．（3）当∠BDA的度数为100°或115°时，△ADE的形状是等腰三角形，①∠BDA＝100°时，则∠ADC＝80°，∵∠C＝50°，∴∠DAC＝50°，∴∠DAC＝∠ADE，∴△ADE的形状是等腰三角形；②∠BDA＝115°时，则∠ADC＝65°，∵∠C＝50°，∴∠DAC＝65°，∵∠ADE＝50°，∴∠AED＝65°，∴∠DAC＝∠AED，∴△ADE的形状是等腰三角形．5．解：（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△ACM的外角，∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC，∵∠BAC＝60°，∴∠QMC＝60°；（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°，即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．6．（1）解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠B＝45°，∵AE⊥CD，EC＝ED，∴AC＝AD，∴∠CAE＝∠DAE＝22.5°，∴∠CAE＝22.5°．（2）证明：过点B作BN⊥CD交CD的延长线于点N．∴∠BNC＝90°，∵AE⊥CD，∴∠CEA＝∠BNC＝90°，∴∠CAE+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCN＝90°，∴∠CAE＝∠BCN，在△AEC和△CNB中，，∴△AEC≌△CNB（AAS），∴CE＝BN，∵FM⊥CD，BN⊥CD，∴∠FMD＝∠BND＝90°，∵点D是线段BF的中点，∴FD＝BD，在△FMD和△BND中，，∴△FMD≌△BND（AAS），∴FM＝BN，∴CE＝FM．（3）解：在线段AE上取点G，使得AG＝CE，连结CF、EF，如图3所示：∵AF＝FB，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CF⊥AB，CF＝AF，∵∠FAG+∠ADE＝90°，∠ADE+∠FCE＝90°，∴∠GAF＝∠ECF，在△AGF和△CEF中，，∴△AGF≌△CEF（SAS），∴FG＝EF，∠AFG＝∠CFE，∴∠EFG＝∠AFC＝90°∴△EFG是等腰直角三角形，∴EG＝EF，∠GEF＝45°，∴∠MEF＝90°﹣45°＝45°，∴△EFM是等腰直角三角形，∴EF＝FM，∴AE﹣CE＝AE﹣AG＝EG＝EF＝2FM＝﹣1，∴FM＝．7．（1）解：在Rt△ADE中，∠A＝90°，AD＝AE＝1，∴DE＝＝＝，同理，BC＝＝2+，故答案为：；2+；（2）证明：∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠CAB﹣∠DAB＝∠DAE﹣∠DAB，即∠CAD＝∠BAE，在△CAD和△BAE中，，∴△CAD≌△BAE（SAS），∴CD＝BE；（3）证明：∵C，A，E三点共线，∴CE＝CA+AE＝+2，∴CE＝CB，∴点C在线段BE的垂直平分线上，∵BD＝AB﹣AD＝，DE＝，∴BD＝DE，∴点D在线段BE的垂直平分线上，∴CF垂直平分BE．8．解：（1）①补全图形如图1，证明：如图1，设PD与BC的交点为点E，根据题意可知，∠CPD＝90°，∵BC⊥l，∴∠DBC＝90°，∴∠BDP+∠BED＝∠PCB+∠PEC＝90°，∴∠BDP＝∠PCB；②BC﹣BD＝BP．证明：如图2，过点P作PF⊥BP交BC于点F，∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠ABC＝45°，∴BP＝BF，∠PFB＝45°，∴∠PBD＝∠PFC＝135°，又∵∠BDP＝∠PCF，∴△BPD≌△FPC（AAS），∴BD＝FC，在等腰直角△BPF中，BF＝BP，∴BC﹣BD＝BP．（2）BD﹣BC＝BP．证明：如图3，过点P作PM⊥PB交BD于点M，由（1）可知∠ABC＝∠PBM＝45°，∴∠PBM＝∠PMB＝45°，∴PB＝PM，∠PBC＝∠PCB＝135°，同（1）可得∠PDB＝∠PCB，∴△PMD≌△PBC（AAS），∴DM＝BC，∵PB＝PM，∠BPM＝90°，∴BM＝PB，∴BD﹣DM＝BM＝BD﹣BC＝PB．9．解：（1）在图①中，∵∠BAE＝∠CAE，∴点D不一定是△ABC关于顶点B的均分点；在图②中，∵BE＝CE，∴点D一定是△ABC关于顶点A的均分点，但点D不一定是△ABC关于顶点B的均分点．在③中，∵∠ABE＝∠CBE，AB≠BC，∴点D不一定是△ABC关于顶点B的均分点；④∵AE＝CE，∴点D一定是△ABC关于顶点B的均分点．故答案为：④．（2）60°≤∠BPC≤90°．如图1，点P是△ABC关于顶点A的均分点，∵AB＝AC，点P是△ABC关于顶点A的均分点，∴BD＝CD，∴AD⊥BC，∵BC＝2，∴BD＝1，∴当∠BED＝45°时，BE＝，当∠BFD＝30°时，BF＝2BD＝2，∵点P在AD上运动，且≤BP≤2，∴60°≤∠BPC≤90°．（3）解：如图2，过C点作CE⊥AP，交直线AP于点E．∵点P是△ABC关于顶点A的均分点，BC＝10，∴BD＝CD＝5．在Rt△BPD中，∵∠BPD＝90°，∴BP2+PD2＝BD2．∵BP＝4，BD＝5，∴PD＝3．∵BP⊥AP，CE⊥AP，∴∠BPD＝∠CED＝90°．∵∠BDP＝∠CDE，∴△BPD≌△CDE（AAS）．∴PD＝DE，PB＝CE＝4．∴PE＝2PD＝6．在Rt△PEC中，∵∠PEC＝90°，∴PE2+CE2＝CP2．∴CP＝＝＝．10．（1）证明：∵CA＝CB，EB＝ED，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴△ABC和△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，DB＝BE，∠A＝60°．∵∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS）．∴∠A＝∠ECB；（2）证明：∵∠ABC＝∠DBE＝45°，CA＝CB，EB＝ED，∴△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴，∴，∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴∠BAD＝∠BCE＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠BCE，∴CE∥AB；（3）解：过点D作DM⊥CE于点M，过点D作DN∥AB交CB于点N，∵∠ACB＝90°，∠BCE＝45°，∴∠DCM＝45°，∴∠MDC＝∠DCM＝45°，∴DM＝MC，设DM＝MC＝a，∴a，∵DN∥AB，∴△DCN为等腰直角三角形，∴DN＝DC＝2a，∵tan∠DEC＝，∴ME＝2DM，∴CE＝a，∴，∵CE∥DN，∴△CEF∽△NDF，∴．11．解：（1）如图1中，作BF⊥AO于F．∵+（b﹣5）2＝0，∴a＝﹣5，b＝5，∴B（﹣5，5），∵BA＝BO，BF⊥OA，∴FA＝FO＝5，∴OA＝10，∴A（﹣10，0）．（2）点M的坐标不发生变化．理由：如图2中，∵△ABO，△ADC都是等边三角形，∴∠OAB＝∠DAC，OA＝OB，AD＝AC，∴∠OAD＝∠BAC，∴△OAD≌△BAC，∴∠AOD＝∠CBA＝90°，在Rt△ABM中，∵∠ABM＝90°，AB＝OA＝10，∠BAM＝60°，∴AM＝2AB＝20，∴OM＝AM﹣OA＝10，∴M（10，0）．（3）结论：OD＝CE+AE．理由：如图3中，取AE的中点R，连接BR、OR．∵∠ABE＝∠AOE＝90°，AR＝ER，∴BR＝AR＝RE＝OR，∴A、B、E、O四点共圆，∴∠BAE＝∠BOE＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝AE，∵△ABO，△ADC都是等边三角形，∴∠OAB＝∠DAC，OA＝OB，AD＝AC，∴∠OAD＝∠BAC，∴△OAD≌△BAC，∴OD＝BC＝CE+BE＝CE+AE．即OD＝CE+AE．12．解：【问题1】胡老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是SSS，故答案为：SSS；【问题2】（1）在Rt△OPN和Rt△OPM中，，∴Rt△OPN≌Rt△OPM（HL），∴∠NOP＝∠MOP，∴OP为∠AOB的平分线；（2）∵∠MON＝60°，OM＝ON，∴△MON为等边三角形，∴OM＝ON＝MN＝4（cm），∵OM＝ON，OP为∠AOB的平分线，∴NH＝HM＝MN＝2（cm），由勾股定理得，OH＝＝＝2（cm），∴△MON的面积＝×MN×OH＝×4×2＝4（cm2），故答案为：4．13．（1）解：如图1，∵AF⊥BE，∴∠APB＝∠APE＝∠BPF＝90°，∵∠PAB＝45°，AB＝6，∴AP＝PB＝6，如图1，连接EF，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB．且EF＝AB，∴，∴PE＝PF＝3，由勾股定理得：AE＝BF＝＝＝3，∴AC＝BC＝2AE＝6，如图2，∵sin∠PAB＝，AB＝4，AF⊥BE，∴∠PAB＝30°，∴BP＝AB＝2，AP＝2，∵AF、BE是△ABC的中线，∴PE＝PB＝1，PF＝AP＝，由勾股定理得：AE＝＝＝，BF＝＝＝，∴AC＝2AE＝2，BC＝2BF＝2，故答案为：6，6，2，2；（2）解：猜想：AB2、BC2、AC2三者之间的关系是：AC2+BC2＝5AB2，证明：如图3，设PF＝m，PE＝n则AP＝2m，PB＝2n，在Rt△APB中，（2m）2+（2n）2＝AB2①，在Rt△APE中，（2m）2+n2＝（）2②，在Rt△BPF中，m2+（2n）2＝（）2③，由①得：m2+n2＝，由②+③得：5（m2+n2）＝，∴AC2+BC2＝5AB2；（3）解：如图4，连接CG，EF，过点F作FN∥BG交CG于点N，FG与AC交于点Q，∵FN∥BG，BG⊥AC，∴FN⊥AC，∵F是BC的中点，∴N是CG的中点，∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE＝FC，DE∥FC，∵ED＝EG，∴EG＝FC，EG∥FC，∴四边形EFCG是平行四边形，∴Q是FG的中点，∴△FCG是中垂三角形，∵AB＝4，BC＝2，∴CG＝EF＝BD＝2，FC＝，由（2）中结论可知：5FC2＝CG2+FG2，即5×5＝（2）2+FG2，∴GF＝．14．（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠BCD+∠ACE＝120°，∵∠AEC＝60°，∴∠ACE+∠EAC＝120°，∴∠BCD＝∠EAC，∵∠AEC＝∠BDC＝60°，∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）证明：如图2，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，连接AE，由（1）知：△AEC≌△CDB，∴BD＝CE，∵∠AEF＝∠AFH＝60°，∴∠AFE+∠FAE＝∠AFE+∠GFH＝60°，∴∠FAE＝∠GFH，∵∠HGF＝∠AEF＝120°，AF＝FH，∴∠HGF≌△FEA（AAS），∴GH＝EF，∴CF＝EF+CE＝HG+BD；（3）解：HG＝CF+BD，理由是：如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED＝60°，连接AE，在l上取一点M，使BM＝BD，∵∠BDC＝60°，∴△BDM是等边三角形，∴∠DBM＝60°，∴∠CBM+∠ABM＝∠ABM+∠ABD，∴∠ABD＝∠CBM，∵∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ANC＝∠DNB，∴∠ACE＝∠ABD＝∠CBM，∵∠ACE+∠BCE＝∠ACE+∠CAE＝60°，∴∠CAE＝∠BCE，∵AC＝BC，∴△ACE≌△CBM（ASA），∴CE＝BM＝BD，∵∠AFH＝120°，∴∠AFC+∠GFH＝∠AFC+∠FAE＝60°，∴∠GFH＝∠FAE，∵∠HGF＝∠AEF＝120°，AF＝FH，∴△HGF≌△FEA（AAS），∴GH＝FE，∵EF＝CF+CE∴HG＝CF+BD．故答案为：HG＝CF+BD．15．解：（1）如答图1，①在△ACD与△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（SAS）；②由①知，△ACD≌△ECD，∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，∵∠A＝2∠B，∴∠DEC＝2∠B，∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形；③由①知，△ACD≌△ECD，则EC＝AC＝3.6，DE＝AD＝2.2．又∵BE＝DE，∴BE＝AD＝2.2．∴BC＝BE+EC＝2.2+3.6＝5.8．故答案是：①△ACD≌△ECD；SAS；②等腰；③5.8；（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，∴∠ABC＝∠C＝80°，∵BD平分∠B，∴∠1＝∠2＝40°∠BDC＝60°，如答图2，在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，则△DEB≌△DBC，∴∠BED＝∠C＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，则△BDE≌△FDE，∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2，∵∠A＝20°，∴∠6＝20°，∴AF＝EF＝2，∵BD＝DF＝2.3，∴AD＝BD+BC＝4.3．。

