涡度方程和散度方程
第5章涡度方程和散度方程
v u x y
Vh
s
Vh n
Vh Vh
rs
n
曲率涡度 切变涡度 12
规定在北半球：取气旋式曲率为正，反气旋式曲率为负。
曲率涡度和切变涡度的含义： 1）曲率涡度：与流线的弯曲形状有关。
c
Vh rs
气旋式弯曲：rs>0, 则
Vh rs
0；
反气旋弯曲：rs<0, 则
单位压容（力）管
上式表示一个单位压容管即力管所占的面积或单位面积上的 力管数。因此N则代表L所围的力管总数（代数和）。
力管项的物理意义除了代表L所围成的力管总数（代数
和）外，从力的环流看，力管项还可表示为气压梯度力环
流：
N Lp r
当曲线上的气压梯度力与路径 走向相同，则环流加强，反之 减弱。
7
大气的斜压性是力管项存在的必要条件，也是产生环流 加速度的因素，而大气的斜压性是由大气中非均匀加热所 产生。这一过程可以用来解释海陆风环流和山谷风环流等 的形成。下面以海陆风为例来说明直接热力环流的产生过 程。
海陆风环流的形成
8
3、相对环流定理
dC ?
dt
绝对速度和相对速度的关系为：
Va
x y z x z y
1
2
(
x
p y
y
p ) x
u
f x
v
f y
而
f (2 sin ) 2 cos
y
a
a
则涡度方程变为：
t
Vh h
w
z
v (
f ) Vh
动力气象学第五章
由“涡度”概念引出“涡度方程”——用以 考察涡度随时间的变化，以及引起涡度变化 的原因。涡度方程描述了涡旋运动满足的方 程形式。
二、大尺度大气涡旋运动
1．大涡 尺度度大主气要运是动在是垂准直水方平向运上动，，即所：以
（2） “环流”的定义：
任取定一有向物质环线 l ，定义：
C＝ V dl l
（1）
（速度矢量沿一闭合路径 l 的线积分）
1）“任取定”——L氏观点：任意选取一物质 环线，此环线上的质点是确定的，环线的形状位 置是变化的。 2）物质环线是闭合的，有方向的，规定逆时针 方向为环线的正向。 3）“环流” 表示流体随闭合环线运动的趋势， 描述了涡旋的强度, 是积分量(总体量—宏观量)。 4）C>0时为正环流（也称气旋式环流），表示 空气有沿环线正方向运动的倾向；C<0时为反环 流（也称反气旋式环流），表示空气有沿环线反 方向运动的倾向。
四、位涡方程
1．位涡(Potential vorticity)：
综合动力作用和热力作用的物理量，
与
,有,关 。
位涡方程 ：
d dt
(1
a
ln )
1
ln
F
1
a
( Q ) C pT
物理量
1
a
ln
称为位涡
2.位涡方程的推导
从
d dt
(
1
a
ln
)
看：
左边包含三项：
d 连续方程
dt
d 位温方程 热力学方程
1、数学推导
大气科学名词
大气科学名词1、均质层（Homosphere）：地面到85 km之间大气成分保持定常的大气层。
2、非均质层（Heterosphere）：均质层顶110 km以上，空气成分随高度而变化的大气层。
3、均质层顶（Homopause）：均质层与非均质层之间的过渡层，距地面高度85~110 km。
4、大气边界层（Atmoshperic Boundary Layer）：又称“行星边界层（Planetary Boundary Layer）”、“摩擦层（Friction Layer）”。
大气圈的最底层，其上界离地面约600~800 m。
5、均质大气（Homogeneous Atmosphere）：假设密度不随高度变化的一种模式大气。
6、湿球温度（Wet-Bulb Temperature）：暴露于空气中而不受太阳直接照射的湿球温度表上所读取的数值。
7、干球温度（Dry-Bulb Temperature）：暴露于空气中而不受太阳直接照射的干球温度表上所读取的数值。
8、外场观测（Field Observation）：为完成某一试验计划在野外进行的现场专门观测。
9、定点观测（Fixed Point Observation）：在固定地点进行的气象观测。
