2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评+十二+函数模型及其应用

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2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评+二十任意角和弧度制及任意角的三角函数

核心素养测评二十任意角和弧度制及任意角的三角函数(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.若sin α<0且tan α<0,则α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】选D.由sin α<0,得α的终边在第三或第四象限或在y轴非正半轴上;由tan α<0,得α在第二或第四象限,所以α是第四象限角.2.sin 2cos 3tan 4的值( )A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在【解析】选A.因为sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0,所以sin 2cos 3tan 4<0.3.若角α=45°+k·180°,k∈Z,则角α的终边落在( )A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限【解析】选A.当k为偶数时,令k=2n,α=45°+n·360°,此时α为第一象限角,排除C,D;当k为奇数时,令k=2n+1,α=225°+n·360°,此时α是第三象限角,排除B;所以角α的终边落在第一或第三象限.4.已知扇形的半径为12 cm,弧长为18 cm,则扇形圆心角的弧度数是( )A. B. C. D.【解析】选B.l=|α|r,所以|α|===.5.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是( )A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]【解析】选A.由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上,所以解得-2<a≤3.6.已知点P落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为( ) A. B.C. D.【解析】选D.点P,即P,点P落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),所以θ=.7.(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°,cos150°),则α=( )A.150°B.135°C.300°D.60°【解析】选C.由sin 150°=>0,cos 150°=-<0,可知角α终边上一点的坐标为,所以该点在第四象限,由三角函数的定义得sin α=-,因为0°≤α<360°,所以角α为300°.二、填空题(每小题5分,共15分)8.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是________. 【解析】一个周角是2π,因此分针10分钟转过的角的弧度数为×2π=.答案:9.(2020·扬州模拟)在平面直角坐标系xOy中,60°角终边上一点P 的坐标为(1,m),则实数m的值为________.【解析】因为60°角终边上一点P的坐标为(1,m),所以tan 60°=, 因为tan 60°=,所以m=.答案:10.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为________.【解析】设圆半径为r,则其内接正三角形的边长为r,所以r=αr,所以α=.答案:(15分钟35分)1.(5分)已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为( ) A.2 B.4 C.6 D.8【解析】选C.设扇形的半径为r(r>0),弧长为l,则由扇形面积公式可得2=lr=|α|r2=×4×r2,解得r=1,l=|α|r=4,所以所求扇形的周长为2r+l=6.2.(5分)(2019·南昌模拟)已知角α终边上一点P的坐标是(2sin 2,-2cos 2),则sin α等于( )A.sin 2B.-sin 2C.cos 2D.-cos 2【解析】选D.因为r==2,由任意角的三角函数的定义,sin α==-cos 2.3.(5分)函数y=的定义域为________.【解析】因为2sin x-1≥0,所以sin x≥.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示). 所以x∈(k∈Z).答案:(k∈Z)4.(10分)已知角α的顶点在坐标原点,始边为x轴的非负半轴,终边上有一点P(3a,4a),其中a≠0,求sin α,cosα,tanα.【解析】设r=|OP|==5|a|.①当a>0时,r=5a,所以sin α==,cos α==,tan α==;②当a<0时,r=-5a,所以sin α=-,cos α=-,tan α=.综上,sin α=,cos α=,tan α=,或sin α=-,cos α=-,tan α=.5.(10分)已知角α终边经过点P(x,-)(x≠0),且cos α=x.求sin α+的值.【解析】因为P(x,-)(x≠0),所以点P到原点的距离r=.又cos α=x,所以cos α==x.因为x≠0,所以x=±,r=2.当x=时,P点坐标为(,-),由三角函数的定义,sin α=-,=-,所以sin α+=--=-;当x=-时,同理可得sin α+=.【变式备选】在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点是坐标原点,始边为x轴的非负半轴,终边与单位圆O交于点A(x1,y1),α∈.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转,交单位圆于点B(x2,y2).(1)若x1=,求x2.(2)过A,B作x轴的垂线,垂足分别为C,D,记△AOC及△BOD的面积分别为S1,S2,且S1=S2,求tan α的值.【解析】(1)因为x1=,y1>0,所以y1==,sin α=,cos α=,所以x2=cos=cos αcos-sin αsin=-.(2)S1=sin αcos α=sin 2α.因为α∈,所以α+∈,S2=-sin cos=-sin=-cos 2α.因为S1=S2,所以sin 2α=-cos 2α,即tan 2α=-,所以=-,解得tan α=2或tan α=-.因为α∈,所以tan α=2.关闭Word文档返回原板块。

2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心考点·精准研析 3.3

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核心考点·精准研析考点一用导数解决函数的极值问题命题精解读考什么:(1)考查求值、解方程、解不等式等问题.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养及数形结合、分类与整合等数学思想.怎么考:与函数图象、方程、不等式、函数单调性等知识结合考查求函数极值、知函数极值求参数等问题.新趋势:函数极值、导数的几何意义及函数图象等知识交汇考查为主学霸好方法1.求函数f(x)极值的一般解题步骤(1)确定函数的定义域;(2)求导数f ′(x);(3)解方程f ′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;(4)列表检验f ′(x)在f ′(x)=0的根x0左右两侧值的符号.2.已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.(2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.由图象判断函数的极值【典例】(2020·咸阳模拟)已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则=________.【解析】f′(x)=3ax2+2bx+c;根据图象知,x=-1,2是f(x)的两个极值点;所以x=-1,2是方程3ax2+2bx+c=0的两实数根;根据根与系数的关系得,所以2b=-3a,c=-6a,所以===1.答案:1由函数f(x)的图象确定极值点的主要依据是什么?提示:局部最高(低)点的横坐标是极大(小)值点.求已知函数的极值【典例】已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数).(1)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x轴,求a的值.(2)求函数f(x)的极值.【解析】(1)由f(x)=x-1+,得f ′(x)=1-.又曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x轴,所以f ′(1)=0,即1-=0,解得a=e.(2)f ′(x)=1-,当a≤0时,f ′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数f(x)无极值.当a>0时,令f ′(x)=0,得e x=a,即x=ln a,当x∈(-∞,ln a)时, f ′(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时, f ′(x)>0,所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,故f(x)在x=ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)= ln a,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,f(x)在ln a处得极小值ln a,无极大值.若函数f(x)在区间[a,b]内有极值,则极值点有可能是a或b吗?f(x)在(a,b)内可以是单调函数吗?提示:若函数y=f(x)在区间[a,b]内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值,且极值点一定不是a和b.已知函数极值情况求参数值(范围)【典例】设a∈R,若函数y=x+aln x在区间上有极值点,则a的取值范围为 ( )A.B.C.∪(e,+∞)D.(-∞,-e)∪【解析】选B.因为函数y=f(x)=x+aln x在区间上有极值点,所以y′在区间上有零点.f′(x)=1+=(x>0).所以f′·f′(e)<0,所以(ea+1)<0,解得-e<a<-,所以a的取值范围为.已知函数极值求参数,常转化为什么问题?提示:常转化为方程的根和函数零点的问题.1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)【解析】选D.由题图可知,当x<-2时,1-x>3,此时f′(x)>0;当-2<x<1时,0<1 -x<3,此时f′(x)<0;当1<x<2时,-1<1-x<0,此时f′(x)<0;当x>2时,1-x<-1,此时f′(x)>0,由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.2.设函数f(x)=ln x+ax2-x,若x=1是函数f(x)的极大值点,则函数f(x)的极小值为________.【解析】函数f(x)=ln x+ax2-x,函数定义域为(0,+∞),f′(x)=+2ax-.若x=1是函数f(x)的极大值点,则f′(1)=0,解得a=;所以f(x)=ln x+x2-x, f′(x)=+x-==;当f′(x)>0时,0<x<1或x>2;函数在(0,1)和(2,+∞)上单调递增;当f′(x)<0时,1<x<2,函数在(1,2)上单调递减;所以函数在x=1时有极大值;函数在x=2时有极小值为f(2)=ln 2-2.答案:ln 2-23.(2019·荆门模拟)已知函数f(x)=x2+2x-2xe x.求函数f(x)的极值.【解析】因为函数f(x)=x2+2x-2xe x(x∈R),所以f′(x)=2x+2-2e x-2xe x=(2x+2)(1-e x),由f′(x)=0,得x=-1或x=0,列表讨论,得:x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,+∞) f′(x) - 0 + 0 -f(x) ↘极小值↗极大值↘所以当x=-1时,f(x)极小值=f(-1)=1-2+2×=-1,当x=0时,f(x)极大值=f(0)=0.设函数f(x)=e x(sin x-cos x)(0≤x≤2 016π),则函数f(x)的各极大值之和为 ( )A. B.C. D.【解析】选D.因为函数f(x)=e x(sin x-cos x),所以f′(x)=[e x(sin x-cos x)]′=e x(sin x-cos x)+e x(cos x+sin x)=2e x sin x; 令f′(x)=0,解得x=kπ(k∈Z);所以当2kπ<x<2kπ+π时,f′(x)>0,原函数单调递增,当2kπ+π<x<2kπ+2π时,f′(x)<0,原函数单调递减;所以当x=2kπ+π时,函数f(x)取得极大值,此时f(2kπ+π)=e2kπ+π[sin (2kπ+π)-cos(2kπ+π)]=e2kπ+π;又因为0≤x≤2 016π,所以0和2 016π都不是极值点,所以函数f(x)的各极大值之和为:eπ+e3π+e5π+…+e2 015π=.考点二用导数解决函数的最值问题【典例】(2019·黄冈模拟)已知函数f(x)=-ax,曲线y=f(x)在x=1处的切线经过点(2,-1).(1)求实数a的值;(2)设b>1,求f(x)在区间上的最大值和最小值.【解题导思】序号题目拆解(1)利用导数的几何意义求参数利用求导的方法求出函数在切点处的切线斜率,再利用切点坐标与切线的斜率之间的关系求出a的值(2)研究函数f(x)的单调性利用对x分类讨论的方法,结合b的取值范围,用求导的方法判断函数的单调性从而求出函数的极值,进而求出函求函数f(x)的最值数的最值【解析】(1)f(x)的导函数为f′(x)=⇒f′(1)==1-a,依题意,有=1-a,即=1-a,解得a=1.(2)由(1)得f′(x)=,当0<x<1时,1-x2>0,-ln x>0,所以f′(x)>0,故f(x)在(0,1)上单调递增;当x>1时,1-x2<0,-ln x<0,所以f′(x)<0,故f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.因为0<<1<b,所以f(x)的最大值为f(1)=-1.设h(b)=f(b)-f=ln b-b+,其中b>1则h′=ln b>0,故h(b)在区间(1,+∞)上单调递增.当b→1时,h(b)→0⇒h(b)>0⇒f(b)>f.故f(x)的最小值为f=-bln b-.求函数f(x)在闭区间[a,b]内的最大值和最小值的思路(1)若所给的闭区间[a,b]不含参数,则只需对函数f(x)求导,并求f ′(x)=0在区间[a,b]内的根,再计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.(2)若所给的闭区间[a,b]含参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.(2019·南昌模拟)设函数f(x)=ln x-2mx2-n(m,n∈R).(1)讨论f(x)的单调性.(2)若f(x)有最大值-ln 2,求m+n的最小值.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-4mx=,当m≤0时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;当m>0时,令f′(x)>0,得0<x<,令f′(x)<0得x>,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.(2)由(1)知,当m>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减. 所以f(x)max=f=ln-2m·-n=-ln 2-ln m--n=-ln 2,所以n=-ln m-,所以m+n=m-ln m-,令h(x)=x-ln x-(x>0),则h′(x)=1-=,所以h(x)在上单调递减,在上单调递增,所以h(x)min =h =ln 2,所以m+n 的最小值为ln 2.考点三用导数解决生活中的优化问题【典例】某食品厂进行蘑菇的深加工,每千克蘑菇的成本为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2≤t≤5).设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x 元(25≤x≤40),根据市场调查,日销售量q千克与e x成反比,当每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100千克.(1)求该工厂的每日利润y元与每千克蘑菇的出厂价x元的函数关系式.(2)若t=5,当每千克蘑菇的出厂价x为多少时,该工厂的每日利润y最大?并求最大值.【解题导思】序号联想解题(1)待定系数法求函数关系根据已知条件得出日销量函数表达式q=(k≠0),将x=30,q=100代入日销量函数表达式中求出k的值,进而得到利润y 与出厂价x 之间的函数关系式.(2) 通过求函数最值,解答实际问题将t=5代入函数中,根据导数求得函数的单调区间,进而得函数的最值.【解析】(1)设日销量q=(k ≠0),则=100,所以k=100e 30,所以日销量q=, 所以y=(25≤x ≤40).(2)当t=5时,y=,y ′=. 由y ′≥0得x ≤26,由y ′≤0,得x ≥26,所以y 在区间[25,26]上单调递增,在区间[26,40]上单调递减,所以当x=26时,y max =100e 4,即当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的每日利润最大,最大值为100e 4元.利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).(2)求函数的导数f ′(x),解方程f ′(x)=0.(3)比较函数在区间端点和f ′(x)=0处的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.(4)回归实际问题作答.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-5)2,其中2<x<5,a为常数.已知销售价格为4元/千克时,每日可售出该商品10.5千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为2元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【解析】(1)因为x=4时,y=10.5,所以+10=10.5,所以a=1.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y=+10(x-5)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-2)=1+10(x-2)(x-5)2,2<x<5.从而,f′(x)=10[(x-5)2+2(x-2)(x-5)]=30(x-3)(x-5).于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:x (2,3) 3 (3,5) f′(x) + 0 -f(x) 单调递增极大值41 单调递减由表可得,x=3是函数f(x)在区间(2,5)内的极大值点,也是最大值点.所以当x=3时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于41.答:当销售价格为3元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.关闭Word文档返回原板块。

