随机试验 样本空间 随机事件 概率的性质
概率论课堂教学课件——1.1 随机试验、随机事件及样本空间
试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6点”
“点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
基本事件:对于一个随机试验来说，它的每 一个结果（样本点）是一个最简单的随机事件， 称为基本事件。
(相对于观察目的不可再分解的事件)
例如 “出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”.
概率论与数理统计
乔高秀 Email: gxqiao@
一、随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
1.确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象. 实例 “太阳不会从西边升起”, “水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,
“函数在间断点处不存在导数” 等. 确定性现象的特征 条件完全决定结果
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定
性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有
偶然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现
具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现 象这种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
必然事件
四、事件的关系及其运算 1. 事件的包含：如果事件A的发生必然导致事 件B的发生，即属于A的每个样本点也都属于B， 则称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B， 记作 B A 或 A B 。
如 A=“长度不合格” ，B= “产品不合格”
因为“长度不合格” 必然导致 “产品不合格” 所以 A 包含于B. 即
必然事件 随机试验中必然会出现的结果.
例如 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件.
不可能事件 随机试验中不可能出现的结果.
概率论与数理统计复习笔记
概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:1可以在相同的条件下重复地进行;2每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点基本事件:E的每个结果.随机事件事件:样本空间S的子集.必然事件S:每次试验中一定发生的事件. 不可能事件:每次试验中一定不会发生的事件.二. 事件间的关系和运算事件B包含事件A 事件A发生必然导致事件B发生.∪B和事件事件A与B至少有一个发生.3. A∩B=AB积事件事件A与B同时发生.4. A-B 差事件事件A 发生而B 不发生.5. AB= A 与B 互不相容或互斥事件A 与B 不能同时发生.6. AB=且A ∪B=S A 与B 互为逆事件或对立事件表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则 交换律 结合律 分配律 德摩根律 B A B A = B A B A =三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为PA,称为事件A 的概率.1非负性 PA ≥0 ; 2归一性或规范性 PS=1 ;3可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…,PA 1∪A 2∪…=P A 1+PA 2+…2.性质1 P = 0 , 注意: A 为不可能事件2有限可加性对于n个两两互不相容的事件A1,A2,…,An,PA1∪A2∪…∪An=PA1+PA2+…+PAn有限可加性与可列可加性合称加法定理3若A B, 则PA≤PB, PB-A=PB-PA .4对于任一事件A, PA≤1, PA=1-PA .5广义加法定理对于任意二事件A,B ,PA∪B=PA+PB-PAB .对于任意n个事件A1,A2,…,An…+-1n-1PA1A2…An四.等可能古典概型1.定义如果试验E满足:1样本空间的元素只有有限个,即S={e1,e2,…,en};2每一个基本事件的概率相等,即Pe1=Pe2=…= Pen.则称试验E所对应的概率模型为等可能古典概型.2.计算公式 PA=k / n 其中k是A中包含的基本事件数, n是S中包含的基本事件总数.五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率PB|A=PAB / PA PA>0.2.乘法定理 PAB=PA P B|A PA>0; PAB=PB P A|B PB>0.PA 1A 2…A n =PA 1PA 2|A 1PA 3|A 1A 2…PA n |A 1A 2…A n-1 n ≥2, PA 1A 2…A n-1 > 03. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S ,则当PB i >0时,有全概率公式 PA=()()i ni i B A P B P ∑=1当PA>0, PB i>0时,有贝叶斯公式P B i|A=()()()()()()∑==ni i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足PAB = PA PB 时,称A,B 为相互独立的事件.1两个事件A,B 相互独立 PB= P B|A .2若A 与B,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C 满足PAB =PA PB, PAC= PA PC, PBC= PB PC,称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足PABC =PA PB PC,则称A,B,C 三事件相互独立.个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k 1<k ≤n,任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kki i i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n 相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X e 称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数Fx=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:10≤Fx≤1 ,F -∞=0,F∞=1. 2Fx 单调不减,即若x 1<x 2 ,则 Fx 1≤Fx 2.3Fx 右连续,即Fx+0=Fx. 4P{x 1<X≤x 2}=Fx 2-Fx 1.二.离散型随机变量 只能取有限个或可列无限多个值的随机变量1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k k=1,2,… 也可以列表表示. 其性质为:1非负性 0≤P k ≤1 ; 2归一性11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 Fx=∑≤xX k k P 为阶梯函数,它在x=x kk=1,2,…处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布1X~0-1分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p 0<p<1 .2X~bn,p 参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1k=0,1,2,…,n 0<p<1 3X~参数为的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !k=0,1,2,… >0 三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数Fx 可以表示成某一非负函数fx 的积分Fx=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f x 称为X 的概率密度函数.2.概率密度的性质1非负性 fx ≥0 ; 2归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;3 P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(xx dx x f ; 4若f x 在点x 处连续,则f x=F/x .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 .3.三种重要的连续型随机变量的分布1X ～U a,b 区间a,b 上的均匀分布⎩⎨⎧=-0)(1a b x f其它b x a << . 2X 服从参数为的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 >0.3X~N ,2参数为,的正态分布222)(21)(σμσπ--=x e x f -<x<, >0.特别, =0, 2=1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N 0,1,其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数 ⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, -x=1-Φx .若X ～N ,2, 则Z=σμ-X ~N 0,1, P{x 1<X ≤x 2}=Φσμ-2x-Φσμ-1x .若P{Z>z }= P{Z<-z }= P{|Z|>z /2}= ,则点z ,-z , z / 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧分位点. 注意：z =1- , z 1- = -z .四.随机变量X 的函数Y= g X 的分布1.离散型随机变量的函数若gx k k=1,2,…的值全不相等,则由上表立得Y=gX 的分布律.若gx k k=1,2,…的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=gX 的分布律.2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X x,则求其函数Y=gX 的概率密度f Y y 常用两种方法：1分布函数法 先求Y 的分布函数F Y y=P{Y ≤y}=P{gX ≤y}=()()dx x f ky Xk∑⎰∆其中Δk y 是与gX ≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间可能不只一个,然后对y 求导即得f Y y=F Y/y .2公式法 若gx 处处可导,且恒有g /x>0 或g / x<0 ,则Y=g X 是连续型随机变量,其概率密度为()()()()⎩⎨⎧'=yhyhfyf XY其它βα<<y其中hy是gx的反函数 , = min g -,g = max g -,g .如果f x在有限区间a,b以外等于零,则 = min g a,g b = max g a,g b .第三章二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义若X和Y是定义在样本空间S上的两个随机变量,则由它们所组成的向量X,Y称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数Fx,y=P{X≤x,Y≤y}称为X,Y的X和Y的联合分布函数.2.分布函数的性质1Fx,y分别关于x和y单调不减.20≤Fx,y≤1 , Fx,- =0, F-,y=0, F-,-=0, F,=1 .3 Fx,y关于每个变量都是右连续的,即 Fx+0,y= Fx,y, Fx,y+0= Fx,y .4对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= Fx 2,y 2- Fx 2,y 1- Fx 1,y 2+ Fx 1,y 1二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量X,Y 只能取有限对或可列无限多对值x i ,y j i ,j =1,2,… 称X,Y 为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为X,Y 的联合分布律.也可列表表示.2.性质 1非负性 0≤p i j ≤1 .2归一性 ∑∑=i jijp 1 .3. X,Y 的X 和Y 的联合分布函数Fx,y=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f x,y,使对任意的x 和y,有Fx,y=⎰⎰∞-∞-y xdudv v u f ),(则称X,Y 为二维连续型随机变量,称fx,y 为X,Y 的X 和Y 的联合概率密度.2.性质 1非负性 f x,y ≥0 . 2归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f .3若f x,y 在点x,y 连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2 4若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. X,Y 关于X 的边缘分布函数 F X x = P{X ≤x , Y<}= F x , .X,Y 关于Y 的边缘分布函数 F Y y = P{X<, Y ≤y}= F ,y2.