小专题(九) 角度计算的几种方法

在角度计算中，如果题目中无图，或补全图形时，常需分类讨论，以求得答案的完整性．
7．已知∠AOB＝75°，∠AOC＝23∠AOB，OD 平分∠AOC，求∠BOD 的大小．
解：因为∠AOB＝75°，∠AOC＝23∠AOB，所以∠AOC＝23×75°＝50°. 因为 OD 平分∠AOC，所以∠AOD＝∠COD＝25°.
解：(1)因为 OE 平分∠AOC，OF 平分∠BOD，所以∠COE＝12∠AOC，∠FOD＝12∠BOD. 所以∠EOF＝∠COE＋∠COD＋∠FOD ＝12∠AOC＋∠COD＋12∠BOD ＝12∠AOB＋12∠COD. 因为∠AOB＝160°，∠COD＝40°，所以∠EOF＝80°＋20°＝100°.
(2) 因为 ∠ EOF ＝ ∠ COE ＋ ∠ COD ＋ ∠ FOD ＝ 12 ∠ AOC ＋ ∠ COD＋12∠BOD＝12∠AOB＋12∠COD，∠AOB＝α，∠COD＝β，
所以∠EOF＝12α＋12β＝12(α＋β)． (3)若∠AOB 内部有顺次的四条射线：OE，OC，OD，OF， OE 平分∠AOC，OF 平分∠BOD，则∠EOF＝12(∠AOB＋∠COD)．
【例】如图，已知∠AOB 内部有三条射线 OE，OC，OF， OE 平分∠BOC，OF 平分∠AOC.
(1)若∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，则∠EOF＝ 45°； α＋β
(2)若∠AOC＝α，∠BOC＝β，则∠EOF＝ 2 ；
(3)若∠AOB＝θ，你能猜想出∠EOF 与 θ 的关系吗？请说明理
6．如图，已知∠AOB＝12∠BOC，∠COD＝∠AOD＝3∠AOB，求∠AOB 和∠COD 的度数.
解：设∠AOB＝x°，所以∠COD＝∠AOD＝3∠AOB＝3x°. 因为∠AOB＝12∠BOC，所以∠BOC＝2x°. 因为∠BOC＋∠COD＋∠AOD＋∠AOB＝360°，所以 2x＋3x＋3x＋x＝360.解得 x＝40. 所以∠AOB＝40°，∠COD＝120°.

