高中数学 直线参数方程导学案 新人教A版选修44
2021_2022学年高中数学第2讲参数方程3直线的参数方程学案新人教A版选修4_4
三 直线的参数方程学习目标：1.掌握直线的参数方程及参数的几何意义．(重点、难点)2.能用直线的参数方程解决简单问题．(重点、易错点)教材整理 直线的参数方程 阅读教材P 35～P 39，完成以下问题．经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，其中参数t 的几何意义是：|t |是直线l 上任一点M (x ，y )到定点M 0(x 0，y 0)的距离，即|t |＝|M 0M —→|.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋5t y ＝1－2t(t 为参数)与坐标轴的交点是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C ．(0，－4)、(8,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，59、(8,0) [解析] 当x ＝0时，t ＝25，而y ＝1－2t ，即y ＝15，得与y 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15；当y ＝0时，t ＝12，而x ＝－2＋5t ，即x ＝12，得与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.[答案] B直线参数方程的简单应用【例1】 直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)，那么该直线被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长是多少？[思路探究] 考虑参数方程标准形式中参数t 的几何意义，所以首先要把原参数方程转化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25t ′，y ＝2＋15t ′，再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t 的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值．[自主解答] 将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)转化为直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25 t ′，y ＝2＋15t ′(t ′为参数)，代入圆方程x 2＋y 2＝9， 得⎝⎛⎭⎪⎫1＋25t ′2＋⎝⎛⎭⎪⎫2＋15t ′2＝9，整理，有5t ′2＋8t ′－45＝0. 由根与系数的关系，t ′1＋t ′2＝－85，t ′1·t ′2t ′的几何意义．|t ′1－t 2′|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝1255.故直线被圆截得的弦长为1255.1．在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t 1－t 2|来求．此题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，无视了参数t 的几何意义．2．根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，那么弦长l ＝|t 1－t 2|； (2)定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；(3)设弦M 1M 2中点为M ，那么点M 对应的参数值t M ＝t 1＋t 22(由此可求|M 1M 2|及中点坐标)．1．在极坐标系中，圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，半径r ＝1.(1)求圆的直角坐标方程；(2)假设直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t y ＝12t(t 为参数)与圆交于A ，B 两点，求弦AB 的长．[解] (1)由得圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos π6，3sin π6，半径为1，圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，即x 2＋y 2－33x －3y ＋8＝0. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t y ＝12t (t 为参数)得直线的直角坐标系方程x －3y ＋1＝0，圆心到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪332－332＋12＝12，所以⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝1，解得|AB |＝ 3.参数方程与极坐标的综合问题【例2】 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取一样的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，假设点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. [思路探究] (1)利用公式可求．(2)可考虑将参数方程、极坐标方程化为普通方程，求交点A 、B 的坐标，也可考虑利用t 的几何意义求解．[自主解答] (1)由ρ＝25sin θ， 得ρ2＝25ρsin θ，∴x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)法一 直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋ 5.与圆C ：x 2＋(y －5)2＝5联立，消去y ，得x 2－3x ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝2＋5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)． 又点P 的坐标为(3，5)， 故|PA |＋|PB |＝8＋2＝3 2.法二 将l 的参数方程代入x 2＋(y －5)2＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5， 即t 2－32t ＋4＝0，(*) 由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0. 故可设t 1，t 2是(*)式的两个实根， ∴t 1＋t 2＝32，且t 1t 2＝4， ∴t 1>0，t 2>0.又直线l 过点P (3，5)，∴由t 的几何意义，得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝3 2.1．第(2)问中，法二主要运用直线参数方程中参数t 的几何意义，简化了计算． 2．此题将所给的方程化为考生所熟悉的普通方程，然后去解决问题，这是考生在解决参数方程和极坐标方程相互交织问题时的一个重要的思路．2．曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． [解] (1)由可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋π，D ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，那么S ＝(2cos φ－1)2＋(3－3sin φ)2＋(－3－2cos φ)2＋(1－3sin φ)2＋(－1－2cos φ)2＋(－3－3sin φ)2＋(3－2cos φ)2＋(－1－3sin φ)2＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.∵0≤sin 2φ≤1，∴S 的取值范围是[32,52]．直线的参数方程[探究问题]1．假设直线l 的倾斜角α＝0，那么直线l 的参数方程是什么？[提示] 参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t ，y ＝y 0(t 为参数)．2．如何理解直线参数方程中参数的几何意义？[提示] 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，(t为参数)，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的长度，即|t |＝|M 0M →|.①当t ＞0时，M 0M →的方向向上；②当t ＜0时，M 0M →的方向向下； ③当t ＝0时，点M 与点M 0重合． 【例3】 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t ，(t 为参数)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)假设点M (－33，0)在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义．[思路探究] 将直线l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t .[自主解答] (1)由于直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率为tan π6的直线，故直线l 的倾斜角α＝π6.(2)由(1)知，直线l 的单位方向向量 e ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π6，sin π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.∵M 0(－3，2)，M (－33，0)， ∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4⎝⎛⎭⎪⎫32，12＝－4e ， ∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方)．1．一条直线可以由定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上的动点M (x ，y )的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，这是直线参数方程的标准形式．2．直线参数方程的形式不同，参数t 的几何意义也不同，过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a 、b 为常数，t 为参数)．3．设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为5π6.(1)写出直线l 的参数方程； (2)设此直线与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |.[解] (1)直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos 5π6＝－3－32t ，y ＝3＋t sin 5π6＝3＋t 2(t 为参数)．(2)把曲线C 的参数方程中参数θ消去，得4x 2＋y 2－16＝0. 把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，得 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－32t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫3＋12t 2－16＝0，即13t 2＋4(3＋123)t ＋116＝0. 由t 的几何意义， 知|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|， 故|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝11613.1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 60°，y ＝3＋t sin 60°(t 为参数)的倾斜角α等于( )A ．30°B ．60°C ．－45°D ．135°[解析] 由直线的参数方程知倾斜角α等于60°，应选B. [答案] B 2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤a ＜π)必过点( )A ．(1，－2)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(2，－1)[解析] 直线表示过点(1，－2)的直线． [答案] A3．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t y ＝2＋22t (t 为参数)，那么直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1 C.22 D ．－22[解析] 消去参数t ，得方程x ＋y －1＝0， ∴直线l 的斜率k ＝－1. [答案] B4．假设直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，那么常数k ＝________.[解析] 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t 化为y ＝－32x ＋72，∴斜率k 1＝－32，显然k ＝0时，直线4x ＋ky ＝1与上述直线不垂直， ∴k ≠0，从而直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k.依题意k 1k 2＝－1，即－4k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－1，∴k ＝－6. [答案] －65．化直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t |的几何意义．[解] 由⎩⎨⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t消去参数t ，得直线l 的普通方程为3x －y ＋33＋1＝0. 故k ＝3＝tan α，即α＝π3，因此直线l 的倾斜角为π3.又⎩⎨⎧x ＋3＝t ，y －1＝3t ，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4t 2，∴|t |＝(x ＋3)2＋(y －1)22.故|t |是t 对应点M 到定点M 0(－3,1)的向量M 0M →的模的一半．。
高中数学 第二讲《参数方程》全部教案 新人教A版选修4-4
曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
3．会进行参数方程和普通方程的互化。
教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
参数方程和普通方程的互化。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
参数方程和普通方程的等价互化。
教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动： 为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。
)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。
