信号与系统第九章

X s1
3.一般情况：
s N s X s M Ds s s s 因此， X s M X s M s s X s s s
通过本章及下一章，会看到拉氏变换和Ｚ变换
不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅 能适用于用傅里叶变换的方法可以解决的信号与系 统分析问题，而且还能解决傅里叶分析方法不适用 的许多方面。
拉氏变换与Ｚ变换的分析方法是傅里叶分析法
的推广，傅里叶分析是它们的特例。
§9.1 拉普拉斯变换(LAPLACE TRANSFORM)
i i j j i
1 i
对有理函数形式的 X ( s )
i
i
1
jHale Waihona Puke j1jj
1
1
i
1
第九章 拉普拉斯变换
THE LAPLACE TRANSFORM 基本内容： 1.拉斯变换的定义； 2.收敛域的概念； 3.零极点图； 4.拉普拉斯变换的性质； 5.系统函数； 6.单边拉普拉斯变换；
1
§9.0
引言
Introduction
傅里叶分析方法在信号与LTI系统分析中非常
有用，其原因很大程度上是因为相当广泛的信号都
T 0
e
0
at
0<t<T
其它 t
X ( s ) e e dt
at st
e
0
T
( s a )t
1 dt [1 e ( s a )T ] sa
按照性质3，它的收敛域应该是整个S平面。
X s 似乎有极点
s a
(与性质2相冲突）
考查零点: 显然在 s a 也有一阶零点，零极点相抵消， 致使整个S平面上无极点。
1 可知 u (t ) s
0 at st 0
Re[s] 0
at x ( t ) e u(t ) 例2.
X ( s ) e e dt e

( s a )t
1 dt , Re[s] a sa
由以上例子，可以看出: 1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非 任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上的任 何复数都能使拉氏变换收敛。
3. 时限信号的ROC是整个 S 平面。 4. 右边信号的ROC是 S 平面内某一条平行于 j 轴的直线的右边。（说明如下）
若 x(t )是右边信号,即 T 则有
0t 绝对可积，即： x(t )e
t , 0 在ROC内，
dt

T

T
x(t )e
0t
若 1
0 ，则
示一个 X ( s ) ，最多与真实的 X ( s ) 相差一个因子 M 。因此，零极点图是拉氏变换的图示方法。
§9.2 拉氏变换的收敛域 ROC of LAPLACE TRANSFORM

可以归纳出ROC的以下性质：
1. ROC是 S 平面上平行于 j 轴的带状区域。
2. 在ROC内无任何极点。
ROC总是以平行于 j 轴的直线作为边界的，ROC的 边界总是与 X ( s ) 的分母的根对应的。
若 X ( s ) 是有理函数
(s ) N (s) X (s) M D( s ) (s )
i i i i
分子多项式的根称为零点，分母多项式的根 称为极点。 将 X ( s ) 的全部零点和极点表示在 S 平面上， 就构成了零极点图。零极点图及其收敛域可以表
可以表示成复指数信号的线性组合，而复指数函数
是一切 LTI 系统的特征函数。
傅里叶变换是以复指数函数中的一个特例，即
e
j t 和
e 数 e st
j n为基底分解信号的。对于更一般的复指数函
和
z ，也理应能够以此为基底对信号进行
n
分解。
将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及
下一章要讨论的中心问题。
X ( j ) e e
0

at jt
1 dt a j
(a 0)
显然，在
Re[s] a
a0
时，使拉氏变换收敛的区域 包括了 0 （即轴 j ）。
比较 X ( s ) 和 X ( j )
显然有 X ( s )
s j
X ( j )
x(t ) eat u(t ) u(t ) 当a 0 时，
1. 右边信号的ROC一定是 X ( s ) 最右边极 点的右边。 2. 左边信号的ROC一定是 X ( s) 最左边极 点的左边。 3. 双边信号的ROC可以是任意两相邻极点
之间的带状区域。
§9.3
拉氏反变换

The Inverse Laplace Transform
一. 定义： 由 X (s) x(t )e st dt
幅角即为
表示 s1 a
。 X s 1
X s1 ) ,(其
s1
0
S1
a
a
s a
1
2.
单极点情况：
1 X ( s) , 极点 s a sa
X ( s1 )
1 s1 a
X s1 s1 a
其长度的倒数为
X (s1 )


,幅角的负值为 。
直接由极点向 s1 点作矢量（称为极点矢量），
d s T ds 1 e X s lim T s d s ds
例2.
x(t ) e
bt
b t
bt
1 e u (t ) , sb
bt
x(t ) e u(t ) e u(t )
Re[s] b
1 e u (t ) , s 1
t
Re[ s] 1
1
j

j
e
2 t
1 u (t ) , s2
Re[s] 2
2

1 1 s2 3 X s 2 s 1 s 2 s 3s 2
Re[ s] 1
可见:拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。
1 e u (t ) , Re[s] b s b
bt
当 b 0 时，上述ROC有公共部分，
1 1 b Re[s] b X ( s) s b s b 当b 0 时，上述 ROC 无公共部分，表明 X ( s) 不存在。
当 X ( s ) 是有理函数时，其ROC总是由 X ( s) 的极点分割的。ROC必然满足下列规律：

T

x(t )e
1t
dt
T

x(t )e
0t
0t (1 0 ) t
e
dt
e
(1 0 )T

T

x(t )e
dt
1
也在收敛域内。
6.
双边信号的ROC如果存在，一定是 S 平 面内平行于 j 轴的带形区域。
例1.
x(t )




X ( s )e st d
由 s j 得 ds jd
当 从 时, s 从 j j
x(t ) 1 2 j

j
j
X ( s )e st ds
拉氏变换表明:
x(t ) 可以被分解成复振幅为
的复指数信号e st 的线性组合。
1 2 j
X ( s )ds
二.
拉氏反变换的求法:
对有理函数形式的 X ( s ) 求反变换一般有两种
方法,即部分分式展开法和留数法。
部分分式展开法：
1.将 X ( s ) 展开为部分分式。 2.根据 X ( s ) 的ROC,确定每一项的ROC 。 3.利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质 对每一项进行反变换。

若 s j 在ROC内，则
X ( j ) x(t )e t e jt dt F[ [ x(t )e t ]


x(t )e
1 x(t ) 2
t
1 2



X ( j )e d
t
j t
j t
1 X ( j )e e d 2
e
dt [ x(t )e t ]e jt dt


F[ [ x(t )e
t
]
的傅里叶变换。只要有合适
x(t ) 的 所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广，
拉氏变换就是x(t )e
t
的
存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条
e
t
件的信号在引入
后满足该条件。即有些信号
5. 如果拉氏变换的ROC包含 j 轴，则有。
X ( j ) X ( s)
s j
二. 拉氏变换的ROC及零极点图： 例3.
x(t ) e u(t ) e u(t )
X (s) e e dt e e dt
t st 2t st 0 0
t
2t
X ( j ) 的特性。这在定性分析系统频率特性时有很
大用处。
1.单零点情况： X ( s) s a 零点s , 要求出 s s1 时的 X (s1 )，可以 作两个矢量 s 和 a ，则 X (s1 ) (s1 a) 。 1 矢量
X (s1 )
称为零点矢量，
它的长度
2. 拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合，称为拉
氏变换的收敛域 ROC（Region of Convergence），