2020_2021学年高考数学一轮复习专题2.9函数模型及其应用知识点讲解理科版含解析

函数模型及其应用【核心素养分析】1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。

【重点知识梳理】知识点一指数、对数、幂函数模型性质比较知识点二种常见的函数模型【特别提醒】1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.【典型题分析】高频考点一利用函数模型解决实际问题例1.【2019·北京卷】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130；②15【解析】①x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付()608010130+-=元. ②设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，当120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求；当120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，因为min158y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以x 的最大值为15.综上，①130；②15. 【方法技巧】(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．【变式探究】（2020·河北衡水中学调研）为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值. 【解析】(1)当x ＝0时，C ＝8，∴k ＝40，∴C (x )＝403x ＋5(0≤x ≤10)，∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10).(2)由(1)得f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10.令3x ＋5＝t ，t ∈[5，35]，则y ＝2t ＋800t－10≥22t ·800t －10＝70(当且仅当2t ＝800t，即t ＝20时等号成立)，此时x ＝5，因此f (x )的最小值为70.∴隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元. 高频考点二构建二次函数模型解决实际问题例2.（2020·山西康杰中学模拟）某企业为打入国际市场，决定从A ，B 两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：其中年固定成本与年生产的件数无关，m 为待定常数，其值由生产A 产品的原料价格决定，预计m ∈[6,8]，另外，年销售x 件B 产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A ，B 两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x 1，x 2之间的函数关系式，并指明定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．【解析】(1)由题意得y 1＝10x 1－(20＋mx 1)＝(10－m )x 1－20(0≤x 1≤200且x 1∈N)，y 2＝18x 2－(40＋8x 2)－0.05x 22＝－0.05x 22＋10x 2－40＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120且x 2∈N)． (2)∵6≤m ≤8，∴10－m ＞0， ∴y 1＝(10－m )x 1－20为增函数．又0≤x 1≤200，x 1∈N ，∴当x 1＝200时，生产A 产品的最大利润为(10－m )×200－20＝1 980－200m (万美元)． ∵y 2＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120，且x 2∈N)， ∴当x 2＝100时，生产B 产品的最大利润为460万美元．(y 1)max －(y 2)max ＝(1 980－200m )－460＝1 520－200m . 易知当6≤m ＜7.6时，(y 1)max ＞(y 2)max .即当6≤m ＜7.6时，投资生产A 产品200件可获得最大年利润；当m ＝7.6时，投资生产A 产品200件或投资生产B 产品100件，均可获得最大年利润；当7.6＜m ≤8时，投资生产B 产品100件可获得最大年利润．【方法突破】(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．【变式探究】（2020·河北唐山一中模拟）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数.当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4<x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年.(1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数解析式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值. 【解析】(1)由题意得当0<x ≤4时，v ＝2，当4<x ≤20时，设v ＝ax ＋b (a ≠0)，显然v ＝ax ＋b 在(4，20]内是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52.故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤4，－18x ＋52，4<x ≤20.(2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意，由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20.当0<x ≤4时，f (x )为增函数，故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋252，f (x )max ＝f (10)＝12.5.所以当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 高频考点三构建指数函数、对数函数模型解决实际问题例3．【2020·全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天. 【方法技巧】(1)要先学会合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．【变式探究】（2020·江苏省丹阳高级中学模拟）一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110.故每年砍伐面积的百分比为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m＝22a ，把x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110代入，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，即m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了5年.高频考点四构建分段函数模型解决实际问题例4.（2020·陕西西安中学模拟）某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【解析】(1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0，解得x ＞2.3， ∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z.当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20，x ∈Z.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －1153≤x ≤6，x ∈Z ，－3x 2＋68x －1156＜x ≤20，x ∈Z.(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z)，显然当x ＝6时，y max ＝185；对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z)，当x ＝11时，y max ＝270.∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．【方法突破】(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏； (3)分段函数的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者.【变式探究】（2020·云南昆明第三中学模拟）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1600x 2＋x ＋150万元．(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m （60－m ），1≤m ≤30，480， m ＞30(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【解析】(1)由总成本p (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1600x 2＋x ＋150万元，可得每台机器人的平均成本y ＝p x x ＝1600x 2＋x ＋150x ＝1600x ＋150x＋1≥21600x ·150x ＋1＝2.当且仅当1600x ＝150x，即x ＝300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量 q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m （60－m ），1≤m ≤30，480， m ＞30当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m (60－m )＝－160m 2＋9 600m ，∴当m ＝30时，日平均分拣量有最大值144 000件．当m ＞30时，日平均分拣量为480×300＝144 000(件)．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件．若传统人工分拣144 000件，则需要人数为144 0001 200＝120(人)．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120－30120×100%＝75%.。