小专题求角度的几种数学思想方法人教版八年级数学上册作业课件

解：如图①，若△ABC 是锐角三角形，∵BD 是高，∴∠ABD＝90° －∠A＝90°－50°＝40°.∵CE 是高，∴∠BHC＝∠ABD＋∠BEC＝ 40°＋90°＝130°；
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类型 4：整体思想 7．如图，在△ABC 中，AD⊥BC，AE 平分∠BAC.
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如图②，若△ABC 是钝角三角形，∵BD 是高， ∴∠ABD＝90°－∠A＝90°－50°＝40°.∵CE 是高，∴∠BHC＝ 90°－∠ABD＝90°－40°＝50°. 综上所述，∠BHC 的度数是 130°或 50°.
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解：由(3)可知 ∠BDC＝∠A ＋∠B＋∠C ＝90°＋21°＋20° ＝131°，而量得∠BDC＝130°， ∵130°≠131°， ∴不合格．
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2021年九年级数学中考复习小专题突破训练：三角形内角和定理的应用(附答案)

2021年九年级数学中考复习小专题突破训练：三角形内角和定理的应用（附答案）1．如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A＝50°，则∠BOC等于（）A．110°B．115°C．120°D．130°2．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC＝（）A．118°B．119°C．120°D．121°3．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC ＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD+∠ACD＝（）A．75°B．80°C．85°D．90°4．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）5．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C，则∠C的度数是（）A．30°B．45°C．55°D．60°6．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．钝角或直角三角形7．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．110°8．如图，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠BOC＝120°，则∠A＝（）A．60°B．120°C．110°D．40°9．适合条件∠A＝∠B＝∠C的△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形10．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A＝54°，∠B＝48°，则∠CDE的大小为（）A．44°B．40°C．39°D．38°11．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°12．如图，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝．13．如图，在△ABC中，∠A＝40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC ＝．14．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1＝．15．如图，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF＝度．16．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC＝．17．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3＝32°，那么∠1+∠2＝度．18．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为度．19．如图，在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE＝∠F；②∠BEF＝（∠BAF+∠C）；③∠FGD＝∠ABE+∠C；④∠F＝（∠BAC﹣∠C）；其中正确的是．20．如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A′处，若∠BDA′+∠CEA′＝70°，则∠A ＝．21．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝28：5：3，则∠α的度数为度．22．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有（填序号）23．如图，把△ABC的一角折叠，若∠1+∠2＝130°，则∠A的度数为．24．在直角△ABC中，∠C＝90°，沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2＝．25．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，若∠A＝50°，则∠BDC＝度．26．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC ＝．27．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠B＝．28．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝34°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，则∠ACP＝．29．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则∠B＝度．30．已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC ＝α．（1）当α＝40°时，∠BPC＝°，∠BQC＝°；（2）当α＝°时，BM∥CN；（3）如图②，当α＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；（4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：．31．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．32．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，则∠EAF＝°；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．33．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，直接写出∠ABO的度数＝．34．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝°；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．35．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°．求∠DAC的度数．36．已知：△ABC中，记∠BAC＝α，∠ACB＝β．（1）如图1，若AP平分∠BAC，BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD ⊥AP于点D，用α的代数式表示∠BPC的度数，用β的代数式表示∠PBD的度数；（2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论．37．（1）如图1所示，△ABC中，∠ACB的角平分线CF与∠EAC的角平分线AD的反向延长线交于点F；①若∠B＝90°则∠F＝；②若∠B＝a，求∠F的度数（用a表示）；（2）如图2所示，若点G是CB延长线上任意一动点，连接AG，∠AGB与∠GAB的角平分线交于点H，随着点G的运动，∠F+∠H的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．38．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝69°，求∠DAC的度数．39．如图，BG∥EF，△ABC的顶点C在EF上，AD＝BD，∠A＝23°，∠BCE＝44°，求∠ACB的度数．参考答案1．解：∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°．故选：B．2．解：∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，∴∠CBE＝∠ABC，∠BCD＝，∴∠CBE+∠BCD＝（∠ABC+∠BCA）＝60°，∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°，故选：C．3．解：∵AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，∴∠BAD＝30°，∵∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE＝25°，∴∠DAE＝30°﹣25°＝5°，∵△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，∴∠EAD+∠ACD＝5°+70°＝75°，故选：A．4．解：2∠A＝∠1+∠2，理由：∵在四边形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′＝360°，则2∠A+180°﹣∠2+180°﹣∠1＝360°，∴可得2∠A＝∠1+∠2．故选：B．5．解：根据三角形的外角性质，可得∠ABN＝∠AOB+∠BAO，∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，∴∠ABE＝∠ABN，∠BAC＝∠BAO，∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝（∠AOB+∠BAO）﹣∠BAO＝∠AOB，∵∠MON＝90°，∴∠AOB＝90°，∴∠C＝×90°＝45°．故选：B．6．解：设三个内角分别为2k、3k、4k，则2k+3k+4k＝180°，解得k＝20°，所以，最大的角为4×20°＝80°，所以，三角形是锐角三角形．故选：A．7．解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，由折叠的性质可知，∠C′＝∠C＝40°，∴∠3＝∠1+∠C′＝60°，∴∠2＝∠C+∠3＝100°，故选：C．8．解：因为OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，所以∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，所以∠ABO+∠ACO＝∠CBO+∠BCO＝180°﹣120°＝60°，所以∠ABC+∠ACB＝60°×2＝120°，于是∠A＝180°﹣120°＝60°．故选：A．9．解：∵∠A＝∠B＝∠C，∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，∵∠A+∠B+∠C＝180°，即6∠A＝180°，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形．故选：B．10．解：∵∠A＝54°，∠B＝48°，∴∠ACB＝180°﹣54°﹣48°＝78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCB＝78°＝39°，∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠DCB＝39°，故选：C．11．解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝，∠AFB＝∠EFB＝90°，∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°，∴AB＝BE，∴AF＝EF，∴AD＝ED，∴∠DAF＝∠DEF，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，∴∠BED＝∠BAD＝95°，∴∠CDE＝95°﹣50°＝45°，故选：C．12．解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠ACF；又∵∠B＝40°（已知），∠B+∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+∠ACF＝（∠B+∠2）+（∠B+∠1）＝（∠B+∠B+∠1+∠2）＝110°（外角定理），∴∠AEC＝180°﹣（∠DAC+∠ACF）＝70°．故答案为：70°．13．解：∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC，∠BCD＝∠ACD＝∠ACB，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∴∠DBC+∠DCB＝70°，∴∠BDC＝180°﹣70°＝110°，故答案为：110°．14．解：给图中角标上序号，如图所示．∵∠2+∠3+45°＝180°，∠2＝30°，∴∠3＝180°﹣30°﹣45°＝105°，∴∠1＝∠3＝105°．故答案为：105°．15．解：∵∠A＝40°，∠B＝72°，∴∠ACB＝68°，∵CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，∴∠BCE＝34°，∠BCD＝90﹣72＝18°，∵DF⊥CE，∴∠CDF＝90°﹣（34°﹣18°）＝74°．故答案为：74．16．解：∵∠ABC＝42°，∠A＝60°，∠ABC+∠A+∠ACB＝180°．∴∠ACB＝180°﹣42°﹣60°＝78°．又∵∠ABC、∠ACB的平分线分别为BE、CD．∴∠FBC＝，∠FCB＝．又∵∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°．∴∠BFC＝180°﹣21°﹣39°＝120°．故答案为：120°．17．解：∵∠3＝32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，∴∠4＝180°﹣60°﹣32°＝88°，∴∠5+∠6＝180°﹣88°＝92°，∴∠5＝180°﹣∠2﹣108°①，∠6＝180°﹣90°﹣∠1＝90°﹣∠1 ②，∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1＝92°，即∠1+∠2＝70°．故答案为：70°．18．解：分两种情况：①如图1，当∠ADC＝90°时，∵∠B＝30°，∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；②如图2，当∠ACD＝90°时，∵∠A＝50°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，综上，则∠BCD的度数为60°或10°；故答案为：60或10；19．