不定积分(含变上限积分)和微分解题方法
不定积分求解方法及技巧
不定积分求解方法及技巧不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求解函数的原函数的过程。
在不定积分中，我们将对函数进行积分的过程称为求解原函数，通常用∫f(x)dx 表示。
下面我将详细介绍不定积分的求解方法和技巧。
1. 基本积分法：基本积分法也称为反函数法，是最基础的求解不定积分的方法。
利用基本积分法，我们可以根据一些简单的函数的不定积分结果，求解出更复杂的函数的不定积分。
例如，对于一个多项式函数 f(x) = ax^n + bx^(n-1) + ... + k ，我们可以分别求解每一项的不定积分。
2.积分换元法：积分换元法也称为变量代换法，是一种常用的求解不定积分的方法。
当被积函数中存在一个复杂的函数表达式时，我们可以通过一个新的变量代换，将复杂的函数转化为简单的函数，从而更容易求解不定积分。
通常，我们选用新变量u或t，使得被积函数的形式更加简化。
3. 分部积分法：分部积分法是一种特殊的积分求解方法，它可以将一个函数的不定积分通过分部积分公式转化为另一个函数的不定积分。
分部积分法的公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx ，其中u(x) 和 v(x) 是两个可导函数。
4.偏微分方程解法：在一些复杂函数的不定积分求解中，我们可以通过偏微分方程求解方法，将不定积分转化为偏微分方程的求解问题。
利用偏微分方程解法，我们可以将不定积分问题转化为求解偏微分方程的初始条件问题或边界条件问题。
5.换元换限法：换元换限法是一种将不定积分问题转化为定积分问题的方法。
在不定积分中，我们通常使用常数C来表示不定积分结果的任意常数项。
而在定积分中，我们可以通过换元换限的方法将不定积分转化为定积分，从而求出准确的积分结果。
1.善于运用基本积分公式和常用函数的不定积分结果，掌握它们的微分公式和积分公式，可以更快地求解不定积分。
2.熟练掌握积分换元法和分部积分法，灵活地根据被积函数的形式选择合适的方法，将复杂的函数转化为简单的函数，从而更容易求解不定积分。
不定积分求解方法及技巧
不定积分求解方法及技巧不定积分是微积分中的重要概念之一，它与定积分相互对应，是求导的逆运算。
在实际中，我们经常需要对函数进行不定积分来求函数的原函数，或者求解一些与变量相关的问题。
下面，我将介绍一些常见的不定积分求解方法及技巧。
一、基本不定积分法基本不定积分法是指利用函数的基本积分公式来求解不定积分的方法。
经过多年的研究，数学家总结出了许多函数的基本积分公式，我们可以根据这些公式来求解不定积分。
一些常见的基本积分公式包括：1. ∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C；其中n为非负整数，C为常数。
2. ∫e^x dx = e^x + C；3. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C；4. ∫cos(x) dx = sin(x) + C；5. ∫1/x dx = ln|x| + C；6. ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C；等等。
利用这些基本积分公式，我们可以将一个函数进行分解，然后求解出每一部分的不定积分，再进行合并。
需要注意的是，基本不定积分法只能求解一些特定的函数，如果遇到复杂的函数，就需要使用其他的方法。
二、换元积分法换元积分法是指通过变量代换来简化不定积分的方法。
它的基本思想是，通过选择一个新的中间变量，使得原函数可以转变为一个更简单的形式，进而求解出不定积分。
换元积分法的关键是选择一个合适的变量代换。
常用的变量代换有以下几种：1. u = g(x)：将函数中的部分表达式用一个新的变量u 表示，使得原函数简化；2. x = g(u)：将自变量用一个新的变量u表示，使得原函数简化。
换元积分法的步骤为：1. 选取合适的变量代换，使得原函数简化；2. 将原函数和新变量u的微元表达式相应地表示出来；3. 将原函数用新变量u表示，然后对u进行求积分；4. 将u的积分结果转换回原来的自变量x。
需要注意的是，换元积分法在选择变量代换时需要灵活运用，有时需要试几次才能找到一个合适的代换，特别是当函数较为复杂时。
不定积分(含变上限积分)和微分解题方法
不定积分和微分一、公式)()(x f dx x f dx d =⎰和⎰⎰+==c x f dx x f dx d dx x f )()()(/的应用 注意：)(x f 的不定积分为⇔+c x F )()(x F 是)(x f 的原函数⇔)(x f 是)(x F 的导数，即⎰+=c x F dx x f )()(或)()(/x f x F=1、已知不定积分的值，求被积函数或被积函数中的一部分，利用两边求导处理 已知⎰+=c x F dx x f )())((ϕ，求)(x f方法：求导得)())((/x F x f =ϕ，令t x =)(ϕ，则)(1t x -=ϕ，即))(()(1/x F x f -=ϕ 例1（1）⎰+=c xdx x f 2)(，求⎰-dx x xf )1(2解：对⎰+=c x dx x f 2)(求导得x x f 2)(=，2222)1(x x f -=-则c x x dx x x dx x xf +-=-=-⎰⎰32)22()1(2222（2）⎰+=c x dx x xf arcsin )(，求⎰)(x f dx解：对⎰+=c x dx x xf arcsin )(两边求导得211)(xx xf -=，即211)(xx x f -=c x xd x dx x x x f dx +--=---=-=⎰⎰⎰232222)1(31)1(1211)( 2、已知导数值，求原函数，利用两边积分的方法处理 已知)())((/x f x F =ϕ，求)(x F方法：令t x =)(ϕ，则)(1t x -=ϕ，即))(()(//t f t F ϕ=，故⎰=dt t f x F ))(()(/ϕ例2（1）x x f 22/tan )(sin =，求)(x f解：令t x =2sin ，则t t -=1cos 2，ttx x x -==1cos sin tan 222即t t t f -=1)(/两边积分的⎰+---=-=c t t dt ttt f |1|ln 1)( （2）已知]1)([)(//-=-x f x x f ，求)(x f解：令t x =-，则上式为]1)([)(//---=t f t t f ，即]1)([)(//---=x f x x f由上面两式得12)(2/+=x xx f 两边积分得c x dx x xx f 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不定积分解法总结