二维离散型随机变量X,Y关于X 的边缘分布律 P{X= x i }=∑∞=1j ij p = p i · i =1,2,… 归一性 11=∑∞=•i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }=∑∞=1i ij p = p·jj =1,2,… 归一性11=∑∞=•j j p .3.二维连续型随机变量X,Y关于X 的边缘概率密度f X x=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X关于Y 的边缘概率密度f Y y=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dyy f Y五.相互独立的随机变量1.定义若对一切实数x,y,均有Fx,y= FX x FYy ,则称X和Y相互独立.2.离散型随机变量X和Y相互独立⇔p i j= p i··p·j i ,j =1,2,…对一切x i,y j成立.3.连续型随机变量X和Y相互独立⇔f x,y=f X xf Y y对X,Y所有可能取值x,y都成立.六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义设X,Y是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=yj}>0,则称P{X=xi |Y=yj}为在Y= yj条件下随机变量X的条件分布律.同样,对于固定的i,若P{X=xi}>0,则称P{Y=yj |X=xi}为在X=xi 条件下随机变量Y 的条件分布律.,}{},{jj ijjippyYPyYxXP•=====,}{},{•=====ij iijippxXPyYxXP第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i i =1,2,… 概率密度f x数学期望均值EX∑∞=1i i i p x 级数绝对收敛⎰∞∞-dx x xf )(积分绝对收敛方差DX=E{X-EX 2}[]∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=EX 2-EX 2 级数绝对收敛 积分绝对收敛函数数学期望EY=EgXi i i p x g ∑∞=1)(级数绝对收敛 ⎰∞∞-dx x f x g )()(积分绝对收敛标准差X=√DX .二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, Ec = c , EcX = cEX , Dc = 0 , D cX = c 2 DX .,Y为任意随机变量时, E X±Y=EX±EY .3. X与Y相互独立时, EXY=EXEY , DX±Y=DX+DY .4. DX = 0 P{X = C}=1 ,C为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 EX DX~ 0-1分布P{X=1}= p 0<p<1 p p 1- p ~ b n,p 0<p<1 n p n p 1- p ~~ Ua,b a+b/2 b-a 2/12服从参数为的指数分布2~ N ,22四.矩的概念随机变量X的k阶原点矩EX k k=1,2,…随机变量X 的k 阶中心矩E{X-EX k}随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩EX k Y l l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{X-EX k Y-EY l }第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i X X n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11 k=1,2,… 样本k 阶中心矩∑-==n i ki k X X n B 1)(1k=1,2,…二.抽样分布 即统计量的分布1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E X = EX , D X = DX / n .特别,若X~ N ,2 ,则 X ~ N , 2 /n .分布 1定义 若X ～N 0,1,则Y =∑=ni i X 12~ 2n 自由度为n 的2分布.2性质 ①若Y~ 2n,则EY = n , DY = 2n .②若Y 1~ 2n 1 Y 2~ 2n 2 ,则Y 1+Y 2~ 2n 1 + n 2.③若X~ N ,2 , 则22)1(σS n -~ 2n-1,且X 与S 2相互独立.3分位点 若Y~ 2n,0< <1 ,则满足的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为2分布的上、下、双侧分位点.3. t 分布1定义 若X~N 0,1 ,Y~ 2 n,且X,Y 相互独立,则t=nY X~tn 自由度为n 的t 分布. 2性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N ,2 时,nS X μ-~ t n-1 . ③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N 1,12 且12=22=2 X 1 ,X 2 ,…,X n1 X S 12Y~ N 2,22 Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2 Y S 22则 212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t n 1+n 2-2 , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w3分位点 若t ~ t n ,0 < <1 , 则满足的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧分位点.注意: t 1- n = - t n.分布 1定义 若U~2n 1, V~ 2n 2, 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~Fn 1,n 2自由度为n 1,n 2的F 分布.2性质条件同3.2③22212221σσS S ~Fn 1-1,n 2-13分位点 若F~ Fn 1,n 2 ,0< <1,则满足的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧分位点. 注意: .).(1),(12211n n F n n F αα=- 第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数1, 2,…, k .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111kk k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩 ll=1,2,…,k 得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值.2.最大似然估计法若总体分布形式可以是分布律或概率密度为px, 1, 2,…, k ,称样本X 1 ,X 2 ,…,X n 的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧k θθθ,,,21 ,称为参数1, 2,…,k 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L 1, 2,…, k 关于1, 2,…, k 可微,则一般可由似然方程组 0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ i =1,2,…,k 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1)无偏性 若E ∧θ=,则估计量∧θ称为参数的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E X = EX , ES 2=DX, EA k =k =EX k ,即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值EX,方差DX,总体k 阶矩k 的无偏估计,2有效性 若E ∧θ1 =E ∧θ2= , 而D ∧θ1< D ∧θ2, 则称估计量∧θ1比∧θ2有效.3一致性相合性 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数的相合估计量.二.区间估计1.求参数的置信水平为1-的双侧置信区间的步骤1寻找样本函数W=WX 1 ,X 2 ,…,X n ,,其中只有一个待估参数未知,且其分布完全确定.2利用双侧分位点找出W 的区间a,b,使P{a<W <b}=1-.3由不等式a<W<b 解出θθθ<<则区间θθ,为所求.2.单个正态总体待估参数 其它参数 W 及其分布 置信区间2已知 nX σμ-~N 0,1 2/ασz n X ±2未知 nS X μ-~ t n-1 )1((2/-±n t n S X α 2未知22)1(σS n -~ 2n-1 ))1()1(,)1()1((22/1222/2-----n S n n S n ααχχ 3.两个正态总体1均值差 1- 2其它参数 W 及其分布 置信区间已知2221,σσ22212121)(n n Y X σσμμ+--- ~ N0,1 )(2221212n n z Y Xσσα+±-未知22221σσσ==212111)(n n S Y X w +---μμ～tn 1+n 2-2)11)2((21212n n S n n t Y X w+-+±-α 其中S w 等符号的意义见第六章二. 3 2③.2 1, 2未知, W=22212221σσS S ~ Fn 1-1,n 2-1,方差比12/22的置信区间为注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上下限中的下标/2改为,另外的下上限取为- 即可.。
概率论与数理统计总复习参考
定义7 （概率的统计定义） 定义8 （概率的公理化定义） 设试验E的样本
空间为Ω，对任意事件A，赋予一实数 P(A)，若
它满足
非负性公理：0≤P(A) ≤1;
规范性公理：P(Ω)=1;
可列可加性公理：若A1, A2, …两两互斥, 则
P ( Ai ) P ( Ai ).
二、随机事件的关系与运算
1. 事件的关系
(1) 包含关系 若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含于B，
记为 A B.
(2) 互斥（互不相容）： 若两个事件A、B不可能同时发生，则称事件A与B互斥 （互不相容）. 必然事件与不可能事件互斥; 基本事件之间是互斥的.
2. 事件的运算
(1) 事件的并（和） 若C表示“事件A与事件B至少有一个发生”这一事件，
fY
(
y)
f
X
[h(
y)] | 0,
h(
y)
|,
y ,
其他.
第三章 二维随机变量及其分布
1. 二维随机变量
(X, Y )：X, Y 是定义在同一样本空间 上的两个随机变量.
2. 联合分布函数、性质 F(x, y) =P{X x, Y y}, (任意实数x, y).
3. 边缘分布函数 FX (x) = F(x, +), FY (y) = F(+, y).
P p1
p2 … pn …
注 ：如果 g( xk ) 中有些项相同，则需将它们 作适当并项.
(2) 连续型随机变量函数的分布 (i) 定义法
FY ( y) P{Y y} P{g( X ) y}
{ x|g( x) y} f X ( x)dx.
概率论与数理统计
事件的独立性 若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A和B是独立的. 即一个事件的发生，不影响另一个事件的发生 一个事件的发生， 一个事件的发生 A、B相互独立,则 P(B|A)=P(B)或P(A|B)=P(A) 若 A1 , A2 ,, An 相互独立，则
P ( A1 A2 An ) = ∏ P( Ai )
3.概率公式 概率公式
P( AB) (P(A)>0) (1)条件概率公式 P(B | A) = 条件概率公式 P( A)
乘法法则 P(AB)=P(A)P(B|A) P(AB)=P(B)P(A|B) 推广: (若P(A)>0) (若P(B)>0)
P(A1A2…An)=P(A)P(A2|A1)P(A3|A1A2)… …P(An|A1A2…An-1)
3. 伯努利概型 （1）定义 只考虑两个对立的结果A(成功)和 A (失 败)的试验称为伯努利概型或伯努利试验.将其独立 重复n次就称为一个n重伯努利试验（概型）,简称 伯努利概型. （2）伯努利概型（二项概率）的计算公式 设P(A)=p,则n次试验中A发生k次的概率为 k k nk Pn (k ) = Cn p (1 p) , k = 1,2,, n 例 若每次击中概率为p=0.8,则5次射击中有3次 击中的概率为
试 验 1
A2
An
试 验 2
B
…
（3）逆概公式（贝叶斯公式） ）逆概公式（ ） 贝叶斯定理 零的事件B, 有 若A1,A2,…,构成一个完备事件组, 并且它们都具有正概率,则对于任何一个概率不为
P( Am )P(B | Am ) P( Am | B) = (m =1,2,...) ∑P(Ai )P(B | Ai )
A +A; 1 2 AA A ; 1 2 3 AA ; 1 2
1.1-1.2 随机试验 样本空间、随机事件
S4 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
E5: 记录某公共汽车站某日
上午某时刻的等车人数.
