微积分下第一分册7.6函数的幂级数展开
函数的幂级数展开
函数的幂级数展开幂级数具有良好性质。
如果一个函数在某一区间上能够表示成一个幂级数，将给理论研究和实际应用带来极大方便。
Taylor 级数由Taylor 公式，若函数f 在0x 的某个邻域上具有1+n 阶导数，那么在该邻域上成立)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x r x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= ， 其中1000)1()()!1())(()(++-+-+=n n n x x n x x x f x r θ（10<<θ）为Lagrange 余项。
因此可以用多项式n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000-++-''+-'+ 来近似)(x f 。
自然会想到，增加这种多项式的次数，就可能会增加近似的精确度。
基于这种思想，若函数f 在0x 的某个邻域),(0r x O 上任意阶可导，就可以构造幂级数∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f ， 这一幂级数称为f 在0x 点的Taylor 级数，记为~)(x f ∑∞=-000)()(!)(n n n x x n x f 。
称!)(0)(k x f a k k = （ ,2,1,0=k ） 为f 在0x 点的Taylor 系数。
特别地，当00=x 时，常称∑∞=0)(!)0(n n n x n f 为f 的Maclaurin 级数。
假设函数f 在0x 的某个邻域),(0r x O 上可表示成幂级数∑∞=-=00)()(n n n x x a x f ， ),(0r x O x ∈，即∑∞=-00)(n n n x x a 在该邻域上的和函数为f (x )。
根据幂级数的逐项可导性，f 必定在),(0r x O 上任意阶可导，且对一切∈k N +，成立∑∞=--+--=k n k n n k x x a k n n n x f )()1()1()(0)( 。
函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式幂级数展开式在数学和物理学等领域中非常重要，可以用来近似计算函数的值、求解微分方程、分析函数的性质等。
幂级数是指形如∑(an)(x-a)^n的级数，其中an是常数系数，x是变量，a是展开点。
幂级数展开式可以认为是多项式的无穷级数，通过将无穷多项式项相加得到。
一个函数的幂级数展开式的一般形式为：f(x) = ∑(an)(x-a)^n其中，an是函数f(x)在展开点a处的n阶导数值除以n的阶乘，即：an = f^(n)(a) / n!这里，f^(n)(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数。
幂级数展开式的收敛性需要通过收敛半径来判断。
幂级数展开式在展开点a的收敛半径r为：r = 1 / lim sup( ，an，^(1/n) )其中，lim sup是上极限。
当，x-a，<r时，幂级数展开式收敛；当，x-a，>r时，幂级数展开式发散；当，x-a，=r时，幂级数展开式的收敛情况需要进一步判断。
幂级数展开式的收敛半径决定了展开式的适用范围。
当，x-a，<r时，可以通过前n项的有限求和来近似计算函数的值，对于其他点则需要通过对幂级数进行求和计算。
幂级数展开式的求解可以利用泰勒级数或母函数法等方法。
泰勒级数是一种特殊的幂级数展开形式，其中展开点a为0，并且每一项的系数an 与函数在展开点处的导数值相关。
幂级数展开式在许多函数中都有应用，例如指数函数、三角函数、对数函数等。
通过幂级数展开式，可以将这些函数在其中一点的展开为无穷项的级数，在一定范围内进行近似计算。
总之，函数的幂级数展开式是一种重要的数学工具，可以用来近似计算函数的值、求解微分方程、分析函数的性质等。
高等数学(下册)第7章第6讲函数的幂级数展开
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n 1 x2n1 x (,) .
3! 5!
(2n 1)!
12
二、 函数的幂级数展开
2.间接展开法
间接展开法, 就是利用已知函数的幂级数展开式, 通过幂级 数运算（如四则运算、逐项求导、逐项积分等）以及变量代换等, 获得所求函数的幂级数展开式.这种方法不但计算简单, 而且可以 避免研究余项.由于函数的幂级数展开式是唯一的, 因此间接法与 直接法展成的幂级数是一致的.
2
f (n) (0) 顺序循环地取 0,1,0，1， (n 0，1,2,3，) ,
于是得到麦克劳林级数
x 1 x3 1 )!