例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。
高中数学第二章参数方程2.1参数方程的概念教案新人教A版选修4
2.1 参数方程的概念【课标要求】1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。
2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。
3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。
一、教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
三、教学方法：启发诱导，探究归纳 四、教学过程（一）．参数方程的概念1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为0ν，与地面成α角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？ 2．分析探究理解： （1）、斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα （2）、抽象概括：参数方程的概念。
说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
（3）平抛运动：为参数）t gt y t x (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== （4）思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。
（二）、应用举例：例1、已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x (t 为参数)（1）判断点1M (0,1), 2M (5,4)与曲线C 的位置关系；（2）已知点3M (6,a )在曲线C 上，求a 的值。
分析：只要把参数方程中的t 消去化成关于x,y 的方程问题易于解决。
学生练习。
反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y 的方程问题求解。
例2、设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀速（角速度）运动，角速度为60πrad/s,试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。
人教版2019学年高中数学第二讲参数方程三直线的参数方程学案新人教A版选修4_4
三直线的参数方程学习目标 1. 理解并掌握直线的参数方程.2. 能够利用直线的参数方程解决相关问题．知识点直线的参数方程思虑 1如图，π直线 l 过定点 M0( x0， y0)且倾斜角为α α ≠ 2，那么直线的点斜式方程是什么？答案y－ y0＝tanα( x－x0)．思虑 2在思虑1中，若令x－x0＝t cosα( t 为参数)，那么直线l 的参数方程是什么？x＝x0＋ tcos α，答案( t为参数 ) ．y＝y0＋ tsin α梳理(1) 直线的参数方程①过点 M( x ，y )，倾斜角为α的直线 l 的参数方程为x＝ x0＋tcos α，( t为参数 ) ；000y＝ y0＋tsin α②由α 为直线的倾斜角知，当0<α <π时， sin α>0.(2)直线参数方程中参数 t 的几何意义参数 t 的绝对值表示t 对应的点 M到 M0的距离．①当――→与 e(直线的单位方向向量) 同向时，t取正数；M0M②当――→与 e 反向时， t 取负数，当M与 M0重合时， t ＝0. M0M(3) 重要公式：设，B 是直线上随意两点，它们对应的参数分别为tA，B，则|| ＝ |tBA t AB －t A|＝错误! .种类一直线的参数方程与一般方程的互化例 1(1) 化直线l 1的一般方程x＋ 3 －1＝ 0 为参数方程，并说明|t| 的几何意义；y(2) 化直线l2x＝－ 3＋ t ，的参数方程( t为参数 ) 为一般方程，并求倾斜角，说明 | t | y＝ 1＋ 3t的几何意义．解 (1) 直线l1与 x 轴交于点 M(1,0)，3又 k＝tanα＝－3，31∴ cos α＝－2， sin α＝2，3x＝ 1－2 t ，∴直线 l 1的参数方程为( t为参数 ) ．1y＝2t| t | 表示t对应的点M( x，y) 到M的距离．(2) 方程组变形为x＋ 3＝ t ，①y－ 1＝ 3t，②①代入②消去参数t ，y－1＝3( x＋3) ，可得k＝tan α＝π得直线的点斜式方程3，倾斜角α＝3，一般方程为 3x－y＋3 3＋ 1＝ 0.又∵①②两式平方相加，得(x ＋3) 2＋ (y－ 1)2＝ 42，t∴ | t | ＝错误 ! ，| t | 是定点M1( －3,1)到 t对应的点 M( x，y)的有向线段错误!的长的一半．反省与感悟(1) 一条直线能够由定点M( x ， y )，倾斜角α(0≤ α<π)独一确定，直线000上动点 M( x， y)的参数方程为x＝x0＋ tcosα ，( t为参数 ) ，这是直线参数方程的标y＝y0＋ tsin απx＝ x0，( t为参数 ) ．准形式，特别地，当α＝2时，直线的参数方程为y＝ y0＋ tb参数t 的几何意义也不相同，过定点 M 0( x 0，y 0) ，斜率为 的 ax ＝ x0＋ at ， 直线的参数方程是( a ， b 为常数， t 为参数 ) ．y ＝ y0＋ btx ＝－3＋3t ，追踪训练 1 已知直线 l ：2( t 为参数 ) ．1y ＝ 2＋ 2t(1) 分别求 t ＝ 0,2 ，－ 2 时对应的点 M ( x ，y ) ；(2) 求直线 l 的倾斜角；(3) 求直线 l 上的点 M ( － 3 3， 0) 对应的参数 t ，并说明 t 的几何意义．3解 (1) 由直线 l ：x ＝－3＋ 2 t ，( t 为参数 ) 知，当 t ＝ 0,2 ，－ 2 时，分别对y ＝ 2＋1t2应直线 l 上的点 ( －3， 2) ，(0,3) ，( －2 3，1) ．x ＝－ 3＋3t ，32(2) 方法一化直线 l ：1( t 为参数 ) 为一般方程为y － 2＝ 3 ( xy ＝ 2＋2t＋ 3) ，3设直线 l 的倾斜角为α，则 k ＝tan α ＝ 3 (0 ≤α <π ) ，π解得 α ＝.π故直线 l 的倾斜角为6 .x ＝－ 3＋ tcosπ6 ，方法二 易知直线 l ：( t 为参数 ) ，y ＝ 2＋ tsinπ 6π则直线 l 过定点 M 0( － 3， 2) ，且倾斜角为6 ，π故直线 l 的倾斜角为. (3)由 (2) 可知直线l的单位向量e ＝ cosπ， sinπ＝31，且0(－3，2) ，662，2M又已知 M(－33， 0) ，――→31∴ M0M＝(－2 3，－2)＝－4 2，2＝－ 4e，∴点 M(－33， 0) 对应的参数t＝－ 4，几何意义为 |――→――→M0M | ＝4，且M0M 与e方向相反．种类二直线参数方程的应用命题角度1求弦长 | AB| 问题例 2 已知抛物线y2＝ 8x的焦点为F，过F且斜率为 2 的直线交抛物线于A， B 两点．(1)求| AB| ；(2)求 AB的中点 M的坐标及| FM|.解抛物线 y2＝8x 的焦点为 F(2,0)，x＝ 2＋1t ，依题意，设直线AB的参数方程为5( t为参数 ) ，其中 cosα＝1，25 y＝ t5sin α＝2，α为直线 AB的倾斜角．51x＝ 2＋t ，5将代入 y2＝8x，整理得 t 2－25t－ 20＝0.y＝2t5设 A， B 对应的参数值为t 1， t 2，则 t＋t＝ 25，t t＝－ 20.1212(1)|AB|＝| t－t |＝错误!＝错误!＝10.21→ →(2) 设AB的中点为M( x，y) ，则 AM＝ MB，→→→→∴ FM－ FA＝ FB－FM，→ 1→→ t1 ＋ t25e ，∴ FM ＝ (FA ＋FB) ＝ 2 e ＝2故点 M 对应的参数为 5，x ＝ 2＋ 5cos α，得 M (3,2) ，| FM | ＝t1 ＋ t2由2＝ 5.y ＝ 5sin αx ＝ x0＋ tcos α，( t 为参数 ) ，反省与感悟设二次曲线 C ： F ( x ， y ) ＝ 0，直线 l ：αy ＝ y0＋ tsin若是 l 与 C 订交于 A ，B 两点，那么将 l 的方程代入 F ( x ，y ) ＝0 后，可得 at 2＋ bt ＋ c ＝ 0，则该方程有两个不等实数根t 1，t 2，此时 ――→ ――→α ，sin α ) ， M0A ＝t 1e ， M0B ＝ t 2e ，e ＝ (cos 于是易得以下两个常有的公式： (1)| | ＝ | t1－ 2| ； (2) 线段 AB 的中点 M 对应的参数tABt＝ t1 ＋ t2 ，且 | 0 | ＝|t1＋ t2| .2MM2π22追踪训练 2直线 l 过点 P 0( － 4,0) ，倾斜角 α ＝ 6 ，l 与圆 x ＋ y ＝7 订交于 A ，B 两点．(1) 求弦长 | AB | ；(2) 求 A ， B 两点坐标．，倾斜角 α＝ π， 解 (1) ∵直线 l 过点 P ( － 4,0)6x ＝－ 4＋3t ，∴可设直线 l 的参数方程为2( t 为参数 ) ，ty ＝ 2，3212t代入圆方程，得－ 4＋ 2 t ＋ 2＝ 7.整理得 t 2－ 4 3t ＋ 9＝ 0. ①设 A ， B 对应的参数分别为 t 1， t 2，由根与系数的关系，得t 1＋ t 2＝ 4 3， t 1t 2＝ 9，∴ | AB | ＝ | t 2－t 1| ＝错误 ! ＝ 2错误 ! .(2) 解①得 t 1 ＝3 3， t 2＝ 3，代入直线参数方程x ＝－ 4＋3t ，21y ＝2t ，3 3 5 3 5 33 3得A 1，2 ，B － ，或A － ，， B1，.2222 222命题角度 2求积 ||·|0 | 问题MAMB1022例 3 过点 P 2 ， 0 作倾斜角为 α 的直线与曲线 x ＋12y ＝ 1 交于点 M ，N ，求 | PM | ·|PN |的最小值及相应的 α 值．x ＝10π＋ tcos α ，解设直线为2(0 ≤ α < 2 ， t 为参数 ) ，y ＝ tsin α代入曲线 x 2＋ 12y 2＝ 1，并整理得 (1 ＋11sin 2α ) t 2＋ ( 10cos α ) t ＋3＝ 0.221由≥ 0 得， sin α ≤19，设 M ，N 对应的参数为 t 1，t 2，32∴ t 1t 2＝ 1＋ 11sin2 α ，323∴ | PM |·|PN | ＝ | t 1t 2| ＝1＋ 11sin2 α ＝ 2＋ 22sin2 α.21 19∴当 sin α ＝19时， | PM |·|PN | 获取最小值，且最小值为 20.反省与感悟 利用直线的参数方程，能够求一些距离问题，当求直线上某必然点到直线与曲线交点的距离时，依照直线参数方程中参数的几何意义解题更加方便．π追踪训练 3 已知直线 l 经过点 P (1,1)，倾斜角 α＝ 6 ，(1) 写出直线 l 的参数方程；(2) 设 l 与圆 x 2＋ y 2＝ 4 订交于两点 A ， B ，求点 P 到 A ， B 两点的距离之积．π解(1) 因为直线 l 过点 P (1,1) ，倾斜角为6 ，πx＝ 1＋ tcos 6 ，因此直线的参数方程为( t为参数 ) ，πy＝ 1＋ tsin，3x＝ 1＋2 t ，即( t为参数 ) 为所求．1y＝1＋2t(2) 因为点，都在直线l 上，因此可设它们对应的参数为t1 和t2，则点，B的坐标分A B A 别为3131A 1＋2t1，1＋2t1，B 1＋2t2，1＋2t2，把直线 l的参数方程代入圆的方程x2＋ y2＝4，整理获取 t 2＋(3＋ 1)t －2＝0，①因为 t 1和 t 2是方程①的解，进而 t1t 2＝－2.因此 | PA| ·|PB| ＝ |t t |＝|－ 2| ＝2.12种类三直线参数方程的综合应用2x＝－ 4＋2 t ，例 4已知曲线C1：( t为参数 ) ，2y＝2 tx＝－ 2＋ cos θ，C2：( θ为参数 ) ．y＝ 1＋sin θ(1)化 C1， C2的方程为一般方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若曲线 C1和 C2订交于 A， B 两点，求| AB|.2(1) 由曲线x＝－ 4＋2t ，t y＋ 4，解1：消去参数，得＝C2xy＝，t2因此曲线 C1表示一条直线．x＝－ 2＋ cos θ，由曲线 C2：消去参数θ，y＝ 1＋ sin θ，得 ( x ＋ 2) 2＋ ( y － 1) 2＝ 1，因此曲线 C 表示以 ( － 2,1)为圆心， 1 为半径的圆．2(2) 方法一 2到直线 x － y ＋4＝ 0 的距离为 d ＝| －2－1＋4| 2圆心 C ( －2,1) 2＝ 2 ，因此 || ＝ 2 r2 －d2＝ 21－ 1＝ 2.AB22x ＝－ 4＋ 2 t ，方法二将直线的参数方程 C 1：( t 为参数 )y ＝2t2222代入曲线 C ： ( x ＋ 2) ＋ ( y － 1) ＝1，整理得 t 2－ 3 2 ＋4＝ 0.t设 A ， B 对应的参数分别为 t 1， t 2，则 t 1 ＋t 2＝ 3 2， t 1t 2＝ 4，因此 | | ＝ | t 1－ t 2|＝错误!＝错误!.AB引申研究1．若点 P ( －4,0) 是曲线 C 上的定点，本例其余条件不变，求| PA | ＋ | PB | 的值．1解 由曲线 C 2： x ＝－ 2＋ cos θ，知，y ＝ 1＋sin θ2 2曲线 C 是圆 ( x ＋2) ＋ ( y －1)＝ 1.2因为点 P ( －4,0) 在圆 ( x ＋ 2) 2＋ ( y － 1) 2＝ 1 外，2x ＝－ 4＋ 2 t ，将直线的参数方程2y ＝ 2 t代入曲线 C 2： ( x ＋ 2) 2＋ ( y － 1) 2＝ 1，得 t 2－ 32t ＋ 4＝ 0，设 A ， B 对应的参数为 t 1， t 2，则 t 1 ，t 2 同号，且 t 1 ＋t 2＝ 3 2， t 1· t 2＝ 4，因此 | PA | ＋ | PB | ＝ | t 1| ＋| t 2| ＝ | t 1＋t 2| ＝ 3 2.2．在研究 1 条件不变的情况下，求11|PA| ＋ |PB| 的值．解 由研究 1 知， t 1＋ t 2＝ 3 2 ，t 1· t 2＝ 4，因此 | PA | ＋ | PB | ＝ | t ＋ t | ＝ 3 2，1 2| |·| |＝|1t 2|＝4.PAPBt11|PA| ＋ |PB|3 2因此|PA| ＋|PB| ＝|PA| ·|PB| ＝ 4 .反省与感悟(1) 参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的点，由参数方程求曲线交点坐标时，能够经过方程组求出参数值，再依照参数值得出交点坐标．(2) 解题时若是波及求直线被曲线截得的线段的长度或许直线上的点与曲线交点之间线段长度的和、乘积等，都能够利用直线参数方程中参数的几何意义加以解决．3x ＝ 5＋ 2 t ，追踪训练 4 已知直线 l ：( t 为参数 ) ．以坐标原点为极点，x 轴的1y ＝3＋ 2t正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ ＝ 2cos θ .(1) 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 设点 M 的直角坐标为 (5 ，3) ，直线 l 与曲线 C 的交点为A ，B ，求 | MA |·|MB | 的值；11(3) 求 |MA| －|MB| 的值．解 (1) 曲线 C 的极坐标方程 ρ＝ 2cos θ 化为直角坐标方程为x 2＋ y 2－ 2x ＝ 0.3(2) 将x ＝ 5＋ 2t ， 2＋2－2 ＝0，代入1xyxy ＝ 3＋ 2t得 t 2 ＋5 3t ＋ 18＝ 0.设这个方程的两个实根分别为t ，t ，12则由参数 t 的几何意义可知，| MA |·|MB |＝ | t t | ＝ 18.12(3) 由 (2) 知 t 1，t2为同号，| |MB| － |MA| | ＝ | |t2| － |t1| | ＝| t 2－ t 1| ＝错误 ! ＝错误 ! ，1 1 | |MB| － |MA| | 3∴ |MA|－ |MB|＝|MA| ·|MB|＝ 18.x＝ 2＋ 3t ，( t为参数 ) 上对应t＝ 0，t＝ 1 两点间的距离是 () 1．