第2章 地震信号的频谱分析
地震勘探原理第2章地震信号频谱分析课件
三、采样定理和假频问题
1、采样定理
若采样频率为fs时，信号频率为f，则满足这样的条 件，即当采样频率fs大于信号频率f的2倍时，采集到的 离散信号才能完全恢复原来的连续信号。
20
a
10
第二节 傅立叶展式的重要性质
四、时延定理
设τ是一个实值常量，而
则有 u(t) S()
u(t ) S ( )e jt
五、褶积定理
u1 (t) S1 () u2 (t) S2 ()
则有
u1(t) *u2 (t) S1() S2 ()
其中，褶积定义为：
u1 (t) * u2 (t) u1 ( )u2 (t )d
若输入信号和相应的频谱为：
x(t) X ()
系统的时间响应和频率响应为： h(t) H ()
通过系统后输出信号和相应的频谱为：
y(t) Y ()
则有
y(t) x(t) h(t)
Y () Xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ() H ()
19
第三节 地震波频谱的特征和应用
五、频率滤波参数的选择
有效波与干扰波频谱不重叠时，滤波器中心频率应与 有效波主频相同； 通频带越窄，选择性越好，但分辨能力降低，只适用 于厚层的研究，反之亦成立； 地层变深，地震波主频降低，因此应采取时变滤波器； 应首先对地震资料进行频谱分析，做频率扫描，了解 有效波和干扰波的频谱规律，通过试验选取合适的滤 波器。
1
信号的合成和分解
• 一个复杂的信号可以分解成不同 频率的正弦信号。
• 不是所有的信号都可以分解（哪 怕无限多个）简谐振动的。数学 上确立了确切的条件，即狄利克 莱（Dirichlet)条件。
地震信号时频谱分析技术在储层分析中的应用
地震信号属于非平稳信号 ，信号的功率潜密度是时变的。地震波在地层介质传
播 过程 中 ，除 了 岩 石 固有 的散 射 和 吸 收 衰 减外 影 响频 率 外 ，地 震 波 在 穿过 流 体 时 ， 高 端 频 率 能 量 将 被 吸 收 ，这 是 时 频 分 析 技 术 应 于 储 层 分 析 与 油 气 检 测 的理 论 基
技术创新 ｌ ３ １
地震信号是典 型的非平 稳信 号，信号的功率谱 密度是 时变的，时频分析 方法
地震信号时频谱分析技术在储层分析
在 非平 稳信号 分析方 面，具有 独特优 势。本 文应用 目前常用 的时频 分析技 术对
Ｘ Ｇ 油 田 井 旁道 进 行 分析 比较 ，揭 示 了时 频 分 辨 率 Ｓ 变 换 与 小 波 变换 较 好 ， 频 率 衰
层对高频吸收有突出贡献时 结 构分 析和 沉 积旋 回研 究 等 方面 。
地震波的衰减反映了地震波在介质中传播的本征属性。因此 ，地震波在介质传
播 中的衰 减 必然 包含 了 该地 层 的岩 性 和流 体 特征 。 自１ ９ ９ ９年Ｐ ａ ｒ ｔ ｙ ｋ ａ 等 利用 频 谱分 解
技术刻画了地质体的不连续性 和河道走向之后 ，该技术在国内外油 田储层分析及预
息 小波变换和广义 Ｓ变换克服了短时傅 里叶变换分析时窗固定 的缺陷 ，具有多分
辨 率 的能 力 ，且 汁算 效 率高 ，如今 已经 广 泛 用于 三维 地震 资 料 的频 潜分 析 。 本 文在 阐述 地 震信 号 Ｓ变换 时 频 谱 分解 的算 法 原理 基 础 上 ，通 过 对 比几 种 常 用
“ 相 位 校 正”。 函数ｈ （ ｔ ） 的ｓ 变 换 表示 为 ：
『 － — ｆ ￣ （ ｒ — － ｔ ） ｍ １ １， Ｉ Ｓ （ ｒ ， ｎ：Ｉ （ ， ） 士 Ｘ ｅ Ｌ ３ ｅ 一
地震信号的时-频分析
第22卷 第4期2000年12月西 北 地 震 学 报NORTHWESTERN SEISMOLO GICAL JOURNALVol.22 No.4Dec.,2000地震信号的时2频分析3许康生(中国地震局兰州地震研究所,甘肃兰州 730000)摘要:通过对单频正弦波和实际地震信号的对比分析,表明时频分析应用于地震信号处理是有效的和可靠的,尤其是在希望获得频率成分随时间变化的规律时有普通傅里叶变换所不具有的优点.主题词:正弦波;傅里叶变换;地震信号;时2频分析中图分类号:P315.3+1 文献标识码:B 文章编号:1000-0844(2000)04-0479-040 引言对于地震的认识和研究大体可分为3个环节:一是如何获得全面、可靠、真实的地震记录,即如何获得信息,这是地震观测技术所追求的目标,如模拟地震仪向数字地震仪的发展就使获取地震信息的频带更宽、动态范围更大、分辨率更高,也就是说取得的信息内容更丰富全面.二是如何对地震信息进行分析处理,更深入更有效地提取有用信息.三是如何对结果进行地震学和地球物理学方面的解释,得出结论.本文的工作主要侧重于第2个环节.自1807年法国工程师Fourier提出傅氏变换以来,随着数学和计算技术,特别是计算机技术的迅速发展,傅氏分析成为各学科进行信号分析的重要手段和工具,其数学描述为F(ω)=∫∞-∞f(t)e-jωt d t(1)逆变换为f(t)=12π∫∞-∞F(ω)e jωt dω(2) 傅氏变换的数学意义是使得微分、积分、卷积等运算经傅氏变换简化为一般代数运算,其物理意义在于通过变换将时域和频域联系在一起,在时域内隐藏的现象和特征在频域内突现出来,所以,傅氏变换在包括地震学在内的各学科得到广泛的应用至今,尤其对于平稳信号的分析处理[1,2].由式(1)、(2)可知,信号时域内是时间的函数,在频域内是频率的函数.当希望知道随时间的推移,信号频率成分的变化规律和特征时,傅里叶变换就表现出它的局限性,因为频域内某一频点的幅值是由时间域上整个波形所决定的,某一时刻的状态是由频谱在整个频域上的贡献确定的.为了克服傅氏分析这一缺点,这就需要一种能够在时域局部进行频谱分析的数学方法.1 信号的时2频分析1946年,G abor发展了付氏变换,提出时频分析的一种具体方法———短时傅里叶变换(STFT),数学表达式[3]为F(τ,ω)=∫∞-∞f(t)g(t-τ)e-jωt d t收稿日期:20002022093中国地震局兰州地震研究所论著编号:LC2000036作者简介:许康生(1963-),男(汉族),甘肃武威人,工程师,主要从事地震监测和地震信号处理工作.上式可改写为F (τ,ω)=∫∞-∞f (t +τ)g (t )e -j ωt d t 表示窗口不动,信号沿时间轴滑动.