B样条曲线
B样条曲线
P4 P2
P0
F282.c 二次 B-样条曲线
４.三次Ｂ样条曲线 分段三次Ｂ样条曲线由相邻四个顶点 定义，其表达式为： P(t)=F0,3(t)•B0+F1,3(t)•B1+F2,3(t)•B2
+F3,3(t)•B3 (0≤t≤1) 可见，由 n 个顶点定义的完整的三次 Ｂ样条曲线是由 n-3 段分段曲线连接 而成的。很容易证明，三次Ｂ样条曲
角点共线的方法。
Q4
Q1
P1
。
P0
Q2
Q0
P2 Q3
• 四角点共线
若要使B样条曲线段之间切接入一段直线，可运用四
角点共线的方法。 Q5
Q1
Q2 。P1
P0
Q0
P2
P3
。
Q3 Q4
6.5 Bézier曲面和B样条曲面
6.5.1 Bézier曲面
Bézier曲面及控制网格演示动画
曲面的形状、位置由边界上的四个角点决定。中间角点只 反映曲面的凹凸程度。
三段曲线的形状。
角点重叠和角点共线(*)
• 二重角点
若要使B样条曲线与特征多边形相切，可运用二重角
点的方法。 P0
Q0 Q（0-1）
P1
Q1
Q2
P2
Q3
Q4
• 三重角点
若要使B样条曲线产生一个尖点1
P2 P3
Q1
P0
P4
Q5
Q0
Q6
• 三角点共线
若要使B样条曲线产生反向弧切接的效果，可运用三
✓用di1、di2、di3、di4(i=1,2,3,4 )构建四条V向曲线C1、C2、C3和C4(图中虚线);
✓参数v在[0,1] 之间取
b样条曲线曲率简易求解算法
b样条曲线曲率简易求解算法摘要：I.引言- 介绍b 样条曲线- 阐述曲率在曲线设计中的重要性II.b 样条曲线的定义与性质- 定义b 样条曲线- 介绍b 样条曲线的性质III.曲率的计算方法- 详细介绍b 样条曲率的计算方法- 解释各参数的含义及计算过程IV.曲率简易求解算法- 介绍曲率简易求解算法- 阐述算法的原理与步骤V.算法实现与分析- 给出算法实现代码- 分析算法的效率与准确性VI.结论- 总结文章内容- 指出算法的局限性与改进方向正文：I.引言b 样条曲线是一种具有广泛应用的曲线类型，广泛应用于计算机图形学、数值分析、建模等领域。
在曲线设计中，曲率是一个重要的参数，它反映了曲线在某一点处的弯曲程度。
因此，如何高效地计算b 样条曲率成为曲线处理领域的一个研究热点。
本文将介绍一种曲率简易求解算法，并对算法的原理与实现进行详细分析。
II.b 样条曲线的定义与性质b 样条曲线是一种以基函数和控制点加权求和表示的曲线，具有局部性和加权特性。
b 样条曲线可以表示为：C(u) = Σ[Ni(u) * Pi]其中，Ni(u) 是基函数，Pi 是控制点，u 是参数值。
b 样条曲线的性质包括：1) 局部性，即在某一区间内，曲线可以用基函数和控制点的有限和表示；2) 加权特性，即不同控制点对曲线的贡献程度不同，权重由基函数决定。
III.曲率的计算方法b 样条曲率的计算方法主要依赖于de Boor 算法，该算法利用b 样条曲线的性质，通过递归方式计算曲率。
具体计算过程如下：1) 计算第一阶导数C"(u)：C"(u) = Σ[Ni(u) * Ni(u)]2) 计算第二阶导数C""(u)：C""(u) = Σ[Ni(u) * (Ni(u) + Ni(u+1))]其中，Ni(u) 表示第i 个基函数在参数u 处的取值，Ni(u+1) 表示第i 个基函数在参数u+1 处的取值。
B样条曲线
Bezier曲线
给定P0、P1、P2、P3，三次曲线的参数形式如下：
三次曲线的动态图如下：
对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点R0、R1所建 构。P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中 定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1， 并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两 个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距， 决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长 度有多长”。
Bezier曲线
更高阶的贝塞尔曲线，可以用以下公式表示：用表示由点 P0、P1、…、Pn所决定的贝塞尔曲线。则有：
高阶曲线的动态图如下：
