涡度方程和散度方程
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《动力气象学》
第五章 环流定理·涡度方程与散度方程
涡旋运动 涡度
涡度方程
位势运动 散度
散度方程
大气原始方程组 的变形方程
2
§5.1 环流定理
1、速度环流：指速度场中某一有向闭合曲线上的速度切向
分量沿该闭合曲线的线积分。
Ca L Va dr
绝对环流随时间的变化率称为绝对 环流的加速度。在实际问题中，我们 更感兴趣的是绝对环流随时间的变化及 造成环流随时间变化的物理过程和因子。为此，首先要导出 绝对环流定理。
(5.1)式等号右边第2项为零，因为：
L a r La 0
可得绝对环流定理
daCa dCa
p r
dt dt
L
力管项
绝对环流的加速度等于 封闭曲线L所包含的力管
若力管项为零，则绝对环流守恒
dCa 0 dt
5
2、力管项存在的条件及其物理意义
利用Stokes公式，有：
N Lp r (p)ds
方向环流增强。
10
§5.2 涡度方程
1 自然坐标系中的铅直涡度分量
绝对速度：
Va V r
绝对涡度：
Va
V
( 又r)：
( r ) 2
故：
a 2
相对涡度：
V
i
j
k
i
w
v
y z
j
u
w
z x
k
v
u
Байду номын сангаас
x y
11
相对涡度的物理意义在自然坐标系中可反映得更加清楚
直观，为此将铅直涡度分量 转换为自然坐标的表达形式。
海陆风环流的形成
8
3、相对环流定理
dC ?
dt
绝对速度和相对速度的关系为： Va
V
r
LVa
r
LV
r
L
(
r)
r
Ca C C e
绝对环流等于相对环流和 牵连环流之和
C LV r
Ce
( r ) r
L
对牵连 环流：
dCa dC dCe dt dt dt
Ce L ( r ) r A ( r ) ndA A[3 r ( 3)r ] ndA
A 2 ndA A2 cosdA A 2dAe 2Ae
9
可得相对环流定理：
dC dp 2 dAe
dt
L
dt
上述等式右边第一项为力管项。第二项称为惯性项，其本质
是科氏力的环流项，因为：
dCe d
(
r)
r
d
[(
r)
r]
(
dr
)
r
(
r)
dr
dt
dt
L
L
dt
有关。
Vh 0 n
例子
急流轴
Vh 0 n
13
对不同的流型，有时曲率涡度项较大，有时切变涡度项较 大，因此在不作精确分析时，可只考虑其中较大的一项。 例如，在气旋或反气旋中心附近，可只考虑曲率涡度项， 而在锋区或急流区则可只考虑切变涡度项。
2 涡度方程
z坐标系的涡度方程的推导思路：利用X和Y方向的水平运
动方程，分别对y和x求偏导数，然后后者减前者便可。
u u u v u w u fv 1 p
1
t x y z
x
v u v v v w v fu 1 p
t x y z
y
2
对(2)进行 运算，（1）进行 运算，然后两式相减
/ x
/ y
并注意到涡度垂直分量的定义： v / x u /，y得涡度方
取沿流线的自然坐标系（图5.5），则水平风矢量为：
Vh Vh s
u
Vh
i
Vh
cos
v Vh j V hsin
则：
v x
Vh x
sin
Vh
cos
x
u y
Vh y
cos
Vh
sin
y
自然坐标系和直角坐标系
取β0的极限情况，则x方向趋于s方向，y方向趋于n方向，
涡度垂直分量可表示为：
v u x y
上式表示一个单位压容管即力管所占的面积或单位面积上的
力管数。因此N则代表L所围的力管总数（代数和）。
力管项的物理意义除了代表L所围成的力管总数（代数和）
外，从力的环流看，力管项还可表示为气压梯度力环流：
N Lp r
当曲线上的气压梯度力与路径 走向相同，则环流加强，反之 减弱。
7