它的收敛半径为 R , 因而此幂级数处处收敛.
11
二、 函数的幂级数展开 例 1 将函数 f (x) sin x 展开成 x 的幂级数.
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
n0
f
(n) ( x0 n!
)
(x
x0
)n
称为函数 f (x) 在点 x0 处的泰勒级数,
特别地, 函数 f (x) 在 x0 0 处的泰勒级数
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn f (n) (0) xn
第二步 求出函数 f (x) 及其各阶导数在 x 0处的值 f (0), f (0), f (0),, f (n) (0), ；
第三步 写出 f (x) 的麦克劳林级数
f (x) ~ f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn ,
幂级数展开
1
1
2
由于级数在CR1上一致收敛,由一致收敛级数的逐项可积 分性质得:
1 2 i
w ( )
CR1
z
d
1 2 i
a0
CR1
z
d
1 2 i
a1 ( z 0 )
CR1
z
d
1 2 i
a 2 ( z 0 )
k
证明: 取比收敛圆稍稍缩小的圆周CR1, 为其上的任 一点,级数的和记作 (3.2.9)
w ( ) a 0 a1 ( z 0 ) a 2 ( z 0 )
2
取CR1内任一点z, 1 a ( z ) 1 2 (i z 用有界函数 a a z ) 1 w ( ) 1 遍乘上式 i z 2 i z 2 i z 2 2 i z
解： R lim
k
级数在 z 1 绝对收敛
=
例2.求幂级数 1 z 2 z 4 z 6 的收敛圆,z为复变数 解:把 z 记作 t ,则级数为 1 t t 2 t 3 , t面上的
2
收敛半径
R lim
ak a k 1
k
1
则z面上的收敛半径为
其中, W ( z )
k 1
W (z)
wk ( z )
则级数在区域B上(或者曲线L)一致收敛于 W ( z ) W ) W ((zz) 称为和函数
,
注意: 一致收敛的概念是和一定的区域联系在一起
b.一致收敛的充要条件 对于B上(或L)上的点z， ，存在自然数
幂级数展开
f (z) ln z,
f '(z) 1 , z
f
''(z)
1! z2
,
f (1) ln 1 n2i,
f '(1) 1, f ''(1) 1,
可象单值函数那样在各单值 分支上作泰勒展开。
f
(3) (z)
2! z3 ,
f (3) (1) 2!,
y
f
(4)
(z)
3! z4
,
f (4) (1) 3!,
|
z
z0
|
|
z
z0 R
|
,
引入记号 R lim ak
a k k 1
若 | z z0 | 1 R
| z z0 | R
(3.2.3) (3.2.4)
则实幂级数 (3.2.2)收敛，复幂级数 (3.2.1)绝对收敛
若 | z z0 | R 则(3.2.2)发散
12
故当 z z0 R ，绝对收敛
解 f (z) (1 z)m ,
f (0) 1m ,
f '(z) m(1 z)m1,
f '(0) m1m ,
f ''(z) m(m 1)(1 z)m2 ,
f ''(0) m(m 1)1m ,
f (3) (z) m(m 1)(m 2)(1 z)m3, f (3) (0) m(m 1)(m 2)1m ,
级数收敛，
S
lim
n
Sn
S称为级数和；若极限不存在，
则称级数发散。
2、柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）：
对于任给的小正数 ε 必有N 存在，使得 n>N 时，
函数的幂级数的展开与技巧.docx
1引言函数的幕级数展开在高等数学中有着重耍的地位，在研究泵级数的展开之 前我们务必先研究一下泰勒级数，因为泰勒级数在幕级数的展开屮有着重要的地 位。
一般情况，我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幕级数的展开，几乎不用 积分型余项来讨论，今天我们的研究中就有着充分的体现。
2泰勒级数泰勒定理指出：若函数/在点兀。
的某个邻域内存在直至斤阶的连续导数，则/(x) = /(x 0) + /(x 0)(x-x 0) + /(x Q )^X这里心（兀）=。
（（兀-兀）〃）称为皮亚诺型余项。
如果增加条件“/（X ）有H + 1阶连续 导数”，那么心（0还可以写成三种形式（柯西余项） （积分型余项） 如果在（1）中抹去余项心（X ）,那么在兀。
附近/可用（1）式中右边的多项式来近似代 替。
如果函数/在兀=兀0处有任意阶的导数，这吋称形式为：的级数为函数/在x 0的泰勒级数，对于级数（2）是否能够在X 。
附近确切地表达/, 或说/在心泰勒级数在心附近的和函数是否就是/,这是我们现在耍讨论的问 题。