10、地基观测（Ground-Based Observation）：在地表观测平台上进行的气象观测。
11、观测场（Observation Site）：安装气象仪器进行气象观测的场地。
12、观测误差（Observational Error）：又称“测量误差”。
观测值与真值之间的差。
13、地面资料（Surface Data）：地面气象观测获取的并经过整理的数据。
14、直接辐射表（Pyrheliometer）：测量给定平面上法向直射辐照度的辐射表。
15、总辐射表（Pyranometer）：测量从2π立体角落在水平面上的总辐射（太阳直接辐射与散射辐射之和）的仪器。
16、天空辐射表（Sky Radiometer Diffusometer）：测量天空散射辐射的仪器。
第三章 2涡度和涡度方程
绝对涡度个别变化
d f u v u v f dt y P x P f f u v u v u v u v f t x y x y P y P x P x P
11
10
11
1010
上式简化：
——11
对于不可压缩，水平无辐散 天气
绝对涡度守恒。
反之
，水平涡度倾斜， （产生负的垂直涡度分量） ，局地涡度减小
⑤散度项
北半球，f
0, f ,（大一个量级） f 0
f 0, f , f 0
空气辐合产生正涡度，气流做气旋式旋转 空气辐散产生辐涡度，气流做反气旋式旋转
3，涡度方程的简化
天气图上 槽线上具有曲率涡度极大值
脊线上具有曲率涡度极小值
②
切变涡度
，正涡度，气旋式切变
，负涡度，反气旋式切变
切变越大，涡度越大
天气图上急流区： 高空西风急流北侧为正涡度
高空西风急流南侧为负涡度
6．绝对涡度 绝对坐标系
V a V V e
—相对速度
V a —绝对速度 V
有 —绝对涡度
V e —牵连速度
实际上定性判断： 短波槽以相对涡度平流为主
长波槽以地转涡度平流为主——稳定，西退
③相对涡度的垂直输送
P
0 P
，相对涡度随高度增加
，相对涡度随高度减小
④涡度倾侧项
，u随高度减小，在负y方向，产生切变涡度
，ω随y轴增大
∴
，水平涡度倾斜 （产生正的垂直涡度分量） ，局地涡度增大
环流定理,涡度方程和散度方程
Ca C Ce C Ca Ce 绝对环流=相对环流+牵连环流：
故相对环流定理形如：
dCa dC dCa dCe ——（*） ，其中， dt 刚已讨论，那么 dt dt dt
Ce
？
○L A dr A d ，有： 由曲线-曲面积分转换（Stokes ）定理：
N区上升，L区下沉，近地面北风，高空南风。实际上引入地转效应后， 不应是单圈环流，而是三圈环流。这就是Hadley 等环流。 当然也可用其解释一些局地风，如海陆风，山谷风等。
RT p0
总之：斜压作用是大气运动中的一个重要因子。
6
§6.2 相对环流定理
已知，绝对速度为相对速度与牵连速度之矢量和：V V r a 两端对环线L积分： ○ LVa dr ○ LV dr ○ L ( r ) dr ，可见：
算子只对Ω运算，故 可互换，且省写下标
( r ) 2 ，代之入牵连环流的表达式（6.12），有：
Ce 2 d 2 d 2 ——（6.14）
~ 在赤道面上的投影，即其法线方向与 一致。 其中，
8
（6.14）代回到（*），有相对环流定理（Bjerknes环流定理）：
由于大中尺度运动是准水平的，故水平运动引起的垂直涡度较重要，
●
故有时又称
●
v u 为涡度 ， x y
v u ) 2 sin f x y
Ωsinφ Ω j Ω
φ
k
而绝对涡度～
a
(
——（6.27）
φ Ωcosφ
பைடு நூலகம்11
§6.4 绝对涡度矢量方程，Taylor-Proudman定理
流体的涡度、散度和形变率
15
涡度：
这样，把 称作【涡度】，是量度流体旋转程度的物 理量，它是一个矢量，有三维，所以又称为涡度矢量。 是对 这个物理量作涡度运算。 涡度的三维分量：
16
涡度与角速度：
