中心极限定理的发展
概率论中的极限理论发展
概率论中的极限理论发展概率论是数学中的一个重要分支，研究的是随机事件的发生概率及其规律。
而在概率论的发展历程中，极限理论是其中的一块核心内容。
本文将系统地介绍概率论中的极限理论的发展。
一、大数定律的提出与发展大数定律是概率论中的基础定理之一，它揭示了随机事件的频率稳定性。
其中最早的大数定律要追溯到17世纪，由法国数学家雅各布·伯努利提出。
他证明了当事件重复进行时，事件发生的频率将会稳定在一个固定的概率上。
这个定律对概率论的发展起到了重要的推动作用。
随着时间的推移，不同的数学家对大数定律进行了深入研究，并提出了多个版本的大数定律。
例如，俄国数学家切比雪夫于1867年提出了切比雪夫大数定律，它是大数定律的一个重要推广。
切比雪夫大数定律给出了依概率收敛的条件，并且包含了伯努利大数定律作为特例。
二、中心极限定理的发现与演变中心极限定理是概率论中另一个重要的理论成果，它描述了随机变量序列和近似正态分布之间的关系。
最早的中心极限定理要追溯到18世纪，由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯提出。
他证明了一类随机变量序列的和服从正态分布，这个发现对于统计学的发展产生了深远的影响。
随着时间的推移，中心极限定理得到了广泛的发展和推广。
20世纪初，列维首次给出了广义中心极限定理，将其推广到了独立非同分布变量的和的情况。
此后，众多学者对中心极限定理进行了进一步的研究，提出了不同的版本和推论，从而丰富了概率论的理论体系。
三、大数定律与中心极限定理的关系大数定律和中心极限定理是概率论中两个相互关联的理论。
从某种程度上来说，大数定律是中心极限定理的一个重要推论。
大数定律表明，当事件重复进行时，随着事件次数的增加，事件发生的频率将会稳定在其概率上。
而中心极限定理则说明，当随机变量序列的个数足够多时，这些随机变量的和近似服从正态分布。
大数定律和中心极限定理的发展为统计学和概率论的相互应用提供了基础。
通过这些理论，我们可以更好地理解和分析复杂的随机现象，为实际问题的解决提供了有效的方法和工具。
第四章 大数定律与中心极限定理
第四章大数定律与中心极限定理第一节大数定律一、历史简介概率论历史上第一个极限定理属于贝努里,后人称之为“大数定律”.1733年,德莫佛——拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步,证明了时二项分布的极限分布是正态分布.拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布.1900年,李雅普诺夫进一步推广了他们的结论,并创立了特征函数法.这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题,卜里耶为之命名“中心极限定理”.20世纪初,主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件,二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展.在第一章已经指出,随机事件在大量重复试验中呈现明显的统计规律性,即一个事件在大量重复试验中出现的频率具有稳定性.这种稳定性的提法应该说是什么形式? 贝努里是第一个研究这一问题的数学家.他于是1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理.二、大数定律定理1(贝努里大数定律) 设是重贝努里试验中事件出现的次数,是事件在每次试验中出现的概率,则对任意的,有证明:令表示在第次试验中出现的次数.若第次试验中出现,则令;若若第次试验中不出现,则令.由贝努里试验定义,是个相互独立的随机变量,且而于是由契比晓夫不等式有又由独立性知道有从而有这就证明了定理1.若是随机变量序列,如果存在常数列,使得对任意的,有成立,则称随机变量序列服从大数定律.定理2(契比晓夫大数定律) 设是一列两两不相关的随机变量,又设它们的方差有界,即存在常数,使有则对于任意的,有证明:利用契比晓夫不等式,有因为是一列两两不相关的随机变量,它们的方差有界,即可得到从而有从而定理2得证.[例1] 设为独立同分布的随机变量,均服从参数为的普哇松分布.由以往的讨论知道,,因而满足定理2的要求,则由定理2 的结论可知定理3(马尔科夫大数定律) 对于随机变量序列,若有则有证明:利用契比晓夫不等式,有由假设知,右端趋于1,于是于是定理3得证.一般称条件为马尔科夫条件.定理4(辛钦大数定律) 设是独立同分布的随机变量序列,且有有限的数学期望,则对于任意的,有上式也可表示为或,并且称依概率收敛于.三、大数定律的应用[例2] 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次?解:由契比晓夫不等式,有令,其中,则.