解：①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F＝90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE＝90°，∵∠FGD＝∠BGH，∴∠DBE＝∠F，故①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEF＝∠CBE+∠C，∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，∠BAF＝∠ABC+∠C∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，即∠BEF＝（∠BAF+∠C），故②正确；③∵∠AEB＝∠EBC+∠C，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD＝∠FEB，∴∠BGH＝∠ABE+∠C，故③正确，④∠ABD＝90°﹣∠BAC，∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD＝90°﹣∠C，∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE＝∠F，∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；故④正确；故答案为①②③④，20．解：∵将△ABC沿着DE对折，A落到A′，∴∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，∴∠BDA′+2∠ADE＝180°，∠A′EC+2∠AED＝180°，∴∠BDA′+2∠ADE+∠A′EC+2∠AED＝360°，∵∠BDA′+∠CEA′＝70°，∴∠ADE+∠AED＝145°，∴∠A＝35°．故答案为：35°．21．解：∵∠1：∠2：∠3＝28：5：3，∴设∠1＝28x，∠2＝5x，∠3＝3x，由∠1+∠2+∠3＝180°得：28x+5x+3x＝180°，解得x＝5，故∠1＝28×5＝140°，∠2＝5×5＝25°，∠3＝3×5＝15°，∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，∴∠DCA＝∠E＝∠3＝15°，∠2＝∠EBA＝∠D＝25°，∠4＝∠EBA+∠E＝25°+15°＝40°，∠5＝∠2+∠3＝25°+15°＝40°，故∠EAC＝∠4+∠5＝40°+40°＝80°，在△EGF与△CAF中，∠E＝∠DCA，∠DFE＝∠CF A，∴△EGF∽△CAF，∴α＝∠EAC＝80°．故填80°．22．解：（1）∵AD平分△ABC的外角∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC，∵∠EAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故①正确．（2）由（1）可知AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABC＝2∠ADB，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝2∠ADB，故②正确．（3）在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，∴∠ADC+∠ABD＝90°∴∠ADC＝90°﹣∠ABD，故③正确；（4）如果BD平分∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∴只有在△ABC是正三角形时才有BD平分∠ADC故④错误．（5）∵∠BAC+∠ABC＝∠ACF，∴∠BAC+∠ABC＝∠ACF，∵∠BDC+∠DBC＝∠ACF，∴∠BAC+∠ABC＝∠BDC+∠DBC，∵∠DBC＝∠ABC，∴∠BAC＝∠BDC，即∠BDC＝∠BAC．故⑤正确．故答案为：①②③⑤．23．解：如图，∵△ABC的一角折叠，∴∠3＝∠5，∠4＝∠6，而∠3+∠5+∠1+∠2+∠4+∠6＝360°，∴2∠3+2∠4+∠1+∠2＝360°，∵∠1+∠2＝130°，∴∠3+∠4＝115°，∴∠A＝180°﹣∠3﹣∠4＝65°．故答案为：65°．24．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝90°，∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°．故答案是：270°．25．解：∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°．∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，∴∠DBC+∠DCB＝65°，∴∠BDC＝115°．26．解：∵∠CEA＝60°，∠BAE＝45°，∴∠ADE＝180°﹣∠CEA﹣∠BAE＝75°，∴∠BDC＝∠ADE＝75°，故答案为75°．27．解：设一份是x°，则∠A＝2x°，∠B＝3x°，∠C＝4x°．则有2x+3x+4x＝180，x＝20．则∠B＝3x°＝60°；故答案为：60°．28．解：由折叠可得，AD＝PD＝BD，∴D是AB的中点，∴CD＝AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠A＝34°，∠BCD＝∠B＝56°，∴∠BCP＝2∠BCD＝112°，∴∠ACP＝112°﹣90°＝22°，故答案为：22°．29．解：设∠A为x．x+2x+3x＝180°⇒x＝30°．∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°．故填60．30．解：（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCE＝180°+∠A＝220°，∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，∴∠CBP+∠BCP＝（∠DBC+∠BCE）＝110°，∴∠BPC＝180°﹣110°＝70°，∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，∴∠QBC＝∠PBC，∠QCB＝∠PCB，∴∠QBC+∠QCB＝55°，∴∠BQC＝180°﹣55°＝125°；（2）∵BM∥CN，∴∠MBC+∠NCB＝180°，∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α，∴（∠DBC+∠BCE）＝180°，即（180°+α）＝180°，解得α＝60°；（3）∵α＝120°，∴∠MBC+∠NCB＝（∠DBC+∠BCE）＝（180°+α）＝225°，∴∠BOC＝225°﹣180°＝45°；（4）∵α＞60°，∠BPC＝90°﹣α、∠BQC＝135°﹣α、∠BOC＝α﹣45°．∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC＝（90°﹣α）+（135°﹣α）+（α﹣45°）＝180°．故答案为：70，125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°．31．解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个，故答案为：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠P AB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠P AB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠P AB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．32．解：（1）∠AEB的大小不变，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝×90°＝45°，∴∠AEB＝135°；（2）∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∴∠EAO＝∠BAO，∠F AO＝∠GAO，∴∠EAF＝（∠BAO+∠GAO）＝×180°＝90°．故答案为：90；∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，∴∠EAO＝∠BAO，∠EOQ＝∠BOQ，∴∠E＝∠EOQ﹣∠EAO＝（∠BOQ﹣∠BAO）＝∠ABO，即∠ABO＝2∠E，在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故分四种情况讨论：①∠EAF＝3∠E，∠E＝30°，则∠ABO＝60°；②∠EAF＝3∠F，∠E＝60°，∠ABO＝120°（舍去）；③∠F＝3∠E，∠E＝22.5°，∠ABO＝45°；④∠E＝3∠F，∠E＝67.5°，∠ABO＝135°（舍去）．∴∠ABO为60°或45°．33．解：（1）∠AEB的大小不变，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，∴∠AEB＝135°；（2）∠CED的大小不变．延长AD、BC交于点F．∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠P AB+∠MBA＝270°，∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠BAD＝∠BAP，∠ABC＝∠ABM，∴∠BAD+∠ABC＝（∠P AB+∠ABM）＝135°，∴∠F＝45°，∴∠FDC+∠FCD＝135°，∴∠CDA+∠DCB＝225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，∴∠E＝67.5°；（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，∴∠EAO＝∠BAO，∠EOQ＝∠BOQ，∴∠E＝∠EOQ﹣∠EAO＝（∠BOQ﹣∠BAO）＝∠ABO，∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∴∠EAF＝90°．在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故有：①∠EAF＝3∠E，∠E＝30°，∠ABO＝60°；②∠EAF＝3∠F，∠E＝60°，∠ABO＝120°；③∠F＝3∠E，∠E＝22.5°，∠ABO＝45°；④∠E＝3∠F，∠E＝67.5°，∠ABO＝135°．∴∠ABO为60°或45°．故答案为：60°或45°．34．解：（1）如图（1），连接AD并延长至点F，，根据外角的性质，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）①由（1），可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，故答案为：50．②由（1），可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，∴（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，∴∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE＝45°+40°＝85°；③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C＝70°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°∴（133﹣x）+x＝70，∴13.3﹣x+x＝70，解得x＝63，即∠A的度数为63°．35．解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE＝2×25°＝50°，∵AD是BC边上的高，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°．36．解：（1）∵∠BAC+∠CBA+∠ACB＝180°，∠BAC＝α∴∠CBA+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α∵∠MBC+∠ABC＝180°，∠NCB+∠ACB＝180°∴∠MBC+∠NCB＝360°﹣∠ABC﹣∠ACB＝360°﹣（180°﹣α）＝180°+α∵BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN∴∠PBC＝∠MBC，∠PCB＝∠NCB∴∠PBC+∠PCB＝∠MBC+∠NCB＝（180°+α）＝90°+α∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°+α）＝90°﹣α∵∠BAC＝α，∠ACB＝β，∵∠MBC是△ABC的外角∴∠MBC＝α+β∵BP平分∠MBC∴∠MBP＝∠MBC＝（α+β）∵∠MBP是△ABP的外角，AP平分∠BAC∴∠BAP＝α，∠MBP＝∠BAP+∠APB∴∠PBD＝90°﹣∠APB＝90°﹣（∠MBP﹣∠BAP）＝90°﹣∠MBP+∠BAP＝90°﹣（α+β）+α＝90°﹣β；（2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论已发生变化；∠PBD＝．证明：∠BPD＝∠BAD+∠ABP，∠CPD＝∠CAD+∠ACP，∴∠BPC＝∠BAD+∠ABP+∠CAD+∠ACP＝∠BAC+∠ABC+∠BCA＝∠BAC+（∠ABC+∠BCA）＝∠BAC+（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC＝90°+α．∠PBD＝90°﹣∠BPD＝90°﹣（∠BAD+∠ABP）＝90°﹣（∠ABC+∠BAC）＝90°﹣（180°﹣∠BCA）＝∠BCA＝．37．解：（1）①∵AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，∴∠CAD＝∠CAE，∠ACF＝∠ACB，∵∠CAE是△ABC的外角，∴∠B＝∠CAE﹣∠ACB，∵∠CAD是△ACF的外角，∴∠F＝∠CAD﹣∠ACF＝∠CAE﹣∠ACB＝（∠CAE﹣∠ACB）＝∠B＝45°，故答案为：45°；②∵AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，∴∠CAD＝∠CAE，∠ACF＝∠ACB，∵∠CAE是△ABC的外角，∴∠B＝∠CAE﹣∠ACB，∵∠CAD是△ACF的外角，∴∠F＝∠CAD﹣∠ACF＝∠CAE﹣∠ACB＝（∠CAE﹣∠ACB）＝∠B＝a；（2）由（1）可得，∠F＝∠ABC，∵∠AGB与∠GAB的角平分线交于点H，∴∠AGH＝∠AGB，∠GAH＝∠GAB，∴∠H＝180°﹣（∠AGH+∠GAH）＝180°﹣（∠AGB+∠GAB）＝180°﹣（180°﹣∠ABG）＝90°+∠ABG，∴∠F+∠H＝∠ABC+90°+∠ABG＝90°+∠CBG＝180°，∴∠F+∠H的值不变，是定值180°．38．解：设∠1＝∠2＝x°，则∠3＝∠4＝2x°，∵∠2+∠4+∠BAC＝180°，∴x+2x+69＝180，解得x＝37，即∠1＝37°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝69°﹣37°＝32°．39．解：∵AD＝BD，∠A＝23°，∴∠ABD＝∠A＝23°，∵BG∥EF，∠BCE＝44°，∴∠DBC＝∠BCE＝44°，∴∠ABC＝44°+23°＝67°，∴∠ACB＝180°﹣67°﹣23°＝90°。