S5 {0, 1, 2, }.
E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命.
S6 : {t | t 0}
E7: 考察某地区一昼夜最高和最低气温.
S7 {( x , y ) T0 x y T1 }.
概率论的基本概念
第一节 随机试验
重点： 概率论的主要研究对象； 随机试验的概念
一、自然界所观察到的两类现象
1. 确定性现象
在一定条件下必然发生的现象 称为确定性现象. 实例
“太阳从东边升起”,
“水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,
特征
2. 随机现象
实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币, 观察正反两面 发生的情况”. 结果有可能：发生正面、反面.
的结果有一定的规律性——称为统计规律性.
定义 在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复 试验中其结果又具有统计规律性的现象，称为随机现象.
特征
说明
研究对象 ——概率论就是研究随机现象统计规律性的一
门数学学科.
研究方法 ——将随机试验的结果数量化.
样本空间(集合)、概率、随机变量(函数)等.
二、随机试验（Experiment ）
数。
E 4 ：抛一枚骰子，观察出现的点数。
E 5 ：记录某城市 120 急救
电话台一昼夜接到的呼唤次数。
在一批灯光中任意抽 E6 ： 取一只，测试它的寿命。
E 7 ：记录某地一昼夜的最高气温和最低气温。
定义： 随机试验是指具有以下三个特征的试验：
1. 可以在相同的条件下重复地进行; 可重复性 2. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试 可知性 验的所有可能结果;
概率统计知识点
一.随机事件和概率1、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =13° 对于两两互不相容的事件1A ，2A ，…有∑∞=∞==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)(i i i i A P A P Υ常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件A 的概率。
（2）古典概型（等可能概型）1° {}n ωωωΛ21,=Ω，2° nP P P n 1)()()(21===ωωωΛ。
设任一事件A ，它是由m ωωωΛ21,组成的，则有P(A)={})()()(21m ωωωΥΛΥΥ=)()()(21m P P P ωωω+++Λn m =基本事件总数所包含的基本事件数A =2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）(1)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)(2)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当B ⊂ A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P(B )=1- P(B)（3）条件概率和乘法公式定义 设A、B 是两个事件，且P(A)>0，则称)()(A P AB P 为事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率，记为=)/(A B P )()(A P AB P 。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
（4）全概公式设事件B 1, B 2,Λ , B n 满足1°B 1, B 2,Λ , B n两两互不相容，P (B i ) > 0(i = 1,2,Λ , n ) ，2°Υni iB A 1=⊂，则有)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++=Λ。
1.2 样本空间、随机事件
S
A=B，则称事件 相等。 若 A ⊂ B 且 B ⊃ A ，即 A=B，则称事件 A 与事件 B 相等。
2°事件 A U B = { x | x ∈ A 或 x ∈ B }称为事件 A 与 B 的 ° 中至少有一个发生。 和事件，它指的是事件 A 与事件 B 中至少有一个发生。 事件，它指的是事件
如何来研究随机现象? 如何来研究随机现象 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机试验来研究的 研究方法？数学方法？ 研究方法？数学方法？ 将E的结果数量化！---用集合：S={e}，A，B… 的结果数量化！---用集合：S={e}， 用集合 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数） 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数）… 概率论研究的主线？ 概率论研究的主线？ 1、事件表示：---利用事件间关系、运算表示较复 事件表示：---利用事件间关系、 利用事件间关系 杂事件… 杂事件 计算事件的概率：----利用概率的定义 性质、 利用概率的定义、 2、计算事件的概率：----利用概率的定义、性质、 概率运算公式… 概率运算公式
2. 几点说明
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 基本事件
S 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生，称为 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生， 必然发生 必然事件; 必然事件; 空集∅ 作为 S 的一个子集，在每次试验中都不会发生，称 的一个子集，在每次试验中都不会发生， 都不会发生 为不可能事件 不可能事件. 事件
子集
事件间关系。。。 随机事件→事件间关系。。。 事件间关系
集合→ 集合→集合间关系运算
定义于集合的函数： 定义于集合的函数：函数
1-1随机试验随机事件和样本空间
概率论与集合论有关概念的对应关系
概率论
样本点
样本空间
集合论
元素
全集
记号
e
S
随机事件
基本事件
子集
单点集
A , B , C ……
{e}
不可能事件
空集
Φ
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例１、设试验为抛一枚硬币，观察是正面还 是反面，则样本空间为： S={正面，反面｝ 例２、设试验为从装有三个白球(记为1，2,3号) 与两个黑球(记为4,5号)的袋中任取两个球． (１)观察取出的两个球的颜色，则样本空间为： S={e00, e11, e01} e00 表示“取出两个白球”， e11 表示“取出两个黑球”， e01 表示“取出一个白球与一个黑球”
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五、随机数学简史
古——艺术及文学作品，游戏、决策
古希腊——哲学与宗教的思考 文艺复兴——数学讨论
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第一章 概率论的基本概念
§1.1 随机试验、随机事件和样本空间
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性 联系, 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现
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(2)
试验的所有可能结果:
正面，反面;
(3) 进行一次试验之前不能 故为随机试验. 确定哪一个结果会出现.
同理可知下列试验都为随机试验 1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
2.“从一批产品中,依次任选三 件,记 录出现正品与次品的件 数”.
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3. 记录某公共汽车站某
初中《概率》知识点归纳
初中《概率》知识点归纳概率是数学中的一个分支，研究随机事件的发生概率和可能性的科学。
初中阶段，学生会学习一些基础的概率知识，本文将对初中《概率》知识点进行归纳总结。
一、随机事件和样本空间1.随机事件：具有不确定性的事件称为随机事件，如抛掷一枚硬币的结果、掷骰子的点数等。
2.样本空间：随机试验的所有可能结果的集合称为样本空间，用S表示。
例如，抛掷一枚硬币的样本空间为{正面，反面}。
二、事件的概率1.定义：事件A的概率是指在一次随机试验中，事件A发生的可能性，用P(A)表示。
2.概率的性质：-非负性：对于任意事件A，0≤P(A)≤1-必然事件：对于一定发生的事件，概率为1-不可能事件：对于一定不发生的事件，概率为0。
-加法公式：若A、B为互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3.等可能概率：在样本空间中，每个事件的发生概率相等。
例如，抛掷一枚硬币正面朝上的概率为1/24.事件的互斥与独立：-互斥事件：两个事件不能同时发生，P(A∩B)=0。
-独立事件：两个事件的发生不会相互影响，P(A∩B)=P(A)×P(B)。
三、事件的确定性和可能性1.确定性事件：在一次随机试验中，一定会发生的事件。
2.可能性事件：在一次随机试验中，可能发生也可能不发生的事件。
四、频率与概率1.频率：在大量重复试验中，事件A发生的频次与总试验次数的比值称为事件A的频率，记作f(A)。
2.大数定律：在试验次数很大时，事件A的频率趋近于事件A的概率。
五、排列和组合1.排列：从n个不同元素中，按照一定顺序取出m(m≤n)个元素，称为从n个不同元素中选取m个元素的排列数，记作A(n,m)。
2.组合：从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素，不考虑其顺序，称为从n个不同元素中选取m个元素的组合数，记作C(n,m)。
3.公式：-A(n,m)=n!/(n-m)!-C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)六、概率的计算1.等可能概率的计算：P(A)=有利的结果数/总结果数。
概率论第一章
I Ai = A1 I A2 I L I An = { A1 , A2 , ... An同 时 发 生}
i =1 ∞
I Ai = A1 I A2 I L = { A1 , A2 , ...同时 发 生}
i =1
—刘 赪—
第一章 随机事件与概率
事件间的关系及运算-3
4 差事件：A-B={e|e∈A且e∉B} 当且仅当A发生，B不发生时， 事件A-B发生
称
fn
( A)
=
n( A) n
为事件A的频率.