下面我们先看一个例子：例1山由于函数/(%)= \ 八，心 °,（拉格朗日余项）心。
）+广（％）（-切+%（—订+・・・+匚糾 （兀一兀0）+…（2）= 广“+1）［兀+0（兀_观卄（］_0）〃 （兀_观）〔0, x = 0,在x = x0处的任何阶导数都为0,即/叫0) = 0/= 1,2,…，所以/在x = 0处的泰勒级数为：C C 0 2 . 0 “0 + 0 • X H X + -------- ------- X+…，2! nl显然，它在(- oo,+oo)上收敛，且其和函数S(X)= 0,由此看到对一切* 0都有/(X)H S(X),这说明具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不是都收敛于函数本身，只有lim R n (x) = 0HT8时才能够。
在实际应用上主要讨论在勺=0的展开式。
这时(2)也可以写成刑)+以乩+皿宀…+创乩"+…，1! 2! /1!称为麦克劳林级数。
函数的幂级数展开
| Rn( x) |
1 (1)n (n 1)!
n!
(1 )n1
x n1
(1)n x
n 1 1
n1
1 n1
0
(n ).
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当 1 x 0 时, 因拉格朗日型余项不易估计, 故改 用柯西型余项. 此时有
| Rn( x) |
(n 2) (n 0)
1
2x
ex 1 1 x 1 x2 L 1 xn L , x (, ).
1! 2!
n!
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例4 对于正弦函数 f ( x) sin x, 有
f
(n)
(
x
)
sin
x
nπ 2
.
n
1,
2,L
.
现在考察 f 的拉格朗日型余项 Rn( x).因为 n 时,
如果 f 能在点x0的某邻域上等于其泰勒级数的和函
数, 则称函数 f 在点 x0 的这一邻域内可以展开成泰
勒级数, 并称等式
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f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
L
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
考察它的柯西型余项
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Rn (
x)
(
1)L n!
(
n)
x n1
第四节函数的幂级数展开
一,泰勒公式 线性代替:由微分的概念知道,如果y=f (x)在点
x0 处可导,则有 y = dy + o(x),即 f (x) f (x0 ) = f ′(x0 )(x x0 ) + o(x x0 )
当| x x0 | 很小时,有近似公式
f (x) ≈ f (x0 ) + f ′(x0 )(x x0 ) .
f (x) = ex 的马克劳林级数为 故函数 ∞ 1 1 2 1 n n ∑ x =1+ x + x +L+ x +L, ! 2! n! n=0n
收敛半径为
1 R = lim n! n→∞ 1 (n+1)!
= lim(n +1) = ∞
n→∞
其收敛区间为 (∞,+∞).
对任取定的x,则对于任何介于0与x之间的 ξ ,有
1 f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x x0 ) + f ′′(x0 )(x x0 )2 2! 1 (n) + + f (x0 )(x x0 )n + rn (x) = P (x) + rn (x), n n! 并称 n (x)为泰勒展开式的余项P (x)为泰勒多项式 r , n .
P (x0 ) = f (x0 ) (在x0处相等 ) 2 P′(x0 ) = f ′(x0 ) (在x0处有相同的切线 ) 2 P′′(x0 ) = f ′′(x0 ) (x0处两条曲线有相同的弯 曲方向 ) 2
由 P (x0 ) = a0, P′(x0 ) = a1 P′′(x0 ) = 2!a2 , 2 2 2 1 可得 a0 = f (x0 ), a1 = f ′(x0 ), a2 = f ′′(x0 ) 2! 1 所以 P (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x x0 ) + f ′′(x0 )(x x0 )2. 2 2! 用 P (x) 在点 x0 附近来逼 f (x) P (x) 2
精选数学分析函数的幂级数展开讲解讲义
,
f (n)(0) (1)n1(n 1)! ,
所以 ln(1 x)的麦克劳林级数是
x x2 x3 x4 (1)n1 xn .