对时间离散化,取t =m T ,τ=n T ,则STFT 可表示为F (n ,Ω)=∑∞m =-∞f (m +n )g (m )e -i Ωm其中,Ω=ωT ,T 为采样间隔,n 为数据点数,m 为窗宽度.g (m )为窗口函数.短时性是通过时域加窗来实现,F (n ,Ω)反映了f (n )在时刻m 的频谱的相对含量.本文资料的计算处理是在MA TLAB5.2环境下自编程序实现的[4,5].由于这一方法仍受测不准原理的约束,不能同时取得高时间分辨率和高频率分辨率,在窗宽度选择上必须考虑信号处理的目的,若信号处理的目的侧重于频率分辨,窗宽度选择可适当取大,若侧重于时间分辨,窗宽度可适当取小.本文主要讨论的是这一方法对地震信号处理的可靠性和有效性,在窗宽度的选择上作了折中处理,两者兼顾.窗函数采用汉宁(Han 2ning )窗,窗宽度为512点.汉宁窗的函数表达式为w (k )=0.5[1-cos (2πkm +1)] k =1,2,…,m结果显示横轴为时间(s ),某一频点的幅值大小由灰度表示,约定幅度值由小到大,对应图上是从白到黑.2 单频正弦信号的时2频分析为了验证时频分析及程序的有效性和真实性,首先对已知的单频正弦波序列信号进行计算处理.信号数据包含17个正弦波频点,按图上的顺序依次为0.010、0.014、0.020、0.033、0.05、0.066、0.1、0.2、0.5、1、2、5、10、15、18、20、22Hz ,由数字地震仪记录,地震计为FBS 23,频带范围20s 220Hz ,数据采集器为16位分辨率.17个频点的正弦波时域记录和时频分析结果见图1,显示出各频点在时间轴上出现的情形,频率计算及随时间变化出现的位置正确,灰度表示的振幅大小与时序图一致.由此可以认为,时频分析方法对信号的分析处理是有效可靠的.图1 正弦波序列及其时2频分析结果Fig.1 Sine wave series and their time 2frequency analysis results.84 西 北 地 震 学 报 第22卷3 地震实例的时2频分析3.1 对一个地震的时2频分析随意抽取1996206201天祝地震记录为例进行处理,结果显示于图2.图2 1996年6月1日天祝地震记录及其时2频分析Fig.2 The records and their time 2frequency analysis of the Tianzhu earthquake on J un.4,1996.图2显示出主要震相出现时频率成分变化的时间特征,相信,这对于震源物理过程及区域构造的深入研究是一种有用的分析方法.3.2 对地震序列的时2频分析本文选用CDSN 兰州台记录的天祝地震(1996206201M S 5.8)序列16个地震P 波的资料进行计算处理,主要是因为作者曾用几种频谱分析方法[6](普通傅里叶变换、最大熵谱法等)对其作过分析,结果不仅显示出震前、大震期间、震后这一大时间尺度上地震谱结构的变化,而且这一方法还显示出每个地震P 波频率变化的时间特征.仍用这些资料进行时频分析,旨在使结果具有对比意义,验证时频分析方法对地震信号处理的真实性、有效性和其对有用频谱成分的分辨率.限于篇幅,在此仅给出4例地震(1995206204,1996204226,1996206201,1996212228)的时2频分析结果,见图3.从图3中可以看出,天祝地震前(1995206204)和震后半年(1996212228)地震P 波高频成分在3.8～4.2Hz 的范围内;震前一个多月(1996204229),地震P 波初动1.5s 后出现4.2～4.8Hz 的频率成分,1996206201大震期间,地震的整个P 波含有5～5.2Hz 和6.1～6.4Hz 的高频成分.这与作者以前用其它谱分析方法得出的结果相吻合.而且,清楚地显示出震前、地震期间地震频谱中高频成分出现的时间特征,这是普通傅氏变换所不具有的优点.4 结语(1)正弦波序列的时频分析结果表明,时2频分析对信号处理,无论是在时间轴上还是频率轴上计算结果都是真实可靠的.(2)对地震信号实例的计算结果不仅显示出震前、大震期间、震后地震频谱成分的明显变化,而且能显示地震波在时序上的变化特征,这对于深入研究地震的物理过程、反演区域构造也是有益的.由于本文重点在于讨论分析方法,对于地震频率成分在时域上变化的地球物理和地震学方面的意义未展开讨论,这将是今后进一步开展的工作.(3)时2频分析方法建立在平稳信号分析的基础之上,受测不准原理的约束,不能同时在时域和频域上获184第4期 许康生:地震信号的时2频分析 图3 天祝地震序列P波的时2频分析Fig.3 Time2frequency analysis of P wave for the Tianzhu earthquake series.得高分辨率,应用时应根据信号处理的侧重点适当选取窗宽度.闵祥仪研究员对本文提出了宝贵的修改意见,谨此致谢.[参考文献][1] 吴湘淇.信号系统与信号处理[M].北京:电子工业出版社,1996.[2] 赵松年,等.子波变换与子波分析[M].北京:电子工业出版社,1997.[3] L科恩著,白居宪译.时2频分析:理论与应用[M].西安:西安交通大学出版社,1998.[4] 高俊斌.MATLAB5.0语言与程序设计[M].武汉:华中理工大学出版社,1998.[5] 楼顺天,李博菡.基于MATLAB的系统分析与设计的信号处理[M].西安:西安电子科技大学,1999.[6] 许康生,周志宇,李英.天祝地震前后地震的谱结构变化[J].高原地震,1999,11(1):48—52.(下转478页)传输,又将台网的监测孔径扩大到150多公里,大大提高了合肥数字遥测台网的监测能力.达到了该台网系统技术方案设计要求.3 结语数据复分复接技术应用于数字化地震台网建设有着十分重要的意义,当然也要根据每个台网建设特点和要求来确定,实现的过程也会有所不同,特别是信道条件,应根据自己的优势、技术方案和数据量大小,采取不同级联方式,否则也会降低系统的效率.该项工作得到了福建省地震局陈文明总工、朱海燕主任、北京英连科公司杨文刚同志的帮助指导,在这里表示谢意.[参考文献][1] Bylanski P,Ingram D G W著(迟惠生译).数字传输系统[M].北京:人民邮电出版社,1979.[2] 朱海燕,等.无线扩频技术在数据传输中的应用[J].