不定积分解法总结不定积分（即原函数）是微积分中的一个重要概念，它用于求函数的积分。
与定积分不同，不定积分不需要明确的区间范围，因此结果是一个常数加上一个关于变量的函数。
不定积分的解法非常多样化，下面我将总结一些常用的不定积分解法。
1.代数法则代数法则是解决不定积分的最基本的方法之一、根据代数法则，我们可以将一个复杂的函数分解成几个简单的函数的和或者乘积，然后分别对这些简单函数求不定积分。
常用的代数法则包括：- 常数法则：∫c dx = cx + C (其中c是常数，C是任意常数)- 基本运算法则：∫(f(x) ± g(x)) dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx2.数量积分法对于形如f(g(x))g'(x)的积分，可以使用数量积分法进行求解。
该方法的基本思想是将f(g(x))g'(x)中的g'(x)看作f(g(x))的导数，然后根据不定积分的定义找到f(g(x))的原函数。
3.换元积分法换元积分法是解决不定积分的重要方法之一，它通过引入一个新的变量来简化积分。
换元积分法的基本思想是将被积函数中的一个变量用另一个变量表示，然后根据链式法则进行求解。
4.分部积分法分部积分法是求解不定积分的常用方法，它将被积函数进行分解，然后将积分号移至其中一个分解函数上。
该方法的基本思想是利用乘积的导数公式来简化积分。
5.偏导数积分法偏导数积分法是解决不定积分的一种特殊方法，适用于一些特殊的函数形式。
该方法的基本思想是将一个多元函数对一个变量的偏导数看作另一个变量的导数，并进行相应的求导运算。
6.牛顿-莱布尼茨公式7.三角换元法三角换元法是解决含有三角函数的不定积分的一种方法。
该方法的基本思想是将三角函数用三角恒等式表示成另一个三角函数，然后利用换元积分法进行求解。
8.分式分解法分式分解法适用于含有分式的不定积分，它将分式分解成几个简单的分式的和或者乘积，然后分别对这些简单的分式进行不定积分求解。
不定积分的求解技巧和方法
不定积分的求解技巧和方法不定积分是微积分学中的重要概念，可以用于求解函数的原函数。
在求解不定积分时，我们可以使用一些常见的技巧和方法来简化计算过程。
下面将介绍一些常见的不定积分求解技巧和方法。
1. 基本积分法：基本积分法是最常用的不定积分求解技巧。
它基于导函数与原函数的关系，即求一个函数的导函数时，再反向求解出原函数。
常用的基本积分公式包括幂函数积分、指数函数积分、三角函数积分等。
2. 分部积分法：分部积分法用于解决乘积函数的积分。
根据分部积分公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，我们可以选取两个函数u和v来进行积分求解。
常见的选择包括选择一个函数的导函数为u'(x)，另一个函数为v(x)，或者选择一个函数的原函数为u(x)，另一个函数的导函数为v'(x)。
通过多次应用分部积分法，可以将原函数的积分分解为更简单的形式。
3. 代换法：代换法是一种常见的不定积分求解技巧。
它基于替换变量的原理，通过选择适当的变量代换，将原函数的积分转化为更简单的形式。
常见的代换法有换元法、三角代换法等。
在使用代换法时，需要选择合适的变量替换，并计算出变量的微分，再将原函数用新的变量表示。
4. 递推法：递推法是一种特殊的不定积分求解方法。
递推法的基本思想是将一个复杂的积分问题，通过递推求解出一个简单的积分问题，并根据递推关系得到原函数的积分表达式。
递推法通常适用于具有特定递推关系的函数，例如级数的递推关系。
5. 分数分解法：分数分解法是一种用于解决有理函数积分的方法。
有理函数是由多项式函数和分式函数构成的函数。
通过将有理函数进行分数分解，可以将积分转化为多个简单的有理函数的积分。
分数分解法常用于解决分式函数的积分，例如部分分式分解。
6. 特殊函数积分法：特殊函数积分法是一种根据特殊函数的性质和定义，对特殊函数的积分进行求解的方法。
特殊函数包括超几何函数、伽玛函数、贝塞尔函数等。
不定积分技巧总结
不定积分技巧总结
不定积分是微积分中的重要内容，下面总结一些常用的不定积分技巧：
1. 分部积分法：对于两个函数的乘积，可以利用分部积分法将其转化为一个函数的导数与另一个函数的积的形式，从而简化计算。
2. 代换法：对于复杂的函数，可以通过代换变量来简化计算。
常见的代换变量包括三角函数、指数函数、对数函数等。
3. 部分分式分解法：对于有理函数，可以通过部分分式分解将其拆分为多个简单的分式，从而更容易进行积分计算。
4. 凑微分法：对于一些特殊形式的函数，可以通过凑微分的方式将其转化为已知的积分形式，从而简化计算。
5. 倒代换法：对于一些特殊的函数形式，可以通过倒代换的方式将其转化为已知的积分形式，从而简化计算。
6. 利用对称性：对于一些具有对称性的函数，可以利用对称性简化计算，如奇偶函数的积分等。
7. 利用积分表：对于常见的函数，可以利用积分表中的已知结果来进行计算，减少计算量。
8. 利用特殊函数性质：对于一些特殊函数，可以利用其性质来简化
计算，如指数函数、对数函数等。
9. 利用积分性质：对于积分的性质，如线性性质、积分区间可加性等，可以利用这些性质简化计算。
10. 利用对数微分法：对于一些特殊的函数形式，可以利用对数微分法将其转化为已知的积分形式，从而简化计算。
需要注意的是，不定积分的计算有时需要多种技巧的结合运用，而且不同的函数形式可能需要不同的方法来求解，因此在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。
不定积分
