展开与折叠教学案
展开与折叠
【步步高——学习目标】 掌握 ①棱柱、圆柱的侧面展开图； ②棱柱、圆柱的表面积与体积的求法． 理解 ①折面、曲面与平面的相互转换；
②棱柱的某些特性．
认识 ①圆锥的侧面展开图．
想快乐晋级吗？先准备一下吧！
【探新必备】
1．会简单的折纸；
2．知道围成正方体、长方体、圆柱、圆锥面的个数及形状； 3．用正方形、长方形、圆的面积公式进行计算．
读者朋友，你真的准备好了吗？请完成以下诊断题目：
1．如图1-2-1，把正方形两次对折后所得三角形的面积是5，则原正方形的面积是 ．
(3)
(2)(1)
图1-2-1
2．三棱柱是由 个面围成的，其中有 个三角形，有 个长方形． 3．长、宽、高分别为5㎝、4㎝、3㎝的长方体的表面积是 ． 答案提示
1．20 2．5 3 2 3．942
cm
知识点1 棱柱的相关概念
【问题线索】
【精要概括】
棱柱的棱与侧棱．在棱柱中，任何相邻两个面的交线 都叫做棱，棱与棱的交点叫做棱柱的顶点，相邻两个侧面 的交线叫做侧棱．棱柱的所有侧棱长都相等，侧面的形状 都是长方形，上下底面的形状相同． 1．n 棱柱的侧棱有n 条；2．n 棱柱的顶点有2n 个． 温馨提示：长方体和正方体都是四棱柱． 【例题精析】
例1．如图1-2-2所示是五棱柱，它的底面边长都是 4cm ， 侧棱长 6cm ．回答下列问题：
新知讲解
设置关于棱柱的问题 棱柱的相关概念 交流探究 底面的边数
棱柱的分类 正多面体的面数f 、棱 数e 、顶点数v 满足f+ v -e=2．
这一节所学知识
与折纸游戏的关
系很密切哦！
（1）这个五棱柱一共有多少个面？它们分别是什么形状？ 哪些面的形状、面积完全相同？
（2）这个五棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？ 命题意图：考查棱柱的性质．
解题流程： 解：（1）这个五棱柱一共有7个面．其中5个是长方形，2个是五边形．2个五边形的底面形状、面积完全相同，所有的侧面形状、面积完全相同．
（2）这个五棱柱一共有15条棱．5条侧棱长度彼此相等，都等于6cm ；围成底面的所有的棱长都相等，都等于4cm ．
指点迷津：熟练掌握棱柱的性质是正确解答此类题的关键． 成功体验
1．如果一个八棱柱，它的底面边长都是 4cm ，侧棱长 6cm ．回答下列问题：
（1）这个五棱柱一共有多少个面？它们分别是什么形状？哪些面的形状、面积完全相同？ （2）这个五棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？
知识点2 棱柱、圆柱、圆锥的表面展开图与折叠图
【问题线索】
【精要概括】
⑴棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方 形组成，按棱柱表面不同的棱剪开，可能得到不同组合方式的 平面展开图，特别关注正方体的表面展开图． ⑵圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形组 成的；
⑶圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形组成的． 1．展开与折叠是立体图形与平面图形间的相互转化方式； 2．棱柱的剪开线与折叠线对应棱柱的棱．
温馨提示：在把立体图形与它的展开图对照时，要注意立 体图形的面的个数、形状和位置． 【例题精析】
例2．如，甲图经过折叠后能否形成乙图的棱柱？如果能形成，请回答下面的问题： ⑴这个棱柱有几个侧面？侧面个数与底面边数有什么关系？
⑵哪些面的形状与大小一定完全相同？如果不能形成，简要说明理由．
性质 已知长度 观察五棱柱 面与面、棱与棱的关系 各条棱的长度
把正方体沿棱剪开 不同的展开图 不同的棱 归纳
圆柱、圆锥的展开图 立体图形的表面展开图是联系立体图形和平面图形的桥梁呦！