涡度≡
涡度不但是量度流体旋转的物理量，而且其值正好等于流点 角速度的两倍。 2 V curlV
① ②
③
④
要理解涡度的物理意义，要了解以下的数学知识： 矢量代数 哈密顿算子 stokes 公式（二维曲面积分与一维曲线积分间的转换） 速度环流
2
矢量代数：矢量的正交分解 z
A Ax i Ay j Az k
大小：A A2 A2 A2 x y z Ax cos A Ay 方向： cos A Az cos A x
A B ( Ay Bz Az By )i ( Az Bx Ax Bz ) j ( Ax By Ay Bx )k i j k Ax Ay Az Bx By Bz
i j k j k i k i j i i j j k k 0
性质：
S A B
1） A B B A 2） A ( B C ) A B A C 3） A B 0 A // B 4） A A 0
矢量代数：矢量向量积的正交分量表示：
法形变率：
散度：
可见，流体散度是三个方向法形变率的和。因此又称散度 是体形变率。若流体运动只限于二维，则 又可以称为面形变率，表示了面积膨胀的速率。
第5章涡度方程与散度方程
c
Vh rs
气旋式弯曲：rs>0, 则
Vh rs
0；
反气旋弯曲：rs<0, 则水平风速沿流线的法线方向的分布不均匀
有关。
Vh 0 n
例子
急流轴
Vh 0 n
13
对不同的流型，有时曲率涡度项较大，有时切变涡度 项较大，因此在不作精确分析时，可只考虑其中较大的一 项。例如，在气旋或反气旋中心附近，可只考虑曲率涡度 项，而在锋区或急流区则可只考虑切变涡度项。
海陆风环流的形成
8
3、相对环流定理
dC ?
dt
绝对速度和相对速度的关系为： Va
V
r
LVa
r
L
V
r
L
(
r)
r
Ca C C e
绝对环流等于相对环流和 牵连环流之和
C
LV
r
Ce
(
r)
r
L
对牵连 环流：
dCa dC dCe dt dt dt
Ce
L
(
r) r
A
(
r)
ndA
S
其中： (p) p
若令：
B
(
p)
斜压矢量
则力管项：
N
Lp
r
B
ds
S
数学推导
力管项非零的必要条件是大气的斜压性
6
斜压矢量 的模的物理含义：
B | B || || p | sin
1
1
sin
h hp
1 sin
1
1
hp DC cos h p DC S ABCD
单位压容（力）管
上式表示一个单位压容管即力管所占的面积或单位面积上的 力管数。因此N则代表L所围的力管总数（代数和）。
动力气象学第4章环流定理、涡度方程和散度方程
的正方形 ABCD 边界的逆时针环流位多大？ABCD 中平均相对涡度是为多大？沿边界位 1000km 的任意正方向边界 A ' B ' C ' D ' 的逆时针环流又是多大？ 解：沿正方形 ABCD 的边 BC 的风速为 u BC ，由题中条件知 DA
10 100 ( u BC 20 ) m / s 500 由于沿 CD、 AB 的切向速度为零， 所以围绕正方形 ABCD 的先对环 流为
57
常值）对局地铅直轴的绝对角动量守恒。
图 4.2 解：绕地轴和局地轴绝对角动量为 M r cos ( u r cos ), M r ( v 1 fr ) 2 正压大气中，绝对环流守恒，即 C 2A 常数。 （1）西风环流 u 常数 , v 0 , w 0 则C
y N y ( z N z ( x N x (
所以
p p ) z z y p p ) x x z p p ) y y x
（2）若大气满足静力平衡条件 p g z 又满足准地转关系， 1 p f V g k 0
L
N d
N 3 ( 3 p ) 3 3 p
定义为力管（或斜压）矢量。试 （1）写出 N 在 i 、 j 、 k 方向的分量 N x 、 N y 、 N z ； （2）证明，若大气满足静力平衡和地转风条件，则有