(5)
234
n
用比式判别法容易求得级数(5)的收敛半径 R 1, 且 当 x 1 时收敛, x 1 时发散, 故级数(5)的收敛域 是 (1, 1]. 下面讨论在 (1, 1] 上它的余项的极限. 当 0 x 1 时, 对拉格朗日型余项, 有
x n1 (0
1).
显见
|
Rn (
x)
|
e|x| (n 1)!
|
x
|n1
.
y
对任何实数 x, 都有
6
lim e|x| | x |n1 0,
4
n (n 1)!
2
因而
lim
n
Rn
(
x)
0.
1 O 2
y ex
(n 2) (n 0)
1
2x
ex 1 1 x 1 x2 1 xn , x (, ).
x)(1
)n
x n1 , 0
1.
二、初等函数的幂级数展开式
例2 求k次多项式函数 f ( x) c0 c1x c2 x2
的幂级数展开式. 解 由于
ck xk
f
(
n
)
(0)
n!cn , 0,
n k, n k,
总有
lim
n
Rn
(
x
)
0,
因而
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 2!
充分条件是: 对一切满足不等式 | x x0 | r的 x , 有
lim
函数的幂级数展开式ppt课件泰勒级数课件
o
x0
P104,条件1,2
y f (x)
x
Pn的确定
Pn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 an( x x0 )n
分析: f (x0) Pn(x0) a0
f (x0) Pn(x0) 1 a1 f (x0) Pn(x0) 2!a2
an
1 n!
代换 恒等变形
求导,积分
数项级数求和
无穷级数
特殊:数项级数
特殊:交正错项
一般:
一般:函数项级数
特殊:幂级数 一般:
判定敛散性
求R,收敛域 求和函数,
2. 数项级数求和
(1)e x 1 x 1 x2 2!
1 xn
n!
n0
1 n!
xn
此公式对应了无数个求和公式!
x0 )n
称为点 x0 处泰勒级数
f (x) 的泰勒级数 :
f (x)
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 ) (x n!
x0 )n
n0
f
(n)( x0 )( x n!
x0 )n
不一定！
2 定理1 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展成泰勒级数的 充要条件是 f (x) 的__________余项满足:___________
理解1:
f (x) 的 n 阶泰勒公式
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
第7章 第6讲 函数的幂级数展开
+1
=0
∞
+1
ln( 1 − ) = −
−1 < < 1 ,
+1
=0
28
02
函数的幂级数展开
1
1
1
所以 () = ln( 1 + ) − ln( 1 − ) + arctan −
4
4
2
∞
+1
1
(−1)
=
4
+1
解
cos = cos
)的幂级数.
3
1
3
+
sin + .
+
− = cos +
2
3
2
3
3
3
∞
(−1) 2
和
在展开式 cos =
(2) !
∞
=0
(−1)
2+1
sin =
中用 + 3 替换,
(2 + 1) !
=0
并代入上式得
20
02
函数的幂级数展开
∞
1
(−1)
cos =
+
2
(2) !
3
2
+
=0
∞
3
(−1)
+
2
(2 + 1) !