人教版八年级数学上册与三角形有关的角度的计算

初中数学试卷金戈铁骑整理制作小专题(一) 与三角形有关的角度的计算模型1：两个内角平分线的夹角1.如图，在△ABC 中，P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，若∠A=50°，则∠P=______.2.如图，已知△ABC 的三条内角平分线交于点I ，AI 的延长线与BC 交于D 点，IH ⊥BC 于H ，试比较∠CIH 和∠BID 的大小.模型2：一个内角平分线和一个外角平分线3.如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，∠A=50°，则∠D=______.4.如图，在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x ，y 轴上的两个动点，∠BAO 的角平分线与∠ABO 的外角平分线相交于点C ，在A ，B 的运动过程中，∠C 的度数是一个定值，这个定值为______.5.(达州中考改编)如图，在△ABC 中，∠A=m °，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2 014BC 和∠A 2 014CD 的平分线交于点A 2 015，求∠A 2 015的度数.模型3：两个外角平分线6.如图，在△ABC 中，P 点是∠BCE 和∠CBF 的角平分线的交点，若∠A=60°，则∠P=______.7.一个三角形的三条外角平分线围成的三角形一定是______三角形.(填“锐角”“钝角”或“直角”)模型4：“8”字形图案的两条角平分线的夹角8.已知，如图1，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于M，N，如图2.试解答下列问题：(1)在图1中，直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系;(2)在图2中，∠D与∠B为任意角，试探究∠P与∠D，∠B之间是否存在一定的数量关系，若存在，写出它们之间的关系并证明；若不存在，说明理由.模型5：角平分线与高线的夹角9.已知：如图，在△ABC中，∠C=70°，∠B=30°，AD平分∠BAC，AE⊥BC，垂足为E，则∠DAE=______.10.如图1，在△ABC中，AE平分∠BAC(∠C>∠B)，F为AE上的一点，且FD⊥BC于点D.(1)试推导∠EFD与∠B，∠C之间的数量关系.(2)如图2，当点F在AE的延长线上时，其余的条件都不变，判断在(1)中推导出的结论是否还成立？参考答案1.115°2.∵AI 、BI 、CI 为△ABC 的三条内角平分线，∴∠BAD=21∠BAC ，∠ABI=21∠ABC ，∠HCI=21∠ACB.∴∠BAD ＋∠ABI+∠HCI=21∠BAC+21∠ABC+21∠ACB ＝21(∠BAC+∠ABC+∠ACB)＝21×180°＝90°.∴∠BAD ＋∠ABI ＝90°-∠HCI.又∵∠BAD ＋∠ABI ＝∠BID ，90°-∠HCI ＝∠CIH ，∴∠BID ＝∠CIH.∴∠BID 和∠CIH 是相等的关系.3.25°4.45°5.∵A 1B 平分∠ABC ，A 1C 平分∠ACD ，∴∠A 1=21∠A ，∠A 2=21∠A 1=221∠A ，…∴∠A 2 015=201521∠A=20152m. 6.60° 7.锐角 8.(1)∠A+∠D=∠B+∠C.(2)∠D+∠B=2∠P .由(1)得：∠D+∠1=∠P+∠3,∠B+∠4=∠P+∠2.∴∠D+∠1+∠B+∠4=∠P+∠3+∠P+∠2,又∵AP ,CP 是∠DAB 和∠BCD 的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠D+∠B=2∠P .9.20° 10.(1)过点A 作BC 边上的高AG ，则∠EAG=21(∠C-∠B).∵FD ⊥BC ，∴FD ∥AG.∴∠EFD=∠EAG=21(∠C-∠B).(2)(1)中结论仍然成立，方法同(1).。