2021年高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分12函数模型及其应用

2021年高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分12函数模型及其应用1．往外埠投寄平信，每封信不超过20 g，付邮费0.80元，超过20 g而不超过40 g，付邮费1.60元，依此类推，每增加20 g需增加邮费0.80元(信的质量在100 g以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5 g，那么他应付邮费( ) A．3.20元B．2.90元C．2.80元 D.2.40元解析：由题意得20×3＜72.5＜20×4，则应付邮费0.80×4＝3.20(元)．故选A.答案：A2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：A．y＝2x B.y＝x2－1C．y＝2x－2 D.y＝log2x解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x ＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.答案：D3．设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为()解析：注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案D.答案：D4．[xx·北京]加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A．3.50分钟 B.3.75分钟C．4.00分钟 D.4.25分钟解析：由实验数据和函数模型知，二次函数p＝at2＋bt＋c的图像过点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，分别代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－0.2(t －3.75)2＋0.812 5，所以当t ＝3.75分钟时，可食用率p 最大．故选B.答案：B5．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e nt ，假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟后甲桶中的水只有a 8升，则m 的值为( )A ．8B.10 C ．12D.15 解析：由已知条件可得a e 5n ＝a 2，e 5n ＝12.由a e nt ＝a 8，得e nt ＝18，所以t ＝15，m ＝15－5＝10.答案：B6．国家规定个人稿费纳税办法：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿费的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为( )A ．2 800元 B.3 000元C ．3 800元 D.3 818元解析：设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0 (x ≤800)，(x －800)×14% (800＜x ≤4 000)，11%·x (x ＞4 000).如果稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4 000元之间，∴(x －800)×14%＝420.∴x ＝3 800(元).答案：C7．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝__________，经过5小时，1个病毒能繁殖为__________个．解析：当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝e 12k ，∴k ＝2ln2.∴y ＝e 2t ln2，当t ＝5时，∴y ＝e 10ln2＝210＝1 024.答案：2ln2 1 0248．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了______km.解析：设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9， 0<x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1， 3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8.由y ＝22.6，解得x ＝9.答案：99．如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2 cm 的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为__________．解析：设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S 最大＝486.答案：30 cm 、20 cm10．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k (1≤k ≤4，且k ∈R )个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为y ＝k ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧248－x －1(0≤x ≤4)，7－12x (4＜x ≤14).若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效去污的作用．(1)若只投放一次k 个单位的洗衣液，两分钟时水中洗衣液的浓度为3(克/升)，求k 的值；(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？解析：(1)由题意知k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫248－2－1＝3，得k ＝1. (2)因为k ＝4，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 968－x －4(0≤x ≤4)，28－2x (4＜x ≤14)，则当0≤x ≤4时，由968－x－4≥4，解得8＞x ≥－4，所以此时0≤x ≤4. 当4＜x ≤14时，由28－2x ≥4，解得x ≤12，所以此时4＜x ≤12. 综上可知0≤x ≤12，若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达12分钟．B 级能力提升练11．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每一小时可获得的利润是100⎝⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元． (1)求证：生产a 千克该产品所获得的利润为100a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2元； (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．解析：(1)证明：生产a 千克该产品所用的时间是a x 小时，∵每一小时可获得的利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元，∴获得的利润为100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ×a x 元．因此生产a 千克该产品所获得的利润为100a ⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2元． (2)生产900千克该产品获得的利润为90 000·⎝⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2元，1≤x ≤10.设f (x )＝－3x 2＋1x ＋5,1≤x ≤10.则f (x )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋112＋5，当且仅当x ＝6取得最大值．故获得最大利润为90 000×6112＝457 500元．因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457 500元．12．某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：万元)与日产量x (单位：吨)满足函数关系式C ＝3＋x ，每日的销售额S (单位：万元)与日产量x 的函数关系式S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋k x －8＋5(0＜x ＜6)，14(x ≥6)，)已知每日的利润L ＝S －C ，且当x ＝2时，L ＝3.(1)求k 的值； (2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．解析：(1)由题意可得：L ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋k x －8＋2，0＜x ＜6，11－x ，x ≥6，因为x ＝2时，L ＝3，所以3＝2×2＋k 2－8＋2，解得k ＝18. (2)当0＜x ＜6时，L ＝2x ＋18x －8＋2，所以L ＝2(x －8)＋18x －8＋18＝－[2(8－x )＋188－x ]＋18≤－22(8－x )·188－x＋18＝6. 当且仅当2(8－x )＝188－x，即x ＝5时取得等号．当x ≥6时，L ＝11－x ≤5.所以当x ＝5时，L 取得最大值6.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元．21225 52E9勩Rq 39809 9B81 鮁39362 99C2 駂9L37492 9274 鉴38107 94DB 铛40702 9EFE 黾F29624 73B8 玸21502 53FE 叾25159 6247 扇。

21高考数学人教A理科一轮复习攻略核心考点·精准研析集合含解析

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核心考点·精准研析考点一集合的含义及表示1.已知集合A={1,2,4},则集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为( )A.3B.6C.8D.92.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a= ( )A. B. C.0 D.0或3.已知a,b∈R,若={a2,a+b,0},则a2 021+b2 021为( )A.1B.0C.-1D.±14.(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A 中元素的个数为 ( )A.9B.8C.5D.4【解析】 1.选 D.集合B中元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4), (4,1),(4,2),(4,4),共9个.2.选D.若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.当a=0时,x=,符合题意;当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0得a=,所以a的取值为0或.3.选C.由已知得a≠0,则=0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2 021+b2 021=(-1)2 021+02 021=-1.4.选A.由x2+y2≤3知,-≤x≤,-≤y≤.又x∈Z,y∈Z,所以x∈{-1,0,1},y∈{-1,0,1},所以A中元素的个数为9.1.集合定义应用要明确构成集合的元素,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合;然后看元素的限制条件是什么,准确把握集合的含义.2.二次项系数讨论若二次函数、一元二次方程、一元二次不等式等的二次项系数含有参数,必须讨论二次项系数为0的情况.【秒杀绝招】1.排除法解T2,a=0时显然方程有一个解,排除A、B,当a≠0时,由Δ=0解得a=,排除C.2.图象法解T4,画出圆x2+y2=3,在圆内找整点.如图所示,在圆内共有9个整点,故选A.考点二集合间的基本关系【典例】1.(2020·邯郸模拟)已知集合A={x|x2-4x<5},B={x|<2},则下列判断正确的是( )A.-1,2∈AB.∉BC.B⊆AD.A∪B={x|-5<x<4}2.(2019·大庆模拟)集合A=,B={y|y=x2+1,x∈A},则集合B的子集个数为 ( )A.5B.8C.3D.23.已知集合A={x|y=},B={x|a≤x≤a+1},若B⊆A,则实数a的取值范围为( )A.(-∞,-3]∪[2,+∞)B.[-1,2]C.[-2,1]D.[2,+∞)【解题导思】序号联想解题1 由集合A,想到一元二次方程的根2 由求集合B子集的个数,想到子集计算公式2n3 由B⊆A,想到列不等式组【解析】1.选C.因为A={x|-1<x<5},B={x|0≤x<4},所以B⊆A.2.选 B.由≤0得-1≤x<3,则A={-1,0,1,2},B={y|y=x2+1,x∈A}={1,2,5},其子集的个数为23=8个.3.选 C.集合A={x|y=}={x|-2≤x≤2},因为B⊆A,所以有所以-2≤a≤1.1.集合间基本关系的两种判定方法(1)化简集合,从表达式中寻找两集合的关系.(2)用列举法、图示法、数轴表示各个集合,从元素或图形中寻找关系.2.求参数的方法将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,表示为参数满足的关系.解决这类问题还要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解.1.已知集合M={0,1},则满足条件M∪N=M的集合N的个数为( )A.1B.2C.3D.42.已知集合A={x∈R|x2+x-6=0},B={x∈R|ax-1=0},若B⊆A,则实数a 的取值集合为________.【解析】1.选D.由M∪N=M,得N⊆M.又M中有2个元素,故其子集的个数为22=4,所以集合N的个数为4.2.A={-3,2},若a=0,则B=∅,满足B⊆A;若a≠0,则B=,由B⊆A 知,=-3或=2,故a=-或a=,因此a 的取值集合为.答案:考点三集合的运算命题精解读考什么:(1)集合的交、并、补集运算.(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养和数形结合等数学思想.怎么考:与不等式结合,考查集合的基本运算,属基础题类型.新趋势:以集合为载体,考查解不等式、集合的交、并、补等知识以及数形结合等数学思想.学霸好方法1.集合运算方法:若集合可以用列举法表示,则一一列举集合的元素;若与不等式结合,则解不等式后画数轴求解.2.交汇问题:集合的运算与函数、不等式、方程等相结合,考查相关的性质和运算.集合的交集、并集运算【典例】1.(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=( )A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}2.设集合A={x||x|<1},B={x|x(x-3)<0},则A∪B= ( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(-1,3)D.(1,3)【解析】 1.选 C.由题意得M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0}={x|-2<x<3},则M∩N={x|-2<x<2}.2.选C.A={x|-1<x<1},B={x|0<x<3},所以A∪B={x|-1<x<3}.涉及不等式的集合运算时,借助什么工具解题?提示:当题目中涉及不等式时,常借助数轴解题.集合的补集运算【典例】1.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁R A= ( )A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}2.(2019·资阳模拟)设全集U=R,集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|x-1≥0},则图中阴影部分所表示的集合为( )A.{x|x≤-1或x≥3}B.{x|x<1或x≥3}C.{x|x≤1}D.{x|x≤-1}【解析】1.选B.方法一:A={x|(x-2)(x+1)>0}={x|x<-1或x>2},所以∁R A={x|-1≤x≤2}.方法二:因为A={x|x2-x-2>0},所以∁R A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}.2.选D.图中阴影部分表示集合为∁U(A∪B),又A={x|-1<x<3},B={x|x≥1},所以A∪B={x|x>-1},所以∁U(A∪B)={x|x≤-1}.怎样求阴影部分所表示的集合?提示:先用集合间的关系和集合的运算表示阴影,再根据集合运算求解.利用集合的运算求参数【典例】1.集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )A.0B.1C.2D.42.已知集合A={x|a-1<x<2a+1},B={x|3<x<7},若A∩B=A,则实数a的取值范围为( )A.(-∞,-2)B.(-∞,-2]C.(-2,+∞)D.[-2,+∞)【解析】1.选D.由题意可知{a,a2}={4,16},所以a=4.2.选B.因为A∩B=A,所以A⊆B,当A=∅时,a-1≥2a+1,解得a≤-2;当A≠∅时,有不等式组无解.综上所述,实数a的取值范围是(-∞,-2].当A⊆B,讨论集合A时容易忽视哪种情况?提示:容易忽视A=∅的情况.1.设集合M={x|x<4},集合N={x|x2-2x<0},则下列关系中正确的是( )A.M∪N=MB.M∪(∁R N)=MC.N∪(∁R M)=RD.M∩N=M【解析】选A.因为M={x|x<4},N={x|0<x<2},所以M∪N={x|x<4}=M,A 正确;M∪∁R N =R≠M,B错误;N∪(∁R M)={x|0<x<2}∪{x|x≥4}≠R,C错误;M∩N={x|0<x<2}=N,D错误.2.(2019·西安模拟)设集合A={x|x2-3x+2≥0},B={x|x≤2,x∈Z},则(∁R A)∩B=( ) A.{1} B.{2} C.{1,2} D.∅【解析】选D.A={x|x≤1或x≥2},则∁R A={x|1<x<2}.又集合B={x|x≤2,x∈Z},所以(∁R A)∩B=∅.3.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x<a},若A∩B≠∅,则a的取值范围是( )A.-1<a≤2B.a>2C.a≥-1D.a>-1【解析】选D.由A∩B≠∅知,集合A,B有公共元素,作出数轴,如图所示:易知a>-1.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y ∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B 中元素的个数为( )A.77B.49C.45D.30【解析】选C.集合A表示如图所示的所有“”,集合B表示如图所示的所有“”+所有“”,集合A⊕B显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),则集合A⊕B表示如图所示的所有“”+所有“”+所有“·”,共45个.故A⊕B中元素的个数为45.关闭Word文档返回原板块。