u g N x N i f z v g N y N j f z f f 2 V g (V g )k N z N k V g 2T T g z 解： （1）由 N 3 3 p ( i j k ) ( p i p j p k ) x y z x y z
第5章 涡度方程和散度方程
u v u v u v p [( ) p ( ) p ] f [( ) p ( ) p ] [( ) p ( ) p ] x y x y y p x p
10-11
10-10 10-11
Vh 0 rs
Vh rs
； ； 0
2）切变涡度：与水平风速沿流线的法线方向的分布不均匀 有关。 V 0
h
n
例子
Vh 0 n
急流轴
13
对不同的流型，有时曲率涡度项较大，有时切变涡度 项较大，因此在不作精确分析时，可只考虑其中较大的一 项。例如，在气旋或反气旋中心附近，可只考虑曲率涡度 项，而在锋区或急流区则可只考虑切变涡度项。
v Vh j V hsin
则： v
Vh sin Vh cos x x u Vh cos Vh sin y y
x y
自然坐标系和直角坐标系
取β0的极限情况，则x方向趋于s方向，y方向趋于n方 向，涡度垂直分量可表示为： V V
L
Va r
L
V r ( r ) r
L
Ca C C e
C
L
V r
Ce
L
绝对环流等于相对环流和 牵连环流之和 ( r ) r
dCa dC dCe dt dt dt
对牵连 环流：
2
§5.1 环流定理
1、速度环流：指速度场中某一有向闭合曲线上的速度切向
分量沿该 dr
绝对环流随时间的变化率称为绝对 环流的加速度。在实际问题中，我们 更感兴趣的是绝对环流随时间的变化及 造成环流随时间变化的物理过程和因子。为此，首先要导出 绝对环流定理。
涡度、散度与垂直速度
涡度、散度与垂直速度，是天气分析预报中经常使用的三个物理量。
在天气学教科书(例如：朱乾根等，2000)与动力气象学教科书(例如：吕美仲与彭永清，1990)中都有详尽介绍。
本章内容，主要取材于朱乾根等的教科书。
§7.1 涡度的表达式涡度是衡量空气质块转运动强度物理量，单位为s 1。
根据右手定则，逆时针旋转时为正，顺时针旋转时为负。
从动力学角度分析，根据涡度的变化，就可了解气压系统的发生和发展。
更确切地说，我们这里的涡度是指相对涡度，其表达式为：wvuz y x k j i∂∂∂∂∂∂=Λ∇)))3V k yu x v j y w z u i z v y w ))))()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂= k j i )))ζηξ++= (7.1.1)其中)(3k w j v i u )))++=V 是三维风矢。
虽然涡度是一个矢量，但在天气分析中，一般却只计算它的垂直分量，亦即：相对涡度垂直分量或垂直相对涡度ζ。
ζ的表达式为：yu x v ∂∂-∂∂=ζ (7.1.2) 需要注意的是，在日常分析预报中说的涡度ζ，其全称应是垂直相对涡度。
将式(7.1.2)变微分为差分，得： yux v ∆∆-∆∆=&ζ (7.1.3) §7.1.2 相对涡度ζ的计算方法犹如风矢有实测风与地转风一样，相对涡度ζ有实测风涡度o ζ与地转风涡度g ζ两种。
下面分别介绍它们的计算方法。
1. 实测风涡度o ζ计算方法用实测风计算涡度时要按照式(7.1.3)所列各项分别进行。
首先把实测风分解为u 、v 分量，然后分别读取图7.1.1所示的A 、C 点的u 值和B 、D点的v 值，最后代入式(7.1.3)即得O 点的涡度：yu u x v v CA B D o ∆--∆-=ζ (7.1.4)图7.1.1 计算物理量用的正方形网格(朱乾根等，2000)2. 地转风涡度g ζ计算方法假若实测风与地转风相差很小，那么，便可用地转风代替实测风，并可根据地转风公式直接从高度场(或气压场)求算相对涡度。
总复习
题型： 题型： 1、解释下列名词的物理意义 、 2、回答下令问题 、 1＋2） （1＋2）>=60 3、 、 4、 、 5、推导题（20） 、推导题（ ）