即至少需要抛掷27778次才能至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01[例3] (蒙特卡洛方法求积分) 计算.解:任取一列相互独立的都具有上均匀分布的随机变量,则也是一列相互独立且具有相同分布的随机变量,而因此,.为求,自然想到大数定律:这样一来,只要能生成随机变量序列,就能计算积分.现在借助计算机,产生上的随机数,然后通过大数定律,算出,最后由算出.这就是一种新的计算方法:概率计算方法,也称蒙特卡洛方法.[例4] 设随机变量序列的方差一致有界,即,且当时, 与的相关系数,证明服从大数定律.证明:因为由题设知,任给,存在当时,.这表明,在共有个中,绝对值超过的元素不多于个,其余的个元素的绝对值不超过,故有由于可任意小,故马尔科夫条件成立,所以服从大数定律.[例5] 设相互独立且,.证明服从大数定律.证明:因为,故故马尔科夫条件成立,所以服从大数定律.[例6] 设相互独立且分别具有以下分布,试确定是否满足马尔科夫条件.(1)(2)(3)解:(1)易知.由于故不满足马尔科夫条件.(2) 易知.由于故不满足马尔科夫条件.(3) 易知.由于注意到,故满足马尔科夫条件. [例7] 设相互独立且分别具有以下分布:(1)的分布函数为(2)(3) 的密度函数为(4)问是否满足大数定律.解:(1)因为,这是柯西分布,它的数学期望不存在,因此,不满足大数定律.(2)因为,由辛钦大数定律,知满足大数定律.(3)因为是奇函数,故.由辛钦大数定律,知满足大数定律.(4)而,故级数收敛,满足大数定律.作业:P221 EX 19,24,25,26。
中心极限定理的原著
中心极限定理并没有一个单一的原著，因为它是由多位数学家在不同的时期提出和证明的。
中心极限定理的基本思想是，对于任意分布的独立随机变量，它们的和趋近于正态分布。
这个理论是统计学中非常重要的一部分，广泛应用于概率论和统计学中。
有两个主要的中心极限定理：林德贝格-列维中心极限定理（Lyapunov Central Limit Theorem）和杰拉德-布朗中心极限定理（Lindeberg-Levy Central Limit Theorem）。
这两个定理都为不同的随机变量集合提供了极限分布的性质。
1. 林德贝格-列维中心极限定理：提出者是俄国数学家切比雪夫（Chebyshev），后来由俄国数学家林德贝格（Lyapunov）和法国数学家列维（Levy）独立地发展和证明。
它基本上表述了对于独立同分布的随机变量序列，它们的和在适当的条件下趋近于正态分布。
2. 杰拉德-布朗中心极限定理：这个定理是根据瑞士数学家杰拉德（Lindeberg）和法国数学家布朗（Levy）的工作而得名。
该定理更为弱化，它指出只要序列中的随机变量具有有限的均值和方差，并且序列中的方差趋于零，那么和的分布趋近于正态分布。
这些中心极限定理对于理解随机现象的规律以及在统计学和概率论中的应用非常重要。
中心极限定理
汽车分期解除抵押申请书尊敬的XXX车管所：您好！我是XXX，车牌号为XXX的车主，现因汽车分期贷款已还清，特此申请解除车辆抵押登记。
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3. 身份证明：这是我个人的有效身份证件，用于证明我的身份信息。
4. 抵押登记申请表：这是我填写的解除抵押登记的申请表，详细记录了我的贷款情况和解除抵押的需求。
5. 其他相关材料：包括车辆保险单和行驶证等，以证明我的车辆符合解除抵押的条件。
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中心极限定理课件
期值来检验总体的假设。
在金融数学中的应用
1 2
资产收益率分估投资组合的风险。
风险评估
中心极限定理可以用来评估投资组合的风险，通 过计算资产收益率的方差和相关性。
3
资本资产定价模型（CAPM）
中心极限定理是资本资产定价模型的基础，用于 评估资产的预期收益率和风险。
详细描述
当独立同分布的随机变量数量趋于无 穷时，这些随机变量的平均值的分布 趋近于正态分布，不论这些随机变量 的分布本身是什么。
弱收敛和依概率收敛
总结词
这是中心极限定理的两种收敛方式，弱收敛强调的是分布函数之间的收敛，而依概率收敛则关注事件发生的概率 。
详细描述
弱收敛是指当独立同分布的随机变量数量趋于无穷时，这些随机变量的平均值的分布函数趋近于正态分布函数。 依概率收敛则是指当独立同分布的随机变量数量趋于无穷时，这些随机变量的平均值以概率1趋近于某个常数。
05 中心极限定理的扩展和展 望
中心极限定理的推广和改进
推广到多元分布
将中心极限定理从一元分布推广到多元分布，研究多维随机变量 的分布性质。
考虑非独立随机变量
研究非独立随机变量的中心极限定理，探索它们之间的依赖关系对 极限分布的影响。
考虑不同收敛速度
研究不同收敛速度下的中心极限定理，以更准确地描述随机变量的 分布特性。