直线y＝－ 1＋ tA．1B.10C． 10D． 22答案B剖析因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不拥有几何意义，故不能够直接由 1－ 0＝1 来得距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程获取两点坐标(2 ，－ 1) 和 (5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即错误!＝错误!.x＝－ 3＋ tcos α，π2．直线y＝ 2＋ tsin α( t为参数，α＝6 ) 不经过 ()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案Dx＝ 1－2t ，( t为参数 ) 与直线l2：x＝ s，( s为参数 ) 垂直，则k3．若直线l1：y＝ 2＋kt y＝ 1－ 2s＝________.答案－ 1k剖析由－2· ( － 2) ＝－ 1，得k＝－ 1.5π4．设直线l过点A(2 ，－ 4) ，倾斜角为6，则直线 l 的参数方程为________．x＝ 2－3 t ，答案2( t为参数 )1y＝－ 4＋2t剖析∵α ＝5π，∴ cos α＝－3， sin α＝1，622 x＝ 2－3t ，∴ l 的参数方程为2( t为参数 ) ．1y＝－ 4＋2t5．素来线过点0(3,4) ，倾斜角α＝π，求此直线与直线 3＋2 ＝6 的交点M与0 之间P4x y P的距离．2x＝ 3＋2 t ，解设直线的参数方程为( t为参数 ) ，2y＝ 4＋t ，2将它代入已知直线3x＋2y－ 6＝0，22得 3 3＋2 t ＋ 2 4＋2 t ＝6，解得 t ＝－1125，∴| 0| ＝|t | ＝11 2.MP51．经过点M( x，y ) ，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋ tcos α，( t为参000y＝ y0＋ tsin α数 ) ．其中t表示直线l上以定点M为起点，随意一点M( x，y) 为终点的有向线段――→M0M 的数量，能够为正、为负，也能够为零．2．直线l：x＝ x0＋ tcos α，( t为参数 ) 与二次曲线C交于两点A，B，A，B对应的参y＝ y0＋ tsin α数为 t，t .则| AB|＝ | t－t|.但 | MA| ＋ | MB| 与 | AB| 不完好相同，当t与 t异号时， | MA| 121200120＋| M0B| ＝ | AB| ＝ | t1－t2| ；当t1与t2同号时， | M0A| ＋ | M0B| ＝ | t1＋t2| ≠ | AB|.3．要注意差异直线参数方程可否为标准形式，若不是标准形式，则参数t 就不拥有相应的几何意义．一、选择题x＝ 1＋ 2t ，1．若直线的参数方程为( t为参数 ) ，则直线的斜率为 ()y＝ 2－3t23A. 3B．－232C. 2D．－3答案 B剖析x ＝ 1＋ 2t ， 3 7 3 直线的一般方程为 y ＝－ x ＋ ，因此直线的斜率为－ .y ＝ 2－ 3t222x ＝ 1＋ tcos α ， ( α 为参数， 0≤a <π ) 必过点 ()2．直线y ＝－ 2＋ tsin αA ．(1 ，－ 2)B ． ( －1,2)C ．( － 2,1)D ． (2 ，－ 1)答案Ax ＝ 1，剖析当 t ＝0 时，y ＝－ 2，因此直线必过点 (1 ，－ 2) ．3．已知直线 l 过点 A (2,1) ，且与向量 a ＝ ( －1,1) 平行，则点 P ( － 1，－ 2)到直线 l 的距离是 ( )A. 2B ．2 2C ．3 2D ． 2答案Cx ＝ 2－ t ， ( t 为参数 ) ．因为直线上的随意一点 M剖析 由已知得直线 l 的参数方程为y ＝ 1＋ t的坐标可表示为 (2 － t, 1＋ t ) ，因此 | PM |＝错误 ! ＝错误 ! ，当 t ＝ 0 时， | PM | 有最小值，最小值是 3 2，此时 | PM |为点 P 到直线 l 的距离．π4．直线 l 经过点 M 0(1,5) ，倾斜角为 3 ，且交直线 x － y － 2＝ 0 于点 M ，则 | MM 0| 等于 ()A. 3＋ 1B ． 6(3＋ 1)C ．6＋3D ． 6 3＋1答案B1x ＝ 1＋ 2t ，剖析由题意可得直线l的参数方程为( t 为参数 ) ，代入直线方程xy ＝ 5＋3t213 － y － 2＝ 0，得1＋2t－5＋ 2 t－ 2＝ 0，解得 t ＝－ 6(3＋ 1) ．依照 t的几何意义可知| MM |＝6(3＋1) ．5．若x ＝ x0－ 3λ ， x ＝ x0＋ tcos α ， y ＝ y0＋ 4λ( λ 为参数 ) 与( t 为参数 ) 表示同一条直线，y ＝ y0＋ tsin α则 λ 与 t 的关系是 ()A ．λ ＝ 5tB ． λ＝－ 5tC ．t ＝ 5λD ． t ＝－ 5λ答案 C剖析由 x －x 0，得－ 3λ ＝ t cos α ，由 y － y 0，得 4λ＝ t sin α，消去 α 的三角函数，得25λ 2＝ t 2，得 t ＝±5λ ，借助于直线的斜率，可除去t ＝－ 5λ ，因此 t ＝5λ .1x ＝ 1＋2t ，6．直线( t 为参数 ) 和圆2＋ y 2＝ 16 交于 ， B 两点，则的中3xAABy ＝－ 33＋ 2 t点坐标为 ()A ．(3 ，－ 3)B ． ( － 3，3)C ．( 3，－ 3)D ． (3 ，－ 3)答案Dt3t2剖析将 x ＝1＋ 2， y ＝－ 3 3＋ 2 t 代入圆方程，得1＋2 ＋ － 3 3＋2 －8t ＋ 12＝0，则 t ＝2， t＝ 6，∴ t12因此 AB 的中点 M 对应参数 t ＝ t1 ＋ t2＝ 4，2 1 3∴ x ＝ 1＋ × 4＝ 3， y ＝－ 3 3＋ × 4＝－ 3，22故中点 的坐标为 (3 ，－ 3) ．AB M二、填空题7．已知直线 lx ＝ 1＋3t ，( t 为参数 ) 与直线 l 2：2 x － 4 ＝5 订交于点 1：yy ＝ 2－4t则 | AB | ＝ ________.3t 2＝ 16，2B ，且点 A (1,2) ，答案52剖析x＝ 1＋ 3t ，代入 2－4 ＝5，得15，0 .又(1,2) ，因此 |5将x t＝，则B 2| ＝ .y＝ 2－ 4t y2A AB 2 2x＝ 2＋2 t ，2 且在点M下方的8．直线( t为参数 ) 上到点M(2 ，－ 3) 的距离为2y＝－ 3－t2点的坐标是 ________．答案(3 ，－ 4)x＝2－2t ，剖析直线参数方程的标准式为2( t为参数 ) ，2y＝－ 3＋2 t则 M对应的参数为 t ＝－2，∴错误 !∴点 M的坐标为(3，－4)．9．已知直线l的参数方程为x＝－ 1＋ t ，为参数 ) ，以坐标原点为极点，x 轴的正( ty＝1＋ t半轴为极轴成立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为23π5πρ cos2θ＝ 4ρ>0，<θ <，则44直线 l 与曲线 C的交点的极坐标为________．答案(2 ，π)x＝－ 1＋ t ，剖析因为直线 l 的参数方程为y＝ 1＋t ，因此直线 l 的一般方程为y＝ x＋2.因为曲线 C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝ 4 ρ >0，3π<θ <5π，44可得曲线 C的直角坐标方程为 x2－y2＝4( x<0)．联立错误 ! 解得交点坐标为 ( －2,0) ，因此交点的极坐标为(2 ，π ) ．10．在平面直角坐标系xOy中，直线 l 的参数方程为x＝ t －3，( t为参数 ) ，以原点O y＝ t为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系， 圆 C 的极坐标方程为 ρ2 －4ρ cos θ ＋ 3＝ 0，则圆心 C 到直线 l 的距离为 __________ ．答案522剖析易得直线 l 的一般方程为 x － y ＋ 3＝ 0，圆 C 的直角坐标方程为x 2＋ y 2－ 4x ＋ 3＝ 0，即 ( x － 2) 2＋y 2＝1，因此圆心到直线的距离 ＝错误!＝错误!.dl 过点 A ( －2,3) ，倾斜角为135°，求直线 l 的参数方程，并且求直线上与点 A 距离为 32的点的坐标．解 直线 l 的参数方程为x ＝－ 2＋tcos135 °， ( t 为参数 ) ，y ＝ 3＋tsin135 °2x ＝－ 2－ 2 t ，( t 为参数 ) ．①即2y ＝ 3＋ 2 t设直线上与点 A 距离为 3 2的点为 B ，且点 B 对应的参数为 t ，则 | AB | ＝ | t | ＝3 2.因此 t ＝±3 2.把 t ＝±32代入①，合适 t ＝ 3 2时，点 B 在点 A 的上方，点 B 的坐标为 ( －5， 6) ；当 t ＝－ 3 2时，点 B 在点 A 的下方，点 B 的坐标为 (1,0) ．12．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x ＝ 1＋ 4cos y ＝ 2＋ 4sinθ ，θ( θ 为参数 ) ，π直线 l 经过定点 P (3,5) ，倾斜角为3 .(1) 写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程；(2) 设直线 l 与曲线 C 订交于 A ，B 两点，求 | PA | ·|PB | 的值．解 (1) 曲线 C ： ( x － 1) 2＋ ( y － 2) 2＝ 16，1x ＝ 3＋2t ，直线 l ：( t 为参数 ) ．3y ＝ 5＋ 2 t三、解答题11．已知直线(2)将直线 l 的参数方程代入圆C的方程，可得t 2＋(2＋3 3) t －3＝0，设 t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，因此 | PA|| PB| ＝ | t1|| t2| ＝ | t1t2| ＝ 3.13．在极坐标系中，已知圆心 C 3，π，半径r ＝1. 6(1)求圆的直角坐标方程；3(2)x＝－ 1＋2 t ，( t为参数 ) 与圆交于A，B两点，求弦AB的长．若直线1y＝2t(1) 由已知得圆心C333 3 2 3 2解23，2，半径为 1，圆的方程为x－2＋y－2＝ 1，即 x2＋y2－3 3x－3y＋8＝0.3(2) 由x＝－ 1＋2t ，( t为参数 ) ，得直线的直角坐标方程为x－3y＋1＝0，1y＝2t3333－＋ 1圆心到直线的距离221＝＝，d22因此|AB|2＋d2＝1，解得 | AB| ＝ 3. 2四、研究与拓展2x＝－ 4＋2 t ，14．设直线的参数方程为( t为参数 ) ，点P在直线上，且与点M0( －2y＝t24,0)2，若将该直线的参数方程改写成x＝－ 4＋ t ，的距离为( t为参数 ) ，则在这个y＝ t方程中点 P 对应的 t 值为________．答案±12x＝－ 4＋2 t ，剖析由 | PM| ＝ 2知，t＝± 2，将其代入得点 P的坐标为(－02y＝2t ，3,1)x＝－ 4＋ t ，得 t ＝1或 t ＝－1.或 ( － 5，－ 1) ，将点P的坐标代入y＝ t ，15．在极坐标系中，曲线F的极坐标方程为4cos θ. 以极点为原点，极轴为x 轴正半ρ ＝θsin2轴成立平面直角坐标系，单位长度不变，直线l 1， l 2均过点 F(1,0)，且 l 1⊥l 2，直线 l 1的倾斜角为α .(1)写出曲线 F 的直角坐标方程和 l 1， l 2的参数方程；(2)设直线 l 1和 l 2分别与曲线 F 交于点 A， B 和 C， D，线段 AB，CD的中点分别为 M， N，求 | MN|的最小值．解 (1)：y 2＝4x，1：x＝ 1＋tcos α，t为参数)，(F l y＝ tsin αx＝ 1－tsinα ，( t为参数 ) ．l ：2y＝ tcos α(2) 将lx＝ 1＋ tcos α，1：代入 y2＝4x，y＝tsin α得 t 2sin2α －4t cosα －4＝0，①tA ＋ tB2cos αM2＝sin2 α.则 t ＝将l 2 ：x＝ 1－tsin α，y2＝4 ，代入x y＝ tcos α得 t 2cos2α＋4t sinα －4＝0，②则 t N＝tC ＋ tD＝－2sin α，2cos2α于是 || ＝ |FM|2 ＋|FN|2 ＝t2M＋ t2NMNcos2αsin2 α 2 242＝ 2sin4 α＋cos4 α≥|sinαcos α |＝|sin2α|≥ 4 2，因为α ∈ [0 ，π ) ，因此当且仅当α＝π时，等号成立．4且此时知足方程①②的鉴别式均大于零，故 | MN|的最小值为 4 2.。
高中数学 2.3 直线的参数方程教案 选修4-4
三直线的参数方程课标解读1.掌握直线的参数方程及参数的几何意义．2.能用直线的参数方程解决简单问题.直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α(α≠π2)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t为参数)，其中参数t 的几何意义是：|t |是直线l 上任一点M (x ，y )到点M 0(x 0，y 0)的距离，即|t |＝|M 0M →|.1．若直线l 的倾斜角α＝0，则直线l 的参数方程是什么？【提示】 参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t ，y ＝y 0.(t 为参数)2．如何理解直线参数方程中参数的几何意义？【提示】 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，(t 为参数)，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M→的长度，即|t |＝|M 0M →|.①当t ＞0时，M 0M →的方向向上；②当t ＜0时，M 0M →的方向向下； ③当t ＝0时，点M 与点M 0重合.直线的参数方程已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t ，(t 为参数)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)若点M (－33，0)在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义．【思路探究】 将直线l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t .【自主解答】 (1)由于直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率为tan π6的直线，故直线l 的倾斜角α＝π6.(2)由(1)知，直线l 的单位方向向量e ＝(cos π6，sin π6)＝(32，12)． ∵M 0(－3，2)，M (－33，0)，∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4(32，12)＝－4e ，∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方)． 1．一条直线可以由定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上的动点M (x ，y )的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，这是直线参数方程的标准形式．2．直线参数方程的形式不同，参数t 的几何意义也不同，过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a 、b 为常数，t 为参数)．设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为5π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设此直线与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |.【解】 (1)直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos 56π＝－3－32t ，y ＝3＋t sin 56π＝3＋t 2.(t 为参数)(2)把曲线C 的参数方程中参数θ消去，得4x 2＋y 2－16＝0. 把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，得4(－3－32t )2＋(3＋12t )2－16＝0.即13t 2＋4(3＋123)t ＋116＝0.由t 的几何意义，知 |PA |·|PB |＝|t 1·t 2|，故|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝11613.直线参数方程的简单应用 已知直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)，则该直线被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长是多少？【思路探究】 考虑参数方程标准形式中参数t 的几何意义，所以首先要把原参数方程转化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25 t ′，y ＝2＋15t ′，再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t 的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值．【自主解答】 将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)转化为直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25 t ′，y ＝2＋15t ′(t ′为参数)代入圆方程x 2＋y 2＝9，得(1＋25 t ′)2＋(2＋15 t ′)2＝9，整理，有5t ′2＋8t ′－45＝0. 由根与系数的关系，t ′1＋t ′2＝－85，t ′1·t ′2＝－4.根据参数t ′的几何意义．|t ′1－t 2′|＝t ′1＋t ′22－4t ′1t ′2＝1255.故直线被圆截得的弦长为1255.1．在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t 1－t 2|来求．本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽视了参数t 的几何意义．2．根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2|； (2)定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；(3)设弦M 1M 2中点为M ，则点M 对应的参数值t M ＝t 1＋t 22(由此可求|M 2M |及中点坐标)．若将条件改为“直线l 经过点A (1,2)，倾斜角为π3，圆x 2＋y 2＝9不变”，试求：(1)直线l 的参数方程；(2)直线l 和圆x 2＋y 2＝9的两个交点到点A 的距离之积．【解】 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t2，y ＝2＋32t (t 为参数)．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝2＋32t 代入x 2＋y 2＝9，得t 2＋(1＋23)t －4＝0，∴t 1t 2＝－4.由参数t 的几何意义，得直线l 和圆x 2＋y 2＝9的两个交点到点A 的距离之积为|t 1t 2|＝4.参数方程与极坐标的综合问题在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. 【思路探究】 (1)利用公式可求．(2)可考虑将参数方程、极坐标方程化为普通方程，求交点A 、B 的坐标，也可考虑利用t 的几何意义求解．【自主解答】 (1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)法一 直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋ 5.与圆C ：x 2＋(y －5)2＝5联立，消去y ，得x 2－3x ＋2＝0，解之得⎩⎨⎧x ＝1y ＝2＋5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)． 又点P 的坐标为(3，5)，故|PA |＋|PB |＝8＋2＝3 2.法二 将l 的参数方程代入x 2＋(y －5)2＝5，得(3－22t )2＋(22t )2＝5， 即t 2－32t ＋4＝0，(*)由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0. 故可设t 1，t 2是(*)式的两个实根． ∴t 1＋t 2＝32，且t 1t 2＝4. ∴t 1>0，t 2>0.又直线l 过点P (3，5)，∴由t 的几何意义，得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝3 2.1．第(2)问中，法二主要运用直线参数方程中参数t 的几何意义，简化了计算．2．本题将所给的方程化为考生所熟悉的普通方程，然后去解决问题，这是考生在解决参数方程和极坐标方程相互交织问题时的一个重要的思路．(2012·课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)．(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．【解】 (1)由已知可得A (2cos π3，2sin π3)，B (2cos (π3＋π2)，2sin(π3＋π2))，C (2cos (π3＋π)，2sin(π3＋π))，D (2cos (π3＋3π2)，2sin(π3＋3π2))，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝(2cos φ－1)2＋(3－3sin φ)2＋(－3－2cos φ)2＋(1－3sin φ)2＋(－1－2cos φ)2＋(－3－3sin φ)2＋(3－2cos φ)2＋(－1－3sin φ)2＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.∵0≤sin 2φ≤1，∴S 的取值范围是[32,52]．(教材第39页习题2.3第1题)设直线l 经过点M 0(1,5)、倾斜角为π3.(1)求直线l 的参数方程；(2)求直线l 和直线x －y －23＝0的交点到点M 0的距离．(2013·湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________．【命题意图】 考查参数方程的理解、两直线的位置关系．将参数方程消去参数后得到平面直角坐标系下的方程是考查转化与化归的能力，由平面直角坐标系下的方程及两直线平行得到a 的值是考查运算求解能力．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s 消去参数s ，得x ＝2y ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1消去参数t ，得2x ＝ay ＋a .∵l 1∥l 2， ∴2a ＝12，∴a ＝4. 【答案】 41．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 60°，y ＝3＋t sin 60°(t 为参数)的倾斜角α等于( )A ．30°B ．60°C ．－45° D．135°【解析】 由直线的参数方程知倾斜角α等于60°，故选B. 【答案】 B2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤a ＜π)必过点( )A ．(1，－2)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(2，－1)【解析】 直线表示过点(1，－2)的直线． 【答案】 A3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t y ＝2＋22t (t 为参数)，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1C.22 D ．－22【解析】 消去参数t ，得方程x ＋y －1＝0， ∴直线l 的斜率k ＝－1. 【答案】 B4．(2013·濮阳模拟)若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k＝________.【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t 化为y ＝－32x ＋72，∴斜率k 1＝－32，显然k ＝0时，直线4x ＋ky ＝1与上述直线不垂直．∴k ≠0，从而直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k.依题意k 1k 2＝－1，即－4k ×(－32)＝－1，∴k ＝－6. 【答案】 －6(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝3＋t (t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－t ，y ＝5－2t(t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t ，y ＝1－2t(t 为参数)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋255t ，y ＝5＋55t (t 为参数)【解析】 题目所给的直线的斜率为2，选项A 中直线斜率为1，选项D 中直线斜率为12，所以可排除选项A 、D.而选项B 中直线的普通方程为2x －y ＋3＝0，故选C.【答案】 C2．(2013·许昌模拟)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线【解析】 ∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ，即x 2＋y 2＝x ，即(x －12)2＋y 2＝14，∴ρ＝cos θ所表示的图形是圆．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t y ＝2＋t (t 为参数)消参得：x ＋y ＝1，表示直线．【答案】 D3．原点到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋4t y ＝－32＋3t (t 为参数)的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 消去t ，得3x －4y －15＝0， ∴原点到直线3x －4y －15＝0的距离 d ＝|3×0－4×0－15|32＋－42＝3. 【答案】 C4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12ty ＝－33＋32t ，(t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A 、B 两点，则AB的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)【解析】 将x ＝1＋t 2，y ＝－33＋32t 代入圆方程，得(1＋t 2)2＋(－33＋32t )2＝16，∴t 2－8t ＋12＝0，则t 1＝2，t 2＝6，因此AB 的中点M 对应参数t ＝t 1＋t 22＝4，∴x ＝1＋12×4＝3，y ＝－33＋32×4＝－3，故AB 中点M 的坐标为(3，－3)．【答案】 D二、填空题(每小题5分，共10分) 5．(2013·湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．【解析】 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3. 【答案】 36．(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数，0≤θ≤π2)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．【解析】 曲线C 1和C 2的普通方程分别为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5x －y ＝1(0≤x ≤5，0≤y ≤5)①②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(2,1)．【答案】 (2,1)三、解答题(每小题10分，共30分)7．化直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－3＋ty ＝1＋3t，(t 为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t |的几何意义．【解】 由⎩⎨⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t消去参数t ，得直线l 的普通方程为3x －y ＋33＋1＝0.故k ＝3＝tan α，即α＝π3.因此直线l 的倾斜角为π3.又⎩⎨⎧x ＋3＝t ，y －1＝3t .得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4t 2，∴|t |＝x ＋32＋y －122.故|t |是t 对应点M 到定点M 0(－3,1)的向量M 0M →的模的一半．8．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋1，y ＝22t ，(t 为参数)求直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长．【解】 由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ.∴直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋1，y ＝22t .(t 为参数)化为普通方程为x －y －1＝0.曲线C 的圆心(2,0)到直线l 的距离为12＝22， 所以直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长为24－12＝14. 9．(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t为参数)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【解】 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0. 同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，(12，－1)．教师备选10．(2012·沈阳模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t y ＝22t ，(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程是ρ＝sin θ1－sin 2θ，以极点为原点，极轴为x 轴正方向建立直角坐标系，点M (－1,0)，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．(1)求直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；(2)线段MA ，MB 长度分别记为|MA |，|MB |，求|MA |·|MB |的值．【解】 (1)直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t y ＝22t，(t 为参数)的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，所以极坐标方程为2ρcos(θ＋π4)＝－1，曲线C ：ρ＝sin θ1－sin 2θ即(ρcos θ)2＝ρsin θ， 所以曲线的普通方程为y ＝x 2.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t y ＝22t，(t 为参数)代入y ＝x 2得t 2－32t ＋2＝0，∴t 1t 2＝2，∴|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝2.。