产生机制：振荡＋ 产生机制：振荡＋传播
慢波，西风基本气流中： 慢波，西风基本气流中： 东进、西退、 东进、西退、静止 上游效应： 上游效应：
ω = uk − , c = u −
k
β
β
k
2
∂ω β cg = = u + 2 > 0; cg > c ∂k k
5、波动求解：重力外波、大气长波 （物理分析）物理（气象）模型——数 学模型——线性化——设波解——解本征 值问题、求波速c——讨论气象意义 6、滤波概念： 滤波的思想，滤波结果。
6 4 5
3、无量纲数： Ro数：定义、应用。
4，大尺度大气运动的特点： 什么是地转、准地转？ 5，正压大气、斜压大气、热成风： （1）定义 （2）天气学意义
三、涡度、散度、涡度方程： 1、定义、物理意义 2、垂直向涡度及涡度方程 涡度方程： 各项物理意义、产生机制 （引起涡度——天气系统变化的因子、机 制）
3、基本方程中有哪些波？各种波的机 制、性质？滤波条件？ 声波－大气可压缩性 重力内波——浮力振荡＋水平辐合辐散 Rossby波产生机制——β－效应） 重力外波——用自由面h体现的连续方 程——h变化，引起辐合辐散——传播 机制。 惯性波：惯性振荡＋水平辐合辐散
4、重要物理过程与机制： 、重要物理过程与机制： 1）重力外波： ）重力外波：
环流 涡度
总复习 一、基本方程组 1、物理定律： 运动学方程：牛顿第二定律； 连续性方程：质量守恒； 热力学方程、状态方程、能量方程： 2、控制大气运动的主要动力、热力过程 各项意义：影响大气运动的因子 3、z－坐标系
第三章 2涡度和涡度方程
②
切变涡度
，正涡度，气旋式切变
，负涡度，反气旋式切变
切变越大，涡度越大
天气图上急流区： 高空西风急流北侧为正涡度
高空西风急流南侧为负涡度
6．绝对涡度
绝对坐标系 V a V V e
V a —绝对速度 V —相对速度 V e —牵连速度
有
—绝对涡度
—相对涡度
—行星涡度
∵ Ve R
∴ Ve R
长波槽以地转涡度平流为主——稳定，西退
③相对涡度的垂直输送
P
0 ，相对涡度随高度增加
P
，相对涡度随高度减小
④涡度倾侧项 ，u随高度减小，在负y方向，产生切变涡度 ，ω随y轴增大
∴
，水平涡度倾斜
（产生正的垂直涡度分量）
，局地涡度增大
反之
，水平涡度倾斜，
（产生负的垂直涡度分量）
，局地涡度减小
表示气块与y轴平行的边界转动的角速度
气块做气旋式旋转——正涡度
气块做反气旋式旋转——负涡度
v u
x y
表示整个气块绕垂直轴的旋转
2．“P”坐标系的相对涡度表达式 —— ②
例：天气图上定性判断涡度
南风为正
u 0 y
北风为负 ∴槽线上为负涡度
∴脊线上为负涡度
3．地转风涡度表达式 地转风
代入②式得到：
g
vg x
ug y
g f
2z x2
2z y2
1 f
2 x2
2 y2
g f
2Z
1 f
2
—— ③
4．热成风涡度表达式 热成风
代入②式得到：
——④
5．自然坐标系中涡度表达式——直角坐标
u V cos
05_涡度、散度与垂直速度
涡度、散度与垂直速度，是天气分析预报中经常使用的三个物理量。
在天气学教科书(例如：朱乾根等，2000)与动力气象学教科书(例如：吕美仲与彭永清，1990)中都有详尽介绍。
本章内容，主要取材于朱乾根等的教科书。
§7.1 涡度的表达式涡度是衡量空气质块转运动强度物理量，单位为s 1。
根据右手定则，逆时针旋转时为正，顺时针旋转时为负。
从动力学角度分析，根据涡度的变化，就可了解气压系统的发生和发展。
更确切地说，我们这里的涡度是指相对涡度，其表达式为：wvuz y x k j i∂∂∂∂∂∂=Λ∇ 3Vk yu x v j y w z u i z v y w)()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=k j iζηξ++= (7.1.1)其中)(3k w j v i u++=V 是三维风矢。