2021年九年级数学中考复习——几何小专题：三角形综合之解答题专项

2021年九年级数学中考复习——几何小专题：三角形综合之解答题专项1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC边的中点，AE⊥AB交BD 的延长线于点E，连接CE．（1）尺规作图：作∠ACB的平分线交BE于点F（保留作图痕迹）；（2）求证：DE＝DF；（3）探究BD与DE之间的数量关系，并证明结论．2．如图，已知点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC．（1）如图①，若点O在BC上，求证：△ABC是等腰三角形；（2）如图②，若点O在△ABC内部，求证：AB＝AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC还成立吗？请画图说明．3．已知，如图AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°（1）如图1，若∠ABE＝63°，∠BAC＝45°，求∠FAC的度数；（2）如图1，请探究线段EF和线段AD有何数量关系？并证明你的结论；（3）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，延长FC，EB交于点M，若点G 为线段EF的中点，且∠BAE＝70°，请探究∠ACB和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．4．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝40°，则∠ACE＝，∠DCE＝，BC、DC、CE之间的数量关系为；（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，试探究∠ACB的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）．5．如图①，在△ABC和△DEC中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，且点A 在ED的延长线上，连接BE．（1）①求证：△ACD≌△BCE；②填空：∠CDE＝（用含α的式子表示）；（2）如图②，若α＝60°，利用（1）中的结论，探究线段CE，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．6．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，点C 在AB的延长线上，BC＝BA，BD⊥AC，CD＝a，BC＝b，且实数a，b满足a2﹣4ab+4b2＝0．（1）如图1，求证：△ACD为等边三角形；（2）如图2，连接OC，OD，若OD平分∠COA，求∠COA的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点E在DA的延长线上，连接OE，若DE＝12，∠COD﹣∠OCB＝2∠AOE，求点A的坐标．7．已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是边AB上一点，连接CD，且CD＝AD．（1）如图①，求证BD＝CD；（2）如图②，点E为边AC上一点，连接DE，以DE为边在DE的左侧作等边三角形DEF，连接BF，则∠DBF的大小＝（度）；（3）如图③，过点D作DP⊥AB交AC于点P，点M为线段AP上一点，连接BM，作∠BMQ＝60°，MQ交PD的延长线于点Q．线段PM，PQ与PA之间有怎样的数量关系，并证明．8．在△ACB和△DCE中，AB＝AC，DE＝DC，点E在AB上（1）如图1，若∠ACB＝∠DCE＝60°，求证：∠DAC＝∠EBC；（2）如图2，设AC与DE交于点P．①若∠ACB＝∠DCE＝45°，求证：AD∥CB；②在①的条件下，设AC与DE交于点P，当tan∠ADE＝时，直接写出的值．9．如图，已知四边形ABCD中，∠B＝60°，边AB＝BC＝8cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是每秒1cm，点Q 运动的速度是每秒2cm，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t 秒．解答下列问题：（1）AP＝，BP＝，BQ＝．（用含t的代数式表示，t≤4）（2）当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由．（3）在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由．10．已知：△ABC中，AB＝AC，点H为BC中点，连接AH，点D为AB上一点，连接CD交AH于点F，点E为BH上一点，连接DE，∠AFD＝∠ACB+∠BDE．（1）如图1，求证：CD⊥DE；（2）如图2，过点B作AC的平行线，交DE的延长线于点G，连接CG，DH，若BD ＝DH，求证：BG+AC＝CG；（3）如图3，在（2）的条件下，点P为CG上一点，CP＝CA，连接PH，若∠BAC ＝120°，PH＝6，∠PHB+∠ADF＝90°，求线段CD的长．11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．（1）求证：△OBC≌△ABD．（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果变化，请说明理由．（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？12．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC＝3MC，请直接写出的值．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点M是线段BC中点，∠BAC＝30°．（1）如图1，若点D、E分别在边AB、AC上，且MD⊥AB，ME⊥AC．求证MD＝ME；（2）如图2，若点P在边AB上，点Q在边AC的延长线上，且∠PMQ＝150°，求证MP＝MQ；（3）如图3，若AM＝12cm，点N，F，G分别在BC，AB，AC上运动，当△NFG 的周长最小时，指出此时点N的位置，并求出周长的最小值．14．【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是三角形；∠ADB的度数为．【问题解决】在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为．15．如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜120°）得到线段AD，连接CD，CD与AB交于点G，∠BAD的平分线交CD于点E，点F 为CD上一点，且DF＝2CF．（1）当∠EAB＝30°时，求∠AEC的度数；（2）当线段BF的长取最小值时，求线段AG的长；（3）求△ADE的周长的最大值．参考答案1．（1）解：如图所示，CF是∠ACB的平分线；（2）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∵CF是∠ACB的平分线，∴∠ACF＝∠BCF＝45°，∵AE⊥AB，∴∠EAB＝90°，∴∠EAC＝90°﹣∠CAB＝45°，在△AED和△CFD中，，∴△AED≌△CFD（ASA），∴DE＝DF；（3）解：BD＝3DE，理由如下：由（2）可知，△AED≌△CFD，∴AE＝CF，在△EAC和△FCB中，，∴△EAC≌△FCB（SAS），∴EC＝FB，∠ACE＝∠CBF，∵∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝∠ACE+45°，∠EFC＝∠CBF+∠BCF＝∠CBF+45°，∴∠ECF＝∠EFC，∴EF＝EC＝BF，∴BD＝3DE．2．（1）证明：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，由题意知，∠OEB＝∠OFC＝90°，在Rt△OEB和Rt△OFC中，，∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．（2）证明：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，由题意知，OE＝OF．∠BEO＝∠CFO＝90°，∵在Rt△OEB和Rt△OFC中，，∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），∴∠OBE＝∠OCF，又∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．（3）解：不一定成立，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时AB＝AC，否则AB≠AC．（如示例图）3．（1）解：∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE＝63°，∴∠EAB＝54°，∵∠BAC＝45°，∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAB+2∠BAC+∠FAC＝180°，∴54°+2×45°+∠FAC＝180°，∴∠FAC＝36°；（2）EF＝2AD；理由如下：延长AD至H，使DH＝AD，连接BH，如图1所示：∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD，在△BDH和△CDA中，，∴△BDH≌△CDA（SAS），∴HB＝AC＝AF，∠BHD＝∠CAD，∴AC∥BH，∴∠ABH+∠BAC＝180°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAF＝∠ABH，在△ABH和△EAF中，，∴△ABH≌△EAF（SAS），∴EF＝AH＝2AD；（3）；理由如下：由（2）得，AD＝EF，又点G为EF中点，∴EG＝AD，由（2）△ABH≌△EAF，∴∠AEG＝∠BAD，在△EAG和△ABD中，，∴△EAG≌△ABD（SAS），∴∠EAG＝∠ABC＝70°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAB+2∠BAC+∠CAF＝180°，即：70°+2∠BAC+∠CAF＝180°，∴∠BAC+∠CAF＝55°，∴∠BAC＝55°﹣∠CAF，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣∠ACB＝110°﹣∠ACB，∴55°﹣∠CAF＝110°﹣∠ACB，∴∠ACB﹣∠CAF＝55°．4．解：（1）如图1所示：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝（180°﹣40°）＝70°，BD＝CE，∴BC+DC＝CE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝40°，∴∠DCE＝40°，故答案为：70°；40°；BC+DC＝CE；（2）①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；②分三种情况：（Ⅰ）当D在线段BC上时，α+β＝180°，如图2所示，理由如下：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC，∠ABC＝∠ACE，∵∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∵∠BAC＝∠DAE＝α，∠DCE＝β，∴α+β＝180°；（Ⅱ）当点D在线段BC反向延长线上时，α＝β，如图3所示，理由如下：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠ABD＝∠ACD+∠BAC，∴∠ACD+∠DCE＝∠ACD+∠BAC，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；（Ⅲ）当点D在线段BC的延长线上时，如图1所示，α＝β；综上所述，当点D在BC上移动时，α＝β或α+β＝180°；（3）∠ACB＝60°，理由如下：∵当点D在线段BC的延长线上或在线段BC反向延长线上移动时，α＝β，即∠BAC＝∠DCE，∵CE∥AB，∴∠ABC＝∠DCE，∴∠ABC＝∠BAC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°；∵当D在线段BC上时，α+β＝180°，即∠BAC+∠DCE＝180°，∵CE∥AB，∴∠ABC+∠DCE＝180°，∴∠ABC＝∠BAC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°；综上所述，当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，∠ACB的度数为60°．5．（1）①证明：∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；②∵△ACD≌△BCE，∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∵∠DCE＝α，∴∠CDE＝＝90°﹣α；（2）CE+BE＝AE，理由如下：由（1）知AD＝BE，∠CDE＝90°﹣×60°＝60°，∴CD＝CE＝DE，又AD+DE＝AE，∴BE+CE＝AE．6．解：（1）∵a2﹣4ab+4b2＝0，∴（a﹣2b）2＝0，∴a﹣2b＝0，∴a＝2b，∴CD＝2BC，∵BC＝BA，BD⊥AC，∴CD＝AC，CD＝AD，∴CD＝AC＝AD，∴△ACD为等边三角形；（2）在x轴上取点G，使OG＝OD，连接DF，∵OD平分∠COA，∴∠COD＝∠OFD，∵OD＝OD，∴△OCD≌△OFD（SAS），∴∠OCD＝∠OFD，CD＝DF，∵△ACD为等边三角形，∴CD＝DA，∴DA＝DF，∴∠OFD＝∠DAF，∴∠OCD＝∠DAF，∵∠OAD+∠DAF＝180°，∴∠OCD+∠OAD＝180°，∵∠OCD+∠OAD+∠AOC+∠ADC＝360°，∴∠AOC+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝60°，∴∠AOC＝120°；（3）在x轴的正半轴上取点G，使OD＝OG，过点C作CH⊥y轴于点H，∵∠OAC＝120°，OD平分∠AOC，∴∠AOD＝60°，∵OD＝OG，∴△ODG为等边三角形，∴OD＝DG，过点D作DM⊥AF于M，∴AF＝FM，OM＝MG，∴OA＝FG，∵△OCD≌△OFD，∴OC＝OF，∴OD＝OF+FG＝OC+OA，∵∠COA＝120°，∠AOH＝90°，∴∠COH＝30°，∴OC＝2CH，∵BC＝BA，∠CBH＝∠ABO，∠CHB＝∠ABO，∴△CBH≌△ABO（AAS），∴CH＝OA，∴OC＝2OA，∴OD＝3OA，设∠AOE＝α，∵∠COD＝∠CAD＝60°，∴∠OCB＝∠ODA，∵∠COD﹣∠OCB＝2∠AOE，∴60°﹣∠ODA＝2α，∵∠ODA＝180°﹣∠DOA﹣α﹣∠E，∴∠E＝α+60°，∵∠DOE＝60°+α，∴∠E＝∠DOE，∴OD＝DE，∵DE＝12，∴OA＝4，∴A（4，0）．