一、不定积分的解题技巧引例：不定积分∫(1-x)cos2xdx∫(1-x)cos2xdx=∫cos2xdx-∫xcos2xdx=(1/2)∫cos2xd2x-(1/4)∫2xcos2xd2x=(1/2)sin2x-(1/4)∫2xdsin2x=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x (1/4)∫sin2xd2x=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x-(1/4)cos2x C∫(1-x)cos2xdx求导行：1-x -1 0积分行：cos2x 1/2*sin2x -1/4*cos2x所以：∫(1-x)cos2xdx =(1-x)*1/2*sin2x-(-1)*(-1/4*cos2x) C注：分步积分的时候，∫a*bdx哪个放到d后面去（那个先反过来求导）？这里遵循一个原则：对，反，幂，三，指。
越后的先放到d里去如∫x^2 cosxdx x^2是幂函数，cosx是三角函数。
所以，要这样化∫x^2dsinx而不是1/3∫cosxdx^3引例2：∫1/(1 x^4)dx原式＝1/2((1 x^2 1-x^2)/1 x^4)=0.5(1 x^2/1 x^4) 0.5(1-x^2/1 x^4)=0.5(1 x^-2/x^-2 x^2)<就是分子分母同除x的平方>如果是不定积分,两类换元法和拼凑法一般来说结合使用灵活系数比较大不过你要相信考试不定积分形式比较简单方法比较独到,绝对不是“暴力“积出来的,一想到你的方法越做越陷入死路,我想因该要变通.第二,对于有独特的因子你要留意.定积分,比不定积分要难一些,因为很多函数是没有初等函数的,方法是拼凑法和化为二元再交换顺序,其中拼凑发很关键,我们要掌握.例题大家平时做题目就很容易发现方法与技巧一、换元法1.凑微分使用凑微分法的难处在于如何“凑”出一个函数的微分。
对于这个问题一方面要求熟悉一些常见函数的微分形式,另一方面,对于那些不易观察的,则不妨从被积函数中拿出一个表达式,求其微分,从而决定如何凑微分。
不定积分的解法汇总
不定积分的解法汇总不定积分，也称为不定积分或者原函数，是微积分中的一个重要概念，它是确定函数的不定积分。
不定积分的解法涉及到多种技巧和方法，掌握这些技巧和方法可以帮助我们更加灵活地求解不定积分。
本文将对不定积分的解法进行汇总，包括常用的积分公式、基本积分法、分部积分法、换元积分法等内容，希望能够帮助大家更好地掌握不定积分的解法。
一、常用的积分公式1. 幂函数积分公式当被积函数为幂函数时，可以通过直接积分法求解。
定义在区间[a, b]上的幂函数f(x)=x^n的不定积分为∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C,其中C为常数。
2. 三角函数积分公式当被积函数为三角函数时，可以通过三角函数的性质和积分公式求解。
sin(x)的不定积分为∫sin(x) dx = -cos(x) + C,cos(x)的不定积分为∫cos(x) dx = sin(x) + C。
3. 指数函数和对数函数积分公式当被积函数为指数函数或对数函数时，可以利用指数函数和对数函数的性质求解。
指数函数e^x的不定积分为∫e^x dx = e^x + C，对数函数ln(x)的不定积分为∫ln(x) dx = x * ln(x) - x + C。
二、基本积分法基本积分法又称为换元积分法，它是求不定积分的基本方法之一。
基本积分法的步骤如下：1. 选择适当的换元变量u，使得被积函数中的一部分可以变成u的导数；2. 对被积函数进行合理的替换，将被积函数变为u的函数；3. 求出u的不定积分；4. 将u的不定积分转换为原函数中的自变量。
对于不定积分∫2x * (x^2 + 1)^3 dx，我们可以选择u=x^2+1，然后求出du=2x dx。
接着将被积函数中的2x dx替换为du，得到∫(u^3) du，然后求出u的不定积分，最后用u的原函数替换进行还原得到不定积分的结果。
四、其他积分法除了基本积分法和分部积分法外，还有其他一些常用的积分法，如换元积分法、有理函数积分法、反常积分法等。
不定积分的几种形式及求解技巧
不定积分的几种形式及求解技巧不定积分是微积分中的重要概念，通常用来求解函数的原函数。
在求解不定积分时，我们有几种不同的形式和求解技巧。
1. 一般形式不定积分：一般形式的不定积分表示为∫f(x)dx，其中f(x)是要求积分的函数。
求解一般形式的不定积分的方法主要有以下几种：- 直接积分法：根据不同函数的性质，应用相关的积分求法，例如多项式函数、三角函数、指数函数等。
例如，对于多项式函数f(x)=x^n，不定积分为∫x^n dx=(1/(n+1))x^(n+1)+C，其中C是常数。
- 分部积分法：分部积分法可以将一个复杂的函数积分转化为两个简单函数的乘积积分。
公式表达为：∫u dv = uv - ∫v du。
通过选取适当的u和dv，进行分部积分求解不定积分。
例如，对于函数f(x)=x*sin(x)，可以令u=x，dv=sin(x)dx，然后进行分部积分求解。
- 代换法：代换法是通过选择一个新的变量来简化不定积分的求解过程。
通过选择适当的代换变量可以将复杂的函数转化为一个简单的函数。
例如，对于函数f(x)=e^x，我们可以令u=e^x，然后进行代换求解。
- 部分分式分解法：当不定积分的被积函数可以使用部分分式分解时，就可以将其转化为一组简单的分式的和的形式，然后依次求解。
例如，对于函数f(x)=1/(x^2+1)，可以将其分解为1/((x+1)(x-1))的形式，然后再分别进行不定积分求解。
2. 特殊形式不定积分：特殊形式的不定积分是指一些常见的函数在积分过程中的特殊形式。
这些特殊形式的不定积分可以通过特定的方法进行求解。
常见的特殊形式不定积分有以下几种：- 三角函数不定积分：对于一些常见的三角函数，例如sin(x)、cos(x)、tan(x)等，其不定积分可以通过特定的恒等变换和公式进行求解。
例如，∫sin(x)dx=-cos(x)+C，∫cos(x)dx=sin(x)+C，∫tan(x)dx=-ln|cos(x)|+C。
不定积分的解法汇总
不定积分的解法汇总不定积分是微积分中的重要概念，是求函数的原函数的过程。
在解不定积分时，可以采用多种方法，下面我们来汇总一下常用的解法。
1.基本积分公式法：基本积分公式是指常见函数的不定积分公式，如常数函数、幂函数、指数函数、三角函数等，它们的不定积分有一定的规律，可以直接利用基本积分公式进行计算。
2.换元法：换元法是指通过代换变量的方式将原函数转化为一个更易于求解的形式。
换元法的基本思想是，通过适当的代换，将被积函数的形式转化为基本积分公式中的形式，从而进行计算。
3.分部积分法：分部积分法是指将被积函数中的一个因子进行积分，同时将另一个因子进行求导，从而将原函数的求解转化为一个新的积分问题。