虽然涡度是一个矢量，但在天气分析中，一般却只计算它的垂直分量，亦即：相对涡度垂直分量或垂直相对涡度ζ。
ζ的表达式为： yu xv ∂∂-∂∂=ζ (7.1.2)需要注意的是，在日常分析预报中说的涡度ζ，其全称应是垂直相对涡度。
将式(7.1.2)变微分为差分，得： yu xv ∆∆-∆∆=ζ (7.1.3)§7.1.2 相对涡度ζ的计算方法犹如风矢有实测风与地转风一样，相对涡度ζ有实测风涡度o ζ与地转风涡度g ζ两种。
下面分别介绍它们的计算方法。
1. 实测风涡度o ζ计算方法用实测风计算涡度时要按照式(7.1.3)所列各项分别进行。
首先把实测风分解为u 、v 分量，然后分别读取图7.1.1所示的A 、C 点的u 值和B 、D 点的v 值，最后代入式(7.1.3)即得O 点的涡度： yu u xv v CA BD o ∆--∆-=ζ (7.1.4)图7.1.1 计算物理量用的正方形网格(朱乾根等，2000)2. 地转风涡度g ζ计算方法假若实测风与地转风相差很小，那么，便可用地转风代替实测风，并可根据地转风公式直接从高度场(或气压场)求算相对涡度。
动力气象学复习题
动力气象学复习题地球大气的动力学和热力学特征大气是重力场中的旋转流体、大气是层结流体、大气中含有水分、大气的下边界是不均匀的描写大气运动的方程组个别变化与局地变化个别空气微团的温度在运动中随时间的变化率，称为温度的个别变化。
大气运动空间中固定点上温度随时间的变化率，称为温度的局地变化。
绝对坐标系与相对坐标系作用于大气上的各种作用力及其特性真实力气压梯度力：方向与气压梯度相同，垂直于等压面；大小与气压梯度的大小成正比，与密度成反比。
地球引力：方向为高值等重力位势面指向低值等重力位势面的方向，大小由等重力位势面的疏密程度来决定。
摩擦力视示力科里奥利力：在北半球，科里奥利力指向速度的右方，南半球指向左方。
对空气微团不做功。
惯性离心力：运动方程、连续方程、状态方程、热力学方程、水汽方程质量守恒定律的数学表达式称为连续方程。
连续方程：干空气的状态方程：pRT，其中R为干空气比气体常数引入虚温Tv，湿空气状态方程为：pRTv热力学方程：水汽方程：初始条件及边界条件下边界条件：z=0时，00上边界条件：尺度分析和基本方程组的简化尺度的概念各物理场变量“具有代表意义的量值”称之为物理场变量的特征值，某一物理场变量的“尺度”正是指它的特征值。
大气运动的尺度分类大尺度、中尺度、小尺度尺度分析方法尺度分析法是依据表征某类运动系统的运动状态和热力状态各物理量的特征值，估计大气运动方程中各项量级大小的一种方法。
中高纬度中尺度及大尺度大气运动各自的特性中纬度大尺度运动是准水平、准地转平衡、准静力平衡、准水平无辐散、缓慢变化的涡旋运动。
重要的特征参数R0数、Ri数等定义：N2D2Ri，是一个与大气层结稳定度和风的铅直切变有关的动力学参数。
U2平面近似P坐标，铅值坐标变换静力平衡对于静止大气，重力和铅直气压梯度力相平衡，即dpg。
实际大气也满足静力平dz衡条件，静止大气的气压场结构是实际大气极好的近似。
P坐标将z坐标系的铅直坐标变量z被物理场变量p替换，称由某、y、p 作为独立坐标变量的坐标系称为p坐标系。
6散度和涡度11＋12
+
∂v ∂y
§2.11.2 连续方程
dρ +ρ∇⋅V =0
dt
展开
∂ρ
∂t
+u
∂ρ
∂x
+v
∂ρ
∂y
+w∂ρ
∂z
+
ρ⎛⎜
⎝
∂u ∂x
+
∂v ∂y
+
∂w⎞
∂z
⎟ ⎠
=0
对不可压流体 ∂u + ∂v + ∂w = 0 Z坐标下 ∂x ∂y ∂z
∂u + ∂v + ∂ω
∂x ∂y ∂p
=0
P坐标下
§2.11.3 水平辐合－辐散与垂直运动
§2.11.1 散度的定义
• 规定：向四周散开的水平流场为辐散，向中心辐 合的水平流场为辐合
• 物理量大于零为辐散流场，小于零为辐合流场
divV = ∇iV = ∂Vx + ∂Vy + ∂Vz ∂x ∂y ∂z