资产配置。
人口统计学
中心极限定理用于研究人口增长、 人口普查数据的分布等，帮助科学 家了解人口变化的规律。
生物学和医学
中心极限定理用于研究生物变异、 遗传基因频率的变化以及医学中的 临床试验和流行病学调查等。
02 中心极限定理的数学表述
独立同分布的中心极限定理
总结词
中心极限定理含义及背景
中心极限定理含义及背景
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了当独立随机变量之和趋向于无穷大时，其分布将逐渐接近于正态分布的现象。
背景：
中心极限定理最早由法国数学家拉普拉斯在1810年左右提出，但其概念和思想始于18世纪的
普遍研究。
在此之前，人们普遍认为大数定律只适用于确切发生概率大于0的事件，而对于连
续的随机变量分布则不能套用大数定律进行研究。
然而中心极限定理的出现打破了这种思维定式。
它告诉我们，即使随机变量之间没有严格的关联，它们的和的分布趋于正态分布。
这个定理极大地推动了概率论的发展，为统计学提供了强大的工具。
含义：
中心极限定理的含义是，对于独立同分布的随机变量，它们的和的分布（或均值的分布）将近似服从正态分布，尤其是当样本容量足够大时。
换句话说，当我们把多个随机变量进行求和，其结果的分布逐渐趋近于正态分布。
中心极限定理的重要性在于，正态分布具有许多重要的性质。
具体来说，正态分布对称且钟形，可以用数学上的公式来精确描述，这使得我们可以通过正态分布来近似描述和计算其他复杂的随机现象。
因此，中心极限定理被广泛应用于统计推断、假设检验和置信区间等统计学的领域。
它使得我们能够通过样本数据来了解总体分布，并做出相应的推断和决策。
中心极限定理历史演变过程
中心极限定理历史演变过程
中心极限定理是概率论中的一项重要成果，它指出，在一定条件下，大量独立同分布的随机变量的算术平均值的分布会逼近于正态分布。
中心极限定理的演变过程如下：
1. 1713年：雅各布·贝努利提出贝努利大数定律，该定律指出，独立重复试验的结果平均值会趋近于其期望值。
2. 1733年：亚伯拉罕·德·摩瓦尔扩展了贝努利大数定律，提出
了中心极限定理的初步形式，他认为大量独立的随机变量之和将近似于正态分布。
3. 1810年：皮埃尔·西蒙·拉普拉斯对中心极限定理进行了深入
研究，并提出了一个更加精确的定理，即拉普拉斯中心极限定理。
他通过将连续函数近似为多项式，推导出了正态分布的密度函数。
4. 1860年：阿希尔·约翰·林德勒夫证明了中心极限定理的另一
种形式，即林德勒夫中心极限定理。
他证明了随机变量的平均值，经过适当的标准化，收敛到标准正态分布。
5. 1920年代：哈罗德·霍普金斯扩展了中心极限定理的应用范围，提出了多元中心极限定理，适用于多维随机变量的和的情况。
中心极限定理的历史演变过程，经过了数百年的研究与发展。
从最初的贝努利大数定律到拉普拉斯和林德勒夫提出的更加精
确的定理，中心极限定理不断得到完善和扩展，成为现代概率论中的重要基石之一。
中心极限定理公式
中心极限定理公式
中心极限定理，又被称为中央极限定理，它是数学统计的基本原
理之一。
它指出，当样本量大到一定程度时，任何总体随机变量的抽
样分布极其接近于正态分布。
也就是说，无论任何一个总体变量本身
的分布，有足够多的形状和类型，通过大量（抽样）的实践，这些总
体变量的抽样分布的形状都会收敛到正态分布。
说白了就是，随机变
量的平均分布是正态分布，即数量多少用正态分布表示。
中心极限定理为所有类型的统计学分析提供了支撑，使我们能够
对变量的抽样分布作出正确的判断，让统计学研究更加准确、靠谱。
中心极限定理有时也可以用来解决不佳的实验设计和数据分析所造成
的偏差，从最基本的假设出发，采取中心极限定理来处理不理想的数据，以减少准确性的偏差。
中心极限定理的研究和应用已有很多年了，其研究历史从古希腊
数学家尼古拉斯凯撒开始，发展到现代，中心极限定理已经成为支撑
和推动大量实验设计和统计分析研究工作的重要理论。
中心极限定理是统计推断和定理的基础，其理论引用范围极广，
经常会在各种统计学考试中出现。
因此，如何好好掌握中心极限定理，熟练运用它以正确求解考试中的问题，是通过统计学的资格考试的必
要条件之一。
概率论中的极限理论发展
概率论中的极限理论发展概率论是一门研究随机现象的数学理论，而极限理论是概率论的重要分支之一。
它研究的是随机变量序列的极限行为，揭示了概率分布的一些重要性质和规律。
在过去的几个世纪里，概率论中的极限理论得到了迅速发展。
本文将对概率论中的极限理论的发展进行探讨，并介绍其中的一些重要成果和应用。
一、初步形成概率论的起源可以追溯到17世纪，而极限理论的雏形则可以追溯到18世纪。
当时，数学家们开始研究大数定律和中心极限定理，为后来的极限理论的发展奠定了基础。
然而，当时的研究还不够系统和完善。
直到19世纪，随机变量和概率分布的概念逐渐被正式引入到概率论中，极限理论才开始逐渐成为一门独立的数学分支。