Ø 频率f n(A)会稳定于某一常数(稳定值).
Ø 用频率的稳定值作为该事件的概率.
—刘 赪—
第一章 随机事件与概率
确定概率的古典方法
1° 样本空间中的元素个数只有有限个，可记为
Ω ={e1,e2,…,en} 2° 每个基本事件ei出现的可能性相等，i=1,2,…,n,
Ex 4. 若在区间( 0, 1) 内任取两个数，则两数之和
小于 6/5 的概率是多少？
-- 刘 赪 --
SWJTU
第三节
第一章
概率的性质
SWJTU
6 PDF 文件使用 "pdfFactory" 试用版本创建
概率的基本性质 -1
1 P(φ) = 0
∑ ( ) 2
P
5 P( A) + P( A) = 1
6 P(A∪B)≤ P(A)+P(B) 且有概率的加法公式 P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(AB)
-- 刘 赪 --
SWJTU
Ø 概率的加法公式可以推广到更多事件的情形： P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)
概率论整理
第一章概率论的基本概念 第一节随机试验一、随机试验E1．试验可以在相同的条件下重复进行； 2．试验的可能结果不止一个，并且能事先 明确试验的所有可能结果；3．进行试验之前不能确定哪一个结果会出现。
说明：随机试验简称为试验,随机试验通常用E 来表示.实例：“抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况”.分析：1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;2) 试验的所有可能结果:正面、反面;3) 进行一次试验之前不能确定哪个结果会出现故为随机试验同理可知下列试验都为随机试验：掷骰子观察点数；一批产品任选三件其正品与次品数；某地平均气温等第二节随样本空间、随机事件一、 样本空间 样本空间Ω随机试验的所有可能结果组成的集合． 样本空间Ω 中的元素，即E 的每个结果，称为样本点．样本点一般用ω表示，可记为Ω = { ω } 例：说明1. 同一试验, 若试验目的不同,则对应的样 本空间也不同.例如对于同一试验: “将一枚硬币抛掷2次”. 若观察正面H 、反面T 出现的情况,则样本空间为S = {HH , HT , TH , TT }.若观察正面出现的次数, 则样本空间为S={0,1,2,3}2. 建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型. 因此, 一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.例如只包含两个样本点的样本空间S = {H ,T }它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型, 也可以作为产品检验中合格与不合格的模型, 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.例：1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. S = {3, 4, 5,……, 18}.2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数S = {10 , 11 , 12 ,……}. 二、 随机事件随机试验E 的样本空间Ω的子集称为E 的随机事件，简称事件。
例如，随机试验“抛骰子观察点数”的样本空间是S={1,2,3,4,5,6}对于“骰子的点数是偶数点”，它是一个事件，即{2,4,6}，显然，它是样本空间的一个子集。
概率论
S 7 : { ( x , y ) | T 0≤ x ≤ y ≤ T 1 }
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第一章 概率论的基本概念
2、 随 机 事 件
定义： 定义： •随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件 随机事件； 可能发生，也可能不发生） 随机事件； 可能发生，也可能不发生） ( •基本事件 : 有一个样本点组成的单点集； 基本事件 有一个样本点组成的单点集； ( •必然事件 : 样本空间 S 本身； 必然发生） 必然事件 本身； 必然发生） •不可能事件 : 空集∅。 不可能事件 空集∅ (必然不发生） 必然不发生）
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第一章 概率论的基本概念 2 ） 频率的稳定性 n=500时 时 nA 251 249 256 253 251 246 fn(A) 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492
244 0.488
0.002 -0.002 0.012 0.006 0.002 -0.008 -0.012 实验者 德•摩根 摩根 蒲 丰 n 2048 4040 nH 1061 2048 6019 fn(H) 0.5181 0.5096 0.5016 0.5005
A U A = A, A I A = A
A U B = B U A, A I B = B I A
( A U B ) U C = A U (B U C ) ( A I B ) I C = A I (B I C )
A U (B I C ) = ( A U B ) I ( A U C ) Morgan定律 定律: De Morgan定律: U A α = I Aα , I A α = U A α
不能同时发生 与 不能同时发生” 50 互不相容 A I B = ∅ “A与B不能同时发生” 60 对立（互逆）事件 A I B = ∅ 且 A U B = S 对立（互逆）
概率统计复习提纲(百度文库)解析
《概率论与数理统计》总复习提纲第一块随机事件及其概率内容提要基本内容：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，概率的概念和基本性质，古典概率，几何概率，条件概率，与条件概率有关的三个公式，事件的独立性，贝努里试验.1、随机试验、样本空间与随机事件（1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为.1）试验可在相同的条件下重复进行；2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果；3）每次试验前不能确定哪一个结果会出现.（2）样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合称为的样本空间记为Ω；试验的每一个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为.（3）随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的子集，必然事件（记为）和不可能事件（记为）.2、事件的关系与运算（1）包含关系与相等：“事件发生必导致发生”，记为或；且.（2）互不相容性：；互为对立事件且.（3）独立性：（1）设为事件，若有，则称事件与相互独立. 等价于：若().（2）多个事件的独立：设是n个事件，如果对任意的，任意的，具有等式，称个事件相互独立．3、事件的运算（1）和事件（并）：“事件与至少有一个发生”，记为.（2）积事件（交）：“事件与同时发生”，记为或.（3）差事件、对立事件(余事件)：“事件发生而不发生”，记为称为与的差事件；称为的对立事件；易知：.4、事件的运算法则1) 交换律：，；2) 结合律：，；3) 分配律：，；4) 对偶(De Morgan)律：，，可推广5、概率的概念（1）概率的公理化定义：（2）频率的定义：事件在次重复试验中出现次，则比值称为事件在次重复试验中出现的频率，记为，即.（3）统计概率：称为事件的（统计）概率.在实际问题中，当很大时，取（4）古典概率：若试验的基本结果数为有限个，且每个事件发生的可能性相等，则（试验对应古典概型）事件发生的概率为：.（5）几何概率：若试验基本结果数无限，随机点落在某区域g的概率与区域g的测度(长度、面积、体积等)成正比，而与其位置及形状无关，则（试验对应几何概型），“在区域中随机地取一点落在区域中”这一事件发生的概率为：.（6）主观概率：人们根据经验对该事件发生的可能性所给出的个人信念.6、概率的基本性质（1）不可能事件概率零：＝0.（2）有限可加性：设是n个两两互不相容的事件，即＝，（），则有＝＋.（3）单调不减性：若事件，且.（4）互逆性：且.（5）加法公式：对任意两事件，有－；此性质可推广到任意个事件的情形.（6）可分性：对任意两事件，有，且7、条件概率与乘法公式（1）条件概率：设是两个事件，即，则称为事件发生的条件下事件发生的条件概率．（2）乘法公式：设且则称为事件的概率乘法公式.8、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式（1）全概率公式：设是的一个划分，且，，则对任何事件，有称为全概率公式.（2）贝叶斯(Bayes)公式：设是的一个划分，且，则对任何事件，有称为贝叶斯公式或逆概率公式.9、贝努里(Bernoulli)概型（1）只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为．也叫做“成功—失败”试验,“成功”的概率常用表示，其中＝“成功”.（2）把重复独立地进行次，所得的试验称为重贝努里试验，记为．