高中数学人教A版选修4-4导学案 2.3直线的参数方程
2.3 直线的参数方程学习目标：1.掌握直线参数方程的标准形式并理解其参数的几何意义；会应用参数的几何意义解决与距离有关的问题。
2.通过参数方程的推导过程学会直线普通方程与参数方程之间互化的方法；通过参数几何意义的讨论，树立数形结合的思想。
3.在参数方程的推导过程中，培养学生逻辑思维的严谨性；在师生间平等、和谐的交流中，激发学生学习数学的热情。
重点：掌握直线参数方程的标准形式并理解其参数的几何意义；会应用参数的几何意义解决与距离有关的问题 难点：掌握直线参数方程的标准形式并理解其参数的几何意义；会应用参数的几何意义解决与距离有关的问题学习过程： 自学探究问题1、我们知道利用直线上的一点0M 和直线的倾斜角α，便可以确定直线的普通方程。
利用这些条件能否求出直线的参数方程呢？思考1、设质点从点),(000y x M 出发，沿着与x 轴正方向成α角的方向匀速直线运动，其速率为0v 你能建立质点运动的轨迹的参数方程吗？2、如何将直线的点斜式方程转化成直线的参数方程？问题2、直线参数方程的标准形式： )(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα其中的含义是什么？α参数t 的系数有什么关系？t 系数的取值范围是多少？问题3、标准的参数方程形式中参数t 具有什么几何意义？t 的正负与点),(y x M 的位置之间有什么关系？技能提炼例1、判断下列哪些是直线参数方程的标准形式，并指出直线经过的定点和斜率：（1）)(231213为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=（2）)(231213为参数t ty tx ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=例2、（1）已知直线的普通方程为23+=x y ，求它的参数方程标准形式；（2）已知直线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=0020sin 320cos 2t y t x （t 为参数），求直线的倾斜角。
例3、已知直线1l 过定点)32,4(-A ，且倾斜角为（1）在直线上求一点P ，使点P 到点A 的距离是4；（2）设直线,013:2=+-y x l 2l 与1l 的交点为B ，求点B 到点A 的距离。
高中数学 直线的参数方程(一)学案 新人教A版选修44
直线的参数方程（一）
【自主学习】
任务1：阅读教材P35—37，理解下列问题：
1 .点M 0 (x 0, y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为)( sin cos 00为参数t t y y t x x ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=α
α
思 考 的几何意义吗？
中参数为参数的参数方程，你能得到直线设 )( sin cos 000t t t y y t x x l e t M M ⎪⎩⎪⎨⎧+=+==α
α
2 曲线y ＝f (x )交于M 1，M 2两点，对应的参数分别为t 1，t 2.
(1)曲线的弦M 1M 2的长是多少？
(2)线段M 1M 2的中点M 对应的参数t 的值是多少？
(3)你还能提出和解决哪些问题？
任务2：完成下列问题：
已知直线l ：x ＋y －1＝0与抛物线y ＝x 2交于A ，B 两点，求线段AB 的长和点M (－1,2)
到A ，B 两点的距离之积.
x y O α0
M M l e
【合作探究】
经过点M(2,1)作直线l ，交椭圆14162
2=+y x 于A ，B 两点.如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程.
【目标检测】
1. 过点P (1, －2)，倾斜角为45o 的直线l 与椭圆x 2＋2y 2
＝8交于A 、B 两点，求|AB |及|PA |· |PB |.
2.设AB 为椭圆19
162
2=+y x 的一条弦，点M (2, －1)为AB 的中点，求AB 所在直 线的方程。
【学习反思】：本节课我学到了什么？我的学习效率如何？还有哪些没学懂。
高中数学4-4直线的参数方程导学案
白城实验高中 高二数学 选修4-4 编号：7 编制人：张晶 审批人： 包科领导： 张晶 2013年 月 日 班级 小组 学生姓名 评价 第二讲 坐标系§2.3 直线的参数方程 1 §2.3 直线的参数方程 2§2.3 直线的参数方程【学习目标】1.记住直线的参数方程的形式并能简单应用；2.理解直线参数方程中参数t 的几何意义。
【重点难点】重点：直线的参数方程的形式。
难点：直线参数方程中参数t 的几何意义。
【复习回顾】将下列参数方程化成普通方程。
1.（1）{t y t t x =+=)(,12为参数 （2）{221)(,3-=-=t y t t x 为参数 （3）{2131)(,32-==a y a x 为参数α 思考：一条直线的参数方程唯一吗？ 【自主探究】一、直线的参数方程： 1.标准式 设直线过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α，则直线的参数方程为：___________2.一般式 过点(x 0，y 0)，斜率为_____的直线的参数方程为:二、参数方程中t 的几何意义 思考：1.一般式中的a,b 满足什么关系，一般式就变成了标准式？2. 若P 1、P 2是直线上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则(1)P 1、P 2两点的坐标分别是：(__________,________),(___________,___________)； (2)｜P 1P 2｜=________________________(用含t 1,t 2的关系式表达，写出推导过程) (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则t=________.(用t 1,t 2，写出推导过程) （4）｜ t ｜的几何意义：_______________________________；(解决例1后思考)若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t ｜.【典型例题】例1：求直线 (t 为参数)上与点P (－2,4)距离等于2的点Q 的坐标。
2019-2020学年高中数学 2.3.2直线的参数方程(第2课时)导学案新人教A版选修4-4.doc
2019-2020学年高中数学 2.3.2直线的参数方程（第2课时）导学案新人教A 版选修4-4【学习目标】理解直线的参数方程并能利用直线的参数方程解决问题。
能用直线参数方程及参数的意义解决数学问题 体会运用参数解决实际问题的便捷。
探究案 【情境链接】过定点的倾斜角为α),(0,0y x M 直线的参数方程是什么？【研读文本】阅读课本37-39页，用红笔标注出重点、难点和不理解的地方，以便展示时与学生交流。
通过研读课本例题能写出直线的参数方程并会用参数的意义解题，体会参数的意义和直线参数方程解题的简便。
【问题探究】问题1： 例2的解法对一般圆锥曲线也成立吗？问题2：运用直线的普通方程能解决例2吗？试规范书写你的解题过程。
问题3：例3中，海滨城市O 受台风侵袭大概持续多长时间？问题4：例4中，直线AB 、CD 与椭圆长轴的夹角分别为21,21∠=∠∠∠且、，那么两直线的斜率有什么关系。
试利用已知点P 设出两条直线的参数方程。
【实战演练】1．若直线的参数方程为12()23x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32-2. 直线l 的参数方程为()x a tt y b t=+⎧⎨=+⎩为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b 之间的距离是 （ ）A ．1tB ．12t C1 D13.直线112()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点， 则AB 的中点坐标为 （ ）A ．(3,3)- B．( C．3)- D．(3,4. 已知(1,2)A ，直线113:()24x tl t y t =+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，则AB =_______________。
5.已知经过点P(2,0)，斜率为34的直线和抛物线x y 22=相交于A,B 两点，设线段AB 的中点为M ，求点M 的坐标。
高中数学 直线参数方程导学案 新人教版数学选修4-4 学案
直线的参数方程(第一课时)三维目标:知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
学习重点：参数t 的含义，直线单位方向向量)sin ,(cos αα=e 的含义。
学习难点：如何引入参数t ，理解和写直线单位方向向量)sin ,(cos αα=e学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引,深刻领会数学方法,认真思考、独立规范作答。
知识链接: 我们学过的直线的普通方程都有哪些?学习过程:问题1已知一条直线过点),(000y x M ,倾斜角α,求这条直线方程。
问题2在直线l 上，任取一个点M (x ,y )，求0M M 坐标。
问题3试用直线l 的倾斜角α表示直线l 的方向单位向量e 。
问题4设0M M t =，则e 与0M M 具有什么位置关系？用t 能否表示出这种关系。
问题5通过坐标运算，用),(000y x M ，α，t 把在直线l 上，任取一点M (x ,y )的坐标表示出来 即过定点00M (x ,y )倾斜角为α的直线的参数方程：问题6在直线l 的参数方程中，哪些是变量，哪些是常量？问题70,M M te l t =由你能得到直线的参数方程中参数的几何意义吗？问题8参数t 的取值范围是什么？分别代表什么含义？练习:A1、直线⎪⎩⎪⎨⎧=+=020cos 20sin 3t y t x (t 为参数)的倾斜角是( ) A, 020 B, 070 C, 0110 D, 0160A2、求直线01=-+y x 的一个参数方程。
A3、若点P 是极坐标方程为3πθ=的直线与参数方程为⎩⎨⎧+==θθ2cos 1cos 2y x （θ为参数）的曲线的交点，则P 点的坐标为 .B 例1：已知直线01:=-+y x l 与抛物线2x y =交与B A ,两点，求线段AB 的长度和点)2,1(-M 到B A ,的距离之积.问题9直线与曲线)(x f y =交于21M M 两点,对应的参数分别为21,t t , (1)曲线的弦21M M 的长是多少?(2)线段21M M 的中点M 对应的参数t 的值是多少? 课堂小结课堂反思：直线的参数方程(第二课时)三维目标:知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
直线的参数方程 导学案——高二下学期数学人教A版选修4-4
导学案学习目标：1、推导直线的参数方程2、理解参数t的几何意义新课导入：1、已知直线x+y−1=0与抛物线y=x2交于A,B两点，求线段AB的长和点M（-1,2）到A，B两点的距离之积.要求：画图并用之前所学过的知识来解决这道题.2、已知一条直线l过点M0(x0,y0)倾斜角为α，求这条直线的参数方程.直线的方向向量：不妨规定直线向上的方向为正方向.问题1：根据直线的已知条件，你认为应该怎样选择参数？⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =_________(1)直线l过点M0(x0,y0)，在l上任取一个点M(x,y),则M0M(2)试用直线l的倾斜角α表示直线l的单位方向向量e，则e=_________⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与e的等量关系：________ .（3）M0M问题2：你能写出直线的参数方程吗？（4）通过坐标运算，用M0(x0,y0)的坐标，α，t把在直线上任取一点M(x,y)的坐标表示出来。
即为过定点M0(x0,y0)倾斜角为α的直线参数方程：__________________ .3、第36页“思考”.思考：参数t 的几何意义是什么？例题探究：例1 已知直线 x +y −1=0与抛物线 y =x 2 交于A,B 两点，求线段AB 的长和点M （-1,2）到A ，B 两点的距离之积.用直线的参数方程解答.4、探究（1）曲线的弦长|AB |是多少？ |AB |=_________________________（2）线段AB 的中点M 对应的参数t 的值是多少？ _____________________（3）M 0 到A,B 两点的距离之积是多少？ |M 0A ||M 0B |= _________________ （4）M 0 到A,B 两点的距离之和是多少？|M 0A |+|M 0B |=________________6、小结：1、本节课我们学习了哪些知识？2、本节课学习了哪些数学思想方法？7、作业布置必做：教材P39-1,3选做：教材P39-4思考题：直线方程还有其他形式的参数方程吗？ .,,,0),(210t t B A B A y x f l M 的参数分别为对应两点，交于与曲线的直线探究：已知过点。
2021学年高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线学案新人教A版选修4_4