分部积分法适用于被积函数是两个函数的乘积形式的情况。
4.有理分式积分法：有理分式积分法是指将被积函数表示为多项式的商形式，然后通过分解和合并有理分式的方式，将原函数的求解转化为多个基本积分公式的求解。
5.特殊函数积分法：特殊函数积分法是指通过利用特殊函数的性质和公式，将原函数的求解转化为特殊函数的积分问题。
常见的特殊函数包括log函数、指数函数、三角函数、双曲函数等。
6.级数展开法：级数展开法是指将被积函数进行泰勒级数展开，然后对每一项进行积分，最后将级数展开结果进行求和。
级数展开法适用于被积函数在某个区间上具有无穷项的展开形式。
不定积分的解法包括基本积分公式法、换元法、分部积分法、有理分式积分法、特殊函数积分法、级数展开法和换限定变量法等。
在解题过程中，可以根据被积函数的特点选择适合的解法进行计算。
同一函数的不定积分一般有多个不同的形式，因此需要多种方法进行尝试求解，以找到最简形式的解答。
不定积分的解法汇总
不定积分的解法汇总不定积分是微积分中的一项重要概念，用于求解函数的原函数。
在求解不定积分时，我们使用一些特定的方法和技巧，以便获得函数的原函数表达式。
1. 基本积分法：基本积分法是求解不定积分的最基本方法，它使用函数的基本积分公式或特定函数的积分公式，将函数积分转化为求导问题。
常见的基本积分公式包括幂函数的积分、三角函数的积分、指数函数的积分等。
2. 分部积分法：分部积分法是求解不定积分的一种常用技巧，它可以将一个函数的积分转化为两个函数的乘积的积分。
分部积分法的公式为∫u·dv = uv - ∫v·du，其中u 和v分别是可以求导和积分的函数。
3. 换元积分法：换元积分法是求解不定积分的一种常用方法，它通过引入新的变量转化被积函数，从而简化积分的计算。
换元积分法的公式为∫f(g(x))·g'(x)dx =∫f(u)du，其中u=g(x)。
4. 递推公式法：递推公式法是一种通过递归思想求解不定积分的方法，在每一步积分中都利用前一步的结果。
递推公式法常用于求解连续幂函数的积分，如∫x^n dx，其中n为自然数。
5. 有理函数的部分分式分解法：对于一个有理函数的不定积分，我们可以使用部分分式分解法将其分解为若干个简单的分式的和，然后逐个求解每个分式的不定积分。
6. 特殊函数的积分法：在求解不定积分时，我们经常会遇到一些特殊函数，如反三角函数、双曲函数等，对于这些函数，我们可以使用特殊函数的积分公式进行求解。
7. 看似无法求解的积分：有时候我们会遇到一些看似无法求解的积分，这时我们可以通过一些技巧和转换，将其转化为可以求解的积分。
例如利用对称性、奇偶性、周期性等性质，或者通过定义新的变量进行转换。
8. 积分表法：积分表是存储了各种常用函数的不定积分表达式的工具，在求解不定积分时，我们可以参考积分表中的公式进行计算。
需要注意的是，积分表法只适用于一些常见的函数，对于一些特殊函数可能不适用。
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不定积分解题方法总结⎰摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。
然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。
本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。
关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。
本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。
1.利用基本公式。
（这就不多说了~）2.第一类换元法。
（凑微分）设f(μ)具有原函数F(μ)。
则Cx F x d x f dx x x f +==⋅⎰⎰)]([)()]([)(')]([ϕϕϕϕϕ其中可微。
)(x ϕ用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。
当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。
如例1、例2：例1：⎰+-+dxx x xx )1(ln )1ln(【解】)1(1111)'ln )1(ln(+-=-+=-+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+⎰⎰2)ln )1(ln(21)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：⎰+dxx x x 2)ln (ln 1【解】xx x ln 1)'ln (+=Cx x x x x dx dx x x x +-==++⎰⎰ln 1)ln (ln )1(ln 1223.第二类换元法：设是单调、可导的函数，并且具有原函数，)(t x ϕ=)(')]([.0)('t t f t ϕϕϕ又设≠则有换元公式⎰⎰=dt t t f dx f )(')]([x)(ϕϕ第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。
常见的变换形式需要熟记会用。
主要有以下几种：achtx t a x t a x a x ashtx t a x t a x a x ta x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222也奏效。
不定积分
一、不定积分的解题技巧引例：不定积分∫(1-x)cos2xdx∫(1-x)cos2xdx=∫cos2xdx-∫xcos2xdx=(1/2)∫cos2xd2x-(1/4)∫2xcos2xd2x=(1/2)sin2x-(1/4)∫2xdsin2x=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x (1/4)∫sin2xd2x=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x-(1/4)cos2x C∫(1-x)cos2xdx求导行：1-x -1 0积分行：cos2x 1/2*sin2x -1/4*cos2x所以：∫(1-x)cos2xdx =(1-x)*1/2*sin2x-(-1)*(-1/4*cos2x) C注：分步积分的时候，∫a*bdx哪个放到d后面去（那个先反过来求导）？这里遵循一个原则：对，反，幂，三，指。