2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心考点·精准研析+10.8 抛物线

核心考点·精准研析考点一抛物线的定义及标准方程1.已知抛物线y2=4x的焦点为F,定点P(4,-2),在抛物线上找一点M,使得|PM|+|MF|最小,则点M的坐标为 ( )A.(2,-2)B.(1,2)C.(1,-2)D.(-1,2)2.已知直线l1:4x-3y+6=0和l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 ( )A. B.2 C. D.33.(2020·保定模拟)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C 上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点A(0,2),则C的方程为( ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x4.设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为焦点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为________.5.已知抛物线C的顶点为坐标原点,对称轴为坐标轴,直线l过抛物线C的焦点F,且与抛物线的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,且|AB|=8,M 为抛物线C准线上一点,则△ABM的面积为________.【解析】1.选C.过P作PM垂直于抛物线的准线,交抛物线于点M,交准线于点N,则|PM|+|MF|=|PM|+|MN|=|PN|,此时|PM|+|MF|最小,点M纵坐标为-2,故横坐标为1,所以点M的坐标为(1,-2).2.选B.由题可知l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点(1,0)为F,则动点P到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值,即焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是=2.3.选C.由已知得抛物线的焦点F,设点M(x0,y0),则=,=.由已知得,·=0,即-8y 0+16=0,因而y0=4,M.由|MF|=5,得=5.又p>0,解得p=2或p=8.故C的方程为y2=4x或y2=16x.4.如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|,则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4.答案:45.不妨设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点F,A,B,将A代入抛物线方程,可得2p×=42,得p=4,则准线方程为x=-2,设M(-2,t),则S△ABM=|AB|×p=4×4=16.答案:161.抛物线定义的应用利用抛物线的定义解决问题时,应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化.“看到准线应该想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决有关抛物线距离问题的有效途径.2.求抛物线的标准方程的方法(1)定义法根据抛物线的定义,确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离),再结合焦点位置,求出抛物线方程.标准方程有四种形式,要注意选择.(2)待定系数法①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于p的方程,解出p,从而写出抛物线的标准方程.②当焦点位置不确定时,有两种方法解决:方法一分情况讨论,注意要对四种形式的标准方程进行讨论,对于焦点在x 轴上的抛物线,为避免开口方向不确定可分为y2=2px(p>0)和y2=-2px(p>0)两种情况求解方法二设成y2=mx(m ≠0),若m>0,开口向右;若m<0,开口向左;若m有两个解,则抛物线的标准方程有两个.同理,焦点在y 轴上的抛物线可以设成x2=my(m≠0).如果不确定焦点所在的坐标轴,应考虑上述两种情况设方程考点二直线与抛物线的综合问题【典例】1.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),若直线l的倾斜角为,则= ( )A. B. C. D.2.(2020·濮阳模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于A、B两点,弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5,则直线l的斜率k为( )A.±B.±1C.±D.±3.(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程.(2)若=3,求|AB|.【解题导思】序号联想解题一看到抛物线上的点到焦点或到准线的距离问题,即联想到利用抛物1线的定义进行转化当条件中出现弦的中点(即中点弦问题)时,应立即考虑到设而不求(点2差)法当条件中出现过抛物线焦点的直线时,应立即考虑到抛物线焦点弦的3有关结论【解析】1.选A.过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为M,N,作AE⊥BN,垂足为E,设|AF|=m,|BF|=n,则由抛物线的定义得|AM|=|AF|=m,|BN|=|BF|=n,|AB|=m+n,|BE|=n-m,因为∠ABN=60°,于是=,解得n=3m,则==.2.选C.抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),则x0=,y0=,由弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5,即x0+=5,则x0=4, 由两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),则==,即k==,则==,即y0=±,所以直线l的斜率k===±.3.设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-.从而-=,得t=-.所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2.由可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.1.直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题,通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组.(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决. 2.解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用焦点弦公式,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒:涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解.1.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,E为其准线与x轴的交点,过F的直线交抛物线C于A,B两点,M为线段AB的中点,且|ME|=,则|AB|= ( )A.6B.3C.8D.9【解析】选A.由y2=4x得焦点F(1,0),E(-1,0),设直线AB的方程为x=ty+1并代入抛物线y2=4x得:y2-4ty-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4,所以x1+x2=t(y1+y2)+2=4t2+2,所以M(2t2+1,2t),|ME|2=(2t2+2)2+(2t)2=11,即4t4+12t2-7=0,解得t2=或t2=-(舍),所以|AB|=x1+x2+p=4t2+2+2=4×+2+2=6.2.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,若|AF|+|BF|=5,则线段AB的中点到y轴的距离为________.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线定义得|AF|+|BF|=5,即x1++x2+=5,则x1+x2=,所以线段AB的中点到y轴的距离为=. 答案:3.已知抛物线y2=2x与直线l:x=ty+2相交于A,B两点,点O是坐标原点.(1)求证:OA⊥OB.(2)当△OAB的面积等于2时,求t的值.【解析】(1)由整理得y2-2ty-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-4.所以·=x1x2+y1y2=y1y2+=(-4)+=0,所以⊥,即OA⊥OB.(2)设l:x=ty+2与x轴交于点E,则E(2,0),所以|OE|=2,S△OAB=·|OE|(|y1|+|y2|)=|y1-y2|==2,解得t=±.考点三抛物线的性质及应用命题精解读考什么:(1)考查抛物线的定义、顶点及直线与抛物线中的最值范围问题.(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养及数形结合、转化与化归等思想方法.怎么考:借助距离考查抛物线的定义;结合函数单调性或基本不等式考查最值问题.新趋势:抛物线离心率的求解仍是考查的重点.学霸好方法1.定义的应用当题目中出现到焦点的距离或到准线(或到与对称轴垂直直线)的距离时,应立即考虑到利用定义转化.2.交汇问题与函数、不等式结合考查范围最值,要注意定义域问题.与抛物线有关的最值问题【典例】(2020·沈阳模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0),其焦点到准线的距离为2,直线l与抛物线C交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的切线l1,l2,且l1与l2交于点M.(1)求p的值.(2)若l1⊥l2,求△MAB面积的最小值.【解析】(1)由题意知,抛物线焦点为,准线方程为y=-,焦点到准线的距离为2,即p=2.(2)抛物线的方程为x2=4y,即y=x2,所以y′=x,设A(x1,y1),B(x2,y2), l1:y-=(x-x1),l2:y-=(x-x2),由于l1⊥l2,所以·=-1,即x1x2=-4.设直线l方程为y=kx+m,与抛物线方程联立,得所以x2-4kx-4m=0,Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m=-4,所以m=1,即l:y=kx+1.联立方程得:即M(2k,-1).M点到直线l的距离d==,|AB|==4(1+k2),所以S=×4(1+k2)×=4(1+k2≥4,当k=0时,△MAB的面积取得最小值4.抛物线与向量的综合问题【典例】已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程.(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值. 【解析】(1)直线AB的方程是y=2x-,与y2=2px联立,得4x2-5px+p2=0,由已知,方程必有两个不等实根,所以x1+x2=,由抛物线定义知|AB|=x1+x2+p=+p=9,解得p=4,所以抛物线方程为y2=8x.(2)由(1)知,x2-5x+4=0,所以x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,所以A(1,-2),B(4,4).设C(x3,y3),则=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2),又=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.1.(2019·九江模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九章“勾股”,讲述了“勾股定理”及一些应用,还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”.设点F是抛物线y2=2px的焦点,l是该抛物线的准线,过抛物线上一点A作准线的垂线AB,垂足为B,射线AF交准线l于点C,若Rt△ABC的“勾”=3、“股”=3,则抛物线方程为( )A.y2=2xB.y2=3xC.y2=4xD.y2=6x【解析】选B.由题意可知,抛物线的图形如图:|AB|=3,|BC|=3,可得|AC|==6,所以∠CAB=60°,△ABF是正三角形,并且F是AC的中点,又|AB|=3,则p=,所以抛物线方程为y2=3x.2.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是________.【解析】直线l斜率必存在,由题可得Q(-2,0),当直线l的斜率不存在时,不满足题意,故直线l斜率必存在,设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,由Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0,解得-1≤k≤1.故k的取值范围为[-1,1].答案:[-1,1]1.已知点P(x,y)是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上任意一点,则|PQ|+x的最小值为( )A.5B.4C.3D.2【解析】选C.由题意,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线l:x=-1,圆C:(x+2)2+(y-4)2=1的圆心C(-2,4),半径r=1,P到直线l:x=-1的距离d=|PF|,根据抛物线的定义,可得点P到y轴的距离为x=d-1,结合图象(如图所示)可得当C,P,F三点共线时,|PQ|+d取最小值,所以(|PQ|+x)min=|FC|-r-1=5-1-1=3.2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l:x=-,点M在抛物线C上,点A在准线l上,若MA⊥l,直线AF的倾斜角为,则|MF|=________.【解析】如图,设准线与x轴交点为B,由于AF的倾斜角为,所以∠FAM=,又|MA|=|MF|,所以|MA|=|MF|=|FA|=2|FB|,又由已知p=×2=,即|FB|=,所以|MF|=5.答案:5关闭Word文档返回原板块。