要“画”出贝塞尔曲线，一般需要进行 较多的计算，然后绘制出来。
Bezier曲线 Bezier曲线的一般化形式：
即：
其中多项式：
又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式，定义 00 = 1。
B样条曲线
Bezier曲线改变一点曲线整体受影响
B样条曲线
B样条曲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的优点：
易于进行局部修改； 更逼近特征多边形；
是低阶次的曲线。
B样条曲线改变一点曲线局部受影响
B样条曲线
均匀B样条曲线的参数表达式为：
式中为n次B样条基函数，其形式为：
其中
B样条曲线
B样条曲线的C语言实现
#include<graphics.h> #include<conio.h> float px[10]={50,90,150,120,220,300,380,320,450,500}; float py[10]={100,60,50,150,240,100,100,200,250,130}; void B_spline() { float a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3; int k,x,y; float i,t,dt,n=10; setcolor(15); dt=1/n; for(k=0;k<10;k++) { if(k==0) moveto(px[k],py[k]); lineto(px[k],py[k]); } setcolor(4); for(k=0;k<10-3;k++) { if(getch()==17)exit();
第三节 B-样条曲线
关于递推定义的系数
t − ti ti + k − t N i ,k +1 (t ) = N i ,k (t ) + N i +1,k (t )，i = 0,1,..., n ti + k −1 − ti ti + k − ti +1
ti ti
ti+1 ti+1 ti+1
t
t t
N i ,k −1 (t ) N i +1,k −1 (t ) N 'i ,k (t ) = (k − 1) − ti + k −1 − ti ti + k − ti +1
N i ,k (t )在l重节点处至少为k −1 − l次参数连续。
2012-3-5
28
问题：3阶B样条曲线生成
N i ,k (t )在区间[ti , ti + k ]上有定义，称后者为前者的支撑区间。
2012-3-5 20
3阶B-样条基函数图形
N i ,3 (t )
N i ,3 (t )的图形
2012-3-5
21
3阶B样条曲线示例
t2
T=[t0,t1,…,tn+1,tn+2,tn+3]
2012-3-5
t n +1
16
2012-3-5
续前页：
当t ∈ [ti , ti +1 )时： t − ti N i ,3 (t ) = N i , 2 (t ) tii+ 2 − ti +
t − ti t − ti ti + 2 − t = ( N i ,1 (t ) + N i +1,1 (t )) ti + 2 − ti ti +1 − ti ti + 2 − ti +1
第七章 B样条曲线
V2k、V3k和V4k四个点， 该四点构成u向的一个特
d1
征多边形，定义一条新 2
的曲线P(u,vk)；
d11
v
d14
d13
C1 d22
d23
C2 d32
d21
d31
u
d24 d33 C3 d4
2
d41
d34
d44 d43
C4
v
C1
C2 C3
V1k
V2k V3k
u
C4
V4k
✓当参数vk在[0,1] 之间取不同值时， P(u,vk)沿箭头方向扫描，即得到由 给定特征网格dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4) 定义的双三次均匀B样条曲面片 P(u,v)。
t [0,1]
1
2
3
4
5
t
四段二次(三阶)均匀B样条基函数
曲线的起点和终点值：
pi
(0)
1 2
(Pi
Pi 1 ),
pi
(1)
1 2
(Pi1
Pi2 )
均匀二次B样条曲线起点和终点处的导数：
pi(0) Pi1 Pi , pi(1) Pi2 Pi1
P1
P2
P0
P3
四个控制点的二次周期性B样条曲线
第七章 B样条曲线曲面
Bezier曲线有许多优越性，但有几点不足： 一、控制多边形的顶点个数决定了Bezier曲线的