越后的先放到d里去如∫x^2 cosxdx x^2是幂函数，cosx是三角函数。
所以，要这样化∫x^2dsinx而不是1/3∫cosxdx^3引例2：∫1/(1 x^4)dx 原式＝1/2((1 x^2 1-x^2)/1 x^4)=0.5(1 x^2/1 x^4) 0.5(1-x^2/1 x^4)=0.5(1 x^-2/x^-2 x^2)<就是分子分母同除x的平方>如果是不定积分,两类换元法和拼凑法一般来说结合使用灵活系数比较大不过你要相信考试不定积分形式比较简单方法比较独到,绝对不是“暴力“积出来的,一想到你的方法越做越陷入死路,我想因该要变通.第二,对于有独特的因子你要留意.定积分,比不定积分要难一些,因为很多函数是没有初等函数的,方法是拼凑法和化为二元再交换顺序,其中拼凑发很关键,我们要掌握.例题大家平时做题目就很容易发现方法与技巧一、换元法1.凑微分使用凑微分法的难处在于如何“凑”出一个函数的微分。
对于这个问题一方面要求熟悉一些常见函数的微分形式,另一方面,对于那些不易观察的,则不妨从被积函数中拿出一个表达式,求其微分,从而决定如何凑微分。
不定积分(含变上限积分)和微分解题方法
不定积分和微分一、公式)()(x f dx x f dx d =⎰和⎰⎰+==c x f dx x f dx d dx x f )()()(/的应用 注意：)(x f 的不定积分为⇔+c x F )()(x F 是)(x f 的原函数⇔)(x f 是)(x F 的导数，即⎰+=c x F dx x f )()(或)()(/x f x F=1、已知不定积分的值，求被积函数或被积函数中的一部分，利用两边求导处理 已知⎰+=c x F dx x f )())((ϕ，求)(x f方法：求导得)())((/x F x f =ϕ，令t x =)(ϕ，则)(1t x -=ϕ，即))(()(1/x F x f -=ϕ例1（1）⎰+=c xdx x f 2)(，求⎰-dx x xf )1(2解：对⎰+=c x dx x f 2)(求导得x x f 2)(=，2222)1(x x f -=-则c x x dx x x dx x xf +-=-=-⎰⎰32)22()1(2222（2）⎰+=c x dx x xf arcsin )(，求⎰)(x f dx解：对⎰+=c x dx x xf arcsin )(两边求导得211)(xx xf -=，即211)(xx x f -=c x xd x dx x x x f dx +--=---=-=⎰⎰⎰232222)1(31)1(1211)( 2、已知导数值，求原函数，利用两边积分的方法处理 已知)())((/x f x F =ϕ，求)(x F 方法：令t x =)(ϕ，则)(1t x -=ϕ，即))(()(//t f t F ϕ=，故⎰=dt t f x F ))(()(/ϕ例2（1）x x f 22/tan )(sin =，求)(x f解：令t x =2sin ，则t t -=1cos 2，ttx x x -==1cos sin tan 222即t t t f -=1)(/两边积分的⎰+---=-=c t t dt tt t f |1|ln 1)( （2）已知]1)([)(//-=-x f x x f ，求)(x f解：令t x =-，则上式为]1)([)(//---=t f t t f ，即]1)([)(//---=x f x x f由上面两式得12)(2/+=x xx f 两边积分得c x dx x xx f 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x f x =-⎰，求)(x f提示：因为⎰⎰==-xx du u f x f dt t x f x f 0ut -x 0)()()()(令，令⎰=x du u f x g 0)()(处理六、变上限积分的导数运算 注意：(1)如],[,)()(b a x dt t f x F b x⎰∈=，则⎰-=xbdt t f x F )()(，则)()(/x f x F -=(2)如⎰ϕ=)()()(x adt t f x F ，则由复合函数的求导法则有)()]([)()()()(///x x f x u f dxdu u F dx d x F ϕϕϕ⋅=⋅=⋅= (3)如⎰ϕφ=)()()()(x x dt t f x F ，可得成⎰⎰ϕφ+=)()()()()(x cc x dt t f dt t f x F ，则)()]([)()]([)(///x x f x x f x F φφϕϕ⋅-⋅=例7（1）已知)(x f 满足⎰+=x dt t f t x xf 02)(1)(，求)(x f解：两边求导得)()()(2/x f x x xf x f =+ 即dx xx x f x f d )1()()]([-=两边积分得c x x x f +-=ln 2)(ln 2，所以xCe x f x 22)(=（2）求一个不恒等于零的连续函数)(x f ，使它满足⎰+=x dt ttt f x f 02cos 2sin )()(解：两边求导得xxx f x f x f cos 2sin )()()(2/+=即 0)cos 2sin )(2()(/=+-⋅xxx f x f因为)(x f 是不恒等于零的连续函数，故xxx f cos 24sin )(/+=两边积分得c x dx x x x f ++-=+=⎰)cos 2ln(21cos 2sin 21)( 在⎰+=x dt t t t f x f 02cos 2sin )()(中令0=x ，得0)0(=f 代入上式有3ln 21=c故3ln 21)cos 2ln(21)(++-=x x f注意：（1）上题要充分利用已知条件确定初始条件0)0(=f（2）定积分或变上限积分的被积函数有参变量时，必须通过换元，使被积函数不含参变量，然后再求导例8（1）已知)(x f 连续，⎰=-x x dt t x tf 02arctan 21)2(，1)1(=f 求⎰21)(dx x f解：令u t x =-2，则⎰⎰⎰⎰-=--=-x xxxxxxdu u uf du u f x du u f u x dt t x tf 2202)()(2)()2()2(即 222arctan 21)()(2x du u uf du u f xx xxx =-⎰⎰两边求导得：421)()(2xxx xf du u f x x+=-⎰因为 