二、大数定律大数定律是极限理论的重要内容之一，它研究的是在独立随机变量序列下，随着样本量的增加，样本平均值趋于某个确定的常数。
大数定律最早由贝努利提出，并在后来得到了康托尔、切比雪夫和伯努利等数学家的进一步发展。
大数定律的成果为概率论的发展奠定了基础，并且在实际应用中具有重要价值。
三、中心极限定理中心极限定理是极限理论的另一个重要内容，它研究的是在一定条件下，大量独立随机变量之和的极限分布趋近于高斯分布。
中心极限定理最早由莱普尼兹提出，并在后来得到了黎曼、狄利克雷等数学家的推广和完善。
中心极限定理的成果为统计学的发展提供了基础，并且在科学研究和实际应用中得到了广泛的应用。
四、近代发展随着统计理论的进一步发展和计算机技术的日益完善，概率论中的极限理论得到了更深入的研究和应用。
比如，大数定律和中心极限定理的推广和拓展，分布的收敛性、极限分布的计算方法等等，都成为了概率论中的研究热点。
而随机过程、马尔可夫链等新的研究方向也为概率论中的极限理论提供了更广阔的应用领域。
五、应用与展望概率论中的极限理论不仅在概率论和统计学中具有重要意义，而且在各个领域的研究和应用中也发挥着重要作用。
比如，极限理论在金融学中的应用，可以用于对股票价格、汇率等金融变量的预测和分析。
中心极限定理w
中心极限定理w中心极限定理是概率论和统计学中最重要的定理之一，它为接受一个给定的概率分布的随机变量而得到一个新的概率分布提供了一种方法。
它是由20世纪的俄国数学家季夫拉尔奥古斯丁诺夫第一次提出的，1949年由俄罗斯统计学家兼数学家佩里拉塞尔拉德林（P.L.Levy）推广。
中心极限定理的核心思想是，如果把一个未知概率分布中获得的数据进行抽样（也就是说，把它们分成一组不同的大小），那么这些数字的平均值将“收敛”到该概率分布的期望值，即均值。
也就是说，当我们采样次数足够多时，采样均值将接近概率分布的期望值。
中心极限定理的视觉证明是推出此定理的重要手段，它的思想是：从一个未知的概率分布中取样，然后反复地取样，最终可得出一系列平均值，平均值的数量与每次取样数进行取样时一致。
这种思想称为“直方图”，它表明，随着每一次采样次数的增加，取样均值的分布会慢慢收敛到概率分布的期望均值。
为了提供更加确切的证明，我们可以进一步考虑分布的参数，例如均值、方差、偏度和峰度。
在推导中心极限定理时，如果一个随机变量符合一般正态分布，比如X服从一般分布N(μ0,σ0)，那么把它分成N个子样本（大小为1），它们的均值μ1，μ2，μ3，…，μN，将符合一般分布N(μ0,σ02/N)，其中σ02是X的方差。
同样地，如果X符合t分布，把它分成N个子样本，它们的均值也将符合t分布，并且可以计算出它们的参数。
当然，对于任意的概率分布，中心极限定理也是成立的。
假设随机变量X服从概率分布f，那么把它分成N个子样本（大小为1），它们的均值μ1，μ2，μ3，…，μN，将服从一般分布G，其期望值与f相同，而方差可以用以下公式计算：Var（μ1，μ2，μ3，…，μn）=Var（X）/N实际上，正是由于中心极限定理是最重要的定理之一，它可以被应用到概率论、统计学和机器学习等许多领域，可以提供一个更加可靠的方法，以基于概率分布给出一个统计估计。
例如，在机器学习中，中心极限定理可以帮助构建预测模型，并且可以用来验证模型的精准度，有助于提高模型的预测能力。
中心极限定理历史
社会科学中的应用
经济学
在经济学中，中心极限定理被用于分析经济数据的分布和变化。例如，研究某个经济指标的长期趋势时，可以利 用历史数据的样本均值和标准差来预测未来可能的变化范围。
THANKS
概率论起源于17世纪中叶，当时数学 家们开始研究赌博游戏中的随机现象 。
雅各布·伯努利在1713年提出了伯努 利大数定律，揭示了相对频率稳定性 ，为概率论的发展奠定了基础。
03
棣莫弗的工作
亚伯拉罕·棣莫弗在18世纪初对概率论 做出了重要贡献，他研究了二项分布 的正态近似，并推导出了棣莫弗-拉普 拉斯定理。
02
该定理指出，在满足一定条件下，独立同分布的随机变量的 标准化和依分布收敛于标准正态分布。
03
费勒定理不仅适用于独立同分布的情况，还可应用于某些相 依随机变量的场合，具有广泛的应用价值。
多元中心极限定理
01
02
03
多元中心极限定理是中心极限定 理在多维情况下的推广，由林德 伯格和列维在20世纪20年代提出。
社会学
社会学家经常需要研究社会现象的分布和变化。通过收集大量样本数据，并利用中心极限定理进行分析，可以对 社会现象的发展趋势和影响因素进行深入探讨。
06
中心极限定理的意义与影响
对概率论和统计学的影响
提供了正态分布的理论基础
中心极限定理表明，在适当条件下，大量独立随机变量的和近似服从正态分布，从而为正态分布 在概率论和统计学中的广泛应用提供了理论支撑。
问题。
揭示中心极限定理的理论意义和实践价值，以及对后续统计学
03
中心法则的发展历程
中心法则的发展历程