阶次； 二、不能作局部修改； 三 、Bezier曲线的拼接比较复杂。
• 1972年，Gordon、Riesenfeld等人发展了 1946年Schoenberg提出的样条方法 , 提出 了B样条方法，在保留Bezier方法的优点， 克服了Bezier方法的弱点。
B样条曲线在图形学中的应用
02
边界表示
截面线表示
• 利用B样条曲线表示三维模型的边界曲面
• B样条曲线用于表示三维模型的截面线
• 可以提高模型重建的精度和效率
• 可以用于模型的参数化设计和编辑
B样条曲线在三维曲线与曲面绘制中的应用
曲面绘制
• B样条曲线用于表示三维曲面的参数化表示
• 可以用于曲面的细分、拼接等操作
曲线绘制
• 利用B样条曲线表示三维曲线
• 可以实现高质量的图像修复
• 可以实现有效的图像去噪效
效果
果
B样条曲线在图像压缩与编码中的
应用
01
图像压缩
• 利用B样条曲线进行图像的降维表示
• 可以实现高效的图像压缩效果
02
图像编码
• B样条曲线用于表示图像中的关键点信
息
• 可以提高图像编码的效率和可靠性
06
B样条曲线在其他领域中的应用
B样条曲线在建筑设计中的应用
图像分割
边缘检测
• 利用B样条曲线逼近图像中的纹理和颜色信息
• B样条曲线用于表示图像中的边缘信息
• 可以实现精确的图像分割效果
• 可以提高边缘检测的准确性和鲁棒性
B样条曲线在图像修复与去噪中的应用
图像修复
图像去噪
• 利用B样条曲线进行图像的局
• B样条曲线用于表示图像中的
部修复和填充
平滑区域
• 可以实现平滑、连贯的曲线效果
B样条曲线在三维动画与游戏设计中的应用
模型动画
角色动画
01
02
• B样条曲线用于表示三维模
• 利用B样条曲线表示角色的
型的运动轨迹和形状变化
骨骼关节运动轨迹
b样条曲线
t ti t ik 1 t i
Ni,k1 (t)
tik t tik ti1
Ni1,k1 (t),
k 2
该递推公式表明：欲确定第i个k阶B样条Ni,k(t)，需要用 ti ,ti+1 ,…ti+k 共k+1个节点，称区间[ti , ti+k]为Ni,k(t)的支撑区间。
曲线方程中，n+1个控制顶点Pi (i=0,1,…n) 要用到n+1个k阶B样条 基 Ni,k(t) 。 支 撑 区 间 的 并 集 定 义 了 这 一 组 B 样 条 基 的 节 点 矢 量 T=[t0 ,t1 ,…tn+k ]。
Ni 1,k 1(t )
其中Pi的调和函数Ni是在区间ti<=t<ti+k的k阶多项式，这个多项式 是分段的，每一段多项式不相同。不为0的这k段是将区间ti<=t<ti+k 分k个部分，即ti<=t<ti+1、ti+1<=t<ti+2、……、ti+k-1<=t<ti+k, 每个区间对应一段k阶多项式。在t的其余区间为0。
3.3.2 B样条曲线的性质
1. 局部性
k 阶B样条曲线上参数为 t [ti , ti1] 的一点P(t)至多与k个控制顶点
Pj(j=i-k+1,…i)有关，与其它控制顶点无关；移动该曲线的第i个控 制顶
点Pi至多影响到定义在区间(ti,ti+k) 上那部分曲线的形状, 对曲线的 其余
1 Ni,1(t) 0
ti t ti1 Otherwise
Ni,k (t)
t ti tik 1 ti
Ni,k1(t)
计算机图形学实验报告B样条曲线
千里之行，始于足下。
计算机图形学实验报告B样条曲线B样条曲线是计算机图形学中常用的一种曲线表示方法。
它通过插值曲线的控制点来定义曲线的形状，并且具有较好的平滑性。
本次实验中，我们使用C++语言实现了B样条曲线的生成和显示，并进行了相应的实验和分析。
实验目的：1.了解B样条曲线的原理和算法；2.掌握B样条曲线的生成和显示方法；3.通过实验观察和分析B样条曲线的性质。
一、B样条曲线的原理B样条曲线是一种基于控制点的插值曲线，它通过一系列连续的基函数（B 样条基函数）来插值控制点，从而生成曲线。
B样条曲线的基本原理如下：1.选择一组控制点P0，P1，…，PN-1；2.定义一组节点向量U={u0，u1，…，um}，其中u0<=u1<=…<=um；3.通过插值曲线的标准等式，通过计算线性组合来计算曲线上每个点的坐标。
二、B样条曲线的算法1.计算节点向量U；2.定义B样条基函数；3.计算曲线上每个点的坐标。
三、实验步骤和结果1.计算节点向量U：在实验中，我们选择均匀节点向量，即ui=i，其中i=0，1，…，m。
这样的节点向量比较简单，而且能够生成比较平滑的曲线。
第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。