福建地震,1998,(2):9—13.THE APPL ICATION OF THE DATA COMPOUN D AN D DECOMPOSITE TECHN OLOG YIN DIGITIZE D RADIO TE L EMETR Y NETWORKZHAO Jian2he1,GE Ning1,XU Yan2,YUAN Hong2zhong3(1.Seismological B ureau of A nhui Provi nce,Hef ei 230031,Chi na;2.Seismological B ureau of Huai nan City,Huai nan 232001,Chi na;3.Seismological B ureau of L u’an City,L u’an 237002,Chi na)Abstract:The basic principle and linking method of the data composite and decomposite technolo2 gy are expounded.The MPX1059data compounding equipment is applied in relay transferring of the Hefei digital radio2linked telerecording seismometer network and good results have been achieved.K ey w ords:Digital seismic net w ork;Seismic data;Composite and decomposite technology;Re2 lay transferring(上接482页)TIME2FREQUENCY ANALYSIS OF THE EARTHQUAKE SIGNALSXU Kang2sheng(L anz hou Instit ute of Seismology,CSB,L anz hou 730000,Chi na)Abstract:Time2frequency analysis method is further expansion of Fourier transform.Earthquake signals may be decomposed into different frequency section on time2axis by time2frequency analysis method.Emulation study results show that time2fequency analysis method has a series of advan2 tages while FF T methods do not have.The method is very effective in signals analysis.K ey w ords:Sine w ave;Fourier transform;Earthquake signal;Time2frequency analysis。
Chp2S1-S6地震信号的频谱分析
器)的取样间隔为△t=0.005s，也可以说，它的取样
频率fn是200次/s。
从上面的具体例子可以看出：
取样频率为200次/s时，对于频率小于 等于100Hz的信号，用取样值能恢复出原 来的连续信号。
即对于其频率小于等于取样频率一半 的信号，取样后不会产生新的频率成分。 这也就是取样定理的结论。
u=Acos(ωt+α) (2－1－2) 这里A是振幅，ω是圆频率，α是初相位。
如果按三角学公式将上式展开，又可以写成
函数u(t)的频谱用图表形式表示，可以画出u(t) 的“振幅谱”和“相位谱” 如图2-1-5所示 。
图2-1-7(b)是一个非周期振动和组成它的一些简 谐分量；图2-1-7(a)是它的振幅谱和相位谱。
图2-3-1所示是一道记录的一部分， 设时窗长度为100ms，步长是50ms。
实际地震道频谱
图左边是1.0～1.1s、1.3～1.4s、2.3～2.4s三个 时窗的波形，右边是分别计算出的频谱。
频谱的主频和频宽:
ω0是频谱的主频。 △ω=ω2－ω1叫做频谱 宽度。
第二章 地震信号的频谱分析
第四节 地震波频谱的特征及其应用
2)已知信号的图形，但不知道具体的 函数关系f(t)。
对一个给定的波形进行频谱分析的计 算方法已如上述。还要指出，当要对一道 地震记录从浅层到深层的各个反射波组连 续进行频谱分析时，因为预先不知道反射 波出现的时间，而且又要避免把反射波漏 掉，一般采用沿一个滑动时窗，按一定步 长计算一道记录各段的频谱。
时间特性系统对一个短促作用(严格说 就是对一个δ(t)的反应，用h(t)来表示。
获得一个系统的h(t)，较方便的做法也 是实际测定，即给系统输入一个很短的尖 脉冲，观测输出信号的图形。
浅谈地震频谱分析
bn ：正弦分量的分量
注：这种类型与前表中一般函数以 2l 为周期的函数情况一致，不同之处在于此式为等式，
将
l
T 2
带入原式得到（1）式
3、复数形式的傅里叶级数
由公式
sin(t)
1 2j
(e
jt
e
jt
)
cos(t)
1 2
(e
jt
e
jt
)
得
sin(nt)
1 2j
(e
jnt
e
jnt
)
cos(nt)
1 2
x(t) A0 An sin(n0t n ) n1
（6）
或 x(t) B0 Bn cos(n0t n ) （将（1）式中所有三角函数用cos表示出来） n1
将（6）式展开
x(t) A0 [ An cosn sin(n0t) An sinn cos(n0t)] n1
将（7）式与（1）式对比
这种类型与前表中一般函数以2l为周期的函数情况一致不同之处在于此式为等式带入原式得到1式3复数形式的傅里叶级数由公式为负频率是由复数引起的从实数的傅里叶级数过渡到复数形式的傅里叶级数是由用复数表示正余弦引起的
浅谈地震频谱分析
在地震勘探中经常要对单道地震数据进行频谱分析，目的是为了将复杂地震波曲线时 域显示转换为频域显示的一种过程。比较简单的一种理解是：复杂地震波可以分解成为许 多许多不同振幅、频率和初相位角的正弦波之和，将其中的两项作为自变量和因变量画在 一个直角坐标系中，由振幅和频率组成的为振幅谱，由初相位和频率组成的为相位谱。下 面详细介绍频谱分析公式推导过程。
an
bn
0 2 l
l f (x) sin n
《地震勘探原理》第2章地震信号频谱分析
二、线性叠加定理