四 渐开线与摆线学习目标 1.了解圆的渐开线的参数方程.2.了解摆线的生成过程及它的参数方程.3.学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤．知识点一 渐开线思考 把绕在圆盘上的细绳展开，细绳外端点的轨迹是一条曲线，看看曲线的形状．假设要建立曲线的参数方程，请试着确定一下参数．答案 根据动点满足的几何条件，我们以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，如下图．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )．显然，点M 由角φ惟一确定．梳理 圆的渐开线及其参数方程 (1)定义把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆相切，外端点的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆． (2)参数方程设基圆的半径为r ，圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ是参数)．知识点二 摆线思考 当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？ 答案 摆线．梳理 摆线及其参数方程 (1)定义当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫做旋轮线． (2)参数方程设圆的半径为r ，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ是参数)．类型一 圆的渐开线例1 求半径为4的圆的渐开线的参数方程．解 以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量OM 0―→的方向为x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM ，按渐开线定义，弧0AM 的长和线段AM 的长相等，记OA →和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，那么|AM |＝0AM ＝4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得OA →＝(4cos θ，4sin θ)． 由几何知识知，∠MAB ＝θ，AM →＝(4θsin θ，－4θcos θ)， 得OM →＝OA →＋AM →＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))． 又OM →＝(x ，y )， 因此所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(cos θ＋θsin θ)，y ＝4(sin θ－θcos θ).反思与感悟 圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角．跟踪训练1 圆的渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φsin30°＋φsin φsin30°，y ＝sin φcos60°－φcos φcos60°(φ为参数)，那么该基圆半径为________，当圆心角φ＝π时，曲线上点A 的直角坐标为________． 答案 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，π2解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φsin 30°＋φsin φsin 30°，y ＝sin φcos 60°－φcos φcos 60°，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(cos φ＋φsin φ)，y ＝12(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．∴基圆半径r ＝12.当φ＝π时，x ＝－12，y ＝π2，∴A 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，π2. 类型二 平摆线例2 一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为________．答案10解析 由圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ知，圆的方程为x 2＋y 2＝9，∴圆的圆心为(0,0)，半径r ＝3，∴圆上定点M 的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)．当φ＝π2时，x ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1＝3π2－3，y ＝3×(1－0)＝3，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－3，3，∴|AB |＝(－3)2＋12＝10.反思与感悟 (1)摆线的参数方程摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)，其中r ：生成圆的半径，φ：圆在直线上滚动时，点M 绕圆心作圆周运动转过的角度∠ABM .(2)将参数φ的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标，进而可求渐开线或摆线上两点间的距离．跟踪训练2 一个圆的摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，那么该摆线一个拱的高度是________；一个拱的跨度为________． 答案 6 6π解析 当φ＝π时，y ＝3－3cos π＝6为拱高；当φ＝2π时，x ＝3×2π－3sin 2π＝6π为跨度.1．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )A ．πB ．3πC ．6πD ．10π答案 C2．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)答案 C3.如下图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线〞，其中AE ，EF ，FG ，GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，那么曲线AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π答案 C解析 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14AEFGH 的长是5π. 4．一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解 首先根据摆线的参数方程可知，圆的半径为4， 所以面积为16π，该圆对应的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．1．圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角．2．由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．3．由于渐开线、摆线的方程复杂，所以不宜用普通方程来表示．一、选择题1．圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，那么此渐开线对应的基圆的周长是( ) A ．π B ．2π C ．3π D ．4π答案 B2．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(t －sin t )，y ＝2(1－cos t )(t 为参数，0≤t <2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )A ．(π－2,2)，(3π＋2,2)B ．(π－3,2)，(3π＋3,2)C ．(π，2)，(－π，2)D ．(2π－2,2)，(2π＋2,2)答案 A3．给出以下说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比拟麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是惟一的交点． 其中正确的说法有( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①③④答案 C 4．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2(cos t ＋t sin t )，y ＝2(sin t －t cos t )(t 为参数)上与t ＝π4对应的点的直角坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，1－π4B.⎝⎛⎭⎪⎫1－π4，1＋π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－π4，1－π4D.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，－1－π4答案 A5．圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ) (φ为参数)，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0是此渐开线上的一点，那么渐开线对应的基圆的周长是( ) A.32π B ．3π C ．4π D ．6π答案 B解析 由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0在渐开线上， 得⎩⎪⎨⎪⎧32＝r (cos φ＋φsin φ)，0＝r (sin φ－φcos φ)，易知φ＝0，那么r ＝32，故基圆的周长为3π.6．圆的渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数)，当φ＝π时，渐开线上的对应点的坐标为( ) A ．(－2,2π) B ．(－2，π) C ．(4,2π) D ．(－4,2π)答案 A解析 将φ＝π代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2×(－1＋π×0)，y ＝2×[0－π×(－1)]，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2π.二、填空题7．基圆直径为10，那么其渐开线的参数方程为__________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5(cos φ＋φsin φ)，y ＝5(sin φ－φcos φ)(φ为参数)8．有一标准的齿轮，其齿廓线的基圆直径为22mm ，那么齿廓所在的摆线的参数方程为__________________． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11(φ－sin φ)，y ＝11(1－cos φ)(φ为参数)解析 因为基圆直径为22 mm ， 所以基圆半径为11 mm ，所以摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11(φ－sin φ)，y ＝11(1－cos φ)(φ为参数)．9．圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos t ＋t sin t )，y ＝6(sin t －t cos t )(t 为参数)，那么该渐开线的基圆的半径为________，参数t ＝2π3对应的点的直角坐标是_______________________________________． 答案 6 (－3＋23π，33＋2π)解析 由参数方程，得基圆的半径rt ＝2π3代入参数方程，得⎩⎨⎧x ＝－3＋23π，y ＝33＋2π，即参数t ＝2π3对应的点的直角坐标是(－3＋23π，33＋2π)． 10．圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π2，那么点P 的坐标为________． 答案 (π，2)解析 由题意知，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．当φ＝π2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为(π，2)．三、解答题11．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程． 解 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系． 又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)．以圆周上的某一定点为原点，以定直线为x 轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)．12．圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，求此圆的摆线中，参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离．解 由圆的参数方程，得圆的半径r ＝3，那么其摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)．把φ＝π2代入摆线的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，故点A 与点B 之间的距离 |AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋3－3π22＋(2－3)2＝10.13．一个圆的平摆线方程是x ＝2φ－2sin φ，y ＝2－2cos φ(φ为参数)，求该圆的周长，并写出平摆线上最高点的坐标． 解 由平摆线方程知，圆的半径为2，φ＝π时，y 有最大值4，平摆线具有周期性，周期为4π.∴平摆线上最高点的坐标为(2π＋4k π，4)(k ∈Z )． 四、探究与拓展14.如图，△ABC 是正三角形，曲线ABCDEF …叫做“正三角形的渐开线〞，其中弧CD ，弧DE ，弧EF …的圆心依次按A ，B ，C 循环，它们依次相连接，如果AB ＝1，那么曲线CDEF 的长是( )A ．8πB ．6πC ．4πD ．2π答案 C解析 ∵∠CAD ，∠DBE ，∠ECF 是等边三角形的外角， ∴∠CAD ＝∠DBE ＝∠ECF ＝120°. 又AC ＝1，∴BD ＝2，CE ＝3， ∴弧CD 的长＝13×2π×1，弧DE 的长＝13×2π×2，弧EF 的长＝13×2π×3，∴曲线CDEF 的长＝13×2π×1＋13×2π×2＋13×2π×3＝4π.15．渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到曲线C ，求曲线C 的方程，及焦点坐标． 解 由渐开线方程可知，基圆的半径为6，那么圆的方程为x 2＋y 2＝36. 把横坐标伸长为原来的2倍，得到椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236＝1， 对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．。
人教课标版高中数学选修4-4《直线的参数方程(第1课时)》教案-新版