3
2+1
=0
∞
1
1
= (−1)
函数的幂级数展开_文档
函数的幂级数展开_文档
函数的幂级数展开（Power Series Expansion）是在数学分析中一种常用的方法，它
可以用来把函数由根据变量求和的方式表示出来，亦或者把在多变量拥有连续导数的微分
方程解出来。
在函数的幂级数展开中，一般情况下，函数f(x)都可以写成幂级数形式，这种形式实质上就是一系列次方相加而成，即f(x)=a0+a1x+a2x2+···+anxn。
其中，每个系数可以根据f(x)在指定点的不同阶次偏导数的值来确定，分别称为Maclaurin展开式。
当函数f(x)在某点x0存在可逆性时，就可以用另一种形式下面的Taylor展开式来表示：
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f''(x0)/2!](x-x0)2+[f'''(x0)/3!](x-x0)3+···。
当系数的结果不可确定时，可以采用数值无穷级数法来求解系数问题：令C（x）
=f(x)-Pn（x），其中Pn（x）是以x0为原点对f（x）取得n阶Taylor展开式，若取得
某系数an，就可以利用数值无穷级数法，在x0处取f（x）的n+1阶偏微分数的值求得an。
数值无穷级数法在函数微分方程的求解上也有应用，它可以用来求解一些多项式型的
微分方程，尤其对于一些拥有连续导数的微分方程来说，也能用它来做到求解。
它的运用
十分方便，但在某些情况下，由于舍入误差和系数精度或者其他原因，函数微分方程的解
可能不太准确，所以也不太适合于一些结果要求较精确的微分方程求解。
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式
摘要：
一、引言
二、函数展成幂级数的定义
三、幂级数展开的公式
四、幂级数收敛性的判断
五、幂级数在数学中的应用
六、总结
正文：
一、引言
在数学中，函数展成幂级数是一种常见的数学方法。
通过这种方法，我们可以将一个复杂的函数表示为一系列简单的幂级数的和，从而更好地理解和研究这个函数。
二、函数展成幂级数的定义
函数展成幂级数，即将一个函数表示为一系列幂级数的和。
幂级数是一个形式为a_nx^n 的级数，其中a_n 是级数的系数，x 是自变量，n 是正整数。
三、幂级数展开的公式
如果一个函数f(x) 在某个区间内可积或者可微，那么它就可以在该区间内展成幂级数。
展成幂级数的公式为：
f(x) = a_0/1! + a_1/2!x^2 + a_2/3!x^3 + ...+ a_n/n!x^n + ...
其中，a_n 是幂级数的系数，由函数f(x) 在x=x_0 处的各阶导数决定。
四、幂级数收敛性的判断
幂级数的收敛性是指，当x 趋近于某个值时，幂级数的前n 项和是否趋近于某个极限。
如果幂级数是收敛的，那么它就可以用来近似表示函数。
五、幂级数在数学中的应用
幂级数在数学中有着广泛的应用，例如在解析函数、微积分、级数收敛性等领域都有着重要的作用。
六、总结
函数展成幂级数是数学中的一种重要方法，它可以帮助我们更好地理解和研究复杂的函数。
函数的幂级数展开
§2 函数的幂级数展开教学目的与要求：掌握函数的幂级数展开式并认识余项在确定函数能否展为幂级数时的重要性. 教学重点，难点：函数的幂级数展开式及余项在确定函数能否展为幂级数时的重要性. 教学内容：一 泰勒级数在第六章§3的泰勒定理中曾指出，若函数f 在点0x 的某邻域内存在直至1+n 阶的连续导数，则 ()()()()()() +-''+-'+=200000!2x x x f x x x f x f x f ()()()()x R x x n x f n n n +-+00!， （1） 这里()x R n 为拉格朗日型余项()()()()()101!1++-+=n n n x x n f x R ξ， （2） 其中ξ在x 与0x 之间，称（1）为f 在0x 的泰勒公式。
如果在（1）中抹去余项()x R n ，那么在0x 附近f 可用（1）式右边的多项式来近似代替，如果函数f 在0x x =处存在任意阶的导数，这时称形式为()()()()() +-''+-'+200000!2x x x f x x x f x f ()()() +-+n n x x n x f 00!（3） 的级数为函数f 在0x 的泰勒级数。
对于级数（3）是否能在0x 附近确切的表达f ，或说f 在0x 的泰勒级数在0x 附近的和函数是否就是f ，这就是本节所要讨论的问题。
先看一个例子。
例1 由于函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0,0,0,21x x e x f x在0=x 处任何阶导数都等于0，即 ()()00=n f ， ,2,1=n ， 所以f 在0=x 的泰勒级数为 ++++⋅+n x n x x !!20002。
显然它在()+∞∞-,上收敛，且其和函数()0=x S 。
由此看到，对一切0≠x 都有()()x S x f ≠。
这个例子说明，具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不是都能收敛于函数本身。
函数的幂级数展开解读
的麦克劳林级数在其收敛域内的和函数是否一定
是 f ( x )呢？ 关于这个问题的结论是：
如果函数 f ( x ) 在含0的一个区间内有任意阶导 数，则在此区间内，函数 f ( x ) 的麦克劳级数的和
lim Rn ( x ) 0. 函数为f ( x ) 的充要条件是 n
此时一定有
f (0) 2 f ( n) (0) n f ( x ) f (0) f (0) x x x 2! n!
f (0) 2 f ( n) (0) n f ( n1) ( x) n1 f ( x) f (0) f (0) x x x x 2! n! (n 1)!
