几何结构之折叠、旋转(讲义)

几何结构之折叠、旋转（讲义）

➢ 知识点睛

1. 折叠（轴对称）的思考层次

（1）全等变换：对应边相等、对应角相等．

（2）对应点与对称轴：对称轴所在直线是对应点连线的垂直平分线．（对应点所连线段被对称轴垂直平分，对称轴上的点到对应点的距离相等） （3）常见组合搭配

①矩形背景下的折叠常出现等腰三角形；

B A 1

F

E

D (B )

C

A

②两次折叠往往会出现特殊角：45°，60°，90°等．

G

F

E D C

B

A

O

N

M F

E C

B

A D B

O

A C P Q B'

C'

（4）应用，作图（构造）

核心是确定对称轴和对应点，一般先确定对应点和对称轴，然后再补全图形． 特征举例：

①折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上； ②对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线． 2. 旋转思考层次

（1）全等变换：对应边相等、对应角相等． （2）对应点与旋转中心

旋转会出现等线段共端点（对应点到旋转中心的距离相等）； 对应点与旋转中心的连线所夹的角等于旋转角； 对应点所连线段的垂直平分线都经过旋转中心； 旋转会产生圆（圆弧）． （3）常见组合搭配

旋转会出现相似的等腰三角形；

旋转60°会出现等边三角形；旋转90°会出现等腰直角三角形；

60°C'

B'

C

B

A

C'

B'C

B

A

相似三角形对应点重合时会出现旋转放缩模型．

（4）应用，作图（构造）

当题目（背景）中出现等线段共端点时，会考虑补全旋转构造全等．（常见背景有正方形、等边三角形、等腰三角形） 注：读题标注时，往往要弄清楚旋转三要素；

旋转方向不确定需要分类讨论；

常将图形的旋转转化为点、线段的旋转进行操作．（有时 只需保留研究目标即可）

➢ 精讲精练

1. 小明用不同的方式来折叠一个边长为8的正方形纸片ABCD ，折痕MN 分别

与边AD ，BC 交于点M ，N ，沿MN 将四边形ABNM 折叠，点A ，B 的对应点分别为点A′，B′．他得到了以下结论：①如图1，当点B′落在DC 的中点处时，BN =5．

②如图2，当点B′落在CD 上时，延长NB′交AD 的延长线于点E ，△NEM 为等腰三角形．③如图2，当点B′落在CD 上时，连接BB′，此时BB′=MN ，BB′⊥MN ．④如图3，先将正方形沿MN 对折，使AB 与DC 重合，再将AB 沿过点A 的直线折叠，使点B′落在MN 上，则∠MAB′=60°．其中正确结论的序号是______________．

A

B

C

D M

N

B'

A'D

C

B

A B'

M

A'N

图1 图2

D

C

B

A

N

M

B'

图3

2. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D ，E 分别在AC ，BC 上，且∠CDE =

∠B ，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处．若AC =8，AB =10，则CD 的长为______．

F

E

D

C

B

A

3. 如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB

=AD =10，点E 是CD 的中点．将

这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A 与点E 重合，如图2，折痕

为MN ，连接ME ，NE ；第二次折叠纸片使点N 与点E 重合，如图3，点B 落在B′处，折痕为HG ，连接HE ，则tan ∠EHG =_______．

A

B

C D E

G H

M N

B'

N M E

D C

B A

C

图1

图2

图3

4. 如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =10，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落

在A′处，若EA′的延长线恰好过C ，则 sin ∠ABE 的值为_______．

D

C B

A

E

A′

D'A'

F E D C B

A

第4题图第5题图

5. 如图，在矩形ABCD 中，

AB =BC =15，点E 是AD 边上一点，连接BE ，

把△ABE 沿BE 折叠，使点A 落在点A′处，点F 是CD 边上一点，连接EF ，把△DEF 沿EF 折叠，使点D 落在直线E A′上的点D′处，当点D′落在BC 边上时，AE 的长为____________．

6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，AC =3，点F 在边AC 上，且AF =1，

点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则当点P 落在线段AB 上时，线段PB 的长为______________．

P

F

E

C B A 7. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tan C =2，如果将△ABC 沿直线l 翻折

后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为（） A ．13

B ．

152

C ．272

D ．12