《几何画板》圆锥曲线的形成和画法

《几何画板》课件制作

圆锥曲线的形成

选题：圆、椭圆、抛物线、双曲线这四种曲线可以看作不同的平面截圆锥面所得到的截线，故它们统称为圆锥曲线。在中学数学教学中，很难用实物教具演示圆锥曲线的形成过程。在学习之初，学生很难对圆锥曲线的形成有一个直观的认识。现利用几何画板模拟不同的平面截圆锥面的过程 ，动态演示不同圆锥曲线及截面的形成，为高中数学圆锥曲线的学习作引入。这样设计使学生对抽象的圆锥曲线概念有一个更感性的认识，更便于学生理解圆锥曲线的实际意义。

原理：圆锥面被一平面所截所得的曲线形有：圆、椭圆、抛物线、双曲线。 制作过程：圆锥曲线的构造

1．构造能够控制截面作移动和倾斜变化的示意图

1作小椭圆：利用同心圆法作椭圆，椭圆的长半轴为OA ，短半轴为OB ；

（1） 过O 作OA 的垂线，在垂线的上方任取一点H ，作线段HO 并隐藏垂线。用线段连接AH ，分别在线段 HO 和AH 上任取点C 和点D ，连接CD ；

（2） 作截面：以点C 为圆心，以小线段r 为半径作圆。在上半圆上任取一点E ，隐藏小圆。依次选定点E 和点C 并标记为向量，把点C 按标记向量平移得到点E ′，再依次选定点C 和点D 并标记为向量，把点E 和E ′按标记向量平移得到点F 和F ′。同时选定点E 、F 、F ′和E ′，用线段相连得截面EFF ′E ′，并涂上浅黄色，如图 1所示：

r b ()a ()圆锥截面的形成

<图 1> <图 2>

注意：利用示意图控制截面作移动和倾斜变化：

1）拖动点A 或点B ，可以改变椭圆的大小；

2）拖动点C 或点D ，可以使截面EFF ′E ′上下移动或上下倾斜；

3）拖动点E，可以使截面左右倾斜或翻转。

2．构造圆锥面被截面所截形成圆锥截面曲线的过程

（1）做大椭圆：利用同心圆法作椭圆，椭圆的长半轴O′A′=2|OA|，短半轴O′B′=2|OB|，椭圆中心为Ｏ′；

（2）作圆截面：依次选定点O和点H并标记为向量，把点O′按标记向量平移两次得点H′,使O′H′=2 |OH|。在椭圆上任取一点Ｐ，用线段连接O′Ｐ依次选定点Ｐ和点Ｈ′并标记为向量，把点Ｈ′按标记向量平移得点Ｐ′，用线段连接ＰＰ′和Ａ′Ｈ′；

作P′轨迹，同时选定点P和点P′，执行〈作图/轨迹〉选项，求得一个与圆椭圆关于H′对称的椭圆；

作PP′轨迹，再同时选定线段PP′和点P，执行〈作图/轨迹〉选项，作出圆锥面，并用浅颜色表示。

（3）作截面：依次选定点O和C并标记为向量，把点O′按标记向量平移两次得点C′，使O′C′=2|OC|。过点C′作平行于CD的直线a交H′A′于点D′。在直线a上任取一点M，选定点M和C′并标记为向量，把点C′按标记向量平移得点M′。过点M 作EE′平行线d，在d上任取一点N，选定点N和M并标记为向量，使点M按标记向量平移得点N′。依次选定点M和M′并标记为向量，使点N，N′按标记向量平移得点Q和Q′。隐藏直线d，用线段连接N、N′、Q′、Q得截面 NN′Q′Q，并涂上浅黄色。

（4）作圆锥曲线：先求作截面NN′Q′Q与棱H′P的交点G。过点D′作O′A′平行线交O′H′于O″点。分别过点O″和D′作线段O′P和FF′的平行线b和c，并交于点R。作直线RC′，求得RC′与PP′的交点G，即为截面与棱PP′的交点。隐藏除直线a外的所有直线。

（5）求点G的轨迹，同时选定点G和点P，执行〈作图/轨迹〉选项，求得截面与锥面相交的圆锥曲线。根据截面不同位置，点G的轨迹可分别形成椭圆、抛物线、双曲线等，建立动画按钮控制截面的运动，改标签为“圆锥曲线”。

用同样方法，可求得圆锥曲线在水平面上的投影，即过G点作A′O′的垂线与PO′交于点G′，求点G′的轨迹即是。

（6）在控制图上选取四个特殊点，此时所成圆锥曲线为双曲线、抛物线、椭圆、圆。分别构造到这几个点的移动按钮，并改名为“双曲线”、“抛物线”、“椭圆”、“圆”如图2所示：

圆锥曲线的画法

选题：圆锥曲线的画法虽然很多种，但归纳起来有以下五种：

1.利用圆锥曲线的第二定义；

2.利用圆锥曲线的第一定义；

3.利用圆锥曲线的参数方程；

4.利用圆锥曲线的极坐标方程；

5.利用圆锥曲线的标准方程。

此部分将将详细介绍以上方法，并将以动态的形式展示出来。

一、由第二定义出发统一构造椭圆、抛物线和双曲线

原理：到定点和定直线的距离之比等于定值m的点的轨迹：

当01时，轨迹为双曲线。

制作过程：

1）如图（3）所示：打开一个新画板，画一条竖直的直线j（定直线）和直线外一点A（定点）。在直线j上取点C，过点A，C作直线j的垂线l,k,点B，C为垂足。

<图 3>

2）取点C，B作圆C1，交直线k于E。

3）新建参数t，并标记比值，让点E以C为中心，按标记比进行缩放得E'。

4）取C，E'作圆C2，取CA的中点G和点C作圆C3，交C2于F。

5）用直线连接A，F交直线k于D，则AD/CD=CE/CE'=1/t。

6）选中C，D作轨迹，作点D关于直线l的对称点D'，选中C，D'作轨迹，最后隐藏不必要的对象。

说明：（1）在圆C1中，CB=CE，在圆C2中，CF=CE'，在⊿BCF和⊿ADC中，因为∠CFB=∠

ACD=∠BAC ，∠CBF=∠DAC （同弧上的圆周角相等），所以⊿BCF 和⊿ADC 为相似三角形。则CB/CF=AD/CD=CE/CE'=m=1/t,即定点A 和定直线j 距离之比等于定值m 。

（2）单击"运动参数t"按钮，比值m 随之改变，这时可以动态地看到，当m 小于1的值逐渐变为1时，轨迹由椭圆变成抛物线；当m 大于1时，轨迹变成双曲线。

二、由第一定义出发，构造椭圆和双曲线及抛物线

原理：椭圆（双曲线）——到定点的距离和定直线的距离之和（差）等于定值的点的轨迹；

抛物线——到定点的距离和定直线的距离相等的点的轨迹。

制作过程：

1.椭圆（或双曲线）的制作：

<

图 4> <图 5> ()()12

11221121,2()()x F x F F M F M MN N F M F N MN A B AB F F A F B 作出平面直角坐标系，在轴上任取两点作圆标记圆心的点记为，另一点隐藏。再轴上任取一点记为（在圆内时并且不与重合时如图(4)，轨迹为椭圆，在圆外时如图（5），轨迹为双曲线），在圆上任取一点。过、作直线，交圆于另一点。联结、，并且作它们的中垂线，与直线相交于、。即为过焦点的椭圆或双曲线的弦，、就是椭圆或双曲线的焦半径。

2.抛物线的制作：

<图 6>