此式称为函数 f ( x )的麦克劳林公式。 2 泰勒级数 若函数 f ( x ) 在含 x0 的某个开区间 (a , b) 内有任
一、泰勒公式与泰勒级数
1 泰勒中值定理 若函数 f ( x )在含 x0 的某个开区间 (a , b) 内有直 到 n 1 阶的导数，则当 x在 (a , b) 内时，函数 f ( x )
可表示为 x x0 的一个 n 次多项式与一个余项之
和，即
( n) f ( x0 ) f ( x0 ) 2 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x) 2! n!
此式称为函数 f ( x ) 按 x x0的幂展开的 n 阶泰勒公
式，而 Rn ( x)的表达式称为拉格朗日型余项。 当 n 0 时的泰勒公式为 f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
这就是曾学过的拉格朗日中值定理。 在泰勒公式中，若取 x0 0，则 在0与x之间 , 可记 x(0 1) ，从而泰勒公式成为如下简单 的形式
幂级数展开的微分方程法
幂级数展开的微分方程法随着科学技术的不断进步，微分方程作为一种重要的数学工具被广泛应用于各个领域。
在解决微分方程时，一种常见的方法是通过幂级数展开来得到近似解。
本文将介绍幂级数展开的微分方程法，并结合实例进行详细说明。
一、幂级数展开的基本概念幂级数是一种形式为∑anxn的级数，其中an是常数，x是变量。
幂级数在数学中有着广泛的应用，如在微积分、常微分方程、偏微分方程、复分析等领域中都有重要的作用。
幂级数展开是指将一个函数表示成幂级数的形式。
例如，f(x)可以表示为：f(x) = ∑anxn幂级数展开的应用范围很广，其中一项就是在求解微分方程时使用。
二、幂级数展开的微分方程法当我们遇到一些微分方程难以求解时，可以尝试使用幂级数展开的方法来得到近似解。
具体步骤如下：1. 假设所求解的函数可以表示成一个幂级数。
2. 将所得到的幂级数代入微分方程中，得到一个关于幂级数系数的递推关系式。
3. 利用递推关系式求出幂级数系数，从而得到所求解的函数。
下面通过一个具体的实例来说明幂级数展开的微分方程法。
例1 求解微分方程y'' + y = 0解：假设所求解的函数可以表示成一个幂级数，即：y(x) = ∑anxn将y(x)代入微分方程中，得到：∑n(n-1)anxn-2 + ∑anxn = 0对于幂级数展开中的每一项，都有：n(n-1)an + an = 0解得：an = (-1)n/(n!)因此，所求解的函数为：y(x) = ∑(-1)n/(n!)xn这就是微分方程y'' + y = 0的解。
三、幂级数展开的优缺点幂级数展开的方法在解决微分方程时具有以下优点：1. 可以得到近似解，在一定程度上可以满足实际需求。
2. 可以处理一些常规方法难以解决的微分方程。
然而，幂级数展开的方法也存在一些缺点：1. 幂级数展开只能得到一定精度的近似解，无法得到精确解。
2. 幂级数展开的计算量较大，需要耗费较多的时间和精力。
幂级数展开
1⎞ ⎛ 1⎞ 1 1 ⎛ + +" ⎜ n + ⎟ ln ⎜1 + ⎟ = 1 + 2 4 2⎠ ⎝ n⎠ ⎝ 3 ( 2n + 1) 5 ( 2n + 1)
由此我们得到：
10.5
函数的幂级数展开
1⎞ ⎛ 1⎞ 1 1 ⎛ + +" 0 < ⎜ n + ⎟ ln ⎜1 + ⎟ − 1 = 2 4 2⎠ ⎝ n⎠ ⎝ 3 ( 2n + 1) 5 ( 2n + 1) < = 1 3 ( 2n + 1) 1 3 ( 2n + 1) 1 −
0 ≤θ ≤1
§2 简单函数的幂级数展开
上面讨论结果知，当 Rn ( x ) → 0 时函数可展开为幂级数，下面考虑基本初等函数之幂 级数展开，函数的幂级数展开式也称为 Taylor 级数，函数在 x0 = 0 点的 Taylor 级数也称为 Maclaurin 级数。 1.