设有N个函数 u1 (t ),u2 (t ),u N (t )
S1 (), S 2 (), S N () 分别是 u1 (t ), u 2 (t )u N (t ) 的频谱。
a1u1 (t ) a2 u 2 (t ) a N u N a1 S1 ( ) a2 S 2 ( ) a N S N ( )
2、激发条件对地震波频谱的影响
药量大，频谱向低频方向移动； 岩石致密，频谱向高频方向移动。
3、不同类型的反射波频谱有差异
同一界面的反射纵波比反射横波频率较高，原因主要是横波 高频成分被吸收严重。
4、相同类型的反射波随传播 距离增加，频率降低
14
第三节 地震波频谱的特征和应用
二、地震勘探中频谱的应用
fs f
2
f s 时，有
fa f fs
16
第三节 地震波频谱的特征和应用
四、线性时不变系统
在信号的传递过程中，所涉及的是一个信号系统，多 数情况下，以知道信号的激发(输入)和接收(输出)，中 间过程是未知的。 这个系统实质是一个滤波系统。
17
第三节 地震波频谱的特征和应用
线性时不变系统具有如下的特点：
地震勘探原理
第二章 地震信号的频谱分析
第一节 频谱分析概述 第二节 傅立叶展式的重要性质 第三节 地震波频谱的特征和应用
1
第二章 地震信号的频谱分析
第一节 频谱分析概述
所谓频谱分析，就是利用付立叶方法来对振动信号进行分解并 进而对它进行研究和处理的一种过程。
一、频谱的基本概念 1、频谱(Spectrum):
bn u(t ) sin ntdt
T 2 T 2
浅谈地震频谱分析
x(t) cne jn0t t [t0 , t0 T ] n
式中： 0
2 T
， cn
1 T
t0 T x(t)e jn0t dt
t0
四 离散频谱
1、三角形式傅里叶级数展开式（1）中，因为
sin(n0t
)
cos(n0t
2
)
cos(n0t
)
sin(n0t
2
)
所以它可以单独表示成不同相位角的 cos(n0t) 或 sin(n0t) 的级数，表示为
(e
jnt
e
jnt
)
用新系数表示
x(t) a0 [an cos(n0t) bn sin(n0t)] n1
a0
[an
n1
1 2
(e jn0t
e jn0t ) bn
1 2j
(e jn0t
e jn0t )]
a0
[( an n1 2
bn )e jn0t 2j
(
an 2
bn )e ] jn0t 2j
aa0n
A0 An
sin n
bn An cosn
由上式得
an2 bn2 An2 (sin2 n cos2 n ) An
（7）
an bn
An sin n An cosn
tann
所以， n
arctan
an bn
由 An 、n 可以确定n次谐波 An sin(n0t n )
cn 表示 cn 的模，即实部与虚部平方的和开根号
频谱分析是建立在傅里叶变换的基础上进行的，先简单介绍傅里叶级数，对傅里叶级 数的由来可以由高等数学知识获得。
一 傅里叶级数
1、设 f (x) 是以 2 为周期的函数，且在[ , ] 或[0, 2 ] 上可积，则 f (x) 的傅里叶系数
地震勘探原理重点、考点
绪论1、了解地下资源信息有那些主要手段1、地质法：(Geology Method)2、地球物理方法:(Exploration Methods ）3、钻探法：Drill Way (Log/Well ）4、综合方法：地质、物探（物化探)、钻探结合起来,进行综合勘探。
2 有几种主要地球物理勘探方法,它们的基本原理。
地震勘探、重力勘探、磁法勘探、电法勘探、地球物理测井3、什么是地震勘探？就是通过人工方法激发地震波（弹性波），研究地震波在地层中传播的规律，以查明地下的地质构造，从而来为寻找油气田或其它勘探目的服务的一种物探方法.4、地震勘探的主要工作环节。
野外资料采集、地震资料处理、地震资料解释第一章 地震波动力学地震波运动学：研究在地震波传播过程中的地震波波前的空间位置与其传播时间的关系，即研究波的传播规律，以及这种时空关系与地下地质构造的关系。
地震波动力学：研究地震波在传播过程中波形、振幅、频率、相位等特征的及其变化规律,以及这些变化规律与地下的地层结构，岩石性质及流体性质之间存在的联系.地震波：一种在岩层中传播的、频率较低的弹性波。
波阵面—波从震源出发向四周传播，在某一时刻，把波到达时间各点所连成的面，简称波面. 波前—某一时刻介质中刚开始振动与静止时的分界面。
波后—振动刚停止时刻的分界面为波后，也叫波尾。
波线-在一定条件下,认为波及其能量是沿着 一条“路径”从波源传到所观测的一点P .这是一条假想的路径，也叫射线。
是用来描述波的传播路线的。
振动曲线-—某点振动随时间的变化的曲线称为，也称振动图。
一条振动曲线只反映一个点的振动。
波形曲线-把在同一时刻各点的位移画在同一图上形成的曲线。
波形曲线表示某时刻各点振动位置 与各点位置的关系.不同的时刻有不同的波形曲线。
视速度—当波的传播方向与观测方向不一致（夹角θ）时，观测到的速度并不是波前的真速度V,而是视速度Va.透射定律1)透射线也位于入射面内，2）入射角的正弦和透射角的正弦之比等于第一和第二两种介质的波速之比，即声阻抗指的是介质（地层)的密度和波的速度的乘积(Zi=ρiVi ，i 为地层)，在地震学中称波阻抗 斯奈尔(Snell ）定律：P V V V V V V SiSi Pi pi S S P p S S P P =======θθθθθθsin sin ..........sin sin sin sin 22222211费马原理指出波在各种介质中的传播路线，满足所用时间为最短的条件(旅行时为极小）惠更斯（huygens)原理波在传播过程中，任意时刻的波前面上的每一点都可以看作是一个新的点震源，由它产生二次扰动，形成元波前,且以后时刻的新波前面的位置就是该时刻波前面所激发的所有二次波的包络面。
地震资料处理复习总结(第1-6章)
《地震勘探资料处理》第一章～第六章复习要点总结第一章 地震数据处理基础一维谱分析数字地震记录中，每个地震道是一个按一定时间采样间隔排列的时间序列，每一个地震道都可以用一系列具有不同频率、不同振幅、相位的简谐曲线叠加而成。
应用一维傅里叶变换可以得到地震道的各个简谐成分；应用一维傅里叶反变换可以将各个简谐成分合并为原来的地震道序列。
连续函数正反变换公式：dt et x X t i ωω-∞∞-⎰=)()(~ 正变换 ωωπωd e X t x t i ⎰∞∞-=)(~21)( 反变换 通常由傅里叶变换得到的频谱为一个复函数，称为复数谱。