中心法则，又称中心极限定理，是统计学中非常重要的一种定理，它描述了当随机变量的样本容量足够大时，随机变量的样本平均值会
越来越接近于其期望值。
中心法则在统计学的应用非常广泛，包括了
样本大量采样时估计总体平均数、估计总体标准偏差和建立置信区间
等等。
中心法则的研究历程可以追溯到18世纪，当时瑞士数学家Jacob Bernoulli通过对大数定律的研究，发现当样本容量足够大时，随机变量的样本平均值会趋于正态分布。
而后在19世纪，高斯将其加以发扬，提出了正态分布理论，使中心法则得到了更为严谨的数学证明。
20世纪初，Kolmogorov进一步发展了中心法则，提出了极限定
理的概念，并将中心法则从正态分布扩展到了更广泛的情况，包括了
泊松分布、二项分布等等。
而后随着计算机技术的快速发展，中心法
则的研究也变得更加深入和精确，比如Monte Carlo方法和蒙特卡洛
模拟等等的应用，使得中心法则在实际应用中更加方便和可靠。
总的来说，中心法则的发展历程是一个不断完善和拓展的过程，
从最初的大数定律、正态分布到现在的极限定理、蒙特卡洛模拟，每
一次的发展都为我们更好地应用中心法则提供了更为广泛和精确的方法。
作为一种重要的统计学理论，中心法则的应用在各个领域都得到
了广泛的关注和应用，推动了统计学的发展。
中心极限定理名词解释
中心极限定理名词解释
中心极限定理（Central Limit Theorem）是统计学中最重要的定理之一，它指出，当一组
数据的样本数足够大时，它们的分布接近正态分布，即钟形曲线。
中心极限定理的发现是由法国数学家卡尔·贝尔所做的，他在1733年发表了他的著作《数
学原理》，其中提出了中心极限定理。
他的定理指出，当一组数据的样本数足够大时，它们的分布接近正态分布，即钟形曲线。
中心极限定理的重要性在于它提供了一种简单的方法来估计一组数据的分布，而不必考虑
其中的每一个数据点。
它还提供了一种简单的方法来估计一组数据的均值和方差，从而使统计学家能够更好地理解数据。
中心极限定理的应用非常广泛，它可以用于统计学、金融学、社会科学等领域。
它可以用
来估计一组数据的均值和方差，从而更好地理解数据。
它还可以用来估计投资组合的风险，从而帮助投资者做出更明智的投资决策。
总之，中心极限定理是一个非常重要的定理，它为统计学、金融学、社会科学等领域提供了一种简单而有效的方法来估计一组数据的分布，从而帮助我们更好地理解数据。
中心极限定理
中心极限定理中心极限定理(central limit theorem)是概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。
这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量积累分布函数逐点收敛到正态分布的积累分布函数的条件。
它是概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景。
在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。
中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。
最早的中心极限定理是讨论n 重伯努利试验中，事件A出现的次数渐近于正态分布的问题。
1716年前后，A.棣莫弗对n重伯努利试验中每次试验事件A出现的概率为1/2的情况进行了讨论，随后，P.-S.拉普拉斯和A.M.李亚普诺夫等进行了推广和改进。
自P.莱维在1919~1925年系统地建立了特征函数理论起，中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等。
极限定理是概率论的重要内容，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美。
长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率论分析方法，影响着概率论的发展。
同时新的极限理论问题也在实际中不断产生。
简介中心极限定理是研究独立随机变量和的极限分布为正态分布的问题。
规范和的定义设随机变量序列X1，X2，、、、Xn，、、、相互独立，均具有相同的数学期望与方差，且E(Xi)= Ui,D(Xi)=Ri^2>0，i=1,2,、、、，令:Yn=X1+X2+、、、+XnZn=〔Yn-E(Yn)〕/√D(Yn)=∑(Xi-Ui)/√∑Ri^2 (i=1,2、、、、n)则称随机变量Zn为随机变量序列X1，X2,、、、，Xn的规范和。
中心极限定理:设从均值为μ、方差为σ^2;(有限)的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n 充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ^2/n 的正态分布。