第二讲参数方程2.3直线的参数方程（第一课时）一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，了解直线参数方程的推导过程、掌握参数的几何意义，体会参数方程的优越性，在逻辑推理、数学抽象中感受参数方程的特点．（二）学习目标1．利用向量，推导直线的参数方程，体会直线的普通方程与参数方程的联系．2．掌握并理解直线参数方程中参数的几何意义．3．能初步利用直线参数方程解决一些几何问题，体会参数方程的优越性．（三）学习重点1．直线参数方程的推导．2．直线参数方程中参数的几何意义．3．直线参数方程中参数的几何意义的初步应用．（四）学习难点1．对直线参数方程的几何意义的理解．2．对直线参数方程中参数的几何意义的初步应用．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务读一读：阅读教材第35页至第36页，填空：过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα，这种形式称为直线参数方程的标准形式．其中参数t 的几何意义是：直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 绝对值，即|M 0M |＝|t |.若_0>t ，则0M M 的方向向上； 若_0<t _____，则0M M 的方向向下； 若___0=t ___，则M 与M 0重合．2．预习自测 （1）直线)(60sin 360cos 2为参数t t y t x ⎩⎨⎧+=+-=的倾斜角α等于( ) A ．30° B ．60° C ．－45°D ．135°【知识点】直线的参数方程【数学思想】【解题思路】根据直线标准的参数方程可知直线的倾斜角【思路点拨】熟记直线的标准参数方程【答案】B ．（2）直线)0,(sin 2cos 1πααα<≤⎩⎨⎧+-=+=为参数t t y t x 必过点( ) A ．(1，－2) B ．(－1,2) C ．(－2,1)D ．(2，－1)【知识点】直线的参数方程 【数学思想】【解题过程】消去参数得到直线的普通方程为)1(tan 2-=+x y α，所以恒过定点 (1，－2)．【思路点拨】消去参数化为普通方程 【答案】A ．（3）．下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的标准参数方程的是( )A.)(223221为参数t ty t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+= B.)(5525551为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-= C.)(552155为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+== D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋255t ，y ＝5＋55t (t 为参数)【知识点】直线的参数方程 【数学思想】【解题过程】由直线的标准参数方程形式易得选C 【思路点拨】熟记直线的标准的参数方程形式 【答案】C ．（4）已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23212(t 为参数)与曲线C ：y 2＝8x . 交于A ，B 两点，求弦长|AB |.【知识点】直线的标准参数方程、直线与抛物线的位置关系 【数学思想】【解题过程】将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝32t .代入y 2＝8x ，并整理得3t 2－16t －64＝0，t 1＋t 2＝163，t 1t 2＝－643.所以|AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝323.【思路点拨】充分理解直线标准参数方程中参数的几何意义 【答案】323.(二)课堂设计 1．问题探究探究一 结合实例，认识直线参数方程★ ●活动① 温故知新在必修2我们学习了直线及其方程，在平面直角坐标系中，两点或一点和直线的倾斜角确定一条直线，直线的方程形式主要有：1.点斜式： )(tan 00x x y y -=-α ,其中α为直线的倾斜角，定点),(00y x M ；2.斜截式：b kx y += ， 其中k 为直线的斜率，b 为直线在y 轴上的截距 ；3.两点式：010010x x x x y y y y --=-- ，其中直线经过两点的坐标为),(),,(112001y x P y x P4.截距式：1=+bya x ， 其中b a ,分别为直线在x 轴、y 轴上的截距 5.一般式：0=++C By Ax ，其中B A ,不同时为0【设计意图】简要回顾直线的有关内容，为得到直线的参数方程作铺垫． ●活动② 利用旧知、推导新概念 已知直线l 的倾斜角)2(παα≠和定点),(000y x M ，如何建立直线l 的参数方程？在直线l 上任取一点),(y x M ，则M M 0),(),(),(0000y y x x y x y x --=-=取直线l 的一个单位向量[)),0(),sin ,(cos πααα∈=由e∥M 0,根据向量共线基本定理，存在实数R t ∈使t M =0，即)sin ,(cos ),(00ααt y y x x =-- 于是 ,cos 0αt x x =- αsin 0t y y =- 整理得 ,cos 0αt x x += αsin 0t y y +=当倾斜角2πα=时，即直线l 的方程：0x x =时，也满足上式．因此，经过点),(000y x M ，倾斜角为)2(παα≠的直线l 直线的标准参数方程为)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα【设计意图】利用向量的知识，推导得出直线的参数方程，培养学生严谨的思维和逻辑推理能力． 探究二 探究直线标准参数方程中参数的几何意义★▲ ●活动① 巩固理解，加深认识在上述直线的标准参数方程中，参数t 是否和圆中参数类似，具有一定的几何意义呢？因为)sin ,(cos αα=e ，而e t M M =0t 的几何意义为：t 等于直线上动点M 到定点0M 【设计意图】通过对推导过程分析，得出参数t 几何意义，培养学生解析问题的能力．●活动② 升华认识、理解提升当πα<<0时，0sin >α，所以直线l 的单位向量e 的方向是向上的，于是的可得： 若0>t ，则0M M 的方向向上；若0<t ，则0M M 的方向向下； 若0=t ，则M 与M 0重合．【设计意图 加深对参数t 的认识，对直线参数方程进一步的了解．探究三 理论实践，探究直线参数方程的简单应用★▲活动① 巩固基础，检查反馈例 1 在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)的普通方程为________．【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】【解题过程】由x ＝2＋22t ，且y ＝1＋22t ，消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0. 【思路点拨】通过参数方程与普通方程互化求解． 【答案】x －y －1＝0．同类训练 求直线2x －y ＋1＝0的参数方程的标准形式， 【知识点】直线普通方程化为参数方程．【数学思想】【解题过程】根据直线的普通方程可知斜率是2，设直线的倾斜角为α，则tan α＝2，sin α＝255，cos α＝55，所以直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋55t ，y ＝3＋255t (t 为参数)．．【思路点拨】通过直线确定斜率和定点，从而得到直线倾斜角α的ααcos ,sin 的值．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋55t ，y ＝3＋255t(t 为参数)．【设计意图】巩固检查直线参数方程与普通方程互化，熟悉直线的参数方程． 例2 已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t ，(t 为参数)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)若点M (－33，0)在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义．【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】【解题过程】(1)由于直线l ： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率为tan π6的直线，故直线l 的倾斜角α＝π6.(2)由(1)知，直线l 的单位方向向量e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6，sin π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.∵M 0(－3，2)，M (－33，0)，∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12＝－4e ，∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方)．【思路点拨】 将直线l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t .【答案】（1）α＝π6；（2）|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方)同类训练 已知直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 231213(t 为参数) （1）求直线l 的普通方程，并求倾斜角； （2）若点)33,33(-M 在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义．【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】【解题过程】 （1）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 231213消去参数t ，得 直线l 的普通方程为3x －y ＋33＋1＝0.故k ＝3＝tan α，即α＝π3，因此直线l 的倾斜角为π3. （2）令33231=+t ，解得3326-=t ，所以M 对应的参数03326>-=t几何意义为|M 0M →|＝3326-，且M 0M →与e 方向相同(即点M 在直线l 上点M 0的右上方)．【思路点拨】将直线l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t .【答案】（1）倾斜角为π3；（2）几何意义为|M 0M →|＝3326-，且M 0M →与e 方向相同(即点M在直线l 上点M 0的右上方)． 【设计意图】巩固检查直线参数方程与普通方程互化、参数的几何意义的理解．●活动② 强化提升、灵活应用例3 已知直线l ：01=-+y x 与抛物线2x y =交于B A ,两点，求线段AB 的长和点)2,1(-M 到两点B A ,的距离之积．【知识点】直线参数方程的应用．【数学思想】【解题过程】因为直线l 定点M ，且l 的倾斜角为43π，所以参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=)(222221为参数t t y tx 代入抛物线的方程，得0222=-+t t设B A ,两点对应的参数分别为21,t t ，由根与系数的关系得⎩⎨⎧-=∙-=+122121t t t t ． 所以，由t 的几何意义得 104)(2122121=-+=-=t t t t t t AB 22121==∙=∙t t t t MB MA 【思路点拨】求出直线的标准参数方程，再利用参数的几何意义． 【答案】（1）10=AB ；（2）2=∙MB MA ．同类训练 直线l 1过点P (4,3)且倾斜角的正切值为23， (1)求l 1的参数方程；(2)若l 1和直线l 2：x ＋y －2＝0交于点Q ，求|PQ |.【知识点】直线参数方程的应用． 【数学思想】【解题过程】(1)l 1的倾斜角为α，满足tan α＝23. ∴sin α＝213，cos α＝313. ∴l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋313 t ，y ＝3＋213 t (t 为参数)．(2)将上式代入x ＋y －2＝0，得 4＋313 t ＋3＋213t －2＝0， ∴t ＝－13. ∴|PQ |＝|t |＝13.【思路点拨】求出直线的标准参数方程，再利用参数的几何意义．【答案】（1）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋313 t ，y ＝3＋213t (t 为参数)；（2）|PQ |=13.【设计意图】巩固检查直线的参数方程中参数几何意义的应用．2. 课堂总结知识梳理（1）过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα，这种形式称为直线参数方程的标准形式．（2）参数t 的几何意义是：直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 绝对值，即|M 0M |＝|t |.若0>t ，则0M M 的方向向上； 若0<t ，则0M M 的方向向下； 若0=t ，则M 与M 0重合． 重难点归纳（1）在直线的参数方程中，00,,y x α都是常数，其中α为直线的倾斜角，00,y x 是直线上一定点0M 的坐标),(00y x ，t 为参数．（2）利用直线参数方程中参数的几何意义解决问题时，必须先将直线化为标准的参数方程形式．（三）课后作业 基础型 自主突破1．直线)6(sin 2cos 3πααα=⎩⎨⎧+=+-=为参数，t t y t x 不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【知识点】直线的参数方程．【数学思想】【解题过程】直线⎩⎨⎧+=+-=ααsin 2tan 3t y t x 经过点(-3,2),倾斜角α=6π,所以不经过第四象限.【思路点拨】转化为普通方程求解．【答案】D ．2．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t2，y ＝2－32t (t 为参数)，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则|t |的几何意义是( )A ．M 0M →B ．MM 0→C ．||M 0M →D ．以上都不是【知识点】直线的参数方程中参数的几何意义．【数学思想】【解题过程】由参数t 的几何意义及向量模的定义知选C ．【思路点拨】理解参数t 的几何意义．【答案】C ．3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22ty ＝2＋22t (t 为参数)，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1 C.22D ．－22【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】【解题过程】消去参数t ，得方程x ＋y －1＝0，∴直线l 的斜率k ＝－1.【思路点拨】转化为直线的普通方程求解．【答案】B ．4．一条直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t(t 为参数)，另一条直线的方程是x －y －23＝0，则两条直线的交点与点(1，－5)之间的距离是( )A ．2 3B ．32C ．4 3D ．34【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】【解题过程】由题意可知，点(1，－5)在直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t(t 为参数)上．将参数方程代入x －y －23＝0，得6＋)2321(-t ＝23，所以t ＝23－612－32＝43，根据t 的几何意义，得两直线的交点与点(1，－5)之间的距离是43． 【思路点拨】直线参数方程中参数几何意义的应用． 【答案】C ．5．经过点M 0(1,5)，倾斜角是π3的直线l 的参数方程为_______________． 【知识点】直线的参数方程．【解题过程】代入直线的参数方程中可得．【数学思想】【思路点拨】熟记直线的参数方程．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)6．过点P ()－3，0且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 长为________．【知识点】参数方程中参数的几何意义． 【数学思想】【解题过程】直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32s ，y ＝12s (s 为参数)，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t(t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4.将直线的参数方程代入上式，得s 2－63s ＋10＝0，设A ，B 对应的参数分别为s 1，s 2， ∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10，|AB |＝|s 1－s 2|＝212214)(s s s s -+＝217. 