（3）把重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记为．以上三种贝努里试验统称为贝努里概型．（4）中成功次的概率是：其中.疑难分析1、必然事件与不可能事件必然事件是在一定条件下必然发生的事件，不可能事件指的是在一定条件下必然不发生的事件.它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的方便，把它们看作特殊的随机事件.2、互逆事件与互斥（不相容）事件如果两个事件与必有一个事件发生，且至多有一个事件发生，则、为互逆事件；如果两个事件与不能同时发生，则、为互斥事件.因而，互逆必定互斥，互斥未必互逆.区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆，而互斥适用与多个事件的情形.作为互斥事件在一次试验中两者可以都不发生，而互逆事件必发生一个且只发生一个.3、两事件独立与两事件互斥两事件、独立，则与中任一个事件的发生与另一个事件的发生无关，这时；而两事件互斥，则其中任一个事件的发生必然导致另一个事件不发生，这两事件的发生是有影响的，这时.可以用图形作一直观解释.在图1.1左边的正方形中，图1.1，表示样本空间中两事件的独立关系，而在右边的正方形中，，表示样本空间中两事件的互斥关系.4、条件概率与积事件概率是在样本空间内，事件的概率，而是在试验增加了新条件发生后的缩减的样本空间中计算事件的概率.虽然、都发生，但两者是不同的，一般说来，当、同时发生时，常用，而在有包含关系或明确的主从关系时，用.如袋中有9个白球1个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（2）第一次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率.问题（1）求的就是一个积事件概率的问题，而问题（2）求的就是一个条件概率的问题.5、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，而该结果又不能简单地看作这诸多事件之和时，可考虑用全概率公式，在对样本空间进行划分时，一定要注意它必须满足的两个条件.贝叶斯公式用于试验结果已知，追查是何种原因（情况、条件）下引发的概率.第二块随机变量及其分布内容提要基本内容：随机变量，随机变量的分布的概念及其性质，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率分布，常见随机变量的分布，随机变量函数的分布.1、随机变量设是随机试验的样本空间，如果对于试验的每一个可能结果，都有唯一的实数与之对应，则称为定义在上的随机变量，简记为.随机变量通常用大写字母等表示.2、离散型随机变量及其分布列如果随机变量只能取有限个或可列个可能值，则称为离散型随机变量.如果的一切可能值为，并且取的概率为，则称为离散型随机变量的概率函数（概率分布或分布律）.也称分布列，常记为其中.常见的离散型随机变量的分布有：（1）两点分布（0-1分布）：记为，分布列为或（2）二项分布：记为，概率函数（3）泊松分布，记为，概率函数泊松定理设是一常数，是任意正整数，设，则对于任一固定的非负整数，有.当很大且很小时，二项分布可以用泊松分布近似代替，即，其中（4）超几何分布：记为，概率函数，其中为正整数，且.当很大，且较小时，有（5）几何分布：记为，概率函数.3、分布函数及其性质分布函数的定义：设为随机变量，为任意实数，函数称为随机变量的分布函数.分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性，具有以下性质：（1）有界性；（2）单调性如果，则；（3）右连续，即；（4）极限性；（5）完美性.4、连续型随机变量及其分布分布如果对于随机变量的分布函数，存在非负函数，使对于任一实数，有，则称为连续型随机变量.函数称为的概率密度函数.概率密度函数具有以下性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）如果在处连续，则.常用连续型随机变量的分布：（1）均匀分布：记为，概率密度为分布函数为（2）指数分布：记为，概率密度为分布函数为（3）正态分布：记为，概率密度为，相应的分布函数为当时，即时，称服从标准正态分布.这时分别用和表示的密度函数和分布函数，即具有性质：①.②一般正态分布的分布函数与标准正态分布的分布函数有关系：.5、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数的分布设为离散型随机变量，其分布列为(表2-2)：表2-2…………则任为离散型随机变量，其分布列为(表2-3)：表2-3…………有相同值时，要合并为一项，对应的概率相加.（2）连续型随机变量函数的分布设为离散型随机变量，概率密度为，则的概率密度有两种方法可求.1）定理法：若在的取值区间内有连续导数，且单调时，是连续型随机变量，其概率密度为.其中是的反函数.2）分布函数法：先求的分布函数然后求.疑难分析1、随机变量与普通函数随机变量是定义在随机试验的样本空间上，对试验的每一个可能结果，都有唯一的实数与之对应.从定义可知：普通函数的取值是按一定法则给定的，而随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；又普通函数的定义域是一个区间，而随机变量的定义域是样本空间.2、分布函数的连续性定义左连续或右连续只是一种习惯.有的书籍定义分布函数左连续，但大多数书籍定义分布函数为右连续. 左连续与右连续的区别在于计算时，点的概率是否计算在内.对于连续型随机变量，由于，故定义左连续或右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，由于，则定义左连续或右连续时值就不相同，这时，就要注意对定义左连续还是右连续.第三块多维随机变量及其分布内容提要基本内容：多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的联合分布列，二维连续型随机变量的联合分布函数和联合密度函数，边际分布，随机变量的独立性和不相关性，常用多维随机变量，随机向量函数的分布.1、二维随机变量及其联合分布函数为n维(n元)随机变量或随机向量.联合分布函数的定义设随机变量,为随机向量的联合分布函数二维联合分布函数具有以下基本性质：（1）单调性是变量或的非减函数；（2）有界性；（3）极限性（3）连续性关于右连续，关于也右连续；（4）非负性对任意点，若，则.式表示随机点落在区域内的概率为：.2、二维离散型随机变量及其联合分布列如果二维随机变量所有可能取值是有限对或可列对，则称为二维离散型随机变量.设为二维离散型随机变量,它的所有可能取值为将或表3.1称为的联合分布列.表3.1……┇┇…………┇┇…┇………┇┇…┇…联合分布列具有下列性质：（1）；（2）.3、二维连续型随机变量及其概率密度函数如果存在一个非负函数,使得二维随机变量的分布函数对任意实数有，则称是二维连续型随机变量，称为的联合密度函数（或概率密度函数）.联合密度函数具有下列性质：（1）非负性对一切实数，有；（2）规范性；（3）在任意平面域上，取值的概率；（4）如果在处连续，则.4、二维随机变量的边缘分布设为二维随机变量，则称分别为关于和关于的边缘（边际）分布函数.当为离散型随机变量，则称分别为关于和关于的边缘分布列.当为连续型随机变量，则称分别为关于和关于的边缘密度函数.5、二维随机变量的条件分布（了解）（1）离散型随机变量的条件分布设为二维离散型随机变量，其联合分布律和边缘分布列分别为，则当固定，且时，称为条件下随机变量的条件分布律.同理，有（2）连续型随机变量的条件分布设为二维连续型随机变量，其联合密度函数和边缘密度函数分别为：.则当时，在和的连续点处，在条件下，的条件概率密度函数为.同理，.6、随机变量的独立性设及分别是的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数有则称随机变量与相互独立.设为二维离散型随机变量，与相互独立的充要条件是.设为二维连续型随机变量，与相互独立的充要条件是对几乎一切实数，有.7、两个随机变量函数的分布设二维随机变量的联合概率密度函数为，是的函数，则的分布函数为.（1）的分布若为离散型随机变量，联合分布列为，则的概率函数为：或.若为连续型随机变量，概率密度函数为，则的概率函数为：.（2）的分布若为连续型随机变量，概率密度函数为，则的概率函数为：.8．最大值与最小值的分布则9．数理统计中常用的分布（1）正态分布：（2）：（3）：（4）：疑难分析1、事件表示事件与的积事件，为什么不一定等于？如同仅当事件相互独立时，才有一样，这里依乘法原理.只有事件与相互独立时，才有，因为.2、二维随机变量的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯一确定边缘分布，因而也唯一确定条件分布.反之，边缘分布与条件分布都不能唯一确定联合分布.但由知，一个条件分布和它对应的边缘分布，能唯一确定联合分布.但是，如果相互独立，则，即.说明当独立时，边缘分布也唯一确定联合分布，从而条件分布也唯一确定联合分布.3、两个随机变量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同？为什么？两个随机变量相互独立，是指组成二维随机变量的两个分量中一个分量的取值不受另一个分量取值的影响，满足.而两个事件的独立性，是指一个事件的发生不受另一个事件发生的影响，故有.两者可以说不是一个问题.但是，组成二维随机变量的两个分量是同一试验的样本空间上的两个一维随机变量，而也是一个试验的样本空间的两个事件.