中心法则的提出及其发展
中心法则的提出及其发展中心法则（Central Limit Theorem）是概率论与数理统计中的一条基本定理，描述了独立同分布随机变量和的极限分布的性质。
中心法则在统计学和概率论中扮演着重要的角色，对于解决各种实际问题具有广泛的应用。
中心法则最早的提出可以追溯到18世纪法国数学家拉普拉斯。
他在1810年的著作《大数定律》中首次提出了类似于中心法则的概念。
然而，真正对中心法则进行系统研究和证明的人是德国数学家莱维（Pierre-Simon Laplace）。
莱维在1820年左右证明了中心法则，但没有对结果进行详细的陈述和解释。
20世纪初，俄罗斯数学家切比雪夫（Pafnuty Chebyshev）对中心法则进行了改进和推广。
他提出了切比雪夫不等式，通过使用方差的概念，更加准确地描述了中心法则。
尽管切比雪夫不等式的结果对于一般分布来说并不精确，但它为后来对中心法则的证明提供了重要的思路。
20世纪20年代，美国数学家菲歇尔（Ronald Fisher）给出了一个更加准确和精确的中心法则的证明。
他使用了数学分析和特征函数的技巧，提出了中心极限定理的一个一般形式。
菲歇尔的证明为后来对中心法则的研究和应用奠定了坚实的基础。
随着时间的推移，中心法则得到了进一步的发展和拓展。
20世纪50年代，英国数学家杰森（Dudley E. G. J. Harris）进一步推广了中心法则的应用范围，提出了极限理论中的中心法则。
随着统计学和概率论领域的发展，中心法则的应用也越来越广泛。
中心法则为统计推断、假设检验、置信区间等提供了有力的工具和方法。
通过使用中心法则，可以对大量数据进行分析和处理，从而得出相对准确和可信的结果。
总之，中心法则是统计学和概率论中的一个重要理论，描述了独立同分布随机变量和的极限分布的性质。
它在18世纪由拉普拉斯首次提出，经过莱维、切比雪夫、菲歇尔等人的研究和改进，逐渐发展成为一个重要的原理，并得到了广泛的应用。
第47讲中心极限定理
第47讲中⼼极限定理§5.2 中⼼极限定理中⼼极限定理的概念Central Limit Theorems在客观实际中有许多随机变量，它们是由⼤量相互独⽴的随机因素的综合影响所形成，⽽其中每⼀个别因素在总的影响中所起的作⽤是微⼩的。
这种随机变量往往近似地服从正态分布。
这种现象就是中⼼极限定理的客观背景。
本节将⽤中⼼极限定理来说明这种现象。
四川⼤学徐⼩湛中⼼极限定理是说：在⼀定条件下，充分多的相互独⽴的随机变量的算术平均值将服从正态分布，不管这些随机变量本⾝服从什么分布。
本节介绍了三个中⼼极限定理1.列维-林德伯格定理（独⽴同分布的中⼼极限定理）2.李雅普诺夫定理（独⽴不同分布的中⼼极限定理）3.棣莫弗-拉普拉斯定理(⼆项分布的极限分布)列维-林德伯格定理独⽴同分布的中⼼极限定理定理 1 列维-林德伯格 (Levy -Lindberg) 定理（独⽴同分布的中⼼极限定理）设随机变量 X 1, X 2, …, X n , … 相互独⽴，服从同⼀分布，且 E (X k )=µ , D (X k )=σ 2 >0 (k =1,2, …)，的分布函数 F n (x ) =P {Y n ≤x }满⾜当 n 很⼤时， Y n 近似地服从标准正态分布 N (0, 1) 则随机变量n n →∞ n →∞ lim F (x ) = lim P {Y ≤ x }= Φ(x ) = n定理 1 （独⽴同分布的中⼼极限定理）设随机变量 X 1, X 2, …, X n , … 相互独⽴，服从同⼀分布，且 E (X k )=µ , D (X k )=σ2 >0 (k =1,2, …)，则随机变量n n 的分布函数 F (x ) =P {Y ≤x }满⾜n n n →∞ n →∞ n →∞lim F (x ) = lim P {Y ≤ x }= lim以上定理表⽰：若随机变量 X 1, X 2, …, X n , … 相互独⽴同分布，且 E (X k )=µ , D (X k )=σ 2 >0 (k =1,2, …)，则当n 很⼤时，近似地有n n k X 的标准化变量 1n Y 是 X = ∑ k =1 n k 1 n = D ( ∑ k =1 2 1 n k D (X ) n X ) = ∑ k =1 = D (X ) 独⽴性 k k =1 nk 1 n k =1 X ) = ∑ E (X ) = n E (X ) = E (1∑ nnnk 1nk=1Y 是X = ∑以上定理表明，在定理的条件下，⽆论{Xk} 服从什么分布，当n很⼤时，其前n项的算术均值X的准化服从正态分布N(0,1)。
15中心极限定理
1733年法国数学家棣莫弗使用正态分布估计大量抛掷硬币 出现正面次数的分布;
1812年法国数学家拉普拉斯拯救了这个默默无名的理论， 指出二项分布可用正态分布逼近; 1901年，俄国数学家里雅普诺夫用更普通的随机变量定义 中心极限定理并在数学上进行了精确的证明.