1)1(=f ，上式中令1=x 得21)1()(221=-⎰f du u f 所以43)(21=⎰dx x f （2）求可导数)(x f ，使它满足⎰+=10sin )()(x x x f dt tx f解：令u tx =，则du u f x dt tx f x⎰⎰=10)(1)( 因为⎰+=10sin )()(x x x f dt tx f ，所以x x x xf du u f x sin )()(20+=⎰两边求导得x x x x f cos sin 2)(/--=两边积分得c x x x xdx x xdx x f +-=--=⎰⎰sin cos cos sin 2)(（3）由方程1sin e 22y 0t =+⎰⎰dt tt dt x （0>x ）确定y 是x 的函数，求dxdy 解：对x 求导得0sin 22/2=+⋅x y e y ，故22sin 2y ex dx dy -=（4）)(x y y =是由012=-⎰+-dt e x xy t 确定的函数，求0//=x y解：对x 求导得0)1(1/)(2=+-+-y e x y 故12)(/-=+x y e y 在012=-⎰+-dt e x xy t 中令0=x 时，有012=⎰-dt e yt ，即1=y故1/0/-==e y x注意：此题确定y 的方法（5）设)(x f 为已知可导奇函数，)(x g 为)(x f 的反函数，则⎰--)()(x f x x dt x t xg dxd 解：令u x t =-，则du u g x dt x t xg x f x f x x⎰⎰--=-)(0)()()(所以⎰⎰---⋅-=-)(0/)()]([)()()(x f x f x xx f g x xf du u g dt x t xg dx d 令⎰-=)(0)()(x f du u g x h 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不定积分的解题方法与技巧
一． 直接积分法（公式法）利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分二． 第一类换元法 1.当遇到形如⎰++cbx ax dx2的不定积分，可分为以下三种情况： （1）当0>∆时，可将原式化为()()21x x x x --，其中，21,x x 为c bx ax++2的两个解，则原不定积分为：()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=--⎰⎰⎰221112211x x x x d x x x x d x x x x x x dx ()C x x x x x x +---=2112ln 1（2）当0=∆时，可利用完全平方公式，化成()()⎰--2k xk x d 。
然后根据基本积分公式即可解决。
（3）当0<∆时，可先给分母配方，多利用C x x dx+=+⎰arctan 12解决。
2.当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇次项去凑微分。
当被积函数为三角函数的偶次幂时，常用半角公式降幂；若为奇次，则拆一项去凑微分，剩余的偶次用半角公式降幂。
三．第二类换元法 1.三角代换当被积函数含有22x a -时，令x=asint 或x=acost ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππt 。
当被积函数含有22x a +时，令x=tant ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππt 。
当被积函数含有22a x -时，令x=±asect ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πt2.倒代换当分母中因子次数较高时，可考虑倒代换。
三． 分部积分法口诀：反对幂指三，谁后谁先微。
意思是：反三角函数，对数函数，幂函数，指数函数，三角函数，谁在后面谁先被微分。
分部积分法一般用于两个函数相乘且两个函数属于口诀中五种函数中的两个。
四．有理函数的积分 1.形如()ka -x 1的有理函数，它所对应的部分分式是()()()kk221a -x A a -x A a -x A +⋯⋯++ 2.形如()kqpx ++2x1的有理函数，它所对应的的部分分式是()()()k2kk 2222211xx x qpx C x B qpx C x B q px C x B ++++⋯⋯++++++++3.非以上二者形式的有理函数，采取固定分项步骤（其实，就是上述两种方法的综合）： 部分分式项数为原有理函数的分母整体的次数和。
不定积分与变上限定积分
不定积分与变上限定积分在微积分中，积分是一个重要的概念，它是求解函数的面积、曲线的弧长、物体的质量等问题的基础。
而在积分的计算中，不定积分和变上限定积分是两个常见的形式。
不定积分是求解函数的原函数的过程，也就是求解函数的反导数。
它的计算方法是通过对函数进行积分，得到一个含有未知常数的表达式。
这个含有未知常数的表达式就是函数的原函数。
不定积分在解决实际问题中起到了重要的作用，它能够帮助我们求解函数的面积、曲线的弧长、物体的质量等问题。
举个例子来说明不定积分的计算过程。
假设我们要求解函数f(x) = x^2的不定积分。
我们可以将x^2展开为x*x的形式，然后利用幂函数的不定积分公式，得到不定积分的结果为F(x) = (1/3)x^3 + C，其中C为常数。
这个结果就是函数f(x) = x^2的原函数。
而变上限定积分则是在不定积分的基础上引入了一个上限变量，通过改变上限变量的取值来计算积分的值。
它的计算方法是将不定积分的结果中的常数项去掉，然后将上限变量代入，得到一个只含有变量的表达式。
这个只含有变量的表达式就是变上限定积分的结果。
举个例子来说明变上限定积分的计算过程。
假设我们要求解函数f(x) = x^2的变上限定积分。
我们可以先求解不定积分的结果为F(x) = (1/3)x^3 + C，然后将常数项C去掉，得到F(x) =(1/3)x^3。
接下来，我们可以将x代入F(x)中，得到变上限定积分的结果为F(a) = (1/3)a^3。
这个结果就是函数f(x) = x^2在上限为a的情况下的定积分。
不定积分和变上限定积分在微积分中有着广泛的应用。
它们可以帮助我们求解函数的面积、曲线的弧长、物体的质量等问题。