大气的斜压性是力管项存在的必要条件，也是产生环流 加速度的因素，而大气的斜压性是由大气中非均匀加热所 产生。这一过程可以用来解释海陆风环流和山谷风环流等 的形成。下面以海陆风为例来说明直接热力环流的产生过 程。
w y
v z
S
其中： (p) p
若令：
B
(
p)
斜压矢量
则力管项：
N Lp r B ds
S
数学推导
力管项非零的必要条件是大气的斜压性
6
斜压矢量 的模的物理含义：
B | B || || p | sin
1
1
sin
h hp
1 sin
1
1
hp DC cos h p DC S ABCD
单位压容（力）管
dCa ? dt
3
不考虑摩擦力的绝对运动方程为：
d aVa dt
P a
(5.1)
对闭合曲线L，取上式环流积分
daVa
L dt
r
p r
L
La r
da
dt
LVa r
d aVa
r
L dt
LVa
da dt
(r )
da
dt
LVa r
d aVa
r
L dt
=0
绝对环流加速度＝绝对加速度的环流 4
Vh
s
Vh n
Vh Vh
rs
n
曲率涡度 切变涡度
12
规定在北半球：取气旋式曲率为正，反气旋式曲率为负。
曲率涡度和切变涡度的含义： 1）曲率涡度：与流线的弯曲形状有关。
c
Vh rs
气旋式弯曲：rs>0, 则
Vh rs
；0
反气旋弯曲：rs<0, 则
Vh
；
0
rs
2）切变涡度：与水平风速沿流线的法线方向的分布不均匀
L
dt L
dt
L
(
V
)
r
L
(
r)
V
L
( V
)
r
L
[(
r
)
V
] L (r ) V
L (V ) r L (V ) r 2L (V ) r L 2(V ) r
推导？
牵连环流对相对环流的影响可解释如下：在北半球如果L所包围的面
积在赤道平面上的投影Ae随时间增大，则相对环流减弱，因为环线L 扩大时，表示环线上的空气微团有向外的法向速度分量Vn，这样对应 Vn的科氏力与L方向（逆时针）相反，故科氏力使得L方向的环流减弱 ；反之环线缩小，则法向速度向内，科氏力与L方向相同，因此使得L
程：
u v w ( f )(u v ) v w u w
t x y z
x y z x z y
1
2
(
x
p y
y
p ) x
u
f x
v
f y
而
f (2 sin ) 2 cos
y
a
a
则涡度方程变为：
t
Vh h
w
z
v (
f ) Vh
1
2
(
x
p y
y
p ) ( u x z
第五章 环流定理·涡度方程与散度方程
涡旋运动 涡度
涡度方程
位势运动 散度
散度方程
大气原始方程组 的变形方程
2
§5.1 环流定理
1、速度环流：指速度场中某一有向闭合曲线上的速度切向
分量沿该闭合曲线的线积分。
Ca L Va dr
绝对环流随时间的变化率称为绝对 环流的加速度。在实际问题中，我们 更感兴趣的是绝对环流随时间的变化及 造成环流随时间变化的物理过程和因子。为此，首先要导出 绝对环流定理。
(5.1)式等号右边第2项为零，因为：
L a r La 0
可得绝对环流定理
daCa dCa
p r
dt dt
L
力管项
绝对环流的加速度等于 封闭曲线L所包含的力管
若力管项为零，则绝对环流守恒
dCa 0 dt
5
2、力管项存在的条件及其物理意义
利用Stokes公式，有：
N Lp r (p)ds
方向环流增强。
10
§5.2 涡度方程
1 自然坐标系中的铅直涡度分量
绝对速度：
Va V r
绝对涡度：
Va
V
( 又r)：
( r ) 2
故：
a 2
相对涡度：
V
i
j
k
i
w
v
y z
j
u
w
z x
k
v
u
Байду номын сангаас
x y
11
相对涡度的物理意义在自然坐标系中可反映得更加清楚
直观，为此将铅直涡度分量 转换为自然坐标的表达形式。
海陆风环流的形成
8
3、相对环流定理
dC ?