教学内容
1、独立同分布中心极限定理内容 2、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 3、中心极限定理在生活中的应用
§5-2 中心极限定理问题引入 Nhomakorabea在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素 所产生总影响.
炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随 机因素的影响.
例如：
瞄准时的误差， 空气阻力所产生的误差， 炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.
理论发展史
1733 1901 1812
三、中心极限定理在生活中的应用
例题： 某市保险公司开办一年人身保险业务.被保险人每年
需交付保险费160元. 若一年内发生重大人身事故,其本人或 家属可获2万元赔金. 己知该市人员一年内发生重大人身事故
的概率为0.005.现有5000人参加此项保险.
求:保险公司一年内从此项业务亏本概率.
教学总结
1、中心极限定理内容 2、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
中心极限定理历史
Central Limit Theorem
中心极限定理的由来中心极限定理包含极限思维， 因此称其为一种“极限定理” 同时由于它在概率、 数理统计中的中心地位， 因此称它为“ 中心极限定理” < Central Limit Theorems > — — 数学家波利亚（ Polya） 给它取的名字
Central Limit Theorem
Central Limit Theorem
而莱维则不同，他更多的是依赖他的直觉。莱 维是第一个深刻研究样本函数和序列的概率学 家之一，却从未完全接受把测度论作为概率论 的数学基础。例如，对莱维而言，条件期望就 是概率的要素之一，而不需要形式上的一般定 义。因此他给出的是相当模糊却原则上准确的 定理形式，这使得人们认为他的表述含糊不清， 令人费解，但掌握后就会发现其实是深刻的、 给人启发的。
Central Limit Theorem
中心极限定理的由来：
在那个时代，法国数学家的很多研究都被同代的同 中心极限定理的第一版由法国数学家棣莫弗首先发现，这个发 行所忽视，这个超越时代的成果也险些被历史遗忘 现和“正态分布”的发现相接，他在 1733年发表的论文中使用 所幸另一名著名法国数学家拉普拉斯在1812年发表 正态分布去估计大量抛掷硬币出现正面次数的分布但最大的问 的巨著《 棣莫弗本人当时并没意识到自己研究的正是此后号称 概率分析理论》 中拯救了这个默默无名的 题在于， 理论。 概率论首席定理的“中心极限定理”
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中心极限定理的创立和发展
1141010113 万帅
关键词：中心极限定理，创立，严格证明，新的发展，三阶段。
引言：这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。
该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。
中心极限定理，是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。
这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。
该定理为人们用正态分布来描述和解决大量的概率问题提供了坚实的理论基础。
“中心极限定理”这一名称的来源有两种说法。
波利亚认为这个定理十分重要，在概率论中具有中心地位，所以他加上了“中心”这一名称，于1920年引入这一术语。
另一种说法是，现代法国概率论学派认为极限定理描述了分布函数中心的情况，而不是尾部的情况。
历史上有不少数学家对中心极限定理的研究做出了贡献。
中心极限定理的发展主要分为三个阶段。
创立阶段：1733-----1853年
人们通常认为，法国数学家隶莫弗在1733年首次证明了，二项发布近似正态分布。
然而，当时正态发布的概念，隶莫弗并不知道自己本质上证明了“中心极限定理”
法国数学家拉普拉斯写了很多论文，想推广棣莫弗的工作。