2.定义B样条基函数：B样条基函数是用来插值曲线的重要部分，它可以通过递归定义来实现。
在实验中，我们使用了三次B样条基函数，其递归定义如下：N(i,1)(u)={1，u∈[ui,ui+1]；0，否则}N(i,k)(u)=[(u-ui)/(ui+k-1-ui)]*N(i,k-1)(u)+(ui+1-u)/(ui+k-ui+1)*N(i+1,k-1)(u)3.计算曲线上每个点的坐标：通过计算线性组合来计算曲线上每个点的坐标。
具体计算方法如下：P(u)=sum(B(i,k)(u)*Pi，i=0 to n-1)，其中B(i,k)(u)=N(i,k)(u)/sum(N(j,k)(u))四、实验结果和分析在实验中，我们通过改变控制点的位置和数量，生成了不同的B样条曲线，并进行了显示和分析。
b样条曲线曲率简易求解算法
b样条曲线曲率简易求解算法摘要：一、背景介绍二、B样条曲线的基本概念1.控制点2.节点3.次数三、B样条曲线的曲率求解方法1.切线方向求解2.曲率求解公式四、简易求解算法步骤1.确定控制点2.计算切线方向3.计算曲率4.应用曲率求解公式五、算法实例演示六、算法优缺点分析1.优点2.缺点七、结论与展望正文：一、背景介绍在计算机图形学、计算机辅助设计等领域，B样条曲线（B-spline curve）是一种广泛应用的曲线表示方法。
它具有较好的局部性和灵活性，可以方便地控制曲线的形状。
然而，B样条曲线的曲率求解一直是一个较为复杂的问题。
本文将介绍一种简易的B样条曲线曲率求解算法，以期为相关领域的研究和实践提供参考。
二、B样条曲线的基本概念1.控制点：B样条曲线由一系列控制点确定，这些控制点共同决定了曲线的形状。
2.节点：节点是B样条曲线上的关键点，它们将曲线划分为若干段，每段的曲率由相邻节点决定。
3.次数：B样条曲线的次数表示曲线上最多可以取样的点的数量。
次数越高，曲线越平滑。
三、B样条曲线的曲率求解方法B样条曲线的曲率求解方法主要包括切线方向求解和曲率求解公式。
1.切线方向求解：在B样条曲线上，相邻两个节点之间的切线方向可以通过插值基函数计算得到。
基函数的值决定了切线方向上的权重，从而影响曲线的弯曲程度。
2.曲率求解公式：B样条曲线的曲率可以通过切线方向的改变率求得。
在相邻两个节点间，曲率表示为切线方向的变化量除以节点间距。
四、简易求解算法步骤1.确定控制点：根据需求设定一定数量的的控制点，以确定B样条曲线的初始形状。
2.计算切线方向：利用插值基函数计算相邻节点间的切线方向。
3.计算曲率：根据切线方向的改变率，计算B样条曲线的曲率。
4.应用曲率求解公式：将计算得到的曲率应用于B样条曲线，得到最终的曲线形状。
五、算法实例演示以下是一个简单的B样条曲线曲率求解算法实例。
设定四个控制点分别为（0，0），（1，2），（2，4），（3，6），次数为3。
b样条曲线的一般表达式
B 样条曲线的一般表达式B 样条曲线是一种用于曲线拟合和插值的数学工具，具有很好的局部性和灵活性。
本文将介绍 B 样条曲线的一般表达式，以及其应用场景和优点。
B 样条曲线是一种用于曲线拟合和插值的数学工具，由Schatzman 和 Thomas 于 1967 年提出。
与常见的多项式插值和样条插值不同，B 样条曲线采用基函数和控制点来描述曲线，具有很好的局部性和灵活性。
B 样条曲线的一般表达式为:$$P(x) = sum_{i=0}^n lambda_i B_i(x)$$其中，$P(x)$表示曲线在$x$点的值，$lambda_i$是控制点，$B_i(x)$是基函数。
B 样条曲线的基函数是通过 B-spline 函数生成的。
B-spline 函数是一种用于描述曲线或曲面的数学函数，具有很好的局部性和光滑性。
B-spline 函数的定义如下:$$B_i(u) = begin{cases}u^0 & text{if } u leq i(i-u)^i & text{if } i < u leq i+1u^i & text{if } u > i+1end{cases}$$其中，$u$表示曲线或曲面上的某个点，$i$表示 B-spline 函数的阶数。
B 样条曲线的控制点是指在曲线或曲面上选取的一些点，通过这些点的值可以控制曲线或曲面的形状。
B 样条曲线的控制点可以通过以下公式计算:$$lambda_i = frac{1}{p_i - p_{i-1}}$$其中，$p_i$表示曲线或曲面上的第$i$个控制点，$p_{i-1}$表示曲线或曲面上的第$i-1$个控制点。