因此，若把“”、“”看作两个事件，那么两者的意义近乎一致，从而独立性的定义几乎是相同的.第四块随机变量的数字特征内容提要基本内容：随机变量的数学期望和方差、标准差及其性质，随机变量函数的数学期望，原点矩和中心矩，协方差和相关系数及其性质.1、随机变量的数学期望设离散型随机变量的分布列为，如果级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量的数学期望.设连续型随机变量的密度函数为，如果广义积分绝对收敛，则称此积分值为随机变量的数学期望.数学期望有如下性质：（1）设是常数，则；（2）设是常数，则；（3）若是随机变量，则；对任意个随机变量，有；（4）若相互独立，则；对任意个相互独立的随机变量，有.2、随机变量函数的数学期望设离散型随机变量的分布律为，则的函数的数学期望为，式中级数绝对收敛.设连续型随机变量的密度函数为，则的函数的数学期望为，式中积分绝对收敛.3、随机变量的方差设是一个随机变量，则称为的方差.称为的标准差或均方差.计算方差也常用公式.方差具有如下性质：（1）设是常数，则；（2）设是常数，则；（3）若相互独立，则；对任意个相互独立的随机变量，有；（4）的充要条件是：存在常数，使.4、几种常见分布的数学期望与方差（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.5、矩设是随机变量，则称为的阶原点矩.如果存在，则称为的阶中心矩.设是二维随机变量，则称为的阶混合原点矩；称为的阶混合中心矩.6、协方差与相关系数随机变量的协方差为.它是1+1阶混合中心矩，有计算公式：.随机变量的相关系数为.相关系数具有如下性质：（1）；（2）存在常数，使=1，即与以概率1线性相关；（3）若独立，则，即不相关.反之，不一定成立.（4）(Schwarz inequality) 设(X,Y)是二维随机变量,若X与Y的方差都存在,则疑难分析1、随机变量的数字特征在概率论中有什么意义？知道一个随机变量的分布函数，就掌握了这个随机变量的统计规律性.但求得一个随机变量的分布函数是不容易的，而且往往也没有这个必要.随机变量的数字特征则比较简单易求，也能满足我们研究分析具体问题的需要，所以在概率论中很多的应用，同时也刻画了随机变量的某些特征，有重要的实际意义.例如，数学期望反映了随机变量取值的平均值，表现为具体问题中的平均长度、平均时间、平均成绩、期望利润、期望成本等；方差反映了随机变量取值的波动程度；偏态系数、峰态系数则反映了随机变量取值的对称性和集中性.因此，在不同的问题上考察不同的数字特征，可以简单而切实地解决我们面临的实际问题.2、在数学期望定义中为什么要求级数和广义积分绝对收敛？首先，数学期望是一个有限值；其次，数学期望反映随机变量取值的平均值.因此，对级数和广义积分来说，绝对收敛保证了值的存在，且对级数来说，又与项的次序无关，从而更便于运算求值.而由于连续型随机变量可以离散化，从而广义积分与无穷级数有同样的意义.要求级数和广义积分绝对收敛是为了保证数学期望的存在与求出.3、相关系数反映了随机变量和之间的什么关系？相关系数是用随机变量和的协方差和标准差来定义的，它反映了随机变量和之间的相关程度.当时，称与依概率1线性相关；当时，称与不相关；当时，又分为强相关与弱相关.4、两个随机变量与相互独立和不相关是一种什么样的关系？（1）若、相互独立，则、不相关.因为、独立，则，故，从而，所以、不相关.（2）若、不相关，则、不一定独立.如：因为，，知、不相关.但，,,知、不独立.（3）若、相关，则、一定不独立.可由反证法说明.（4）若、不相关，则、不一定不相关.因为、不独立，，但若时，可以有，从而可以有、不相关.但是，也有特殊情况，如服从二维正态分布时，、不相关与、独立是等价的.第五块大数定律和中心极限定理内容提要基本内容：切比雪夫（Chebyshev）不等式，切比雪夫大数定律，伯努里（Bernoulli）大数定律，辛钦（Khinchine）大数定律，棣莫弗-拉普拉斯（De Moivre-Laplace）定理，列维-林维德伯格(Levy-Lindberg)定理.1、切贝雪夫不等式设随机变量的数学期望，方差，则对任意正数，有不等式或成立.2、大数定律（1）切贝雪夫大数定律:设是相互独立的随机变量序列，数学期望和方差都存在，且，则对任意给定的，有.（2）贝努利大数定律:设是次重复独立试验中事件发生的次数，是事件在一次试验中发生的概率，则对于任意给定的，有.贝努利大数定理给出了当很大时，发生的频率依概率收敛于的概率，证明了频率的稳定性.(3)辛钦大数定律：设相互独立,服从同一分布的随机变量序列,且(),则对任意给定的，有3、中心极限定律（1）林德贝格-勒维中心极限定理:设是独立同分布的随机变量序列，有有限的数学期望和方差，，.则对任意实数，随机变量的分布函数满足.（2）李雅普诺夫定理:设是不同分布且相互独立的随机变量，它们分别有数学期望和方差：,.记,若存在正数，，使得当时，有, 则随机变量的分布函数对于任意的，满足.当很大时,.（3）德莫佛—拉普拉斯定理:设随机变量服从参数为的二项分布，则对于任意的，恒有.疑难分析1、依概率收敛的意义是什么？依概率收敛即依概率1收敛.随机变量序列依概率收敛于，说明对于任给的，当很大时，事件“”的概率接近于1.但正因为是概率，所以不排除小概率事件“”发生.依概率收敛是不确定现象中关于收敛的一种说法.2、大数定律在概率论中有何意义？大数定律给出了在试验次数很大时频率和平均值的稳定性.从理论上肯定了用算术平均值代替均值，用频率代替概率的合理性，它既验证了概率论中一些假设的合理性，又为数理统计中用样本推断总体提供了理论依据.所以说，大数定律是概率论中最重要的基本定律.3、中心极限定理有何实际意义？许多随机变量本身并不属于正态分布，但它们的极限分布是正态分布.中心极限定理阐明了在什么条件下，原来不属于正态分布的一些随机变量其总和分布渐进地服从正态分布.为我们利用正态分布来解决这类随机变量的问题提供了理论依据.4、大数定律与中心极限定理有何异同？相同点：都是通过极限理论来研究概率问题，研究对象都是随机变量序列，解决的都是概率论中的基本问题，因而在概率论中有重要意义.不同点：大数定律研究当时，概率或平均值的极限，而中心极限定理则研究随机变量总和的分布的极限.古今名言敏而好学，不耻下问——孔子业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子己所不欲，勿施于人——孔子读书破万卷，下笔如有神——杜甫读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修读万卷书，行万里路——刘彝黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦书犹药也，善读之可以医愚——刘向莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄声明访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。
1.1随机试验、样本空间、随机事件
随机试验E
例如：抛一颗骰子，观察其出现的点数.
样本点
可能的结果：1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点.
所有可能结果的集合：{1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点}.
样本空间
随机试验、样本空间、随机事件
定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合，称为 E 的样本空间， 记为 S. 样本空间的元素，即 E 的每个结果，称为样本点，记为ei .
结合律： AU( BUC) = ( AUB) UC ， ( AI B) I C = AI ( BI C) .
分配律： AU( BI C) = ( AUB) I ( AUC) ， AI ( BUC) = ( AI B) U( AI C) .
德摩根律： A U B = A I B ， A I B = A U B .
随机现象 概率论与数理统计
——研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科！
随机试验、样本空间、随机事件
二、随机试验 E1：抛一枚硬币，观察其出现正面 H 、反面T 的情况； E2 ：抛一颗骰子，观察其出现的点数； E3：抛一颗骰子，观察点数 2 是否出现； E4 ：记录车站售票处一天内售出的车票数； E5 ：任取同一生产线上生产的一只灯泡，测试其寿命； E6 ：在[0,1]之间随机地投一点，记录该点的坐标.
随机试验、样本空间、随机事件
例 1 设 A、B、C 为三个事件，试用其运算关系表示下列事件：
（1）A、B、C 同时发生；
ABC
（2）A、B、C 至少有一个发生；
AU B UC
（3）A、B、C 至少有两个发生；
AB U BC U AC
（4）A、B、C 都不发生；
ABC
（5）A、B、C 不都发生.
概率论第一章第二节
A、B 互斥
A、B 对立
SA
B
AB
互斥
A B A S
A B S且AB 对立
21
事件的运算规律
交换律 A B B A, AB BA 结合律 A (B C ) (A B) C
A(BC ) (AB)C 分配律 A (B C ) (A B) (A C )
A(B C ) (AB) (AC )
例如，只包含两个样本点的样本空间
S {0, 1},
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模 型, 也可以作为产品检验中合格与不合格的模型, 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型.