他意识到需要一种新的数学技巧，并在1785年成功地发明了这个技巧：特征函数的简单形式和反演公式。
拉普拉斯把他的两个主要研究方向结合起来得到了这个方法-----母函数和积分的监禁展开。
通过把母函数中的t换成it e ，就得到了特征函数。
然而，直到1810年他才发表了特征函数与反演公示的一般理论，并证明了中心极限定理。
他之所以推迟到1810年，有一种解释是，从1786年开始，他就专注于《天体力学》的写作，这本书1805年才完成。
1810年，拉普拉斯证明了中心极限定理，先是服从均匀发布的连续随机变量的情形，接着是服从任意分布的随机变量。
拉普拉斯的证明显然对独立有界的随机变量和成立，证明过程使用了现在所谓的特征函数，或傅里叶变换，即itXEe(t为实数）。
在1812年，他先后考虑了对称的、离散的均匀分布，对称的连续分布，任意分布情形。
最后，拉普拉斯在他的名著《概率的分析理论》中对任意的p证明了如下中心极限定理：【1】
泊松完善和推广了拉普拉斯关于中心极限定理的证明。
在所有考虑的情况里，都假设随机变量是独立的。
泊松证明了服从相同分布的随机变量的情况，还推广到服从不同分布的随机变量的情况。
1824年，泊松证明了连续随机变量的中心极限定理，并给出了三个反例，其中包括服从柯西分布的随机变量和，这时中心极限定理不成立。
受当时传统的影响，泊松没有明确阐明中心极限定理成立的条件。
但是，从他的证明和例子中，可以看到，他假设每个变量的方差都是有界的，且不等于零。
其他数学家也做了这方面工作，比如贝塞尔和柯西。
拉普拉斯等人给出证明的前提假设是，和的分布是有限的，因此所有的矩都存在。
他们把结果推广到无限情形，但没有给出证明，并隐含假定了矩的存在。
以现在的观点来看，只要沿着拉普拉斯的方向继续下去，法国数学家们是可以给出中心极限定理的严格证明的，比如柯西，他知道特征函数和稳定率。
从当时环境来看，大约1870年代，概率学家还处于心理上的劣势，苦于自己的研究领
域被其他数学家视为一门数学科学，他们的同行不能理解，为什么标准的数学术语还不够，为什么古老的概念被重新命名为“随机变量”和“期望”。
而且，概率书里充满了非数学的概念：骰子、赌场、甲乙等人。
另外，从下面博雷尔的一段话，也可以反观那时一些概率学家对中心极限定理的具体看法。
博雷尔是继庞加莱之后法国的领袖概率学家，他曾在1924年和1950年表达了这样的观点：通过拉普拉斯理论获得的结果，似乎对维持它们所需的分析而作出的努力没有什么意义.....它可能能证明某些定理，但是不会有什么价值，因为，事实上人们无法证明假设是否满足。
可以说，法国数学家的大部分研究被同代人所忽略，直到20世纪才被重新发现
严格证明阶段：1887---1910
俄国数学家切比雪夫受到布拉什曼的影响，对概率论产生了兴趣，后来接替布尼亚可夫斯基在圣彼得堡大学讲授概率论。
1866年切比雪夫发表了《论平均数》，讨论了作为大数定律极限值的平均数问题。
1884年，他的学生马尔可夫对矩方法所涉及的切比雪夫不等式给出了证明之后，切比雪夫于1887年发表了《概率论中的两个定理》，开始对随机变量和收敛到正态分布的条件即中心极限定理进行讨论，给出一般随机变量的切比雪夫定理。
这个定理的叙述是不完全正确，而且切比雪夫用“矩法”给出的证明也不完善，他只证明了随机变量的各阶原点矩的极限是标准正态随机变量的相应的原点矩，并未进而说明随机变量的分布函数确实以标准正态分布函数为极限。
不完善之处首先被马尔可夫注意到。
马尔可夫在
《的解》一文中，对切比雪夫提出的命题给出了精确的陈述与证明，文中所使用的改进后的矩方法后来被人成为“切比雪夫---马尔可夫矩方法”。
[2] 1900年前后，马尔可夫的校友李雅普诺夫引入了特征函数来考察中心极限定理，从而避免了矩方法要求高阶矩存在的苛刻条件，并为之一定理进一步精确化准备了条件。
1901年李雅普诺夫把马尔可夫定理的条件大为减弱，并证明了李雅普诺夫定理。
这个定理要求随机变量必须是独立的，但是不必有相同的分布，还要求随机变量（加绝对值）具有某阶的矩，矩的增长速度受李雅普诺夫条件的限制。
李雅普诺夫在证明中利用了特征函数。
从此之后，特征函数成为研究极限定理的强有力的工具
新的发展：1919年以后
【1】拉普拉斯.《概率的分析理论》【M】1995年版.人民教育出版社。
马尔可夫.《概率演算》[M]1993年版.机械工业出版社。