B 样条曲线的优点在于，它可以很好地适应曲线的局部性和复杂性，同时具有很好的计算效率和精度。
B-样条曲线
Ni1,2 (t)
t [ti1, ti2 )
ti3 t
ti3 ti1 0
Ni1,2 (t)
t [ti2 , ti3 ) 其它
整理课件
16
续前页：
当t [ti ,ti1)时：
Ni,3 (t )
t ti ti2 ti
Ni,2 (t)
t ti ti2 ti
( t ti ti1 ti
B-样条曲线示例
整理课件
11
1阶B-样条基函数
K=1时的基函数
1 Ni,1(t) 0
t [ti ,ti1) 其它
N i,1 (t )
Ni,1(t)的图形
Ni,1(t)在区 ti,ti1 间 上有定义者 ，的 称支 后撑 者
整理课件
12
K=1时定义的曲线示例
n
P(t) PiNi1(t)
Pi
• K=3时的基函数
Ni,3 (t )
t ti ti2 ti
Ni,2 (t)
ti3 t ti3 ti1
Ni1,2 (t)
t [ti ,ti3)
t ti ti2 ti
Ni,2 (t)
t [ti ,ti1)
t ti ti2 ti
Ni,2 (t)
ti3 t ti3 ti1
其它
Ni,k(t)在区 ti,tik 间 上有定义， 者称 的后 支者 撑
整理课件
20
3阶B-样条基函数图形
N i,3 (t)
Ni,3(t)的图形
整理课件
21
3阶B样条曲线示例
t2
tn1
T=[t0,t1,…,tn+1,tn+2,tn+3]
整理课件
B样条曲线
08-09第二学期
二次Ｂ样条曲线的性质
先对 P(t)求导得：
P(t) t
111
2 1
1 0
B0 B1 B2
然后分别将 t=0,t=0.5,t=1 代入 P(t)
和 P’(t)，可得：
P(0)=1/2(B0+B1), P(1)=1/2(B1+B2); P’(0)=B1-B0, P’(1)=B2-B1; P(1/2)=1/2{1/2[P(0)+P(1)]+B1} P’(1/2)=1/2(B2-B0)=P(1)- P(0)
P04 P14
P44
P03
P02 P01
P11 P21
P31
P41
P(0,v)
P20
P10
P30
Pn0 ，
P00
P(u,0) P40
赤峰学院计算机系
Bézier曲面的端点和边界线
计算机图形学
08-09第二学期
n m1
nm
P(u, v)
Bi,n (u)B j,m (u) pij
i0 j0
u, v [0,1]
使曲线与特征多边形相切； 使曲线通过指定点； 指定曲线的端点； 指定曲线端点的约束条件。
赤峰学院计算机系
计算机图形学
08-09第二学期
B样条曲线的适用范围
对于特征多边形的逼近性
二次B样条曲线优于三次B样条曲线
三次Bezier曲线优于二次Bezier曲线
• 相邻曲线段之间的连续性
二次B样条曲线只达到一阶导数连续
Ｂ样条曲线是由 n-3 段分段曲线连接
而成的。很容易证明，三次Ｂ样条曲
线在连接处达到二阶连续。 ***
赤峰学院计算机系
B样条曲线
3.3.1 B样条的递推定义和性质 样条的递推定义和性质
4. B样条曲线类型的划分
非均匀Bezier曲线 曲线 非均匀 任意分布的节点矢量 T=[t0,t1,…,tn+k]，只要在数学上成立（节点 ，只要在数学上成立（ 序列非递减，两端节点重复度≤k，内节点重复度≤k-1）都可选取。这 序列非递减，两端节点重复度 ，内节点重复度 ）都可选取。 样 的 节 点 矢 量 定 义 了 非 均 匀 B 样 条 基 。 例 T=(0 11,16) 如:T=(0,0,2,2,3,5,8,11,16)
t ∈[t k −1 , tn+1 ]
(3) 微分公式
N′ k (t) = i,
k −1 ti+k−1 − ti
Ni,k−1(t) -
k −1 Ni+1,k−1(t) ti+k − ti+1
其中Pi的调和函数Ni是在区间ti<=t<ti+k的 阶多项式， 其中Pi的调和函数Ni是在区间ti<=t<ti+k的k阶多项式，这个多项式 Pi的调和函数Ni是在区间ti<=t<ti+k 是分段的，每一段多项式不相同。不为0的这k段是将区间ti<=t<ti+k 是分段的，每一段多项式不相同。不为0的这k段是将区间ti<=t<ti+k 个部分， ti<=t<ti+1、ti+1<=t<ti+2、……、ti+k分k个部分，即ti<=t<ti+1、ti+1<=t<ti+2、……、ti+k-1<=t<ti+k, 每个区间对应一段k阶多项式。 的其余区间为0 每个区间对应一段k阶多项式。在t的其余区间为0。 例如： 例如：