在实际问题中，我们经常需要求解函数在某个区间上的积分值，这时可以利用变上限定积分来计算。
而对于函数的原函数的求解，可以通过不定积分来实现。
总结起来，不定积分是求解函数的原函数，通过对函数进行积分得到含有未知常数的表达式；而变上限定积分是在不定积分的基础上引入了一个上限变量，通过改变上限变量的取值来计算积分的值。
不定积分的解法汇总
不定积分的解法汇总不定积分是微积分中的一个基本概念，它的解法有很多种。
下面将对常见的不定积分解法进行汇总。
1. 基本积分公式不定积分中最基本的解法就是利用基本积分公式。
常见的基本积分公式包括：常数函数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函数等。
这些基本积分公式可以帮助我们直接计算不定积分。
2. 反向微分反向微分是一种逆向思维的解法，即将已知函数求导后得到的导数函数作为不定积分的解。
反向微分可以简化计算过程，尤其适用于给定函数的导函数与常见函数形式相似的情况。
3. 分解法对于较复杂的函数，常常可以通过分解为两个或多个简单函数的和或积的形式来进行不定积分。
分解法可以将原函数分解成若干简单函数的不定积分，然后分别进行计算。
4. 代换法代换法是一种常用的不定积分解法，即通过合理的代换将原函数转化为易求解的形式。
常见的代换方法包括：变量代换、三角代换、指数代换等。
代换法可以使积分过程变得更简单明了。
5. 部分分式分解法当被积函数为多项式的有理表达式时，可以通过部分分式分解将其转化为更简单的形式。
部分分式分解法需要首先将有理表达式进行因式分解，然后再进行不定积分。
6. 递推公式递推公式是一种通过递推关系求解不定积分的方法。
通过递推公式可以将高阶的不定积分转化为低阶的不定积分，从而简化计算过程。
7. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是不定积分与定积分之间的重要关系，它提供了一个将定积分转化为不定积分的方法。
根据牛顿-莱布尼茨公式，可以通过计算定积分的原函数来得到不定积分的解。
不定积分是高等数学中一个重要的概念和技巧，在数学的不同领域中都有广泛的应用。
掌握不定积分解法有助于我们更深入地理解函数的性质和物理、经济等实际问题的求解。
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不定积分和微分一、公式)()(x f dx x f dx d =⎰和⎰⎰+==c x f dx x f dx d dx x f )()()(/的应用 注意：)(x f 的不定积分为⇔+c x F )()(x F 是)(x f 的原函数⇔)(x f 是)(x F 的导数，即⎰+=c x F dx x f )()(或)()(/x f x F =1、已知不定积分的值，求被积函数或被积函数中的一部分，利用两边求导处理 已知⎰+=c x F dx x f )())((ϕ，求)(x f方法：求导得)())((/x F x f =ϕ，令t x =)(ϕ，则)(1t x -=ϕ，即))(()(1/x F x f -=ϕ例1（1）⎰+=c xdx x f 2)(，求⎰-dx x xf )1(2解：对⎰+=c x dx x f 2)(求导得x x f 2)(=，2222)1(x x f -=-则c x x dx x x dx x xf +-=-=-⎰⎰32)22()1(2222（2）⎰+=c x dx x xf arcsin )(，求⎰)(x f dx解：对⎰+=c x dx x xf arcsin )(两边求导得211)(xx xf -=，即211)(xx x f -=c x xd x dx x x x f dx +--=---=-=⎰⎰⎰232222)1(31)1(1211)( 2、已知导数值，求原函数，利用两边积分的方法处理 已知)())((/x f x F =ϕ，求)(x F 方法：令t x =)(ϕ，则)(1t x -=ϕ，即))(()(//t f t F ϕ=，故⎰=dt t f x F ))(()(/ϕ例2（1）x x f 22/tan )(sin =，求)(x f解：令t x =2sin ，则t t -=1cos 2，ttx x x -==1cos sin tan 222即t t t f -=1)(/两边积分的⎰+---=-=c t t dt tt t f |1|ln 1)( （2）已知]1)([)(//-=-x f x x f ，求)(x f解：令t x =-，则上式为]1)([)(//---=t f t t f ，即]1)([)(//---=x f x x f由上面两式得12)(2/+=x xx f 两边积分得c x dx x xx f 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)]()([0//=+⎰xdx x f x f π，所以5)()0(=-πf f 而2)(=πf ，故7)0(=f五、已知)()(/x f x F =，且)()()(x g x F x f =⋅，求)(x f方法：两边积分⎰⎰=dx x g dx x F x F )()()(/，得⎰=dx x g x F )(2)(2，求)(x f 例6（1）)(x F 是)(x f 的原函数，且0≥x 时，有x x F x f 2sin )()(2=⋅，又1)0(=F ，0)(≥x F ，求)(x f解：因为)(x F 是)(x f 的原函数，所以)()(/x f x F =， 由于 x x F x f 2sin )()(2=⋅ 故x x F x F 2sin )()(2/=⋅， 两边积分得 12/84sin 24cos 21212sin )()(c x x xdx dx xdx dx x F x F +-=-==⎰⎰⎰⎰而 22/2)()]([)()()(c x F x F d x F dx x F x F +==⎰⎰ 故c xx x F +-=44sin )(2，又1)0(=F 得1=c 而0)(≥x F ，所以144sin )(+-=xx x F 44sin 44cos 1)(+--=x x x x f（2）)(x f 连续，且当1->x 时，2)1(2]1)()[(x xe dt t f x f xx +=+⎰，求)(x f 解：令dt t f x g x ⎰=)()(，)()(/x f x g =，由于2)1(2]1)()[(x xe dt t f x f xx +=+⎰则 