它可以写成指数形式 )()()(|)(~|)(~ωφωφωωωi i e A e X X ==式中)(ωA 为复数的模，称为振幅谱；)(ωϕ为复数的幅角，称为相位谱。
)()()(22ωωωi r X X A +=，)()(tan )(1ωωωφr i X X -=（弧度也可换算为角度）离散情况下和这个差不多（看PPT 和书P2-3）一维傅里叶变换频谱特征：1、一维傅里叶变换的几个基本性质（推导）线性 翻转 共轭 时移 褶积 相关（功率谱），P3-72、Z 变换（推导）3、采样定理 假频 尼奎斯特频率，tf N ∆=21二维谱分析二维傅里叶变换),(k X ω称为二维函数),(t x X 的频——波谱。
其模量|),(|k X ω称为函数),(t x X 的振幅谱。
由),(k X ω这些频率f 与波数k 的简谐成分叠加即可恢复原来的波场函数),(t x X （二维傅里叶反变换）。
如果有效波和干扰波的在f-k 平面上有差异，就可以利用二维频率一波数域滤波将它们分开，达到压制干扰波，提高性噪比的目的。
二维频谱产生空间假频的原因数字滤波在地震勘探中，用数字仪器记录地震波时，为了保持更多的波的特征，通常利用宽频带进行记录，因此在宽频带范围内记录了各种反射波的同时，也记录了各种干扰波。
地震信号高分辨率时频分析方法及应用研究
摘要地震信号高分辨率时频分析方法及应用研究摘要时频分析方法作为分析时变非平稳信号的有力工具，成为现代信号处理研究的一个热点，本文从时频分析理论出发，介绍了时频分析的基本理论和传统的几种时频分析方法，主要有短时傅里叶变换、小波变换、魏格纳分布等。
与传统的时频方法相比，一种自适应时频分析方法希尔伯特-黄变换在处理分析非平稳信号具有明显的优势。
但是在其核心算法EMD存在着模态混叠问题，为了解决此问题，研究了几种改进算法，包括集合经验模态分解和互补集合经验分解。
虽然对模态混叠问题得到了一定的抑制，但是在实际应用中或多或少还是存在模态混叠现象，并且这类算法将原本简单的信号复杂化了，分离出过多的IMF分量，这就导致了本来的有效信号被过分的分割，可能使信号局部发生了畸变，或者说降低了信号的信噪比。
经验小波变换算法是一种新型的时频分析方法。
该算法打破了传统时频分析算法在自适应方面的局限性，结合了经验模式分解和传统小波变换的优势，可以将复杂信号分解为更具有物理意义的模式。
本文深入研究了经验小波变换算法的原理，对算法中存在的问题进行改进和优化，验证了经验小波变换算法作为一种新的时频分析方法在实际应用中的价值。
具体而言，针对该算法在处理复杂频谱的信号时出现的频谱划分问题，利用数学形态学在图像处理方面的优势，采用了基于morpho变换的经验小波变换算法；由于地震信号是非平稳复杂的信号，对信号的自适应性分割能力和在频谱中找到“有意义”模态的能力提出了更高的要求。
因此，研究了基于尺度空间直方图分割的Otsu法，并应用于经验小波中的信号频谱的分割，最后得到了自适应经验小波变换。
将自适应经验小波变换应用于地质正演模型与实际地震数据处理中，结果表明是一种高分辨率时频分析方法。
通过经验小波变换得到的瞬时属性更加精确有效，其分辨率与可信度也大大提高。
关键词：时频分析高分辨率经验小波变换模式分解瞬时属性Study on High Resolution Time-frequency Analysis of SeismicSignals and Its ApplicationAbstractAs a powerful tool for the analysis of time-varying non-stationary signals, time-frequency analysis has become a hotspot in modern signal processing.Based on the theory of time-frequency analysis,this thesis introduces the basic theory of time-frequency analysis and several traditional time-frequency analysis methods, including STFT,CWT and pared with the traditional time-frequency method,an adaptive time-frequency analysis method has a significant advantage in the analysis of non-stationary signals.However,In order to solve the problem of modal aliasing problems in the core algorithm EMD.We have proposed several improved algorithms that include EEMD and CEEMD,Although the modal aliasing problem has been suppressed,but in reality there are more or less modal aliasing phenomenon,and this algorithm will be the original simple signal complexity,and isolated too many IMF components.This leads to an excess of the original effective signal,which may cause the signal to be partially distorted,or to reduce the signal-to-noise ratio of the signal.The empirical wavelet transform algorithm is a new method of time-frequency analysis.The algorithm breaks the limitation of the traditional time-frequency analysis algorithm in the adaptive