2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心考点·精准研析 12.3

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核心考点·精准研析考点一互斥事件、对立事件的判断1.从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数,则下列各对事件是互斥而不是对立事件的是 ( )A.恰有1个是奇数和全是奇数B.恰有1个是偶数和至少有1个是偶数C.至少有1个是奇数和全是奇数D.至少有1个是偶数和全是奇数2.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中任意取出3件,设E表示事件“3件产品全不是次品”,F表示事件“3件产品全是次品”,G表示事件“3件产品中至少有1件是次品”,则下列结论正确的是( )A.F与G互斥B.E与G互斥但不对立C.E,F,G任意两个事件均互斥D.E与G对立3.在下列六个事件中,随机事件的个数为 ( )①如果a,b都是实数,那么a+b=b+a;②从分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张,得到4号签;③没有水分,种子发芽;④某电话总机在60秒内接到至少10次呼叫;⑤在标准大气压下,水的温度达到50 ℃时沸腾;⑥同性电荷,相互排斥.A.2B.3C.4D.54.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是,那么概率是的事件是 ( )A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡【解析】1.选A.从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数,共有三种情况:A={两个奇数},B={一个奇数一个偶数},C={两个偶数},且A,B,C两两互斥,所以A:是互斥事件,但不是对立事件;B:不互斥;C:不互斥;D:是互斥事件,也是对立事件. 2.选D.由题意得事件E与事件F不可能同时发生,是互斥事件;事件E与事件G 不可能同时发生,是互斥事件;当事件F发生时,事件G一定发生,所以事件F与事件G不是互斥事件,故A、C错.事件E与事件G中必有一个发生,所以事件E 与事件G对立,所以B错误,D正确.3.选A.①⑥是必然事件;③⑤是不可能事件;②④是随机事件.4.选A.至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件,它是“2张全是移动卡”的对立事件.定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件集合法①若A,B满足A∩B= ,则A,B是互斥事件②若A,B满足,则A,B是对立事件考点二随机事件的频率与概率【典例】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/人x 30 25 y 10 结算时间/(分钟/人)1 1.52 2.5 3(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值.(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率) 【解题导思】序号联想解题(1)由“超过8件”占55%联想到“不超过8件”占45%.(2)拆分为三个事件的和事件【解析】(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为=1.9分钟.(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2,A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”,将频率视为概率得P(A1)==,P(A2)==,P(A3)==.因为A=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3是互斥事件,所以P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.1.求复杂互斥事件概率的2种方法(1)直接法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和.(2)间接法:先求该事件的对立事件的概率,再由P(A)=1-P()求解.当题目涉及“至多”“至少”型问题时,多考虑间接法.2.求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表,计算出所求随机事件出现的频数.某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:毫米)有关.据统计,当X=70时,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,2 20,140,160.(1)完成如下的频率分布表:近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70 110 140 160 200 220频率(2)假定今年6月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率.【解析】(1)在所给数据中,降雨量为110毫米的有3个,为160毫米的有7个,为200毫米的有3个,故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70 110 140 160 200 220 频率(2)由已知可得Y=+425,故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)=P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)=++=.考点三互斥事件、对立事件的概率计算命题精解读考什么:(1)考查随机事件的频率与概率的关系(2)考查互斥事件、对立事件的概念与概率计算问题怎么考:重点考查互斥事件、对立事件的概率计算,多数是以选择题、填空题或解答题的一个小题的形式考查新趋势:结合新背景,考查互斥事件、对立事件的概率计算,或者与统计知识交汇考查随机事件的概率计算学霸好方法1.互斥事件、对立事件的概率问题的解决步骤(1)明确区分互斥事件、对立事件.(2)应用概率加法公式,或概率的一般加法公式求概率.2.交汇问题解决与统计知识交汇考查随机事件的概率计算问题时,先用统计知识求频数,频率,再求概率.互斥事件的概率【典例】(2019·天津模拟)经统计,在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如表:排队人数0 1 2 3 4 ≥5 概率0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04则该营业窗口上午9点钟时,至少有1人排队的概率是________.【解析】由表格可得至少有1人排队的概率P=0.16+0.3+0.3+0.1+0.04=0.9.答案:0.9秒杀绝招间接法:因为该营业窗口上午9点钟时,没有人排队的概率是0.1,所以至少有1人排队的概率是1-0.1=0.9.答案:0.9如何求互斥事件的概率?把要求概率的事件恰当地拆分为若干个互斥事件的和事件,再用互斥事件的概率加法公式计算所求概率.对立事件的概率【典例】某商店试销某种商品20天,获得如下数据:日销售量(件) 0 1 2 3频数 1 6 8 5试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存货少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率.(1)设每销售一件该商品获利1 000元,某天销售该商品获利情况如表,完成下表,并求试销期间日平均获利钱数;日获利(元) 0 1 000 2 000 3 000 频率(2)求第二天开始营业时该商品的件数为3件的概率.【解析】(1)日获利分别为0元,1 000元,2 000元,3 000元的频率分别为,,,;试销期间日平均获利数为0×+1 000×+2 000×+3 000×=1 850元.(2)由题意事件“第一天的销售量为1件”是对立事件,所以P(“第二天开始营业时该商品的件数为3件”)=1-P(“第一天的销售量为1件”)=1-=.如何求对立事件的概率?恰当地将所求事件的概率转化为求对立事件的概率.互斥事件、对立事件的概率计算问题与统计等交汇【典例】A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查,调查结果如下:所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L16 12 18 12 12的人数选择L20 4 16 16 4的人数(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.【解析】(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人,所以用频率估计相应的概率为0.44.(2 )选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率为:所用时间(分10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 钟)L1的频率0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的频率0 0.1 0.4 0.4 0.1 (3)A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.由(2)知P(A1) =0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2),所以甲应选择L1,P(B1) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1),所以乙应选择L2.解决与统计知识交汇问题时应该注意什么?提示:(1)准确读取题目中的有用信息,正确运用到解题中.(2)正确理解频率与概率的关系,会在实际问题中应用它.1.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等10部专著,有着十分丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献.这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为( )A. B. C. D.【解析】选A.设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A,则所选2部专著中没有一部是魏晋南北朝时期专著为事件,所以P()==,因此P(A)=1-P()=1-=.2.(2019·景德镇模拟)空气质量指数(AQI)是衡量空气质量好坏的标准,下表是我国南方某市气象环保部门从去年的每天空气质量检测数据中,随机抽取的40天的统计结果:空气质量指数国家环保标准频数(天) 频率(AQI)[0,50] 一级(优) 4(50,100] 二级(良) 20(100,150] 三级(轻度污染) 8(150,200] 四级(中度污染) 4(200,300] 五级(重度污染) 3(300,+∞)六级(严重污染) 1(1)若以这40天的统计数据来估计,一年中(365天)该市有多少天的空气质量达到优良?(2)若将频率视为概率,某中学拟在今年五月份某连续的三天召开运动会,以上表的数据为依据,问:①这三天空气质量都达标(空气质量属一、二、三级内)的概率;②这三天恰好有一天空气质量不达标(指四、五、六级)的概率.【解析】设p i(i=1、2、3、4、5、6)表示空气质量达到第i级的概率,则p1=0.1,p2=0.5,p3=0.2,p4=0.1,p5=,p6=.(1)依题意得365×(p1+p2)=365×0.6=219(天).(2)①p1+p2+p3=0.8,p==0.83=0.512.②p4+p5+p6=++=0.2,P=0.2×0.8×0.8+0.8×0.2×0.8+0.8×0.8×0.2=3×0.2×0.82=0.384.1.根据以往30年的统计数据,中秋节晚上甲地阴天的频率为0.4,乙地阴天的频率为0.3,甲乙两地都阴天的频率为0.18,则用频率估计概率,今年中秋节晚上甲乙两地都能赏月(即都不阴天)的概率为( )A.0.88B.0.52C.0.42D.0.48【解析】选D.设事件A=“甲地阴天”,事件B=“乙地阴天”,所以P=0.4,P=0.3,P=0.18,则甲乙两地至少有一地阴天的概率为P=P+P-P=0.52,所以两地都能赏月的概率为1-P=0.48.2.事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且P(A)=2P(B),则P()=________. 【解析】因为事件A,B都不发生的概率为,所以P=1-=,又因为事件A,B互斥,所以P=P+P=,因为P(A)=2P(B),所以P(A)=,所以P()=1-=.答案:3.某人在一次射击中,命中9环的概率为0.28,命中8环的概率为0.19,不够8环的概率为0.29,则这人在一次射击中命中9环或10环的概率为________. 【解析】因为命中的情形可以分为:命中10环,9环,8环,不够8环,可以看成4个两两互斥的事件,它们的概率之和为1,所以命中9环或10环的概率为1-0.19-0.29=0.52.答案:0.52关闭Word文档返回原板块。