2/)1(2]1)()[(x xe x g x g x+=+两边积分得 dx x xe dx x g x g x⎰⎰+=+2/)1(2]1)()[(即 ⎰⎰⎰⎰+-+=+=++dx x e dx x e dx x xe x g d x g xx x 22)1(21121)1(2]1)([]1)([ 故 c xe x g x++=+1]1)([2因为 dt t f x g x ⎰=)()( 令0=x 得0)0(=g ，代入上式0=c故11)(-+±=xe x g x ，23/)1(2)(x e x x f x +±= （3）已知)(x f 为非负连续函数，且0>x 时，30)()(x dt t x f x f x =-⎰，求)(x f提示：因为⎰⎰==-xx du u f x f dt t x f x f 0ut -x 0)()()()(令，令⎰=x du u f x g 0)()(处理六、变上限积分的导数运算 注意：(1)如],[,)()(b a x dt t f x F b x⎰∈=，则⎰-=xbdt t f x F )()(，则)()(/x f x F -=(2)如⎰ϕ=)()()(x adt t f x F ，则由复合函数的求导法则有)()]([)()()()(///x x f x u f dxdu u F dx d x F ϕϕϕ⋅=⋅=⋅= (3)如⎰ϕφ=)()()()(x x dt t f x F ，可得成⎰⎰ϕφ+=)()()()()(x cc x dt t f dt t f x F ，则)()]([)()]([)(///x x f x x f x F φφϕϕ⋅-⋅=例7（1）已知)(x f 满足⎰+=x dt t f t x xf 02)(1)(，求)(x f解：两边求导得)()()(2/x f x x xf x f =+ 即dx xx x f x f d )1()()]([-=两边积分得c x x x f +-=ln 2)(ln 2，所以xCe x f x 22)(=（2）求一个不恒等于零的连续函数)(x f ，使它满足⎰+=x dt ttt f x f 02cos 2sin )()(解：两边求导得xxx f x f x f cos 2sin )()()(2/+=即 0)cos 2sin )(2()(/=+-⋅xxx f x f因为)(x f 是不恒等于零的连续函数，故xxx f cos 24sin )(/+=两边积分得c x dx x x x f ++-=+=⎰)cos 2ln(21cos 2sin 21)( 在⎰+=x dt t t t f x f 02cos 2sin )()(中令0=x ，得0)0(=f 代入上式有3ln 21=c故3ln 21)cos 2ln(21)(++-=x x f注意：（1）上题要充分利用已知条件确定初始条件0)0(=f（2）定积分或变上限积分的被积函数有参变量时，必须通过换元，使被积函数不含参变量，然后再求导例8（1）已知)(x f 连续，⎰=-x x dt t x tf 02arctan 21)2(，1)1(=f 求⎰21)(dx x f解：令u t x =-2，则⎰⎰⎰⎰-=--=-x xxxxxxdu u uf du u f x du u f u x dt t x tf 2202)()(2)()2()2(即 222arctan 21)()(2x du u uf du u f xx xxx =-⎰⎰两边求导得：421)()(2xxx xf du u f x x+=-⎰因为 1)1(=f ，上式中令1=x 得21)1()(221=-⎰f du u f 所以43)(21=⎰dx x f （2）求可导数)(x f ，使它满足⎰+=10sin )()(x x x f dt tx f解：令u tx =，则du u f x dt tx f x⎰⎰=10)(1)( 因为⎰+=10sin )()(x x x f dt tx f ，所以x x x xf du u f x sin )()(20+=⎰两边求导得x x x x f cos sin 2)(/--=两边积分得c x x x xdx x xdx x f +-=--=⎰⎰sin cos cos sin 2)(（3）由方程1sin e 22y 0t =+⎰⎰dt tt dt x （0>x ）确定y 是x 的函数，求dxdy 解：对x 求导得0sin 22/2=+⋅x y e y ，故22sin 2y ex dx dy -=（4）)(x y y =是由012=-⎰+-dt e x xy t 确定的函数，求0//=x y解：对x 求导得0)1(1/)(2=+-+-y e x y 故12)(/-=+x y e y 在012=-⎰+-dt e x xy t 中令0=x 时，有012=⎰-dt e yt ，即1=y故1/0/-==e y x注意：此题确定y 的方法（5）设)(x f 为已知可导奇函数，)(x g 为)(x f 的反函数，则⎰--)()(x f x x dt x t xg dxd 解：令u x t =-，则du u g x dt x t xg x f x f x x⎰⎰--=-)(0)()()(所以⎰⎰---⋅-=-)(0/)()]([)()()(x f x f x xx f g x xf du u g dt x t xg dx d 令⎰-=)(0)()(x f du u g x h ，则)()]([)()(///x xf x f g x f x h =-⋅-=两边积分得⎰⎰-==dx x f x xf dx x xf x h )()()()(/故⎰⎰-+=--dx x f x f x x xf dt x t xg dx d x f x x)()()()(/2)( （6）设函数)(x f 可导，且0)0(=f ，⎰-=-x n n n dt t x f t x g 01)()(，求nx x x g 20)(lim→ 解：令u t x nn =-，则⎰⎰=-=-nx x nnn du u f n dt t x f tx g 01)(1)()(由于 )()(1/n n x f xx g -=故n f x f x f n x x f n nx x g x x g n n x n n x n x n x 2)0(0)0()(lim 21)(lim 212)(lim )(lim /0012/020=--===→→-→→ 七、求分段函数的不定积分先分别求分段函数)(x f 的各分段在相应区间的原函数)(x F ，然后考虑函数)(x F 在分段点处的连续性。