bining the advantages of the empirical mode decomposition and the traditional wavelet transform,the complex signal can be decomposed into a more physical mode.In this thesis,the principle of the empirical wavelet transform algorithm is studied in detail,and the existing problems in the algorithm are improved and optimized.The value of the empirical wavelet transform algorithm as a new time-frequency analysis method in practical application is verified. In this thesis,we propose an empirical wavelet transform algorithm based on morpho transform,which is based on the advantages of mathematical morphology in image processing,in order to solve the problem of spectrum partitioning when dealing with complex spectrum signals.Because our seismic signals are non-stationary and complex signals,we have made higher demands on the adaptive segmentation capability of the signal and the ability to find"meaningful"modalities in the spectrum. Therefore,the Otsu method based on histogram segmentation is studied and applied toAbstractthe segmentation of signal spectrum in empirical wavelet.Finally,adaptive wavelet transform is obtained.It is a high-resolution time-frequency analysis method to apply the adaptive empirical wavelet transform to the geological forward model and the actual seismic data.Since the instantaneous properties obtained by empirical wavelet transform are more accurate and effective,the resolution and credibility are greatly improved.Keywords:Time-frequency analysis,High resolution,Empirical wavelet transform Mode decomposition,Instantaneous property目录摘要 (I)Abstract (II)第1章引言 (1)1.1选题依据及研究意义 (1)1.2国内外研究现状 (2)1.3研究内容 (3)第2章时频分析基本理论和方法概述 (5)2.1时频分析基本理论 (5)2.1.1非平稳随机信号 (5)2.1.2时频分析的基本概念 (6)2.1.3解析信号的基本概念 (7)2.1.4瞬时频率 (7)2.1.5信号分辨率 (8)2.2时频分析基本方法 (10)2.2.1短时傅里叶变换 (10)2.2.2小波变换 (11)2.2.3Wigner-Ville分布 (13)2.2.4平滑伪Wigner-Ville分布 (14)2.2.5希尔伯特-黄变换 (15)2.3本章小结 (18)第3章EMD及其改进方法研究 (19)3.1EMD的基本性质及存在的问题 (19)3.1.1EMD的基本性质 (19)3.1.2EMD方法存在的问题 (20)3.2集合经验模态分解（EEMD） (20)3.3互补集合经验模态分解（CEEMD） (23)3.4EMD及其改进方法存在的问题 (24)3.5本章小结 (25)第4章经验小波变换算法的分析 (26)4.1经验小波变换算法 (26)4.1.1经验小波的定义 (26)4.1.2频谱划分 (28)4.1.3窗的选取 (28)4.1.4经验小波变换 (29)4.2EWT方法对信号测试与分析 (30)4.3基于Morpho变换的EWT算法改进 (34)4.3.1EWT算法存在的问题分析 (34)4.3.2数学形态学滤波 (35)4.3.3基于Morpho变换的EWT算法改进 (36)4.4EWT的频谱的自适应分割 (39)4.5本章小结 (42)目录第5章自适应EWT算法在地震信号分析中的应用 (43)5.1自适应EWT方法仿真测试效果分析 (43)5.2自适应EWT方法对正演模型验证分析 (45)5.2.1层状介质模型 (46)5.2.2楔状介质模型 (51)5.3实际地震资料处理分析 (54)5.4本章小结 (56)结论与认识 (57)致谢 (58)参考文献 (59)攻读学位期间取得学术成果 (62)第1章引言第1章引言1.1选题依据及研究意义二十一世纪是信息技术飞速发展的时代，信息科学与技术的飞速发展，极大地影响到社会的经济活动和人民的生活方式。
agp6-2B--(7)地震波的频谱和振幅
g (t ) A0 A1 cos(0t 1 ) A2 cos(20t 2 ) An cos(n0t n )
式中各项为不同振幅、不同频率、不同相位的简谐振动。如
果把各个分震动的振幅A和圆频率的关系表示在A为纵坐标，为
横坐标的坐标平面内，所得图像就为振幅谱。
非周期振动的振幅谱
地震波的频谱：地震波是非周期的脉冲振动，其振幅谱主要