2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略课件：12.2第二节排列、组合与二项式定理

③顺序:字母a按_____排列,字母b按____n_排列. n
… Cknankbk
… Cnnbn
降幂
升幂
(2)通项公式:
T C a b (3)二项式系数:第k+1项的二项式系k数为nk k
k1
n
(k
0，1，2，n).
. Ckn
(4)二项式系数的性质:
①对称性:与首末两项等距的二项式系数相等,即
第二节排列、组合与二项式定理
内容索引
必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养测评
【教材·知识梳理】 1.排列(数)、组合(数)的异同点 (1)共同点:从n个_________中取出m(m≤n)个元素. (2)不同点:排列与_____有关,组合与_____无关.
不同元素顺序
顺序
2.排列数、组合数公式及性质:
2 C0n Cn2 Cn4 … C1n C3n C5n … n1
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)
()
(2)若组合式
,则x=m成立.
()
A A mA . (3)(n+1)!-mn!=n·n!. ( m )
m1
(4) (5)
an-rbrn是.((1a+b))n的展n开式中的第rn项.
! 1)!
A. mn1(4)√.因为kCkn
k
n! k!(n k)!
n
(k
(n 1)!
1)!(n 1) (k
1)!
nC
， k1
n1
所以kC nC . (5)×.由二项式定kn理可得
k n
是11第r+1项.
(6)×.二项展开式的某一项的系数与这一项的二项式系数不一定相同,比如:

2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心考点·精准研析 3.1

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核心考点·精准研析考点一导数的计算1.下列求导运算正确的是( )A.(sin a)′=cos a(a为常数)B.(sin 2x)′=2cos 2xC.(cos x)′=sin xD.(x-5)′=- x-62.函数f(x)=x2+ln x+sin x+1的导函数f′(x)=( )A.2x++cos x+1B.2x-+cos xC.2x+-cos xD.2x++cos x3.函数f(x)=的导函数f′(x)=( )A.tan xB.-C.-D.-4.函数f(x)=的导函数f′(x)= ( )A.2B.C. D.5.设f′(x)是函数f(x)=+x的导函数,则f′(0)的值为________. 【解析】1.选B.(sin a)′=0(a为常数),(sin 2x)′=2cos 2x,(cos x)′=-sin x,(x-5)′=-5x-6.2.选D.由f(x)=x2+ln x+sin x+1得f′(x)=2x++cos x.3.选D.f′(x)==-.4.选D.f′(x)=()′=′=′=.5.因为f(x)=+x,所以f′(x)=+1=+1,所以f′(0)=+1=0.答案:0题2中,若将“f(x)=x2+ln x+sin x+1”改为“f(x)=+”,则f′(x)=________.【解析】因为f(x)=+=,所以f′(x)=′==.答案:【秒杀绝招】排除法解T3, 根据sin x=0时f(x)无意义,所以f′(x)也无意义排除A,C, cos x=0时f(x)有意义,所以f′(x)也应有意义排除B.考点二导数的简单应用【典例】1.若函数f(x)=e ax+ln(x+1),f′(0)=4,则a=________.2.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且f(x)=2xf′(e)-ln x,则f′(e)=________.3.(2020·宝鸡模拟)二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,若其导函数为f′(x)=3x-,则f(x)=______.【解题导思】序号联想解题1 由f′(0)=4,想到求f′(x),列方程2 由f′(e)想到求f′(x)并代入x=e由二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,想到设函数的3解析式为f(x)=ax2+bx【解析】1.由f(x)=e ax+ln(x+1),得f′(x)=ae ax+,因为f′(0)=4,所以f′(0)=a+1=4,所以a=3.答案:32.因为f(x)=2xf′(e)-ln x,所以f′(x)=2f′(e)-,令x=e得:f′(e)=2f′(e)-,即f′(e)=.答案:3.根据题意,二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,设其解析式为f(x)=ax2+bx, 则有f′(x)=2ax+b,又由f′(x)=3x-,得2ax+b=3x-,则a=,b=-,故f(x)=x2-x.答案:x2-x含参数的函数的导数要注意的两点(1)含有字母参数的函数求导时,要分清哪是变量哪是参数,参数是常量,其导数为零.(2)注意利用题目条件构建方程,求出参数的值.此时要注意区别函数f(x)及其导数f′(x).1.已知f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=x3+f′x2-x,则f(1)=( )A.-2B.2C.-1D.1【解析】选C.由f(x)=x3+f′x2-x,得f′(x)=3x2+2f′x-1,所以f′=+ f′-1,所以f′=-1,f(x)=x3-x2-x,所以f(1)=13-12-1=-1.2.函数f(x)=ln x+a的导函数为f′(x),若方程f′(x)=f(x)的根x0小于1,则实数a的取值范围为( )A.(1,+∞)B.(0,1)C.(1,)D.(1,)【解析】选A.由函数f(x)=ln x+a可得f′(x)=,由于使得f′(x0)=f(x0)成立的0<x0<1,则=ln x0+a(0<x0<1).由于>1,ln x0<0,所以a=-ln x0>1,故有a>1.考点三导数几何意义的运用命题精解读考什么:(1)求切线方程、求切点坐标、与切线有关求参数的值或取值范围.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养怎么考:与直线的方程、不等式等结合考查直线的斜率、直线的点斜式方程、导数的几何意义等问题新趋势:以三角函数、指数函数、对数函数为载体,与求导数和导数的几何意义交汇考查.学霸好方法1.注意两类切线问题的区别(1)“过”与“在”:曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别:前者P(x0,y0)为切点,而后者P(x0,y0)不一定为切点. (2)“切点”与“公共点”:某曲线的切线与此曲线的公共点有可能有多个(即除了切点之外可能还有其他公共点).2.利用导数求曲线的切线方程若已知曲线y=f(x)过点P(x0,y0),求曲线过点P的切线方程,则需分点P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求解.(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f ′(x0)(x-x0).(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步:第一步:设出切点坐标P′(x1, f(x1));第二步:写出曲线在点P′(x1, f(x1))处的切线方程y-f(x1)=f ′(x1)(x -x1);第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1),可得过点P(x0,y0)的切线方程.已知切点求切线的方程问题【典例】(2019·全国卷Ⅰ)曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为____________.【解析】y′=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3(x2+3x+1)e x,所以k=y′|x=0=3,所以曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即3x-y=0.答案:3x-y=0用导数的几何意义求曲线的切线方程的关键是什么?提示:关键是确定切点坐标.未知切点求切线的方程问题【典例】已知函数f(x)=x3+x-16,若直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,则直线l的方程为________.【解析】设切点坐标为(x0,y0),则直线l的斜率为f′=3+1,所以直线l的方程为y=(3+1)(x-x0)++x0-16,因为直线l过原点,所以0=(3+1)(0-x0)++x0-16,整理得,=-8,所以x0=-2,所以y0= (-2)3+(-2)-16=-26,f′=3×(-2)2+1=13.所以直线l的方程为y=13x.答案:y=13x如何从题目条件判断是否知道切点?提示:从题目条件的叙述方式判断,一般来说,“过××点”的切线,都是不知道切点.知道切点的叙述方式为“在××点处的切线”.求参数的值【典例】(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y=ae x+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则( )A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1【解析】选D.令f(x)=ae x+xln x,则f′(x)=ae x+ln x+1,f′(1)=ae+1=2,得a==e-1.f(1)=ae=2+b,可得b=-1.切线问题中可以用来列出等量关系的依据有哪些?提示:(1)切点处的导数为切线斜率;(2)切点在切线上;(3)切点在曲线上.1.已知定义在R上的奇函数f(x),当x≤0时,f(x)=x3-2x-m,则曲线在点P(2,f(2))处的切线斜率为 ( )A.10B.-10C.4D.与m的取值有关【解析】选A.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=-m =0,所以m =0,即当x≤0时,f(x)=x3-2x,当x>0时,f(x)=-f(-x)= x3-2x,所以当x>0时,f′(x)=3x2-2,f′(2)=3×22-2=10.2.(2019·吉安模拟)已知过点P(1,1)且与曲线y=x3相切的直线的条数有( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.若直线与曲线相切于点(x0,y0)(x0≠0),则k===+x0+1,因为y′=3x2,所以=3,所以3=+x0+1,所以2-x0-1=0,所以x0=1或x0=-,所以过点P(1,1)与曲线y=x3相切的直线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0,所以共有2条.3.(2020·十堰模拟)若直线y=12x+m与曲线y=x3-2相切,则m=________.【解析】y=x3-2的导数为y′=3x2,直线y=12x+m与曲线y=x3-2相切,设切点为(s,t),可得3s2=12,12s+m=s3-2,即有s=2,m=-18;s=-2,m=14.答案:14或-181.设点P是曲线y=x3-x+上的任意一点,则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为( )A.∪B.C.∪D.【解析】选C.因为y′=3x2-≥-,故切线的斜率k≥-,所以切线的倾斜角α的取值范围为∪.2.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),则曲线g(x)在x=3处的切线方程为________.【解析】由题图可知曲线y=f(x)在x=3处的切线斜率等于-,即f′(3)=-.又g(x)=xf(x),所以g′(x)=f(x)+xf′(x),g′(3)=f(3)+3f′(3),由题图可知f(3)=1,所以g(3)=3f(3)=3,g′(3)=1+3×=0,则曲线g(x)在x=3处的切线方程为y-3=0.答案:y-3=03.阅读材料:求函数y=e x的导函数.解:因为y=e x,所以x=ln y,所以x′=′,所以1=·y′,所以y′=y=e x.借助上述思路,曲线y=,x ∈在点(1,1)处的切线方程为__________.【解析】因为y=,所以ln y=ln,所以·y′=ln +,所以y′=,当x=1时,y′=4,所以曲线y=,x ∈在点(1,1)处的切线方程为y-1=4,即y=4x-3.答案:y=4x-3关闭Word文档返回原板块- 11 -。