7．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣30°＝60°，∵CD＝AD，∠A＝30°，∴∠DCA＝∠A＝30°，∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°，∴∠B＝∠BCD，∴BD＝CD；（2）解：∵∠CBD＝∠BCD＝60°，∴∠BDC＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴∠EDF＝60°，DE＝DF，∴∠BDC＝∠FDE，∴∠BDC﹣∠FDC＝∠FDE﹣∠FDC，即∠BDF＝∠CDE，在△BDF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（SAS），∴∠DBF＝∠DCE＝30°，故答案为：30；（3）解：PQ＝AP+PM，理由如下：如图③，连接BP，延长BP至F，使PF＝PM，连接MF，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D是AB中点，DP⊥AB，∴AP＝BP，∠ABP＝∠A＝30°，∵∠FPM＝∠A+∠ABP＝30°+30°＝60°，∴△PMF为等边三角形，∴PF＝PM＝MF，∠F＝60°，∵∠APQ＝90°﹣∠A＝60°，∴∠F＝∠QPM＝60°，∴∠BPQ＝180°﹣∠APQ﹣∠FPM＝60°，∴∠BPQ＝∠BMQ＝60°，∴∠Q＝∠MBF，在△BMF和△QMP中，，∴△BMF≌△QMP（AAS），∴PQ＝FB＝BP+PF，∵AP＝BP，PM＝PF，∴PQ＝AP+PM．8．（1）证明：∵AB＝AC，DE＝DC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴△ACB和△DCE都是等边三角形，∴BC＝AC，EC＝DC，∠DCA＝∠ECB，在△DCA和△ECB中，，∴△DCA≌△ECB（SAS），∴∠DAC＝∠EBC；（2）①证明：∵AB＝AC，DE＝DC，∠ACB＝∠DCE＝45°，∴△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠CAB＝∠CDE＝90°，∠ECB＝∠DCA，∴cos∠ACB＝cos∠DCE，∴即，又∵∠ECB＝∠DCA，∴△ECB∽△DCA，∴∠B＝∠DAC＝45°，∴∠DAC＝∠ACB＝45°，∴AD∥CB；②解：作EH∥AD交AC于点H，如图2所示：则：，由①中的△ECB∽△DCA得：，∵∠DAC＝∠B═45°＝∠DEC，∴∠ADE＝∠ACE，∴tan∠ACE＝tan∠ADE＝，设AE＝2m，∴tan∠ACE＝＝，∴AC＝4m，∴BE＝AB﹣AE＝AC﹣AE＝4m﹣2m＝2m，∴AE＝BE，∴BC＝AC＝4m，∵EH∥AD，AD∥CB，∴EH∥CB，∴EH是△ABC的中位线，∴EH＝BC＝×4m＝2m，AD＝＝＝m，∴＝＝．9．解：（1）由题意得，AP＝t，BP＝8﹣t，BQ＝2t，故答案为：t；8﹣t；2t；（2）PQ⊥AB，理由如下：连接AC，∵∠B＝60°，AB＝BC，∴△ABC为等边三角形，∵点Q到达点C时，BQ＝BC＝8cm，AP＝4，∴P为AB的中点，∴PQ⊥AB；（3）△BPQ能称为等边三角形，∵∠B＝60°，∴当BP＝BQ时，△BPQ能称为等边三角形，此时，8﹣t＝2t，解得，t＝．10．（1）证明：∵AB＝AC，H为BC的中点，∴∠B＝∠ACB，AH⊥BC，∴∠CHF＝90°，∵∠DEC＝∠BDE+∠B，∴∠DEC＝∠BDE+∠ACB，∵∠AFD＝∠ACB+∠BDE，∴∠AFD＝∠DEC，∵∠CFH＝∠AFD，∴∠DEC＝∠CFH，∵∠CFH+∠DCE＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∴∠CDE＝180°﹣（∠DCE+∠DEC）＝90°，∴CD⊥DE；（2）证明：由（1）得，∠AHB＝90°，∵BD＝DH，∴∠DBH＝∠DHB，∴90°﹣∠DBH＝90°﹣∠DHB，∴∠DAH＝∠DHA，∴DH＝AD，∴BD＝AD，如图2，延长GD交CA的延长线于M，∵BG∥AC，∴∠M＝∠BGD，∠DAM＝∠DBG，∴△DBG≌△DAM（AAS），∴DG＝DM，AM＝BG，由（1）知，CD⊥DE，∴CG＝CM，∴CG＝CM＝AM+AC＝BG+AC；（3）解：如图3，延长GD交CA的延长线于M，连接AP交CD于Q，连接BP交DG于N，连接DP，延长PH交CD于K，连接AK，在DC上取一点R，使DR＝HK，由（2）知，∠DAM＝∠DBG，BD＝AD，∵CP＝CA，∴CD⊥AP，CD平分AP，∴AD＝DP，∠CQP＝90°，∵BD＝AD＝DP，∴∠DBP＝∠DPB，∠DPA＝∠DAP，∵∠ABP+∠APB+∠BAP＝180°，∴∠DBP+∠DPB+∠DPA+∠DAP＝180°，∴∠APB＝90°，∴∠CQP＝∠APB，∴CD∥PB，∴∠HBP＝∠HCK，∠HPB＝∠HKC，∵BH＝CH，∴△HKC≌△HPB（AAS），∴HK＝PH＝6，CK＝PB，∴PK＝PH+HK＝6+6＝12，∵点K在CD上，∴AK＝PK＝12，∵∠AHK+∠PHB＝180°﹣∠AHB＝90°，∵∠PHB+∠ADF＝90°，∴∠AHK＝∠ADF，∵AD＝AH，DR＝HK，∴△ADR≌△AHK（SAS），∴AR＝AK，∠DAR＝∠HAK，∴QR＝QK，∠DAR+∠RAF＝∠HAK+∠RAF，∴∠DAF＝∠RAK，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，AH⊥BC，∴∠DAF＝∠BAC＝60°，∴△ARK是等边三角形，∴KR＝AK＝12，∵AP⊥CD，∴RQ＝KR＝6，∴DQ＝DR+RQ＝6+6＝12，∵∠CDG＝90°，∴∠CDE＝∠CQP，∴MG∥AP，∴∠APB+∠DNP＝180°，∴∠DNP＝90°，∵BD＝DP，∴BN＝NP，∵MG∥AP，∴∠NDP＝∠QPD，∵∠DNP＝∠CQP＝90°，DP＝DP，∴△NDP≌△QPD（AAS），∴DQ＝PN＝12，∴PB＝2PN＝2DQ＝24，∴CK＝PB＝24，∴CD＝DR+KR+CK＝6+12+24＝42，即线段CD的长为42．11．解：（1）∵△AOB，△CBD都是等边三角形，∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC，∴∠OBC＝∠ABC，在△OBC和△ABD中，∵，∴△OBC≌△ABD（SAS）；（2）点C在运动过程中，∠CAD的度数不会发生变化，理由如下：∵△AOB是等边三角形，∴∠BOA＝∠OAB＝60°，∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD＝∠BOC＝60°，∴∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°；（3）∵△OBC≌△ABD，∴∠BOC＝∠BAD＝60°，又∵∠OAB＝60°，∴∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，∵在Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，∴AE＝2，∴AC＝AE＝2，∴OC＝1+2＝3，∴当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．12．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．13．证明：（1）∵AB＝AC，M是BC中点，∴AM是∠BAC的角平分线，∵MD⊥AB，ME⊥AC，∴ME＝MD；（2）如图2，过点M作ME⊥AC于E，作MD⊥AB于D，则∠MDP＝∠MEQ＝90°，由（1）知：ME＝MD，∵∠PMQ＝150°，∠BAC＝30°，∴∠BAC+∠PMQ＝180°，∴∠APM+∠Q＝180°，∵∠APM+∠DPM＝180°，∴∠DPM＝∠Q，∴△MDP≌△MEQ（AAS），∴MP＝MQ；（3）如图3，作点N关于AC的对称点N1，点N关于AB的对称点N2，连接N1N2交AC于F，交AB于G，连接AN，AN2，AN，1由对称得：AN＝AN1＝AN2，∠CAN＝∠CAN1，∠BAN＝∠BAN2，∵∠BAC＝30°，∴∠N1AN2＝60°，∴△AN1N2是等边三角形，∴AN1＝N1N2，∵FN＝FN1，GN＝GN2，∴△NFG的周长＝FN+GN+FG＝FN1+FG+GN2，∵点N，F，G分别在BC，AB，AC上运动，∴当FN1，FG，GN2共线时，△NFG的周长最小，∴△NFG的周长的最小值是N1N2的长，即当N1N2最小时，△NFG的周长最小，∵N1N2＝AN，当AN⊥BC时，AN最小，此时N与M重合，∵AM＝12，∴△NFG的周长的最小值是12．14．解：【特例探究】①如图2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°，∵∠DBC＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝15°，在△ABD和△ABD′中，∴△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝15°，∠ADB＝∠AD′B，∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝60°，∵BD＝BD′，BD＝BC，∴BD′＝BC，∴△D′BC是等边三角形，②∵△D′BC是等边三角形，∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°，在△AD′B和△AD′C中，，∴△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，∴∠ADB＝30°．故答案为：等边，30°；【问题解决】解：∵∠DBC＜∠ABC，∴60°＜α≤120°，如图3中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BAC＝α，∴∠ABC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝90°﹣α﹣β，同（1）①可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝90°﹣α﹣β，BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝90°﹣α﹣β+90°﹣α＝180°﹣（α+β），∵α+β＝120°，∴∠D′BC＝60°，由（1）②可知，△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，∴∠ADB＝30°．【拓展应用】第①情况：当60°＜α＜120°时，如图3﹣1，由（2）知，∠ADB＝30°，作AE⊥BD，在Rt△ADE中，∠ADB＝30°，AD＝2，∴DE＝，∵△BCD'是等边三角形，∴BD'＝BC＝7，∴BD＝BD'＝7，∴BE＝BD﹣DE＝7﹣；第②情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．同理可得：∠ABC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠DBC﹣∠ABC＝β﹣（90°﹣α），同（1）①可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝β﹣（90°﹣α），BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B，∴∠D′BC＝∠ABC﹣∠ABD′＝90°﹣α﹣[β﹣（90°﹣α）]＝180°﹣（α+β），∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°．同（1）②可证△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C＝360°，∴∠ADB＝∠AD′B＝150°，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，AD＝2，∴DE＝，∴BE＝BD+DE＝7+，故答案为：7+或7﹣．15．解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，由旋转得：AB＝AD，∠BAD＝θ，∴AD＝AC，∴∠D＝∠ACD＝＝60°﹣θ，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE＝θ，∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝60°﹣θ+θ＝60°；（2）如图2，过F作FH∥AD，交AC于H，∵DF＝2FC，∴，∠CFH＝∠D＝∠ACD，∵AC＝6，∴CH＝FH＝2，取AH的中点P，连接FP，则∠CFP＝90°，∴点F在以H为圆心，CP为直径的圆上运动，∵FH为定值2，∴当B、F、H三点共线时，BF的长最小，过点B作BQ⊥AC于Q，则BQ＝＝3，∴BH＝＝＝2，∴BF＝2﹣2，∵BF∥AD，∴，即，∴AG＝6﹣12；（3）如图3，连接BE，延长EB至T，使BT＝AE，连接CT，∵AD＝AB，∠DAE＝∠BAE，AE＝AE，∴△ADE≌△ABE（SAS），∴BE＝DE，由（1）知：∠AEC＝60°，∴∠AED＝120°，∴∠AED＝∠AEB＝120°，∵∠ACB＝60°，∴∠ACB+∠AEB＝180°，∴∠EAC+∠EBC＝180°，∵∠EBC+∠CBT＝180°，∴∠EAC＝∠CBT，∵AC＝BC，AE＝AT，∴△AEC≌△BTC（SAS），∴CE＝CT，∠T＝∠AEC＝60°，∴△ETC是等边三角形，∴EC＝ET＝AE+ED，即当EC最大时，△AED的周长最大，∵∠AEB+∠ACB＝180°，∴A、E、B、C四点共圆，∴EC为直径时，EC最大，当EC为直径时，∠EAC＝90°，∴∠ACE＝30°，∵AC＝6，∴AE＝2，EC＝2AE＝4，∴△ADE的周长的最大值是6+4．。