用主频和频宽两个参数来描述。主频是振幅谱的峰值频率， 即频谱曲线极大值所对应频率。频宽是振幅谱的峰值的 0.707倍对应的两个频率值之间的频率范围。一般，反射波 的能量主要分布在30—70Hz频带内。且，浅层反射波的频率
较高，中、深层反射波的频率较低。
(7)地震波的频谱和振幅 振幅谱A(f)和相位谱(f)：地震波随传播距离的增加和深
度的加大，波的频率会发生变化，高频成 分逐渐被吸收，使视周期变大，延续时间 增长。研究振幅和相位随频率的变化规律， 叫频谱分析，前者称为振幅谱，后者称为 相位谱。
复杂周期振动的频谱：一个复杂的周期振动是由许多不同
频率的简谐振动合成的，可以利用傅立叶级数展开为许多 简谐振动，其数学表示为
地震波振幅的影响因素：
激发条件的影响：包括激发方式、激发强度等 接受条件的影响：包括检波器、放大器的频率改造等 波传播机制的影响：包括波前扩散、地层吸收、反射与透射损
失等。
波前扩散（球面扩散）：随传播距离的增大
，波前球面扩展，但总能量不变，而使
地震信号的频谱分析
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四、线性时不变系统的滤波方程
滤波方程
若： 输入信号及频谱为： x(t) X () 输出信号及频谱为： y(t) Y () 系统时间及频率特性为： h(t) H ()
则： y(t)=x(t)*h(t) ---时域褶积
Y () X ()H () ---频域乘积
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四、线性时不变系统的滤波方程
线性时不变系统的特点：
1 设输入x1(t)产生的输出为y1(t)，输入x2(t)产生的输出为 y2(t) ，a、b为任意常数。如果输入 a x1(t) +b x2(t) ，恒有输出a y1(t) +b y2(t) ，则称这个系统 为线性的。
2 设输入x(t)，产生的输出为y(t) ，如果对于任意值τ，输 入x(t+τ)所产生的输出为y(t+τ) ，则这个系统是时不变的。
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第2节 傅里叶展式的重要性质
三、时标变换定理
设 u(t) S() 则 u(at) 1 S( )
aa
或 u( t ) aS(a)
a
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第2节 傅里叶展式的重要性质
极限情况：狄利克莱函数，即δ函数。
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第2节 傅里叶展式的重要性质
不满足Dirchlet条件的振动曲线
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二、频谱的主要特征、相位谱、振幅谱
1、周期信号的谱—线 谱
Fourier变换
F () f (t)e jwtdt
Hale Waihona Puke f (t) 1F ()e jwtd
2
振幅谱
地震信号的时频分析
地震信号的时频分析摘要:石油勘探目前应用最主要的勘探手段是地震勘探方法,通过对所得的地震信号分析,我们就可以获得地层信息,从而分析地层的结构及含油气情况,通过研究表明,地震信号的频率域里包含着丰富的含油气信息,所以对地震信号的时频分析可以有助于我们寻找油气资源,给我们提供更多的油气信息。
本文主要是利用小波变换对单道地震信号做了时频分析研究。
关键词:小波变换时频分析地震信号石油是国家的命脉,目前石油的开采主要采用的是地震勘探方法,地震勘探所获得的地震信号里面包含着多种频率信息,通过小波变换,可将时间域地震记录转换为频率域,从而获得许多在常规地震剖面上所没有的信息。
由于构造运动具有周期性,海平面是有规律的升降,地层的沉积也表现出相应的韵律性和旋回性,而这种旋回性恰好与时频特征的方向性具有一致的特点。
因此,通过时频分析,研究时频特征与地层结构及含油气的内在联系,便有可能解决勘探工作中的许多难题。
1 小波变换小波变换是时间与频率局部化的分析,它是通过不断伸缩与平移小波来达到对信号逐步多尺度的细化,从而达到在高频信号的地方时间细分,在低频信号的地方频率细分,能自动的服从时频信息的分析要求,因而它可以聚焦到信息任意细节上,从而解决了傅氏变换存在的不足,成为继傅氏变换后科学上又一个重大的突破。
小波变换是一种重要的线性时频分析方法。
它不仅继承和发展了短时傅里叶变换的局部化思想,而且克服了短时傅里叶窗口大小不随频率变化,缺乏离散正交基的缺点,它的出现对应用科学产生了强烈冲击,是比较有效的信号分析工具。
像傅里叶变换一样,小波分析就是把一个信号分解为将母小波经过缩放和平移之后的一系列小波,因此小波是小波变换的基函数。
小波变换可以理解为用经过缩放和平移的一系列小波函数代替傅里叶变换的余弦和正弦波进行傅里叶变换的结果。
正弦波从负无穷一直延续到正无穷,正弦波是平滑而且是可预测的,而小波是一类在有限区间内快速衰减到0的函数,其平均值为0,小波趋于不规则,不对称如图1所示。
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总之，采样不足有两个影响： （a）连续信号的频谱是带限的，最大频率是 Niquist频率； （b）数字信号的谱被Niquist频率以外的高频 所污染，它会出现在连续信号中。
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第二节 傅立叶变换的重要性质
一
唯一性定理
u1 ( )u2 (t )d S1() S 2()
u1 (t )* u 2 (t) u1( )u 2(t ) d
两个函数褶积的频谱等于它们的频谱的乘积
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傅里叶变化实例
1, x 0 f ( x) 1,0 x
u(t)
S(ω)
给定u（t），只能求出一种展式； 给定展式，也只能定出一种u（t）。
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二
线性叠加定理
a1u1 (t ) a 2u2 (t ) .......... a N uN (t ) ......