B-样条曲线
Ni1,k 1
u
定义
0
0
0
4
B-样条基函数实例
n=3 (4个控制顶点)
u
k=3 三次(四阶)曲线
u=[0 0 0 1 2 2 2 2]
在 u = 0.6 处， 基函数的和为： N1,3+N2,3+N3,3+N4,3 =0.16+0.66+0.18+0.0= 1.0
5
B-样条曲线性质
B-样条曲线具有凸包性和几何不变性。 当曲线的两个端节点的重复度是k+1时
B-样条曲线具有类似于Bézier曲线的性质
端点插值性质 端点导数与控制的起始边与终止边相切
当n=k+1时，B-样条曲线就是一条Bézier曲线
6
B-样条曲线性质
局部性：当移动一个控制顶点时，只会影响曲线的一部 分，而不是整条曲线
三次B-样条曲线的局部性质
7
n
Ru Ri Ni,k u i0
u uk ,un1
3
B-样条曲线的定义
Ri为控制顶点，{Ri}i=0,1,…,n顺次连接称为曲线的 控制多边形
Ni,k(u)为单位化的B-样条基函数：
1
Ni,0
0
当ui u ui1 其它
Ni
,kuΒιβλιοθήκη u ui uik uiNi,k 1
u
uik 1 u uik 1 ui1
B-样条曲线实列
R2
R1
R3
R7
R0
R4
R6
R5
三次(四阶)B-样条曲线
2
B-样条曲线的定义
B-样条曲线是分段连续的多项式曲线， 其定义与节点向量密切相关
b样条曲线算法
b样条曲线算法B样条曲线算法是一种用于计算和绘制平滑曲线的数学算法。
它可以在计算机图形学、CAD、动画等领域中广泛应用。
本文将详细介绍B 样条曲线算法的原理、应用、优缺点等方面。
一、B样条曲线概述1.1 定义B样条曲线是一种由多个控制点组成的平滑曲线，它通过对控制点之间的插值来确定曲线形状。
1.2 历史B样条曲线最早由Isaac Jacob Schoenberg于1946年提出，但直到20世纪60年代才开始被广泛使用。
最初，它主要应用于航空工业中的飞机设计和建模。
1.3 特点B样条曲线具有以下特点：（1）平滑性：B样条曲线可以通过调整控制点来实现平滑过渡。
（2）局部性：每个控制点只影响相邻的几个插值段，不会影响整个曲线。
（3）灵活性：可以通过增加或删除控制点来改变曲线形状。
二、B样条曲线原理2.1 插值问题在计算机图形学中，插值是一个常见的问题。
插值问题通常可以概括为：给定一组数据点，如何通过这些数据点来构造一个平滑的曲线或曲面。
2.2 B样条基函数B样条曲线使用B样条基函数来进行插值。
B样条基函数是一组递归定义的多项式函数，它们具有局部性和平滑性。
2.3 B样条曲线方程B样条曲线可以表示为以下形式：C(u) = ΣNi=0 Bi,k(u)Pi其中，C(u)是曲线上的点，Ni是控制点的数量，Bi,k(u)是B样条基函数，Pi是控制点。
三、B样条曲线应用3.1 计算机图形学在计算机图形学中，B样条曲线广泛用于三维建模和动画制作中。
它可以用于创建平滑的曲面和复杂的几何体。
3.2 汽车设计在汽车设计中，B样条曲线被用于创建汽车外观的流畅轮廓。
它可以通过调整控制点来实现汽车外观的微调。
3.3 航空工业在航空工业中，B样条曲线被广泛用于飞机设计和建模。
它可以用于创建复杂的飞行器结构和机翼形状。
四、B样条曲线优缺点4.1 优点（1）平滑性：B样条曲线可以通过调整控制点来实现平滑过渡。
（2）局部性：每个控制点只影响相邻的几个插值段，不会影响整个曲线。
b样条曲线的定义域
• B样条曲线的基本概念 • B样条曲线的数学表达 • B样条曲线的应用场景 • B样条曲线的计算方法 • B样条曲线的优化与改进 • B样条曲线的实例展示
目录
Part
01
B样条曲线的基本概念
定义与性质
B样条曲线的定义
B样条曲线是一种参数曲线，定义在给定的节点区间上，通过控制多边形的顶点来逼近给 定的曲线。
基函数
多维B样条曲线的基函数是$N_{i,k}(t_1, t_2, ..., t_n)$，其中$i$表示控制点序列中的第$i$个点，$k$表示B样条曲线 的阶数。
控制点
多维B样条曲线的控制点是一个多维向量，改变控制点的值会影响曲线的形状。
均匀与非均匀B样条曲线
01
定义
均匀B样条曲线是指各段曲线的节点参数均匀分布，即各段曲线的长度
参数化优化
参数化方法选择
针对不同的应用场景和需求，选 择适合的参数化方法，如基于能 量的参数化方法、保形参数化方 法等。
优化目标设定
根据实际需求，设定优化的目标 函数，如最小化能量、最大化保 形性等。