• 散度的物理意义：单位时间内某空气微团的体积 膨胀率
• 水平二维散度
布
在槽脊区域中 曲率涡度
切变项产生 的涡度
§2.12.1 涡度的定义
• 涡度为速度的旋度，即 ∇ ×V
表示旋转的程度。大尺度大气运动中涡度的垂直分
量远大于水平分量 ς = ∂v − ∂u
∂x ∂y
规定：反时针（气旋式）旋转为正；顺时针（反气
旋式）旋转为负。
在自然坐标下
ς = C − ∂C
R ∂n
有曲率涡度和切变涡度两项，C 为质点速率
§2.12.2曲率项（C/R）产生的涡度
柱面坐标涡量和散度
柱面坐标涡量和散度柱面坐标涡量和散度是流体力学中的两个重要概念。
涡量是描述流体旋转的物理量，而散度则是描述流体的收缩或扩散程度的物理量。
在柱面坐标系中，涡量和散度的计算方法与笛卡尔坐标系有所不同。
涡量的计算公式为：$$\omega = \frac{1}{r}\frac{\partial (rv_{\theta})}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial v_r}{\partial \theta} + \frac{\partial v_{\theta}}{\partial z}$$其中，$v_r$、$v_{\theta}$和$v_z$分别表示流体在柱面坐标系中的径向、轴向和周向速度分量。
散度的计算公式为：$$\nabla \cdot \mathbf{v} = \frac{1}{r}\frac{\partial (rv_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial v_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial v_z}{\partial z}$$其中，$\mathbf{v}$表示流体的速度矢量。
涡量和散度在流体力学中具有重要的应用。
涡量描述了流体中的旋转运动，可以用来分析流体中的涡旋结构和涡旋运动的演化规律。
散度则描述了流体的收缩或扩散程度，可以用来分析流体的输运和扩散过程。
涡量和散度的研究历史可以追溯到19世纪初期。
法国数学家克劳德·路易·纳瓦-斯托克斯在他的著名论文《关于流体的运动方程》中首次提出了涡量和散度的概念，并将它们纳入了流体力学的基本方程中。
随着数学和物理学的发展，涡量和散度的计算方法和应用范围也得到了不断扩展和深化。
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第五章 环流定理·涡度方程与散度方程
涡旋运动 涡度
涡度方程
位势运动 散度
散度方程
大气原始方程组 的变形方程
2
§5.1 环流定理
1、速度环流：指速度场中某一有向闭合曲线上的速度切向
分量沿该闭合曲线的线积分。
Ca L Va dr
绝对环流随时间的变化率称为绝对 环流的加速度。在实际问题中，我们 更感兴趣的是绝对环流随时间的变化及 造成环流随时间变化的物理过程和因子。为此，首先要导出 绝对环流定理。
(5.1)式等号右边第2项为零，因为：
L a r La 0
可得绝对环流定理
daCa dCa
p r
dt dt
L
力管项
绝对环流的加速度等于 封闭曲线L所包含的力管
若力管项为零，则绝对环流守恒
dCa 0 dt
5
2、力管项存在的条件及其物理意义
利用Stokes公式，有：
N Lp r (p)ds
方向环流增强。
10
§5.2 涡度方程
1 自然坐标系中的铅直涡度分量
绝对速度：
Va V r
绝对涡度：
Va
V
( 又r)：
( r ) 2
故：
a 2
相对涡度：
V
i
j
k
i
w
v
y z
j
u
w
z x
k
v
u
Байду номын сангаас
x y
11
相对涡度的物理意义在自然坐标系中可反映得更加清楚
直观，为此将铅直涡度分量 转换为自然坐标的表达形式。
海陆风环流的形成
8
3、相对环流定理
dC ?