a1S1 ( ) a2 S2 ( ) ....... aN S N ( )
一 基本概念
频谱分析：frequency spectral analysis
就是利用傅立叶方法对振动信号进行分解并进而对 它进行研究和处理的一种过程 傅立叶：Fourier
F ( )
f (t )e jt dt
1 f (t ) 2
F ( )e jt d
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2)
激发条件对地震波频谱有一定的影响 在用炸药激发，药量增大时
地震波的频谱移向低频 高分辨率地震勘探
用小药量，多井组合激发
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3) 不同类型的地震 波频谱有一定差别
频宽： 4~12hz
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4) 同类型的地震波随 着传播距离的增加，因 为高频成分被介质吸收， 频谱中低频成分增强。
特例 N＝1 au(t) aS(ω)
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三 设
则
或
时标变换定理 u(t)
u(t/a)
u（at）
S(ω)
aS(ω)
1/aS(ω/a)
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四 设
时延定理 u(t) S(ω)
j . .
u(t ) S ( )e
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五 设
褶积定理 u1(t) u2(t) S1(ω) S2(ω)
u1(t)=Acos(ωt+α)
A, ω, α 振幅，频率和初相位 u1(t)=Acos(ωt+α) ＝ A【cosωtcos α－sin ωtsin α】
＝acos ωt＋bsin ωt
其中，a＝Acos α, b=-Asin α
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第三节 频谱资料的获得与整理 一 获得信号的频谱的方法简介 1 连续信号f（t）的频谱F（ ω）
地震勘探原理
◙绪论 ◙第一章 几何地震学
◙第二章 地震信号的频谱分析
◙第三章 地震数据采集 ◙第四章 地震勘探组合法
◙第五章 多次覆盖方法
◙第六章 地震波速度
◙第七章 地震勘探资料解释
◙第八章 几种专门的地震方法
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1
地震信号的频谱分析 seismic signal frequency spectral analysis 第一节 频谱分析概述
F ( ) f (t )e
j . .t
dt
2
离散信号的频谱
FFT
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离散傅里叶变换实例 频率为 20Hz的正 弦信号X1 （时间域）
上述信号 对应的频 谱
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9
频率为 50Hz的正 弦信号X2 （时间域）
上述信号 对应的频 谱
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10
噪声信号 noise（时 间域）
矩形波
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n=1
n=3
n=5
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n=7
n=9
n=21
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n=101
n=201
n=501
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本章思考题：在网上查找C语言（快速）傅里 叶变换源程序，并调试成功，画出雷克子波 （参数自己给定）的振幅谱。 或者：使用matlab傅里叶变换工具（fft等）， 画出雷克子波的振幅谱，并实现傅里叶变换的 重要性质1~5.
上述信号 对应的频 谱
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二
地震频谱资料的计算，整理和显示中的一些问题
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主频 0 频带宽度＝ 2 1
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第四节 地震频谱的特征及其应用
一 各种地震波的频谱特征
1) 与地震勘探有关的一些波的频谱特点
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上述信号 对应的频 谱
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11
信号 X1+X2 （时间域）
上述信号 对应的频 谱
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信号 X1+noise （时间域）
上述信号 对应的频 谱
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13
信号 X2+noise （时间域）
上述信号 对应的频 谱
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14
信号 X1+X2+noise （时间域）
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2
简谐振动三要素
＋
振幅:A 频率:ω 初相位:
＝
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3
频谱： 一个复杂的振动信 号，可以看成是由 许多简谐分量叠加 而成；那许多简谐 分量及其各自的振 幅，频率和初相位， 叫那个复杂振动的 频谱
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4
二 频谱图
周期函数的傅立叶展开 u(t)=u(t+nT) n=0, ± 1, ±2 ±3,…………. T:周期 简谐振动 u1(t）
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二
野外地震仪器记录频率范围的选择
三 地震信息取样间隔选取的原则
－－－－取样定理
1 t 2 fc
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采样不足的影响
一般来说，给 定采样间隔 t ，则可恢复的 最高频率是 1/(2t ) ，称为尼奎斯 特（Niquist）频 率。
（a）连续模拟信号；（b）数字信号；（c）重建的模拟 信号；连续模拟信号数字化后会失去尼奎斯特频率以上 的频率（数据由Rothman提供，1981）
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四 取 样 不 足 造 成 假 频
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25Hz，2ms采样的正弦波在用4ms和8ms重采样时保持不变
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采样率=2ms
75Hz，2ms采样的正弦波当用4ms重采样时保 持不变，而用8ms重采样时变成50Hz的正弦波。 后者就是正弦波的假频
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