求解优化问题
采用合适的优化算法，如梯度下 降法、牛顿法等，求解优化问题 ，得到最优的参数化结果。
自适应节点插入技术
03
多维B样条曲线实例
f_{0}(x)g_{1}(y)f_{1}(x)g_{0}(y)+f_{1}(x)g_{1}(y) & (x,y) \in [0,1] \times [1,2] \\
f_{0}(x)g_{2}(y)f_{1}(x)g_{1}(y)+f_{2}(x)g_{0}(y)f_{2}(x)g_{1}(y)+f_{3}(x)g_{0}(y) & (x,y)
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一般称 Pij为 P(u, v)的控制顶点，把由 Pi0 , Pi1, , Pim
(i 0,1, , n) 和 P0 j , P1 j , , Pnj( j 0,1, , m) 组成的网格 称为 P(u, v)的控制网格，记为{Pij} ,如图9.15所示。
v
3
bi (v) bijBj,3(v)i 0,1,2,3
j0
根据“线动成面”的思想，按设定间
隔取v* [0,1] ，在四条v线上取点，沿u
u
向生成三次Bezier曲线：
v V*
3
b(u) bi (v* )Bi,3 (u)
i0
将u,v向曲线方程合并得：
3
33
u
b(u,v) bi (v)Bi,3(u)
更逼近特征多边形； 是低阶次曲线。 于是，用 n次Ｂ样条基函数替换了伯 恩斯坦基函数，构造了称之为Ｂ样条 曲线的新型曲线。
2.Ｂ样条曲线的数学表达式 Ｂ样条曲线的数学表达式为：
n
Pi,n (t)
Pik Fk ,n (t )
k 0
控制顶点 B样条基函数
在上式中０≤t≤1 , i= 0, 1, 2, …, m 所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定 义的。如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i= 0, 1, 2,…, m+n)，则可定义 m+1 段 n 次的参数曲线。
用di1、di2、di3、di4(i=1,2,3,4 )构建四条V向曲线C1、C2、C3和C4(图中虚线);
三段曲线的形状。
角点重叠和角点共线(*)
• 二重角点
若要使B样条曲线与特征多边形相切，可运用二重角
点的方法。 P0
Q0 Q（0-1）
P1
Q1
Q2
P2
Q3
Q4
• 三重角点
若要使B样条曲线产生一个尖点，可运用三重角
点的方法。
Q2 Q3 Q4
P1
P2 P3
Q1
P0
P4
Q5
Q0
Q6
• 三角点共线
若要使B样条曲线产生反向弧切接的效果，可运用三
注：矩阵表示见课本
曲面片1
P3,3(Q0,3) Q3,3
P3,2(Q0,2)
P0,3
P3,1(Q0,1) Q3,0
P(u,v)
Q(u,v) P3,0(Q0,0) 边界线
P0,0
Beziet曲面片的拼接
曲面片2
6.5.2 B样条曲面的定义和性质
uv v v u u u 设节点向量 U
ui
不易修改 由曲线的混合函数可 看出，其值在开区间 ( 0 , 1 ) 内均不为 零。因此，所定义之曲线在 ( 0 < t < 1) 的区间内的任何一点均要受到全部顶 点的影响，这使得对曲线进行局部修 改成为不可能。 （而在外形设计中，
局部修改是随时要进行的）
为了克服 Bezier 曲线存在的问题， Gordon 等人拓展了 Bezier曲线，就 外形设计的需求出发，希望新的曲线 要：易于进行局部修改；
P14
P04
P03 P02 P01
P11 P21
P31
P(0,v)
P10 P20
P41 P30
P00
P(u,0)
P40
图9.15 Bézier曲面的控制网格
Bézier曲面的矩阵表示是：
P(u, v) [J0,n (u) J1,n (u)
P00 P01
J
n,n
(u)]
P10
P11
,V
i
{v
j
} j
(
≤i
i1 ,
j ≤ v j1)分别是
对参数 平面的 轴和 轴的分割，如图1所示。称下列张量积形
式的参数曲面为 k h( k≤n,h≤m)阶的B样条曲面
n
P(u, v)
m
Pij Bi,k (u)B j,h (v)
,uk-1≤u≤un＋1,vh-1≤v≤vm＋1
Bi,3(u)Bj,3(v)b(i, j) v
i0
i0 j0
Bézier曲面的定义
在空间中给定(n+1)×(m+1)个点，称以 下张量积形式的参数多项式曲面为n×m次的 Bézier曲面:
• 贝塞尔曲面表达式如下：
nm
P(u,v)=∑ ∑bi,jBi,n(u)Bj,m(v) 0≤u,v≤1
i=0 j=0
B样条曲线的适用范围
对于特征多边形的逼近性
二次B样条曲线优于三次B样条曲线 三次Bezier曲线优于二次Bezier曲线
• 相邻曲线段之间的连续性
二次B样条曲线只达到一阶导数连续 三次B样条曲线则达到二阶导数连续
• 角点的修改对曲线形状的影响
Bezier曲线：修改一个角点将影响整条曲线的形状。 B样条曲线：修改一个角点只影响该角点所在位置前后
i0 j0
其中Pij是空间中给定的(n+1)×(m+1)个网格点，通常称为 P(u, v)的 控制顶点。Bi,k (u) ，B j,h (v)分别是关于节点向量U,V的k阶和h阶的B样条
基函数。
vm
vj
v2
vv01 u0
u1
u2
ui
un
图1 uv平面的分割
由两组多边形 Pi0Pi1Pi2
Pim ( i 0,1, 2,
Bk 即为：Pi,Pi+1,Pi+2 连续的三个顶 点。 （见下图）
n
Pi,n (t)
Pik Fk ,n (t )
k 0
B: P1,P2,P3 P3
P1 i=1 P1,2(t)
n=2,二次B样条曲线 m+n+1个顶点，三 点一段，共m+1段。
P4
i=0
P2
P0,2(t)
P0
B: P0,P1,P2
)和 , n
P0 j P1 j P2 j
Pnj
( j 0,1, 2, , m )组成的网格（如图2）称为P(u,v) 的
控制网格，简记为 {Pij}。
P04 P01
P10
P20
P00
P40
图2 B样条曲面及其控制网格
均匀B样条曲面
给定16个顶点dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4)构成的特征网格，可以定义一张曲面片。
Pn
0
Pn1
P0m J0,m (v)
P1m
J1,m
(v)
Pnm
J
m,m
(v)
Bézier曲面具有以下性质：
(1) 端点位置
控制网格的四个角点 P00, P0m, Pn0, Pnm 是曲面P(u, v) 的四个端点。决定了曲线的形状，位置。
P(0, 0) P00, P(0,1) P0m
( i= 0,1,2,…,m ) m+1段
写成一般的矩阵形式为：
2
P(t) Fk,2 (t) Bk t 2
k 0
t
1
1
1 2
2
1
2 2 1
1B0
0
B1
0B2
式中，Ｂk为分段曲线的Ｂ特征多边形 的顶点：B0,B1,B2。对于第i段曲线的
与以上这些式子所表达的性质相符的 曲线是何种形状：（见下图）
B1
P(1/2)
P'(1/2)
P(0)
M
P(1)
B0
是什么曲线？
与Bezier曲线有
B2
何差别？
结论：分段二次B样条曲线是一条抛 物线；有n个顶点定义的二次B样条曲 线，其实质上是n-2段抛物线（相邻三 点定义）的连接，并在接点处达到一 阶连续。（见下图）
Bezier曲面
Bezier曲面是Bezier曲线的扩展， Bezier曲面的边界线就是由四条Bezier曲 线构成的。三次Bezier曲线段由四个控制 点确定，三次Bezier曲面片则由４× ４ 控制点确定。16个控制点组成一个矩阵：
Q00 Q 10 Q20 Q30
B=
Q01 Q 11 Q02 Q12
P3 P1
P4 P2
P0
F282.c 二次 B-样条曲线
４.三次Ｂ样条曲线 分段三次Ｂ样条曲线由相邻四个顶点 定义，其表达式为： P(t)=F0,3(t)•B0+F1,3(t)•B1+F2,3(t)•B2
+F3,3(t)•B3 (0≤t≤1) 可见，由 n 个顶点定义的完整的三次 Ｂ样条曲线是由 n-3 段分段曲线连接 而成的。很容易证明，三次Ｂ样条曲
线在连接处达到二阶连续。 *** F281.c 三次 B-样条曲线
Ｂ样条曲线是一种非常灵活的曲线，曲线 的局部形状受相应顶点的控制很 直观。这 些顶点控制技术如果运用得 好，可以使整 个Ｂ样条曲线在某些部位满足一些特殊的技 术要求。如：可以在曲线中构造一段直线；
使曲线与特征多边形相切； 使曲线通过指定点； 指定曲线的端点； 指定曲线端点的约束条件。
Q21 Q22
Q31 Q32
Q03 Q13 Q23 Q33
u
Q30 Q20
Q10 Q00
Q01
w
Q31
Q11Q21
Q32 Q22 Q33
Q02 Q12Q13Q23
Q03
由曲线拓展为Bézier曲面
给定空间16个位置点bij，可以确定 一张三次Bezier曲面片。