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模型一：两个角的角平分线的夹角
例题1：如图1，在∆ABC 中，P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，若∠A=50o ，则∠P= 。

如图2，在∆ABC 中，P 点是∠ABC 和∠ACE 的角平分线的交点，若∠A=50o ，则∠P= 。

如图2，在∆ABC 中，P 点是∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点，若∠A=50o ，则∠P= 。

例题2：如图，在∆ABC 的三条内角平分线交于点I ，AI 的延长线与BC 交于点D ，
BC IH ⊥于H ，试比较∠CIH 和∠BID 的大小
例题3：如图，在∆ABC 中，角A=m o ，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1，∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得2A ∠， BC A 2014∠和CD A 2014∠的平分线交于点2015A ，求2015A ∠的度数 = 。

模型二：“8”字形图案的两条角平分线的夹角
例题4：已知线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD ，CB ，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于点M ，N 如图2，试回答下列问题：
（1）在图1中，直接写出D C B A ∠∠∠∠,,,之间的数量关系
（2）在图2中，D ∠与B ∠为任意角，试探究P ∠与D ∠、B ∠之间是否存在一定的数量关系，若存在，写出它们之间的关系并证明，若不存在，说明理由。

模型三：角平分线与高线的夹角
例题5：如图，在∆ABC 中，∠C=70o ，∠B=30o ，AE 平分∠BAC ，AD 垂直于BC ，垂足为D ，则∠DAE 为。

例题6：如图1，∆ABC 中，AE 平分∠BAC （∠C 大于∠B ），F 为AE 上的一点，且FD ⊥BC
于点D
（1）试推导EFD ∠与C B ∠∠,之间的数量关系
（2）如图2，当点F 在AE 的延长线上，其余的条件都不变，判断在（1）中推导出的结论是否成立？。