命题意图：考查空间想象能力和分析能力．
解题流程：
解：只需将甲图中上、下两个六边形折叠到所在长方形的后方，然后将长方形向后一一折去，就会围成乙图中的六棱柱．
⑴六棱柱共有 6 个侧面，其个数与底面六边形的边数相同；
⑵六棱柱的上、下两个底面一定会完全相同，其侧面都是长方形，但不一定完全相同． 指点迷津：把展开图折叠成立体图形时，一般向后折叠，但有时也可向前折叠． 成功体验
2．请画出图1-2-4中三棱锥的两种展开图．
图1-2-4
综合能力点
【探究示例】
类型1 几何体展开图的画法
例3．请你分别画出图1-2-5中两个几何体的表面展开图（单位：㎝）
⑴ ⑵ 图1-2-5
命题意图：考查几何体的展开图．
解题流程：
解：如图1-2-6：
分为八部分
棱柱特征
展开图
确定折叠方向 围成六棱柱
几何体 平面展开图
沿棱剪开
不同的剪开路线得到不同的展开图噢！
图1-2-6
类型2 几何体展开图的折叠
例4．图1-2-7中的图形分别是什么几何体的平面展开图？它们可以分为哪两类？
⑴⑵⑶⑷
图1-2-7
命题意图：考查学生对于围成几何体面的形状的熟悉程度及几何体的分类标准
解题流程：
解：⑴长方体，⑵圆柱，⑶五棱锥，⑷圆锥．
⑴⑵属于柱体，⑶⑷属于椎体．
【警示牌——错例分析】
例5．图1-2-8 中的平面图形可看作正方体展开图的是（）
A． B． C． D．
图1-2-8
错解：C
错因分析：只是注意了围成正方体的面有六
个，而忽略了展开图中各面的排列位置．
正确解答：D
思路分析：A、B、 C 的展开图，在折叠时
总有一个面是重合的，围成图形是一个没有盖的盒
子．
【双基达标】
1．下列说法，不正确的是（）
A．圆锥和圆柱的底面都是圆B．棱锥底面边数与侧棱数相等
C．棱柱的上、下底面是形状、大小相同的多边形D．长方体是四棱柱，四棱柱是长方体
2．如图1-2-10，下面四个图形中，经过折叠能围成如图1-2-11所示只有三个面上印有图案的正方体纸盒
初试身手
抽象思维柱体、椎体定义
几何体展开图几何体分类
的是（ ）
3．一个几何体的展开图如图1-2-12所示，则该几何体的顶点有（ ）
Ａ．10个 Ｂ．8个 Ｃ．6个 Ｄ．4个
4．一个六棱柱共有 条棱，如果六棱柱的底面边长都是2cm ，侧棱长都是4cm ，那么它所有棱长的和是 cm.
5．如图1-2-13是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面，与“迎”相对的面上的汉字是 ．
6．一个正方体的表面展开图如图1-2-14所示，每一个面上都写有一个整数， 并且相对两个面上所写的两个整数之和都相等，那么试求a+b 的值．
【综合提高】
7．小聪准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用 5 个大小一样的正方形制成如图 1-2-15所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．（注：① 只需添加一个符合要求的正方形；② 添加的正方形用阴影表示．)
图 1-2-15
8．用如图1-2-16所示的长31.4cm ，宽5cm 的长方形，围成一个圆柱体，求需加上的两个底面圆的面积共是多少？（ 取3.14）
图1-2-12
讲
文 明 迎 奥
运 图1-2-13 图1-2-14
图1-2-16
9．一个大长方体是由四个完全一样的小长方体拼成的，如果每个小长方体的长、宽、高分别是3，1，1，那么这个大长方体的表面积可能有多少种不同的值？其中最小值为多少？
【拓展深化】
10．如图1-2-17，沿长方形纸片上的虚线剪下的阴影部分恰好能围成一个圆柱，其中中间的四边形是正方形，圆的半径为r．
⑴用含r的式子表示圆柱的体积；
⑵当r=8.91㎝，圆周率 取3.14时，求圆柱的体积．（精确到十位）
图1-2-17