5
课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的 总件数.
S
思考：何时 A B ？何时 A B A？
18
5. 互不相容(互斥) 若AB ，称事件A与B互不相容.
A S
B
即A与B不能同时发生.
AB “骰子出现1点”互斥
“骰子出现2点”
基本事件是两两互不相容的.
19
6. 逆事件（对立事件）
若 A B S且 AB ，则称 A与B互为逆事件，或对立 事件.
14
三、事件的关系与运算
设试验E, 样本空间S,
A, B, Ak (k 1, 2, )是S的子集.
BA
1. 包含
S
A B
A发生必导致B发生. A B
实例“长度不合格” 必然导致 “产品不合格”,
特别地：A B
A B且B A.
设A为任一事件，有
(1) A S， (2) A A，
(3) A B 又 B C A C.
§1.1 随机事件与样本空间
§1.1 随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。
一、 基本事件与样本空间对于随机试验来说，我们感兴趣的往往是随机试验的所有可能结果。
例如掷一枚硬币，我们关心的是出现正面还是出现反面这两个可能结果。
若我们观察的是掷两枚硬币的试验，则可能出现的结果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）四种，如果掷三枚硬币，其结果还要复杂，但还是可以将它们描述出来的，总之为了研究随机试验，必须知道随机试验的所有可能结果。
1、 基本事件通常，据我们研究的目的，将随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件。
因为随机事件的所有可能结果是明确的，从而所有的基本事件也是明确的，例如：在抛掷硬币的试验中“出现反面”，“出现正面”是两个基本事件，又如在掷骰子试验中“出现一点”，“出现两点”，“出现三点”，……，“出现六点”这些都是基本事件。
2、 样本空间基本事件的全体，称为样本空间。
也就是试验所有可能结果的全体是样本空间，样本空间通常用大写的希腊字母Ω表示，Ω中的点即是基本事件，也称为样本点，常用ω表示，有时也用A,B,C 等表示。
在具体问题中，给定样本空间是研究随机现象的第一步。
例1、 一盒中有十个完全相同的球，分别有号码1、2、3……10，从中任取一球，观察其标号，令=i {取得球的标号为i }，=i 1,2,3,…,10. 则Ω={1,2,3,…,10},=i ω{标号为i },=i 1,2,3,…,101ω,2ω,…, 10ω为基本事件（样本点）例2 在研究英文字母使用状况时，通常选用这样的样本空间： Ω={空格，A,B,C,…,X,Y,Z}例 1，例 2讨论的样本空间只有有限个样本点，是比较简单的样本空间。
例3讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数，可能结果一定是非负整数而且很难制定一个数为它的上界，这样，可以把样本空间取为Ω={0,1,2,3,…}这样的样本空间含有无穷个样本点，但这些样本点可以依照某种顺序排列起来，称它为可列样本空间。
1.1 随机试验、样本空间.1.2 随机事件 (1)
n
n
Cm n
即
n m
:
从n个相异元中取m个元素并成一组
P C P m m m(先取后排）
n
n
m
Pmn n (n 1) (n 2)
(n m 1)
n! (n m)
!
0！ 0.
m
P m Cn
n m
n(n
1)L (n m!
抽查式考勤，缺三次平时成绩为零，取消考试资格（学校规定），希望遵守公 德：不迟到 • 5.须按时、按质、按量完成作业。作业采用等级评分 • 6.复习微积分，保证学习正常进行 • 7注：平时成绩大于30分；别因中学“学过”而大意，应当重新审视这门课。
4
预备知识（排列组合） • 1. 两个基本原理 • 2. 排列、组合的意义 • 3. 排列数、组合数计算公式 • 4. 例题
解法一：先组队后分校（先分堆后分配） C62 C24 P33 540
解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.
(C13 C62) (C12 C24) 1 540
引言
•概率是什么？
•1.概率是频率：
P A
fn
ALeabharlann nA 频数 n 试验次数
.
•2.概率是比例：
序
一、概率论 简史及概率论的应用
1. 概率论简史
1654年， 有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久 的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢m 局就算赢，全部赌本就归谁．但 是当其中一个人赢了a 局，另一个人赢了b 局的时候，赌博中止．问：赌本应该 如何分法才合理？” ．
概率论与数理统计 第一章教案
第一讲概率的定义及性质Ⅰ授课题目§1.0 概率论研究的对象§1.1 随机试验§1.2 样本空间、随机事件§1.3 频率与概率，概率的性质Ⅱ教学目的与要求1、理解随机试验、随机事件、必然事件、不可能事件等概念2、理解样本空间、样本点的概念,会用集合表示样本空间和事件3、掌握事件的基本关系与运算4、掌握概率的性质Ⅲ教学重点与难点重点：事件的基本关系与运算，概率的性质难点：用集合表示样本空间和事件Ⅳ讲授内容：§1.0 概率论研究的对象一两类现象---确定现象与不确定现象先从实例来看自然界和社会上存在着两类不同的现象.例1水在一个大气压力下,加热到100℃就沸腾.例2向上抛掷一个五分硬币,往下掉.例3太阳从东方升起.例4一个大气压力下,20℃的水结冰.例1,例2,例3是必然发生的,而例4是必然不发生的.个确切结果)称之为确定性现象或必然现象.微积分,线性代数等就研究必然现象的数学工具.与此同时,在自然界和人类社会中,人们还发现具有不同性质的另一类现象先看下面实例.例5用大炮轰击某一目标,可能击中,也可能击不中.例6在相同的条件下,抛一枚质地均匀的硬币,其结果可能是正面(我们常把有币值的一面称作正面)朝上,也可能是反面朝上.例7次品率为50%的产品,任取一个可能是正品,也可能是次品.例8次品率为1%的产品,任取一个可能是正品,也可能是正品.例5~例8这类现象归纳起来可以看作在相同条件下一系列的试验或观察,而每次试验或观察的可能结果不止一个,在每次试验或观察之前无法预知确切结果,即呈现出不确定性(即这些现象的结果事先不能完全确定),这一类型现象我们称之为不确定性现象或偶然现象,也称之为随机现象.二统计规律性、概率论研究的对象对于不确定性现象,人们经过长时期的观察或实践的结果表明,这些现象并非是杂乱无章的,而是有规律可寻的.例如,大量重复抛一枚硬币,得正面朝上的次数与正面朝下的次数大致都是抛掷总次数的一半.在大量地重复试验或观察中所呈现出的固有规律性,就是我们以后所说的统计规律性.而概率论正是研究这种随机(偶然)现象,寻找他们的内在的统计规律性的一门数学学科.概率论是数理统计的基础,由于随机现象的普遍性,使得概率与数理统计具有及其广泛的应用.另一方面,广泛的应用也促进概率论有了极大的发展.§1.1 随机试验对随机现象进行的试验或观察称为随机试验,简称试验,它具有下列特性(征):(1)试验可以在相同条件下重复进行;(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前不能肯定这次试验会出现哪一个结果.随机实验记为E.例1E1:投掷一枚硬币,观察正反面朝上的情况.它有两种可能的结果就是“正面朝上”或“反面朝上”,投掷之前不能预言哪一个结果出现，且这个试验可以在相同的条件下重复进行，所以E1是一个随机试验。
概率论与数理统计期末复习知识点
fZ(z)
f (z y, y)dy
f (x, z x)dx
当X 和Y 相互独立:卷积公式
fZ (z) f X ( x) fY (z x)dx
f X (z y) fY ( y)dy
(2) 当X 和Y 相互独立时:
M = max(X,Y ) 的分布函数
Fmax(z) P{M z} FX (z)FY (z)
E(Y ) E[g( X )] g( xk )pk k 1
(1-3)设( X,Y ) 离散型随机变量. 分布律为：
P{X xi , Y y j } pij i, j 1,2,
若 Z=g(X,Y)（g为二元连续函数）
则 E(Z ) E[g( X ,Y )]
g( xi , y j )pij
(2) 连续型随机变量的分布函数的定义
x
F ( x) f (t)dt
f(x)的性质
1. f (x) 0
2. f ( x)dx 1
3. P{x1 X x2}
x2 f ( x)dx
x1
4. F( x) f ( x)，在f ( x)的连续点.
⁂ 三种重要的连续型随机变量
(一)均匀分布
pi1
p•1
pi2
p•2
pij pi•
p• j 1
性质：
1 0 pij 1
2
pij 1.
j 1 i1
2.边缘分布律
3. 独立性
pij pi• p• j , ( i, j 1,2, )
4.分布函数 ( x, y) R2
F ( x, y) pij xi x yjy
n
n
则
Ai Ai
Ai Ai
i 1
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其他随机试验 实例1
抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.