dt
绝对速度和相对速度的关系为： Va
V
r
LVa
r
LV
r
L
(
r)
r
Ca C C e
绝对环流等于相对环流和 牵连环流之和
C LV r
Ce
( r ) r
L
对牵连 环流：
dCa dC dCe dt dt dt
Ce L ( r ) r A ( r ) ndA A[3 r ( 3)r ] ndA
A 2 ndA A2 cosdA A 2dAe 2Ae
9
可得相对环流定理：
dC dp 2 dAe
dt
L
dt
上述等式右边第一项为力管项。第二项称为惯性项，其本质
是科氏力的环流项，因为：
dCe d
(
r)
r
d
[(
r)
r]
(
dr
)
r
(
r)
dr
dt
dt
L
L
dt
有关。
Vh 0 n
例子
急流轴
Vh 0 n
13
对不同的流型，有时曲率涡度项较大，有时切变涡度项较 大，因此在不作精确分析时，可只考虑其中较大的一项。 例如，在气旋或反气旋中心附近，可只考虑曲率涡度项， 而在锋区或急流区则可只考虑切变涡度项。
2 涡度方程
z坐标系的涡度方程的推导思路：利用X和Y方向的水平运
动方程，分别对y和x求偏导数，然后后者减前者便可。
u u u v u w u fv 1 p
1
t x y z
x
v u v v v w v fu 1 p
t x y z
y
2
对(2)进行 运算，（1）进行 运算，然后两式相减
/ x
/ y
并注意到涡度垂直分量的定义： v / x u /，y得涡度方
取沿流线的自然坐标系（图5.5），则水平风矢量为：
Vh Vh s
u
Vh
i
Vh
cos
v Vh j V hsin
则：
v x
Vh x
sin
Vh
cos
x
u y
Vh y
cos
Vh
sin
y
自然坐标系和直角坐标系
取β0的极限情况，则x方向趋于s方向，y方向趋于n方向，
涡度垂直分量可表示为：
v u x y
上式表示一个单位压容管即力管所占的面积或单位面积上的
力管数。因此N则代表L所围的力管总数（代数和）。
力管项的物理意义除了代表L所围成的力管总数（代数和）
外，从力的环流看，力管项还可表示为气压梯度力环流：
N Lp r
当曲线上的气压梯度力与路径 走向相同，则环流加强，反之 减弱。
7
大气的斜压性是力管项存在的必要条件，也是产生环流 加速度的因素，而大气的斜压性是由大气中非均匀加热所 产生。这一过程可以用来解释海陆风环流和山谷风环流等 的形成。下面以海陆风为例来说明直接热力环流的产生过 程。
w y
v z
S
其中： (p) p
若令：
B
(
p)
斜压矢量
则力管项：
N Lp r B ds
S
数学推导
力管项非零的必要条件是大气的斜压性
6
斜压矢量 的模的物理含义：
B | B || || p | sin
1
1
sin
h hp
1 sin
1
1
hp DC cos h p DC S ABCD
单位压容（力）管
dCa ? dt
3
不考虑摩擦力的绝对运动方程为：
d aVa dt
P a
(5.1)
对闭合曲线L，取上式环流积分
daVa
L dt
r
p r
L
La r
da
dt
LVa r
d aVa
r
L dt
LVa
da dt
(r )
da
dt
LVa r
d aVa
r
L dt
=0
绝对环流加速度＝绝对加速度的环流 4
Vh
s
Vh n
Vh Vh
rs
n
曲率涡度 切变涡度
12
规定在北半球：取气旋式曲率为正，反气旋式曲率为负。
曲率涡度和切变涡度的含义： 1）曲率涡度：与流线的弯曲形状有关。
c
Vh rs
气旋式弯曲：rs>0, 则
Vh rs
；0
反气旋弯曲：rs<0, 则
Vh
；
0
rs
2）切变涡度：与水平风速沿流线的法线方向的分布不均匀
L
dt L
dt
L
(
V
)
r
L
(
r)
V
L
( V
)
r
L
[(
r
)
V
] L (r ) V
L (V ) r L (V ) r 2L (V ) r L 2(V ) r
推导？
牵连环流对相对环流的影响可解释如下：在北半球如果L所包围的面
积在赤道平面上的投影Ae随时间增大，则相对环流减弱，因为环线L 扩大时，表示环线上的空气微团有向外的法向速度分量Vn，这样对应 Vn的科氏力与L方向（逆时针）相反，故科氏力使得L方向的环流减弱 ；反之环线缩小，则法向速度向内，科氏力与L方向相同，因此使得L
程：
u v w ( f )(u v ) v w u w
t x y z
x y z x z y
1
2
(
x
p y
y
p ) x
u
f x
v
f y
而
f (2 sin ) 2 cos
y
a
a
则涡度方程变为：
t
Vh h
w
z
v (
f ) Vh
1
2
(
x
p y
y
p ) ( u x z