2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略课件：2.2第二节函数的单调性与最值

(1)若定义在R上的函数y=f(x),有f(-1)<f(3),则函数y=f(x)在R上为增函数.
()
(2)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).( )
(3)函数y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).
()
(4)闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点取到. ( )
③
<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减.
f(x1) f(x2 ) x1 x2
f(x1) f(x2 ) x1 x2
2.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调
时最值一定在端点处取到.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).
3.函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y= 的单调性相反.
4.“对勾函数”y=x+ (a>0)的增区间为(-∞,- ]和[ ,+∞);减区间
为[- ,0)和(0, ],且对勾函数为奇函数.
1
f(x)
a
a
a
x
a
a
典例1.函数f(x)=-x+ 1 在 A【.解3 析】选A.易知B.f-(8x)x在
(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0”的是
()
A.f(x)=2x
B.f(x)=|x-1|
C.f(x)= -x
D.f(x)=ln(x+1)
1 x
【解析】选C.由(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0可知,f(x)在(0,+∞)上是减函数,A,D选项中,f(x)为增函数;B中,f(x)=|x-1|在(0,+∞)上不单调,对于f(x)=

2021版高考理科数学(人教A版)一轮复习教师用书第9讲函数模型及其应用

第9讲函数模型及其应用[学生用书P35]一、知识梳理1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0)在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同1．“对勾”函数形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a)和(a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．(2)当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.2．解决函数应用问题应注意的3个易误点(1)解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”)，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错．(2)解应用题建模后一定要注意定义域．(3)解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．二、习题改编1．(必修1P107A组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：x 0.500.99 2.01 3.98y －0.990.010.98 2.00则对x，yA．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x解析：选D.根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．2．(必修1P102例3改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元解析：选D.由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A 正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B 正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C 正确；由题图可知，前6个月的平均收入为16×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D 错误．3．(必修1P107A 组T4改编)用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______．解析：设隔墙的长度为x (0<x <6)，矩形面积为y ，则y ＝x ×24－4x2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，所以当x ＝3时，y 最大．答案：3一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数增长比直线增长更快．( ) (2)不存在x 0，使ax 0<x n 0<log a x 0.( )(3)在(0，＋∞)上，随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x a (a >1)的增长速度．( )(4)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)对三种函数增长速度的理解不深致错； (2)建立函数模型出错；(3)分段函数模型的分并把握不准．1．已知f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是 ( )A ．f (x )>g (x )>h (x )B ．g (x )>f (x )>h (x )C ．g (x )>h (x )>f (x )D ．f (x )>h (x )>g (x )解析：选B.由图象知，当x ∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g (x )>f (x )>h (x )．故选B.2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件．解析：利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．答案：183．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行程千米数x (km)之间的函数关系式是________．解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100. 答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100[学生用书P36]应用所给函数模型解决实际问题(师生共研)(1)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q 件，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170 p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元(2)拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．【解析】 (1)设毛利润为L (p )元，则由题意知 L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20) ＝(8 300－170p －p 2)(p －20) ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．当p ∈(0，30)时，L ′(p )>0，当p ∈(30，＋∞)时，L ′(p )<0，故L (p )在p ＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L (30)＝23 000.(2)因为m ＝6.5，所以[m ]＝6，则f (6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 【答案】 (1)D (2)4.24求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．1．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系式f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0＜x ≤A ，C ＋B （x －A ），x ＞A .已知某家庭2016年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份 4 m 3 4元二月份 25 m 3 14元三月份35 m 319元若四月份该家庭使用了A ．11.5元 B ．11元 C ．10.5元D ．10元解析：选A.根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0＜x ≤5，4＋12（x －5），x ＞5，所以f (20)＝4＋12(20－5)＝11.5.2．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝a e－8b＝12a ，故e －8b ＝12. 当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e－bt＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案：16构建函数模型解决实际问题(多维探究) 角度一构造一次函数、二次函数模型(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为______kg.(2)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个．为了赚得最大利润，每个售价应定为______元．【解析】 (1)由图象可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19.(2)设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)·[400－(x －90)·20]＝－20[(x －95)2－225]．所以当x ＝95时，y 最大．【答案】 (1)19 (2)95角度二构建指数函数、对数函数模型某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年【解析】根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2016年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2020年投入的研发资金开始超过200万元，故选C.【答案】 C角度三构建函数y ＝ax ＋bx(a ＞0，b ＞0)模型某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．【解】设该养殖场x (x ∈N *)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y 元．因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x 天饲料的保管费与其他费用共是6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝3x 2－3x (元)．从而有y ＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x ＋3x ＋357≥417，当且仅当300x ＝3x ，即x＝10时，y 有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．角度四构建分段函数模型某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【解】 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0，解得x ＞2.3，因为x 为整数，所以3≤x ≤6，x ∈Z .当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115. 令－3x 2＋68x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20，x ∈Z .所以y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115（3≤x ≤6，x ∈Z ），－3x 2＋68x －115（6＜x ≤20，x ∈Z ）.(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )，显然当x ＝6时，y max ＝185；对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．1．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤______次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)解析：设至少过滤n 次才能达到市场需求，则2%⎝⎛⎭⎫1－13n≤0.1%，即⎝⎛⎭⎫23n≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.答案：82．大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R 与门面经营天数x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，该门面经营的天数是______．解析：由题意，总利润y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2－100x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400. 当0≤x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25 000，所以当x ＝300时，y max ＝25 000；当x >400时，y ＝60 000－100x <20 000，综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元．答案：300[学生用书P38]函数建模在实际问题中的应用某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y (百万元)与年投资成本x (百万元)变化的一组数据：年份 2008 2009 2010 2011 … 投资成本x 3 5 9 17 … 年利润y1234…给出以下3个函数模型：①y ＝kx ＋b (k ≠0)；②y ＝ab x (a ≠0，b ＞0，且b ≠1)；③y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)．(1)选择一个恰当的函数模型来描述x ，y 之间的关系；(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．【解】 (1)将(3，1)，(5，2)代入y ＝kx ＋b (k ≠0)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝3k ＋b ，2＝5k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝12，b ＝－12，所以y ＝12x －12. 当x ＝9时，y ＝4，不符合题意；将(3，1)，(5，2)代入y ＝ab x (a ≠0，b ＞0，且b ≠1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝ab 3，2＝ab 5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝24，b ＝2，所以y ＝24·(2)x ＝2x －32. 当x ＝9时，y ＝29－32＝8，不符合题意；将(3，1)，(5，2)代入y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝log a （3＋b ），2＝log a （5＋b ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，所以y ＝log 2(x －1)．