实例2
从一批产品中, 依次任选三件,
记录出现正品与次品的件数.
实例3
记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.
实例4
考察某地区 10 月份的平均气温.
实例5
从一批灯泡中任取一只, 测试其寿命.
四、小结
随机现象 随机试验
1. 可以在相同的条件下重复地进行;
定赌若干局, 且谁先赢 5局便算赢家, 若在一赌徒
徒胜 3 局 , 另一赌徒胜4局时便终止赌博,
问应如何分赌本” 人们为此题求教于帕斯卡帕斯卡与 , 费马通信讨论这一问题,得结论： 赢4局的拿3/4，赢4局的拿1/4， 他们将此题的解法向更一般的情况推广 于1654 年共同建立了概率论的第一 个基本概念 数学期望. 《论掷骰子游戏中的计算》----概率论最早著作
(1) A 出现 , B, C 不出现;
(2) A, B都出现, C 不出现;
(3) 三个事件都出现;
(4) 三个事件至少有一个出现;
(5) 三个事件都不出现;
课堂练习
设A,B,C 表示三个随机事件, 试将下列事件 用A,B,C 表示出来.
(6) 不多于一个事件出现; (7) 不多于两个事件出现; (8) 三个事件至少有两个出现; (9) A, B 至少有一个出现, C 不出现; (10) A, B, C 中恰好有两个出现.
第1~3节 教学要求
一、理解概率论基本概念
随机试验、样本空间、基本事件、随机事件
二、掌握随机事件之间的关系和运算（熟背） 三、掌握概率的性质（熟背）
第一节 随机试验
一、概率论的诞生及应用 二、随机现象 三、随机试验
重点：随机试验的三要素
一、 概率论的诞生与应用
1654年, 一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约
答案
（4）A+B+C
（ 5 ）A B C 或 A B C
（ 6 ）A B B C A C
（ 7 ）A B C 或ABC
（8）AB+BC+AC
例2： 设Ai={生产的第i个零件为次品},则如何表示以下 事件,i=1,2,3 (1)无次品： （2）第一个为此品 （4）至少有一个次品 （3）恰好有一个次品 答案
A B 事件A与事件B的和 集合A与集合B的并集
AB
事件A与事件B的 集合A与集合B的交集 积事件
A B 事件A与事件B的差 A与B两集合的差集
A与B 两集合中没有 AB 事件A与B互不相容 相同的元素
例１：设A、B、C为三个事件，试用事件间的关系与运算表示 下列各事件：（１）事件A不发生；（２）事件A、B不发生而 事件C发生；（３）事件A、B、C中至多有一个发生；（4）A， B，C中至少有一个发生 （5）A，B，C都不发生， （6）A，B， C中不多于一个发生 （7）A，B，C中不多于二个发生。（8） A，B，C中至少有二个发生。
举例
二、随机现象
1.确定性现象
在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.
你能举出一些确定性现象的实例吗？
举例
2.随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称 为随机现象. 你能举出一些随机现象的实例吗？
举例
说明
1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性 联系, 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象 的这种统计规律的一门数学学科.
(3)分配律
(4)德.摩根律
A B A B;
A B A B.
德.摩根律可推广至n个也成立。
概率论与集合论之间的对应关系 记号 概率论 集合论
S
样本空间，必然事件
不可能事件
全集
空集 元素
基本事件 e 子集 随机事件 A A的补集 A的对立事件 A A B A出现必然导致B出现 A是B的子集 A B 事件A与事件B相等 集合A与集合B相等
B互为逆事件. 又称事件A与事件B互为对立事件.
A的对立事件记为A , A S A.
“骰子出现1点” 对立
“骰子不出现1点”
图示 A 与 B 的对立.
A B A S 若 A 与 B 互逆, 则有 A B S 且 AB .
对立事件与互斥事件的区别 A、B 互斥 A、B 对立
A .
4. 事件A B x x A且x B,
称为事件A与 事件B的差事件.
A S
A B发生
A发生而B不发生
B
“长度合格但直径不合格” 是 “长度合格”与 “直径合格” 的差. 图示 A 与 B 的差：
B A
B A
A B A B S
B A
A B S
5. 若A B , 则称事件A与B是互不相容
所以在具体问题的研究
中, 描述随机现象的第一步
就是建立样本空间.
二、随机事件的概念
由一个样本点组成的单点集, 称为基本事件.
随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的
随机事件,简称事件. 常用大写字母A, B，C表示.
每次实验中, 当且仅当这一子集中的一个样本 点出现时, 称这一随机事件发生.
2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的
总件数. S={10，11，12，………，n，………}
3.记录一个小班一次数学考试的平均分数
（充以百分制记分）
o 1 n 100 S , n n n
n表小班人数
4.对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”， 不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检 查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两 个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100， 0111，1011，1101，1110，1111，}
例3 如图所示的电路, 以A表示 “信号灯亮” 将电器接点 这一事件, 以B, C , D分别表示事件： Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ闭合, 则BC A, BD A, BC BD A,
而B A ， 即事件B 与事件A互不相容 . 又可得
BC B C.
I II III
课堂练习
设A,B,C 表示三个随机事件, 试将下列事件 用A,B,C 表示出来.
或互斥的. 这指的是事件A与事件B不能同时发生,
基本事件是两两互不相容的.
图示 A 与 B 互斥. A B
S
抛掷一枚骰子： “骰子出现1点” 互斥 抛掷一枚硬币： “出现花面” 与 “出现字面”是互不相容 的两个事件. “骰子出现2点”
6. 若A B S且A B , 则称事件A与事件
是否合格所决定, 因此“产品合格”是“长度合格”
与“直径合格”的交或积事件. 类似地, 称 Ak为n个事件A1, A2 , Ak的积事 件, 称 Ak为可列个事件A1 , A2 , Ak的积事件.
k 1 k 1 n
和事件与积事件的运算性质
A A A, A A A, A S S, A S A, A A,
2. 每次试验的可能结果不止一个, 并且能 事先明确试验的所有可能结果;
3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.
第二节 样本空间、随机事件
一、样本空间 二、随机事件 三、随机事件间的关系及运算 重点：随机事件间的关系及运算
一、样本空间 样本点
定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称 为 E 的样本空间, 记为 S . 样本空间的元素,即试验 E 的每一个结果, 称为样本点.
说
明
1、概率群：qq:164395852 2、作业 (1)配套习题册（每章收一次作业） (2)课后习题（练习本，自做） 3 、BB课堂：“校内统一认证入口”进入，进入后 从左侧 “我的课表中”选择“概率论与数理统 计”（目标导学，内容详析，重点解析，重点 题型，选择填空答案，自测题，题型串联，微 课助学ppt) 4、平时分：20分（期中考试，作业，小测验） 5、内容：第一章～第八章第三节 6、课堂上不迟到，不早退，不缺课，不睡觉， 不讲话。每课提前预习，课后巩固。
三、随机试验
定义 在概率论中, 把具有以下三个特征的试验称
为随机试验.
1. 可以在相同的条件下重复地进行;
2. 每次试验的可能结果不止一个, 并且能 事先明确试验的所有可能结果;
3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果
会出现.
实例
“抛掷一枚硬币,观察正面H,反面T出现的情况”. 分析：(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行; (2) 试验的所有可能结果: 正面H、反面T; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个 结果会出现. 其他实例 故为随机试验.
A
B
AB
S
A
B A S
A B S 且 AB
对 立
互 斥
事件间的运算规律 设 A, B, C 为事件, 则有 (1)交换律 (2)结合律
A B B A; A B B A.
A ( B C ) ( A B) C; A ( B C ) ( A B) C . A ( B C ) ( A B ) ( A C ); A ( B C ) ( A B ) ( A C ).
四、小结
随机试验、样本空间与随机事件的关系 随机试验 样本空间
子集
随机事件
随机事件之间的关系和运算
1. 若A B,
A发生
B发生