dt
绝对速度和相对速度的关系为： Va
V
r
LVa
r
LV
r
L
(
r)
r
Ca C C e
绝对环流等于相对环流和 牵连环流之和
C LV r
Ce
( r ) r
L
对牵连 环流：
dCa dC dCe dt dt dt
Ce L ( r ) r A ( r ) ndA A[3 r ( 3)r ] ndA
A 2 ndA A2 cosdA A 2dAe 2Ae
9
可得相对环流定理：
dC dp 2 dAe
dt
L
dt
上述等式右边第一项为力管项。第二项称为惯性项，其本质
是科氏力的环流项，因为：
dCe d
(
r)
r
d
[(
r)
r]
(
dr
)
r
(
r)
dr
dt
dt
L
L
dt
有关。
Vh 0 n
例子
急流轴
Vh 0 n
13
对不同的流型，有时曲率涡度项较大，有时切变涡度项较 大，因此在不作精确分析时，可只考虑其中较大的一项。 例如，在气旋或反气旋中心附近，可只考虑曲率涡度项， 而在锋区或急流区则可只考虑切变涡度项。
2 涡度方程
z坐标系的涡度方程的推导思路：利用X和Y方向的水平运
动方程，分别对y和x求偏导数，然后后者减前者便可。
u u u v u w u fv 1 p
1
t x y z
x
v u v v v w v fu 1 p
t x y z
y
2
对(2)进行 运算，（1）进行 运算，然后两式相减
/ x
/ y
并注意到涡度垂直分量的定义： v / x u /，y得涡度方
取沿流线的自然坐标系（图5.5），则水平风矢量为：
Vh Vh s
u
Vh
i
Vh
cos
v Vh j V hsin
则：
v x
Vh x
sin
Vh
cos
x
u y
Vh y
cos
Vh
sin
y
自然坐标系和直角坐标系
取β0的极限情况，则x方向趋于s方向，y方向趋于n方向，
涡度垂直分量可表示为：
v u x y
上式表示一个单位压容管即力管所占的面积或单位面积上的
力管数。因此N则代表L所围的力管总数（代数和）。
力管项的物理意义除了代表L所围成的力管总数（代数和）
外，从力的环流看，力管项还可表示为气压梯度力环流：
N Lp r
当曲线上的气压梯度力与路径 走向相同，则环流加强，反之 减弱。
7
大气的斜压性是力管项存在的必要条件，也是产生环流 加速度的因素，而大气的斜压性是由大气中非均匀加热所 产生。这一过程可以用来解释海陆风环流和山谷风环流等 的形成。下面以海陆风为例来说明直接热力环流的产生过 程。
w y
v z
S
其中： (p) p
若令：
B
(
p)
斜压矢量
则力管项：
N Lp r B ds
S
数学推导
力管项非零的必要条件是大气的斜压性
6
斜压矢量 的模的物理含义：
B | B || || p | sin
1
1
sin
h hp
1 sin
1
1
hp DC cos h p DC S ABCD
单位压容（力）管
dCa ? dt
3
不考虑摩擦力的绝对运动方程为：
d aVa dt
P a
(5.1)
对闭合曲线L，取上式环流积分
daVa
L dt
r
p r
L
La r
da
dt
LVa r
d aVa
r
L dt
LVa
da dt
(r )
da
dt
LVa r
d aVa
r
L dt
=0
绝对环流加速度＝绝对加速度的环流 4
Vh
s
Vh n
Vh Vh
rs
n
曲率涡度 切变涡度
12
规定在北半球：取气旋式曲率为正，反气旋式曲率为负。
曲率涡度和切变涡度的含义： 1）曲率涡度：与流线的弯曲形状有关。
c
Vh rs
气旋式弯曲：rs>0, 则
Vh rs
；0
反气旋弯曲：rs<0, 则
Vh
；
0
rs
2）切变涡度：与水平风速沿流线的法线方向的分布不均匀
L
dt L
dt
L
(
V
)
r
L
(
r)
V
L
( V
)
r
L
[(
r
)
V
] L (r ) V
L (V ) r L (V ) r 2L (V ) r L 2(V ) r
推导？
牵连环流对相对环流的影响可解释如下：在北半球如果L所包围的面
积在赤道平面上的投影Ae随时间增大，则相对环流减弱，因为环线L 扩大时，表示环线上的空气微团有向外的法向速度分量Vn，这样对应 Vn的科氏力与L方向（逆时针）相反，故科氏力使得L方向的环流减弱 ；反之环线缩小，则法向速度向内，科氏力与L方向相同，因此使得L
程：
u v w ( f )(u v ) v w u w
t x y z
x y z x z y
1
2
(
x
p y
y
p ) x
u
f x
v
f y
而
f (2 sin ) 2 cos
y
a
a
则涡度方程变为：
t
Vh h
w
z
v (
f ) Vh
1
2
(
x
p y
y
p ) ( u x z