【思路点拨】利用直线的参数方程中参数的几何意义求解． 【答案】217．能力型 师生共研7．若直线⎩⎨⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角α为( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π6或5π6【知识点】参数方程、直线与圆的关系． 【数学思想】【解题过程】直线化为yx ＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4，∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13，∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 【思路点拨】将直线和圆化为普通方程后求解． 【答案】D ．8．已知直线l 过点A(-2,3),倾斜角为135°,求直线l 的参数方程,并且求直线上与点A 距离为32的点的坐标. 【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】分类讨论的思想【解题过程】直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=135sin 3135cos 2t y t x (t 为参数) 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y tx 223222(t 为参数) ① 设直线上与点A 距离为32的点为B,且点B 对应的参数为t,则|AB|=|t|=32. 所以t=±32.把t=±32代入①,得当t=32时,点B 在点A 的上方,点B 的坐标为(-5,6); 当t=-32时,点B 在点A 的下方,点B 的坐标为(1,0).【思路点拨】直接根据直线的参数方程公式求解．【答案】 直线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y tx 223222(t 为参数)；B 点的坐标(-5,6)或(1,0)．探究型 多维突破9．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |.【知识点】直线的参数方程、圆的极坐标方程． 【数学思想】【解题过程】 (1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得22)22()223(+-t ＝5，即t 2－32t ＋4＝0. 由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0， 故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.【思路点拨】运用直线参数方程中参数t 的几何意义，简化了计算． 【答案】（1）x 2＋(y －5)2＝5；（2）3 2.10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin )4(πθ-＝ 2.(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角； (2)设点P (0,2)，l 和C 交于A ，B 两点，求PBPA 11+.【知识点】参数方程、直线与椭圆的位置关系． 【数学思想】【解题过程】(1)由⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1，即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.由ρsin )4(πθ-＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2， 所以直线l 的倾斜角为π4.(2)由(1)知，点P (0,2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos π4，y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，代入x 29＋y 2＝1并化简，得5t 2＋182t ＋27＝0， Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1825＜0，t 1t 2＝275＞0，所以t 1＜0，t 2＜0， 所以21212121211111t t t t t t t t t t PB PA +=+=+=+=322. 【思路点拨】把握直线参数方程中参数的几何意义．【答案】（1）C 的普通方程为x 29＋y 2＝1，l 的倾斜角为π4；（2）PB PA 11+=322． 自助餐1．直线)(222221:为参数t t y tx l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=与圆)(sin 21cos 22为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=y x C 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心【知识点】参数方程、直线与圆的位置关系．【数学思想】【解题过程】直线l 化为普通方程为01=+-y x ，圆C 化为普通方程为4)1()2(22=-+-y x ，圆心为)1,2(，半径为2，圆心到直线的距离r d <=+-=22112，但圆心不在直线上，故选D【思路点拨】转化为普通方程求解．【答案】D ．2．若直线的参数方程为)(131332131321为参数t ty t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=，则直线的斜率为（ ）A ．32B ．32-C ．23-D ．23 【知识点】直线的参数方程．【数学思想】【解题过程】将直线消去参数化为普通方程为0723=-+y x ，所以斜率为23-．【思路点拨】直线消去参数化为普通方程求解．【答案】C ．3．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，则它的斜截式方程为______________．【知识点】直线的参数方程与普通方程互化．【数学思想】【解题过程】将t x 212+=整理得42-=x t 代入t y 233+=中消去t ，整理可得．【思路点拨】将直线的参数方程中参数t 消去． 【答案】y ＝3x ＋3－23．4．在直角坐标系xOy 中，直线l(t 为参数).在极坐标系 （与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，若直线l 平分圆C 的周长，则a = ． 【知识点】直线的参数方程、圆的极坐标方程．【数学思想】【解题过程】直线的普通方程为043=++a y x ，圆的方程为1)1(22=+-y x ，依题意，直线经过圆心)0,1(代入直线得3-=a ． 【思路点拨】转化为普通方程求解．【答案】-3．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【知识点】参数方程、弦长公式． 【数学思想】【解题过程】椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得14)23()211(22=++t t ，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167，所以AB ＝|t 1－t 2|＝167 【思路点拨】利用直线的参数方程中参数的几何意义求解．【答案】AB ＝167．6．过点)0,1(-P 作倾斜角为α的直线与曲线12322=+y x 相交于M,N 两点.(1)写出直线MN 的参数方程. (2)求PN PM ∙的最小值. 【知识点】直线的参数方程． 【数学思想】【解题过程】(1)因为直线MN 过点P(-1,0)且倾斜角为α,所以直线MN 的参数方程为:⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1t y t x (t 为参数). (2)将直线MN 的参数方程代入曲线12322=+y x ,得2(-1+tcosα)2+3(tsinα)2=6, 整理得(3-cos 2α)·t 2-4cosα·t -4=0, 设M,N 对应的参数分别为t 1,t 2, 则|PM|·|PN|=|t 1·t 2|=α2cos 34-,当cosα=0时,|PM|·|PN|取得最小值为34． 【思路点拨】利用直线的参数方程中参数的几何意义求解．【答案】（1）⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1t y t x (t 为参数)；（2）34．。
高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《直线的极坐标方程》导学案
直线的极坐标方程
本课提要：本节课的重点是掌握一些特殊位置下的直线（如过极点或垂直于极轴的直线）的极坐标方程. 一、 温故而知新
1．直线1=+y x 的极坐标方程是 .
2．曲线1cos =θρ的直角坐标方程是 .
二、典型例题
【问题1】：求经过极点，从极轴到直线l 的夹角是4
π的直线l 的极坐标方程.
练一练： 3．经过极点，且倾斜角是
6π的直线的极坐标方程是 . 4．直线)(4
3R ∈=ρπρ的直角坐标方程是 . 【问题2】：设点P 的极坐标为),(11θρ，直线l 过点P 且与极轴所成的角为α，求直线l 的极坐标方程.
三、技能训练 懂了，不等于会了
5．在极坐标系中，求适合下列条件的直线的极坐标方程： （1）过极点，倾斜角是
3π的直线；（2）过点)3,2(π，并且和极轴垂直的直线.
6．把下列极坐标方程化为直角坐标方程：
（1）2sin =θρ；
（2）θρsin 2=. 7．求下列直线的倾斜角：（1）)(65R ∈=ρπθ；（2）1)4
sin(=-πθρ.
8．已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，求点)4
7,2(πA 到这条直线的距离.
四、变式训练 试试你的身手呀
9．过点）（42,π，且平行于极轴的直线的极坐标方程为 . 10．直线2cos =θρ关于直线4π
θ=
对称的直线的极坐标方程为________________。
高中数学(课前预习导学+课堂合作探究+当堂检测)23 直线的参数方程课件 新人教A版选修44
题解决.
第十页，共26页。
解:如图所示,建立直角坐标系.
x = u120°,
由题意知直线 OP 的参数方程为
其中参数 u 表
y = u120°,
示点 P 到点 O 的距离.
设风暴中心处于点 O 时,时间为 t=0,到达点 P 的时间为 t 小时,
第十五页，共26页。
(2)设 l 的倾斜角为 θ,
x = 1 + tθ,
则参数方程为
(θ 为参数),
y = tθ
代入 x2+9y2-9=0 得 t2(cos2θ+9sin2θ)+2tcos θ-8=0,
设点 B 对应 t1,点 C 对应 t2,B,C 位于点 A 两侧,则
-2θ ①
x = 1 + tα,
4.已知直线 l 的参数方程是
(t 为参数),其中角 α 的范
y = -2 + tα
围是 , ,则直线 l 的倾斜角是
.
2
3
答案:2π-α
解析:将原参数方程改写成
由 α∈
,
2
x-1 = t ,
y + 2 = t ,
和倾斜角的范围可得,
3
故 y+2=(x-1)tan 2 -α ,
则l
2
的倾斜角的正切值为±3 .
第十七页，共26页。
迁移与应用 3
若抛物线 y2=2px(p>0)的两条焦半径在同一条直线上,且焦半径
1
1
的长分别为 m 和 n,求证m + n为定值.(焦半径是指抛物线上的点到
焦点的线段)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三维目标:
知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义
过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
学习重点：参数t 的含义，直线单位方向向量)sin ,(cos αα=e 的含义。
学习难点：如何引入参数t ，理解和写直线单位方向向量)sin ,(cos αα=e
学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引,深刻领会数学方法,认真思考、独立规范作答。
知识链接: 我们学过的直线的普通方程都有哪些?
学习过程:
问题1已知一条直线过点),(000y x M ,倾斜角α,求这条直线方程。
问题2在直线l 上，任取一个点M (x ,y )，求0M M 坐标。
问题3试用直线l 的倾斜角α表示直线l 的方向单位向量e 。
问题4设0M M t =，则e 与0M M 具有什么位置关系？用t 能否表示出这种关系。
问题5通过坐标运算，用),(000y x M ，α，t 把在直线l 上，任取一点M (x ,y )的坐标表示出来
即过定点00M (x ,y )倾斜角为α的直线的参数方程：
问题6在直线l 的参数方程中，哪些是变量，哪些是常量？
问题70,M M te l t =由你能得到直线的参数方程中参数的几何意义吗？
问题8参数t 的取值范围是什么？分别代表什么含义？
练习:A1、直线⎪⎩⎪⎨⎧=+=0020
cos 20sin 3t y t x (t 为参数)的倾斜角是( ) A, 020 B, 070 C, 0110 D, 0
160
A2、求直线01=-+y x 的一个参数方程。
A3、若点P 是极坐标方程为3π
θ=的直线与参数方程为⎩⎨⎧+==θ
θ2cos 1cos 2y x （θ为参数）的曲线
的交点，则P 点的坐标为 .
B 例1：已知直线01:=-+y x l 与抛物线2
x y =交与B A ,两点，求线段AB 的长度和点)2,1(-M 到B A ,的距离之积.
问题9直线与曲线)(x f y =交于21M M 两点,对应的参数分别为21,t t ,
(1)曲线的弦21M M 的长是多少?
(2)线段21M M 的中点M 对应的参数t 的值是多少?
课堂小结
课堂反思：
直线的参数方程(第二课时)
三维目标:
知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义
过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
学习重点：参数t 的含义，直线单位方向向量)sin ,(cos αα=e 的含义。
学习难点：如何引入参数t ，理解和写直线单位方向向量)sin ,(cos αα=e
学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引,深刻领会数学方法,认真思考、独立规范作答。
知识链接: 1、直线参数方程的形式。
2、参数t 的几何意义
.
B 例1、已知直线L:x+y-1=0与抛物线x 2+y 2=4交与A 、B 两点，求AB 的长和M(-1,2)到A 、B
两点距离之和与距离之积。
C 例2、当前台风中心P 在某海滨城市O 向东300km 处生成，并以40km/h 的速度向西北方向移动，已知距台风中心250km 以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后，该城市开始受到台风侵袭？
训练：
A1、若点P 是极坐标方程为3π
θ=的直线与参数方程为⎩⎨⎧+==θ
θ2cos 1cos 2y x （θ为参数）的曲线
的交点，则P 点的坐标为 .
B2、直线L 经过点 )5,1(0M 、倾斜角为3
π （1）求直线l 的参数方程； （2）求直线l 和直线 032=--y x 的交点到点)5,1(0M 的距离；
（3）求直线l 和圆22
x y 16+=的两个交点到点)5,1(0M 的距离的和与积.
C3、经过点M （2,1）作直线L ，交椭圆14
162
2=+y x 于A ，B 两点，如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线L 的方程。