ex = ∑
1 n 1 x ， x0 = 0 ， R = +∞ ； Rn ( x ) = eθ x x n +1 ， 0 < θ < 1 ， n + 1 ! n ! ( ) n =0
2 2
+
1 3 ( 2n + 1) 1 1
4
+" =
( 2n + 1)
2
⎡ ⎤ 1 1 + + "⎥ ⎢1 + 2 4 3 ( 2n + 1) ⎢ ⎥ ⎣ ( 2n + 1) ( 2n + 1) ⎦ 1 = 12n ( n + 1) 1
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f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)
n
为f (x) 的泰勒级数 .
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .
定理 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim Rn (x) 0.
对任何有限数 x , 其余项满足
e xn1 e x (n 1)!
n
( 在0与x 之间)
故 ex 1 x 1 x2 1 x3 1 xn ,
2! 3!
n!
例2. 将
解: f (n) (x)
展开成 x 的幂级数.
f (n) (0) (01),k ,
n 2k n 2k 1
(k 0, 1, 2, )
)
(
x
x0
)
2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn (x)
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,其中
Rn (x)
f (n1) (
(n 1)!
)
(
x
x0
)
n1
( 在 x 与 x0 之间)
称为拉格朗日余项 .
若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
2. 常用函数的幂级数展开式
• ex 1 x 1 x2 1 xn ,
2!
n!
x (, )
•
ln(1 x) x 1 x2 2
1 x3 1 x4 34
(1)n n 1
xn1
x (1, 1]
• sin x x x3 x5 x7 (1)n x2n1
3! 5! 7!
(2n 1)!
3! 5!
(2n 1)!
类似可推出:
cos x 1 1 x2 1 x4 (1)n1 1 x2n
2! 4!
(2n)!
(1 x)m 1 m x m(m 1) x2 2!
m(m 1) (m n 1) xn n!
称为牛顿二项展开式 . 说明： (1) 在 x＝±1 处的收敛性与 m 有关 . P250页 (2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x (, )
• cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
2! 4! 6!
(2n)!
x (, ) • (1 x)m 1 mx m(m 1) x2
2!
m(m 1) (m n 1) xn x (1, 1) n!
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin(
(n
1)
2
)
(n 1)!
x n 1
n
sin x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n1 1 x2n1
展开成 x 的幂级数.
解:
f (x) 1 1 x
(1)n xn
n0
(1 x 1)
从 0 到 x 积分, 得
x
ln(1 x) (1)n xn dx
n0
0
(1)n
n0 n 1
xn1 ,
11 xx11
内容小结
1. 函数的幂级数展开法
(1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ;
(2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 式的函数 .
判别在收敛区间(－R,
R)
内 lim
n
Rn
(
x)
是否为0.
例1. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: f (n) (x) ex , f (n) (0) 1 (n 0,1, ), 故得级数
1
x 1 x2 2!
1 x3 3!
1 xn n!
其收敛半径为
R lim
n
1 n!
1 (n 1)!
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数.
例3. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: 因为
1 1 x x2 (1)n xn 1 x 把 x 换成 x2 , 得
(1 x 1)
1 1 x2
1 x2
x4
(1)n x2n (1
x 1)
例4. 将函数
n
二、函数展开成幂级数
直接展开法 — 利用泰勒公式 展开方法
间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开
1. 直接展开法
由泰勒级数理论可知, 函数 f (x) 展开成幂级数的步
骤如下 :
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;
第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
第三步
第六节函数展开成幂级数
两类问题: 在收敛域内 求和 展开
和函数
本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数
一、泰勒 ( Taylor ) 级数
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
该邻域内有 :
f (x)
f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!