当x ＝9时，y ＝log 28＝3；当x ＝17时，y ＝log 216＝4.故可用③来描述x ，y 之间的关系． (2)令log 2(x －1)>6，则x >65.因为年利润665＜10%，所以该企业要考虑转型．解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．――→读题（文字语言） ――→建模（数学语言） ――→求解（数学应用）反馈（检验作答）某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f (x )＝p ·q x ；②f (x )＝px 2＋qx ＋1；③f (x )＝x (x －q )2＋p (以上三式中p ，q 均为常数，且q ＞1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)? (2)若f (0)＝4，f (2)＝6.①求出所选函数f (x )的解析式(注：函数定义域是[0，5]，其中x ＝0表示8月1日，x ＝1表示9月1日，以此类推)；②为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．解：(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)＝x(x－q)2＋p.(2)①对于f(x)＝x(x－q)2＋p，由f(0)＝4，f(2)＝6，可得p＝4，(2－q)2＝1，又q＞1，所以q＝3，所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)．②因为f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)，所以f′(x)＝3x2－12x＋9，令f′(x)＜0，得1＜x＜3.所以函数f(x)在(1，3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．[学生用书P340(单独成册)][基础题组练]1．(2020·湖北荆、襄、宜联考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，表中记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量(升)加油时累计里程(千米)2018年10月1日1235 0002018年10月15日6035 600(在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()A．6升B．8升C．10升D．12升解析：选C.因为第二次加满油箱时加油量为60升，所以从第一次加油到第二次加油共用油60升，行驶了600千米，所以在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为60600÷100＝10(升)．故选C.2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是()A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D.设进价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.故选D.3．素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n －1”形式(n 是素数)的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P ＝24 423－1，第19个梅森素数为Q ＝24 253－1，则下列各数中与P Q最接近的数为(参考数据：lg 2≈0.3)( )A ．1045B ．1051C ．1056D ．1059解析：选B.由题知P Q ＝24 423－124 253－1≈2170.令2170＝k ，则lg 2170＝lg k ，所以170lg 2＝lg k ．又lg 2≈0.3，所以51＝lg k ，即k ＝1051，所以与PQ最接近的数为1051.故选B.4．由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验标准》(GB/T19522－2010)于2011年7月1日正式实施．车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图，且该图表示的函数模型为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧40sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋13，0≤x <2，90e －0.5x ＋14，x ≥2，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车(时间以整小时计算)？(参考数据：ln 15≈2.71，ln 30≈3.40)( )车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类型阈值(mg/100 mL) 饮酒后驾车 ≥20，<80 醉酒后驾车≥80A ．5 hB ．6 hC ．7 hD ．8 h解析：选B.由题意可知当酒精含量阈值低于20时才可以开车，结合分段函数建立不等式90e－0.5x＋14<20，解得x >5.42，取整数，故为6个小时．故选B.5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟解析：选B.由题中图象可知点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)在函数图象上，因此有⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝a ×32＋b ×3＋c ，0.8＝a ×42＋b ×4＋c ，0.5＝a ×52＋b ×5＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.故p ＝－0.2t 2＋1.5t －2，其对称轴方程为t ＝－1.52×（－0.2）＝154＝3.75.所以当t ＝3.75时，p 取得最大值．6．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元．销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1a log 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4.解得a ＝2，b ＝－2. 所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，即2log 4x －2＝8. 解得x ＝1 024(万元)．答案：1 0247．某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若年销售量为⎝⎛⎭⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是______．解析：根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝⎛⎭⎫30－52R ×160×R %≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8，即R ∈[4，8]．答案：[4，8]8．(2020·河北唐山模拟)某人计划购买一辆A 型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．解析：设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x )＋2.4x ＝14.4，化简得x －6×0.9x ＝0.令f (x )＝x －6×0.9x ，易得f (x )为单调递增函数，又f (3)＝－1.374＜0，f (4)＝0.063 4＞0，所以函数f (x )在(3，4)上有一个零点．故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元．答案：49．声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg ⎝⎛⎭⎫I 10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m 2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到最低声强为多少？(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7W/m 2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？解：(1)当声强为10－6W/m 2时，由公式Y ＝10lg ⎝⎛⎭⎫I10－12得Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－610－12＝10lg 106＝60(分贝)． (2)当Y ＝0时，由公式Y ＝10lg ⎝⎛⎭⎫I10－12得10lg ⎝⎛⎭⎫I10－12＝0.所以I 10－12＝1，即I ＝10－12W/m 2，则常人能听到的最低声强为10－12W/m 2.(3)当声强为5×10－7W/m 2时，声强级Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫5×10－710－12＝10lg(5×105)＝50＋10lg 5，因为50＋10lg 5>50，所以这两位同学会影响其他同学休息．10.如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，并求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形BNPM 面积的最大值．解：(1)如图，作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4，在△EDF 中，EQ PQ ＝EFFD ，所以x －48－y ＝42，所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S ，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，所以S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x ＝10，所以当x ∈[4，8]时，S (x )单调递增，所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，最大值为48平方米．[综合题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行，L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1（R ＋r ）2＋M 2r 2＝(R ＋r )·M 1R 3.设α＝rR ，由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，则r 的近似值为( )A.M 2M 1R B ．M 22M 1R C.33M 2M 1RD ．3M 23M 1R解析：选D.由M 1（R ＋r ）2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3，得M 1⎝⎛⎭⎫1＋r R 2＋M 2⎝⎛⎭⎫r R 2＝⎝⎛⎭⎫1＋r R M 1.因为α＝r R ，所以M 1（1＋α）2＋M 2α2＝(1＋α)M 1，得3α3＋3α4＋α5（1＋α）2＝M 2M 1.由3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，得3α3≈M 2M 1，即3⎝⎛⎭⎫r R 3≈M 2M 1，所以r ≈ 3M 23M 1·R ，故选D.2.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100 ℃，水温y (℃)与时间t (min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y (℃)与时间t (min)近似满足的函数关系式为y ＝80⎝⎛⎭⎫12t －a10＋b (a ，b 为常数)．通常这种热饮在40 ℃时口感最佳．某天室温为20 ℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为( )A ．35 minB ．30 minC ．25 minD ．20 min解析：选C.由题意知，当0≤t ≤5时，函数图象是一条线段；当t ≥5时，函数的解析式为y ＝80⎝⎛⎭⎫12t －a10＋b .将点(5，100)和点(15，60)代入解析式可得⎩⎨⎧100＝80⎝⎛⎭⎫125－a10＋b ，60＝80⎝⎛⎭⎫1215－a10＋b ，解得a＝5，b ＝20，故函数的解析式为y ＝80⎝⎛⎭⎫12t －510＋20，t ≥5.令y ＝40，解得t ＝25，所以最少需要的时间为25 min.故选C.3．新修的个人所得税法在过渡期对纳税个人按照下表计算个人所得税，值得注意的是起征点变为5 000元，即如表中“全月应纳税所得额”是纳税者的月薪收入减去5 000 元后的余额．级数全月应纳税所得额税率 1 不超过3 000元的部分 3% 2 超过3 000元至12 000元的部分 10% 3超过12 000元至25 000元的部分20%______元．解析：由企业员工今年10月份的月工资为15 000元知，其个人所得税属于2级，则应缴纳的个人所得税为(15 000－5 000－3 000)×10%＋3 000×3%＝700＋90＝790(元)．答案：7904．某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为y ＝1＋3xx ＋2(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完．若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为______万元．解析：由题意，产品的生产成本为(30y ＋4)万元，销售单价为30y ＋4y ×150%＋xy ×50%，故年销售收入为z ＝⎝⎛⎭⎫30y ＋4y ×150%＋xy ×50%·y ＝45y ＋6＋12x .所以年利润W ＝z －(30y ＋4)－x ＝15y ＋2－x 2＝17＋45x x ＋2－x2(万元)．所以当广告费为1万元时，即x ＝1，该企业甲产品的年利润为17＋451＋2－12＝31.5(万元)．答案：31.55．已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．解：(1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40，当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x－16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W (32)＝6 104；②当x >40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600，当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以此时W 的最大值为5 760. 综合①②知，当x ＝32时，W 取得最大值为6 104万美元．6．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120，设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？解：(1)由题意知甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，所以f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5(万元)．(2)f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20，200－x ≥20⇒20≤x≤180，故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)．令t ＝x ，则t ∈[25，65]，y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝282.所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

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